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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECNICA APLICADA
CAPTULO IV
Sistemas Triangulados ou Trelias
1 3
2
1 C
Esquema (2) Esquema (1)
SEMESTRE VERO 2004/2005
Manuela Gonalves Maria Idlia Gomes 1/14

Capitulo IV Sistemas Triangulados ou Trelias
4.1 Definio
Sistemas Triangulados ou Trelias so sistemas constitudos por elementos indeformveis
unidos entre si por articulaes, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nas
articulaes (ns). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforos
normais, de traco ou compresso.
Quando os elementos da estrutura esto essencialmente num nico plano a trelia designada
plana.
Montantes
Cordo Superior Diagonais
Cordo Inferior
Figura 1 Cobertura de um pavilho industrial
Cordo Inferior conjunto de elementos que forma a parte inferior;
Cordo Superior conjunto de elementos que forma a parte superior;
Montantes barra verticais;
Diagonais barras inclinadas.

A definio apoia-se em simplificaes, barras rgidas, ns serem rtulas e ausncia de aces
ao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistema, desde
que a estrutura esteja bem concebida, isto , as barras sejam concorrentes num nico ponto de
cada n.
Figura 2 Exemplo de uma trelia
4.2 Estaticidade da estrutura
4.2.1 Estaticidade Interior
O sistema rgido mais simples constitudo por trs barras articuladas entre si. Se cada n for
agregado ao sistema por intermdio de apenas duas barras obtm-se um sistema rgido, por isso
invariante (no varia a sua configurao geomtrica) e estaticamente determinado. Uma trelia
formada deste modo designada por trelia simples e isosttica. Sendo b o nmero de barras
e n o nmero de ns ento o nmero total de barras dado por b = 2n 3 . Esta relao uma
condio necessria para a estabilidade da trelia, porm no condio suficiente, porque uma
ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que no contribuem para uma
configurao estvel da trelia simples.
Se b > 2n 3 existem mais barras que as necessrias para evitar o colapso o que sugere que a
trelia seja interiormente hiperesttica e por isso estaticamente indeterminada. no entanto
necessrio analisar se a disposio das barras lhe permite manter uma configurao estvel.

Assim sendo, as barras que no so necessrias para manter a posio de equilbrio da trelia
designam-se por redundantes e o seu nmero traduz o grau de hiperestaticidade interior,
hi=b (2n-3).
Se b < 2n 3 h uma deficincia de barras, por isso a trelia designada de interiormente
hipoesttica. O equilbrio apenas possvel mediante certas condies que no sendo
verificadas levar o sistema ao colapso.
Na figura 3 a aplicao da expresso b = 2n-3 levaria concluso que o sistema isosttico, o
que falso, porque a combinao de um sistema hiperesttico (a) com um hipoesttico (b).
4.2.2 Estaticidade Exterior
A estaticidade exterior calculada a partir das condies de apoio do sistema. Os apoios
restringem os graus de liberdade e por isso o nmero de incgnitas que surgem , a, so
calculadas a partir das equaes de equilbrio da esttica, trs no plano. SE os apoios estiverem
colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rgido o grau de
hiperestaticidade exterior ento he = a -3.
Sistema hipoesttico a < 3
Sistema isosttico a = 3
Sistema hipersttico a > 3
a b c
Figura 3

4.2.3 Estaticidade Global
A estaticidade global dada pela soma da estaticidade interior e exterior;
hg = hi + he = (b 2n + 3) + (a 3) = b + a 2n
Em determinadas trelias, assim como noutros sistemas, possvel que a hiperestaticidade
exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente
isosttico e estvel.
o que se verifica na trelia representada na figura 4.
No entanto, se as ligaes ao exterior estiverem inconrrectamente localizadas, resulta um
mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior ser igual ao grau de hipostaticidade
interior.
Figura 4
Figura 5
F2
F1 R
F2
F1 R

4.3 Classificao das trelias quanto lei de formao
4.3.1 Trelias Simples
As trelias so formadas a partir de um tringulo base e por forma que cada novo n seja
agregado atravs de duas barras. Estas so interiormente isostticas, verificando-se a condio
b= 2n -3.
Figura 6 Cobertura de uma habitao Exemplo de uma trelia simples
4.3.2 Trelias Compostas
Resultam da associao de duas trelias simples por meio ou de trs barras no paralelas nem
concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um n e uma barra que no concorra nesse n
(esquema 2).
1
2
3 1
C
Figura 7 Trelias compostas

Figura 8 Poste de alta tenso Exemplo de uma trelia composta
As ligaes entre as duas trelias simples restringem os trs graus de liberdade que cada uma
teria relativamente outra. Se as trelias fossem ligadas entre si por um maior nmero de
barras do que o indicados nos dois exemplos anteriores obtinham-se trelias compostas
hiperestticas em vez de isostticas.
Apesar de no seguir o modo de formao anteriormente referido, para as trelias compostas,
tambm se classificam deste modo as trelias que resultam da substituio de algumas barras de
uma trelia simples por uma outra trelia simples. Na trelia do esquema (3), as barras
superiores foram substitudas por trelias secundrias simples obtendo-se o esquema (4).
Figura 9 Exemplos de trelias

As vigas Gerber treliadas so classificadas como trelias compostas.
Figura 11- Ponte BNSF RR Portland, Oregon Exemplo de uma Viga Gerber treliada
Figura 12 - Ponte Hawthorne Portland, Oregon Exemplo de uma Viga Gerber treliada
Figura 10 Viga Gerber treliada

Manuela Gonalves Maria Idlia Gomes
4.3.3 Trelias Complexas
Estas trelias embora satisfazendo a condio bsica da isostaticidade interior b= 2n 3, no se
identificam com as leis de formao das trelias simples ou compostas, por isso classificam-se
como complexas.
4.4 Determinao dos esforo
4.4.1 Consideraes
Considera-se a trelia simples
apoio calculadas a partir das eq
A determinao dos esforos
analticos, Equilbrio dos ns
Cada uma das barras da treli
compresso a fora que a com
tracciona sai dos ns.
VA
HA 1
s
Figura 13 Trelias complexa
9/14
s nas barras de trelias
sujeita ao carregament

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