Exercícios resolvidos com fracções

$: Exercícios resolvidos com fracções$
Exercícios resolvidos com fracções....revisões

Problema 1: Fracções

A Catarina vendeu durante a semana, na sua papelaria 375 lápis de cor. Dos lápis vendidos, 1/5 eram azuis, 2/3 eram vermelhos e os restantes verdes. Calcula o número de lápis de cor de cada cor vendido.

lápis azuis= 1/5 x 375 = 75lápis vermelhos = 2/3 x 375 = 250

Problema 2 : Fracções equivalentes

Na biblioteca da escola do Bruno vão colocar uma estante que vai ocupar a parte pintada na figura.

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/problema-fracoes.html

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2012/06/exercicios-resolvidos-com.html

http://1.bp.blogspot.com/-GeMdvdX7xLw/T8pO4jT_G9I/AAAAAAAAAeQ/3vVdcYfLo40/s1600/images.jpg

Três colegas discutem que parte da sala vai ser ocupada pela estante: Nuno: - Eu acho que são 5/25! Rita: - Eu acho que é 1/5! Leandro: - Pois eu digo que são 3/15!

Qual dos três amigos tem razão. Justifica a tua resposta.

1/5=3/15=5/25

Ambos têm razão, as três frações são equivalentes.

Problema 3 : Divisão de fracções

A Bia pretende dividir 3 1/2 litros de sumo por vários copos.

Quantos copos de 1/4 de litro poderá encher? 3 1/2 : 1/4=7/2 : 1/4=7/2 x 4= 28/2 = 14 copos

Ou

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/teresa-pretende-dividir-12-litros-de.html

3 1/2 l= 3,5 l e 1/4 l= 0,25 l3,5 : 0,25=14 copos

Se pretender encher 21 copos, qual deverá ser a capacidade de cada copo?3 1/2 : 21 = 7/2 : 21= 7/2 x 1/21= 7/42 = 1/6

A capacidade de cada copo será de um sexto ( 1/6).

Poderá encher 18 copos de 1/5 de litro? 18 x 1/5= 18/518/5= 18 : 5 = 3,6.Não, porque corresponde a mais sumo.Recorda que: Para dividir duas frações temos que multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Pr o blema 4: Fracções

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/problema-fracoes_02.html

http://1.bp.blogspot.com/-eRslmqd9oR4/T8pr96ri6lI/AAAAAAAAAec/0orHUP35Evc/s1600/Sem+T%C3%ADtulo.png

1/10 + 1/4 + 1/5 = m.m.c(4,5,10)= 20

2/10 + 5/20 + 4/20 = 11/20 ( a parte que ofereceu ao Francisco, à Maria e ao Manuel)

20 x 11/20 = 11 frascos.

Resposta: A mãe do Joaquim ofereceu 11 frascos de compota ficando para si 9.

ou

1/10 + 1/4 + 1/5 = 0,1 + 0,25 + 0,2 = 0,5520 x 0,55 = 11 frascos

Exercícios resolvidos com razão e escalas....revisões

Razão:

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2012/06/exercicios-resolvidos-com-razao-e.html

http://1.bp.blogspot.com/-vDW504gvyA4/T8p2PJbOCUI/AAAAAAAAAew/FF-lqV6WSaU/s1600/images.jpg

Vamos recordar um acontecimento que estudaste em História e Geografia de Portugal.A batalha de Aljubarrota, que se verificou no dia 14 de Agosto de 1385 foi determinante para a manutenção da independência de Portugal. Nesse dia defrontaram-se 6000 portugueses contra 30000 espanhóis. Sabes que o exército português ganhou essa batalha, mas qual foi a razão? Ou seja cada militar português (em média) teve de enfrentar quantos militares espanhóis?

Resolução: 30000/6000 = 5

Resposta: Cada militar português (em média) teve de enfrentar 5 militares espanhóis.

Para recordar: Uma razão é uma forma de comparação entre dois números a e b (com 0≠b), calculando o quociente entre eles. Escreve-se a:b ou a/b.

Na razão a:b ou a/b, os números a e b são os termos da razão, sendo a o antecedente e b o consequente.

Problema 1: escalas

Num mapa, 1,5 cm representam 7,5 km. As localidades A e B distam em linha reta 20 km.Qual é a escala do mapa?

7,5 km= 750000 cm

1-----------------x1,5-----------750000

ou

1/x= 1,5/750000

x= 750 000:1,5=500 000

Resposta: A escala do mapa é 1:500000

No mapa, qual é a distância entre A e B?20 Km= 2 000 000 cm

1--------------------500 000x------------------2 000 000

ou

1/500 000=x/2 000 000

x=2 000 000:500 000x= 4 cm

Para recordar:Escala é a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real ( em cm ).

Problema 2: escalas

Numa maqueta dum aquário uma baleia está construída à escala de 1:80. Se o comprimento real do mamífero for 16 metros, qual é o comprimento do seu modelo?

16 m = 1600 cm1------------------80

x-----------------1600

ou

1/80= X/1600 80 x X= 1600

X= 20 cm

Resposta: O comprimento é igual a 20 cm.

Exercícios resolvidos- matemática fundamental - parte I

Problemas resolvidos

1) José usou 2/9 de seu salário para pagar o aluguel de seu apartamento. Como ele recebeu de salário R$1800,00, o seu aluguel foi de:

a)R$ 200,00b)R$ 250,00c)R$ 300,00d)R$ 350,00e)R$ 400,00

Solução: basta calcular 2/9 de 1800

2 . 1800 = 3600 = R$ 400,00 9 9

Alternativa - “e”

2) Um funcionário carrega 3 caixas de merenda, por vez, de um veículo estacionado a 20m de distância do local de armazenamento. Como terá que carregar 36 caixas, então, ao todo, ele percorrerá uma distância de:

a) 300mb) 350mc) 400md) 480m

e) 520m

Solução: Como são 36 caixas , o funcionário precisará fazer 12 viagens, em cada uma percorre 40m (ida e volta), no total percorrerá , 12 x 40 = 480m.

Alternativa - “d”

3) Numa prova de matemática com 35 questões, Marluce acertou 3/5 e Artur 5/7. Artur acertou a mais que Marluce: a) 1 questãob) 2 questõesc) 3 questõesd) 4 questõese) 5 questões

Solução: Basta calcular quantas questões Artur e Marluce acertaram

Marluce → 3 . 35 = 105 = 21 ; Artur → 5 .35 = 175 = 25 5 5 7 7

Alternativa - “d”

4) Um automóvel consome 1 litro de gasolina a cada 11km para transportar, diariamente, ida e volta, o seu proprietário, de sua casa até o metrô que fica a 16,5km. Considerando meses com 30 dias e a gasolina a preço constante de R$1,20 o litro, o gasto mensal com combustível será de:

a) R$ 110,00b) R$ 108,00c) R$ 106,00d) R$ 104,00e) R$ 102,00

Solução: O percurso diário será 33km (ida e volta), durante 30 dias, o percurso total será de 33 x 30 = 990km. Para fazer este percurso será necessário 990 : 11= 90 litros de gasolina, como litro custa R$1,20, o custo total será: 90 x 1,2 = 108Alternativa - “b”

5) Se em cada 100g de carne há, aproximadamente, 28g de proteína, em 1,4kg dessa mesma carne, haverá de proteína:

a) 362gb) 372gc) 382gd) 392ge) 402g

Solução: precisamos converter todas as unidades de medida em gramas(g), sendo assim, 1,4kg → 1400g. Utilizando regra de três simples:

carne(g) proteína(g) 100 28 1400 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais, basta multiplicar “em cruz”, teremos:

100x = 39200 → x= 39200 → x= 392g → alternativa “d” 100

6) Amplitude térmica é a diferença entre a maior e a menor temperatura de uma certa região. Num determinado planeta, as temperaturas podem variar de 50 ºC durante o dia para -80 ºC à noite. A amplitude térmica nesse planeta é:

a) -30 ºCb) 30 ºCc) -130 ºCd) 130 ºCe) -80 ºC

Solução: A maior temperatura é 50 ºC e a menor temperatura é -80 ºC.

A amplitude térmica será obtida por : 50 –(-80) = 50 +80 = 130 ºC

7) Atualmente, a esperança de vida dos paulistanos do sexo feminino é de 74 anos,8meses e 12dias e para o sexo masculino é de 65anos, 2 meses e 12 dias. Essa diferença de expectativa de vida a mais para o sexo feminino, em meses, é de:

a) 113b) 114c) 115d) 116e) 117

Solução: Fazendo a diferença da maior idade para a menor idade:

74 anos 8 meses 12 dias 65 anos 2 meses 12 dias - 9 anos 6 meses

Transformando 9anos e 6meses em meses temos: 9 x (12meses) + 6 meses = 108meses + 6meses = 114meses

Alternativa - “b”

8) Um determinado relógio atrasou 22 minutos em 48 horas. Continuando nesse ritmo, em duas semanas esse mesmo relógio terá atrasado:

a) 2h34minb) 2h48minc) 2h55mind) 3h14mine) 3h23min

Solução: 2 semanas , corresponde a 14 dias, que corresponde a 14 x 24h = 336; utilizando regra de três:

atraso(min) horas(h)

22 48 x 336

Como as grandezas são diretamente proporcionais basta multiplicar “em cruz”

48x = 1056

x= 7392 = 154 min → 2h 34min 48alternativa – “a”

9) Dependendo da espessura das paredes de uma geladeira, há perdas significativas de energia, apresentada na tabela.

Espessura dasParedes (cm)

Perdas térmicas (kwh)

2

65

4

35

6 25 10

15

Considerando uma família típica, com consumo médio mensal de 250 kwh e uma geladeira com quatro centímetros de espessura, a perda térmica nas paredes em relação ao consumo total de eletricidade é de:

a) 30%b) 22%c) 14%d) 8%e) 5%

2Solução: para uma espessura de 4cm a perda é de 35kwh, se o consumo da família é 250kwh, utilizando regra de três:

kwh % 250 100 35 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicando “em cruz”, temos:

250x = 3500 → x = 3500 → x= 14% 250

Alternativa – “ c”

10) Numa competição de kart, Marcus dá uma volta completa na pista oval em 28 segundos, enquanto José leva 32 segundos para completar uma volta. Quando Marcus completar a volta de número 40, José estará completando a volta número:

a) 38b) 37c) 36d) 35e) 34

Solução: Para Marcus completar a volta 40 , ele gasta 40 x 28segundos = 1120 segundos. Utilizando regra de três calcularemos quantas voltas José dará neste mesmo tempo. volta tempo de José(segundos) 1 32 x 1120

Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos:

32x = 1120 → x= 1120 → x= 35 voltas 32

Alternativa – “d”

11) Um viajante comprou US$ 5000,00 de reserva, a uma taxa de 1,75 real por dólar. De volta para casa,, em havendo usado a metade desse dinheiro na viagem, ele vendeu a metade que sobrou a 1,96 real a cada dólar. Então , esse viajante lucrou:

a) R$ 425,00b) R$ 450,00c) R$ 475,00d) R$ 500,00e) R$ 525,00

Solução: Temos que a diferença entre o preço de venda e o preço do compra é : 1,96 - 1,75= 0,21 , como restaram US$ 2500,00, basta multiplicar 2500 por 0,21, 2500 x 0,21 = 525

alternativa – “e”

12) Para limpar manchas nas paredes internas de uma residência, uma empresa de tintas sugere uma receita caseira que deve ser feita com 10 partes de água, 5 de álcool e 1 de detergente. Se uma diarista deseja preparar 4 litros dessa mistura, devera usar de álcool, em litros, o correspondente a:

a) 1b) 1,25c) 1,5d) 1,75e) 2

Solução: Trata-se de um problema de divisão em partes diretamente proporcionais, temos: A= quantidade de água : L= quantidade de álcool e D= quantidade de detergente. Construindo a proporção:

A = L = D = A+L+D = 4_ 10 5 1 10+5+1 16

Como estamos interessados apenas na quantidade de álcool (L), basta comparar as duas razões: L e 4 5 16

Formando a proporção: L = 4 , multiplicando “em cruz” 5 16

16L = 20 → L = 20 → L = 1,25 16Alternativa – “b”

13) Tenho R$ 230,00. Se eu der R$ 35,00 para minha irmã. Ficaremos com a mesma quantia. A quantia que ela tem é:

a) R$ 140,00b) R$ 150,00c) R$ 160,00d) R$ 170,00e) R$ 180,00

Solução: Tenho “ 230” e minha irmã “ x”, como dei R$ 35,00 a ela, fico com 195 e ela fica com “x + 35”. Como teremos a mesma quantia, então: x+ 35 = 195 , resolvendo

x= 195 - 35 x= 160

Alternativa – “c”

14) Uma fazenda retangular, que possui 10 km de largura por 20 km de comprimento, foi desapropriada para a reforma agrária. Se essa fazenda for dividida entre 200 famílias de modo que todas recebam a mesma área, cada uma delas deverá receber:

a) 1.000.000 m²b) 100.000 m²c) 10.000 m²d) 5.000 m²e) 1.000 m²

Solução: Note que as alternativas estão em “m²”, então é conveniente transformar as medidas em “m”. Teremos:

10 km → 10000m ; 20km → 20000m

A área é retangular então, Área = largura x comprimento= 10.000 x 20.0000 = 200.000.000m² , dividindo esta área por 200 famílias, teremos 1.000.000m².

Alternativa – “a”

15) O indicador de combustível do veículo de João marcava 4/10 de sua capacidade total quando ele parou num posto. Ele abasteceu o veículo com 18 litros de óleo diesel e o indicador registrou 7/10. A capacidade total deste , em litros, é de:

a) 60b) 65c) 70d) 75e) 80

Solução: Seja “x” a capacidade do tanque, temos:

4x → quantidade de diesel antes de abastecer10

7x → quantidade de diesel depois de abastecer10

Podemos formar a equação: 4x + 18 = 7x ,multiplicando a equação toda por 10 10 10

40x + 180 = 70x , simplificando e agrupando as letras 10 10

4x – 7x = -180 ,

-3x = -180 , dividindo por “-3”

x= 60


16) O valor de (32)0,2 é:

a) -1b) 1c) 2d) 0,5e) 6,4

Solução: Fatorando 32 encontramos 25, substituindo temos: (25)0,2 , aplicando a propriedade da potência de potência, 25.0,2 = 21 = 2

Alternativa –“c”

17) Para decorar um salão de festas, serão feitos cordões com lâmpadas coloridas, dispostas em seqüência, nas cores verde, azul, vermelha, laranja e amarela, e colocadas sempre nesta ordem. Serão usadas 837 lâmpadas. Sendo a primeira lâmpada verde, a cor da última será:

a) vermelhab) azulc) laranjad) amarelae) verde

Solução: A ordem das lâmpadas é a seguinte:

verde azul vermelha laranja amarela

Como temos 5 cores, procuramos o múltiplo de 5 mas próximo de 837, esse múltiplo é 835; então : a lâmpada “836“ é verde e a lâmpada “837” é azul

Alternativa –“b”

18) Nas olimpíadas realizadas em uma escola, Tiago saltou uma distância de 3,50 m, e ficou muito feliz por ter conseguido um resultado de 70 cm a mais do obtido no ano anterior, em que ele havia saltado uma distância de:

a) 2,80 mb) 2,75 mc) 2,65 md) 2,60 me) 2,55 m

Solução: Precisamos deixar todas as medidas em metros “m”, então:

70cm → 0,70m

A diferença de 3,50 – 0,70 = 2,80m


19) Com uma velocidade constante de 60 km/h, um carro faz um percurso em 15minutos. Com uma velocidade constante de 15 km/h, um ciclista faz o mesmo percurso em:

a) 30 minutos

b) 40 minutosc) 1 horad) 1h10mine) 1h 20min

Solução: Utilizando regra de três:

Veloc.(km/h) tempo(min)

↓ 60 15 ↑ 15 x

Note que as grandezas são inversamente proporcionais, neste caso, invertemos uma das razões e teremos:

60 = x , comparando, percebemos que x= 60min 15 15

60 min → 1 hora


20) Dos 6300 candidatos inscritos para um concurso público, a metade foi eleiminada na 1ª fase. Para fazer a prova 2ªfase, deixaram de comparecer 20% dos candidatos habilitados. Portanto, o número de presentes ao exame da 2ª fase foi:

a) 630b) 930c) 1520d) 1920e) 2520

Solução: Para a 2ª fase, foram habilitados 3150, e compareceram 80% (100% -20%que faltaram) dos habilitados, calculando, temos:

80% de 3150 → 80_ x 3150 → 0,8 x 3150= 2520 100

Alternativa – “e”

21) Os três sets de uma partida de tênis duraram, respectivamente, 52min20s; 1h8min40s e 1h15min, com dois intervalos de 10 minutos cada. O jogo que foi iniciado às 15 horas, terminou às:

a) 18h36minb) 18h35minc) 17h36mind) 17h35min

e) 17h30min

Solução: Fazendo a adição dos tempos:

1h 8min 40 s 1h 15min + 52min 20 s 20min_____ (intervalos) 2h 95min 60s

2h 95min 60s → fazendo as reduções 2h + (1h + 35min) + 1min → 3h 36min

Como o jogo começou às 15h , mais 3h36min de duração, temos que o término foi às 18h36min

Alternativa –“a”

22) Observe com atenção a tabela elaborada abaixo.

