ExercíciosdeMatemática Trigonometria–RelaçõesTrigonométricas · 23. (Unesp) Se (cos x) ....

Exercícios de MatemáticaTrigonometria – Relações Trigonométricas

1. (Fatec) A figura a seguir é um prisma reto, cuja

base é um triângulo equilátero de 10Ë2cm de lado e

cuja altura mede 5 cm.

Se M é o ponto médio de aresta DF, o seno do ânguloBME é

a) (Ë5)/5

b) (Ë7)/7

c) (Ë3)/2

d) 1/4

e) 2/5

2. (Ufrj) Determine o comprimento do segmento cujas

extremidades são os pontos de interseção da reta y =

x + 1 com a parábola y = x£.

3. (Unesp) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir,

sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C

são retos; os ângulos CDB e ADB medem,

respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede 2dm.

Então, os lados AD e AB medem, respectivamente,

em dm:

a) Ë6 e Ë3.

b) Ë5 e Ë3.

c) Ë6 e Ë2.

d) Ë6 e Ë5.

e) Ë3 e Ë5.

4. (Ita) Um dispositivo colocado no solo a uma

distância d de uma torre dispara dois projéteis em

trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um

ângulo šÆ(0,™/4), atinge a torre a uma altura h. Se osegundo, disparado sob um ângulo 2š, atinge-a a

uma altura H, a relação entre as duas alturas será:a) H = 2hd£/(d£-h£)

b) H = 2hd£/(d£+h)

c) H = 2hd£/(d£-h)

d) H = 2hd£/(d£+h£)

e) H = hd£/(d£+h)

5. (Fuvest) Um losango está circunscrito a uma

circunferência de raio 2cm. Calcule a área deste

losango sabendo que um de seus ângulos mede 60°.

6. (Unesp) A figura adiante representa o perfil de uma

escada cujos degraus têm todos a mesma extensão,

além de mesma altura. Se åæ=2m e BðA mede 30°,

então a medida da extensão de cada degrau é:

a) (2Ë3)/3 m

b) (Ë2)/3 m

c) (Ë3)/6 m

d) (Ë3)/2 m

e) (Ë3)/3 m

7. (Unicamp) Caminhando em linha reta ao longo de

uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto

B, cobrindo a distancia AB=1.200 metros. Quando em

A ele avista um navio parado em N de tal maneira

que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verificaque o ângulo NBA é de 45°.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.

b) Calcule a distância a que se encontra o navio da

praia.

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8. (Cesgranrio) Uma escada de 2m de comprimento

está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a

escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo

da escada ao chão é de:

a) 0,5 mb) 1 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 2 m

9. (Ufpe) Considere, no sistema de coordenadas

retangulares OXY, o ponto P(1,Ë3). Se rotacionarmos

o segmento OP de 15° em torno do ponto O no

sentido anti-horário, obteremos o segmento OP'.

Determine o quadrado da soma das coordenadas de

P'.

10. (Ufpe) A rampa de acesso à garagem de um

edifício sobre um terreno plano tem forma retangular

e determina um ângulo de 60° com o solo. Sabendo-

se que ao meio-dia a sombra da rampa tem área iguala 36m£, calcule a área da rampa.

11. (Ufpe) Considere os triângulos retângulos PQR e

PQS da figura a seguir.

Se RS=100, quanto vale PQ?

a) 100Ë3

b) 50Ë3

c) 50

d) (50Ë3)/3

e) 25Ë3

12. (Faap) A seguir está representado um esquema

de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De

quanto deve ser a medida de AT para que um

espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos

1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da

tela, que é T, a 30° da horizontal?

Dados:

sen 30° = 0,5

sen 60° = 0,866

cos 30° = 0,866

cos 60° = 0,5

Ë2 = 1,41

Ë3 = 1,73

tg 30° = 0,577

tg 60° = Ë3

a) 15,0 m

b) 8,66 m

c) 12,36 m

d) 9,86 m

e) 4,58 m

13. (Unicamp) A hipotenusa de um triângulo retângulo

mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do

outro.

a) Calcule os comprimentos dos catetos.

b) Mostre que o comprimento do cateto maior estáentre 92 e 93 centímetros.

