Estatistica Regular 14

CURSO ONLINE REGULAR ESTATSTICA BSICA PROF. SRGIO CARVALHO

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AULA 14 RESOLUES FINAIS DA LISTA DE QUESTES

Ol, amigos!

Espero que estejam todos bem!

Apresento-lhes, hoje, as vinte e duas ltimas resolues da lista original do nosso Curso! Com elas, conclumos o nosso trabalho no tocante s aulas. E no tocante ao Frum, vou tentar responder as perguntas pendentes durante os dias seguintes.

Vou pedir LuBSB que mantenha o frum no ar.

Passemos s resolues! Vamos a elas.

LTIMAS QUESTES PENDENTES DE RESOLUO

01. (Analista fin. e controle GDF 94 CESPE) Um rgo financiador de projetos recebeu nos ltimos doze meses as seguintes quantidades mensais de propostas de projetos: 22, 10, 8, 16, 20, 26, 30, 40, 42, 36, 28, 24. Assinale a alternativa que representa o 1 quartil deste conjunto. a) 18 b) 20 c) 22 d) 24

Sol.: A primeira coisa a ser feita nesta resoluo colocar os dados brutos apresentados no enunciado numa forma de rol. Ou seja, coloc-los em ordem crescente! Teremos:

8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42 Feito isso, aprendemaos que para encontrar algum Quartil em um rol, antes temos que

descobrir quem a Mediana do conjunto! Uma vez descoberta a Mediana, dividiremos o conjunto original em duas partes: a parte dos elementos esquerda da Mediana, e a parte dos elementos direita da Mediana.

At aqui, tudo bem? Vamos fazer isso! Teremos:

8, 10, 16, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 36, 40, 42 Md=(24+26)/2

Md=25 Quais foram os dois subconjuntos que ficaram esquerda e direita da mediana? Vejamos: {8, 10, 16, 20, 22, 24} e {26, 28, 30, 36, 40, 42} Pois bem! Agora o seguinte: o primeiro quartil Q1 ser a Mediana do conjunto da esquerda, enquanto o terceiro quartil Q3 ser a Mediana do conjunto da direita!

S isso!

Como a questo quer saber o primeiro quartil, teremos:

{8, 10, 16, 20, 22, 24} Md=(16+20)/2

Md=18 Q1=18 Resposta!

(AFC-94 ESAF) Para a soluo da questo seguinte, utilize a srie estatstica abaixo: 2 5 7 13 3 6 9 13 3 6 11 13 4 6 11 13 4 7 12 15



02. Os valores do 1 e do 3 quartil da srie so, respectivamente:

a) 2 e 15 b) 5 e 12 c) 4 e 13 d) 4 e 12 e) 6 e 13 Sol.: Vamos seguir o mesmssimo raciocnio da questo anterior! Aqui, os elementos j esto em rol. Assim, descobriremos, por primeiro, quem a Mediana do conjunto! Teremos: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Md=7

Assim, excluindo a Mediana do conjunto, geraremos dois subconjuntos, que so os seguintes: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Da, o primeiro e o terceiro quartil sero os seguintes: {2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 13, 15} Q1=4 Q3=13

Da: Q1=4 e Q3=13 Resposta! 03. Considere a seguinte distribuio de freqncias:

classes fi 0 | 5 5 | 10 10 | 15

15 | 20 20 | 25

20 20 40 10 10

Total A moda da distribuio :

a) 12,5; dada a simetria da distribuio. d) igual menor freqncia simples. b) Inferior mdia aritmtica e mediana. e) igual mdia aritmtica. c) Superior mdia aritmtica e mediana.

Sol.: Vamos calcular as trs medidas de posio para esta distribuio de freqncias. Comecemos pela Mdia. Teremos:

classes fi PM (PM-2,5)/5=Yi fi.Yi 0 | 5 5 | 10 10 | 15

15 | 20 20 | 25

20 20 40 10 10

2,5 7,5 12,5 17,5 22,5

0 1 2 3 4

0 20 80 30 40

Total n=100 170

7,1100170 ==Y

Nosso desenho de transformao da varivel o seguinte:

1)-2,5 2)5

Xi Yi

2)+2,5 1)x5

7,1=Y



Da:

1,7 x 5 = 8,5 e 8,5 + 2,5 = 11,0 Mdia! Calculemos a Mediana do conjunto! Teremos: (n/2)=50

classes fi fac 0 | 5 5 | 10 10 | 15 15 | 20 20 | 25

20 20 40 10 10

20 40 80 90 100

Total n=100

20 50? No! 40 50? No! 80 50? Sim!

Faremos:

Limites da Classe: 10 Md 15

fac associadas: 40 50 80

Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas fraes. A seguinte:

5 x

40 10 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(5x10)/40 X=1,25 Finalmente, teremos:

Md=10+1,25 Md=11,25

Calculando agora a Moda do conjunto, teremos:

classes fi 0 | 5 5 | 10 10 | 15 15 | 20 20 | 25

20 20 40 10 10

Total n=100

a=20 Classe Modal! p=30

40

5

10

X



Aplicando a frmula de Czuber, teremos:

Mo=linf+ hpa

a .

+

Mo=10+[20/(20+30)].5 Mo=12,0

Reunindo os trs resultados, teremos: Mdia=11,0 ; Mediana=11,25 e Moda=12,0 Logo: a Moda superior Mdia e Mediana Resposta! 04. (IRB-Brasil Resseguros S.A. 2004 ESAF) Na distribuio de freqncias abaixo, no

existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classe Freqncia Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100

Assinale a opo que corresponde ao oitavo decil. a) 179,5 b) 189,5 c) 183,9 d) 184,5 e) 174,5 Sol.: Aprendemos que o procedimento usado para se calcular qualquer medida separatriz o mesmo usado para o clculo da Mediana, mudando apenas a frao inicial!

Assim, para o oitavo decil, temos que a frao ser: (8n/10).

Sabendo que n=100 (a ltima fac!), ento teremos: (8n/10)=80

Fazendo as perguntas de praxe, descobriremos qual a classe do D8. Faremos:

Classe Freqncia Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100

4 80? No! 12 80? No! 26 80? No! 46 80? No! 72 80? No! 90 80? Sim!

