Etapas da realização dos trabalhos de LEQ IV Listagem de variáveis Variáveis independentes Nº...

Etapas da realização dos trabalhos de LEQ IV

• Listagem de variáveis

• Variáveis independentes• Nº de medições • Estimativa dos valores médios e erros associados

• Variáveis dependentes• Relação entre as variáveis• Nº de ensaios• Nº de pontos das rectas• Erros associados

• Tabelas de Registo

Relatório

LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003 1

Realização do trabalho de laboratório

Preparação do trabalho de laboratório(pré-relatório)

2

Erros em Laboratórios de QuímicaDefiniçõesParâmetros estatísticos fundamentaisEstimativa da dispersão dos resultados Critério da rejeição de valoresPropagação de erros

Análise de RegressãoRegressão LinearRegressão QuadráticaRegressão MúltiplaAnálise de Variância

Programação de EnsaiosEscolha de equipamentoVariáveis independentesVariáveis dependentes

LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

DefiniçõesRÉPLICAS são valores de variáveis obtidos nas mesmas condições experimentais e sobre a mesma amostra.

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS de um número são os algarismos não duvidososREGRA 1 - todos os valores numéricos devem possuir um número de algarismos significativos de modo a que o último seja duvidoso.REGRA 2 - Arredondamentos:a) 0.1273 0.127

0.1276 0.128b) 37.975 37.98

37.985 37.98

PRECISÂO Concordância entre os resultados obtidos por aplicação do mesmo procedimento de ensaio várias vezes em materiais idênticos, em condições definidas (ISO 3534).

EXATIDÂO Exprime a concordância entre o valor obtido e o valor convencionalmente aceite como verdadeiro (ISO 3534).

REPETIBILIDADE refere-se à precisão obtida nas mesmas condições (mesmo laboratório, mesmo operador e equipamento, durante um curto intervalo de tempo

REPRODUTIBILIDADE refere-se à precisão obtida fazendo variar as condições (diferentes laboratórios, operadores, equipamentos e/ou tempos).

Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

Erros em Laboratórios de Química

3

TENDÊNCIA (BIAS) é a medida dos erros sistemáticos associados a um determinado ensaio ERROS CONSTANTES erros que são independentes do tamanho da amostra a ser analisada

ERROS PROPORCIONAIS variam em proporção com o tamanho da amostra

MATERIAL DE REFERÊNCIA Material ou substância com uma (ou mais) propriedade suficientemente bem estabelecida para ser usado na calibração de um equipamento, avaliação de um método de medida, ou atribuição de valores a materiais

RESULTADOS ABERRANTES provocados por erros aleatórios com um valor elevado, sendo estes resultados eliminados e não provocando distorção no valor médio.

INCERTEZA parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão de valores que se pode razoavelmente atribuir à grandeza medida

4Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

ERROS ALEATÓRIOS caracterizam-se por os valores obtidos nas réplicas se distribuirem em torno de um valor central. Os erros aleatórios determinam a reprodutibilidade dos ensaios e consequentemente a sua precisão

ERRO SISTEMÁTICO provoca a tendência dos valores lidos para valores superiores ou inferiores ao valor real. Em contraste com os erros aleatórios, os erros sistemáticos podem ser eliminados se se conhecerem as suas causas. Estão relacionados com a exactidão dos resultados.

Exemplos: Instrumentais (efeito da temperatura nos recipientes de vidro; acerto do zero na calibração de um aparelho)

Métodos (titulações, sistemas não ideais)Pessoais (erro do volume, erro de leitura da escala do

aparelho)

GRAUS DE LIBERDADE são uma medida da garantia envolvida quando o desvio padrão duma amostra é utilizado para determinar o desvio padrão da população.

