LISTA 1 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 30deJunhode2004, as4:17

ExercıciosResolvidosdeTeoria Eletromagnetica

JasonAlfr edoCarlson Gallas

ProfessorTitular deFısicaTeorica

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaPRIMEIRA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

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Conteudo

23 CargaEletrica 223.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 3

23.2.1 Lei deCoulomb . . . . . . . . 323.2.2 A CargaeQuantizada . . . . . 823.2.3 A CargaeConservada . . . . . 1023.2.4 As Constantesda Fısica: Um

Aparte. . . . . . . . . . . . . . 10

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23 CargaEletrica

23.1 Questoes

Q 23-1

Sendodadasduasesferasdemetalmontadasemsupor-teportatil dematerialisolante,inventeummododecar-rega-lascom quantidadesde cargasiguais e de sinaisopostos.Vocepodeusarumabarradevidro ativadacomseda,masela nao podetocarasesferas.E necessarioqueasesferassejamdomesmotamanho,parao metodofuncionar?� Um metodosimplese usarinducaoeletrostatica: aoaproximarmosa barradevidro dequalquerumadases-ferasquandoambasestiverememcontatoiremosindu-zir (i) naesferamaisproxima,umamesmacarga iguale opostaa cargadabarrae, (ii) naesferamaisafastada,umacarga igual e de mesmosinal quea da barra. Sesepararmosentaoasduasesferas,cadaumadelasira fi-carcomcargasdemesmamagnitudeporemcomsinaisopostos. Esteprocessonao dependedo raio dasesfe-ras. Note,entretanto,quea densidadede cargassobreasuperfıciedecadaesferaaposaseparac¸aoobviamentedependedo raiodasesferas.

Q 23-2

Na questaoanterior, descubraum modode carregarasesferascomquantidadesdecargaiguaisedemesmosi-nal. Novamente,e necessario queasesferastenhamomesmotamanhoparao metodoa serusado?� O enunciadodo problemaanteriornao permitequetoquemoscom o bastao nasesferas. Portanto,repeti-mosa inducao eletrostaticadescritano exercıcio ante-rior. Porem,mantendosemprea barraproximadeumadasesferas,removemosa outra,tratandodeneutralizara carga sobreela (por exemplo,aterrando-a).Seafas-tarmoso bastaodaesferaeacolocarmosnovamenteemcontatocomaesferacujacargafoi neutralizada,iremospermitir que a carga possaredistribuir-sehomogenea-mentesobreambasasesferas.Destemodogarantimosqueo sinaldascargasemambasesferaseo mesmo.Pa-ra quea magnitudedascargassejatambem identicaenecessarioqueasesferastenhamo mesmoraio. E queadensidadesuperficialcomumasduasesferasquandoemcontatoira sofreralteracoesdiferentesem cadaesfera,aposelasseremseparadas,casoosraiossejamdiferen-tes.

Q 23-3

Umabarracarregadaatraifragmentosdecorticaque,as-simquea tocam,saoviolentamenterepelidos.Expliqueacausadisto.� Comoosdoiscorposatraem-seinicialmente,deduzi-mosqueelespossuemquantidadesdecargascomsinaisdiferentes. Ao tocarem-seaquantidadedecargasmenoreequilibradapelascargasdesinaloposto.Comoacargaquesobrareparte-seentreosdoiscorpos,estespassamarepelir-seporpossuirem,entao,cargasdemesmosinal.�

Note que afirmar existir repulsao apos os corpostocarem-seequivale a afirmarserdiferentea quantida-dedecargasexistenteinicialmenteemcadacorpo.

Q 23-4

As experienciasdescritasnaSeccao23-2poderiamserexplicadaspostulando-sequatrotiposdecarga,a saber,adovidro,adaseda,adoplasticoeadapeledoanimal.Qualeo argumentocontraisto?� E facil verificarexperimentalmentequeosquatroti-pos‘novos’ decarganaopoderiamserdiferentesumasdasoutras. Isto porquee possıvel separar-seos quatrotiposdecargaemdoisparesdeduascargasquesao in-distinguıveisumdooutro,experimentalmente.

Q 23-6

Um isolantecarregadopodeserdescarregadopassando-o logoacimadeumachama.Expliqueporque?� E quea altatemperaturaacimadachamaionizao ar,tornando-ocondutor, permitindoo fluxo decargas.

Q 23-9

Porqueasexperienciasemeletrostaticanaofuncionambememdiasumidos?� Em dias umidos existe um excessode vapor deaguano ar. Conformesera estudadono Capıtulo 24, amoleculadeagua,����� , pertencea classedemoleculasque possuio que se chamade ‘momento de dipoloeletrico’, isto e, nestasmoleculaso centrodascargaspositivas nao coincidecom o centrodascargasnega-tivas. Estedesequilıbrio faz com que tais moleculassejameletricamenteativas, podendoser atraidasporsuperfıciescarregadas,tanto positiva quantonegativa-mente. Ao colidirem com superfıcies carregadas,as

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moleculasagemno sentidodeneutralizarpartedacar-ga na superfıcie, provocandodestemodoefeitosinde-sejaveisparaosexperimentosdeeletrostatica.Isto por-quenaosetemmaiscertezasobrequala quantidadedecargaquerealmenteseencontrasobrea superfıcie.

