Exercício viga Gerber

Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 1

Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012

1800 kgf/m

C D

1200 kgf/m1800 kgf/m

A B C D E F

14400 x 4,0

10,0

5400 x (2,0 + 10,0)

10,0

V = 4680 kgfA V = 15120 kgfB

5760 kgf=

6480 kgf=

14400 x 6,0

10,08640 kgf=

10800 x 3,0

6,05400 kgf=

6,0 x 1800 =10800 kgf

resultante

10800 x 3,0

6,05400 kgf=

3,0 m

12,0 x 1200 =

14400 kgfresultante

Primeiro calcula-se esta viga CD,

pois ela está apoiada nas outras

duas vigas ABC e DEF.

12,0 x 1800 =

21600 kgfresultante

5400 x 2,0

10,01080 kgf=

6,0 m 4,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m

6,0 m 2,0 m 10,0 m

V = 19440 kgfE V = 7560 kgfF

21600 x 6,0

10,0

5400 x 2,0

10,0

12960 kgf=

1080 kgf=

21600 x 4,0

10,08640 kgf=

5400 x (2,0 + 10,0)

10,06480 kgf=

1200 kgf/m1800 kgf/m1800 kgf/m

A B C D E F

3,0 m

Como um dos apoios

da viga CD é o ponto

C da viga ABC, aplica-seesta reação como carga

concentrada nesse ponto

C da viga ABC

x1 x2 x3 x4

5400 kgf5400 kgf

Como um dos apoios

da viga CD é o pontoD da viga DEF, aplica-seesta reação como carga

concentrada nesse pontoD da viga DEF

10 m 2,0 m

1. Exercício 01 – Vigas Gerber

1.1 Reações de apoio



1.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC

Legenda:

��,� → �� í�� ℎ� � ��,� → �� ℎ� � Convenção:

�� ℎ��á��, �� . �� − ℎ��á��, �� .

1.2.1 Trecho 1

��,� = ! = 4680 &�� (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) ��,� = ��,� − '��()*+,-./ � = 4680 − 01200 ∙ 104 = − 7320 &��

1.2.2 Trecho 2

��,7 = ��,� + 9 = − 7320 + 15120 = 7800 &�� ,7 = ��,7 − '��()*+,-./ 7 = 7800 − 01200 ∙ 24 = 5400 &��



1.2.3 Trecho 3

��,; = ��,7 = 5400 &�� ,; = ��,; − '��()*+,-./ ; = 5400 − 01800 ∙ 84 = − 9000 &��

1.2.4 Trecho 4

��,= = ��,; + > = − 9000 + 19440 = 10440 &�� ,= = ��,= − '��()*+,-./ = = 10440 − 01800 ∙ 104 = − 7560 &��

1.2.5 Posição onde o cortante é nulo (?@)

O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre nos trechos 1, 3 e 4

porque todos esses três trechos tem um cortante inicial positivo e um cortante final negativo, ou seja, isso indica que o gráfico corta o

eixo da viga passando pela posição onde ele é zero, pois para sair de um número positivo e chegar em um negativo, obrigatoriamente

temos que passar pelo zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que é nesse

trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos utilizar para encontrar o

valor de AB. Geralmente o cortante se anula em trechos entre dois apoios, veja que no primeiro trecho onde ele se anula, está entre os

apoios A e B, no segundo trecho, está entre os apoios B e E, e no terceiro trecho está entre os apoios E e F.

Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante dos trechos 1, 3 e 4 e igualarmos a zero cada uma delas, com isso

encontraremos a posição onde ele é nulo a partir do início de cada um desses trechos.