É calculado como a diferença entre o número de determinações utilizado no cálculo do desvio padrão - s(n) e o número de constantes estabelecidas a partir dos dados para o cálculo de s


e

xe

- verdadeiro valor da grandeza

x - valor medido

ERRO ABSOLUTO é a diferença entre o valor obtido e o valor convencionalmente aceite como verdadeiro

ERRO RELATIVO é a razão entre o erro absoluto e o verdadeiro valor da grandeza (normalmente expresso em módulo e em %)

/e

xe

xeeexe

100xe(%) relativo erro


x

MÉDIA - quando se realizam um conjunto de n medições sobre a mesma amostra, a média aritmética é definida como a razão da soma das medições pelo número de medições efectuadas

n

xx

n

ii

n - nº de medições

- valores observadosix

Parâmetros Estatísticos Fundamentais

Qualquer valor aberrante no conjunto anterior deve ser analisado utilizando o CRITÉRIO DE REJEIÇÃO DE VALORES

MEDIANA- valor situado no centro, depois de ordenar o conjunto de medições de acordo com a sua magnitude (crescentes ou decrescentes)

MODA- valor mais frequente de um conjunto de medidas


1

2

n

xxs i

i

x

DESVIO-PADRÃO avalia a dispersão dos resultados em torno do valor médio

Estimativa da dispersão dos resultados

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (IUPAC) parâmetro estatístico independente das unidades de medida

100xsCV(%) x

n

stx xnGL ).;( 9501

INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA(erro do valor médio)

n=número de medições utilizadas no cálculo do valor médio


Nível de confiança

Resultadon m. Cereal (g) V. Cereal (mL)ap(Kg/m3)

1 190,75 240 794,79172 177,88 222 801,26133 175,69 220 798,59094 173,71 220 789,59095 207 250 8286 152,74 190 803,89477 171,32 210 815,8095

DADOS

Exemplo 1: Determinação da densidade do cereal

Coluna1

Média 804,5627Erro-padrão 4,981952Mediana 801,2613Moda #N/DDesvio-padrão 13,18101Variância da amostra 173,7389Curtose 0,451476Assimetria 0,994316Intervalo 38,40909Mínimo 789,5909Máximo 828Soma 5631,939Contagem 7Nível de confiança(95,0%) 12,19041

Ferramentas Análise de Dados Estatística descritiva

Excel


Baseado no t de Student

Temos n determinações, por ex. n = 5

1º Calculamos a média com os 5 valores

2º Verificamos qual é o valor mais afastado, e testamos o valor que apresenta o maior desvio, por ex. x4

3º Calculamos a média sem o valor teste

4º Calculamos o desvio padrão e o intervalo de confiança para o valor em teste

5º Verificamos se o valor em causa pertence ao intervalo (se pertencer não se rejeita)

54321 xxxxx ,,,,

554321 /)( xxxxxx

)( ixxD

453214 /)( xxxxx

14

4

1

2

i

i

x

xxs xstxx 4

Critério da Rejeição de Valores


Exemplo 2: Aplicação do critério de rejeição de valores a pontos aberrantes 1

º

2º

Coluna1

Média 13,44285714Erro-padrão 0,501833373Mediana 13,7Moda #N/DDesvio-padrão 1,327726306Variância da amostra 1,762857143Curtose 0,234252106Assimetria 0,190061822Intervalo 4,1Mínimo 11,5Máximo 15,6Soma 94,1Contagem 7Nível de confiança(95,0%) 1,227942927

3º e 4º

= INVT(0.05;5) x Desvio-padrao = 2.608

5º

xstxx

Coluna1

Média 13,08333Erro-padrão 0,41426Mediana 13,3Moda #N/DDesvio-padrão 1,014725Variância da amostra 1,029667Curtose -0,65957Assimetria -0,66027Intervalo 2,7Mínimo 11,5Máximo 14,2Soma 78,5Contagem 6Nível de confiança(95,0%) 1,064887

n Vel de transp (m/s)1 13,72 12,93 13,84 15,65 14,26 12,47 11,5

DADOS

0,257142857-0,5428571430,3571428572,1571428570,757142857

-1,042857143-1,942857143

)( ixxD


69154810615 .;..

xst

São conhecidos os valores mais prováveis para as variáveis medidas directamente e os erros respectivos, ou foram determinados a partir de conjuntos de valores experimentais.

substituindo dqi por

LEI DA PROPAGAÇÃO DOS ERROS

ADIÇÕES ALGÉBRICAS Soma dos Erros Absolutos

QUOCIENTES E MULTIPLICAÇÕES Soma dos Erros Relativos

Propagação dos erros

nqqqfQ ,....,, 21 .....,, 222111 qquqqu

nn

dqqfdq

qfdq

qfdQ

......22

11

iq

nn

qqfq

qfq

qfQ

......2

21

1

nn qa...qaqaQ 2211

n

nn q

qnqqn

qqn

QQ

...

