Evaluacion numerica del nucleo dinamico de un modeloatmosferico no-hidrostatico

Yanmichel A. Morfa Avalos,1

Mario J. Carnesoltas Calvo,2

1,2Centro de Fısica de la Atmosfera, Instituto de Meteorologıa, Cuba.1yanmichel.morfa@insmet.cu

2mario.carnesoltas@insmet.cu

Resumen

Se presenta el nucleo dinamico de un modelo numerico atmosferico no-hidrostatico y completamentecompresible. Las ecuaciones del modelo fueron discretizadas en diferencias finitas sobre una rejillaregular donde, en la busqueda de mayor precision y estabilidad, se emplearon esquemas de discretizacionespacial de alto orden. La integracion en la direccion vertical se realizo mediante un metodo de tipotrapezoidal implıcito para un adecuado tratamiento numerico de las ondas de rapida propagacion. Seevalua la capacidad de los esquemas numericos empleados, de representar correctamente el desarrollode fenomenos turbulentos de rapida evolucion. Se realiza ademas un analisis de la conservacion de lamasa y la energıa en los dominios computacionales para todas las simulaciones. La estrategia de solucionnumerica se diseno para lograr un buen compromiso entre la descripcion fısica del fenomeno en cuestiony el tiempo de calculo requerido. La evaluacion del modelo se realizo mediante la comparacion de losresultados de varias simulaciones numericas con dos casos de prueba estandarizados.Palabras Claves: nucleo dinamico, modelo no-hidrostatico, pronostico numerico del tiempo.

Abstract

The dynamic core of a non-hydrostatic and fully compressible atmospheric numerical model is presented.The equations of the model were discretized in finite differences on a regular unstaggered grid where, inthe search of greater precision and stability, high order spatial discretization schemes were used. Theintegration in the vertical direction was carried out by means of an implicit trapezoidal type method foran adequate numerical treatment of fast propagation waves. The capacity of the numerical schemes usedis evaluated, to correctly represent the development of turbulent phenomena of rapid evolution. An anal-ysis of the conservation of mass and energy in the computational domains is also carried out for all thesimulations. The numerical solution strategy was designed to achieve a good compromise between thephysical description of the phenomenon in question and the required calculation time. The evaluation ofthe model was made by comparing the results of several numerical simulations with two standardized testcases.Keywords: dynamic core, non-hydrostatic model, Numerical Weather Prediction.

1

1 Introduccion

Los modelos no-hidrostaticos se distinguen principalmente por resolver de forma explıcita la ecuacion demomentum vertical. Lo anterior permite que puedan ser utilizados con exito para simulaciones numericasde la atmosfera en escalas espaciales del orden de 102 m y menores, ademas resultan imprescindibles alpronosticar con alta precision diversos fenomenos atmosfericos de mesoescala como la conveccion decumulos, las ondas no lineales de montana, corrientes de densidad y circulaciones de la brisa de mar.La capacidad de representar correctamente los procesos fısicos atmosfericos por dichos modelos, estaestrictamente relacionada con la eleccion de la escala espacial y temporal para las cuales son disenados,de esto depende en gran medida, las simplificaciones que se realizan a las ecuaciones que gobiernanla dinamica atmosferica, ası como las parametrizaciones de los procesos que escapan a la resolucionespacial empleada. La no linealidad de estas ecuaciones provoca un comportamiento caotico del sis-tema dinamico que describen, por lo que son considerablemente sensibles a las condiciones iniciales, enefecto, pequenas variaciones de estas provocan grandes diferencias en los resultados, sobre todo para lar-gos plazos de pronostico, independientemente de los errores cometidos en el proceso de calculo numerico(Lorenz, 1963). La creciente evolucion del poder de computo en los ultimos anos, ha hecho factible laprediccion numerica del tiempo a mesoescala con modelos no-hidrostaticos. Por esta razon numerososCentros de Investigacion internacionales han desarrollado modelos de este tipo para multiples escalasespacio-temporales. Entre estos modelos se destacan, el MM5 (Penn State-NCAR), el MASS (MesoscaleAtmospheric Simulation System), el RAMS (Regional Atmospheric Modeling System), el modelo WRF(Weather Research and Forecasting) y el ARPS (Advanced Regional Prediction System). Al desarrollarun Modelo de Prediccion Numerica del Tiempo, es necesario satisfacer ciertos requisitos basicos, paraello es de particular importancia que las simulaciones realizadas con el modelo sean comparadas consoluciones analıticas conocidas, y con resultados de otros modelos desarrollados de forma independiente.Los metodos mas poderosos para evaluar un sistema de modelacion numerica consisten en realizar com-paraciones con resultados conocidos que se pueden derivar a traves del analisis dinamico, o las solucionesde referencia que convergen bajo ciertas condiciones. Ejemplos de problemas de referencia comunmenteusados incluyen: ciertas soluciones de ondas de montana (Clark, 1977; Dudhia, 1993), ondas inerciales degravedad (Skamarock y Klemp, 1994) y conveccion forzada por flotabilidad (Tripoli, 1992; Wicker andSkamarock, 1998; Bryan, 2002). Para esta investigacion dos casos de prueba estandarizados para eval-uar modelos no-hidrostaticos. El modelo numerico aquı evaluado, esta compuesto por un caso particularde las ecuaciones de Navier-Stokes para el movimiento de un fluido compresible donde las ecuacionesfueron linealizadas respecto a un estado de refencia hidrostatico y sin humedad, consistente con la aprox-imacion cuasi-compresible. Por simplicidad para establecer una evaluacion objetiva comparable con losproblemas de referencia, se construyo un modelo bidimensional sobre un sistema de coordenadas carte-sianas y sin considerar, en las ecuaciones de conservacion, el efecto de la humedad del aire ni los cambiosen la presion por expansion termica del aire.

