ExercÃcios_Propostos_de_VariÃ¡veis_AleatÃ³rias_e_Modelos_teÃ³ricos_Unidimensionais[1]

I.S.E.L P.E.

Exercícios Propostos de Variáveis Aleatórias e Modelos Teóricos Unidimensionais 1

Exercícios Propostos de Variáveis Aleatórias e Modelos

Teóricos Unidimensionais

Exercício 1: Da produção de certo tipo de peças, retira-se uma amostra casual de

quatro peças a fim de se proceder ao controlo de qualidade da produção. Admita que,

por experiência, se sabe que a probabilidade de uma peça não obedecer às normas é

de 0.1 e considere a variável aleatória X – “número de peças que não obedecem às

normas, na amostra”.

(a) Indicar o espaço de resultados desta experiência aleatória;

(b) Indicar os valores que a variável aleatória X pode tomar;

(c) Indicar a função probabilidade de X e a sua representação gráfica;

(d) Indicar a função distribuição de X e a sua representação gráfica;

(e) Se uma amostra for constituída por mais de duas peças que não obedecem às

normas, procede-se à revisão das máquinas. Calcule a probabilidade disso acontecer;

(f) Calcular:

( )1f ( )2,5F ; ( )2f ( )6F ; ( )3f ( )1F − .

(g) Calcular:

( )1g [ ]1 3P X< ≤ ; ( )2g [ ]2 3P X≤ ≤ ;

( )3g [ ]2 4P X< < ; ( )4g [ ]1 3P X≤ < .

Exercício 2: Consideremos a experiência, que consiste no lançamento de dois dados

equilibrados. Consideremos a variável aleatória X – “diferença absoluta dos

resultados obtidos nas faces que ficaram viradas para cima”. Determine:

(a) o espaço de resultados da experiência aleatória;

(b) os valores que a variável aleatória X pode tomar;

(c) a função probabilidade de X ;

(d) a função distribuição de X .

Exercício 3: Considere a variável aleatória X com f.p.:

ix -1 0 1

( )if x 1p 2p 3p

Sabe-se que 0,1μ = e 2 0,9E X⎡ ⎤ =⎣ ⎦ .

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(a) Determinar 1p , 2p e 3p ;

(b) Determinar a função distribuição;

(c) Calcular o desvio padrão.

Exercício 4: Três atiradores A , B e C fazem cada um, um tiro para um alvo. A

probabilidade para cada um acertar no alvo é [ ] 0,7P A = , [ ] 0, 4P B = e [ ] 0,6P C = .

Considere a variável aleatória X – “número de projécteis que atingem o alvo”.

(a) Defina a distribuição de X ;

(b) Calcular a média e o desvio padrão;

(c) Determine o coeficiente de variação.

Exercício 5: Suponha a variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade:

x -2 -1 0 1 2

( )f x 0,1 0,25 0,3 0,25 0,1

Determine a função de probabilidade das variáveis aleatórias:

(a) 1Y X= − ;

(b) 2Z X= ;

(c) T Y Z= + .

Exercício 6: O João resolve oferecer um jantar à Ana. Quando percebe que não tem

dinheiro para comprar os alimentos que necessita resolva ir pescar 5 peixes no

chafariz, em frente de casa. Neste chafariz existem 14 peixes, dos quais 6 são

vermelhos e 8 são dourados. O João tem no entanto, alguns condicionantes: só os

peixes dourados são comestíveis e só se distingue a cor dos peixes após serem

pescados. Calcular a probabilidade de:

(a) não haver peixes para comer ao jantar;

(b) haver um peixe, comestível, em cada prato;

(c) haver, no mínimo, dois peixes comestíveis, em cada prato.

Exercício 7: Uma caixa contém dez bolas: seis brancas e quatro pretas. Extraem-se

três bolas de uma vez. Calcular a probabilidade de que:

(a) sejam todas brancas;

(b) pelo menos duas sejam brancas;

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(c) seja uma branca e as outras pretas.

Exercício 8: O administrador de um hospital estudou o número de emergências

cardíacas diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, concluiu que elas estão

distribuídas de acordo com um modelo de Poisson, com média de três emergências

por dia.

