ETEP - Unidade Esplanada – São José dos Campos Av. Barão do Rio Branco, 882 – 12242 800 – www.etep.edu.br Curso: Engenharia - 2º Trimestre Data: _____/_____/ 2011 Disciplina: Álgebra Linear- Prof. Denilson P Souza Santos - Turma: _____ Aluno: ____________________________________________ R.A.: _________

Estudo Dirigido I 1) Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. Um dia, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas desses três tipos de arranjos. a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima. b) Quantos arranjos de cada tipo ela fez? Resolva pelo Método da Inversa. Resp: 2, 3, 4 2) O seguinte problema faz parte do texto chinês Jiuzhang suanshu (Nove capítulos em arte matemática), escrito durante a Dinastia de Han, cerca de 200 anos a.C.: Há três tipos de milhos. Três feixes do primeiro tipo, dois do segundo e um do terceiro fazem 39 medidas. Dois feixes do primeiro tipo, três do segundo e um do terceiro fazem 34 medidas. Um feixe do primeiro tipo, dois do segundo e três do terceiro fazem 26 medidas. a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima. b) Quantas medidas de milho há em um feixe de cada tipo? Use somente uns dos métodos apresentados em sala de aula para resolver o problema. Resp: 9,25; 4,25 e 2,75 3) A adição de funções racionais (quociente de polinomiais) obtida através de uma escolha de um denominador comum, é feita de modo análogo à adição de números racionais. O processo reverso, de separar uma função racional escrevendo-a como uma soma de funções racionais simples, é útil em muitas áreas da matemática; por exemplo, aparece em cálculo diferencial e integral quando precisamos integrar uma função racional, e em matemática discreta, quando usamos funções geradoras para resolver relações de recorrência. A decomposição de uma função racional como soma de frações parciais leva a uma sistema de equações lineares. Encontre os valores de A, B e C que tornem a equação uma identidade.

a)

( )( )

( )

( )

Resp: A = -7/5, B = 4/5 e C = 3/5 Sugestão: Multiplique ambos os lados por (3x-1)(x²-1) e iguale os coeficientes correspondentes dos polinômios obtidos em ambos os lados da equação resultante.

b)

( )

( ) Resp: A = 1 e B = 2.

c)

( )

( )

4) Sabemos, da geometria elementar, que existe uma única reta que passa por dois pontos distintos de um plano. É menos conhecido o fato de que existe uma única parábola que passa por quaisquer três pontos não colineares de um plano. Para cada conjunto de pontos a seguir, encontre a parábola com a equação da forma y = ax²+bx+c que passe pelos pontos dados. (Esboce a parábola resultante para conferir a validade da resposta). a) (0,1), (-1,4) e (2,1) Resp: y = x² -2x + 1 b) (-3,1), (-2,2) e (-1,5) Resp: y = x² + 6x + 10 5) Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada bactéria consome certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela abaixo. a) Encontre o sistema que equacione a tabela abaixo.

Bactérias da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III

Alimento A 2 2 4

Alimento B 1 2 0

Alimento C 1 3 1

b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver o problema) Resp: x = 100, y = 350 e z = 350 6) Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela abaixo.

Bactérias da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III

Alimento A 1 1 1

Alimento B 1 2 3

Alimento C 1 3 5

a) Encontre o sistema que equacione o problema. b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver o problema) c) Existe alguma solução que satisfaça a equação 2x+y + z = 1000? (onde x =bactéria I, y = bactéria II e z = Bactéria III) Resp: x = z, y = 1500 - 2z e 0 < z > 750.

7) Três proprietários de casas – um pedreiro, um eletricista e um hidráulico pretendem fazer consertos em suas três casas. Eles concordam trabalhar um total de 10 dias cada de acordo com a seguinte tabela:

Dias de Trabalho na casa do Trabalho executado pelo

Pedreiro Eletricista Hidráulico

Pedreiro 2 1 6

Eletricista 4 5 1

Hidráulico 4 4 3

Para efeitos de impostos, eles devem declarar e pagar um ao outro um salário diário razoável, mesmo para o trabalho que cada um faz em sua própria casa. Seus salários diários normais são cerca de R$100,00, mas eles concordam em ajustar seus respectivos salários diários de tal modo que saiam empatados, ou seja, de tal modo que o total pago por cada um é igual ao total recebido. Para satisfazer a condição de “equilíbrio” de que saiam empatados, nós exigimos que total dos gastos _ total recebido para cada um dos proprietários pelo período de 10 dias. 8) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Sabendo que qualquer mochila custa R$20,00, calcule o preço pago por um par de meias e um conjunto de roupas íntimas.

Produtos

Preço(R$) Mochila

Pares de meias

Conj. de roupas íntimas

Camisetas Jeans

Tipo 1 2 2 4 2 250,00

Tipo 2 2 2 3 1 180,00

Tipo 3 3 3 5 3 345,00

Tipo4 2 2 2 1 160,00

9) As reações químicas estão presentes em muitos fenômenos naturais e o químicos para compreendê-las , representam tais reações por equações químicas, sendo que algumas precisam ser balanceandas, ou seja, verificar se o número de átomos dos reagentes antes da reação é igual ao número de átomos dos produtos. Humphry Davy, no início do século XIX, aproveitou a invenção da pilha de Alessando Volta para mostrar que a água é formada por dois gases que receberam o nome de hidrogênio e oxigênio e como o volume de Hidrogênio era duas vezes maior que o de oxigênio, Davy concluiu que

É claro que se os coeficientes na equação química acima fosse , e ao invés de , e a equação também estaria balanceada, mas isto seria redundante, por isso adotamos a regra que os coeficientes na equação química devem ser os menores inteiros positivos. Algumas reações químicas são facilmente balanceadas, por exemplo a reação química

exibida na imagem acima encaixa nesse caso, mas algumas são um pouco mais complicadas.

Dado a equação abaixo faça o balanço estequiométrico da equação utilizando sistemas lineares

1 – Determine o Sistema Linear associado ao problema; 2 – Resolva pelo método apropriado; 3 – Encontre uma solução quimicamente apropriada;