Q 23-13

Umapessoaempesobreumbancoisoladotocaumcon-dutortambemisolado,mascarregado.Havera descargacompletadocondutor?� Nao.Haveraapenasumaredistribuicaodacargaentreo condutorea pessoa.

Q 23-14

(a)Umabarradevidropositivamentecarregadaatraiumobjeto suspenso.Podemosconcluir que o objeto estacarregadonegativamente?(b) A mesmabarracarregadapositivamenterepeleo objetosuspenso.Podemoscon-cluir queo objetoesta positivamentecarregado?� (a) Nao. Poderıamosestarlidandocom um objetoneutroporem metalico, sobreo qual seriapossıvel in-duzir umacarga, quepassariaentao a seratraidopelabarra. (b) Sim, poisnaosepodeinduzir cargademes-mosinal.

Q 23-16

Teria feito algumadiferenca significativa seBenjaminFranklin tivessechamadoos eletronsde positivos e osprotonsdenegativos?� Nao. Tais nomes sao apenasuma questao deconvencao.�

Na terceiraedicao do livro, afirmava-seque Fran-klin, alem de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdu-zido tambem asdenominac¸oes‘bateria’ e ‘carga’. Naquartaedicao a coisaja mudoudefigura... Eu tenhoaimpressao que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser ante-rioresaFranklinmasnaoconsegui localizarreferenciasadequadas.O quımico francesCharlesFrancoisdeCis-ternayDu Fay (1698-1739),descobriua existenciadedois“tipos deeletricidade”:vitrea(dovidro) e resinosa(daresina).Porem, a quemsera quedevemosos nomesde cargas“positivas” e “negativas”? Ofereco umagarrafa deboachampanhaa quempor primeiromemostrara solucaodestepuzzle!

Q 23-17

A Lei deCoulombpreve quea forca exercidapor umacargapuntiformesobreoutrae proporcionalaoproduto

dasduascargas.Comovoce poderiatestarestefatonolaboratorio?� Estudandodequemodovariaa forca necessariaparalevar-secargasdedistintosvaloresate umadistancia � ,constante,deumaoutracargafixa noespac¸o.

Q 23-18

Um eletron(carga � � ) gira ao redorde um nucleo(carga ����� ) de um atomo de helio. Qual daspartıculasexercemaiorforca sobrea outra?� Serealmentevoce naosoubera respostacorreta,oufaze entendeo Exercıcio E 23-2ou trancao cursobemrapido!

Q 23-15extra A forca eletricaqueumacargaexercesobreoutrasealteraaoaproximarmosdelasoutrascar-gas?� A forca entreduascargasquaisquerdependeunicae exclusivamentedasgrandezasque aparecemna ex-pressaomatematicadalei deCoulomb. Portanto,e facilconcluir-sequeaforcapre-existenteentreumpardecar-gasjamaispoderadependerdaaproximac¸aodeumaoumaiscargas.Observe,entretanto,quea ‘novidade’queresultada aproximac¸ao de cargasextras e quea forcaresultantesobrecadacargapre-existentepoderaalterar-se, podendotal resultanteser facilmentedeterminadacomo princıpio desuperposic¸ao.

23.2 ProblemaseExercıcios

23.2.1 Lei deCoulomb

E 23-1Qual seriaa forca eletrostaticaentreduascargasde �Coulombseparadasporumadistanciade(a) ��� � m e (b)��� � km setal configurac¸aopudesseserestabelecida?� (a) �������� ����� �!��"$#&%!'�%%)( *��� ���+�,�-��" N.

(b) �./����� ����� �!��"$#0%-'1%2 %436587 ( *�9� �����,�-��: N.

E 23-2

Uma cargapuntiformede �<;9� �=�>�-�9?A@ C dista �!� cmde umasegundacarga puntiformede B���DCE�F�-�G?H@ C.Calcularo modulodaforca eletrostaticaqueatuasobrecadacarga.

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� Deacordocoma terceiraLei deNewton,a forca queuma carga I % exercesobreoutra carga I$� e igual emmodulo e de sentidocontrario a forca que a carga I$�exercesobrea carga I % . O valordestaforca e dadopelaEq.23-4. Conformea convencaodo livro, usamosaquiosmodulosdascargas.Portanto� �J�KML 3 I % I �N � �O�9� �����,�-� " # ��;��,�-�9?A@$#$�)���DC��,�-�G?H@$#�8�!���,�-� ? � # � �9� ��� N �E 23-3

Qualdevesera distanciaentreduascargaspuntiformesI % P��Q R C e I$�ST JVU R C paraqueo modulodaforcaeletrostaticaentreelassejade CG� U N?�� W ����� ����� �!� " #$�O��Q��,�-� ?A@ #X� JGU � �!� ?H@ #CG� UY ��� J metros�

E 23-4Na descargade um relampagotıpico, umacorrentede�G�DC��Z�!��[ Amperesflui durante���<R s. Quequantidadedecargae transferidapelorelampago?[Note: AmpereeaunidadedecorrentenoSI; estadefinidanaSeccao28-2 do livro; maso capıtulo 23 fornecemeiosderesolvero problemaproposto.]� Usamosa Eq.(23-3):�\I�P]^��_`T�O�9� C��,�-� [ #X�a�����,�-� ?A@ #bc�9�DC C ��

Tal cargaegrandeoupequena?Comparecomascar-gasdadasnosExemplosresolvidosdo livro.