El objetivo fundamental de esta investigacion fue evaluar numericamente el nucleo dinamico de unmodelo no-hidrostatico atmosferico mediante la comparacion de sus resultados ante dos experimentosnumericos: una corriente no-lienal de densidad (Straka et al. 1993) y un flujo ascendente inducidotermodinamicamente (Giraldo y Restelli, 2008).

2

2 Materiales y metodos

2.1 Descripcion del nucleo dinamico

Las variables pronostico de dicho modelo se presentan como la suma de un estado de referencia esta-cionario y las perturbaciones respecto al mismo o fluctuaciones en la micro escala (Skamarock y Klemp,2008):

ρ(x,z, t) = ρ(z)+ρ′(x,z, t),

θ(x,z, t) = θ(z)+θ′(x,z, t), (1)

π(x,z, t) = π(z)+π′(x,z, t).

Donde ρ es la densidad del aire seco, θ la temperatura potencial y π = Cp(p/po)RdCp , es la presion

normalizada o funcion de Exner, donde Rd es la constante de los gases para el aire seco, Cp es el calorespecıfico del aire y po es la presion de referencia en superficie, generalmente 1000 hPa. Para las com-ponentes del viento en las direcciones horizontal y vertical, se asume u = u′(x,z, t) y w = w′(x,z, t)respectivamente, Los estados de referencia se consideran horizontalmente homogeneos, invariantes enel tiempo y balanceados hidrostaticamente, esta aproximacion resulta imprescindible en los modelos demeso-escala a la hora de linealizar las ecuaciones, permitiendo que los valores calculados por el modelono se alejen demasiado de su valor de referencia (Pielke, 2013).

La aproximacion hidrostatica considera que en las ecuaciones del movimiento la aceleracion verticales mucho menor que el gradiente de presion, es decir, la fuerza debida al gradiente vertical de presion estajustamente equilibrada por la de la gravedad. Por tanto, un modelo hidrostatico simula una atmosfera enequilibrio hidrostatico, para la cual, la presion en un punto depende unicamente del peso de la columna deaire sobre este. De esta forma la ecuacion para la componente vertical del movimiento queda simplificadaa ∂π ′/∂ z =−gθ ′/θ .

Debe enfatizarse que, como resultado de un analisis de escala, la relacion anterior solo implica quela magnitud de la aceleracion vertical es mucho menor que la fuerza de gradiente de presion y no quela aceleracion vertical sea completamente nula (Pielke, 2013), formalmente |∂w/∂ z| � θ∂π/∂ z y nonecesariamente |∂w/∂ z|= 0.