Fazendo agora aquele mesmo desenho que aprendemos para a Mediana, s que agora trabalhando com a classe do oitavo decil, teremos o seguinte:



Limites da Classe: 179,5 D8 189,5



10 x

18 8 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(8x10)/18 X=4,44 Finalmente, teremos:

D8=179,5+4,44 D8=183,9 Resposta!

05. (Tcnico de Planejamento e Pesquisa IPEA 2004 ESAF) Para uma amostra aleatria de determinado atributo encontrou-se a seguinte distribuio de freqncias. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqncias

2000 4000 18 4000 6000 45 6000 8000 102 8000 10000 143 10000 12000 32 12000 14000 60

Assinale a opo que corresponde melhor aproximao do nonagsimo quinto percentil. a) 13.000 d) 12.667 b) 12.585 e) 13.900 c) 13.333 Sol.: Agora no tem mais segredo!! Qual a frao do P95? a seguinte: (95n/100). Vamos descobrir o valor do n? Teremos:

18

10

8

X



Classes fi

2000 4000 18 4000 6000 45 6000 8000 102 8000 10000 143 10000 12000 32 12000 14000 60

n=400 Assim, teremos que: (95n/100)=380 Faremos, construiremos a coluna da fac e faremos as perguntas de praxe, a fim de descobrirmos a classe do P95. Teremos:

Classes fi fac 2000 4000 18 18 4000 6000 45 63 6000 8000 102 165 8000 10000 143 308 10000 12000 32 340

12000 14000 60 400 n=400

18 380? No! 63 380? No! 165 380? No! 308 380? No! 340 380? No! 400 380? Sim!

Fazendo agora o desenho, teremos:

Limites da Classe: 12000 P95 14000



2000 x

60 40 Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(2000x40)/60 X=1.333,33 Finalmente, teremos:

P95=12.000+1.333,33 P95=13.333,33 Resposta!

60

2000

40

X



06. (Oficial de Justia Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Aplicando a transformao z = (x - 14)/4

aos pontos mdios das classes (x) obteve-se o desvio padro de 1,10 salrios mnimos. Assinale a opo que corresponde ao desvio padro dos salrios no transformados.

a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 Sol.: A questo envolve uma transformao da varivel. O que faremos? Claro! Faremos o desenho de transformao! Que o seguinte:

1)-14 2)4

Xi Zi Sz=1,10

2)+14 1)x4

Vejam que j est do lado da varivel transformada Z a informao adicional do enunciado, qual seja, que o desvio padro de Z Sz=1,10.

Agora, a questo pergunta qual o desvio padro de X. Ora, basta percorrermos o caminho de volta, lembrando-nos das propriedades do desvio padro. Teremos:

1,10 x 4 = 4,40 A soma que se segue, no caminho de volta, no ser efetuada, uma vez que Desvio Padro no sofre influncia nem de soma nem de subtrao!

Assim, passando direto pela soma, teremos, finalmente, que:

Sx=4,40 Resposta!

07. (Analista CVM - 2000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomsticos est interessada em estudar o comportamento de suas contas a receber em dois meses consecutivos. Com este objetivo seleciona, para cada ms, uma amostra de 50 contas. As observaes amostrais constam da tabela seguinte:

Valor (R$) Freqncia de Maro Freqncia de Abril 1.000,00 6 10 3.000,00 13 14 5.000,00 12 10 7.000,00 15 13 9.000,00 4 - 11.000,00 - 3

Assinale a opo que corresponde a amplitude do intervalo interquartlico, em reais, para

o ms de maro.

a) 3.250,00 d) 6.000,00 b) 5.000,00 e) 2.000,00 c) 4.000,00 Sol.: O intervalo interquartlico, tambm chamada amplitude interquartlica, uma medida de memorizao muito fcil. Seno, vejamos. O que sugere o nome interquartlico? Sugere entre os quartis. Concordam?

E quais so os quartis mais distantes entre si? So o primeiro e o terceiro: Q1 e Q3.

Assim, a distncia entre os quartis, ou a amplitude interquartlica, ou ainda o intervalo interquartlico nada mais que: Q3-Q1.

S isso!



Vamos comear nossa busca pelo primeiro quartil (Q1). Teremos:

Valor (R$) fi 1.000,00 6 3.000,00 13 5.000,00 12 7.000,00 15 9.000,00 4

n=50 A frao do Q1 (n/4), conforme sabemos. Neste caso, temos que (n/4)=12,5.

Construindo a coluna da fac e fazendo as perguntas de praxe, teremos:

Valor (R$) fi fac 1.000,00 6 6 3.000,00 13 19 5.000,00 12 31 7.000,00 15 46 9.000,00 4 50

n=50

6 12,5? No! 19 12,5? Sim!

Assim, achamos que Q1=3.000,00

Para o terceiro quartil, sabemos que a frao correspondente (3n/4). Teremos, pois, que: (3n/4)=37,5. Usando a pergunta de praxe, teremos:

Valor (R$) fi fac 1.000,00 6 6 3.000,00 13 19 5.000,00 12 31 7.000,00 15 46 9.000,00 4 50

n=50

6 37,5? No! 19 37,5? No! 31 37,5? No! 46 37,5? Sim!

Uma vez descobertos os valores de Q1 e de Q3, resta-nos aplicar a frmula que corresponde ao conceito de intervalo interquartlico. Teremos que:

Intervalo Interquartlico = Q3 Q1 = 7000 3000 = 4.000, Resposta! 08. (AFPS-2002/ESAF) Uma estatstica importante para o clculo do coeficiente de assimetria de

um conjunto de dados o momento central de ordem trs 3 . Assinale a opo correta. a) O valor de 3 obtido calculando-se a mdia dos desvios absolutos em relao mdia. b) O valor de 3 obtido calculando-se a mdia dos quadrados dos desvios em relao mdia. c) O valor de 3 obtido calculando-se a mdia dos desvios positivos em relao mdia. d) O valor de 3 obtido subtraindo-se o cubo da mdia da massa de dados da mdia dos cubos

das observaes. e) O valor de 3 obtido calculando-se a mdia dos cubos dos desvios em relao mdia. Sol.: O enunciado nos pede, simplesmente, o conceito do terceiro momento central, o que sinnimo de terceiro momento centrado na mdia. Ora, para acertar esta questo s preciso conhecer a frmula dos momentos! Aprendemos isso em uma de nossas aulas!