(a) Qual a probabilidade de que, num determinado dia, tenham ocorrido,

exactamente duas emergências?

(b) Qual a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, exactamente três

emergências?

Exercício 9: Uma fábrica produz azulejos que são embalados em caixas com trinta

unidades. Sabe-se que o número de defeitos por azulejo segue uma distribuição de

Poisson de parâmetro 0,1 .

(a) Qual a probabilidade de um azulejo ser defeituoso;

(b) Qual a probabilidade de numa caixa haver pelo menos dois azulejos

defeituosos?

(c) Numa parede com vinte azulejos, qual o valor médio e o desvio padrão do

número total de defeitos?

Exercício 10: Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição binomial, com

valor médio 5 e variância 4, calcular n e p .

Exercício 11: Um aparelho de detecção de intrusos está montado num cofre-forte de

um banco. Esse detector utiliza três células sensíveis ao movimento, que actuam

independentemente umas das outras. Qualquer uma pode activar o sistema de

alarme. A probabilidade de cada célula activar o sistema de alarme é igual a 0,8 .

Pretendendo estudar a eficácia do aparelho de detecção de movimento, considere-se

a variável aleatória X que conta o número de células que activam o sistema de

alarme quando se presencia um movimento.

(a) Qual a função de probabilidade de X ?

(b) Qual é a probabilidade de que o sistema de alarme funcione quando há intruso?

(c) Qual é a probabilidade de que o alarme funcione activado pelas três células?

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Exercício 12: Uma firma de vendas por correio envia cartas anunciando um

determinado produto aos possíveis clientes. A percentagem de respostas a essas

cartas é, em geral, 10% . Supondo que um prédio tem 20 moradores e que todos

receberam uma carta:

(a) Determine a probabilidade de:

( )1a ninguém responder a essas cartas;

( )2a duas e só duas dessas cartas terem resposta;

( )3a a maioria das cartas terem resposta;

( )4a responderem menos de 20% das pessoas contactadas;

(b) Diga se a firma pode esperar que os habitantes desse prédio venham a ser

receptivos.

Exercício 13: Num centro comercial existe um grande número de caixas multibanco.

Após observação conclui-se que o número de caixas que ficam fora de serviço por

semana pode ser estudado através de uma variável aleatória com distribuição

Poisson de parâmetro 2,5μ = .

(a) Calcule a probabilidade de que, numa determinada semana, tenham ficado fora

de serviço, exactamente:

( )1a uma caixa multibanco;

( )2a três caixas multibanco;

(b) Calcule a probabilidade de, nesse centro comercial, ficarem fora de serviço,

durante uma semana, mais de 3 caixas multibanco;

(c) Qual o número esperado de caixas multibanco fora de serviço em 7 semanas?

Exercício 14: O número de imperfeições, por metro quadrado, num plástico é uma

variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro 0,7μ = . O plástico é

embalado em rolos de 30 metros de comprimento e um metro de largura. Para

transportar os rolos estes são colocados em grupos de 10 e colocados em caixas de

cartão.

(a) Qual a probabilidade de um rolo ter 10 imperfeições?

(b) Qual é a probabilidade de numa caixa haver só dois rolos com 10 imperfeições?

(c) O preço de venda a público do plástico é dado em função do número de

imperfeições por metro quadrado. Assim, o preço por metro quadrado é de 5€, 4€ ou

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3€, conforme não tenha imperfeições, tenha alguma imperfeição mas não mais de 3,

ou tenha mais de 3 imperfeições, respectivamente. Quanto dinheiro espera fazer o

comerciante na venda de um rolo?

Exercício 15: Um dado honesto é lançado 8 vezes. Calcular a probabilidade de nos 8

lançamentos, a face 5 e a face 6 aparecerem 2 vezes cada e as outras aparecerem

uma vez cada.

Exercício 16: O responsável de uma empresa discográfica estima que 90% dos seus

clientes preferem comprar discos de música ligeira (60% estrangeira e 30%

portuguesa) e os restantes preferem comprar música clássica. Em 10 clientes, qual a

probabilidade de haver um interessado em música clássica e pelo menos 7 em

música ligeira estrangeira?