En la investigacion se utilizo un modelo no hidrostatico para una descripcion fısica adecuada delos movimientos verticales, especialmente al simular fenomenos convectivos de rapida evolucion dondese alcanzan aceleraciones verticales del orden de (0.7 ms−2). Sin embargo, al considerar el estado dereferencia en equilibrio hidrostatico se garantiza que el comportamiento general del sistema no se alejedemasiado de dicho equilibrio. Finalmente, las ecuaciones del modelo expresadas en un sistema decoordenadas cartesianas son:

∂v∂ t

+v ·∇v+θ∇π′+

θ ′

θg k = µ∇

2v, (2)

∂θ ′

∂ t+v ·∇θ

′+w∂ θ

∂ z= µ∇

2θ , (3)

∂π ′

∂ t+v ·∇π

′−wgθ+

c2s

θ∇v =

c2s

θ 2

∂θ ′

∂ t(4)

Donde v = (u,w) es el vector velocidad del flujo con u y w como componentes horizontal y verticalrespectivamente, y g la aceleracion de la gravedad. El operador ∇(·) = ∂ (·)/∂x+∂ (·)/∂ z y los terminos

3

en el miembro derecho de las ecuaciones (2) y (3) corresponden a la disipacion viscosa. La ecuacion 4 esaltamente sensible al valor de la divergencia del flujo ∇ ·u, debido a que esta se encuentra amplificada porel valor cuadratico medio de la velocidad del sonido c2

s , donde cs =√

(γ−1)π θ , cuyo valor medio enuna atmosfera estandar es de 347 m/s aproximadamente y γ =Cp/Cv. Este termino es dominante para lamayorıa de las aplicaciones meteorologicas por lo que se desprecia el cambio de la presion por procesosadiabaticos y demas aportes micro-fısicos. El miembro derecho de la ecuacion (4) representa los cambiosen la presion por expansion termica del aire, que se desprecia luego de realizar un analisis de escala. Elsistema (2-4) esta completamente determinado, sin embargo, la densidad puede determinarse mediantela expresion ρ = (Po/Rdθ)(π/Cp)

1/γ .

2.2 Discretizacion espacial

El modelo (2)-(4) fue discretizado en diferencias finitas sobre una rejilla uniforme bidimensional de tipoArakawa-A. La discretizacion espacial de la adveccion en las ecuaciones del modelo consiste en unamodificacion de la presentada por Wicker y Skamarock (2002), donde para cualquier magnitud genericaφ , su operador advectivo unidimensional se puede expresar de la siguiente forma:

u∂φ

∂x≈ ui

Fi

∆x(5)

A continuacion, se listan los operadores advectivos desde orden 1 hasta orden 6.

F2i =

12(φi+1−φi−1),

F1i = F2

i −S2[(φi+1−2φi)+φi−1)],

F4i =

112

[8(φi+1−φi−1)− (φi+2−φi−2)], (6)

F3i = F4

i +S12

[(φi+2 +φi−2)−4(φi+1 +φi−1)+6φi],

F6i =

160

[45(φi+1−φi−1)−9(φi+2−φi−2)+(φi+3 +φi−3)],

F5i = F6

i −S60

[(φi+3 +φi−3)−6(φi+2 +φi−2)+15(φi+1 +φi−1)−20φi).

En las expresiones anteriores, S denota el signo de ui y el supra-ındice indica el orden de la aproximacion.Los operadores de orden par son puramente centrados mientras que los de orden impar se pueden inter-pretar como aproximaciones centradas de un orden superior mas un termino difusivo, muy utiles paracontrolar los pequenos modos computacionales generados por la adveccion y por lo tanto mantener es-tabilidad numerica. Estos esquemas advectivos son consistentes con los metodos de Rungue-Kutta algenerar combinaciones condicionalmente estables para sistemas lineales bajo el criterio de estabilidadCFL, que indica que el paso temporal maximo permitido esta limitado por ∆t < Cr∆x/cs, donde ∆x esel espaciado mınimo de la rejilla. En la mayorıa de las aplicaciones practicas en el pronostico numericodel tiempo, el paso vertical ∆z suele ser mucho menor que el espaciado horizontal, lo que limita el pasotemporal considerablemente, por esta razon, el tratamiento numerico de la integracion en esta direccionse realiza de forma implıcita, siguiendo la tecnica conocida como HEVI (Horizontal Explicit VerticalImplicit).