Teremos que o terceiro momento dado por: ( )n

XXim = 33

Traduzindo: a mdia dos cubos dos desvios em relao mdia Letra E Resposta!



09. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado forneceram os seguintes sumrios: mdia aritmtica = $1,20 , mediana = $0,53 e moda = $0,25. Com base nestas informaes, assinale a opo correta:

a) A distribuio assimtrica direita. b) A distribuio assimtrica esquerda. c) A distribuio simtrica. d) Entre os trs indicadores de posio apresentados, a mdia aritmtica a melhor medida de

tendncia central. e) O segundo quartil dos dados acima dado por $0,25. Sol.: Uma questo muito fcil e recorrente! Aqui, precisaramos lembrar a relao entre as medidas de tendncia central mdia, moda e mediana e a situao de assimetria de um conjunto! A melhor forma de memorizar esta teoria por meio do desenho das curvas assimtricas, vistas por ns em aula pretrita do nosso Curso. So as seguintes:

Distribuio Assimtrica Direita (ou de Assimetria Positiva):

Moda < Mediana < Mdia

Distribuio Assimtrica Esquerda (ou de Assimetria Negativa):

Mdia < Mediana < Moda Distribuio Simtrica:

Mdia=Mediana=Moda



Uma vez que os dados da questo nos revelam que a Mdia maior que a Mediana, e esta maior que a Moda, estamos, indubitavelmente, diante de uma distribuio assimtrica direita (ou de assimetria positiva)!

Logo: Letra A Resposta! 10. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma

amostra aleatria, de 50 preos (Xi) de aes, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetria o dlar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Pode-se afirmar que: a) a distribuio amostral dos preos tem assimetria negativa b) a distribuio amostral dos preos tem assimetria positiva c) a distribuio amostral dos preos simtrica d) A distribuio amostral dos preos indica a existncia de duas sub-populaes com

assimetria negativa e) nada se pode afirmar quanto simetria da distribuio amostral dos preos Sol.: Ora, estamos diante de um rol. S precisamos conhecer o valor de duas medidas de tendncia central, e j teremos condies de afirmar qual a situao de assimetria deste conjunto.

No caso, mais rpido descobrir quem so a Mediana e a Moda.

A Mediana, inclusive, j havia sido objeto de uma questo anterior desta prova! Questo esta j resolvida por ns neste Curso!

Mas faamos de novo, para no perder a viagem.

Temos que n=50 elementos. Logo, h duas posies centrais:

1) n/2=25 e 2) a vizinha posterior: 26 Os elementos que ocupam estas duas posicoes centrais so: 9 e 9. Assim, fazendo a mdia desses dois valores (o que no , absolutamente, necessrio!!), teremos: Md=9,0.

Agora, para saber a Moda do conjunto, basta ver qual foi o elemento que mais apareceu! Qual foi? Foi o elemento 8. Logo: Mo=8,0.

Assim, tendo que a mediana maior que a moda, j sabemos que o conjunto assimtrico direita, ou de assimetria positiva. (Vide desenho da curva de freqncia da questo anterior!).

Logo: Letra B Resposta!

11. (AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual especfica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa. Assinale a opo que, em geral, mais se aproxima da distribuio amostral de tais observaes.

a) Espera-se que a distribuio amostral de T seja em forma de U, simtrica e com duas modas nos extremos.

b) Espera-se que a distribuio amostral seja em forma de sino. c) Na maioria das vezes a distribuio de T ser retangular. d) Espera-se que a distribuio amostral seja assimtrica esquerda. e) Quase sempre a distribuio ser simtrica e triangular.

Sol.: Essa questo foi a mais atpica j elaborada pela Esaf (ou por qualquer outra mesa)! Eu diria que foi uma grande viagem do elaborador... Saibam que esta questo foi causa de muita polmica, e que nunca mais, depois de 1998 (e nem antes!), se viu algo parecido em prova.



Dem uma olhadinha de novo na curva assimtrica esquerda:

Agora imagine que a linha horizontal a linha do tempo, e que a linha vertical a produtividade que uma pessoa atinge, numa tarefa manual especfica que exige alguma habilidade.

Vamos soltar a imaginao! (Isso muito necessrio, diante de uma questo como esta!).

Imagine que a atividade fazer croch. Voc j deu uns pontos de croch na vida? Possivelmente no! Nem eu!

Pois bem! Imagine que h um grupo de pessoas que nunca fez croch na vida, e que essas pessoas recebem um curso relmpago de cinco minutos. E cada uma comea o seu trabalho manual. Ora, diante desta situao, vocs imaginam que a maior parte destas pessoas vai levar pouco tempo ou vai levar muito tempo para desenvolver um pouco mais a habilidade e, assim, alcanar uma produtividade melhor? Obviamente que levar muito tempo.

o que est retratado na curva acima a assimtrica esquerda. Vejamos:

Esta rea marcada em vermelho a maior sob a curva, e representa a maior parte das pessoas daquele grupo, as quais iro gastar mais tempo (vejam que a rea est direita do eixo horizontal) para atingir uma produtividade maior (maior altura da curva).

Bem! Essa, pelo menos, foi a minha maneira de interpretar a questo.

Muita gente boa no conseguiu acertar. E soube at de professores com PhD que tentaram anular esta questo, e no conseguiram!

Eu costumo dizer a meus alunos presencias que esta no uma questo para se preocupar. Por qu? Pela sua atipicidade! Cai uma vez em mil anos.

Ok?

Sigamos adiante!



12. (AFTN-94) Assinale a alternativa correta: Sol.: Vou comentar item por item. a) Toda medida de posio ou de assimetria um momento de uma varivel aleatria.