Exercício 17: Consideremos uma variável aleatória X definida pela seguinte f.d.p.:

( ) ( )26 , 0 1

0 , fora do intervalo

x x xf x

x

⎧ − < <⎪= ⎨⎪⎩

.

Determine o valor médio de X . Determine a variância e o desvio padrão da variável

aleatória X .

Exercício 18: Uma variável aleatória X tem como função densidade de

probabilidade:

( )1

, 1 12


axx

f xx

+⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩

,

sendo a uma constante real. Sabendo que [ ] 0,1E X = , calcule:

(a) a variância de X ;

(b) a função distribuição de X ;

(c) [ ]0,5 / 0,5P X X< > − .

Exercício 19: Dada uma variável aleatória X continua com f.d.p.:

( )16 , 0 3


x k xf x

x

+ < <⎧= ⎨⎩

.

Determinar:

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(a) o valor de k ;

(b) o valor médio da variável aleatória X ;

(c) o desvio padrão;

(d) a função de distribuição;

(e) [ ]2 / 1P X X< > .

Exercício 20: Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de

probabilidade:

( )

, 0 1

, 1 2

3 , 2 3

0 , outros casos

ax x

a xf x

a ax x

≤ <⎧⎪ ≤ <⎪= ⎨ − ≤ ≤⎪⎪⎩

.

(a) Determine o valor da constante a de modo a que ( )f x seja uma f.d.p.;

(b) Determine a função de distribuição de X ;

(c) Calcule [ ]1 3P X< < ;

(d) Calcule [ ]E X e [ ]Var X .

Exercício 21: Uma lâmpada tem duração de acordo com a densidade de

probabilidade seguinte:

( )10001

, se 010000 , se 0

t

e tf t

t

−⎧≥⎪= ⎨

⎪ <⎩

.

Determine:

(a) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime antes de 1000 horas;

(b) a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois da duração

média;

(c) o desvio padrão da distribuição.

Exercício 22: Uma máquina de bebidas está regulada de modo a servir uma média

de 150 ml por copo. Se a quantidade servida por copo seguir uma distribuição normal

com desvio-padrão de 20 ml , determine:

(a) Qual a percentagem de copos que conterão mais do que 175 ml ;

(b) Quantos copos se espera que venham a transbordar em 1000 bebidas

controladas, se forem usados copos de 170 ml ;

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(c) Abaixo de que valor serão consideradas as 25% bebidas mais curtas.

Exercício 23: O serviço de expedição e entrega de certa unidade fabril verificou que

o volume das encomendas (em 3m ) entregues aos clientes era essencialmente de 2

tipos:

(a) Tipo A : com distribuição normal, com média 50μ = e 2 100σ = .

(b) Tipo B : com distribuição normal, com média 15μ = e 2 25σ = .

O volume de entregas semanais é de 20 encomendas do tipo A e 100 encomendas

do tipo B . O responsável do serviço de expedição e entrega negociou com uma

empresa transportadora o transporte máximo de 3000 3m semanais. Comente tal

decisão.

Exercício 24: O conteúdo de certo tipo de garrafas é aleatório e com distribuição

normal de 1μ = litro e 0,02σ = litros.

(a) Calcular a probabilidade de o conteúdo de uma garrafa, escolhida ao acaso,

seja superior a 0,97 litros;

(b) Calcular a probabilidade de o conteúdo de uma garrafa, escolhida ao acaso,

seja superior a 0,98 litros e inferior a 1,04 litros;

(c) Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de

este ficar com um volume de líquido superior a 3,1 litros?

Exercício 25: O tempo durante o qual se mantém a ligação das chamadas telefónicas

de uma empresa, é uma variável com distribuição exponencial com valor médio 10

minutos. Determine a probabilidade de:

(a) uma chamada durar mais do que 15 minutos;

(b) uma chamada durar entre 7 e 12 minutos;

(c) uma chamada durar mais do que 13 minutos se sabemos que durou mais do

que 7 minutos.

Exercício 26: Considere a variável aleatória K uniformemente distribuída no intervalo

[ ]0,5 .