E 23-5

Duaspartıculasigualmentecarregadas,mantidasa umadistancia ;�� �d�P�!�G?A: m uma da outra, sao largadasapartir do repouso. O modulo da acelerac¸ao inicial daprimeirapartıculaede

U � � m/s� e o dasegundaede �9� �m/s� . Sabendo-sequeamassadaprimeirapartıculava-le Q9� ;e�*�-�9?Af Kg, quaissao: (a) a massada segundapartıcula?(b) o modulodacargacomum?� (a) Usandoa terceiralei de Newton temos g %$h9% g � h � , demodoquege�SPg % hG%h � Q9� ;�� �!� ?Hf � U�

J � ���,�-� ?Hf kg �(b) Comotemos��cI �!i � J�KHj 3 N � #kFg % h % seguequeIl NBm J�KHj 3 g % h % ;9�D�+� �!� ?A: � W ��Q9� ;��,�-� ?Hf #X� U #���,�-� " U �n��� �!� ? %o% C �E 23-7

Duasesferascondutorasidenticase isoladas,� e � , pos-suemquantidadesiguaisdecargae estaoseparadasporuma distanciagrandecomparadacom seusdiametros(Fig. 23-13a).A forca eletrostaticaqueatuasobrea es-fera � devida a esfera � e p . Suponhaagoraqueumaterceiraesferaidentica ; , dotadadeum suporteisolan-te e inicialmentedescarregada,toqueprimeiroa esfera� (Fig. 23-13b),depoisa esfera� (Fig.. 23-13c)e, emseguida,sejaafastada(Fig. 23-13d). Em termosde p ,quale a forca prq queatuaagorasobrea esfera� ?� Chamemosde I a carga inicial sobreasesferas� e� . Apossertocadapelaesfera; , a esfera� retemumacargaiguala I i � . Apossertocadapelaesfera; , aesfera� ira ficar comumacargaigual a ��IS�sI i ��# i ���;�I i J .Portanto,teremosemmodulo� q ctvu I�Mw u ;�IJ w ;� txI � ;� �vyonde t e umaconstante(queenvolve

J�KHj 3 bemcomoadistanciafixaentreasesferas� e � , masquenaovemaocasoaqui)e �.z{t�I � representao modulode p .

P 23-8

Trespartıculascarregadas,localizadassobreumalinhareta, estao separadaspela distancia � (como mostraaFig. 23-14). As cargas I % e I$� sao mantidasfixas. Acarga I : , queesta livre paramover-se,encontra-seemequilıbrio (nenhumaforca eletrostaticalıquidaatuaso-breela).DetermineI % emtermosde I � .� Chamede �}| a forca sobreI : devidaa carga I$| . Ob-servandoa figura, podemosver que como I : esta emequilıbrio devemoster � % c� � . As forcas � % e � � temmodulosiguaismassentidosopostos,logo, I % e I � temsinaisopostos. Abreviando-se~��� i � J�KML 3 # , temosentao � % ~ I % I :�O���V# �

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�}�� ~ I � I :� � �Substituindoestesvaloresna equac¸ao � % 0�}� , obte-mos � I % �� J � I$��� . Como as cargasdevem ter sinaisopostos,podemosescrever I % � J I$� , quee a respostaprocurada.Observe queo sinal da carga I-� permanecetotalmentearbitrario.

P 23-10

Na Fig. 23-15,quaissao ascomponenteshorizontalevertical da forca eletrostaticaresultantequeatuasobrea cargado verticeesquerdoinferior doquadrado,sendoIB���� ���,�-�9?Af C e h {CG� � cm?� Primeiro, escolhemosum sistemade coordenadascoma origemcoincidentecoma carganocantoesquer-do, como eixo � horizontale eixo � vertical,comodecostume.A forca exercidapelacarga �<I nacarga ����Ie p % �J�KML 3 �a�<I�#$�a����I�#h � �)���#��A forcaexercidapor I sobre����I epr�� �J�KML 3 �) I�#$�a����I�#� m � h # � u �� ���m � w �J�KML 3 I �h � u �m � � �m � w �Finalmente,a forcaexercidapor S��I sobre����I ep : �J�KML 3 �8S��I�#X������I�#h � �) � # �J�KML 3 � J I � #h � � � #��Portanto, a magnitudeda componentehorizontal daforca resultantee dadapor�}� � % �S���}���<��� : � �J�KML 3 I �h � u �S� �m � � J w �O�9� �����,�-� " # �B�,�-�G?HfC��,�-� ? � u �m � � J w ����� U N yenquantoqueamagnitudedacomponenteverticale da-dapor �^�� � % �r�>�}��� �>� : �

�J�KML 3 I �h � u ��r� �m � w �9� � J Q N �P 23-12

Duas esferas condutorasidenticas, mantidas fixas,atraem-secomumaforca eletrostaticademodulo iguala �9�n�-��� N quandoseparadaspor umadistanciade C��9� �cm. As esferassao entao ligadaspor um fio condutorfino. Quandoo fio e removido, asesferasse repelemcomumaforcaeletrostaticademoduloiguala �9� ��;�Q N.Quaiseramascargasiniciaisdasesferas?� SejamI % e I � ascargasoriginaisquedesejamoscal-cular, separadasdumadistancia N . Escolhamosum sis-temade coordenadasde modoquea forca sobre I � epositiva seelafor repelidapor I % . Nestecasoa magni-tudedaforca ‘inicial’ sobreI$� e� | . �J�KML 3 I % I �N � yondeo sinal negativo indica queasesferasseatraem.Em outraspalavras,o sinal negativo indica queo pro-duto I % I-��� J�KML 3 N � � | e negativo, pois a forca � | ,�O� |b� �\# , e forca deatracao.Comoasesferassaoidenticas,aposo fio haversidoco-nectadoambasterao uma mesmacarga sobreelas,devalor ��I % � I$�!# i � . Nestecasoa forcaderepulsao‘final’e dadapor ���+ �J�KML 3 ��I % �>I$�-# �J N � �Dasduasexpressoesacimatiramosa somae o produtode I % e I$� , ouseja

I % I$��� J�KML 3 N � � | ����� C�# � ���9�n�-����#��� �!� " ;��,�-� ? % � C�e I % �>I � NG� J � J�KML 3 #8� � ������� C�# W J �O�9� ��;�Q\#��� �!� " �����,�-� ?H@ C �Conhecendo-sea somae o produtode dois numeros,conhecemosna verdadeos coeficientesda equac¸ao dosegundograuquedefineestesnumeros,ouseja,�����I % #$���E,I-�-#k*� � F��I % ��I-�!#)���>I % I-���

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Dito deoutraforma,sesubstituirmosI$�<.&��;��,�-� ? % � # i I % �a��#naequac¸aodasomaacimatemosduaspossibilidades:I % ;�� ���,�-�9? % �I % {�,�+� �!� ?H@ y �O \#ou I % ;�� ���,�-�9? % �I % �¡�+� �!� ?H@ � �� \ \#Considerando-sea Eq.   , temosI �% Z���,�-� ?H@ I % �;�� �!� ? % � P�9ydeondetiramosasduassolucoes

I % S���,�-�9?A@b�c¢ �a��� �!� ?A@ # � � J �O;�� �!� ? % � #� �O sinal � fornece-nosI % ��B�,�-� ?A@ C e I$�<. ;��,�-� ?H@ C yenquantoqueo sinal fornece-nosI % � ;��,�-� ?A@ C e I � T�B�,�-� ?H@ C yondeusamosaEq.(*) acimaparacalcularI � apartirdeI % .Repetindo-sea analise a partir da Eq.  \  percebemosqueexisteoutropardesolucoespossıvel, umavezquerevertendo-seos sinaisdascargas,as forcaspermane-cemasmesmas:I % �B�B�,�-� ?A@ C e I$�Sc;��,�-� ?H@ C you I % P;��,�-� ?A@ C e I � .B�B�,�-� ?H@ C �P 23-15

Duascargaspuntiformeslivres �<I e � J I estao a umadistancia £ umadaoutra. Umaterceiracargae, entao,colocadade tal modo que todo o sistemafica emequilıbrio. (a) Determinea posicao,o moduloe o sinaldaterceiracarga.(b) Mostrequeo equilıbrio e instavel.� (a) A terceiracargadeve estarsituadasobrea linhaqueunea carga �<I com a carga � J I . Somentequan-do a terceiracarga estiver situadanestaposicao, serapossıvel obter uma resultantenula, pois, em qualqueroutra situacao, as forcas serao de atracao (casoa ter-ceiracargasejanegativa)ouderepulsao(casoaterceira

cargasejapositiva). Poroutrolado,aterceiracargadevesernegativa pois,seelafossepositiva,ascargas�<Ie � J I naopoderiamficar emequilıbrio, poisasforcassobreelasseriamsomenterepulsivas.Vamosdesignaraterceiracargapor S¤ , sendo¤ maiorquezero.Seja�a distanciaentre �<I e S¤ . Paraquea carga S¤ estejaem equilıbrio, o modulo da forca que �<I exercesobreS¤ deve serigual aomodulodaforca que � J I exercesobreS¤ . Portanto,�J�KML 3 I�¤� � �J�KML 3 � J I�#8¤�O£� �H# �ouseja �O£� �H# � J � � �As solucoes da equac¸ao do segundo grau sao £ e£ i ; , sendoqueapenasestaultimasolucaoefisicamenteaceitavel.Para determinaro modulo de ¤ , use a condicao deequilıbrio duascargasdo sistema. Por exemplo,paraquea carga �<I estejaemequilıbrio, o modulodaforcaque S¤ exercesobre�<I deveigualaramodulodaforcade � J I sobre�<I :�J�KML 3 I�¤� � �J�KML 3 � J I�#)I£ � �Dai tiramosque ¤¥ J I�� � i £ � que, para �¦�£ i ; ,forneceo valorprocurado:¤� J� IV�(b) O equilıbrio e instavel; estaconclusaopodeserpro-vadaanaliticamenteou,demodomaissimples,podeserverificadaacompanhando-seo seguinteraciocınio. Umpequenodeslocamentodacarga S¤ desuaposicaodeequilıbrio (paraaesquerdaouparaadireita)produzumaforca resultanteorientadaparaesquerdaouparaadirei-ta.