El miembro derecho de las ecuaciones (2) y (3) corresponde a la difusion, donde solo se tuvo encuenta la disipacion producto de la viscosidad molecular (µ). Esta ultima fue formulada tal como ladescribieron Straka et al. (1993) para lograr una comparacion objetiva. Sin embargo, en aplicacionesreales es conveniente utilizar algun esquema de cierre para incluir el efecto disipativo de la turbulencia.

4

Para la discretizacion de los terminos ∇2φ = ∂ 2φ/∂x2 +∂ 2φ/∂ z2, se utilizo un esquema en diferen-cias finitas centradas de orden global O(∆x4):

(∂ 2φ

∂x2 )i ≈1

12∆x2 [16(φi+1 +φi−1)− (φi+2 +30φi +φi−2)] (7)

2.3 Integracion temporal

Se analizaron varios esquemas explicitos de Runge Kutta, estables ante la discretizacion presentada en(6), finalmente se utilizo el esquema definido por Wicker y Skamarock (2002), que consiste en un metodode Runge-Kutta de tres etapas, con orden O(∆t3) para problemas lineales y, O(∆t2) para problemasno-lineales como el aquı presentado. Definiendo las variables de pronostico, que se integran de formaexplıcita, de la forma φ = (u,θ ′) y las ecuaciones (2) y (3) del modelo, como ∂φt = L(φ), el metodo deintegracion avanza la solucion entre las etapas φ(t) y φ(t +∆t) de la siguiente forma:

φ∗ = φ

t +13

∆tL(φ t),

φ∗∗ = φ

t +12

∆tL(φ ∗), (8)

φt+∆t = φ

t +∆tL(φ ∗∗);

Un analisis detallado de la estabilidad de este esquema de integracion, en relacion con la adveccion pre-sentada en (6), fue realizado por Baldauf (2010), donde se aprecia que el operador de 3er orden es establepara numeros de Courant hasta 1.62, mientras que el de 5to orden mantiene su estabilidad numerica paravalores de hasta 1.42, lo cual permite el uso de pasos temporales mucho mayores que la mayorıa de losmetodos explıcitos de integracion con similar complejidad. Las simulaciones presentadas se realizarona partir de los esquemas advectivos de 5to y 3er ordenes, en la direccion horizontal y vertical respectiva-mente.

2.4 Discretizacion numerica en la direccion vertical

Como fue mencionado con anterioridad, se aplico a tecnica numerica HEVI para discretizar las ecua-ciones del modelo (2) y (4) en la direccion vertical. Este esquema es una modificacion de (Tripoli andCotton, 1982), el que permite un paso temporal mayor al resolver el gradiente vertical de presion en laecuacion (2) y la divergencia en (4) de forma implıcita. Para lograr eficiencia se utilizo un esquema cono-cido como β -Method, que consiste en un metodo trapezoidal basado en una combinacion lineal convexade las discretizaciones espaciales en las etapas (n) y (n+ 1). Este metodo ofrece la posibilidad de es-coger un β ∈ (0,1), desde un esquema completamente explıcito, hasta uno implıcito cuando β = 1. Unade las versiones mas conocidas es β = 1/2, con el que se obtiene el metodo de Crank-Nicolson de ordenO(∆t2). Los esquemas numericos que se obtienen a partir de este metodo son incondicionalmente esta-bles para β > 1/2, lo que indica que la unica restriccion sobre el paso temporal ∆t esta relacionada con laprecision del metodo. En la practica se ha demostrado que utilizar valores entre 0.6 y 1.0 (off-centering)puede aumentar la eficiencia computacional, pues incrementa la zona de estabilidad de (8). Siguiendo lasugerencia de Baldauf (2008) se escoge β = 0.7 como valor optimo.