As medidas estatsticas que se confundem com frmulas de Assimetria so a Mdia Aritmtica (que igual ao primeiro momento simples) e a Varincia (que igual ao segundo momento centrado na mdia aritmtica). O item est, portanto, errado! .

b) A mdia aritmtica uma medida de posio, cuja representatividade independe da variao da varivel, mas depende do grau de assimetria da distribuio de freqncia. A mdia aritmtica depende da variao da varivel. Ou seja, se algum modificar o valor de um s elemento do conjunto, o valor da mdia j ter sido tambm alterado! Errado o item.

c) Em qualquer distribuio de freqncia, a mdia aritmtica mais representativa do que a mdia harmnica. Em algumas situaes muito especficas, a mdia harmnica , em tese, mais representativa que a mdia aritmtica. O item est errado!

d) A soma dos quadrados dos resduos em relao mdia aritmtica nula. Errado! A soma dos quadrados um valor mnimo!

e) A moda, a mediana e a mdia aritmtica so medidas de posio com valores expressos em

reais que pertencem ao domnio da varivel a que se referem. Correto! Traduzindo o que diz este item: os valores da mdia, moda e mediana estaro sempre variando entre o menor e o maior elemento do conjunto! S isso!

13. (AFTN-94) Indique a opo correta: Sol.: De novo, comentarei cada item. a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuio de freqncia, menor do que o

coeficiente de curtose. No existe nenhuma relao entre as medidas de assimetria e de curtose! Item incorreto!

b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuio de freqncia, um real no intervalo [-3, 3]. Esta limitao inexiste. Item elaborado para pegar franco-atiradores! Errado!

c) O coeficiente de curtose, em uma distribuio de freqncia, igual a trs vezes o quadrado da varincia da distribuio. Outro absurdo! O que ele sugere que C=3.(S2)2. Sabemos que, na verdade: C=m4/S4.

d) O coeficiente de curtose igual a trs em uma distribuio normal padro.

Correto! Esta a interpretao da frmula do ndice momento de curtose! E se for maior que 3, ser leptocrtica, e se for menor que 3 ser platicrtica!

e) Em uma distribuio simtrica, o coeficiente de curtose nulo.

J foi dito na questo anterior: inexiste relao entre assimetria e curtose! 14. (AFTN-98) Assinale a opo correta. a) Para qualquer distribuio amostral, se a soma dos desvios das observaes relativamente mdia for negativa, a distribuio amostral ter assimetria negativa. A soma dos desvios em relao mdia jamais poder ser negativa! Diz a propriedade da mdia que esta soma ser sempre igual a zero! Item incorreto!



b) O coeficiente de variao uma medida que depende da unidade em que as observaes amostrais so medidas. O Coeficiente de Variao, CV, adimensional. Ou seja, independe da unidade da varivel. Item errado! c) O coeficiente de variao do atributo obtido pela subtrao da mdia de cada observao e posterior diviso pelo desvio padro no est definido. a opo correta! O texto deste item pssimo! Leva-se muito tempo at se atingir a compreenso perfeita do que dito aqui. O item sugere uma transformao da varivel, em que as operaes de transformao so as seguintes: 1) Subtrair da mdia; 2) Dividir pelo desvio padro. O desenho de transformao o seguinte:

1)- X 2)Sx

Xi Yi Assim, se partirmos do lado da varivel X com a mdia X , qual ser a mdia a qual

chegaremos na varivel Y? Teremos:

XX =0 0 Sx = 0 Ou seja, teremos que Y =0. Qual seria, ento, o valor do coeficiente de variao de Y?

Temos que: CVy=Sy/Y Ora, j sabemos que o denominador nulo. Logo, o CVy no est definido!

isso que est sendo dito neste item, que est, pois, correto!

d) Para qualquer distribuio amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observaes amostrais estaro compreendidas entre a mdia menos dois desvios padres e a mdia mais dois desvios padres. H dois erros neste texto. 1) a propriedade visual do desvio padro (de que trata este item) no se aplica para qualquer distribuio. 2) a referida propriedade trata apenas de uma aproximao, e no de exatido! e) As distribuies amostrais mesocrticas em geral apresentam cauda pesada e curtose excessiva. Mesocrtica a situao intermediria de curtose. Quem apresenta cauda pesada e curtose excessiva a curva platicrtica! 15. (AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo d a distribuio de freqncias de um atributo X para

uma amostra de tamanho 66. As observaes foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqncias 4-9 5 9-14 9 14-19 10 19-24 15 24-29 12 29-34 6 34-39 4 39-44 3 44-49 2



Sabe-se que o desvio padro da distribuio de X aproximadamente 10. Assinale a opo que d o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que baseado na mdia, na mediana e no desvio padro. a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610 b) 0,191 d) 0,603 Sol.: Precisaramos aqui identificar qual foi a frmula pedida pelo enunciado, para o clculo da Assimetria! Ora, o enunciado at que foi muito claro: tem que ser aquela frmula na qual constaro a Mdia, a Mediana e o Desvio-Padro. Trata-se, obviamente, do 2 Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado pelo seguinte: ( )

SMdXA = 3

Temos que o enunciado j nos forneceu o valor do denominador (S=10). Resta-nos, pois, calcular duas medidas: a Mdia e a Mediana! Comecemos pela Mdia:

Classes fi PM ( ) YiPM =

55,6

fi.Yi

4-9 5 6,5 0 0 9-14 9 11,5 1 9 14-19 10 16,5 2 20 19-24 15 21,5 3 45 24-29 12 26,5 4 48 29-34 6 31,5 5 30 34-39 4 36,5 6 24 39-44 3 41,5 7 21 44-49 2 46,5 8 16

=213

Calculando a Mdia da varivel transformada Y , teremos:

Y = 227,366213 =

Da, fazendo as operaes do caminho de volta da transformao da varivel, teremos: 3,227 x 5 = 16,14 16,14 + 6,5 = 22,64 Da: Mdia = 22,64 Passando ao clculo da Mediana, faremos: (n/2)=33. Construiremos a coluna da fac, e compararemos seus valores com o resultado da frao (33). Teremos:

Classes Fi Fac 4-9 5 5 5 maior ou igual a 33? NO! 9-14 9 14 14 maior ou igual a 33? NO! 14-19 10 24 24 maior ou igual a 33? NO! 19-24 15 39 39 maior ou igual a 33? SIM! 24-29 12 51 29-34 6 57 34-39 4 61 39-44 3 64 44-49 2 66



Da, faremos o desenho que nos ajuda a formar a regra de trs, para descobrirmos o valor da Mediana. Teremos: 5 (=24-19) X 19 Md 24 24 33 39 9 15 (=39-24) Da, compondo nossa regra-de-trs, teremos:

9155 X=

Da:

X=(5x9)/15 X=45/15 X=3,00 Da: Md=22,00

Agora, aplicando a equao da Assimetria, teremos: ( )

1000,2264,223 =A A=0,191 Resposta!