2

22

1

11

nnnn

nn qa...qaqaQ 212211

em que

nn qaqaqaQ ...2211


Exemplo 3: Determinação do erro na medição da densidade de um sólido

m. Cereal (g) V. Cereal (mL)0,05 1

ERROS

Soma dos Erros Relativos

%..

.v

Δvm

Δmρ

Δρ

m/vρap

40

1002401

75190050100

Resultadon m. Cereal (g) V. Cereal (mL) ap(Kg/m3)

1 190,75 240 794,7916667

DADOS


i) Regressão simples (linear)

bXaY Y - DependenteX - Independente

A)Recta de Calibração B) nº Octanas vs % Impurezas

C

A

% Imp.

Nº Oct.

ii) Regressão MúltiplaY - Dependente, X1, X2, X3, ....... Xn, - Independentes

Y a a X a X a Xn n 0 1 1 2 2 .......

ii) Regressão PolinomialY - Dependente, X- Independente

Y a a X a X a Xnn 0 1

12

2 .......

Análise de Regressão

14Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

A) Cada valor de X um valor de Y

B) Cada valor de X m valores de Y

X1 Y1

X2 Y2

X3 Y3

Xn Yn

X1 Y1(1) Y1

(2) Y1(3) ...Y1

(m)

X2 Y2(1) Y2

(2) Y2(3) ...Y2

(m)

X3 Y3(1) Y3

(2) Y3(3) ...Y3

(m)

Xn Yn(1) Yn

(2) Yn(3) ...Yn

(m)

C

A

C

A

Método dos Mínimos Quadráticos

Pressupostos

i) valor médio dos erros é igual a zero

ii) os erros têm uma variância comum

iii) os erros são independentes

iv) Os valores de Yi para cada X têm uma distribuição normal

v) os valores de X têm um erro desprezável ou então nulo.

Regressão simples (linear)

Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003 15

Procedimentos na análise de regressão1) Perante um conjunto de valores determinar qual a variável resposta e quais as variáveis independentes. Determinar o erro associado a cada uma.2) Fazer a representação gráfica3) Calcular a equação (*)4) Fazer a análise de variância

Cálculo dos parâmetros da equação (*)

yyxxn

yxyxSS i

n

ii

n

ii

n

ii

i

n

iixy

1

11

1

Declive:

Y a bx

Ordenada na origem: xbya

com:

xx

xy

SSSS

b

2

1

2

1

1

2

n

ii

n

iin

ixx xx

n

xxSS

i

n = número de pontos da recta


Cálculo do intervalo de confiança

Do declive:

222

xx

stb

i

yxn /,

Da ordenada na origem:

2

2

22

xxn

xsta

i

iyxn /,

Do valor estimado de y, a partir de um dado valor de xk :

2

2

2211

xx

xxn

sti

kyxn /,

^

ky

2

22

n

yys calciyx

com:

-Variância da regressão linear

2xixfY

Observações:

n= número de pontos da recta

Quanto mais afastado de for o valor de xk, maior é o erro do yk.

x

icalc bxay


Valor estimado de x, a partir de um valor de y

bayxcalc /

bxay

Valor estimado de x:

Se houver p repetições: bayxcalc /

Intervalo de confiança do valor estimado de x:

22

2

2211

xxb

yynb

st

i

kyxncalc /,x

Se houver p repetições:

22

2

2211

xxb

yynpb

st

i

kyxncalc /,x

Y


Regressão Quadrática

2cxbxaY Cálculo dos Parâmetros

Método dos Mínimos Quadráticos (ISO 8466-2:1993)

Variância da regressão

3

2

2

n

yys

ii

y

^

em que: 2iii cxbxay

^

Teste de linearidade (ISO 8466-1:1993)