5

Al discretizar las ecuaciones (2) y (4), se obtiene:

wn+1−wn

∆t= βθδzπ

′n+1+(1−β )θδzπ

′n +Fw, (9)

π ′n+1−π ′n

∆t= β (

gθ

wn+1−αδzwn+1)+(1−β )(gθ

wn−αδzwn)+Fπ (10)

Donde α = c2s/θ = (1− γ)π , Fw y Fπ corresponden a los terminos de discretizacion espacial en la

direccion horizontal a partir de los valores de la etapa n. Luego al eliminar π ′n+1 en (9) y tras alguntrabajo algebraico, se obtiene:

Akwn+1k+1 +Bkwn+1

k +Ckwn+1k−1 = Dk, (11)

La ecuacion (11) consiste en un sistema de ecuaciones lineales con matriz tri-diagonal, que puede serresuelto de forma eficiente en O(n) operaciones, luego con el nuevo valor de wn+1 se resuelve (10),esta aproximacion se aplica en cada subetapa del metodo (8). La necesidad de resolver un sistema deecuaciones en cada paso temporal proporciona un costo computacional adicional, sin embargo, en lamayorıa de las aplicaciones para fenomenos no lineales de rapida evolucion, esta estrategia es mas efi-ciente permitiendo un paso temporal menos prohibitivo para lograr estabilidad numerica que un esquemacompletamente explıcito.

3 Analisis y discusion de los resultados

Para la evaluacion del modelo numerico no-hidrostatico presentado se realizaron varias simulaciones parados casos de prueba considerados relevantes en los estudios de fenomenos turbulentos y convectivos en laatmosfera. Estos casos de prueba son: una corriente no-lienal de densidad producida por el descenso deuna burbuja de aire frıo (Straka et al. 1993) y un flujo ascendente inducido termodinamicamente por unaburbuja aire caliente (Giraldo y Restelli, 2008). Para ninguno de los dos casos simulados existe solucionanalıtica, por lo que se realiza una comparacion partiendo de los resultados de referencia presentados pordichos autores, ademas se realizo un analisis de la consistencia fısica de los resultados para diferentesresoluciones espaciales y las propiedades conservativas de los esquemas numericos utilizados.

3.1 Corriente no lineal de densidad

El experimento numerico documentado por Straka et al. (1993) consiste en considerar un estado inicialde la atmosfera homogeneo e isentropico, en el cual se introduce una perturbacion de aire frıo medianteuna burbuja de temperatura potencial de forma elıptica situada hacia el centro del dominio en la direccionhorizontal y a pocos kilometros de altura. La evolucion temporal de esta perturbacion provoca una fuertecorriente de densidad descendente.

El dominio computacional se extiende, en la direccion horizontal desde−25.6 hasta 25.6 km, mientrasque en la vertical desde 0 hasta 6.4 km de altura. Se utilizo una resolucion espacial constante en ambasdirecciones para una rejilla isotropica. Se empleo una constante de viscosidad cinematica µ = 75 m2/s,para provocar una fuerte disipacion y lograr ası, una solucion convergente. El estado de referencia seconsidera horizontalmente homogeneo y balanceado hidrostaticamente con estratificacion neutral. Elflujo se encuentra inicialmente en reposo y la temperatura de referencia θ = 300 K. La perturbacion detemperatura (burbuja Frıa), se define:

∆ T =−15.0[cos(πl)+1.0]/2.0 (l ≤ 1.0). (12)

6

Donde l = {[(x−xc)x−1r ]2+[(z−zc)z−1

r ]2}1/2 y la posicion de la perturbacion esta definida por: xc = 0 km,xr = 4.0 km, zc = 3.0 km, zr = 2.0 km. El valor de la perturbacion de temperatura potencial se obtiene dela relacion θ ′ =Cp∆T/π .En la figura (1) se muestran los contornos de la perturbacion inicial, donde θ ′min =−16.624. Las condi-ciones de fronteras laterales se asumen de la forma: (u = ∂wx = ∂π ′x = ∂θ ′x = 0.0), mienras que en lasfronteras superior e inferior del modelo se impone (∂uz = w = ∂πz = ∂θ ′z = 0.0). El modelo se integronumericamente para un tiempo total de 900s. La evolucion de la corriente de densidad en las soluciones

Fig. 1: Contornos de θ ′ a intervalos de (1oK) en el plazo inicial (0 s).