AFRF 2005 ESTATSTICA BSICA 16. Para dados agrupados representados por uma curva de freqncias, as diferenas entre os valores da mdia, da mediana e da moda so indicadores da assimetria da curva. Indique a relao entre essas medidas de posio para uma distribuio negativamente assimtrica. a) A mdia apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. b) A moda apresenta o maior valor e a mdia se encontra abaixo da mediana. c) A mdia apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda. d) A mdia, a mediana e a moda so coincidentes em valor. e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da mdia. Sol.: A ESAF cometeu dois enganos nesta questo: 1) A questo de Assimetria e este assunto no est mais presente no edital do concurso de AFRF, e 2) h duas alternativas corretas na questo. Vamos soluo! Numa distribuio assimtrica negativa temos a seguinte relao entre as medidas da mdia ( X ), mediana (Md) e moda (Mo).

X < Md < Mo Verificando as alternativas B e C, conclumos que ambas esto corretas!



17. Uma empresa verificou que, historicamente, a idade mdia dos consumidores de seu principal produto de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participao no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgao voltada para consumidores com idades mais avanadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuio:

Idade (X) Freqncia Porcentagem 18 - 25 20 40 25 - 30 15 30 30 - 35 10 20 35 - 40 5 10

Total 50 100 Assinale a opo que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte critrio de deciso:

se a diferena X - 25 for maior que o valor nx2 ,

ento a campanha de divulgao surtiu efeito, isto , a idade mdia aumentou; caso contrrio, a campanha de divulgao no alcanou o resultado desejado.

a) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 maior que nx2 =1,53.

b) A campanha no surtiu efeito, pois X -25=0 menor que nx2 =1,64.

c) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,1 maior que nx2 =1,41.

d) A campanha no surtiu efeito, pois X -25=0 menor que nx2 =1,53.

e) A campanha surtiu efeito, pois X -25=2,5 maior que nx2 =1,41.

Sol.: Para saber se a campanha surtiu efeito devemos efetuar o clculo de duas medidas: X e

x . Mas o que significam os smbolos X e x ? A ESAF esqueceu de defini-los. O smbolo X j bem conhecido nosso, aparece em diversas provas e livros, ele significa a mdia aritmtica. Mas o smbolo x , que normalmente representa o desvio padro populacional, no to conhecido e a ESAF tinha o dever de informar. Pela primeira vez a ESAF apresentou uma distribuio de freqncias em que as amplitudes das classes no so todas iguais. A primeira classe tem amplitude 7, enquanto as demais tm amplitude 5. Isso interfere um pouco na soluo da questo, como mostraremos adiante. Vamos ao clculo da mdia aritmtica X . A mdia aritmtica de uma distribuio de frequncias com classes dada pela frmula:

nxf

X ii= , onde: os xi so representados pelos pontos mdios das classes (PMi). os fi so as freqncias absolutas simples das classes. n o tamanho da amostra.



Nesta questo, j foi fornecida a coluna de freqncias fi. Desta forma, podemos imediatamente passar aos passos do clculo da Mdia.

1) Faremos a coluna dos pontos mdios (PMi)

Idade (X) fi xi (=PMi) 18 - 25 20 21,5 25 - 30 15 27,5 30 - 35 10 32,5 35 - 40 5 37,5

Total 50 2) Neste passo, poderamos aplicar a frmula da mdia aritmtica, porm a construo da coluna fi.xi exige multiplicaes um pouco trabalhosas, assim usaremos a varivel transformada para facilitar esses clculos. Alm do mais, essa varivel transformada vai simplificar bastante o clculo do desvio padro. A obteno da varivel transformada normalmente feita pela subtrao da varivel X por um ponto mdio qualquer da distribuio e posterior diviso do resultado pela amplitude da classe. Porm nesta questo nem todas as classes tem a mesma amplitude. Ento faremos somente a subtrao por um ponto mdio da distribuio. Sempre aconselhvel escolhermos um ponto mdio de uma das classes intermedirias da distribuio, ento escolheremos o ponto mdio da segunda classe, e chamaremos a varivel transformada de Z. A coluna zi ser construda abaixo.

Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi27,5 18 - 25 20 21,5 -6 25 - 30 15 27,5 0 30 - 35 10 32,5 5 35 - 40 5 37,5 10

Total 50

3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a mdia Z .

Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi27,5 fi.zi 18 - 25 20 21,5 -6 -120 25 - 30 15 27,5 0 0 30 - 35 10 32,5 5 50 35 - 40 5 37,5 10 50

Total 50 -20

4) Efetuaremos o clculo do Z :

=

nzf

Z ii.

Z =5020

Z =-0,4

5) Da relao entre Z e X, e do valor de Z , podemos obter X .

A relao que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte:

Z = X 27,5



A relao entre as mdias de Z e X obtida, simplesmente, substituindo-se X por X e Z por Z , devido s propriedades da mdia aritmtica. Teremos:

Z = X 27,5

Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z = - 0,4, teremos:

X = Z + 27,5 X = -0,4 + 27,5 X = 27,1

J obtivemos a mdia aritmtica X ! Para sabermos qual a alternativa correta, temos que calcular a diferena: ( X 25). Essa diferena igual a:

( X 25) = (27,1 25) = 2,1

Com este resultado, somente as alternativas A e C podem estar corretas. Para descobrir a nica alternativa correta teremos que proceder ao clculo do desvio-padro da varivel X.

Vamos ao clculo do desvio padro populacional ( x ).