14. (Cesgranrio) 0 < a < ™/2, ™/2 < b < ™ e sen a=

sen b=3/5, então a + b vale:a) ™.

b) 3™/2.

c) 5™/4.

d) 4™/3.

e) 6™/5.

15. (Fuvest) ABC é um triângulo retângulo em A e o

segmento CX é bissetriz do ângulo BðA, onde X é



ponto do lado åæ. A medida do segmento CX é 4cm

e a do segmento BC, 24cm. Calcule a medida de åè.

16. (Cesgranrio) Se no triângulo retângulo ABC,mostrado na figura, ‘=™/6, AD=AB=4, calcule o

comprimento do segmento DE paralelo a AB.

17. (Puccamp) A figura a seguir é um corte vertical de

uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte

aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um

suporte vertical e um apoio horizontal.

A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se

que a altura do suporte é

a) 7 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 14 cm

e) 16 cm

18. (Fuvest) Nos triângulos da figura, AC = 1cm, BC =7cm, AD = BD. Sabendo que sen(a-b) = sen a cos b -

cos a sen b, o valor de sen x é

a) (Ë2)/2

b) 7/Ë50

c) 3/5

d) 4/5e) 1/Ë50

19. (Pucmg) Uma escada rolante de 10 m decomprimento liga dois andares de uma loja e tem

inclinação de 30°.

A altura h entre um andar e outro, em metros, é talque:

a) 3 < h < 5

b) 4 < h < 6

c) 5 < h < 7

d) 6 < h < 8

e) 7 < h < 9

20. (Unesp) O seno do ângulo da base de um

triângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangente do

ângulo do vértice desse triângulo é igual a

a) - (Ë13)/2

b) (Ë13)/5

c) - (Ë15)/3

d) (Ë14)/7

e) - (Ë15)/7



21. (Uel) Trafegando num trecho plano e reto de uma

estrada, um ciclista observa uma torre. No instanteem que o ângulo entre a estrada e a linha de visão dociclista é 60°, o marcador de quilometragem da

bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito

passa a ser 90°, o marcador de quilometragem acusa

104,03 km.

Qual é, aproximadamente, a distância da torre à

estrada? (Se necessitar, useË2 ¸1,41; Ë3¸1,73;

Ë6¸2,45.)

a) 463,4 m

b) 535,8 m

c) 755,4 m

d) 916,9 m

e) 1071,6 m

22. (Unirio) Um disco voador é avistado, numa região

plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo

instante, algo se desprende da nave e cai em queda

livre, conforme mostra a figura. A que altitude se

encontra esse disco voador?

Considere as afirmativas:

l - a distância d é conhecida;ll - a medida do ângulo ‘ e a tg do mesmo ângulo são

conhecidas.

Então, tem-se que:

a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta,mas a ll, sozinha, não.

b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta,

mas a l, sozinha, não.

c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à

pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é:

d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à

pergunta.e) a pergunta não pode ser respondida por falta dedados.

23. (Unesp) Se (cos x) . (sen x) = (Ë2)/3 e tg x = Ë2,com 0<x<™/2, determine o único valor de

a) cos x;b) sen x + sec x.

24. (Cesgranrio)

Na figura anterior, os pontos B e C pertencem à reta r

e os segmentos AB e CD são paralelos. Sabe-se

ainda que a distância entre os pontos B e C é igual a

metade da distância entre A e D, e a medida do

ângulo ACD é 45°. O ângulo CAD mede:

a) 115°

b) 105°

c) 100°

d) 90°

e) 75°



25. (Cesgranrio)

No cubo de base ABCD, anteriormente representado,

marca-se o ponto P, centro da face EFGH. A medida,

em graus, do ângulo PBD é um valor entre:

a) 0 e 30 b)

30 e 45 c)

45 e 60 d)

60 e 90 e)

90 e 120

26. (Unesp) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam

formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se

encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo

posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à

rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia

B, indo através de C, em quilômetros, é

a) (Ë2)/8.

b) (Ë2)/4.

c) (Ë3)/2.

d) Ë2.

e) 2Ë2

27. (Ufrj) Na figura a seguir, os círculos de centros O•e O‚ são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm.