P 23-16

(a) QuecargaspositivasiguaisteriamdesercolocadasnaTerrae naLua paraneutralizara atracaogravitacio-nalentreelas?E necessarioconheceradistanciaentreaTerraeaLuapararesolveresteproblema?Explique.(b)Quantosquilogramasdehidrogenioseriamnecessariosparaforneceracargapositivacalculadano item (a)?� (a) A igualdadedasforcasenvolvidasfornecea se-guinteexpressao:§0¨Z©}¨Zª

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onde

Z©eamassadaTerrae

¨ZªamassadaLua. Por-

tanto,usando-seasconstantesfornecidasno ApendiceC, temosI& ¢ § J�KML 3 ¨�©^¨Zª cC9� U �,�-� % : C �Comofoi possıvel eliminar N entreosdoismembrosdaequac¸ao inicial, vemosclaramentenao ser necessarioconhecer-seo valor de N .(b) Um atomode hidrogeniocontribui com umacargapositiva de ��� Qd�P�-�9? % " C. Portanto,o numero « deatomosdehidrogenionecessariosparaseigualara car-gado item(a) e dadopor«¬ C9� U �,�-� % :��� Q�� �!� ? % " P;9�DC�� �!� : � C �Portanto,a massade hidrogenio necessaria e simples-mente

¨ ¦«­ge® , onde ge® e a massadeum atomodehidrogenio(emkilogramas)[vejao valordaunidadedemassaunificadanoApendiceB, pag.321]¨ ��;9�DC��,�-� : � #$�)��� ����� U #X�)��� Q�Q��\CB�,�-� ? � f # CG� ��� �!��¯ Kg �P 23-18

Umacarga ¤ e dividida emduaspartesI e ¤.�I , quesao,a seguir, afastadaspor umacertadistanciaentresi.Qual deve ser o valor de I em termosde ¤ , de mo-do quea repulsaoeletrostaticaentreasduascargassejamaxima?� A magnitudedarepulsaoentreI e ¤{,I e�� �J�KML 3 �O¤{,I�#8IN � �A condicaoparaque� sejamaximaemrelacaoa I equesejamsatisfeitassimultaneamente asequac¸oes° �° I P��y e

° � �° I �{± ���A primeiracondicaoproduz° �° I �J�KML 3 �N � °° I}² ¤BIS,I ��³ ¤cZ��IJ�KML 3 N � P�9ycujasolucaoe I&P¤ i � .Como a segundaderivadae sempre menor que zero,a solucao encontrada,I¬l¤ i � , produzira a forcamaxima.�

Observequearespostadoproblemae IBc¤ i � enao¤�c��I .

P 23-19

Duaspequenasesferascondutorasde massag estaosuspensaspor um fio desedadecomprimento£ e pos-suema mesmacarga I , conformee mostradonafiguraabaixo.Considerandoqueo angulo e taopequenoqueµ6¶�· ´ possasersubstituidapor sen ´ : (a) mostrequeparaestaaproximac¸aonoequilıbrio teremos:�= u I � £� KML 3 gE¸ w %�¹ : yonde� eadistanciaentreasesferas.(b) Sendo£>.�!���cm, gº��-� g e �E{CG� � cm,quantovale I ?� (a) Chamandode » a tensaoemcadaum dosfios ede � o modulodaforcaeletrostaticaqueatuasobrecadaumadasbolastemos,paraquehajaequilıbrio:

» sen �»º¼X½�¾9´ gE¸A�Dividindo membroa membroasduasrelacoesanterio-res,encontramos: µ6¶�· ´� �gE¸ �Como ´ e um angulo pequeno, podemos usar aaproximac¸ao �g�¸ µ6¶�· ´ Y sen� � i �£ �Poroutrolado,a forca eletrostaticaderepulsaoentreascargasedadapor �� �J�KML 3 I �� � �Igualando-seas duasexpressoespara � e resolvendopara� , encontramosque�E¿u �� KML 3 I � £gE¸ w %�¹ : �(b) As duascargaspossuemo mesmosinal. Portanto,daexpressaoacimapara� , obtemos

IBÀ� W � : � KML 3 g�¸£ ���G� J � �!� ?HÁ ��� J �,�-� ?A" C ��� J nC�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de11

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P 23-20

No problemaanterior, cujasesferassaocondutoras(a)O queaconteceraaposumadelasserdescarregada?Ex-plique suaresposta. (b) Calculea nova separac¸ao deequilıbrio dasbolas.� (a) Quandoumadasbolasfor descarregadanao po-dera maishaver repulsaoCoulombianaentreasbolase,consequentemente,asbolascairao sobacao do campogravitacionalatesetocarem.Ao entrarememcontato,acarga I queestava originalmentenumadasbolasira serepartirigualmenteentreambasbolasque,entao,pores-taremnovamenteambascarregadas,passaraoa repelir-seateatingirumanovaseparac¸aodeequilıbrio,digamos�1q .(b) A novaseparac¸aodeequilıbrio �Aq podesercalculadausando-seIÂqA*I i � :� q Ãu ��IÂqÄ# � £� KML 3 g�¸ w %8¹ : u �J w %8¹ : Å �-Æ ¯ cmÇ È�É Êu I � £� KML 3 gE¸ w %�¹ : u �J w %8¹ : �e�9� ��C m ;9�n�<�,�-� ? � m ;9�n� cm��E possıvel determinaro valor datensaono fio dese-

da?