(a) Qual será a probabilidade de que as raízes da equação 24 4 2 0x xK K+ + + =

sejam reais?

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(b) Calcule a probabilidade de 3K ≤ ;

(c) Determine a [ ]E K e a [ ]Var K .

Exercício 27: As notas do 1º teste dos alunos de Estatística seguem uma distribuição

normal. Verifiquei que 40% tiveram notas inferiores a 8 e 40% notas entre 8 e 11.

(a) Determine os parâmetros desta distribuição;

(b) Suponha que retirei, ao acaso, 7 testes. Calcule a probabilidade de ter tirado

apenas 3 testes com nota superior a 11.

Exercício 28: A despesa (euros) de um cliente num supermercado é uma variável

aleatória aproximadamente normal, com média 125 e variância 400.

(a) Determine a fracção de clientes que gastam mais de 150€;

(b) Determine o valor abaixo do qual estão ao 10% de clientes, menos gastadores;

(c) Considere o número de clientes que gastam uma importância entre 115€ e

135€. Determine:

( )1c o número esperado de clientes entre os próximo 50;

( )2c a probabilidade de entre os próximos 3 clientes estarem 2 destes clientes;

(d) Considere 10 clientes escolhidos ao acaso. Determine a probabilidade de 3

gastarem menos de 115€ e 5 entre 115€ e 135€;

(e) Um casal faz compras num supermercado. A despesa (euros) da mulher e do

homem são variáveis aleatórias ( )60; 15X N μ σ∩ = = e ( )50; 18Y N μ σ∩ = = ,

respectivamente. Qual a probabilidade da despesa total do casal ultrapassar os

120€?

Soluções:

1- (a) Sejam os eventos:

: "a peça não obedeceàs normas"

: "a peça obedece às normas"

N

N

O espaço de resultados S, é constituído por todas as sequências de quatro elementos

obtidas a partir dos dois elementos “ N ” e “ N ” com possibilidade de repetição. Assim,

o número de elementos de S é 16, o número de arranjos com repetição de dois,

quatro a quatro.

{( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ),..., ( , , , )}S N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N=

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(b) A variável aleatória X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 e 4, ( ) 0,1,2,3,4=X S .

(c) 4

4 3 1

1

4

(0) (1 0,1) 0,6561

(1) (1 0,1) (0,9) 0,2916

...

(4) 0,1 0,0001

f

f C

f

= − == − =

= =

0,6561 se 0

0,2916 se 1

0,0486 se 2( )

0,0036 se 3

0,0001 se 4

0 para outros valores de

x

x

xf x

x

x

x

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪ =⎪⎪⎩

(d)

0 se 0

0,6561 se 0 1

0,9477 se 1 2( )

0,9963 se 2 3

0,9999 se 3 4

1 se 4

x

x

xF x

x

x

x

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪= ⎨ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪

≥⎪⎩

(e) ( 2) 0,0037P X > = (f1) 0,9963 (f2) 1 (f3) 0

(g1) 0,0522 (g2) 0,0522 (g3) 0,0036 (g4) 0,3402

2 - (a) O espaço de resultados S, é constituído por todas as sequências de dois

elementos obtidas a partir dos elementos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 com possibilidade de

repetição. Assim o número de elementos de S é 36, o número de arranjos com

repetição de seis dois a dois.

{(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),...,(6,6)}S =

(b) Para determinar os valores que a variável aleatória pode assumir e também a

função de probabilidade é útil a seguinte tabela de dupla entrada:

1 2\ 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

D D

A variável aleatória X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5 ( ) {0,1,2,3,4,5}=S X .