de referencia se pueden describir como el desarrollo de tres vortices producto de una inestabilidad tan-gencial de tipo Kelvin-Helmholtz a lo largo de la frontera superior del flujo de aire frıo simulado en unperıodo de 900 s. Al inicio de la simulacion se produce una fuerte corriente descendente en respuesta a laflotabilidad negativa debido a la burbuja frıa en el centro del dominio, que posteriormente se desplaza enla frontera inferior del dominio formando una cadena de vortices. El desarrollo de los mismos es apre-ciable en las soluciones de θ ′ y en el campo de viento en los plazos 300 s, 600 s y 900 s. En la figura (2)se muestran los campos simulados con resolucion espacial de 100 m. Debido a la simetrıa del problema,se presenta solo la mitad derecha del dominio computacional.Los campos simulados a los 900 s desde la inicializacion (figura (3)), guardan una estrecha concordancia

con aquellos obtenidos por los modelos de referencia y en particular las soluciones convergen hacia elmodelo REFQ. Lo anterior se debe a que en ambos modelos, se utilizaron similares consideraciones alaproximar la ecuacion pronostico de la presion (4). En la tabla (1) se muestran una comparacion entrelos valores maximos y mınimos obtenidos por el nuevo modelo y aquellos simulados por los modelos dereferencia presentados por Straka et al. (1993), donde REFC se refiere a la solucion de referencia com-pletamente compresible, para la cual no se emplea ninguna linealizacion respecto al estado de referencia(ρ), y REFQ es la solucion de referencia utilizando un modelo cuasi-compresible. En dicho trabajo laresolucion utilizada para las simulaciones de referencia fue de 25 m y se obtuvo al biseccionar sucesiva-mente el paso de rejilla hasta que no se encontro mejora o valor agregado en los resultados.

En la tabla (2) se muestran las metricas cuantitativas utilizadas para comparar los resultados del nuevomodelo con las soluciones de referencia, incluyendo la posicion del frente de la corriente de densidad(interseccion del contorno de −1 K con el eje x), valores maximos y mınimos de θ ′, suma total del do-minio de θ ′, contribucion positiva al total de θ ′, la enstrofıa (Σζ 2, donde ζ = (∆×v) ·k es la componentevertical de la vorticidad) y el total de energıa cinetica (0.5(u2 +w2)). Un aspecto importante a destacaren estos resultados es que la posicion del frente para el tiempo final puede ser pronosticada con rela-tiva exactitud independientemente de la resolucion empleada, mientras las caracterısticas principales dela corriete de densidad puedan ser resueltas. Por lo tanto, la posicion de la corriente y su velocidad de

7

Fig. 2: Soluciones numericas del campo de viento y vorticidad (ζ ) (izquierda) y de perturbacion detemperatura potencial θ ′ (derecha) para los plazos: (a) 300 s, (b) 600 s y (c) 900 s. Los contornos de θ ′

estan definidos desde −16.5 K hasta −0.5 K con intervalos de 1 K.

traslacion es esencialmente la misma en cada modelo.

Tabla. 1: Comparacion de los valores maximos y mınimos de p′ (mb), θ ′ (K), u (ms−1) y w (ms−1) alos 900 s de simulacion con resolucion horizontal de 50 m entre: Nuevo nucleo dinamico (NND), modelocompresible de referencia (REFC) y modelo cuasi-compresible de referencia (REFQ).

variables NND REFC REFQ

p′min −6.92 −5.14 −5.21p′max 1.65 2.87 1.74θ ′min −11.12 −9.77 −10.00θ ′max 0.26 0.00 0.00u′min −16.67 −15.19 −15.31u′max 37.86 36.46 34.72w′min −19.42 −15.95 −16.89w′max 14.59 12.93 13.04

8

Fig. 3: Contornos de p′ (mb), θ ′ (K), u (ms−1) y w (ms−1) a los 900 s de simulacion con resolucionespacial de 100 m.