P 23-21

A Fig. 23-17mostraumalongabarranaocondutora,demassadesprezıvel e comprimento£ , presapor um pi-no no seucentroe equilibradacomum pesoË a umadistancia � desuaextremidadeesquerda.Nasextremi-dadesesquerdae direitadabarrasaocolocadaspeque-nasesferascondutorascomcargaspositivas I e ��I , res-pectivamente.A umadistanciaÌ diretamenteabaixodecadaumadessascargasestafixadaumaesferacomumacargapositiva ¤ . (a) Determinea distancia � quandoabarraesta horizontaleequilibrada.(b) Qualvalordeve-ria ter Ì paraquea barranaoexercessenenhumaforcasobreo mancalnasituacaohorizontale equilibrada?� (a) Comoa barraestaem equilıbrio, a forca lıquidasobreelae zeroe o torqueemrelacaoa qualquerpontotambeme zero.Pararesolvero problema,vamosescre-veraexpressaoparao torquelıquidonomancal,iguala-la a zeroe resolverpara� .A carga ¤ a esquerdaexerce uma forca para cimade magnitude �8� i9Í J�KHj 3XÎ #$��I�¤ i Ì � # , localizadaa umadistancia £ i � do mancal. Considereseutorquecomo

sendo,por exemplo,positivo. O pesoexerceumaforcaparabaixode magnitudeË , a umadistancia �e�£ i �a partir do mancal. Pelaconvencao acima,seutorquetambem e positivo. A carga ¤ a direita exerceumaforca paracima de magnitude�)� iGÍ J�KHj 3 Î #X�O��I�¤ i Ì � # , aumadistancia£ i � domancal.Seutorqueenegativo.Para que nao haja rotacao, os torque sacimadevemanular-se,ouseja�J�KHj 3 I�¤Ì � £ � ��ËÏu-�� £ � w �J�KHj 3 ��I�¤Ì � £ � c�9�Portanto,resolvendo-separa� , obtemos�E £ � u��Ð� �J�KHj 3 I�¤Ë�Ì � w �(b) A forca lıquidanabarraanula-se.Denotando-sepor« amagnitudedaforcaparacimaexercidapelomancal,entao Ë¥ �J�KHj 3 I�¤Ì � �J�KHj 3 ��I�¤Ì � P�9�Quandoa barranaoexerce nenhumaforca, temos«Ñ� . Nestecaso,aexpressaoacima,fornece-nosfacilmen-teque

Ì� W �J�KHj 3 ;�I�¤Ë ��Observe que e essencialusarsempreum valor po-

sitivo parao braco de alavanca,paranao seinverterosentidodo torque.Nesteproblema,o braco dealavancapositivo e ���£ i � , enao £ i ��,� !23.2.2 A Carga e Quantizada

E 23-24

QualeacargatotalemCoulombsdeU C kg deeletrons?� A massado eletrone g��9�n���+���-�9?A: % kg dema-

neiraquea quantidadedeeletronsem

¨ U C kg e«Ï ¨ g U C��������� �!� ?A: % P��� ��;�� �!� : % eletrons�Portanto,a cargatotal eIB� «.�Ó &���9�D��;��,�-� : % #$�)��� Q���� �!� ? % " # B��� ;���� �!� % : C �

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E 23-26

O modulodaforcaeletrostaticaentredoisıonsidenticosqueestao separadospor umadistanciade CG� �����-�G? %43m vale ;9� U ���-�G?H" N. (a) Quala cargadecadaıon? (b)Quantoseletronsestao“f altando”emcadaıon(o quedaaoıonsuacarganaoequilibrada)?� (a) DaLei deCoulombtemos:I� N ¢ � J�KML 3 #)�T{�P;�� �+�,�-� ? % " C �(b) Cadaeletronfaltanteproduzumacargapositiva de��� Qx�Z�!�G? % " C. Usandoa Eq.23-10, I+.ÔM� , encontra-moso seguintenumeroÔ deeletronsquefaltam:

ԡ ;9�D���,�-�9? % "��� Q+�,�-� ? % " P� eletrons�E 23-27

Duaspequenasgotasesfericasdeaguapossuemcargasidenticasde B��� �x�Z�-� ? % @ C, e estaoseparadas,centroa centro,de ��� � cm. (a) Qual e o moduloda forca ele-trostaticaqueatuaentreelas?(b) Quantoseletronsemexcessoexistememcadagota,dandoa elaa suacarganaoequilibrada?� (a) Aplicandodiretamentea lei de Coulombencon-tramos,emmagnitude,

� �O��� �!��"$#$�)�&�,�-�9? % @$#�)�B�,�-� ? � # � ���,�-� ? % " N �(b)A quantidade« deeletronsemexcessoemcadagotae «Ï I� ��� ��� �!�G? % @��� Q����,�-� ? % " cQ���CG�P 23-31

Pelofilamentodeumalampadade �!��� W, operandoemumcircuitode �!��� V, passaumacorrente(supostacons-tante)de �9� ��; A. Quantotempoe necessario paraque �mol deeletronspassepelalampada?� De acordocoma Eq. 23-3,a correnteconstantequepassapelalampadae ]�{Õ�I i Õ+_ , ondeÕ�I eaquantida-dedecargaquepassaatravesdalampadanumintervaloÕ+_ .