Descubra os números “a” e “ b” , e depois some-os. O resultado será:

a) -7b) -4c) -3d) +4e) +7

Solução: Para calcular “a”, fazemos : -1 – ( -3) = -1 + 3 = 2 → a= 2 “b” , é obtido por: -3 – ( -5) = -3 + 5= 2 → b= 2

Então, a + b, é igual : 2 + 2 = 4


23) Silvio alugou um carro na Agência X por R$ 280,00 acrescido de R$ 3,00 por km rodado. Pedro alugou, na agência Y, por R$ 400,00, acrescidos de R$ 1,00 por km rodado. Para que os dois tenham o mesmo gasto, a distância percorrida por eles deverá ser de:

x -1

-3

y -3 -5

x- y a b

a) 72 kmb) 70 kmc) 68 kmd) 60 kme) 50 km

Solução: Devemos encontrar expressões, que representem o gasto de Silvio e o gasto de Paulo. Seja k a distância percorrida

Silvio → 280 + 3.k ; Pedro → 400 + 1.k

Igualando as expressões → 280 + 3k = 400 + k , resolvendo 3k – k = 400 - 280 2k = 120 k = 120 2 k = 60 km


24) Um recipiente vazio pesa 590 gramas. Enchendo-o com 48 bolachas pesando 60 gramas cada uma, o peso total desse recipiente será:

a) 34,7 kgb) 3,47 kgc) 3,38 kgd) 3,28 kge) 2,88 kg

Solução: Multiplicando 48 por 60g, encontramos 2880 g, o recipiente cheio, terá massa igual a : 2880 + 590 = 3470g. Fazendo a conversão para kg, temos:

Kg g 1 1000 x 3470 , multiplicando “em cruz”

1000 x = 3470 x = 3470 → x= 3,470 kg Alternativa – “b” 1000 25) Ao final de um ano letivo, uma escola apresentou o seguinte quadro, a respeito do rendimento escolar:

PeríodoTotal de alunos

% de aprovação

Manhã 300 80%Tarde 500 60%

Noite 200 x Sabendo-se que, neste ano, os 3 períodos tiveram um total de 700 alunos aprovados, o percentual de aprovação do período da noite foi :

a) 80%b) 60%c) 20%d) 16%e) 8%

Solução: Vamos calcular a quantidade de alunos aprovados nos períodos da manhã e tarde:

manhã 80% de 300 0,8 x 300 = 240 alunos

noite 60% de 500 0,6 x 500 = 300 alunos

Como foram aprovados 700 alunos no total, 700 – 540 = 160, os aprovados do período da noite foram 160. Utilizando regra de três:

Alunos % 200 100 160 x , multiplicando “em cruz”

200 x= 16000 x = 16000 200 x= 80%


26) O motorista de um caminhão carregado com 432 caixas de laranjas deverá distribuir a carga em 3 supermercados, obedecendo à seguinte ordem: no supermercado A deverá entregar ¼ da carga; no supermercado deverá entregar 1/3 do sobrou, e finalmente, no supermercado C, o restante da carga. Assim , o supermercado C deverá receber:

a) 108 caixasb) 112 caixasc) 208 caixasd) 212 caixase) 216 caixas

Solução: devemos calcular quantas caixas foram distribuídas nos supermercados “A” e “B”

supermercado A → 1 x 432 = 432 = 108 → 108 caixas 4 4

Do que sobrou , 432 – 108= 324, 1/3 irá para o supermercado B

Supermercado B 1 x 324 = 324 = 108 → 108 caixas 3 3

Supermercado C → 432 -108 -108 = 216

alternativa –“c”

27) O perímetro de um retângulo B, cujas dimensões são 40 cm por 24 cm, é 52 cm maior do que o perímetro de um quadrado A. A medida do lado do quadrado A é:

a) 58 cmb) 32 cmc) 19 cmd) 18 cme) 16 cm

Solução: O perímetro do retângulo , soma de todos os lados, é 128cm, o quadrado tem 52 cm a menos de perímetro, então seu perímetro é 76cm, dividindo por 4 (lados iguais), temos que o lado mede: 19cm.


28) Abri uma conta corrente, em um banco, e depositei uma certa quantia. Fui fazendo depósitos sucessivos até esta quantia dobrar. Então, retirei R$600,00, e fiquei com R$1800,00. O depósito inicial foi de:

a) R$ 1300,00b) R$ 1250,00c) R$ 1200,00d) R$ 1100,00e) R$ 1050,00

Solução: Seja “x “, a quantia inicial, temos que:

O dobro da quantia inicial (2x) menos 600 é igual a 1800, teremos a equação:

2x – 600 = 1800 , resolvendo a equação 2x = 1800 + 600 2x = 2400 x = 2400 2

x= 1200


29) Uma parede com as dimensões de 3 m por 2m, dividida em 4 faixas horizontais, todas com o mesmo tamanho, será pintada, usando-se uma cor diferente para cada faixa. A área pintada de cada faixa será:

a) 1 m²b) 1,5 m²c) 1,6 m²d) 2 m²e) 2,5 m²

Solução: A área da parede será: A= 3 x 2 = 6 m² ; dividindo 6m² por 4, teremos que cada faixa terá : 1,5m²

Alternativa – “b”

30) Uma torneira aberta, com uma vazão de 30 litros por minuto, enche um tanque em 4 horas. Decorridos 1h12min do momento da abertura da torneira, a água acabou. Para encher o tanque faltam ainda:

a) 7200 litrosb) 6040 litrosc) 5840 litrosd) 5040 litrose) 5020 litros

Solução: Vamos calcular a capacidade do tanque: 4h vezes 30litros/min. Como 4h equivale a 240 minutos multiplicando por 30, teremos 7200 litros.

1h12min → 72min , então a torneira despejou , 72 x 30 = 2160 litros, restam para encher o tanque, 7200 -2160= 5040 litros


31) Antonio foi contratado para fazer uma cerca com 72m de extensão. Ele já fez 48 m. a fração correspondente ao trecho que falta para concluir a cerca é:

a) 3/7b) 2/5c) 1/5d) 2/3e) 1/3

Solução: Como já foram feitos 48 m, faltam 24m para o final. Então ele terá que fazer 24m de 72m, que em fração fica: 24 = (simplificando por 24) = 1 72 3


32) Para a pintura interna de uma residência serão necessários 50,4 litros de tinta. Como nas lojas há dois tipos de embalagens, o galão (3,6 litros) e a lata (18 litros), e para que não haja sobras de tinta, o pintor deverá comprar, exatamente:

a) 2 latas e 4 galõesb) 2 latas e 3 galõesc) 3 latasd) 1 lata e 10 galõese) 15 galões

Solução: 2 latas e 4 galões → 2 x ( 18 l) + 4 x ( 3,6 l) = 36 l + 14,4 l = 50,4 l

Alternativa – “a”33) Sr. Juca emprestou ao seu irmão R$ 20000,00 à taxa de juros simples de 10% aa. Os juros dos primeiros 6 meses serão:

a) R$ 1400,00b) R$ 1300,00c) R$ 1200,00d) R$ 1100,00e) R$ 1000,00

Solução: Note que a taxa é anual e o tempo está em meses, precisamos deixar taxa e tempo na mesma unidade. Neste caso, é melhor transformar 6 meses em ½ ano. Utilizando a fórmula do juros simples: J = c. i.t , teremos:

Capital ( c )= 20000 taxa (i) = 10%aa → 0,1 aa , tempo (t) = 6meses → ½ ano

Calculando: J = c.i.t J= 20000 x 0,1 x ½ = 1000

Alternativa –“ e”

34) Simão, representante de vendas, normalmente faz percurso de automóvel de São Paulo a Barretos, em 4 horas, com velocidade média de 120 km/h. Na última viagem, devido às obras de recapeamento, Simão acabou fazendo esse mesmo percurso com velocidade de 80 km/h. Quanto tempo gastou pra fazer o percurso?

a) 7 horasb) 6horas e meiac) 6 horasd) 5 horas e meiae) 5 horas

Solução: Utilizando regar de três, temos:

Velocidade(km/h) tempo(h) ↓ 120 4 ↑ 80 x

Note que as grandezas tempo e velocidade, são inversamente proporcionais, neste caso, devemos inverter uma delas, antes de calcular.

Teremos então:

120 x 80 4 , multiplicando “em cruz”

80x = 480

x= 480 → x= 6 horas 80 alternativa – “ c”

35) Otávio arranjou um segundo emprego, mas estava com dificuldades de comparecer todos os dias (inclusive sábados e domingos) ao novo trabalho. Seu patrão muito bonzinho, fez-lhe a seguinte proposta: ele receberia um salário de R$ 300,00 sendo que, após a 6ª falta, pagaria uma multa de R$ 2,00 para cada dia ausente. Após 30 dias, Otavio recebeu R$ 270,00, o que revela que ele trabalhou, nesse emprego:

a) 7 diasb) 9 diasc) 11 diasd) 13 dias

e) 15 dias

Solução: Vamos encontrar um expressão que represente o total de descontos do salário de Otávio. Seja “x”, o número de faltas, então a expressão será:

2(x-6) → desconto, note que ele pagará R$ 2,00 após a 6ª falta

Construindo uma equação: 300 menos descontos é igual a 270 , 300 -2.(x-6) = 270 , fazendo a distributiva 300 -2x + 12 = 270 -2x = 270 -12 -300

-2x = -42 , dividindo por “-2 ”

x= 21

Como Otavio faltou 21 dias , então ele trabalhou 9 dias


36) Dois sinais de trânsito fecham ao mesmo tempo, mas enquanto um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, o outro permanece os mesmos 10 segundos fechado, porém fica 50segundos aberto. O número mínimo de minutos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez, é:

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

Solução: Note que um sinal fecha a cada 50 (40+10) segundos e o outro a cada 60 (50+10) segundos, para saber depois de quanto tempo os dois fecharam juntos novamente, basta calcular o mmc de 50 e 60

50 , 60 | 2 25 , 30 | 2 25 , 15 | 3 25 , 5 | 5 5 , 1 | 5__ 1 , 1 | 300 mmc(50,60) = 300 → 300s = 5min


37) Sandra é uma estudante que quer passar uns dias de férias em Santos. Ela está decidindo entre os hotéis Palacete I (diária completa de R$ 25,00) e o Palacete II ( diária completa de R$ 20,00). Calculou que se escolhesse o Palacete II, mais simples, poderia ficar em Santos três dias a mais do que se escolhesse o Palace I. Sandra tem disponível , para essas diárias, um a quantia total de :

a) R$ 220,00b) R$ 240,00c) R$ 260,00d) R$ 280,00e) R$ 300,00

Solução: Considerando “x” o número de dias que Sandra passará no Palacete I, vamos montar a expressões que representam o custo em cada hotel:

Palacete I : 25.xPalacete II: 20.(x+3) , poderá ficar três dias a mais que no Palacete I

Igualando as expressões: 25.x = 20(x+3) , aplicando a prop. distribuitiva

25x = 20x + 60

25x – 20x = 60

5x= 60 , dividindo tudo por “5” x= 12 dias

Como ela poderá passar 12 dias no PalaceteI, com diária de R$ 25,00, o dinheiro que Sandra tem é ( 12 x 25) = 300

Alternativa –“e”

38) Um feirante compra maças ao preço de R$ 0,75 para cada 2 unidades e as vende ao preço de R$ 3,00 para cada 6 unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$ 50,00 é:

a) 40b) 52c) 100d) 200e) 400

Solução: O feirante paga cada maçã a R$ 0, 375 ( 0,75 : 2), e vende cada uma a R$0,50, então o lucro para uma maçã é de : 0,50 – 0,375 = R$ 0,125. Se o feirante quer lucrar R$ 50,00, então a quantidade de maçãs vendidas deverá ser: 50 : 0,125 = 400.


39) O preço de um artigo em promoção sofreu um desconto de 20%. Terminada a promoção, foi aumentado de 20%. Seu preço atual é:

a) igual ao inicialb) 98% do inicialc) 96% do iniciald) 94% do iniciale) 92% do inicial

Solução: Esse é um problema de aumento/desconto sucessivo . Como temos duas taxas envolvidas a fórmula será: vf = vi . ( 1+ i1). (1+ i2)

temos: i1 = - 20% i1 = - 0,2 ; i2 = 20% i2 = 0,20Substituindo: Vf = vi.( 1-0,2).(1+0,2) Vf = vi(0,80).(1,2)

Vf = 0,96.vi

Então o valor final ( vf) é 0,96.vi, ou seja , 96% do valor inicial


40) Joaquim emprestou para o seu amigo um capital de R$ 400,00, cobrando juro simples à taxa de 5% ao mês. O amigo de Joaquim, após 4 meses, pagou-lhe a dívida no valor de :

a) R$ 440,00b) R$ 450,00c) R$ 460,00d) R$ 470,00e) R$ 480,00

Solução: Precisamos calcular o montante simples, os dados são:

Capital ( c )= 400 ; taxa ( i ) = 5% → 0,05 ; tempo ( t ) = 4 meses

A fórmula para montante simples: M = c.( 1 + i.t) , substituindo M = 400.(1 + 0,05 x 4) M = 400.(1,20) M = 480


41) Nas receitas culinárias é comum aparecer “1/3 de xícara de chá”. Sabendo-se que essa medida corresponde a 80 gramas de certa farinha, ¾ de xícara de chá corresponde a uma quantidade de farinha igual a:

a) 180 gramasb) 170 gramasc) 160 gramasd) 150 gramase) 140 gramas

Solução: Utilizando regra de três:

fração da xícara gramas 1 → 80 3

3 → x 4

Multiplicando “em cruz”

1x = 240 3 4

1x = 60 , multiplicando tudo por “3” 3

x= 180 gramas


42) Uma torneira despeja 18 litros em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos despejará:

a) 300 litrosb) 270 litrosc) 240 litrosd) 220 litrose) 200 litros

Solução: Transformando 2h e 15minutos em minutos, tem-se : 135 minutos. Utilizando regra de três:

litros tempo(min)

18 9 x 135 , multiplicando “em cruz” 9x = 2430 , dividindo tudo por “9” x= 270 litros

Alternativa-“b”

43) Um corredor de Fórmula 1 leva 1 minuto e 30 segundos para dar uma volta na pista. Se ele diminuir em 10% essa marca, o novo tempo da sua volta será de:

a) 1 minuto e 27 segundosb) 1 minuto e 25 segundosc) 1 minuto e 23 segundosd) 1 minuto e 21 segundose) 1 minutos e 19 segundos

Solução: Basta calcular 90% de 1min30s, é conveniente transformar em segundos(s), o que corresponde a 90s. 90% de 90s → 0,9 x 90s = 81s

Transformando de novo temos: 1min 21s

Alternativa –“d”

44) Deseja-se cobrir com ardósia o piso de um quarto retangular, de dimensões: 2,8m e 2,5m. Neste quarto, há um armário embutido retangular, de dimensões : 1,2m e 0,5m. Qual a quantidade de ardósia necessária para cobrir o quarto, descontando-se a área do armário embutido?

a) 6,1m²b) 6,2m²c) 6,3m²d) 6,4m²e) 6,5m²

Solução: Basta calcular a área do quarto e descontar a área do armário embutido.

