Estatística e Probabilidade

Aula 05

Distribuições de Probabilidades

Prof. Gabriel Bádue

Motivação

• Quais os possíveis resultados que poderão ser obtidos no lançamento de

um dado não-viciado? Qual a probabilidade de se obter uma dessas

faces?

• E se o dado for viciado, de tal modo que a chance de obter a face três é

cinco vezes que a chance de se obter as demais faces?

TeoriaDefinições

Uma variável aleatória é uma variável que tem um valor numérico único para cada

resultado de um experimento. Podem ser discretas ou contínuas.

Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável

aleatória.1. 𝑃 𝑥 = 1, ∀𝑥

2. 0 ≤ 𝑃 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥

𝜇 = 𝑥𝑃(𝑥)

𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2𝑃(𝑥)

𝜎2 = 𝑥2𝑃(𝑥) − 𝜇2

Exemplo 1

Determine se é dada uma distribuição de

probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua

média, variância e desvio-padrão.

a) Ao escolher aleatoriamente um colega de sela

condenado por dirigir alcoolizado (DWI), a

distribuição de probabilidade do número x de

sentenças anteriores em casos de DWI é dada na

tabela a seguir.

Exemplo 1

Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Em

caso afirmativo, determine sua média, variância e desvio-

padrão.

b) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem

distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com

números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a

distribuição de probabilidade do número x de mulheres

contratadas.

Exemplo 2

Ao apostar em um cassino R$5,00 no número 7 da roleta, tem-se uma

probabilidade de 1/38 de ganhar R$175,00 e uma probabilidade de 37/38 de

perder R$5,00. Qual é o valor esperado? Em um número muito grande de

apostas, quanto se perde para cada dólar apostado?

Exemplo 3

Verifique se a função a seguir é uma distribuição de probabilidade.

𝑃 𝑥 =1

2

𝑥, onde 𝑥 = 1, 2, 3, …

Teoria

Um experimento é chamado de binomial se satisfaz as

seguintes condições:

Comporta um número fixo de provas.

As provas são independentes.

Os resultados de cada prova são classificados entre duas

categorias.

As probabilidades devem permanecer constantes para

cada prova.

TeoriaSendo 𝑆 e 𝐹 a representação das duas possíveis categorias:

𝑃 𝑆 = 𝑝

𝑃 𝐹 = 1 − 𝑝 = 𝑞

onde, 𝑝 e 𝑞 representam as probabilidades de ocorrer 𝑆 e 𝐹 .

𝑛: número fixo de provas.

𝑥: número de sucessos em 𝑛 provas.

𝑝: probabilidade de sucesso em uma das 𝑛 provas.

𝑞: probabilidade de falha em uma das 𝑛 provas.

𝑃 𝑥 : a probabilidade de ter 𝑥 sucessos em 𝑛 provas.

Teoria

𝑃 𝑥 =𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

Caso 1Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

Caso 2Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

Teoria

𝜇 = 𝑛𝑝

𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞

Caso 1Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

Caso 2Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

Exemplo 4

Suponha que os nascimentos de menino e menina sejam igualmente prováveis

e que o nascimento de qualquer criança não afete a probabilidade do sexo do

próximo nascituro. Determine a probabilidade de:

a) Exatamente 4 meninas em 10 nascimentos.

b) Ao menos 4 meninas em 10 nascimentos.

c) Exatamente 8 meninas em 20 nascimentos.

Exemplo 5

Vários estudantes não estão preparados para um teste do tipo V ou F com 25

questões, e todos eles decidem responder “por palpite”. Determine a média e o

desvio-padrão do número de respostas corretas para cada estudante.