A carga Õ�I correspondentea � mol de eletronsnadamaise doque Õ+I�c«�Ö,� , onde «�Ö�cQ�� �\��;��,�-� � : eo numerodeAvogadro.PortantoÕ+_b « Ö �] ��Q�� �\��;+� �!� � :-#X�8��� Q����,�-�G? % "!#�9� ��; ���D�+� �!��¯ segundos

��� �+�,�-� ¯� J �eQ����=Q�� .��� ;�� dias�P 23-34

Na estrturacristalina do composto ×BØ!×�Ù (cloreto decesio),os ıonsCsÚ formamos verticesde um cuboeum ıon deCl ? esta no centrodo cubo(Fig. 23-18). Ocomprimentodasarestasdocuboe de �9� J � nm. Em ca-daıon CsÚ faltaum eletron(e assimcadaum temumacargade �<� ), e o ıon Cl ? tem um eletronem excesso(e assimumacarga � ). (a) Qual e o moduloda forcaeletrostaticalıquidaexercidasobreo ıonCl ? pelosoitoıonsCsÚ nosverticesdo cubo?(b) Quandoesta faltan-doumdosıonsCsÚ , dizemosqueo cristalapresentaumdefeito; nestecaso,qualseraaforcaeletrostaticalıquidaexercidasobreo ıon Cl ? pelosseteıonsCsÚ remanes-centes?� (a) A forca lıquidasobreo ıon Cl ? e claramenteze-ro poisasforcasindividuaisatrativasexercidasporcadaumdosıonsdeCsÚ cancelam-seaospares,porestaremdispostassimetricamente(diametralmenteopostas)emrelacaoaocentrodocubo.

(b) Em vez de remover um ıon de cesio,podemospo-demossuperporuma carga � na posicao de tal ıon.Isto neutralizao ıon local e, paraefeitoseletrostaticos,e equivalentea removero ıon original. Destemodove-mosqueaunicaforcanaobalanceadapassaaseraforcaexercidapelacargaadicionada.Chamandode h a arestado cubo,temosquea diagonaldo cuboe dadapor m ; h . Portantoa distanciaentreosıonse �� m ; i ��# h ea magnitudedaforca� �J�KHj 3 � ���; i J # h ����� �!� " # �8��� Q����,�-�G? % "-# ��O; i J #X�O�9� J �+� �!� ?H" # ��� ���,�-� ?H" N �P 23-35 Sabemosque, dentrodaslimitacoesimpos-

tas pelasmedidas,os modulos da carga negativa doeletron e da carga positiva do proton sao iguais. Su-ponha,entretanto,que estesmodulosdiferissementre

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sı por �9� �������-�VÛ . Comqueforcaduaspequenasmoedasdecobre,colocadasa ��� � m umadaoutra,serepeliriam?O quepodemosconcluir? (Sugestao: Veja o Exemplo23-3.)� Comosugeridonoproblema,supomosqueamoedaea mesmado exemplo23-3,quepossuiumacargatantopositiva quantonegativa igualdadapor I�/��� ; U �,�-� ¯C. Sehouvesseumadiferenca (desequilıbrio) decargas,umadascargasseriamaiordoqueaoutra,terıamosparatal cargaumvalorI-ÜÀFÝGI&��8�-� ?1[ #$�)�!� ? � #X�)��� ; U � �!��¯$#Ð*�9�n�-; U yondeÝ�c�9� �����9�ÂÛT{�9� ���������=��� ����T�!� ?H@ . Portantoa magnitudedaforca entreasmoedasseriaiguala

� I �ÜJ�KML 3 N � ����� ����� �!��"$#$���9�n�-; U # ��)��� ��# � ��� U � �!� Á N �Comotal forca seriafacilmenteobservavel, concluimosqueumaeventualdiferenca entrea magnitudedascar-gaspositivae negativanamoedasomentepoderiaocor-rercomumpercentualbemmenorque �9� ��������Û .Notequesabendo-seo valordamenorforcapossıvel desemedirno laboratorio e possivel estabelecerqualo li-mite percentualmaximodeerro quetemoshojeemdianadeterminac¸aodascargas.Dequalquermodo,tal limi-te e MUITO pequeno,ou seja,umaeventualassimetriaentreo valor dascargasparecenao existir na pratica,pois teria consequenciasobservaveis, devido ao gran-denumerodecargaspresentenoscorposmacroscopicos(queestaoemequilıbrio).