Área do quarto = 2,8 x 2,5 = 7m²Área do armário embutido= 1,2 x 0,5 = 0,6m²

7m² – 0,6m² = 6,4m²

Alternativa- “d”

45) Numa escola, o campo de areia de 21m² para as brincadeiras foi aumentada de uma mesma quantidade para os lados, passando a ter uma área de 51m². Sendo as dimensões inicias do campo: 3,5m e 6m. Qual foi o aumento nas dimensões do campo? Considere : √210,25 = 14,5

a) 1,5mb) 2 mc) 2,5md) 3me) 3,5m

Solução: Sendo “x” o aumento em cada dimensão, temos que :

A nova largura será: 3,5 + x e o novo comprimento será: 6 + x

A nova área é : (3,5 + x).(6+x) = 51 , aplicando a propriedade distributiva e simplificando os termos semelhantes teremos:

21 +3,5x +6x +x²= 51 x² + 9,5x + 21 -51 =0

x² +9,5x -30 = 0 , aplicando a fórmula de Baskhara

a= 1 ; b= 9,5 e c = -30

∆ = b² - 4.a.c , substituindo

∆ =(9,5)² - 4. (1).(-30)

∆ = 90,25 + 120

∆= 210,25

x = -b ±√∆ → x = -(9,5) ± 14,5 = 2a 2

x1 = -9,5 + 14,5 = 5 = 2,5m 2 2

x2 = -9,5 – 14,5 = -24 = -12m (não convém)2 2

O aumento em cada dimensão foi de 2,5m


46) Um automóvel foi de São Paulo a Ubatuba, passando por Taubaté. De São Paulo a Taubaté , ele rodou 130 km a uma velocidade média de 100 km por hora. Os 100 km restantes até Ubatuba, foram feitos a 60 km por hora. O tempo total da viagem foi de:

a) 2 horas e 58 minutosb) 2 horas e 50 minutosc) 2 horas e 42 minutosd) 2 horas e 34 minutose) 2 horas e 26 minutos

Solução: Basta calcular o tempo gasto em cada trecho e somar, para isto, utilizamos regra de três.

1º trecho: tempo (h) distância (km)

1 100 x 130 , multiplicando “em cruz”

100x = 130 x = 130 = 1,3 h 100

2º trecho: tempo (h) distância (km)


60x = 100 x = 100 = 1,666..h 60 No 1º trecho foram gastos 1,3h → 1h + 0,3h → 1h 18min ; no 2º trecho foram gastos 1,666...h → 1h + 0,666..h → 1h 40min

No total temos: 1h18min + 1h40min = 2h58min


47) Qual o menor número inteiro que multiplicado pelo seu consecutivo dá como produto 156?

a) -12b) 12c) 13d) -13e) 21

Solução: Seja “x” o número procurado, o seu consecutivo (o que vem em seguida) é “x +1”, multiplicando os dois números tem-se: 156. Então, resolvendo a equação:

x.(x+1) = 156 , aplicamos a prop. Distributiva

x² + x = 156 , agrupando os termos no 1º lado

x² + x -156=0 , aplicando a fórmula de Baskhara

a= 1 ; b= 1 e c= -156

∆ = b² - 4.a.c∆ = (1) -4.(1).(-156)∆ = 1 + 624∆ = 625

x = -b ±√∆ = -1 ± 25 2a 2

x1 = -1 – 25 = -13 x2= -1 + 25 = 12 2 2

O menor número inteiro que resolve o problema é “-13”


48) Paulo comprou um aparelho de televisão de 33 polegadas por R$ 1700,00 e o revendeu com um lucro de 15% sobre o preço de venda. Por quanto Paulo vendeu o aparelho de TV?

a) R$ 1955,00b) R$ 1935,00c) R$ 2000,00d) R$ 1850,00e) R$ 2050,00

Solução: O lucro (L) é a diferença entre o preço de venda (V) e o preço de custo(C) , temos a seguinte expressão: L = V – C

Como o lucro foi de 15% sobre o preço de venda, tem-se : L = 0,15.V, substituindo na expressão, temos:

L = V – C ↓ ↓ 0,15.v= v – 1700 , resolvendo a equação 0,15v – v = - 1700 , -0,85v= -1700 , dividindo tudo por “ -0,85”

v= 2000


49) Divida 153 em partes proporcionais a 2/3 e 3/4.

a) 52 e 101b) 64 e 89c) 54 e 99d) 76 e 77e) 72 e 81

Solução: Temos que encontrar dois números “ x” e “y”, que são proporcionais a 2/3 e 3/4 e que a soma seja 153. Basta formar a proporção e aplicar as propriedades convenientes:

X = Y = X+Y = 153 2 3 8 + 9 17 3 4 12 12 , comparando a razão conhecida com uma razão desconhecida

X = 153 2 17 3 12 , multiplicando “em cruz”

17 x = 306 12 3 , multiplicando “em cruz” novamente

51x = 3672 , dividindo tudo por “51”

x = 72 , então y = 81


50) Qual o maior número inteiro que podemos somar ao dividendo de uma divisão, onde o divisor é 13 e o resto é 2, sem que o quociente sofra alteração?

a) 13b) 12c) 11d) 10e) 17

Solução: Como o divisor é 13, o resto desta divisão tem que ser menor que 13, então o maior número inteiro que podemos somar é 10.


51) Das afirmativas abaixo:1- o número 1 é primo2- o número zero é primo3- o número 1 é composto4- o número 2 é primo

a) apenas é uma verdadeirab) apenas duas são verdadeirasc) apenas três são verdadeirasd) todas são verdadeirase) todas são falsas

Solução: Apenas 1 é verdadeira veja:

Afirmativa 1 é falsa, pois 1 tem apenas um divisor, então não é primo, e o número primo tem apenas 2 divisores

Afirmativa 2 é falsa, pois zero tem infintos divisores, então não é primo e sim um número composto

Afirmativa 3 é falsa, 1 tem apenas um divisor

Afirmativa 4 é verdadeira, 2 é o único par que é primo, tem apenas dois divisores o “1” e ele mesmo “2”

Alternativa- “a”

52) Quanto devo somar a (-2)-1 para obter o número 1?

a) 1b) 1,5c) 2d) -0,5e) -2

Solução: para calcular (-2)-1 , basta inverter a base e trocar o sinal do expoente, temos então: (-2)-1 = -1 2

-1 = -0,5 2 Para resolver a questão basta fazer : 1 – ( -0,5) → 1,5

Alternativa-“b”

53) Quantos “ ha” tem um sítio de terreno retangular com 3200m de largura por 1800m de comprimento?

a) 5,76b) 56,7c) 57,6d) 576e) 5760

Solução: Como a fazenda é retangular, a sua área é dada por A= L x C

Sendo L= 3200 e C = 1800 A = 3200 x 1800= 5760000m²

Como 1ha é igual a 10.000m² , por regra de três

ha m² 1 10.000 x 5760000 , multiplicando “em cruz”

10000x = 5760000 , dividindo tudo por “ 10000”

x= 576 ha

54) Rendendo juros de 2,5% ao mês, uma certa quantia. A será duplicada em quanto tempo?

a) 25 anosb) 20 mesesc) 2,5 mesesd) 80 mesese) 40 meses

Solução: Para que a quantia A duplique é necessário que o juros( J ) seja igual ao capital ( C ). A taxa ( i ) é 2,5%am → 0,025 am

J = C. i. t

Condição do problema → J = C ↓ c.i.t = c , substituindo i= 0,025

c.(0,025).t = c , dividindo tudo por “c”

0,025.t = 1 , dividindo tudo por “0,025”

t= 1 → t = 40 meses 0,025


55) Ache os números cuja a diferença é 11/3, sabendo-se que a soma do dobro do primeiro com o triplo do segundo é igual a 17/3.

a) -10/3 e 1/3b) -10/3 e -1/3c) 12/3 e -1/3d) -12/3 e 1/3e) 10/3 e -1/3

Solução: Seja “x” e “ y” os números procurados, temos as seguintes equações:

A diferença entre eles é 11/3 → x – y = 11 3

A soma do dobro do primeiro (2x) com o triplo do segundo (3y) é igual a 17/3

2x + 3y = 17/3 Basta resolver o sistema:

x – y = 11 3

2x + 3y = 17 3

É conveniente multiplicar cada uma das equações por “3”, para eliminar o denominador “3” , teremos então:

3x – 3y = 11 6x + 9y = 17 , para resolver o sistema podemos multiplicar a primeira equação por “3”. Assim teremos , termos opostos e podemos adicionar as equações.

9x – 9y = 33 6x + 9y = 17 , somando os termos semelhantes 15x = 50

x= 50 = 10 15 3

Para encontrar “y”, basta escolher uma equação e substituir o valor de “x”

Utilizando a equação: 3x - 3y = 11 ↓ 3. 10 - 3y = 11 , efetuando os cálculos 3

10 - 3y = 11 , resolvendo

- 3y = 11 -10 -3y = 1 , dividindo tudo por “ -3 ”

y= -1/3

Então os números procurados serão : 10/3 e -1/3

Alternativa- “e”

56) Qual o menor número que satisfaz a equação (2x – 1)² = 625

a) zerob) -13c) 13d) 12e) -12

Solução: (2x – 1)² = 625 , desenvolvendo a primeira parte

(2x -1).(2x – 1) = 625 , aplicando a prop. distributiva

4x² -2x -2x + 1 = 625 , agrupando os termos na primeira parte e simplificando termos semelhantes

4x² - 4x + 1 -625= 0 4x² - 4x – 624 = 0 , para simplificar, dividiremos tudo por “4”

x² -x -156=0 , aplicando a fórmula de Baskhara

a= 1 ; b= -1 e c= -156

∆= b² - 4.a.c∆= (-1)² -4.(1).(-156)∆= 1 + 624∆ = 625

x= -b±√∆ = 1±25 2a 2

x1= 1 + 25 = 13 2

x2= 1 – 25 = -12 2

O menor número que é a raiz da equação é “ -12 ”

Alternativa-“e”

Este problema poderia ser resolvido fazendo a verificação de cada valor na equação

57) Qual é a terceira proporcional na proporção x = y ? y z

a) xb) yc) zd) xze) y²

Solução: Como a proporção é contínua, (meios iguais), o valor da terceira proporcional é “z”


58) Durante quanto tempo Paulo terá que aplicar um certo capital à taxa de 8% ao ano , para que este capital produza juros iguais a três quartos do seu valor?

a) 9 anos, 4 meses e 15 diasb) 9 anos, 6 meses e 8 diasc) 8 anos, 3 meses e 22 diasd) 8 anos, 6 meses e 18 diase) 10 anos e 3 meses

Solução: Temos os seguintes dados:

C= c ; i = 8% aa → i = 0,08 aa t= ? e J= 3.c → 0,75.c 4

Utilizando a fórmula do juros simples: J = c.i.t , substituindo os valores

J = 0,75. c ↓ c.i.t = 0,75.c ↓ c.(0,08).t = 0,75c , dividindo tudo por “c”

0,08.t = 0,75 , dividindo tudo por “0,08”

t= 0,75 → t = 75 → t= 9,375 anos 0,08 8

Fazendo a conversão para “ anos , meses e dias”

9,375 → 9anos + 0,375 ano → 9 anos + 0,375.( 12 meses) → 9 anos + 4.5 meses

9anos + 4 meses + 0,5 mês → 9 anos 4meses 15 dias


59) Ao escalar uma montanha, um alpinista percorre 256m na primeira hora, 128m na segunda hora, 64m na terceira hora, e assim sucessivamente. Quando tiver percorrido 496m, terão passado:

a) 3 horas e 30 minutosb) 4 horas

c) 4 horas e 30 minutosd) 5 horase) 5 horas e 30 minutos

Solução: Note que a medida que o tempo passa, o alpinista anda metade do que andou na última hora. Temos

Hora andou total 1ª 256m 256m 2ª 128m 384m 3ª 64m 448m 4ª 32m 480m 5ª 16m 496m

5 horas


60) Deseja-se cobrir com cerâmica ( peças quadradas com 20cm de lado) o piso de uma cozinha e área de serviço. As dimensões da cozinha são : largura 1,80m e comprimento 2,70m ; as dimensões da área de serviço são: largura 1,30m e comprimento 1,80m. Quantas peça de cerâmica serão necessárias para cobrir a cozinha e a área de serviço?

a) 160b) 165c) 170d) 175e) 180

Solução: Basta dividir a área a ser coberta pela área de cada cerâmica. Devemos deixar cada área na mesma unidade de medida

Área da cozinha (em cm) = 180cm x 270cm = 48600cm²Superfície da área de serviço (em cm) = 180cm x 130cm²= 23400cm²

Área total : 72000cm²

Área de cada cerâmica: 20cm x 20cm = 400cm²

Fazendo a divisão: 72000 : 400 = 180 peças

Alternativa- “e”

61) Em uma sala há três lâmpadas iguais, um televisor e um aparelho de ar condicionado. A TV consome 1/3 dos quilowatt-hora(kwh) que uma das lâmpadas consome. O aparelho de ar condicionado consome 15 vezes o que consome uma lâmpada. Quando estão todos ligados ao mesmo tempo, o consumo total é de 1100 kwh. Portanto, o televisor consome:

a) 24 kwhb) 22 kwhc) 20 kwhd) 18 kwhe) 16 kwh

Solução: Note que o consumo dos aparelhos, têm como referência o consumo das lâmpadas. Chamando o consumo de cada lâmpada de “x”, temos as seguintes expressões:

Lâmpada → xAr condicionado → 15xTV → 1x 3

Somando todos os aparelhos temos: 1100 kwh , temos então a equação:

3x + 15x + x = 1100 ( temos três lâmpadas - “3x”) 3 , multiplicando tudo por “3” 9x + 45x + x = 3300 55x = 3300 , dividindo tudo por “55” x= 60 Como o televisor consome 1 do consumo de uma lâmpada 3

Então , o consumo do televisor é 1 . 60 = 20kwh 3

Alternativa- “c”

62) Um capital de R$ 18000,00 foi aplicado por um período de seis meses a juro simples produzindo um montante de R$ 21780,00. A taxa mensal de juro simples que produziu este montante foi de:

a) 4%b) 3,5 %c) 3%d) 2,5%e) 2%

Solução: Os dados do problema são:

Montante (M)= 21780 ; capital (c ) = 18000 ; t = 6 meses e i=?

Pela fórmula do montante simples temos: M = c.( 1 + i.t)

18000.( 1 + i. 6) = 21780 , aplicando a prop. distributiva 18000 + 108000 i = 21700 , resolvendo 108000i = 21780 – 18000 108000i = 3780 i = 3780 108000

i= 0,035 → i= 3,5%am

Alternativa- “b”

63) Se incêndios em 1500 000km² liberam 6 bilhões de toneladas de gás carbônico, então incêndios em 4000 000 km² liberam em toneladas desse gás, na ordem de :

a) 16 bilhõesb) 12 bilhõesc) 11 bilhõesd) 10 bilhõese) 8 bilhões

Solução: Basta utilizar regra de três

Área (km²) gás carbônico(bilhões de toneladas)

1500000 6 4000000 x ,

1500000 = 6 4000000 x , multiplicando “ em cruz”

1500000x = 24 000000

x= 24000000 = 240 = 16 bilhões 1500000 15


64) Uma parede com 18m² de área está pintada com 2 cores: a de cor amarela corresponde a 3/5 da área total e a de cor azul corresponde a 2/3 da área amarela. Então, a área pintada em azul é de:

a) 14,4m²b) 12 m²c) 10,8m²d) 7,2m²e) 3,6m²

Solução:

Área amarela → 3 .18 = 54 = 10,8m² 5 5

Área azul → 2 . 10,8 = 21,6 = 7,2 m² 3 3

Alternativa-“d”

65) Um certo veículo utilitário custa R$15000,00 a mais que o modelo sedan da mesma marca. Se os dois juntos custam R$ 69000,00, o utilitário custa:

a) R$ 41000,00b) R$ 41500,00c) R$ 42000,00d) R$ 42500,00e) R$ 43000,00

Solução:

Sedan → x

Utilitário → x + 15000

Os dois juntos custam 69000: x + x + 15000 = 69000 , resolvendo 2x + 15000 = 69000 2x= 69000 – 15000 2x= 54000 , dividindo tudo por “2” x= 27000

O utilitário custa “x+ 15000” → R$ 42000


66) Um pai tem hoje 54 anos e seus quatro filhos têm , juntos, 39 anos. A idade do pai será igual à soma das idades de seus filhos daqui a:

a) 5 anosb) 8 anosc) 10 anosd) 12 anose) 15 anos

Solução: A soma das idades dos filhos pode ser representada pela expressão:

a + b + c + d = 39

A idade dos filhos juntos será igual a idade do pai daqui a “x” anos, isso significa que cada idade será acrescida de “x” anos, teremos então:

(a+x) + (b+x) + (c+x) + (d+x) = 54 + x , reorganizando a equação (a + b + c + d) + 4x = 54 + x , substituindo (a + b + c + d) por 39 ↓ 39 + 4x = 54 + x , resolvendo a equação

4x – x = 54 – 39

3x = 15 , dividindo tudo por “3”

x= 15 → x= 5 anos 3


67) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y , é 50% mais eficiente que x . Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize esta tarefa é:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

Solução: Y é 50% mais eficiente que x, essa situação pode ser representada da seguinte maneira: y = x +0,5x → y= 1,5x. Utilizando regra de três temos:

Pessoa tempo(h)

x 12 y (?) , trocando y por 1,5x

Pessoa tempo(h)

x 12 1,5x t , note que as grandezas são inversamente proporcionais

Invertendo uma das razões e formando a proporção temos:

x_ = t_ 1,5x 12 , multiplicando “em cruz” 1,5x t = 12x , como queremos calcular “t”, dividimos tudo por 1,5x t = 12x t= 8h 1,5x


68) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é:

a) 42b) 43c) 45d) 48e) 49

Solução: Temos 40 homens ( fumantes e não fumantes) , precisamos calcular o número de mulheres fumantes .