Determine o comprimento da curva ABC.

28. (Mackenzie) I) sen£[(™/7) - x] + sen£[(5™/14) +

x]=1, ¯ x Æ IR

II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente

senx.cosx pode assumir é 2III) No triângulo a seguir, não retângulo,tg ‘ + tg ’ + tg – = tg ‘ . tg ’ . tg –.

Dentre as afirmações cima:

a) Todas são verdadeiras.

b) todas são falsas.

c) somente a III é falsa.

d) somente a II é falsa.

e) somente a I é falsa

29. (Puccamp) Em uma rua plana, uma torre AT é

vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30°

e 60° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.

Se a distância entre os observadores é de 40m, qual

é aproximadamente a altura da torre?(Se necessário,

utilize Ë2=1,4 e Ë3=1,7).

a) 30 m

b) 32 m

c) 34 m

d) 36 m

e) 38 m



30. (Puccamp) Uma pessoa encontra-se num ponto

A, localizado na base de um prédio, conforme mostra

a figura adiante.

Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a

um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio,

sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se

afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido

de A para B, para que possa enxergar o topo do

prédio sob um ângulo de 30°?

a) 150

b) 180

c) 270

d) 300

e) 310

31. (Ufrs) Um barco parte de A para atravessar o rio.A direção de seu deslocamento forma um ângulo de

120° com a margem do rio.

Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros,

percorrida pelo barco foi de

a) 40 Ë2

b) 40 Ë3

c) 45 Ë3

d) 50 Ë3

e) 60 Ë2

32. (Unb) Uma das maneiras de se representar a

Terra em uma região plana para o traçado de mapas

geográficos é a "projeção estereográfica", que

consiste em projetar os pontos de uma esfera sobre

um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e

que passa por seu pólo Sul. Mais precisamente, a

projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de

‘, obtido pela interseção com o plano ‘ da reta

determinada por P e pelo pólo Norte. Essa construção

está representada na figura a seguir, em que O é o

centro da esfera, M e Q são pontos sobre um mesmo

paralelo, A é o ponto médio do segmento M' Q',

sendo M' e Q' as projeções dos pontos M e Q,respectivamente.

Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a

6.400km e que um barco percorra, ao longo de um

meridiano, um caminho correspondente a uma

diferença de latitude de 60°, a partir da latitude 60°

sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da

superfície terrestre feito a partir da projeção

estereográfica da Terra e com escala 1:10©, calcule,

em centímetros, o comprimento da projeção do

percurso desse barco no mapa. Para isso, considere,

ainda, tg15° =0,27 e despreze a parte fracionária de

seu resultado, caso exista.



33. (Unirio)

Um barco está preso por uma corda (åè) ao cais,

através de um mastro (åæ) de comprimento 3m,

como mostra a figura. A distância, em m, da proa do

barco até o cais (æè) é igual a:

a) (3Ë2 + Ë6) / 2

b) (3Ë2 + Ë6) / 4

c) (Ë2 + Ë6) / 2

d) (Ë2 + Ë6) / 4

e) Ë6

34. (Unirio)

Considere a figura anterior, que apresenta um rio de

margens retas e paralelas, neste trecho. Sabendo-se

que AC=6 e CD=5, determine:

a) a distância entre B e D;

b) a área do triângulo ABD.

35. (Ufes) Um homem de 1,80m de altura avista o

topo de um edifício sob um ângulo de 45° em relação

à horizontal. Quando ele se aproxima 20m do edifício,

esse ângulo aumenta para 60°. Qual a altura do

edifício?

36. (Ufsm) Um estudante de Engenharia vê um prédio

do Campus da UFSM construído em um terrenoplano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se doprédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de

60°. Considerando que a base do prédio está no

mesmo nível do olho do estudante, então a altura h

do prédio é igual a

a) 30Ë3 m

b) 20Ë3 m

c) 30 m

d) 10Ë3 m

e) 28 m

37. (Fuvest) Na figura a seguir, ABC é um triângulo

isósceles e retângulo em A e PQRS é um quadrado

de lado (2Ë2)/3. Então, a medida do lado AB é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

38. (Uff) Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV éum paralelogramo, as medidas de MQ e MV sãoiguais e 0°<‘<45°

.