O desvio padro a raiz quadrada da varincia. Desta forma, procederemos primeiramente ao clculo da varincia.

Frmula da varincia populacional: Vx = ( )

n xfxfn iiii2

21

Assim como no clculo da mdia, aqui tambm utilizaremos a varivel transformada Z=X-27,5 para facilitar os clculos da varincia. Ou seja, primeiramente encontraremos a varincia de Z para depois obtermos a varincia de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3 passo do clculo da mdia, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das colunas zi e fizi.

Idade (X) fi xi (=PMi) zi=xi27,5 fi.zi fi.zi2 18 - 25 20 21,5 -6 -120 720 25 - 30 15 27,5 0 0 0 30 - 35 10 32,5 5 50 250 35 - 40 5 37,5 10 50 500

Total 50 -20 1470

Efetuaremos o clculo da varincia de Z (VZ):

VZ = ( )

n zfzfn iiii2

21 VZ = ( )

50201470

501 2

VZ = [ ]1462501

VZ = 29,24



A relao que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte:

Z = X 27,5

Pela propriedade da soma e subtrao da varincia, temos que a varincia no se altera ao somarmos ou subtrairmos uma constante, da a varincia de X igual a varincia de Z:

VX = 29,24

Ao invs de calcularmos o desvio padro, que a raiz quadrada da varincia, melhor elevarmos ao quadrado a seguinte expresso dada no enunciado:

nx2

Elevando ao quadrado, teremos:

22

nx =

nx24

O termo 2x que aparece no numerador a prpria varincia, da qual j sabemos quanto seu valor. Assim, teremos:

22

nx =

nx24

= 50

24,294 = 2,34

J sabemos que as possveis alternativas corretas so a A e a C. A alternativa A afirma

que nx2 =1,53. Para que esta alternativa seja a correta necessrio que o quadrado de 1,53

seja igual a 2,34. Vamos testar!

(1,53)2 = 2,34

Teste positivo! Ento a alternativa correta a alternativa A!

18. Considerando-se os dados sobre os preos e as quantidades vendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, assinale a opo correta.

Produto I Produto II Ano

P11 Q11 P21 Q21 1 40 6 40 2 2 60 2 20 6

a) O ndice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nvel de preos dos dois produtos, enquanto o ndice de Paasche indica uma reduo de 50%. b) Os fatores de ponderao no clculo do ndice de Laspeyres so 80 para o preo relativo do produto 1 e 240 para o preo relativo do produto 2. c) O ndice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nvel de preos dos dois produtos, enquanto o ndice de Paasche indica uma reduo de 75%. d) Os fatores de ponderao no clculo do ndice de Paasche so 240 para o preo relativo do produto 1 e 80 para o preo relativo do produto 2.



e) O ndice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nvel de preos dos dois produtos, enquanto o ndice de Paasche indica uma reduo de 25%. Sol.: Esta um questo de Nmeros ndices que envolve o clculo dos ndices de Laspeyres e Paasche de preo. Frequentemente a ESAF coloca o clculo desses ndices em suas provas, ento esta questo no deve ter sido surpresa para os candidatos. As frmulas de Laspeyres e Paasche de preo tm a mesma forma, mudando somente os subscritos das quantidades dos produtos. O ndice de Laspeyres conhecido como mtodo da poca base, portanto consideraremos as quantidades da poca base. O ndice de Paasche conhecido como mtodo da poca atual, portanto consideraremos as quantidades da poca atual. A poca base o ano 1 e a poca atual o ano 2, pois os ndices indicados nas alternativas da questo mostram a evoluo de preos do ano 1 para o ano 2. Frmula de Laspeyres de preo:

La =

)()(

11

12

qpqp

Frmula de Paasche de preo:

Pa =

)()(

21

22

qpqp

Clculo do Laspeyres de preo: La=

11.111212

anonoIIdeqdeanonoIIdepreoanonoIdeqdeanonoIdepreoanonoIIdeqdeanonoIIdepreoanonoIdeqdeanonoIdepreo

++

Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da frmula de Laspeyres, obteremos:

La = 240640220660

++

= 24642266

++

= 3240

= 45

= 1,25 = 125%

Este resultado indica que houve um aumento de preos de 25% (=125%-100%). Clculo do Paasche de preo: Pa=

21.212222.

anonoIIdeqdeanonoIIdepreoanonoIdeqdeanonoIdepreoanonoIIdeqdeanonoIIdepreoanonoIdeqdeanonoIdepreo

++

Substituindo os valores fornecidos na tabela dentro da frmula de Paasche, obteremos:

Pa = 640240620260

++

= 64246226

++

= 3224

= 43

= 0,75 = 75%

Este resultado indica que houve uma variao de preos de -25% (=75%-100%), ou seja, uma reduo de 25%. De acordo com estes resultados dos ndices de Laspeyres e Paasche a alternativa correta a alternativa E.



19. Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registraram-se os seguintes salrios mensais (em salrios mnimos):

Identificao do casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salrio do marido (Y) 30 25 18 15 20 20 21 20 25 27 Salrio da esposa (X) 20 25 12 10 10 20 18 15 18 23

Sabe-se que:

Assinale a opo cujo valor corresponda correlao entre os salrios dos homens e os salrios das mulheres. a) 0,72 b) 0,75 c) 0,68 d) 0,81 e) 0,78 Sol.: Esta questo uma simples aplicao da frmula do Coeficiente de Correlao (r) que dada por:

r =

( )( )( ) ( )

nY

YnX

X

nYX

YX

ii

ii

iiii

22

22

Substituindo os valores fornecidos na questo dentro da frmula da correlao, teremos:

r = ( )( )

( ) ( )102215069

101713171

102211713940

22

Resolvendo, vem:

r =

10488415069

10292413171

10377913940

r = 1,488450691,29243171

1,37793940

r = 9,1849,246

9,160

r = 9,1849,246

9,160



r 45652161

Neste ponto, temos que calcular a raiz quadrada de 45652. Vamos ach-la na base da tentativa: 1002 = 10.000 (< 45652) 2002 = 40.000 (< 45652) 2102 = 44.100 (< 45652) 2202 = 48.400 (> 45652) Da, a raiz quadrada de 45652 um valor entre 210 e 220. Usaremos esses dois valores para encontrarmos o coeficiente de correlao (r): Usando o valor de 210 como raiz quadrada de 45652, teremos: r =

210161

r = 766,0 Usando o valor de 220 como raiz quadrada de 45652, teremos: r =

220161

r = 73,0 A partir destes dois resultados, conclumos que o coeficiente de correlao linear est entre 0,73 e 0,766, e, portanto, a alternativa correta a alternativa B.