12% de 25 → 0,12 x 25 = 3 mulheres fumantes

Então o total de homens ou fumantes é 40 (homens) + 3(mulheres fumantes)

Total 43 pessoas

Alternativa –“ b”

69) Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de sue valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:

a) 2%b) 2,2%c) 2,5%d) 2,6%e) 2,8%

Solução: os dados do problema são:

Capital (c ) = c ; tempo (t) = 1ano e 4 meses ; montante (M)= 7c → 1,4c e taxa (i) = ? 5

Utilizando a fórmula do montante simples: m = c.(1 + i.t) , como queremos a taxa mensal, o tempo deve estar em meses, neste caso, 16 meses.

c.( 1 + i.t) = m , substituindo os dados

c.( 1 + 16.i) = 1,4.c , aplicando a prop. distributiva

c + 16.i.c = 1,4c , como queremos calcular “i”, podemos dividir tudo por “c”

1 + 16.i = 1,4 , resolvendo a equação

16.i = 1,4 – 1

16.i = 0,4 , dividindo tudo por “16”

i= 0,4 16

i= 0,025 → 2,5%am


70) Um capital de R$ 15000,00 foi a juro simples à taxa bimestral de 3% . Para que seja obtido um montante de R$ 19050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de:

a) 1 ano e 10 mesesb) 1 ano e 9 meses

c) 1 ano e 8 mesesd) 1 ano e 6 mesese) 1 ano e 4 meses

Solução: Os dados do problema são:

Capital (c) = 15000 ; taxa (i) = 3% ab → 0,03ab ; montante (m)= 19050 : t=?

Note que a taxa é bimestral, neste caso, é conveniente transformá-la em taxa mensal ,o que equivale a 1,5% am .

Substituindo na fórmula do montante: m= c.(1 + i.t)

15000.( 1 + 0,015.t) = 19050 , aplicando a prop. distributiva

15000 + 225.t = 19050 225.t= 19050 – 15000

225.t= 4050 , dividindo tudo por “225”

t = 4050= 18meses 225


Exercícios resolvidos - matemática fundamental - parte II

71) Em 3 dias, 72000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108000 bombons?

a) 3b) 3,5c) 4d) 4,5e) 5

Solução: Este é um problema de regra de três composta, com 4 grandezas.

Dias bombons máquinas horas

3 72000 2 8 x 108000 3 6

Comparando cada razão conhecida com a razão desconhecida teremos:

dias bombons

↑ 3 72000 ↑ x 108000 , são diretamente proporcionais, setas no mesmo sentido

dias máquinas ↑ 3 2 ↓ x 3 ,são inversamente proporcionais,setas em sentido contrário

dias horas

↑ 3 8 ↓ x 6 , são inversamente proporcionais, setas em sentido contrário

Então a proporção terá o seguinte formato

Dias bombons máquinas horas

↑ 3 ↑ 72000 ↓ 2 ↓ 8 x 108000 3 6

Devemos deixar as setas todas no mesmo sentido antes de efetuar os cálculos, basta inverter as razões “máquinas” e “horas” , teremos:

3 = 72000 = 3 = 6 x 108000 2 8 , multiplicando as razões conhecidas entre si

3 = 1296000 x 1728000 ,simplificando a segunda razão por 6000

3 = 216 x 288 , multiplicando “em cruz”

216x = 864 , dividindo tudo por 216

x= 864 → x= 4 dias 216


72) Qual é menor número pelo qual se deve multiplicar 84 para se obter um quadrado perfeito?

a) 18b) 21c) 27d) 35e) 42

Solução: Devemos fatorar o número 84

84 | 242 | 2 21| 3 7 | 7____ 1 | 2².3.7

Para que um número seja quadrado perfeito, é necessário que todos os expoentes dos fatores sejam múltiplos de “2”

Como 84 = 2².3.7 devemos multiplicá-lo por 3 e por 7, para que tenhamos todos os fatores com expoente 2

Então o número pelo qual devemos multiplicar 84 para que se obtenha um número quadrado perfeito é 21 ( 3 x 7)

Alternativa-“b”

73) Antonio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antonio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antonio representa, aproximadamente, quantos por cento do que ele possuía?

a) 11,1b) 13,2c) 15,2d) 33,3e) 35,5

Solução: Somando o dinheiro de Antonio e Bento, tem-se 720 reais, dividindo por 3, cada um ficará com 240 reais. Isto significa que Antonio deu 30 reais a Bento. Utilizando regra de três simples, podemos calcular a porcentagem procurada.

Total de Antonio %

270 100 30 x , multiplicando “ em cruz”

270x = 3000 , dividindo por “ 270”

x = 3000 → x= 11,11 270

Alternativa- “a”

74) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que ser que o serviço seja feito?

a) 2 horas e 7 minutosb) 2 horas e 5 minutosc) 1 hora e 57 minutosd) 1 hora e 43 minutose) 1 hora e 36 minutosSolução: Vamos calcular a fração do salão que cada faxineiro limpa em 1h.

Faxineiro A gasta 4 horas, então em 1h ele limpa ¼ do salão

Faxineiro B gasta 3 horas, então em 1h ele limpa 1/3 do salão

Os dois juntos limpam , 1 + 1 , do salão em 1 h 4 3 Efetuando 1_ + 1 = 3 + 4 = 7 4 3 12 12

Então em 1 hora os dois juntos limpam 7/12 do salão. Utilizando regra de três e considerando o salão todo igual a 1 inteiro, temos:

Tempo(h) fração do salão

1 7 12

x 1 , multiplicando “em cruz”

7x = 1 12

x= 12 → x ≈ 1,71h 7

Transformando 1,71h em horas e minutos, temos 1h + 0,71h → 1h+ 0,71.(60min)

1h + 42,6min → 1h42,6min → aproximadamente 1h 43min


75) João e Maria acertaram seus relógios às 14horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta 20s por dia e o de Maria atrasa 16s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram um diferença de 4minutos e 30 segundos entre horários que seus relógios marcavam. Em que dia e hora eles se encontraram?

a) Em 12/03 à meia noiteb) Em 13/03 ao meio diac) Em 14/03 às 14hd) em 14/03 às 22he) Em 15/03 às 2h

Solução: Como um relógio adianta 20s e outro atrasa 16s ( -16s)

A diferença diária entre os relógios é : 20- (-16) → 20s + 16s = 36s

Depois de certo tempo a diferença de horário entre os relógios é 4min e 30seg, transformando tudo em segundos 270 segundos. Utilizando regra de três:

dia diferença de horários( em s)


36x = 270 , dividindo por “36”

x = 270 = 7,5 dias 36

Então a diferença é de 7 dias e 12horas. Fazendo a adição das datas temos:

dia 7 14h 7 12h + dia 14 26h fazendo as reduções 26h → 1 dia e 2h dia 15 2h

Eles se encontraram no dia 15/03 às 2h.


76) Numa prova de matemática, a razão de número de questões que Talita acertou para o número total de questões foi de 5 para 7. Quantas questões Talita acertou sabendo-se que a prova era composta de 35 questões?

a) 21 questõesb) 24 questõesc) 25 questõesd) 28 questões

Solução: Sendo A o total de acertos e T a quantidade de questões, então a razão entre acertos e total de questões é : A , formando uma proporção temos: T

A = 5 T 7 , como T= 35

A = 5 35 7 , multiplicando “em cruz”

7A = 175 , dividindo por “7”

A= 175 → A= 25 7

Alternativa - “c”

77) A distância entre as cidade “A” e “B” é de 43 Km. Qual é a escala de um mapa onde essa distância é representada por 21,5 cm?

a) 1:50.000b) 1:100,000c) 1:200,000d) 1:250,000

Solução: Basta usar regra de três, lembre que 1 km é equivalente a 100000 cm mapa (cm) distância real (cm)

21,5 4300000 1 x , multiplicando “em cruz”

21,5 x = 4300000 , dividindo por “21,5”

x= 4300000 → x= 200.000 21,5

Então 1cm no mapa corresponde a 200.000cm na realidade, logo a escala é:1:200.000Alternativa – “c”

78) A razão entre a velocidade de dois móveis, X e Y, é de 5/8. Qual a velocidade do móvel Y, quando a velocidade de X for igual a 70 Km/h?

a) 43,75 Km/hb) 56Km/hc) 96Km/hd) 112Km/h

Solução: Basta formar a proporção, e aplicar a propriedade fundamental das proporções.

X = 5 Y 8 , como X =70

70 = 5 y 8 , multiplicando “em cruz”

5y = 560 , dividindo por “5” y= 560 → y= 112 km/h 5


79) Determine o valor de “X”, sabendo-se que:

X/Y = 4/3 e X+Y= 21

a) 8b) 9c) 10d) 12

Solução: Temos que resolver o sistema :

X + Y = 21 X = 4 Y 3 , na equação II podemos multiplicar os elementos “em cruz”

X + Y = 21 3X = 4Y , agrupando as letras da equação II no primeiro membro

X + Y = 21 3X - 4Y = 0 , multiplicando a equação I por 4

4X + 4Y = 84 3X - 4Y = 0 , note que 4y e -4y são opostos, basta somar as equações 7x = 84 , dividindo por “7”

x = 84 x= 12 7 Alternativa – “d”

80) Numa loja, o preço de um produto sofreu dois descontos consecutivos: o primeiro de 10% e o segundo de 18%. Qual a porcentagem equivalente se o desconto fosse feito de uma única vez?

a) 11,82%b) 26,2%c) 18,8%d) 28%

Solução: O que precisamos calcular é a taxa total de desconto, os dados são:

vi = vi ; vf= vf ; i1= 10% → - 0,1 e i2= 18% → -0,18

Substituindo na fórmula : vf = vi.( 1+ i1).(1+ i2) vf = vi.( 1-0,1).(1-0,18) vf = 0,738.vi

O número 0,738 é o fator de desconto, para descobrir o desconto total, basta subtrair 1 e escrever o resultado na forma de porcentagem.

0,738 – 1 = - 0,262 → -26,2%


81) Um bolo de chocolate, dividido em pedaços iguais, foi colocado à venda na confeitaria “Boca Doce”. Decorrido uma hora, 3/4 da torta haviam sido vendidos, restando apenas 5 pedaços. Em quantos pedaços a torta foi dividida?

A. 10 B. 15 C. 20 D. 30

Solução: Como foram vendidos ¾ da torta, então restou ¼ da torta. Sendo “x” a quantidade de partes que a trota foi dividida , temos a seguinte equação:

1 x = 5 , multiplicando tudo por “4” 4

x= 20


82) Qual é a sentença verdadeira?

A. A 2,01 = 2 1 100

B. 0,23 = 20 + 3 10 100

C. 0,27 = 2 + 7 100 100

D. 10 = 1,0 100

Solução: precisamos verificar cada uma das sentenças:

A) transformando o número misto 2 1 em fração imprópria encontramos 201 100 100

transformando em decimal: 2,01 - sentença verdadeira

B) transformando 20 + 3 , em decimal , temos : 2 + 0,03 = 2,03 10 100 sentença falsa

C) transformando 2 + 7 , em decimal, tem-se: 0,02 + 0,07 = 0,09 (sentença falsa) 100 100 D) transformando 10 , em decimal, tem-se: 0,1 (sentença falsa) 100


83) Computadas as listas de chamada de uma escola, percebeu-se que o número de ausências no mês de agosto correspondeu a 30% do total de alunos. Sabendo que 195 alunos faltaram às aulas nesse mês, quantos alunos tem a escola?

A. 585 B. 650 C. 500 D. 1350

Solução: Por regra de três:

alunos (%)


30 x = 19500 , dividindo tudo por “ 30”

x= 650

Alternativa – “b”

84) Um terreno retangular tem uma área de 576 metros quadrados. O comprimento do terreno é 32m. Qual é o perímetro do terreno?

A. 18 m B. 50 m C. 75 m D. 100 m

Solução:Como o terreno é retangular, sua área é obtida pela expressão: A = L x C, escrevendo a equação temos:

L x 32 = 576 , dividindo por “32” L = 576 32 L= 18 m

O perímetro é igual a soma dos quatro lados do terreno : 32+32+18+18 = 100m


85) O valor de (0,3).(0,7) – 5.(0,02) (0,5) .(0,2) é:

A. 0,11 B. 11 C. 1 D. 1,1

Solução: Efetuamos os cálculos do numerador e do denominador separadamente e finalmente dividimos os resultados

(0,3)(0,7) – 5.(0,02) = 0,21 – 0,1 = 0,11

(0,5).(0,2) = 0,1

Dividindo 0,11 por 0,1 , encontramos: 1,1


86) A tabela ao lado mostra os preços cobrados por um digitador, por página impressa. Para digitar 134 páginas ele cobrou R$250,00. Quantas páginas de texto com figuras foram digitadas nesse trabalho?

A. 85 B. 49 C. 79 D. 55

Solução: Para resolver este problema, precisaremos construir um sistema de equações:

X → número de páginas de texto

Y → número de páginas com figuras

x + y = 134 (total de páginas) 1,5x +2,5 y = 250 (preço total), multiplicando a equação I por “1,5”

1,5x + 1,5y = 201 1,5x + 2,5y = 250 , como temos termos iguais nas duas equações podemos subtraí-las

-1y = -49 , dividindo por “-1”

y = 49 , como x + y= 134 , então x= 85

O número de páginas com figuras (y), é igual a 49

Tipo de trabalho

Preço

Somente texto

R$1,50

Texto com figuras

R$2,50

Alternativa –“b” 87) Na pizzaria do Sr. Giuseppe, a pizza grande custa R$15,00 e seu diâmetro é 40 cm. A pedido da clientela, ele passou a fazer uma pizza média, de diâmetro igual a 36 cm. Sabendo que os preços são proporcionais às áreas das pizzas, quanto o Sr. Giuseppe deverá cobrar pela pizza média?

A. R$14,25 B. R$13,00 C. R$12,15 D. R$13,50

Solução:Calculando a área de cada pizza , e aplicando regra de três temos:

Diâmetro = 40cm , então o raio = 20cm , Diâmetro = 36 cm , então o raio = 18 cm

A área do círculo é dada por:

A = r².¶

A1 = (20)².¶ = 400¶

A2= (18)².¶ = 324¶ , geralmente considera-se (¶ )pi= 3,14, mas neste caso, podemos deixá-lo indicado.

Formando a proporção : 400¶ = 15 324¶ x , simplificando a primeira razão por

“4¶” e multiplicando “em cruz”

100 = 15 81 x , multiplicando “em cruz”

100x = 1215 , dividindo por “ 100”

x= 12,15

Alternativa - “c”88) A solução do sistema X + Y = -3 e 4x - y= 33 2 2 4 4 é um par ordenado (x, y), tal que x – y vale:

A. 15 B. – 3 C. 3 D. – 15

Solução: Como na equação I e também na equação II , os denominadores são iguais, podemos considerar apenas os numeradores da cada equação, surgindo o sistema:

x + y = -3 4x - y = 33 , como as equações possuem termos opostos, y e -y podemos somá-las.