Tabla. 2: Comparacion entre el nuevo nucleo dinamico (NND) y los modelos de referencia (REFC) y(REFQ) a los 900 s de simulacion con resolucion espacial de 200 m.

modelos pos. del frente Σθ ′ Σθ ′2 Σθ ′2 ΣKe Σζ 2

(m desde x = 0.0) (K) θ ′ > 0 (K) (K2) (m2s−2) (s−2)

NND 15510.50 -1439.42 11.4924 6298.92 90681.05 0.33868REFC 15537.44 -1427.10 9.2917 6613.62 91580.70 0.34306REFQ 15509.17 -1512.80 11.1370 7395.26 90699.80 0.37140

Fig. 4: Serie temporal de los errores relativos de energıa total Et y masa total ρt en el dominio.

La conservacion de la energıa y la masa total del sistema son propiedades imprescindibles al evaluarun nucleo dinamico, en teorıa estas magnitudes deben permanecer constantes durante el proceso de in-tegracion. En la practica los pronosticos numericos del tiempo a mesoescala se realizan sobre dominiosde area limitada por lo que la conservacion de las magnitudes anteriores depende en gran medida de lainteraccion de los fenomenos simulados con las fronteras ficticias del dominio. Se evaluo la variacion

9

temporal de la energıa total expresada: Et = ∑ρ[CvT + 1

2(u2 +w2)+gz

]y de la masa total en el do-

minio ρt = ∑ρ . En la figura (4) se muestran las series temporales del los errores relativos de Et y ρt en eldominio computacional, donde los valores extremos son de−0.57×10−2 y 0.66×10−3 respectivamente.

3.2 Ascenso de una burbuja caliente por conveccion libre

Se condujo ademas un experimento que consiste en introducir una perturbacion positiva de temperaturapotencial (θ ′ > 0.0), para evaluar la consistencia de los esquemas numericos utilizados en el modeloal simular flujos inducidos termodinamicamente (Wicker y Skamarock, 1998). En este experimento seconsidera la evolucion de una masa de aire calido en un ambiente isentropico y en reposo. El aire calidose eleva debido a la flotabilidad positiva, para luego deformarse producto de una inestabilidad tangencialde tipo Rayleigh-Taylor a lo largo de la superficie de discontinuidad creada por el movimiento relativoentre dos masa de distinta densidad. El dominio fue inicializado con temperatura potencial de referenciaθ = 300 K y la perturbacion θ ′ se definio por la expresion (12) con una amplitud inicial de 0.5 K; laposicion de la perturbacion esta definida por: xc = 500 m, zc = 350 m, con radio constante en ambasdirecciones xr = zr = 250 m. Las condiciones iniciales fueron tomadas de Giraldo y Restelli (2008) yde Robert (1993) donde el dominio se definio como (x,z) ∈ [0,1]2 km2 con las condiciones de frontera:v = ∂π ′x = ∂θ ′x = 0 y el modelo fue integrado en un plazo total de 700 s. En esta simulacion se observoque los valores maximos de velocidad vertical se incrementan en la medida que decrese la temperaturapotencial maxima en el dominio. De lo anterior se deduce que mientras se acelera el ascenso de la burbujade aire caliente, se produce conversion de energıa interna (U) en energıa mecanica (Ke,P) o formalmente:(C[U : Ke,P]). En la figura (6) se muestran los errores relativos de Et y ρt respecto a su valor en elmomento inicial cuyos valores maximos fueron de 0.72×10−5 y 0.31×10−5 respectivamente.

Fig. 6: Serie temporal de los errores relativos de energıa total Et y masa total ρt en el dominio.

Como en los casos anteriores no se encontro diferencias evidentes entre los resultados (figura 5)y aquellos presentes en la literatura. Los resultados a partir de las simulaciones con 5 m y 10 m deresolucion son muy similares, mientras que a partir de los 20 m de resolucion aparecen diferencias masevidentes tanto en la forma como fase de la perturbacion. No obstante, la posicion y forma de la burbujaes casi identica a la obtenida por Giraldo and Restelli (1993).

10

Fig. 5: Soluciones numericas de la perturbacion de temperatura potencial θ ′ con resolucion espacial de:(a) 5 m, (b) 10 m, (c) 20 m y (d) 25m. Los contornos de θ ′ estan definidos desde 0.025 K hasta 0.425 Kcon un intervalo de 0.05 K.