Indicando-se por S a área de MNPQ e por S' aárea de MNUV, conclui-se que:

a) S = S' sen ‘

b) S'= Sc) S' = S cos ‘

d) S = S' cos ‘

e) S'= S sen ‘



39. (Uerj) Observe a bicicleta e a tabelatrigonométrica.

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual

a 120cm e os raios PA e QB medem,respectivamente, 25cm e 52cm.

De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o

seguinte valor:

a) 10°

b) 12°

c) 13°

d) 14°

40. (Uepg) Na figura abaixo, em que o ponto B

localiza-se a leste de A, a distância åæ=5km. Neste

momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B,

e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir

destes dados, assinale o que for correto.

01) åè = 10 km

02) åî = 2,5 km

04) æî = 5Ë3 km08) O ângulo BÂD mede 60°16) A velocidade média do barco é de 15 km/h

41. (Fuvest) Os vértices de um triângulo ABC, noplano cartesiano, são: A=(1,0), B=(0,1) e C=(0,Ë3).

Então, o ângulo BÂC mede:

a) 60°

b) 45°

c) 30°

d) 18°

e) 15°

42. (Unesp) Um pequeno avião deveria partir de uma

cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60

quilômetros de A. Por um problema de orientação, o

piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao

perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro

de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu

trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido

seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo

retângulo ABC, como mostra a figura.

Com base na figura, a distância em quilômetros que o

avião voou partindo de A até chegar a B é

a) 30Ë3.

b) 40Ë3.

c) 60Ë3.

d) 80Ë3.

e) 90Ë3.

43. (Ufpr) Um instrumento para medir o diâmetro de

pequenos cilindros consiste em um bloco metálico

que tem uma fenda com o perfil em V contendo uma

escala, conforme ilustração abaixo. O cilindro é

colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em

centímetros, é o número que na escala corresponde

ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento

AB. Ao construir a escala de um instrumento desses,

o número 2 corresponde a um certo ponto de AB.



Sendo x a distância deste ponto ao ponto A, é correto

afirmar:

(01) x é igual a 2/[tg(š/2)]cm.

(02) x é igual a 1/[(tgš/2)]cm.

(04) Se a medida de š for 90°, então x será igual a

2cm.(08) Quanto menor for o ângulo š, maior será a

distância x.

Soma ( )

44. (Ufscar) Considere o triângulo de vértices A, B, C,

representado a seguir.

a) Dê a expressão da altura h em função de c

(comprimento do lado AB) e do ângulo A (formadopelos lados AC e AB).

b) Deduza a fórmula que dá a área SÛ½Ý do triângulo,

em função de b e c (comprimentos, respectivamente,

dos lados AC e AB) e do ângulo A.

45. (Unesp) Três cidades, A, B e C, são interligadas

por estradas, conforme mostra a figura.

As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é

de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30

km, que o ângulo entre AC e AB é de 30°, e que o

triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de

quilômetros da estrada que será asfaltada éa) 30Ë3.

b) 10Ë3.

c) (10Ë3)/3.d) 8Ë3.

e) (3Ë3)/2.

46. (Ufpr) Com base nos estudos de trigonometria

plana, é correto afirmar:

(01) O período da função f(x) = sen [x - (™/4)] é ™/4.

(02) cos£x + (tg£x)(cos£x) = 1, qualquer que seja onúmero real x, desde que cos x · 0.

(04) Existe número real x tal que

2sen£x + cos£x = 0.(08) Se os catetos de um triângulo retângulo medem

6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos dessetriângulo tem co-seno igual a 4/5.

(16) Se x, y e z são as medidas, em radianos, dosângulos internos de um triângulo, então

senz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx).

Soma ( )

47. (Ufrn) Na representação a seguir, EF é diâmetro

da circunferência; EG e FG são catetos do triângulo

retângulo FGE, inscrito na circunferência

trigonométrica; e FG é perpendicular a OX para

qualquer ‘. O raio da circunferência é unitário.