5x = 30 , dividindo por “ 5”

x = 6

Substituindo na equação: x + y = -3 ↓ 6 + y = -3

y= -3 – 6 y = - 9

Então , x-y → 6 – ( -9) = 6 + 9 = 15


89) Três irmãos, Afonso, Antonio e Alfredo, têm respectivamente 11, 14 e 18 anos. Afonso, o mais novo, ganhou R$330,00 de presente e os outros ganharam quantias proporcionais às suas idades em relação ao primeiro. Então,

A. Alfredo ganhou R$120,00 a mais que AntonioB. Alfredo ganhou R$600,00C. Antonio ganhou R$440,00D. Alfredo ganhou R$90,00 a mais que Antonio

Solução: Basta formar uma proporção , utilizando a idade de cada filho e a quantidade de dinheiro, fazer as comparações convenientes.

A → quantia de AfonsoB → quantia de AntonioC → quantia de Alfredo

Temos então: A = B = C 330 = B = C 11 14 18 11 14 18

Comparando e aplicando a propriedade fundamental das proporções:

330 = B → 11B = 4620 → B = 4620 → B= 420 11 14 11

330 = C → 11C = 5940 → C= 5940 → C= 540 11 18 11 Sendo assim :

Afonso recebeu : 330 Antonio recebeu : 420 Alfredo recebeu: 540

Então Alfredo recebeu R$120,00 a mais que R$420,00


90) Se 35 operários constroem uma casa em 24 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos fariam a mesma obra em 14 dias, trabalhando 10 horas por dia?

A. 30 B. 45 C. 35 D. 48

Solução: Utilizando regra de três composta

operários dias horas

35 24 8 x 14 10

Precisamos analisar as grandezas , atribuímos a seta “↑” para a razão dos operários.

operários dias

↑ 35 24 ↓ x 14 , são inversamente proporcionais

operários horas

↑ 35 8 ↓ x 10 , são inversamente proporcionais

Temos:

↑ 35 ↓ 24 ↓ 8 x 14 10

Antes de efetuarmos os cálculos devemos inverter as razões, com intuito de deixar as setas no mesmo sentido

operários dias horas ↑ 35 ↑ 14 ↑ 10 x 24 8 , multiplicando as razões conhecidas e comparando com a razão desconhecida


140x = 6720 → x= 6720 → x= 48 operários 140


91) A soma de três números naturais é 13 455. O maior deles é 7 946. A diferença entre os outros dois é 2 125. O triplo do menor deles é(A) 1 692(B) 3 384(C) 3 817(D)) 4 749(E) 5 076

Solução: Temos na verdade dois números desconhecidos, utilizando sistemas de equações, podemos encontrar os números. Sejam x e y os números desconhecidos, então: x + y + 7946= 13455 → x + y = 5509 x - y = 2125 , adicionando as equações

2x = 7634 , dividindo por “2”

x = 7634 → x= 3817 2

Para encontrar “y”, utilizamos a equação I, para substituir o valor de x

x + y = 5509 ↓ 3817 + y = 5509

y= 5509 – 3817 → y = 1692

Como 1692 é o menor número, então o seu triplo será: 5076

Alternativa –“e”92) A verificação do funcionamento de três sistemas de segurança é feita periodicamente: o do tipo A a cada 2 horas e meia, o do tipo B a cada 4 horas e o do tipo C a cada 6 horas,inclusive aos sábados, domingos e feriados.

Se em 15/08/2001, às 10 horas, os três sistemas foram verificados, uma outra coincidência no horário de verificação dos três ocorreu em(A) 22/08/2001 às 22 horas.(B) 22/08/2001 às 10 horas.(C) 20/08/2001 às 12 horas.(D)17/08/2001 às 10 horas.(E) 15/08/2001 às 22 horas e 30 minutos.

Solução: A princípio é melhor converter cada período em minutos.

Tipo A → 2h30min → 150 min

Tipo B → 4 h → 240 min

Tipo C → 6 h → 360 min

Para descobrir em quanto tempo haverá uma outra coincidência de horários de verificação, basta calcular o mmc de 150 , 240 e 360. Efetuando os cálculo temos que o mmc( 150,240,360) = 3600

Transformando 3600min em horas temos 60horas, ou ainda, 2 dias e 12 horas. Uma outra coincidência acontecerá a cada 2,5 dias. As coincidências acontecerão em:

17/08 às 22h ; 20/08 às 10h; 22/08 às 22h


93) Uma certa quantidade de dados cadastrais está armazenada em dois disquetes e em discos compactos(CDs). A razão entre o número de disquetes e de discos compactos, nessa ordem, é 3/2. Em relação ao total desses objetos, a porcentagem de(A) disquetes é 30%.(B) discos compactos é 25%.(C) disquetes é 60%.(D) discos compactos é 30%.(E)) disquetes é 75%.

Solução: Sendo x o número de disquetes e y número de CDs, temos que:

x = 3 → x = 1,5 → x= 1,5y y 2 y

O total de objetos é x + y → 2,5y

Utilizando regra de três: “k representa a porcentagem dos CDs em relação ao total”

Total de objetos %

2,5y 100 y k , multiplicando “em cruz”

2,5yk = 100y , dividindo tudo por “2,5 y” k= 40

Sendo assim, a quantidade de CDs é 40% do total de objetos e por conseqüência a quantidade de disquetes é 60% do total.


94) Um agente executou uma certa tarefa em 3 horas e 40minutos de trabalho. Outro agente, cuja eficiência é de 80% da do primeiro, executaria a mesma tarefa se trabalhasse por um período de(A) 2 horas e 16 minutos.(B) 3 horas e 55 minutos.(C)) 4 horas e 20 minutos.(D) 4 horas e 35 minutos.(E) 4 horas e 45 minutos.

Solução: Seja x a eficiência do primeiro agente, então a eficiência do segundo agente será 80% de x → 0,8x, transformando 3h40min em minutos temos 220min. Utilizando regra de três: Eficiência tempo (min) ↓ x 220 ↑ 0,8x t , note que as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma delas

x = t __ 0,8x 220 , multiplicando “em cruz”

0,8xt = 220x , dividindo tudo por “0,8x”

t = 220x → t= 275 min 0,8x

Transformando 275min em horas e minutos tem-se: 4h e 35min

Alternativa-“d” 95) Uma empresa deseja iniciar a coleta seletiva de resíduos em todas as suas unidades e, para tanto, encomendou a uma gráfica a impressão de 140 000 folhetos explicativos.A metade desses folhetos foi impressa em 3 dias por duas máquinas de mesmo rendimento, funcionando 3 horas por dia. Devido a uma avaria em uma delas, a outra

deve imprimir os folhetos que faltam em 2 dias. Para tanto, deve funcionar diariamente por um período de(A) 9 horas e meia.(B) 9 horas.(C) 8 horas e meia.(D)) 8 horas.(E) 7 horas e meia.

Solução: Utilizaremos regra de três composta:

Folhetos dias máquinas horas 70000 3 2 3 70000 2 1 x

Como a razão dos folhetos é igual a 1, podemos desconsiderá-la na comparação das grandezas, comparando:

dias horas

↓ 3 3 ↑ 2 x

máquinas horas

↓ 2 3 ↑ 1 x

Temos: dias máquinas horas ↓ 3 ↓2 ↑ 3 2 1 x

Devemos inverter duas razões para que as setas fiquem todas no mesmo sentido, feito isto, multiplicamos as razões conhecidas entre si, e comparamos o resultado com a razão desconhecida:


2x = 18 → x= 9 horasAlternativa –“b”

96) Um ciclista deseja percorrer uma distância de 31,25 km. Se percorrer 500 m a cada minuto, que porcentagem do total terá percorrido em ¼ de hora?(A) 20%

(B)) 21%(C) 22%(D) 23%(E) 24%

Solução: ¼ de hora corresponde a 15min, como ele percorre 500m por minuto, ele já percorreu (15 x 500) = 7500m. Utilizando regra de três:

Distância % 31250 100 7500 x

31250x = 750000 x= 750000 = 30000 = 600 = 24% 31250 1250 25


97) Um capital de R$ 3 200,00 foi aplicado a juros simples da seguinte forma:

- 1/4 do total à taxa de 2% ao mês por 3 meses e meio;

- 3/5 do total à taxa de 3% ao mês por 2 meses;

- o restante à taxa de 3,5% ao mês.

Se o montante dessa aplicação foi R$ 3 413,20, então o prazo de aplicação da última parcela foi de(A) 2 meses.(B) 2 meses e 10 dias.(C) 2 meses e meio.(D) 2 meses e 20 dias.(E) 3 meses.

Solução: Como o montante foi R$ 3413,20, o juro (montante menos capital) foi de R$ 213,20. Calculando o juro em cada situação temos: 1º período:

capital = ¼ de 3200 → 800 : taxa (i) = 2% → 0,02 e tempo(t) = 3,5 meses

J1 = c.i.t J1 = 800.( 0,02).(3,5) J1= 56

2º período:

capital= 3/5 de 3200 → 1920 : taxa (i) = 3%→ 0,03 e tempo(t) = 2 meses

J2 = c.i.t J2= 1920.(0,03).2 J2 = 115,2

3º período

capital = 3200 – 800 – 1920 = 480 : taxa(i) = 3,5% i=0,035 : t= ?

J3= 213,20 – 56 -115,2 = 41,8

J3 = c.i.t 480.(0,035).t = 41,8 16,8.t = 41,8 t= 41,8 t=2,488 ~ t= 2,5 meses 16,8 Alternativa -“c”

98) Três agentes revistaram um total de 152 visitantes. Essa tarefa foi feita de forma que o primeiro revistou 12 pessoas a menos que o segundo e este 8 a menos que o terceiro.O número de pessoas revistadas pelo(A) primeiro foi 40.(B) segundo foi 50.(C)) terceiro foi 62.(D) segundo foi 54.(E) primeiro foi 45.

Solução: Vamos chamar de x ,a quantidade de pessoas revistadas pelo terceiro agente

Terceiro agente → xSegundo agente → x-8Primeiro agente → (x-8)-12 → x-20

Os três juntos revistaram 152 visitantes: x + x-8 + x-20 = 152 , resolvendo 3x - 28 = 152 3x= 152 + 28 3x = 180 x= 180 → x= 60 3Então , o primeiro revistou 40 pessoas, o segundo 52 e o terceiro 60 pessoas


99) Uma das caixas de água de um prédio mede 1,5 m de comprimento, 8 dm de largura e 120 cm de altura. O número de litros de água que ela comporta é(A) 129,5(B) 144

(C) 1 295(D) 1 440(E) 2 880

Solução: Basta calcular o volume da caixa; como 1 dm³ é igual a 1 litro, é conveniente transformar todas as unidades de medidas em dm.

Comprimento: 1,5m → 15dmLargura: 8dmAltura: 120 cm → 12dm

O volume de um bloco retangular é dado por : V = L x A x C V= 15 x 8 x 12 V= 1440 dm³

Como 1 litro é igual a 1dm³, a caixa comporta 1440 litros


100) Certo mês, todos os agentes de um presídio participaram de programas de atualização sobre segurança. Na primeira semana, o número de participantes correspondeu a 1/4 do total e na segunda,1/4 do número restante. Dos que sobraram,3/5 participaram do programa na terceira semana e os últimos 54, na quarta semana. O número de agentes desse presídio é(A) 200(B) 240(C) 280(D) 300(E) 320

Solução: Seja “x” a quantidade de agentes do presídio.

Primeira semana , ¼ dos agentes: 1x 4

Sobraram 3 x , segunda semana foram ¼ dos que restaram: 1 x 3x = 3x 4 4 4 16Na terceira semana foram 3/5 dos funcionários que restaram, como foram 1x + 3x , 4 16

somandos as frações , temos: 7x ; restaram então: 9x 16 16

Calculando 3 de 9x ; 3 x 9x , resulta 27x 5 16 5 16 80

Somando as frações e mais os 54 funcionários, encontramos a quantidade de funcionários (x):

1x + 3x + 27x + 54 = x , multiplicando toda a equação por “80” 4 16 80

80x + 240x + 2160x + 4320 = 80x , efetuando as divisões 4 16 80

20x + 15x + 27x + 4320 = 80x , agrupando as letras no primeiro membro

20x + 15x + 27x – 80x = -4320

- 18x = - 4320 , dividindo tudo por “-18”

x= 240


Questões de matemática financeira resolvidas

1-(FGV-SP) Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante relativo ao capital aplicado é dado por M(t)= C. 20,04.t, onde C >0. O menor tempo possível para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é:a) 5 mesesb) 2 anos e 6 mesesc) 4 anos e 2 mesesd) 6 anos e 4 meses

Solução: M= 4C → 4C = C. 20,04.t

cancelando “c” → 4 = 20,04.t

2 2 = 20,04.t

Igualando os expoentes → 2 = 0,04 t → t= 2/0,04 → t= 50 meses t= 4 anos e 2 meses → alternativa C

2) Maria pretende contratar um investimento que consiste em 12 depósitos mensais, iguais e postecipados, que serão resgatados em 3 saques mensais de R$ 500,00, sendo o primeiro saque realizado

1 mês depois do último depósito. A taxa de remuneração composta do investimento é de 4% ao mês. O valor de cada depósito, em reais, sem considerar os centavos, será:

(A) 83.(B) 92.(C) 107.(D) 120.(E) 135.

Solução:

Como a taxa de remuneração é 4% am. , e serão feitos 3 saques de R$ 500,00, então temos que calcular, qual deve ser o valor total ao final dos 12 depósitos, e que deve ser aplicado a 4% am, que possibilite o resgate de R$ 500,00, sendo assim:

Total= 500(1/1,04) + [500/(1,04)²] + [500/(1,04)³] = 480,77 + 462,28 + 444,50 = 1387,55

O cálculo dos depósitos, pode ser feito utilizando a expressão:1387,55 = d + d(1,04) + ...+ d(1,04)11

1387,55 = d[1 + 1,04 +.....+ (1,04)11 ]

1387,55 = d(15,025)

d=1387,55/15,025 => d= 92,34

alternativa B

3) Um capital de R$ 4000,00, aplicado a juros compostos com capitalização semestral, produz, ao fim de 1 ano, o montante de R$ 5760,00. A taxa de juros nominal anual é:

a) 20%b) 21%c) 22%d) 40%e) 44%

Solução:

C= 4000 ; M= 5760 ; t= 1 ano i= ? taxa anual, capitalizada semestralmente:

M= C.( 1+ i/2)2t

5760 = 4000.(1+ i/2)²

(1+ i/2)² = 5760/4000

(1 +i/2)² = 1,44

1 +i/2 = √1,44

1 + i/2 = 1,2 i/2 = 1,2 -1 i/2 = 0,2 i = 0,2 * 2 i = 0,4 => i = 40%aa

alternativa d

4) Um empréstimo de R$ 4200,00, feito no período t=0, será pago em 7 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo (t=1), com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor. Para a devolução desse empréstimo, foram estudados 2 sistemas de amortização:

Sistema de Amortização Constante (Tabela SAC); Sistema Francês de Amortização (Tabela PRICE).

As prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante são menores do que a prestação calculada pelo Sistema Francês a partir do seguinte período:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Solução :

No sistema price a prestação P é calculada através da expressão: P=F/k

F= valor financiado ; K = coeficiente que é função da taxa e do número de prestações, e

é calculado pela expressão: K= [(1+i)n-1]/i.(1+i)n

Temos que i= 4%am => i= 0,04 e n= 7

Substituindo : K= [(1+0,04)7-1]/0,04.(1+0,04)7

k= 6,00205

P = F/k => P= 4200/6,00205 => P= 699,76 ( parcela fixa)

No sistema SAC, as prestações são decrescentes:

p1 = (4200/7) + 4% de 4200 = 600 + 168 = 768

p2= 600 + 4% de 3600 = 600+ 144 = 744

p3 = 600 + 4% de 3000 = 600 + 120 = 720

p4 = 600 +4% de 2400 = 600 + 96 = 696

Portanto no período 4, o valor no sistema SAC é menor que no sistema PRICE

Alternativa C

5) Seja A1 o valor descontado de um título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto racional composto à taxa de 10% ao mês. Seja A2 o valor descontado desse mesmo título, 2 meses antes do vencimento, submetido a um desconto comercial simples à mesma taxa mensal.

Se A1-A2 = R$ 96,00, o valor nominal desse título, em reais, é um número:

a) múltiplo de 3. b) múltiplo de 4. c) múltiplo de 7. d) múltiplo de 13. e) primo.

Solução: Devemos entender a expressão: " valor descontado" como sendo o valor presente ou ainda o valor líquido.