11

Conclusiones

Luego de realizar la evaluacion numerica del nucleo dinamico a partir de la comparacion de sus re-sultados con dos casos de prueba estandarizados, relevantes en los estudios de fenomenos turbulentosatmosfericos, se arribo a las siguientes conclusiones:

• El desempeno del nuevo nucleo dinamico basado en la comparacion de las simulaciones con mod-elos de referencia (REFC) y (REFQ), arrojo resultados satisfactorios en cuanto a la correcta rep-resentacion fısica de un fenomeno turbuento altamente no-lineal.

• Teniendo en cuenta que no se produjeron cambios significativos en los resultados al emplear difer-entes resoluciones espaciales se infiere que los esquemas de discretizacion utilizados en el nuevonucleo dinamico son numericamente consistentes.

• El nuevo modelo numerico fue capaz de simular con alto grado de precision, las estructuras ycaracterısticas principales del flujo en respuesta a la presencia de superficies de discontinuidadtangencial.

• Los esquemas numericos utilizados demostraron ser efectivos en cuanto a la conservacion de lamasa y la energıa total en el dominio computacional para ambas simulaciones. Esta propiedad seconsidera indispensable al disenar un sistema de modelacion numerica del tiempo.

• La evolucion y morfologıa de los fenomenos simulados guardan una estrecha concordancia cuan-titativa y cualitativa con la teorıa, por lo que el nuevo modelo numerico es una herramienta com-putacional efectiva la investigacion de fenomenos turbulentos en condiciones atmosfericas reales.

Referencias

1. Baldauf, M. Stability analysis for linear discretisations of the advection equation with runge–kuttatime integration. Journal of Computational Physics, 227(13):6638–6659, 2008.

2. Baldauf, M. Linear stability analysis of runge–kutta-based partial time-splitting schemes for the eulerequations. Monthly Weather Review, 138(12):4475–4496, 2010.

3. Butcher J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, volume 1. -, 2008.

4. Clark, T. L. A small-scale dynamic model using a terrainfollowing coordinate transformation. J.Comput. Phys., 24, 186–215, 1977.

5. Dudhia, J. A nonhydrostatic version of the Penn State–NCAR Mesoscale Model: Validation testsand simulation of an Atlantic cyclone and cold front. Mon. Wea. Rev., 121, 1493–1513, 1993.

6. Giraldo, F. X. and Restelli, M. A study of spectral element and discontinuous Galerkin methods forthe Navier-Stokes equations in nonhydrostatic mesoscale atmospheric modeling: equation sets andtest cases. J. Comput. Phys., 227, 3849–3877, 2008.

7. Lorenz, E. N. Deterministic non-periodic flow. J. Atmos. Sci., 20, 131–141, 1963.

8. Pielke R. A. Sr. Mesoscale meteorological modeling, volume 98. Academic press, 2013.

9. Robert, A. Bubble convection experiments with a semi-implicit formulation of the Euler equations.J. Atmos. Sci., 50, 1865–1873, 1993.

12

10. Skamarock, W. C. and Klemp J. B. A time-split nonhydrostatic atmospheric model for weatherresearch and forecasting applications. J. Comput. Phys., 227:3465–3485, 2008.

11. Straka Jerry M., Wilhelmson Robert B., Wicker Louis J., Anderson John R., and DroegemeierKelvin K., Numerical solutions of a non-linear density current: A benchmark solution and com-parisons. Int. J. Numer. Meth., 17(1):1–22, 1993.

12. Tripoli, G. J. and Cotton, W. R. The colorado state university three-dimensional cloud/mesoscalemodel. part i: General theoretical framework and sensitivity experiments. J. de Rech. Atmos., 16:185–220, 1982.

13. Tripoli, G. J. A nonhydrostatic mesoscale model designed to simulate scale interaction. Mon. Wea.Rev., 120, 1342–1359, 1992.

14. Wicker, L. J and Skamarock, W. C. A time-splitting scheme for the elastic equations incorporatingsecond-order Runge–Kutta time differencing. Mon. Wea. Rev., 126, 1992–1999, 1998.

15. Wicker, L. J and Skamarock, W. C. Time-splitting methods for elastic models using forward timeschemes. Monthly weather review, 130(8):2088–2097, 2002.

13