Nessas condições, podemos afirmar que, paraqualquer ‘ (0°< ‘ < 90°),

a) FG/EG = 2tg ‘

b) sen£ ‘ + cos£ ‘ = EF

c) OH = cos (90° - ‘)

d) FG = 2 sen ‘

48. (Ufrj) A figura adiante mostra duas circunferências

que se tangenciam interiormente. A circunferência

maior tem centro em O. A menor tem raio r=5cm e é

tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo

AÔB mede 60°, calcule a medida do raio R da

circunferência maior. Justifique.

49. (Ufv) Seja AB o diâmetro de uma circunferência

de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A

e B, conforme figura a seguir.

a) Sendo o ângulo AïC=’, determine a área do

triângulo ABC, em função de ’ e r.

b) Esta área é máxima para qual valor de ’.

50. (Ufv) Na figura a seguir, os triângulos são

retângulos, com hipotenusa comum AC, sendo ABC

um triângulo isósceles com catetos medindo 4cm. Se

o cateto AD do triângulo ADC mede 2cm, então o

valor de tgx é:a) (Ë7) / 4

b) Ë7c) (Ë7) / 2d) (Ë7) / 3

e) (Ë7) / 7



51. (Uel) Com respeito aos pontos A, B, C, D e E,

representados na figura abaixo, sabe-se que

CD=2.BC e que a distância de D a E é 12m. Então, a

distância de A a C, em metros, é:

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

52. (Ufrn) Ao se tentar fixar as extremidades de um

pedaço de arame reto, de 30m de comprimento, entre

os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior

do que o esperado, entortou, como mostra a figura

abaixo.

A partir desses dados, calcule, em metros,

a) o comprimento dos segmentos MS e SP;

b) quanto o arame deveria medir para que tivesse omesmo tamanho do segmento MP.

53. (Ufrs) Na figura, o círculo é unitário e æè é

tangente ao círculo no ponto P.

Se o arco AP mede ‘, BC vale

a) tan ‘ + cot ‘.

b) sen ‘ + cos ‘.

c) sec ‘ + cossec ‘.

d) tan ‘ + sen ‘.

e) cot ‘ + cos ‘.

54. (Ufal) Analise as alternativas abaixo.

( ) cossec 45° = (Ë2)/2( ) sec 60° = 2

( ) cotg 30° = Ë3( ) sec (™/2) = 0

( ) sen (55™/2) = 1

55. (Uel) Neste problema, considere o planeta Terra

como uma esfera com raio de 6400km.

Um satélite percorre uma órbita circular em torno daTerra e, num dado instante, a antena de um radar

está direcionada para ele, com uma inclinação de 30°

sobre a linha do horizonte, conforme mostra a figura aseguir.



Usando Ë2=1,4 e Ë3=1,7, é correto concluir que a

distância x, em quilômetros, da superfície da Terra ao

satélite, está compreendida entre

a) 1350 km e 1450 km

b) 1500 km e 1600 km

c) 1650 km e 1750 km

d) 1800 km e 1900 km

e) 1950 km e 2050 km

56. (Ufes) Quatro pequenas cidades A, B, C e D estão

situadas em uma planície. A cidade D dista

igualmente 50km das cidades A, B e C. Se a cidade C

dista 100km da cidade A e 50km da cidade B, qual

dos valores abaixo melhor representa a distância dacidade A à cidade B?

a) 86,6 km

b) 88,2 km

c) 89,0 km

d) 92,2 km

e) 100,0 km

57. (Ufes) Duas circunferências são tangentes entre

si e aos lados de um ângulo. Se R é o raio da maior,

r é o raio da menor e o ângulo mede 60°, então

a) R = (3Ë3)r/2

b) R = 2Ë3r

c) R = 3Ë3r

d) R = 2re) R = 3r

58. (Uflavras) Duas pessoas A e B estão situadas na

mesma margem de um rio, distantes 60Ë3 m uma da

outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem do

rio, está situada de tal modo que åæ seja

perpendicular a åè e a medida do ângulo AðB seja60°. A largura do rio é

a) 30Ë3 m

b) 180 m

c) 60Ë3 m

d) 20Ë3 m

e) 60 m

59. (Mackenzie) Observando o triângulo da figura,podemos afirmar que (cos‘-sen‘)/(1-tg‘) vale:

a) 1/5

b) 1/25c) (Ë5)/5d) 2/5

e) (2Ë5)/5

60. (Ufjf) Um topógrafo foi chamado para obter a

altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um

teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200

metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como

indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do

teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir

que, dentre os valores adiante, o que MELHOR

aproxima a altura do edifício, em metros, é:



Use os valores:

sen30° = 0,5

cos30° = 0,866

tg30° = 0,577

a) 112.

b) 115.

c) 117.

d) 120.

e) 124.

61. (Ufjf) A uma tela de computador está associado

um sistema de coordenadas cartesianas, com origem

no canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico

pode ser usado para desenhar na tela somente retas

de inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em

relação ao eixo horizontal. Então, considerando-se os

pontos a seguir, o único que NÃO pode estar sobre

uma reta, A PARTIR DA ORIGEM, desenhada por

este programa é:

a) (0, 10Ë3).

b) (10Ë3, 0).

c) (10Ë3, 10Ë3).

d) (10Ë3, 5Ë3).

e) (10Ë3, 10).

62. (Ufv) Considere o triângulo retângulo ABC abaixo,com åè=x, æè=y, Â=‘, ï=’ e ð=90°.

É CORRETO afirmar que:

a) se ’ < 45°, então y < x.

b) se ‘ = 65°, então x µ y.c) se x = 3/5 e y = 4/7, então ’ < 45°.

d) se x = log2 e y = log3, então ‘ ´ 30°.

e) se ’ = 60°, então y < x.

63. (Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo a

um farol P, conforme a figura a seguir.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da

embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a

direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m,

no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da

embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a

mesma direção AB.

Seguindo sempre a direção AB, a menor distância

entre a embarcação e o farol será equivalente, em

metros, a:

a) 500

b) 500Ë3c) 1.000

d) 1.000Ë3



64. (Ufrj) Determine, em função de š, o perímetro dafigura ABD, obtida retirando-se do triângulo retânguloABC o setor circular BCD (de centro em C, raio 1 eângulo š). Justifique.

65. (Ufc) Sejam ‘ e ’ os ângulos agudos de um

triângulo retângulo. Se sen ‘ = sen ’ e se a medida

da hipotenusa é 4 cm, a área desse triângulo (emcm£) é:

a) 2

b) 4

c) 8

d) 12

e) 16

66. (Unicamp) Os pontos A e B estão, ambos,

localizados na superfície terrestre a 60° de latitude

norte; o ponto A está a 15°45' de longitude leste e o

ponto B a 56°15' de longitude oeste.

a) Dado que o raio da Terra, considerada

perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio

do paralelo de 60°?

b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B,medida ao longo do paralelo de 60°? [Use 22/7 comoaproximação para ™]

67. (Unicamp) Considere dois triângulos retângulos T•e T‚, cada um deles com sua hipotenusa medindo

1cm. Seja ‘ a medida de um dos ângulos agudos de

T e 2‘ a medida de um dos ângulos agudos de T‚.

a) Calcule a área de T‚ para ‘ = 22,5°.

b) Para que valores de ‘ a área de T é menor que a

área de T‚?

68. (Fuvest) Na figura a seguir, as circunferências têm

centros A e B. O raio da maior é 5/4 do raio da menor;

P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é

tangente à circunferência menor no ponto Q.

Calcule:

a) cos ABQb) cos ABPc) cos QBP

69. (Unesp) Numa fábrica de cerâmica, produzem-se

lajotas triangulares. Cada peça tem a forma de um

triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10cm, e

o ângulo da base tem medida x, como mostra a

figura.

a) Determine a altura h(x), a base b(x) e a área A(x)

de cada peça, em função de senx e cosx.b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50cm£.