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Como os dados são equilibrados os resultados são equiprováveis, pelo que o cálculo

da função de probabilidade obedece à regra do quociente entre o nº de casos

favoráveis e o nº de casos possíveis.

c)

1 se 065 se 1182 se 291( ) se 361 se 491 se 5180 para outros valores de

x

x

x

f x x

x

x

x

⎧ =⎪⎪ =⎪⎪ =⎪⎪

= =⎨⎪

=⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

(d)

0 se 0

6 se 0 13616 se 1 23624( ) se 2 33630 se 3 43634 se 4 5361 se 5

x

x

x

F x x

x

x

x

<⎧⎪

≤ <⎪⎪

≤ <⎪⎪⎪= ≤ <⎨⎪

≤ <⎪⎪⎪ ≤ <⎪⎪ ≥⎩

3 – (a) 1 2 3

0,4 0,1 0,5p p e p= = =

(b)

0 , 1

0,4 , 1 0( )

0,5 ,0 1

1 , 1

x

xF x

x

x

< −⎧⎪ − ≤ <⎪= ⎨ ≤ <⎪⎪ ≥⎩

(c ) [ ]22( ) ( ) ( ) 0,89 ( ) 0,943X

Var X E X E X Var Xσ= − = = =

4 – (a)

0,072 se 0

0,324 se 1

( ) 0,436 se 2

0,168 se 3


x

x

f x x

x

x

=⎧⎪ =⎪⎪= =⎨⎪ =⎪⎪⎩

X

(b) ( ) 1,7 (c) Cv 0,488E X = =

5– (a)

0,1 se 3

0,25 se 2

0,3 se 1( )

0,25 se 0

0,1 se 1


x

x

xf x

x

x

x

= −⎧⎪ = −⎪⎪ = −⎪= ⎨ =⎪⎪ =⎪⎪⎩

(b)

0,3 se 0

0,5 se 1( )

0,2 se 4


z

zf z

z

z

=⎧⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪⎩

(c)

0,55 se 1

0,35 se 1( )

0,1 se 5


t

tf t

t

t

= −⎧⎪ =⎪= ⎨ =⎪⎪⎩

6. (a) 0,003 ; (b) 0,2797 ; (c) 0,2378 .

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7. (a) 0,167; (b) 0,67; (c) 0,3.

8. (a) 0,224 ; (b) 0,089 .

9. (a) 0,0952 ; (b) 0,7933 ; (c) 2μ = e 2σ = .

10. 25n = ; 15p = .

11. (a)

f(x)=0 para outros valores de X

(b) 0,992; (c) 0,512.

12. (a1) 0,1216; (a2) 0,2852; (a3) 0 ; (a4) 0,867; (b) Não.

13. (a1) 0,2052; (a2) 0,2138; (b) 0,242; (c) 18.

14. (a) 0,0035; (b) 0,0005; (c) 134,76 €.

15. 0,006 .

16. 0,1461.

17 . ( ) 0,5, ( ) 0,05 0,22X

E X Var X e σ= = =

18- (a) ( ) 0,323Var X = (b) 2

0 se 1

( ) 0,425 0,075 se 1 121 se 1

< −⎧⎪

= + + − ≤ <⎨⎪

≥⎩

x

xF x x x

x

(c) 0,62

19 – (a) k = 112 (b)

15( )

8E X = (c) 0,78

Xσ = (d)

2

0 , 0

( ) , 0 312

1 , 3

x

x xF x x

x

≤⎧⎪ +⎪= < <⎨⎪

≥⎪⎩

(e) 2/5

20 -

2

2

0 , 0

, 0 14

1 1( ) ( ) ( ) , 1 2

2 2 43 5

, 2 34 2 4

1, 3

x

xx

xa a b F x x

x xx

x

<⎧⎪⎪ ≤ <⎪⎪⎪= = − ≤ <⎨⎪⎪− + − ≤ <⎪⎪

≥⎪⎩

(c) 3

4 (d)

3( )

2E X =

5( )

12Var X =

21. (a) 0,6321 ; (b) 0,3679 ; (c) 1000σ = .

22. (a) 10,6% ; (b) 159 copos; (c) 136,5ml .

23. Decisão acertada.

( )if x 0,008 0,096 0,384 0,512

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24. (a) 0,9332; (b) 0,8185; (c) 0,0021.

25. (a) 0,2231; (b) 0,1954; (c) 0,5487.

26. (a) 35 ; (b) 3

5 ; (c) [ ] 52E K = ; [ ] 25

12Var K = .

27. (a) 8,69μ = ; 2,74σ = ; (b) 0,115.

28. (a) 0,1056 ; (b) 99,4 ; (c1) 19; (c2) 0,27 ; (d) 0,058 ; (e) 0,3336 .

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