20. Assinale a opo que expresse a relao entre as mdias aritmtica ( X ), geomtrica (G) e harmnica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn): a) G H X , com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. b) G X H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais. c) X G H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. d) H G X , com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. e) X H G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. Sol.: Esta foi a questo mais fcil da prova, pois bastava conhecer a propriedade conjunta das mdias aritmtica, geomtrica e harmnica para acertar a questo. Esta propriedade j havia sido exigida recentemente na prova de Fiscal da Bahia, elaborada pela FCC, mas na ESAF nunca havia sido cobrada. E eu sempre aviso em sala de aula, que no importante saber as frmulas da mdia geomtrica e harmnica, pois nunca foram objeto de prova, mas sim a propriedade conjunta dessas mdias. A propriedade de que lhes falo a seguinte: Para um conjunto de valores positivos a mdia aritmtica maior ou igual a mdia geomtrica que por sua vez maior ou igual a mdia harmnica. E a igualdade s ocorre se os n valores forem todos iguais. Portanto, a alternativa correta a D. 21. De posse dos resultados de produtividade alcanados por funcionrios de determinada rea da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratgia: aqueles funcionrios com rendimento inferior a dois desvios padres abaixo da mdia (Limite Inferior - LI) devero passar por treinamento especfico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionrios com rendimento superior a dois desvios padres acima de mdia (Limite Superior - LS) sero promovidos a lderes de equipe.



Indicador Freqncia

0 - 2 10 2 - 6 20 4 - 6 240 6 - 8 410 8 - 10 120 Total 800

Assinale a opo que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos. a) LI = 4,0 e LS = 9,0 b) LI = 3,6 e LS = 9,4 c) LI = 3,0 e LS = 9,8 d) LI = 3,2 e LS = 9,4 e) LI = 3,4 e LS = 9,6 Sol.: Aqui ocorre mais um erro da ESAF, a 2 classe da distribuio de freqncias 2 - 4 e no 2 - 6 como est escrito acima. Para encontrarmos a alternativa correta devemos obter a mdia e o desvio padro da distribuio. Usaremos a varivel transformada na obteno dessas duas medidas. Vamos ao clculo da mdia aritmtica X . A mdia aritmtica de uma distribuio de frequncias com classes dada pela frmula:

nxf

X ii= , onde: os xi sero representados pelos pontos mdios das classes (PMi). os fi so as freqncias absolutas simples das classes. n o tamanho da amostra.

Nesta questo, j foi fornecida a coluna de freqncias fi. Desta forma, podemos

imediatamente passar aos passos do clculo da Mdia.

1) Faremos a coluna dos pontos mdios (PMi)

Indicador fi xi (=PMi) 0 - 2 10 1 2 - 4 20 3 4 - 6 240 5 6 - 8 410 7 8 - 10 120 9 Total 800

2) Construo da coluna da varivel transformada Z. Como todas as classes possuem a mesma amplitude, ento faremos o clculo usual da varivel transformada, ou seja, a varivel transformada Z obtida pela subtrao da varivel X por um ponto mdio qualquer da distribuio e posterior diviso do resultado pela amplitude da classe. Sempre aconselhvel escolhermos um ponto mdio de uma das classes intermedirias da distribuio, ento escolheremos o ponto mdio da terceira classe.



Indicador fi xi

(=PMi) zi=xi-5

2 0 - 2 10 1 -2 2 - 4 20 3 -1 4 - 6 240 5 0 6 - 8 410 7 1 8 - 10 120 9 2 Total 800

3) Faremos a coluna do (fi.zi) para obter a mdia Z .

Indicador fi xi (=PMi)

zi=xi-5 2

fi.zi

0 - 2 10 1 -2 -20 2 - 4 20 3 -1 -20 4 - 6 240 5 0 0 6 - 8 410 7 1 410 8 - 10 120 9 2 240 Total 800 610

4) Efetuaremos o clculo do Z :

nzf

Z ii= . Z =800610

Z = 0,7625

5) Da relao entre Z e X, e do valor de Z , obteremos o X . A relao que estabelecemos entre Z e X no segundo passo foi a seguinte:

Z = X 5 2 A relao entre as mdias de Z e X facilmente obtida, simplesmente substituindo-se X

por X e Z por Z , devido s propriedades da mdia aritmtica. Teremos:

Z = X 5 2 Isolando o valor de X e substituindo o valor que encontramos para Z =0,7625, teremos:

X = 2. Z + 5 X = 2 . 0,7625 + 5 X = 6,525

Acabamos de encontrar a mdia aritmtica X ! Esta medida deve ser o ponto mdio do intervalo de limite inferior LI e limite superior LS. Por esse motivo, as alternativas C e D j podem ser descartadas.

Passaremos ao clculo do desvio padro da distribuio.

O desvio padro a raiz quadrada da varincia. Portanto, primeiramente procederemos ao clculo da varincia. Pelo enunciado da questo notamos que a distribuio no uma amostra e, portanto, usaremos a frmula da varincia populacional:

Vx = ( )

n xfxfn iiii2

21



Assim como no clculo da mdia, aqui tambm utilizaremos a varivel transformada Z=(X-5)/2 para facilitar os clculos de obteno da varincia. Ou seja, primeiramente encontraremos a varincia de Z para depois obtermos a varincia de X. Aproveitaremos a tabela feita no 3 passo do clculo da mdia, acrescentando a coluna fizi2 que pode ser obtida pelo produto das colunas zi e fizi.