23.2.3 A Carga e Conservada

E 23-37

Nodecaimentobetaumapartıculafundamentalsetrans-forma em outra partıcula, emitindo ou um eletron ouum positron. (a) Quandoum proton sofre decaimen-to betatransformando-senum neutron,quepartıcula eemitida? (b) Quandoum neutronsofredecaimentobe-ta transformando-senum proton, qual daspartıculaseemitida?� (a)Comoexisteconservacaodecarganodecaimento,a partıculaemitidaprecisaserumpositron.(b) Analogamente,a partıculaemitidaeumeletron.

�As reacoescompletasdedecaimentobetaaquimen-

cionadossao,naverdade,asseguintes:

ÞEß Ô���� Ú ��àGy Ô ßºÞ �>� ? �>à9yonde à representauma partıcula elementarchamadaneutrino. Interessados,podemler mais sobreDecai-mentoBetanaSeccao47-5do livro texto.

E 23-38

Usandoo Apendice D, identifique á nas seguintesreacoesnucleares:��â\# %��ã�s%�ä�� ß áÃ�ZÔ`å�oæ-# % � ×F�s%�� ß á�å�oç-# % ¯ «ã� % � ß [ �¡�Ð��á¡�� Comonenhumadasreacoesacimainclui decaimen-to beta, a quantidadede protons, de neutronse deeletronse conservada. Os numerosatomicos(protonse deeletrons)e asmassasmolares(protons+ neutrons)estaonoApendiceD.

(a) % H tem � proton, � eletrone � neutronsenquantoqueo " Be tem

Jprotons,

Jeletronse �+ J ãC neutrons.

Portantoá tem ��� J èC protons, �B� J eletronse� ��C<��S J neutrons.Um dosneutronse liberadonareacao.Assimsendo,á devesero boro, " B, commassamolariguala C � J P� g/mol.

(b) % � C tem Q protons,Q eletronse ���S�Q&PQ neutronsenquantoqueo % H tem � proton, � eletrone � neutrons.Portantoá tem Q<�{�& U protons,Q��P�� U eletronse Q��P�eãQ neutronse, consequentemente,deve seronitrogenio, % : N, quetemmassamolar

U ��QBT�-; g/mol.

(c) % ¯ N temU

protons,U

eletronse ��Cé U *� neutrons,o % H tem � proton, � eletrone � neutronse o [ He tem� protons,� eletronse

J >���� neutrons.PortantoátemU �{� ��+ÀQ protons,Q eletronse ���s�B���ÀQ

neutrons,devendosero carbono,% � C, commassamolarde QS�>Q&���� g/mol.

23.2.4 As Constantesda Fısica: Um Aparte

E 23-41

(a) CombineasquantidadesÌ , § e ê paraformarumagrandezacom dimensao de comprimento. (Sugestao:combineo “tempodePlanck”coma velocidadedaluz,conformeExemplo23-7.)(b) Calculeeste“comprimen-to dePlanck”numericamente.

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� (a)Usando-seo ApendiceA, fica facil verqueastrescontantesdadastemasseguintesdimensoes:Í ë Î ¬ì Ì� Kví î­Ø�c«ºg¿Ø� kg g �Ø

[

§] g=:Ø � kg

y[ ê ] g Ø �

Portanto,o produto Í ë ΠͧΠnaocontemkg:Í ë ΠͧΠg ¯Ø : �

Atravesdedivisaodo produtoacimapor umapotenciaapropriadade Í ê Î podemosobtereliminarfacilmenteoug ou Ø doproduto,ouseja,Í ë Î Í

§ÎÍ ê Î ¯ g ¯Ø : Ø ¯g ¯ PØ � yÍ ë ΠͧÎÍ ê Î : g ¯Ø : Ø!:g : Fg � �

Portantoï Planck /¢ ë§ i ê : .

(b) O valor numerico pedido e, uma vez que ë Ì i �O� K # ,ï Planck W Ì

§� K ê : .��� Q9���,�-� ?A: ¯ m �

P 23-42

(a) Combineas grandezasÌ , § e ê paraformar umagrandezacomdimensaodemassa.Nao incluanenhumfator adimensional.(Sugestao: ConsidereasunidadesÌ�y § e ê comoemostradonoExemplo23-7.)(b) Calcu-le esta“massadePlanck”numericamente.� A respostapode ser encontradafazendo-seumaanalisedimensionaldasconstantesdadase de funcoessimplesobtidasapartir delas:

g Planck W ë ê§ W Q9� Q�;��,�-� ?A:�[ �e;��,�-� Á� K Q9� Q U �,�-� ? %�% �9��� U � �!� ?AÁ kg �

Pode-severificarqueestarespostaestacorretafazendo-seagorao ‘inverso’daanalisedimensionalquefoi usa-da paraestabelece-la,usando-seo convenienteresumodadonoApendiceA:Í ë Î Í ê ÎÍ § Î îeØ Ü ðÜ 5ð ( kg

.î Ø � kgg � P«­g Ø � kgg � kg

g �Ø � Ø � kgg � kg� �

Portanto,extraindo-sea raiz quadradadesteradicandovemosque,realmente,acombinac¸aodasconstantesaci-matemdimensaodemassa.�

E seusassemosÌ emvezde ë ?...Emoutraspalavras,qualdasduasconstantesdevemostomar?

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