2

22

n

yys calciyx -Variância da regressão linear

Calcula-se 222 32 yyx snsnDS

Calcula-se 2

2

ysDSPG

Se PG < FGL1; GL2; 0.95 a função é linear

Se PG > FGL1; GL2; 0.95 a função é quadrática

,Graus Liberdade=1


Valor estimado de x, a partir de um valor de y

Curvatura positiva

Curvatura negativa

cya

cb

cbx

^^

2

22

cya

cb

cbx

^^

2

22

Intervalo de confiança do valor estimado de x:

^.;

^

xcb

tsx ny

2

9503


Exemplo 4: Curva de calibração do refractómetro

Padrão Fracção molar,xa Media1 0 1,4437 1,4438 1,4436 1,4438 1,4436 1,4436 1,4437 1,4436857142 0,32 1,4191 1,419 1,419 1,4190333333 0,43 1,4112 1,4109 1,411 1,4110333334 0,53 1,4028 1,4029 1,403 1,403 1,4029255 0,64 1,3946 1,3947 1,3947 1,3945 1,3945 1,39466 0,72 1,387 1,3856 1,3857 1,3858 1,3856 1,385947 0,82 1,3769 1,377 1,377 1,3769666678 0,91 1,3678 1,3677 1,3678 1,3679 1,3677 1,367789 1 1,3585 1,3586 1,3585 1,3587 1,3586 1,3586 1,3585 1,358571429

Leituras

Dados:

Teste de linearidade:

0752 Epolinomials y )(

068612 Elinears yx .)(

607886.F

05132 222 EsnsnDS yyx

202

2

ys

DSPG O ajuste é polinomial


Exemplo 4: Curva de calibração do refractómetro (cont.)

•Cálculo dos parâmetros da equaçãoy xa xa^2

1,443686 0 01,419033 0,32 0,10241,411033 0,43 0,18491,402925 0,53 0,28091,3946 0,64 0,40961,38594 0,72 0,5184

1,376967 0,82 0,67241,36778 0,91 0,8281

1,358571 1 1

Ferramentas Análise de Dados Regressão

Excel

SUMÁRIO DOS RESULTADOS

Estatística de regressãoR múltiplo 0,999718345Quadrado de R 0,999436769Quadrado de R ajustado 0,999249026Erro-padrão 0,000734032Observações 9


Exemplo 4: Curva de calibração do refractómetro (cont.)

Variável X 1 Desenho de residuais

-0,002

0

0,002

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Variável X 1

Resi

duai

s

Variável X 2 Desenho de residuais

-0,002

0

0,002

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Variável X 2

Resi

duai

s

Variável X 2 Desenho de linha ajustada

1,351,4

1,45

0 0,5 1 1,5

Variável X 2

Y

Y

Y previsto

23

ANOVAgl SQ MQ F F de significância

Regressão 2 0,0057 0,002868275 5323,4 1,78673E-10Residual 6 3E-06 5,39E-07Total 8 0,0057

Coeficientes Erro-padrão Stat t valor P 95% inferior 95% superiorInterceptar 1,443273282 0,0007 2051,472031 9E-19 1,441551803 1,44499476Variável X 1 -0,066835615 0,0028 -24,07249183 3E-07 -0,073629302 -0,060041928Variável X 2 -0,017518655 0,0026 -6,809492462 0,0005 -0,023813785 -0,011223526

Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

Regressão Múltiplaj

jjpp xbxb......xbxbbY 22110

Y

YY

Yn

1

2 x

x x x

x x x

x x x

p

p

n n pn

01 11 1

02 12 2

0 1

.........

.....

....

Determinação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadráticos

Y Yi calci

n 2

1

Y b b x b x b xi p pi

n0 1 1 2 2

2

1.....

b x x b x x b x x b x x x Y



p p

p p

p p p p p p p

0 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0

0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1

0 0 1 1 2 2

....

....

....

x x x

x x x x

x Y x Y

j j ji

j k ji ki

j ji i

2

B b b b bp' ........ 0 1 2


O sistema anterior pode ser descrito pelo produto de matrizesX’X B’=X’Y

X’X A= X’YSe X’X=A , X’Y=G vem que

AB’ = Gque se resolve:

B’ = A-1 G em que A-1 é a matriz inversa de X’X.