Indicador fi xi (=PMi)

zi=xi-5 2

fi.zi

fi.zi2

0 - 2 10 1 -2 -20 40 2 - 4 20 3 -1 -20 20 4 - 6 240 5 0 0 0 6 - 8 410 7 1 410 410 8 - 10 120 9 2 240 480 Total 800 610 950

Efetuaremos o clculo da varincia de Z (VZ):

VZ = ( )

800610950

8001 2

VZ =

8

37219508001

VZ = [ ]125,4659508001

VZ = 80075,484

A relao que estabelecemos entre Z e X foi a seguinte:

Z = X 5 2 Pela propriedade da soma e subtrao da varincia, temos que a varincia no se altera ao somarmos (ou subtrairmos) uma constante. E pela propriedade do produto e diviso, temos que ao multiplicarmos (ou dividirmos) uma distribuio por uma constante, a varincia ficar multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da constante. Da, a relao entre as varincias de X e de Z a seguinte:

VZ = VX (2)2

Segue-se que: VX = 4.VZ

O valor de VX igual a: VX = 4. 80075,484

= 200

75,484 = 2,42

O desvio padro de X igual a raiz quadrada de 2,42. O valor desta raiz est entre 1,5 e 1,6, assim consideraremos que o desvio padro aproximadamente 1,55.

O limite superior, de acordo com o enunciado da questo, :

LS = X + 2.dp Substituindo os resultados que encontramos, teremos:

LS = X + 2.dp = 6,525 + 2 . 1,55 = 9,625

O limite inferior, de acordo com o enunciado da questo, :

LI = X - 2.dp



Substituindo os resultados que encontramos, teremos:

LI = X - 2.dp = 6,525 - 2 . 1,55 = 3,425

A alternativa que traz os valores corretos para os limites inferior e superior, com uma casa decimal, a alternativa E!

22. Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:

Produto A 39 33 25 30 41 36 37 Produto B 50 52 47 49 54 40 43

Assinale a opo que apresente os coeficientes de variao dos dois produtos: a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3% b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3% c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3% d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3% e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1% Sol.: O coeficiente de variao obtido pela diviso do desvio padro pela mdia aritmtica, ou seja:

XdpCV =

Essa a terceira questo da prova em que precisamos efetuar o clculo da mdia e do desvio padro. Clculo do CV do produto A. 1) Clculo da mdia dos pedidos do produto A.

39 33 25 30 41 36 37 Usaremos a frmula da mdia para um conjunto de valores:

nx

X i=

Da, 7

37364130253339 ++++++=AX = 34,4 2) Clculo do desvio padro dos pedidos do produto A. Primeiro calcularemos a varincia e, aps isso, tiraremos a raiz quadrada para encontrarmos o desvio padro. Subtrairemos os valores do produto A por uma constante, isso no afetar o valor da varincia e simplificar os clculos. Escolheremos um valor intermedirio do conjunto para ser essa constante. Veja abaixo os valores do produto A em ordem crescente.

25 30 33 36 37 39 41 Subtraindo todos os valores pela constante 33, obteremos:

-8 -3 0 3 4 6 8 De acordo com o enunciado, no h dvidas de que os dados apresentados so de uma amostra, e, portanto, usaremos a frmula da varincia amostral:



Vx = ( )

nx

xn

ii

22

11

Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatrios: ix e 2ix .

Xi Xi2

-8 64 -3 9 0 0 3 9 4 16 6 36 8 64

10 198

Da: Vx = ( )

710198

61 2

= 30,61

O desvio padro a raiz quadrada da varincia. Da, o desvio padro aproximadamente 5,53. 3) Clculo do CVA

O CVA dado por: A

AA

XdpCV =

Substituindo os valores da mdia e do desvio padro, teremos: 4,34

53,5=ACV Resolvendo, vem: %1,16161,0 ==ACV Clculo do CV do produto B. 1) Clculo da mdia dos pedidos do produto B.

50 52 47 49 54 40 43

Da, 7

43405449475250 ++++++=BX = 47,9 2) Clculo do desvio padro dos pedidos do produto B. Primeiro calcularemos a varincia e, aps isso, tiraremos a raiz quadrada para encontrarmos o desvio padro. Subtrairemos os valores do produto B por uma constante, isso no afetar o valor da varincia e simplificar os clculos. Escolheremos um valor intermedirio do conjunto para ser essa constante. Veja abaixo os valores do produto B em ordem crescente.

40 43 47 49 50 52 54 Subtraindo todos os valores pela constante 47, obteremos:

-7 -4 0 2 3 5 7 Usaremos novamente a frmula da varincia amostral:



Vx = ( )

nx

xn

ii

22

11

Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatrios: ix e 2ix .

Xi Xi2

-7 49 -4 16 0 0 2 4 3 9 5 25 7 49 6 152

Da: Vx = ( )

76152

61 2

= 24,5

O desvio padro a raiz quadrada da varincia. Da, o desvio padro aproximadamente 4,95. 3) Clculo do CVB

O CVB dado por: B

BB

XdpCV =

Substituindo os valores da mdia e do desvio padro, teremos: 9,47

95,4=BCV Resolvendo, vem: %3,10103,0 ==BCV Resultados: O CVA = 16,1% e o CVB = 10,3% Resposta: alternativa B! As resolues destas ltimas questes, referentes prova do AFRF 2005, foram elaboradas conjuntamente por mim e pelo prof. Weber Campos, com quem divido a parceria em diversos Cursos Online e, agora tambm, no livro de Matemtica Financeira.

Como vocs puderam constatar, tratou-se de uma prova muitssimo trabalhosa e, em minha opinio, covarde. Sim! Covarde por qu? Porque no possibilitava o aluno resolv-la no tempo hbil.

isso! Com estas questes de hoje, ns encerramos os trabalhos do nosso Curso!

No tenho outras palavras a lhes dirigir, seno de um profundo agradecimento e de desculpas pelas vrias falhas cometidas! O intuito foi sempre o de acertar!

Espero, sinceramente, ter contribudo no seu processo de aprendizagem da Estatstica Bsica! E que esse conhecimento seja revertido em sucesso absoluto nos prximos concursos!

Nos veremos ainda nos prximos dias, nas perguntas do Frum. Ok?

Um forte abrao a todos! E fiquem com Deus!

Estatistica Regular 14

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