No desconto racional composto o valor presente (VP) é igual a: VP= N/(1+i)t

Sendo N= valor nominal ou valor futuro ; i= taxa de desconto e t= tempo

A1 => VP = N/(1,1)² => A1= N/1,21

No desconto comercial simples, o valor descontado é : VP= N(1-i.t)

A2 => VP = N(1- 0.1x 2) => VP= 0,8N

Temos que: A1- A2 = 96

(N/1,21) - 0,8N = 96 (multiplicando toda expressão pro 1,21)

N - 0.968N = 116,16

0,032N= 116,16

N= 116,16/ 0,032

N= 3630

Por análise a única alternativa que é verdadeira , é a alternativa A, o valor nominal é um múltiplo de 3.

6) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado, por um semestre, à taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre, com capitalização trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando o capital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, é necessário que a taxa de juros simples ao bimestre seja:(A) 5,0%.(B) 5,5%.(C) 6,0%.(D) 6,5%.(E) 7,0%.

Solução: C= 2000 , i= 20% as e t= 6 meses => 1 período , com capitalização trimestral, sendo assim serão feitas duas capitalizações, ou seja , n= 2. O montante composto é dado por: M= C(1+ i/n)n.t

M= 2000 ( 1+ 0,2/2)²

M =2000(1+ 0,1)²

M= 2000.(1,1)²

M= 2420

Para obter o mesmo montante , no regime simples, com taxa bimestral, temos:

M= 2420 ; t= 6 meses => 3 bimestres e i=?

M= c(1+ i.t)

2420 =2000(1+i.3)

1+ i.3 = 2420/2000

1+ i.3 = 1,21

i.3 = 1,21 -1 => i.3 = 0,21 => i= 0,21/3 => i= 0,07 => i= 7%ab

Alternativa "e"

7) Na compra de um imóvel, o contrato prevê o pagamento de uma parcela intermediária de R$ 28.000,00 dentro de um ano. Uma instituição financeira remunera os investimentos em sua carteira à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, livres de taxas e impostos. Nessa situação, considerando 1,2 como valor aproximado de 1,01512 , para obter o valor da parcela, o comprador do imóvel deverá investir hoje uma quantia que é inferior a R$ 23.300,00.

( ) Certo ( ) Errado

Solução: Considerando o valor a ser investido hoje como sendo o capital (c), temos: M= C.( 1+ i)t

28000 = c(1,015)12

28000= 1,2.c

c= 28000/1,2 => C= 23333,33

"errado"

8) (TCU-Analista de Finanças e Controle Externo) O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00 e ocomprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar à vista, a loja dá um descontode 20%. 0 mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta.a) A melhor opção é o pagamento à vista.b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento.c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 192,00.d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 210,00.e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 252,00.

Solução:

Pagando à vista, o valor da mercadoria é : 2400*(0,8) = 1920

Considerando que o mercado fianceiro paga 35%, o comprador precisa ter hoje, VP= 2400/(1,35) => VP= 1777,78

A diferença entre o valor a vista e o valor presente (de acordo com a taxa do mercado financeiro) é igual a: 1920 - 1777,78 = 142,22 , sendo assim: aplicando essa diferença no mercado financeiro, com taxa de 35%, o comprador possuirá , após um mês: VF= 142,22*(1+ 0,35) => VF= 142,22*1,35VF= 191,99

Portanto a melhor opção é: pagamento à prazo, e o lucro será de $ 192,00

Alternativa C

9) Considerando que uma pessoa tenha comprado um carro usado em 24 prestações mensais consecutivas e iguais a R$ 650,00 e que as prestações serão pagas a partir do mês seguinte da compra, julgue o item abaixo.Se o vendedor tiver cobrado uma taxa de juros compostos de 2% ao mês e tomando 0,62 como valor aproximado de 1,02-24 , então o valor a vista do carro é superior a R$ 12500,00.

( ) certo ( ) errado

Solução:

Prestação: 650 , taxa= 2% am e número de parcelas= 24

K= [(1+i)n-1]/i.(1+i)n

K= [(1,02)24 -1)/[0,02*(1,02)-24]

K= [1- (1,02)-24]/0,02

K= [1- 0,62]/0,02 => K= 0,38/0,02 => K = 19 Valor financiado = P * k => Valor financiado = 650*19 => Valor financiado= 12350

resposta: "errado"

Exercícios Resolvidos de Geometria

1) Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa d'água, com formato de um paralelepídedo retângulo (prisma reto quadrangular), cujas as dimensões (internas) são: 0,90 m de comprimento, 0,70 m de largura e 0,80 m de altura?

SOLUÇÃO: A geometria espacial trata, entre outras coisas, do cálculo do volume dos sólidos geométricos. O volume é a medida do espaço ocupado por um sólido geométrico. Sabe-se que 1m3 = 1000 litros. O sólido geométrico em questão tem 8 vértices, 6 faces e 12 arestas. Chamamos de prisma quadrangular.

O volume do prisma é o produto da área da base (Ab) pela altura (h). Ab = 0,90 × 0,70 = 0,63 m2 . Como h = 0,80, então V = 0,63 × 0,80 = 0,504 m3 . Logo: V = 0,504 × 1000 = 504 litros.

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2) A área total de um prisma é a soma de todas as áreas de suas faces laterais com as áreas das bases. Determine a área total e o volume de um prisma reto triangular de altura igual a 12 cm e cuja base é um triângulo retângulo de catetos 6cm e 8cm.

SOLUÇÃO: Observe que o sólido abaixo tem 6 vértices, 5 faces (3 retângulos e 2 triângulos) e 9 arestas. Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos.

Como o triângulo da base é retângulo, a área da base é a metade do produto dos catetos, ou seja, Ab = 6 × 8 / 2 = 24 cm2.Pelo Teorema de Pitágoras temos que: a2 = 62 + 82 = 100 , onde a é a hipotenusa. Como a raiz quadrada de 100 é 10, segue que a = 10 cm.Assim, as áreas das outras faces são:área1 = 6 × 12 = 72 cm2 ; área2 = 8 ×12 = 96 cm2 ; área3 = 10 × 12 = 120.Logo a área total = 24 + 24 + 72 + 96 + 120 = 336 cm2.Como o volume é o produto da área da base pela altura, segue que V = 24 × 12 = 288 cm3.

3) A pirâmide de Queóps (construída por volta de 2.500 anos antes de Cristo), no Egito, tem 146 m de altura. Sua base é um enorme quadrado, cujo lado mede 246 m. Se um caminhão basculante carrega 6 m3 de areia, quantos deles seriam necessários para transportar um volume de areia igual ao volume da pirâmide?

SOLUÇÃO: Chamamos de pirâmide quadrangular aquela cuja base é um quadrilátero. Note que o sólido tem 5 vértices, 5 faces (4 triângulos e 1 quadrado) e 8 arestas.

O volume da pirâmide é igual a terça parte do volume de um prisma de mesma base e altura. A área da base é Ab = 246 × 246 = 60.516 m2.O volume é V = 60.516 × 146 / 3 = 8.835.336 / 3 = 2.945.112 m3. Assim, seriam necessários: 2.945.112 m3 / 6 m3 = 490.852 caminhões.

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4) Um tipo de folha de papel muito usado nas máquinas copiadoras é o de formato A4. Este tipo de papel tem forma retangular com 21 cm de largura por 29,7 cm de comprimento. Calcule o volume de uma pilha, com 20 cm de altura, de papel A4.

SOLUÇÃO: Esta pilha tem o formato de um prisma quadrangular. Calculando a área da base retangular encontramos: Ab = 21 × 29,7 = 623,7 cm2. Logo o volume da pilha de papel é: V = 623,7 × 20 = 12.474 cm3 .

5) (FATEC) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

SOLUÇÃO: Poliedro é um sólido limitado externamente por planos (faces) no espaço tridimensional. Um poliedro é dito convexo quando o segmento de reta que une dois de seus pontos, quaisquer, está contido no poliedro. São exemplos de poliedros convexos: os prismas, as pirâmides e os Sólidos de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro). Um teorema de Euler afirma que em todo poliedro convexo com número de arestas A, número de vértices V e número de faces F, vale a relação: V + F – A = 2 .Na questão, temos que o número de faces é F = 3 + 2 + 4 = 9.Se tem 3 faces com 4 lados, então tem 3×4 = 12 arestas.Se tem 2 faces com 3 lados, então tem 2×3 = 6 arestas.Se tem 4 faces com 5 lados, então tem 4×5 = 20 arestas.Assim, o total de arestas seria de 12 + 6 + 20 = 38 .No entanto, as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Quando contamos todas as arestas de todas as faces dessa maneira, cada aresta é contada duas vezes.Logo, o número total de aresta é na verdade A = 38 / 2 = 19.Usando a Relação de Euler, temos: V + 9 - 19 = 2.Portanto, o número de vértices desse poliedro é V = -9 + 19 + 2 = 12.

6) (Unijui-RS) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica.

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Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingirá o líquido no cilindro?

(A) 1/3 m (B) 33 cm (C) 66 cm (D) 55 cm (E) p / 3 m

SOLUÇÃO: O volume de um cone é igual à terça parte do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura, ou seja, é a terça parte do produto da área da base (área do círculo) pela altura. Como, o cilindro tem 1m de altura, então , a altura do líquido no cilindro é 1/3 m. De fato, o volume do cone é V = p(25)2(1) / 3 = 625p / 3. Despejando este volume no cilindro, onde h é a altura do líquido, teremos 625p / 3 = (625p)(h). Logo, a altura h = 1/3 m, correspondendo a opção (A).

- MATEMÁTICA FINANCEIRA -01) (UFPI) A frabricação de um produto numa empresa foi de 120000 toneladas em 1990 e de 145200 toneladas em 1992. O aumento anual médio, na fabricação desse produto, alcançado pela empresa nesse período foi:a) menor que 8%. d) entre 16% e 19%.b) entre 8% e 11%. e) maior que 20%.c) entre 12% e 15%.

02) (UFMG) Uma pessoa dispõe de C reais para passar quinze dias na praia. Se resolver ficar vinte dias, em vez dos quinze previstos, o seu gasto médio diário será reduzido de:a) 5%. b) 15%. c) 20%. d) 25%. e) 30%.

03) (FUC-MT) Um lojista, na tentativa de iludir sua freguesia, deu aumento de 25% nas suas mercadorias e depois anunciou 20% de desconto. Podemos disso concluir que:a) a mercadoria subiu 5%. d) diminuiu em média 2,5%.b) a mercadoria diminuiu 5%. e) a mercadoria manteve o preço.c) aumento em média 2,5%.

04) (UEL-PR) Um artesão entrega seus produtos a um vendedor profissional que recebe uma comissão de 20% sobre o preço V de venda. O artesão deseja ter também um lucro de 20%, mas sobre o preço C de custo do produto. Nessas condições, qual deve ser a relação entre os preços V e C?a) V = C b) V = 0,8 . C c) V = 1,2 . C d) V = 1,4 . C e) V = 1,5 . C

05) (UA-AM) Numa pesquisa pública efetuada em um terminal de passageiros, entre pessoas que se encontravam nas filas ou na proximidade dos pontos iniciais das linhas de ônibus A e B, com

destino ao bairro de São José Operário, constatou-se que:- 60% usavam a linha A,- 45% usavam a linha B e- 20% usavam as linhas A e B.A porcentagem dos entrevistados que não usava nenhuma das linhas é de:a) 5%. b) 15%. c) 20%. d) 45%. e) 60%.

06) (UFOP-MG) Diminui-se o comprimento da diagonal de um quadrado em 20%. A área desse quadrado diminui em:a) 10%. b) 20%. c) 32%. d) 36%. e) 64%.

07) (UNIFOR-CE) Sabe-se que 240 litros de uma mistura de duas substâncias, A e B, contêm 3% de B. Quantos litros da substância B devem ser adicionados àquela mistura, para que, nela, a porcentagem de B passe a ser 4%?a) 1,8. b) 2,3. c) 2,5%. d) 3,2%. e) 4,5%.

08) (FEI-SP) O custo de produção de uma peça é composto por: 30% para mão-de-obra, 50% para matéria-prima e 20% para energia elétrica. Admitindo-se que haja um reajuste de: 20% no preço da mão-de-obra, 35% no preço da matéria-prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de:a) 60%. b) 160%. c) 24,5%. d) 35%. e) 4,5%.

09) (MACK) O preço de compra de um certo produto é x; se for vendido por k, haverá, em relação a x, um prejuízo de 20%. Então, se for vendido por 3k, haverá, em relação a x, um lucro de:a) 40%. b) 60%. c) 140%. d) 160%. e) 240%.

10) (UFRJ) Das 100 pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser 98%?

01 - B 06 - D

02 - D 07 - C

03 - E 08 - C

04 - E 09 - C

05 - B 10 - 50

- FUNÇÃO: NOÇÕES GERAIS-

01)(PUC-MG/JULHO-2001)O gráfico da função f(x)= passa pelo ponto (2,-3). O valor de a é:a) -5 b) -3 c) 6 d) 9

02) (UFMG/99) A expressão L = 0,004t + 79,8 fornece o comprimento L, em centímetros, de uma barra de metal em função de sua temperatura t, em graus Celsius (ºC). Essa barra, inicialmente à temperatura de 50 ºC, sofre um aquecimento e sua temperatura é, então aumentada em 20%. O aumento percentual correspondente, no comprimento da barra, é de:a) 0,04% b) 0,08% c) 0,02% d) 0,05%

03) (UFV/97) Seja a função real f tal que f(x+2) = f(x) + 5/6 e f(0) = 5/4. Pode-se afirmar que f(12) vale:a) 25/4 b) 77/6 c) 65/6 d) 53/4 e) 19/12

04) (UFOP/JULHO-2000) Se f(x) = e g(x) = , então f(x) - g(x) é:a) 2x3 b) 2x c) -2 d) 0 e) 1

05) (PASES/2000) Sejam as funções reais f, g e h

definidas por f(x) = , g(x) = e h(x) =

. Se S = {x R/f(x) = g(x) - h(x)}, então é CORRETO afirmar que o conjunto S:a) possui quatro elementos.b) é o conjunto vazio.c) possui dois elementos.d) possui três elementos.e) é um conjunto unitário.

06) (SEI/2000) Se A R e B R, então uma relação entre A e B é uma função de A em B, se todo elemento de:a) B for imagem de algum elemento de A.b) B for imagem de um único elemento de A.c) A possuir, no mínimo, uma imagem em B.d) A possuir uma única imagem em B.e) A possuir somente uma imagem em B e vice-versa.

07) (UFOP/2001) Seja a função f:R R, dada por f(x) =

. Então, o valor de f(- ) + f(2 ) + f é um número:a) inteiro. d) ímpar. b) par. e) irracional. c) racional.

08) (FUVEST/2002) A figura abaixo representa o gráfico de uma funcao

da forma f(x) = para -1 x 3.

Pode-se concluir que o valor de b é:a) -2 b) -1c) 0d) 1e) 2

09) (UFJF/99) Seja f:R R uma função tal que f(x+y) = f(x) + f(y) para quaisquer x e y. Se f(1) = -1/2, determinar f(-1/2).

10) (UFV/98) Seja a função f definida no conjunto dos números naturais, dada por:

f(n+1) = e f(0) = 2a) Calcule f(5).b) Qual o menor valor de n para o qual f(n) < 1/90?

01 - A 05 - B

02 - D 06 - B

03 - A 07 - C

04 - B 08 - D

09) 1/4.

10) a) 2/243. b) n = 5.

- FUNÇÃO POLINOMIAL -

01) (FUNREI/2001) O volume V e a pressão P de um gás perfeito, mantido à temperatura constante, variam de acordo com a função V = k/P, onde k é uma constante positiva. Se o volume desse gás sofrer um aumento de 25%, então sua pressão sofrerá um descréscimo percentual igual a:a) 25% b) 30% c) 20% d) 15%

02) (UFF/2000) O gráfico da função f está representado na figura:Sobre a função f é falso afirmar que:a) f(1) + f(2) = f(3)b) f(2) = f(7)c) f(3) = 3f(1)d) f(4) - f(3) = f(1)e) f(2) + f(3) = f(5)

03) (PASES/2000) Sejam f e g funções do 1º grau definidas em todo R tais que f(3) = 0, f(x) > 0 para todo x < -3, g(-3) = 0 e g(x) > 0 para todo x < -3. É CORRETO afirmar que:a) os gráficos de f e g se interceptam em um ponto de ordenada negativa.b) f é uma função decrescente e f(-1).g(1) > 0.c) g é uma função crescente e f(4).g(4) > 0.d) f é uma função crescente e f(0).g(0) = 0.e) os gráficos de f e g se interceptam em um ponto de ordenada positiva.