Intervalos de Indeterminação dos parâmetros bj

j j ij ii

nb ts x x

/

2

1

sY Yn pyxi calc

2

1

0 0 b ts nyx /


É uma medida da importância da relação entre duas variáveis

y xo 1

22yy.xx

yyxxr

ii

ii

Como o declive é dado por:

1 2

x x y y

x x

i i

i

rx x

y y

i

i

1

2

2

Observações:

r e o declive têm o mesmo sinalr 0 não existe relação entre x e y

Quanto mais próximo de 1 ou de -1 está o valor de r mais forte será a relação entre y e x

Análise de Variância • COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO


COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

y y

y yr

i

2

22

Observações:

· No geral pode-se dizer que quanto maior for r2 melhor o modelo proposto representa os dados experimentais.

0 12 r·

F r k

r n k

2

21 1/

/

TESTE DO F

n- nº de pontos experimentaisk - nº de parâmetros do modelo (excluindo ) O parâmetro F é tanto maior quanto maior for r2. Para uma determinada probabilidade pode-se dizer que o modelo não deve ser rejeitado quando:

0

F F k n k , 1•Além do teste do F deve-se examinar os desvios para ver se estão distribuidos aleatoriamente.•Todos estes testes podem também ser utilizados na regressão linear.

ANÁLISE DE VARIÂNCIA EM REGRESSÃO MÚLTIPLA


y y y y y yi i

2 2 2

GL n-1 n-2 1 Total Regressão Residual

Fonte

Residual

Regressão

Total

SS

y y2

y yi 2

y yi

2

GL

1

n-2

n-1

Variância

MQR y y /2

1

s y y nyx i

2 2 2 /

s y y ny i

22

1 /

F = MQR/ syx2

•Compara-se o valor de F calc (para um determinado nível de confiança) com o valor de F tabelado.

•Se F calc for maior F tab concluo que a recta é boa e que é melhor utilizar o valor de y estimado do que y médio

ANOVA (Modelo para Regressão Linear)


C

A

ANOVA (Modelo para Regressão Linear, medições sucessivas)

•Neste caso temos vários valores de y para cada valor de x:

222

yyyyyy ii ˆˆ

2yyi ˆ Pode-se decompor em:

2

2

iii

i jiij yyyy

^

Fonte

Residual

Regressão

Total

SS

y y2

y yi

2

GL

1

n-1

Variância

MQR y y /2

1

s y y ny i

22

1 /

2 i j

iij yy

2

iii yy

^

Xni

i 1

YMédias 2

X

yyMQD i j

iij

2

Y

yyMQM i

ii

2^

F = MQM/MQD

Comparar com FGL1=Y; GL2=X; 0.95


Fonte

Residual

Regressão

Total

SS

2

yyiˆ

2ii yy ˆ

y yi

2

GL

p

n-(p+2)

n-1

Variância

pyyMQR i /ˆ 2

s y y nyx i

2 2 2 /

s y y ny i

22

1 /

F = MQR/ syx2

ANOVA (Modelo para Regressão Multipla)

ppxbxbxbbY ...... 22110

n= número de pontos da regressãoP= número de variáveis independentes


Objectivo: Programar ensaios tendo em atenção o objectivo do trabalho experimental e o erro final (med. directas; medições indirectas Propagação dos erros).

A) Sem atender à estatísticaO erro não é dado por (intervalo de confiança), mas sim pelo erro do instrumento de medida

Exemplo: Determinar a secção S de uma coluna de lixiviação com um erro inferior a 0.1%.

h cm 2 005.V cm05 3.

ts n/

Vh

Ensaio: Encher a coluna (com água) até determinado nível, h

Medir o volume gasto, VCalcular SComo 1ª aprox. sabemos que diam.=1,6 cm e S=2cm2.

(a olho) S= 2 cm2V=100 cm3

h=50 cm

1º Régua + proveta

%.. 2050

10

hh

h

reg mm05.

Conclusão: temos de escolher instrumentos + precisos

prov cm05 3.