A equação do trecho 1 é:

��0A�4 = ��,� − ��C�DEF�G

��0A�4 = 4680 − 1200A�

0 = 4680 − 1200AB,�

1200AB,� = 4680 AB,� = 4680

1200 ?@,H = I, J@ K (a partir do início do trecho 1, ou seja, a partir do apoio em A)


�;0A;4 = ��,; − ��C�DEF�G

�;0A;4 = 5400 − 1800A;

0 = 5400 − 1800AB,;

1800AB,; = 5400 AB,; = 5400

1800 ?@,I = I, @@ K (a partir do início do trecho 3, ou seja, a partir da rótula em C. Lembrar que rótula não separa trecho, a

separação neste caso, foi devido a diferença de cargas distribuídas)




�=0A=4 = ��,= − ��C�DEF�G

�=0A=4 = 10440 − 1800A=

0 = 10440 − 1800AB,=

1800AB,= = 10440 AB,= = 10440

1800 ?@,L = M, N@ K (a partir do início do trecho 4, ou seja, a partir do apoio em E)



x1 x2 x3 x4

A B C

D

E F

DEC [kgf] 4680= 2,34 cm

7800= 3,90 cm

7320= 3,66 cm

10440

= 5,22 cm

9000= 4,50 cm

7560

= 3,78 cm

5400

= 2,70 cm

5400= 2,70 cm

x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m0,1 0,3 0,4

Escala horizontal (eixo da viga):1 cm = 1,0 m

(Dica: Com esta escala escolhida, todo

comprimento de viga deverá ser divido

por 1,0 para ser transformado para cm

na "escala do papel milimetrado")

Escala vertical (esforço cortante):1 cm = 2000 kgf


esforço cortante deverá ser dividido por

2000 para ser transformado para cm na

"escala do papel milimetrado")

1.2.6 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC



1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF

Legenda:

O�,� → O�� í�� ℎ� � O�,� → O�� ℎ� � → Reação de apoio

→ Resultante de um carregamento distribuído

→ Força concentrada

→ Distância, lembrar que momento é o produto de uma força pela distância.

→ Momento

Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita:

�� ℎ��á��, �� . �� − ℎ��á��, �� .

1.3.1 Trecho 1

1.3.1.1 Momento no início do trecho 1

O�,� = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado)



1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1

O�,� = ! ∙ 10 − 1200 ∙ 10 ∙ 102

O�,� = 4680 ∙ 10 − 12000 ∙ 5 O�,� = −13200 �. &��

1.3.2 Trecho 2


O�,7 = O�,� (pois não existe momento aplicado)

O�,7 = −13200 �. &��


O�,7 = ! ∙ 010 + 24 − 01200 ∙ 124 ∙ 122 + 9 ∙ 2

O�,7 = 4680 ∙ 12 − 14400 ∙ 6 + 15120 ∙ 2 O�,7 = 56160 − 86400 + 30240 O�,7 = 0 (deveria ser zero mesmo, pois é uma rótula, e nela sempre o momento é zero)



1.3.3 Trecho 3


O�,; = O�,7 (pois não existe momento aplicado)

O�,; = 0


O�,; = ! ∙ 010 + 2 + 6 + 24 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 6 + 2Q + 9 ∙ 02 + 6 + 24 − 1800 ∙ 06 + 24 ∙ 06 + 24

2

O�,; = 4680 ∙ 20 − 14400 ∙ 14 + 15120 ∙ 10 − 14400 ∙ 4 O�,; = −14400 �. &��

1.3.4 Trecho 4


O�,= = O�,; (pois não existe momento aplicado)

O�,= = −14400 �. &��




O�,= = ! ∙ 010 + 2 + 6 + 2 + 104 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 6 + 2 + 10Q + 9 ∙ 02 + 6 + 2 + 104 − 1800 ∙ 06 + 2 + 104 ∙ 06 + 2 + 104

2 + > ∙ 10

O�,= = 4680 ∙ 30 − 14400 ∙ 24 + 15120 ∙ 20 − 32400 ∙ 9 + 19440 ∙ 10 O�,= = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero)

1.3.5 Cálculo dos momentos máximos

1.3.5.1 Trecho 1

Da esquerda pra direita, + ↻ :

OSáT,� = ! ∙ 3,9 − 1200 ∙ 3,9 ∙ 3,92

OSáT,� = 4680 ∙ 3,9 − 4680 ∙ 1,95 UKá?,H = JHVW K. XYZ



Da direita pra esquerda, + ↺ :

Sabemos que AB,� = 3,90 a partir de A, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do

cortante nulo para o apoio B, essa distância é 10,0 − 3,90 = 6,10 �. Dessa maneira, tem-se:

OSáT,� = \ ∙ 010 + 2 + 6 + 2 + 6,14 − 1800 ∙ 010 + 2 + 64 ∙ P010 + 2 + 642 + 2 + 6,1Q + > ∙ 02 + 6 + 2 + 6,14 − 1200 ∙ 02 + 6,14 ∙ 02 + 6,14

2 + 9 ∙ 6,1

OSáT,� = 7560 ∙ 26,1 − 32400 ∙ 17,1 + 19440 ∙ 16,1 − 9720 ∙ 4,05 + 15120 ∙ 6,1 OSáT,� = 197316 − 554040 + 312984 − 39366 + 92232 UKá?,H = JHVW K. XYZ

1.3.5.2 Trecho 3


OSáT,; = ! ∙ 010 + 2 + 34 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 3Q + 9 ∙ 02 + 34 − 1800 ∙ 3 ∙ 3

2 OSáT,; = 4680 ∙ 15 − 14400 ∙ 9 + 15120 ∙ 5 − 5400 ∙ 1,5 UKá?,I = NH@@ K. XYZ




Sabemos que AB,; = 3,0 a partir de C, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do

cortante nulo para a rótula D, essa distância é 6,0 − 3,0 = 3,0 �. Dessa maneira, tem-se:

OSáT,; = \ ∙ 010 + 2 + 34 − 1800 ∙ 010 + 2 + 34 ∙ P010 + 2 + 342 Q + > ∙ 02 + 34

OSáT,; = 7560 ∙ 15 − 27000 ∙ 7,5 + 19440 ∙ 5 OSáT,; = 113400 − 202500 + 97200 UKá?,I = NH@@ K. XYZ

1.3.5.3 Trecho 4


OSáT,= = ! ∙ 010 + 2 + 6 + 2 + 5,84 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 6 + 2 + 5,8Q + 9 ∙ 02 + 6 + 2 + 5,84 − 1800 ∙ 06 + 2 + 5,84 ∙ 06 + 2 + 5,84

2 + > ∙ 5,8

OSáT,= = 4680 ∙ 25,8 − 14400 ∙ 19,8 + 15120 ∙ 15,8 − 24840 ∙ 6,9 + 19440 ∙ 5,8 OSáT,= = 120744 − 285120 + 238896 − 171396 + 112752 UKá?,L = HMN]W K. XYZ




Sabemos que AB,= = 5,8 a partir de E, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do

cortante nulo para o apoio F, essa distância é 10,0 − 5,8 = 4,2 �. Dessa maneira, tem-se:

OSáT,= = \ ∙ 4,2 − 1800 ∙ 4,2 ∙ 4,22

OSáT,= = 7560 ∙ 4,2 − 7560 ∙ 2,1 OSáT,= = 31752 − 15876 UKá?,L = HMN]W K. XYZ



Escala horizontal (eixo da viga):1 cm = 1,0 m


comprimento de viga deverá ser divido

por 1,0 para ser transformado para cm

na "escala do papel milimetrado")

Escala vertical (momento fletor):1 cm = 3000 m.kgf


momento fletor deverá ser dividido por

3000 para ser transformado para cm na

"escala do papel milimetrado")

DMF [m.kgf]

x1 x2 x3 x4

A B C D E F

13200

= 4,40 cm

9126= 3,04 cm 15876

= 5,29 cm

14400= 4,80 cm

x = 3,90 m x = 3,00 m

x = 5,80 m

0,1 0,3

0,4

8100

= 2,70 cm

q.L2

8=

1200 x 10,02

8

= 15000 m.kgf

= 5,0 cmq.L

2

8=

1800 x 8,02

8= 14400 m.kgf

= 4,80 cm

Mm

áx

Mm

áx

Mm

áx

q.L2

8=

1800 x 10,02

8

= 22500 m.kgf

= 7,50 cm

Mmáx Mmáx

Mmáx

Parábola trecho 1

Parábola trecho 3

q.L2

8=

1200 x 2,02

8= 600 m.kgf

= 0,20 cm

Parábola trecho 2Parábola trecho 4

Parábola

do 2º Grau

Parábola

do 2º Grau

Parábola

do 2º Grau

Parábola

do 2º Grau

1.3.6 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF

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