04) (FUVEST/2002) Dado o polinômio p(x)=x2(x-1)(x2-4), o gráfico da função y=p(x-2) é melhor representado por:

a) b) c)

d) e)

05) (UFJF/2001) Um açougue está fazendo a seguinte promoção na venda de alcatra: 25% de desconto sobre o preço total da compra de 3 quilos ou mais. O esboço de gráfico que melhor representa o total pago (p) em função da quantidade comprada (q) é:

a) b) c) d)

06) (PUC-MG/JULHO-99) Um táxi cobra R$2,60 de bandeirada e mais R$0,40 por quilômetro quadrado. Ao final de um percurso de p quilômetros, o taxímetro marca R$8,20. O valor de p é:a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

07) (UFV/98) Se a reta de equação (2+k)x + (k-3)y + 2 = 0 passa pelo ponto P(2,3), então o valor de k é:a) -3/4 b) -5/3 c) -2/5 d) 3/5 e) 5/3

08) (UNIFENAS/2001) O custo diário de produção de uma indústria de computadores é dado pela função C(x) = x2 - 92x + 2800, onde C(x) é o custo em reais, e x é o número de unidades fabricadas. Quantos computadores devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?a) 128 b) 2800 c) 46 d) 92 e) 684

09) (UFJF/2001) Seja a soma das raízes do polinômio p(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Se S1 é a soma das raízes de p(x-1), então a diferença S1 - S é:a) -1 b) 0 c) 1 d) 2

10) (UFMG/97) O ponto de coordenadas (3,4) pertence à parábola de equação y = ax2 + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é:a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2

11) (MACKENZIE/2000) A parábola da figura é o gráfico de y = x2 + bx + c. A raiz positiva desse trinômio, qualquer que seja k > 0, é sempre igual a:a) 2k - 1b) k - 1c) 1/2d) 1e) k/2

12) (UFLA/99) Seja p(x) = 2x2 + 3x + 5 sendo x R. Assinale a alternativa INCORRETA: a) se x for um número inteiro ímpar, então p(x) será sempre um número inteiro par. b) se x for um número inteiro primo diferente de ± 5, então nunca p(x) será um múltiplo inteiro de x.c) p(x) > 0 para qualquer x Rd) dado um número real qualquer y, é sempre possível encontrar um número real x tal que p(x)>y.e) p(x) é uma função crescente.

13) (UFMG/2000) Considere a equação (x2 - 14x + 38)2 = 112. O número de raízes reais distintas dessa equação é:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

14) (PUC-MG/2001) O gráfico da função f(x) = ax2 + bc + c é o de uma parábola que passa pelos pontos (-2,0), (2,0) e (0,4). Os números a, b e c são tais que:a) a < c < b. c) b < a < c.b) a < b < c. d) b < c < a.

15) (UFV/98) O preço de uma máquina nova é R$10.000,00. Sabendo-se que o valor da máquina diminui com o tempo e a relação entre o preço y e o tempo t é dada pela equação y = at + b, e que daqui a 5 anos o preço será de R$1.000,00, determine a porcentagem de desvalorização da máquina no período de 3 anos.

- GABARITO - FUNÇÃO POLINOMIAL -

01 - C 06 - E 11 - D

02 - E 07 - D 12 - E

03 - A 08 - C 13 - C

04 - A 09 - D 14 - B

05 - A 10 - C 15 - 54%

- ÂNGULOS -01) (MACK-SP) No triângulo da figura, a soma das medidas x, y e z pode ser:

a) 25. b) 27. c) 29.

d) 31. e) 33.

02) (PUC-SP) Dados os triângulos ABC e ADC, com AB = CD e AD = BD,

podemos concluir que o ângulos A C é congruente ao ângulo:

a) B C b) A D c) A D d) C A e) D B

03) (UFMG) Observe a figura:

Nessa figura, o valor de 3y - x, em graus, é:a) 8b) 10c) 12d) 16e) 18

04) (U.C.MG) Na figura ao lado, o ângulo A C é reto. O valor, em

graus, do ângulo C D é de:

a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) 120

05) (PUC-SP) A soma das medidas dos ângulosA + B + C + D + E:

a) é 60º. b) é 120º. c) 180º.

d) é 360º. e) varia de "estrela" para "estrela".

06) (PUC-SP) Em um triângulos isósceles a média aritmética das medidas de dois de seus ângulos é 50º. A medida de um dos ângulos do triângulo pode ser:

a) 100º b) 90º c) 60º d) 30º e) 20º

07) (FUVEST) Na figura, AB = AC, Bx = By e Cz = Cy. Se o ângulo A mede 40º então o ângulo xyz mede:

a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 90º

08) (CESGRANRIO) Assinale a alternativa que contém a propriedade diferenciadora do quadrado em relação aos demais quadriláteros.a) Todos os ângulos são retos.b) Os lados são todos iguais.c) As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.d) As diagonais se cortam ao meio.e) Os lados opostos são paralelos e iguais.

09) (CESGRANRIO) Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 35º. O maior ângulo desse polígono mede:a) 155º b) 150º c) 145º d) 142º e) 140º

10) (CESGRANRIO) Em um círculo de centro O, está incrito o ângulo (ver a figura).

Se o arco mede 130º, o ângulo mede:

a) 25º b) 30º c) 40º d) 45º e) 50º

Questões sobre Raciocinio Logico - MatemáticaRaciocinio Lógico

1. (Enem 2008) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome "velha" surgiu do fato de esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3 × 3 devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças.

No tabuleiro representado na figura estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro dea) uma só maneira.b) duas maneiras distintas.c) três maneiras distintas.d) quatro maneiras distintas.e) cinco maneiras distintas.

2. (Fgv 2005) Em relação a um código de 5 letras, sabe-se que o código- CLAVE não possui letras em comum;- LUVRA possui uma letra em comum, que está na posição correta;- TUVCA possui duas letras em comum, uma na posição correta e a outra não;- LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posição correta.

Numerando, da esquerda para a direita, as letras do código com 1, 2, 3, 4 e 5, as informações dadas são suficientes para determinar, no máximo, as letras em

a) 1 e 2.b) 2 e 3.c) 1, 2 e 3.d) 1, 3 e 4.e) 2, 3 e 4.

3. (Ibmec rj 2009) Durante uma conversa de bar, seis professores discordaram sobre quais times foram campeões cariocas em três anos remotos (A, B, C). Seus palpites estão na tabela a seguir:

Verificou-se, depois, que cada um havia acertado ao menos um palpite. Pode-se garantir que os campões, nos anos A e C, foram, respectivamente:

a) Botafogo e Botafogo.b) Fluminense e Fluminense.c) Botafogo e Fluminense.d) Botafogo e Flamengo.e) Flamengo e Botafogo.

4. (Pucpr 2005) Um quadrado mágico é um arranjo quadrado de números tais que a soma dos números em cada fila (linha ou coluna) e nas duas diagonais é o mesmo. Os nove números n, n + 3, n + 6, ..., n + 24, em que n é um número inteiro positivo, podem ser usados para construir um quadrado mágico de três por três.A soma dos números de uma fila deste quadrado vale:

a) 3n + 6b) 3n + 36c) 3nd) 3n + 24e) 3n + 12

5. (Uel 2007) O "Sudoku" é um jogo de desafio lógico inventado pelo Matemático Leonhard Euler (1707- 1783). Na década de 70, este jogo foi redescoberto pelos japoneses que o rebatizaram como Sudoku, palavra com o significado "número sozinho". É jogado em um quadro com 9 por 9 quadrados, que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados, denominados quadrantes. O jogador deve preencher o quadro maior de forma que todos os espaços em branco contenham números de 1 a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma coluna, linha ou quadrante. Fonte: LEÃO, S. Lógica e estratégia. Folha de Londrina, Especial 14, 17 de setembro de 2006.

Com base nessas informações, o algarismo a ser colocado na casa marcada com O no quadro a seguir é:

a) 2b) 3c) 5d) 7e) 9

6. (Uff 2003) As três filhas de Seu Anselmo - Ana, Regina e Helô - vão para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido: bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no Colégio Santo Antônio, outra no São João e outra no São Pedro.

Seu Anselmo está confuso em relação ao meio de transporte usado e ao colégio em que cada filha estuda. Lembra-se, entretanto, de alguns detalhes:

- Helô é a filha que anda de bicicleta;- a filha que anda de ônibus não estuda no Colégio Santo Antônio;- Ana não estuda no Colégio São João e Regina estuda no Colégio São Pedro.

Pretendendo ajudar Seu Anselmo, sua mulher junta essas informações e afirma:

I) Regina vai de ônibus para o Colégio São Pedro.II) Ana vai de moto.III) Helô estuda no Colégio Santo Antônio.

Com relação a estas afirmativas, conclui-se:

a) Apenas a I é verdadeira.b) Apenas a I e a II são verdadeiras.c) Apenas a II é verdadeira.d) Apenas a III é verdadeira.e) Todas são verdadeiras.

7. (Ufjf 2003)

A figura mostra um pacote em forma de um prisma retangular reto de dimensões 10 cm, 20 cm e 40 cm, amarrado com barbante. Sendo reservados 20 cm para o laço, a quantidade mínima de metros de barbante necessária para amarrar este pacote é de:a) 1,10 m.b) 1,30 m.c) 2,00 m.d) 2,20 m.e) 2,40 m.

8. (Ufla 2007) O sudoku é um passatempo que se tornou bastante popular em um curto período. O jogo começa com algumas casas já preenchidas por algarismos de 1 a 9, em uma matriz 9 × 9, cabendo ao jogador completar as casas restantes com algarismos de 1 a 9, mas sem repeti-los na mesma linha e coluna. Eles também não podem se repetir nos quadrados 3 × 3 indicados. Na figura a seguir, é apresentada uma configuração inicial para o sudoku. (Revista Scientific American, julho/2006)

Em relação a qualquer solução do jogo, assinale a opção incorreta, em que a‹Œ é o número colocado na i-ésima linha e j-ésima coluna.


9. (Ufmg 2003) Num campeonato de futebol, 16 times jogam entre si apenas uma vez. A pontuação do campeonato é feita da seguinte maneira: 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto por derrota.Considere que um desses times obteve 19 pontos ao final do campeonato.

Assim sendo, é INCORRETO afirmar que, para esse time,

a) o número de derrotas é, no máximo, igual a sete.b) o número de vitórias é, pelo menos, igual a dois.c) o número de derrotas é um número par.d) o número de empates não é múltiplo de três.

10. (Ufmg 2007) Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.Sabe-se que

- essas pessoas formam quatro casais; e - Carolina não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando.

Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio éa) Carolina.b) Júlia.c) Raquel.d) Rita.

11. (Ufpe 2003) A Secretaria da Fazenda do Estado baixou o preço de referência do botijão de gás de R$ 24,78 para R$ 24,03. O preço de referência é utilizado para calcular o ICMS, que corresponde a uma alíquota de 12%. A Secretaria adiantou que a queda do preço provocará uma diminuição de arrecadação anual de R$ 1,2 milhão. Qual das alternativas seguintes melhor aproxima o número de botijões comercializados anualmente no Estado?a) 105

b) 106

c) 107

d) 108

e) 109

12. (Ufrn 2003) A figura abaixo representa uma região de ruas de mão única. O número de carros se divide igualmente em cada local onde existam duas opções de direções conforme a figura.

Se 128 carros entram em E, podemos afirmar que o número de carros que deixam a região pela saída S é

a) 24b) 48c) 64d) 72

13. (Ufrrj 2003) Ronaldo brincava distraído com dois dados que planificados ficavam da seguinte forma:

Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos resultados dos dois dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem apoiados sobre as suas faces sem numeração.O resultado da observação de Marcelo corresponde a

a) 3, 4, 6 e 8.b) 3, 4, 8 e 10.c) 4, 5 e 10.d) 4, 6 e 8.e) 3, 6, 7 e 9.

14. (Ufsm 2002) Uma colmeia nova tem 8000 abelhas. Destas, a cada dia que passa, morrem 200. Do 21º. dia em diante, nascem diariamente 2000 abelhas que vivem, em média, 40 dias. Após um certo tempo, o número de abelhas dessa colmeia se estabilizará em, aproximadamente,

a) 38000b) 40000c) 60000d) 80000e) 100000

15. (Unifesp 2005) Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40.

De pronto, os alunos protestaram: a informação "x . y . z = 40" era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo produto é 40. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma x + y + z das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas).

Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é:

a) 1, 5, 8b) 1, 2, 20c) 1, 4, 10d) 1, 1, 40e) 2, 4, 5

GABARITO

01 - B; 02 - B; 03 - A; 04 - B; 05 - B; 06 - B; 07 - E; 08 - A; 09 - A; 10 - A; 11 - C; 12 - A; 13 - D; 14 - D; 15 - A

- LOGARITMOS -01) (FATEC/2003) No início de uma temporada de calor, já havia em certo lago uma formação de algas. Observações anteriores indicam que, persistindo o calor, a área ocupada pelas algas cresce 5% a cada dia, em relação à área do dia anterior. Nessas condições, se, em certo dia denominadodia zero, as algas ocupam 1000 m2, aproximadamente em quantos dias elas cobririam toda a superfície de 16 000 m2 do lago?(Use em seus cálculos: log 1,05=0,02 e log 2=0,30.)a) 20 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120

02) (UFLA/99) O valor de x na expressão é:a) log(2) b) 0 c) 2 d) log(8) e) -3

03) (ITA/99) A inequação 4xlog5(x+3) (x2+3)log1/5(x+3) é satisfeita para todo x S. Então:a) S = ]-3, -2] [-1, +[ d) S = ]-2, +]b) S = ]-, -3[ [-1, +[ e) S = ]-,-3[ ]-3, +[c) S = ]-3, -1]

04) (UFOP/2001-2º) Considere as afirmativas abaixo:I. Se log5 = a e log7 = b, então log12 = a + bII. log75.log57 = 1

III. log = log3 - log5 + log7Assinale a alternativa correta:a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.b) Todas as afirmativas são falsas.c) Apenas a afirmativa I é verdadeira.d) Todas as afirmativas são verdadeiras.e) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

05) (UFMG/2001) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = -log[H+], em que [H+] indica a concentração, em mol/l , de íons de Hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de Hidrogênio era [H+] = 5,4 . 10-8 mol/l.Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log2, e de 0,48, para log3. Então, o valor que o

pesquisador obteve para o pH dessa solução foi:a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 d) 7,74

06) (FGV/2002) Adotando-se os valores log2=0,30 e log3=0,48, a raiz da equação 5x = 60 valeaproximadamente:a) 2,15 b) 2,28 c) 41 d) 2,54 e) 2,67

07) (UFV/97) Se log(a+b) = loga + logb, então é igual a:a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 1 e) 5/6

08) (FUVEST/2001) sendo P =(a, b) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio 1, que satisfaça b > 0 e a b, pode-se

afirmar que vale:a) 0 b) 1 c) -log b d) log b e) 2 log b

09) (PUC/2003) Sabe-se que a equação x4 + 3x3 - 13x2 - 27x + 36 = 0 admite as raizes reais a, b, c, d, com a < b < c < d e tais que a + b = -7 e c.d = 3. Se |z| é o modulo do número complexo z = a + bi, então log25|z| é igual a:a) 1/5 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 5

10) (VUNESP/2002) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x) = log10(100 + x) + k, com k constante real.a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k.b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais.

01 - B 06 - D

02 - C 07 - D

03 - A 08 - C

04 - A 09 - C

05 - A10 - a) k = -2 b) 900 peças

Exercícios resolvidos e propostos de Juros Simples e Compostos

1) Um eletrodoméstico sai à vista por R$ 550,00. Se for dada uma entrada de R$ 150,00 e o restante for pago em 4 prestações mensais a uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual será o valor mensal de cada parcela?

Solução:

Como iremos abater R$ 150,00 dos R$ 550,00 que é o valor do produto, acabaremos financiando apenas R$ 400,00. Portanto as variáveis do problema têm os seguintes valores:

Agora podemos calcular o coeficiente de financiamento:

Aplicando a fórmula para o cálculo de prestações podemos executar os cálculos conforme abaixo:

Portanto:

O valor mensal da prestação deste eletrodoméstico será de R$ 106,33.