%.. 50100

50V

%.%. 5020 S

Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

Programação de EnsaiosEscolha equipamento

31

2º Régua + balão volumétrico

hhh

01

5002%. .

reg mm05.

h cm 2 005.

Conclusão: temos de escolher instrumentos + precisos

bal cm02 3.V cm0 2 3.

V 02100

0 2%. .

3º Catetómetro+pesagem

VVV

1 10

10000001%

4

.

balan g 5 10 5

m g 2 5 10 5

Conclusão: não é necessário tanto rigor

cat cm h 0 002.

h 0 002

500 004%. .

4º Régua c/ nónio + pesagem

Conclusão:

nonio cm1 20 0 0025/ .

%.. 010500050

h

V 0 0001%.

nonio cm1 10 0005/ .

%.. 02050010

h

V 0 0001%.

%.%. 2020 S

%.%. 000100040 S

%.%.%.%.%.%.

10000100201000010010

S

S

32Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003

B) Recorrendo à estatística

O erro é dado por (intervalo de confiança).

Caso I) Não existem ensaios prévios

Podemos dizer que o erro de cada medição é igual a 1/2 da menor divisão da escala.

ts n/

aparelhodoerrocteXxn

Xxs

i

ix

211

2

/

1

2

22

nctens

ctenXx

x

i(1)

(2) (4)

(3)

Exemplo 5: Determinar o nº de ensaios a realizar para medir um comprimento de aproximadamente 20 cm. (Escolheu-se como aparelho de medida uma régua graduada em mm)

150

502

2

nns

mmXxL i

.

.

max

35794161

4.3032.7762.4472.3062.0212.000

0.6120.5590.5400.5300.5060.504

2.631.551.321.221.021.01

1.520.690.500.410.160.13

n tn 195%

s ts ts n/

tirar

conclu

sões

Variáveis independentes


Caso II) Existem ensaios prévios•Conhece-se o desvio padrão para m experiências•Conhece-se o erro associado a m experiências•Queremos determinar o número de experiências adicionaisO número de ensaios adicionais vai aumentar a precisão do valor a estimar.O aumento da precisão não varia linearmente com o número de ensaios

mtsX

mtsXm

Xxs

m

m

im

/

/

1

1

2

2

O erro relativo obtido com m ensaios é superior ao pretendido

Admito que: é proporcional a m x Xi 2

x X Ai2

nº exp. m

nº exp. l x X Am

li2

sl

m lmsl m

2 211

1

O custo dos testes adicionais deve ser avaliado face ao ganho em precisão

tempo, dinheiro


Questões:

•Não confundir Grandeza com Medição•Quando é que se deve usar na expressão de um resultado o erro estatístico ou o erro do aparelho?

Exemplo: Medição do diâmetro duma vareta com uma craveira com nónio cujo erro +/-0.1

Caso A25.5 Média = 25.3 0.2925.4 s = 0.18325.1 t = 3.18225.2

ts n/ 25 3 0 3. .

Diâmetro aparente: Porque as oscilações são superiores ao erro do nónio

Caso B25.4 Média = 25.3 0.15225.3 s = 0.095725.2 t = 3.18225.3

ts n/ 25 3 0 2. .

Nº insuficiente de determinações:Porque o afastamento de +/- 0.1 está dentro do intervalo

•O erro estatístico é influenciado por t e n. O desvio padrão é

essencialmente constante.

•O erro relativo duma grandeza varia com o valor da grandeza em

causa. Por vezes é necessário mudar o instrumento de medida


Variáveis dependentesA) Sem apoio em ensaios prévios

11 22

xxxx

ntsy iiyx /

11

ntsy yx

para xxi

Admite-se que cteyy calci

22

22

nyyn

nyy

s xxcalcicalciyx

B) Com apoio em ensaios prévios•Tenho m ensaios que foram realizados e conheço syx para os m ensaios

Admito que: é proporcional a mPara l ensaios:

2calci yy

sl

m lmsl m

2 212

2

2

22

m

yys calcim

Programação de Ensaios para Regressões não Lineares•Procede-se à divisão em troços rectos


Etapas da realização dos trabalhos de LEQ IV Listagem de variáveis Variáveis independentes Nº...

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