70. (Fgv) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede

15 e o ângulo AïC mede 60°. A soma das medidasdos catetos vale:

a) 15(1+Ë3)/4

b) 15/4c) 15(1+Ë3)d) 15/2

e) 15(1+Ë3)/2

71. (Ufjf)

Num terreno em forma de um trapézio ABCD, com

ângulos retos nos vértices A e B, deseja-se construir

uma casa de base retangular, com 8 metros de frente,

sendo esta paralela ao limite do terreno representado

pelo segmento AD, como mostra a figura. O código

de obras da cidade, na qual se localiza este terreno,

exige que qualquer construção tenha uma distância

mínima de 2 metros de cada divisa lateral. Sendo

assim, para aprovação do projeto da casa a ser

construída, é necessário que sua frente mantenha

uma distância mínima do limite representado pelo

segmento AD de:

a) 2 m.

b) 4 m.

c) 6 m.

d) 8 m.

e) 10 m.

72. (Mackenzie) Na figura, tg ‘ vale:

a) 1/3

b) 2/Ë3c) 1/Ë3d) 3/4

e) 2/3

73. (Pucrs) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a

rampa e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir.

A distância entre M e N é, aproximadamente,

a) 4,2 m

b) 4,5 m

c) 5,9 m

d) 6,5 m

e) 8,5 m



GABARITO

1. B

2. Ë10

3. C4. A

5. (32Ë3)/3 cm£6. E

7. Observe a figura a seguir:

b) d = 600 (3 - Ë3)m

8. B

9. 610. 72

11. B

12. D13. a) Ë(2+Ë2)/2 e Ë(2-Ë2)/2

b) O cateto maior vale Ë(2+Ë2)/2.

Logo, y£ = (2+Ë2)/4 = (2 + 1,41)/4 = 0,85250,92£ = 0,8464 e 0,93£ = 0,8649

Como 0,8525 está entre 0,8464 e 0,8649, segue-seque y, para y >0, está entre 0,92 e 0,93 metros, ou

seja, entre 92 e 93 cm.

14. A15. åè = 3 cm

16. 4 - 2Ë3

17. B18. C

19. B20. E

21. D

22. C

23. a) cos x = + Ë3/3

b) sen x + sec x = (Ë6 + 3Ë3)/324. B

25. C

26. E

27. 5™/3

28. A29. C

30. C

31. B32. 09

33. A

34. a) 3Ë3 + 5b) (9Ë3 + 15) / 2

35. h = (31,80 + 10 Ë3) m36. B

37. B

38. E39. C40. 31

41. E42. C

43. 02 + 08 = 1044. a) h = c . sen Â

b) SÛ½Ý = 1/2 . b . c . sen Â

45. B46. 02 + 08 + 16 = 26

47. D

48. Seja P o centro da circunferência menor. onsidere

o raio PC, perpendicular ao segmento tangente OA

em C, como mostra a figura.

Então:

OP = R - r = R - 5

PC = r = 5AÔP = 1/2 AÔB = 30°

Considerando o triângulo retângulo COP, obtemos:

sen 30° = PC/OP.

Logo: 1/2 = 5/(R-5)R = 15 cm



49. a) A = r£ . sen (2’)

b) ’ = 45°

50. E51. C

52. a) MS = 5 (Ë3 + 2)SP = 5 (2 Ë3 + 1)

b) MP = 10 Ë(5 + 2 Ë3)

53. A54. F V V F F

55. A56. A

57. E

58. E59. A

60. C

61. D62. E

63. B64. Sabemos que åæ = tg š, åè = sec š e îè = 1.

Como o comprimento do arco BD mede š radianos,temos o perímetro p(š) da figura dado por p(š) = tg š

+ š + sec š - 1.65. B66. a) 3200 km

b) 28160/7 km

67. a) 1/4b) 0° < ‘ < 30°

68. a) 4/5

b) 2/5c) (8 + 3Ë21)/25

69. a) h(x) = 10 sen x(cm)b(x) = 20 cos x(cm) e

f(x) = 100 sen x cos x(cm£)b) x = ™/4

70. E

71. C72. C

73. C



ExercíciosdeMatemática Trigonometria–RelaçõesTrigonométricas · 23. (Unesp) Se (cos x) ....

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