2) R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros composto em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?Do enunciado obtemos os seguintes valores:

Para sabermos qual o montante produzido na modalidade simples utilizaremos a fórmula abaixo:

Ao substituirmos as variáveis e realizarmos os cálculos iremos obter o resultado:

Agora que sabemos que o montante produzido na modalidade simples é R$ 11.800,00, utilizaremos a fórmula abaixo para calcularmos a taxa de juros na modalidade capitalizada:

Substituindo as variáveis e calculando:

Como sabemos ao multiplicarmos 0,0279698 por cem iremos obter o valor percentual da taxa a qual estamos procurando.Portanto:

Os R$ 10.000,00 precisam ser aplicados à taxa capitalizada de 2,79698% a.m. para que se apure o montante de R$ 11.800,00, o mesmo montante produzido na aplicação a juros simples pelo mesmo período de tempo.

3) (Cespe/UnB – Chesf/2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é:a) R$ 1.200,00 b) R$ 1.600,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 2.300,00 e) R$ 2.500,00Solução:Cx + Cy = 6000com ix = 0.07 a.a e iy = 0.09 a.a.Jx + Jy = 500Cx* 0.07 * 1 + Cy * 0,09 * 1 = 500como Cy = 6000 – CxCx* 0.07 + (6000 – Cx) * 0,09 = 500Cx* 0.07 + 540 – 0.09 * Cx= 500Cx = 2000, alternativa C.

4) (Cespe/UnB – TRT 6º Região – 2002) Considere o capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 6% a.m. e sejam M1, M2, …, Mn os montantes gerados por esse capital após o 1º mês, 2º mês, respectivamente. Então os montantes M1, M2, …, Mn, formam uma progressão geométrica de razão igual

a 1,06.

Solução:M1 = 5000 * (i+0.06)¹eM2 = 5000 * (i+0.06)² → M2 = 5000 * (1.06)*(1.06)M2 = M1*(1+0.06)da mesma maneira M3:M3 = 5000 * (1.06)³ → M3 = 5000 * (1.06)² * (1.06)M3 = M2*(1.06)Logo podemos definir M como uma progressão geométrica onde:a1 = 5300; q = 1.06an = an-1*1.06; para n > 1

5) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000 a 4,5% a.m., capitalizados mensalmente durante 8 meses.

Solução:M = C(1 + i)*nj = M - Cj = C(1 + i)*n - Cj = C[(1 + i)^n - 1]j = 20000[(1 + 0,045)*8 - 1]j = 20000[1,045*8 - 1]j = 20000[1,422100613 - 1]j = 20000.0,422100613 = 8442,01226

6) Qual o valor atual de um título de R$ 15.000, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?

Solução:Você deve estar falando de Desconto Racional composto (por dentro). É esse que utilizei.D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^nD = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3D = 2405,71

Como D = N - A, vem:2405,71 = 15000 - AA = 15000 - 2405,71 = 12594,29

7) Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00 que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?

Solução:Temos : j = (c.i.t) / 100

8100 = (45000. 2. t) / 10090000t = 810000t = 810000 / 90000t = 9 meses

8) Qual o capital que produziu R$ 18.360,00 durante 17 meses , a uma taxa de 24% ao ano? R: R$ 54.000

9) A importância de R$ 48.000,00, emprestada a 60% \o ano , no fim de 7 meses, rende juros de:

a) R$ 16.800,00 b) R$ 18.600,00 c) R$ 20.160,00 d) R$ 21.060,00

10) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? R: 13,5184526% a.m

11) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido? R: 9 dias

12) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. R: 2% am; 1 mês

13) Suponha que a aplicação de R$ 5.000,00 tenha produzido ao final de um trimestre a quantia de R$ 190,00 de juros. Qual foi a taxa percentual trimestral da aplicação? R: 3,8% a.t.

14) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?

Diagramas de Venn: Questões resolvidas

Os diagramas de Venn são utilizados na melhor visualização das propriedades dos conjuntos, facilitando cálculos e a interpretação de situações problema.

A relação entre tais conteúdos pode ser feita através da união de conjuntos envolvendo número de elementos. Primeiramente, explique as propriedades do número de elementos da união de dois conjuntos e posteriormente da união de três conjuntos.

Número de elementos da união de dois conjuntos Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A ∩ B). Demonstre a relação utilizando o diagrama:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

Número de elementos da união de três conjuntos Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de elementos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)

1) ( UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político.

Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua

preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C.

Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos.

b) venceu A, com 140 votos.

c) A e B empataram em primeiro lugar.

d) venceu B, com 140 votos.

e) venceu B, com 180 votos.

Resolução:Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100

Resposta letra e.

2) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.

Resolução:

80 – x + x + 60 – x = 100140 – 2x + x = 100– x = 100 – 140– x = – 40x = 40O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.

3) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é:

a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500

Resolução:

Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado.

Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

resposta letra B.

4) (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV

favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas

pessoas assistem a esses programas.

Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:(A) 200 (C) 900

(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a.

Resolução:

No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200.Assim, (A) é a opção correta.

5) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Resolução:

Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.

6) Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

Resolução:

Seja o diagrama a seguir:

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.

7) Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Os resultados foram os seguintes:

458 alunos disseram que gostam de Rock112 alunos optaram por Pop36 alunos gostam de MPB62 alunos gostam de Rock e Pop Determine quantos alunos foram entrevistados.

Gostam somente de Rock = 396Gostam somente de Pop = 50Gostam de Rock e Pop = 62Gostam de MPB = 36

396 + 50 + 62 + 36 = 544

Através da distribuição dos dados no diagrama constatamos que o número de alunos entrevistados é igual a 544.

Equações trigonométricas vestibular exercícios resolvidos e teoria

1. Introdução

Chamamos de Equação Trigonométrica a qualquer na qual a incógnita faz parte do arco de alguma função trigonométrica.São exemplos de equações trigonométricas:5 sen x + 3 cos x = 2tg = cotg x

Assim, por exemplo, na equação cos x 1/2 temos que π/3 rad é uma solução, pois cos π/3 = 1/2.No entanto, em R, existem infinitas soluções para a equação acima!Todos os arcos cujas medidas são da forma x = π/3 + k*2π ou da forma x = -π/3 + k*2π, com k E Z, também constituem solução, pois para todos eles, o cosseno vale 1/2. O conjunto solução é, portanto:S = { x E R / x = ± π/3 + k*2π, k E Z}

Esse fato sugere a lembrança de que a função cosseno não é injetora, pois para mais de um valor de x obtemos a mesma imagem y = cos x. Então, a função cosseno definida de R em R, não tem inversa.

Não existe um método único para resolver todoas as equações trigonométricas. No entanto, a maioria delas pode ser transformada em outras mais simples, porém equivalentes, ou seja, de mesma solução.Na verdade, uma grande parte delas pode ser resolvida se soubermos resolver as seguintes equações fundamentais:

a) sen x = sen ab) cos x = cos ac) tg x = tg a (a E R)

Vejamos separadamente cada uma delas.

2. Equação do tipo sen x = sen a

Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo sen x = sen a, será: x = π - a + k*2π com k E Z ou x = 2kπ + a.

Exemplo:

seja a equação elementar sen x = 0,5.Como 0,5 = sen 30º = sen /6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima:sen x = sen /6, de onde conclui-se:x = (2k + 1). - /6 ou x = 2k + /6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação.Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima,x = - /6 ou x = /6; fazendo k = 1, obteremosx = 17/6 ou x = 13/6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em R – conjunto dos números reais.

Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral: S = {x| x R; x =(2k + 1) - /6 ou x = 2k + /6, k Z}

3. Equação do tipo cos x = cos a

a solução genérica de uma equação do tipo cos x = cos a, será dada por:x = ± a + 2kp com k E Z

Exemplo: 3*cos x = 0 ► cos x = 0. Então π/2 rad é uma solução, pois cos π/2 = 0.Assim, temos: cos x = cos π/2 O conjunto solução é:S = {x E R/ x = ± π/2 + 2kπ, K E Z} ou S = {x = π/2 + kπ, k E Z}.

4. Equação do tipo tg x = tg a

Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos ou têm suas extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.

A solução genérica de uma equação do tipo tg x = tg a , será dada por x = kπ + a com k E Z.

Exemplos:

Resolva a equação tg x=1

Solução: Sabemos que um arco que possui a tangente igual a 1 é o arco de 45 o ou π/4


Exercícios resolvidos

1) Resolver a equação 2*sen(3x) + 1 = 0

Resolução: Temos que 2*sen(3x) + 1 = 0 Uma solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6Entao: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ , k E R. x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3Concluímos que o conjunto solução é:S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z}

2) Encontre a solução da equação cos x + 1 = 0

Resolução:Temos que cos x = - 1. Então x = πrad é uma solução, pois cos π = -1.Assim, cos x = cos πComo os arcos de medidas πrad e - πrad possuem a mesma extremidade, o conjunto solução é:S = {x E R/x = π + 2kπ, k E Z}

3) Encontre a solução da equação tg x = √3

Resolução:Uma solução é x = π/3 rad, pois tg π/3 = sen π/3 / cos π//3 = √3/2 / 1/2 = √3Assim sendo, o conjunto solução é:S = {x E R/x = π/3 + kπ, k E Z}

4) Ache o o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0

Resolução:Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; além disso, o 2º membro é zero. Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos:

2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0 ► sen 7x / 2*cos3x /2 = 0 ► sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0

Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ ► x = 2kπ / 7, k E Z

Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z.

Entao: 3x = π + 2kπ ► x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z.

O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z}

Obs: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim:

sen (5x) + sen (2x) = 0 ► sen (5x) = - sen (2x)

como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos:

5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos:

x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z

Exercícios resolvidos com perímetros, áreas e volumes....revisões

Problema 1: Perímetros

A Magda pretende vedar vários canteiros retangulares no seu jardim, separados uns dos outros, para plantar flores. Todos os canteiros são retangulares, com 1,2 m de comprimento e 0,5m de largura.

A Magda tem 23m de rede.

Quantos canteiros pode a Magda vedar?

P= 2 x 1,2 m + 2 x 0,5 m = 3,4 m

23 m : 3,4 m = 6 canteiros

Sobrou rede? Se sim, quantos metros?

6 x 3,4 m = 20,4 m23 m - 20,4 m= 2,6 m

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/problema-perimetros.html

http://1.bp.blogspot.com/-wFLzqPmfhIY/T8ps04Nl1OI/AAAAAAAAAek/UOmm6DBlgns/s1600/images.jpg

Resposta: Sobrou 2,6 m de rede

Problema 2: Áreas

Uma pizza tem 22 cm de raio.Na pizzaria há caixas com base quadrada com 25 cm, 30 cm, 45 cm e 50 cm. Em que caixas caberá a pizza?

Área pizza= 3,14 x 22 cm x 22 cm=1519,76 cm2

Área da base quadrada = 25x25= 625 cm2Área da base quadrada = 30x30= 900 cm2Área da base quadrada = 45x45= 2025 cm2Área da base quadrada = 50x50= 2500 cm2

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/areas.html

Resposta: Caberá em caixas com 45cm e 50 cm.

Problema 3: Áreas Observa a figura.Determina a área da parte colorida da figura.

Resolução:

Problema 4: Áreas

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/blog-post.html

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/areas.html

http://1.bp.blogspot.com/-_qW-EOsNW8M/T8p9Xq26zZI/AAAAAAAAAe8/QbbxhbZaW04/s1600/Sem+T%C3%ADtulo2.png

Qual é a área total das zonas sombreadas da figura?

Área sombreada do [ABFG] = 36 x 1/2 = 18Área sombreada do [BCDE] = 64 x 3/4 = 48Área total das zonas sombreadas= 18 + 48 = 66

Qual o comprimento do [FE]? O comprimento do [BE]= 8 ( Área do [BCDE]= 8x8=64)O comprimento do [BF]= 6 ( Área do [ABFG]= 6x6=64)

comprimento do [FE]= comprimento do [BE] - comprimento do [BF]= 8 - 6 = 2

Resposta: 2

Problema 5: Volumes

Observa as dimensões do novo aquário do Samuel.

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/volumes_01.html

O Samuel decidiu colocar uma camada de areia de 6 cm de espessura no fundo do aquário.

Que quantidade de areia, em cm3, deverá o Everaldo comprar?

Vparalelepípedo= C x L x hV= 50 cm x 30 cm x 6 cm= 9000 cm3

Problema 6: Volumes

Introduziu-se na proveta um paralelepípedo, que ficou completamente submerso.


As dimensões do paralelepípedo são:

- Comprimento: 8 cm , largura;2 cm, altura: 3 cm

Qual é a leitura do volume marcado na proveta, depois de

colocado na proveta o paralelepípedo?

Volume do paralelepípedo= 8 cm x 2 cm x 3 cm= 48 cm3

leitura do volume= 60 cm3+ 48 cm3 = 108 cm3

Problema 7: Volumes

Na casa da Inês, gastam-se por mês 50 garrafas de 1,5 litros de água. Para ficar mais económico, os seus pais resolveram passar a comprar a água em garrafões de 5 litros. Quantos garrafões são necessários comprar?


Resolução:50 x 1,5 = 75 litros75 litros : 5 litros = 15

Resposta: São necessários comprar 15 garrafões de 5 litros.

Exercícios com rectas, ângulos e triângulos.....revisões

Rectas Pa ralelas e Concorrentes :

O Sr. Mimoso e o seu filho Afonso andam um pouco perdidos pelo bairro onde vivem a Isabel e a Mariana.

Ajuda-os a encontrar a rua que:

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/o-sr.html

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2012/06/exercicios-com-rectas-angulos-e.html

- Seja paralela à Rua das Camélias......... Rua das Palmeiras.- Seja perpendicular à Rua das Palmeiras......... Rua dos Prados.- Se cruze com a Rua das Palmeiras, mas que não seja perpendicular a esta.......... Rua das Laranjeiras.

Para recordar:Rectas paralelas: São retas que mantém sempre a mesma distância entre si e, portanto não se cruzam.

Rectas concorrentes: São retas que se cruzam, ou seja, retas que têm apenas um ponto comum.

Rectas Perpendiculares: São retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto. (90º).

Rectas oblíquas: São retas concorrentes que formando entre si ângulos ( agudos e obtusos).

Quadriláteros - ângulos Determina a amplitude dos ângulos desconhecidos

Um Quadrilátero é um polígono com quatro lados.

A soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

X= 140º e Z=63º (ângulos verticalmente opostos)Y= 180º - 110º= 70º

http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/quadrilateros-angulos.html

W= 360º - (140º+63º+70º)= 87º

Ângulos Para cada uma das situações seguintes, indica a amplitude dos ângulos representados por letras.

a) Ângulos Complementares - Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é 90º.

X= 90º-35º = 55º

b) Ângulos Suplementares - Dois ângulos dizem-se complementares quando a sua soma é 180º.

X= 180º - 145º = 35º

c) Ângulos verticalmente opostos - os ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude.

X= (360º - 25 -25) :2=X= 310 :2 = 155º

Ângulos internos e externos de um triângulo Calcula as amplitudes dos ângulos desconhecidos ( x, y, z ), da figura:

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http://blogmatematic.blogspot.pt/2012/06/angulos.html

ângulo Y= 180º-60º= 120ºângulo Z= 180º - 120º= 60ºângulo X= 180 - (60º+60º)= 60º

Relembra : classificação de triângulos Classificação de um triângulo quanto aos lados:

Equilátero – quando todos os lados têm o mesmo comprimento.

Isósceles – quando dois dos lados têm o mesmo comprimento.Escaleno – quando tem os comprimentos dos lados todos diferentes.

Classificação de um triângulo quanto aos ângulos:

Acutângulo – quando tem os três ângulos agudos (três ângulos de amplitude menor que 90º).

Rectângulo – quando tem um ângulo reto (um ângulo com amplitude de 90º).

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Obtusângulo - quando tem um ângulo obtuso (um ângulo com amplitude maior que 90º).

Não esquecer: A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.

Desigualdade triangular:

A Ercicksa decidiu fazer no seu jardim um canteiro em forma de triângulo. Pensou construí-lo com os seguintes comprimentos: 10 metros, 2 metros e 7 metros. Será que a Ana pode construir esse canteiro?

relembra a Desigualdade triangular: Num triângulo o comprimento de qualquer lado é sempre menor que a soma dos outros dois lados.

Assim, 10 > 2+7. Conclui-se então que a Ericksa não pode construir o canteiro com essas medidas.

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Exercícios resolvidos com fracções

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