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Experimentos de Mistura

Adilson dos Anjos1

1Departamento de EstatısticaUniversidade Federal do Parana

[email protected]

Curitiba, PR13 de novembro de 2014

Adilson dos Anjos 2014 Experimentos de Mistura

Controle de Processos Industriais - CE074

Experimentos de Mistura– algumas ideias –




Introducao

Experimentos sobre Misturas sao uma variacao de Experimentospara Superfıcie de Resposta;

Existem alguns delineamentos especıficos em funcao dascaracterısticas da mistura;

Planejamento em Rede Simpex;

Representado por seis pontos na figura de um triangulo (Figura);



DIF

Planejamento

0.2 0.4 0.6 0.8

0.8

0.6

0.4

0.2 0.8

0.6

0.4

0.2

x2

x3

x1

Fraction x3

Frac

tion

x2Fraction x1

●

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Figura 1 : Planejamento em rede Simplex




Introducao

Experimentos de Mistura envolvem a soma de proporcoes;

A soma das proporcoes dos diversos componentes (q) e

q

∑i=1

xi = 100% = 1

xi e a proporcao do i -esimo componente.

Observe que, fixando q−1 componentes, a proporcao do ultimocomponente sera a parte que falta para completar 100%.

Experimento de Mistura: a resposta depende apenas dasproporcoes dos ingredientes que fazem parte da mistrua e nao daquantidade




Introducao

Para misturas com dois componentes, x1+x2 = 1 tem-se um retaque representa a mistura dos dois componentes;

A mistura pode ser generalizada para q componentes ouingredientes;

Modelos lineares, quadraticos e cubicos podem ser utilizados pararepresentar o comportamento da superfıcie de resposta;



DIF

Mistura

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x1

x2

Figura 2 : Mistura de dois componentes:




Introducao

Para 3 componentes, tem-se x1+x2+x3 = 1.

Essa equacao, dentro de um cubo, representa um trianguloequilatero.




Introducao

Um modelo linear para mistura de 3 componentes pode ser escritocomo

y = b0+ b1x1+ b2x2+ b3x3

Lembrando que a restricao e: x1+x2+x3 = 1. Com essa restricao,o modelo linear pode ser reescrito da seguinte maneira (Vejamaterial copiado para mais detalhes):

y = b∗1x1+ b∗2x2+ b∗3x3

b∗i = b0+ bi (i = 1,2,3)




Exemplo

No R, o pacote mixexp pode ser utilizado para analisar experimentosde mistura:

> library(mixexp)




Exemplo: com repeticoes

> x1<-c(1,0,0,1,0,0, .5,.5, 0,.5,.5, 0,.5,.5, 0 )

> x2<-c(0,1,0,0,1,0, .5, 0,.5,.5, 0,.5,.5, 0,.5)

> x3<-c(0,0,1,0,0,1, 0,.5,.5, 0,.5,.5,0,.5,.5)

> m<-c(3.2,0.5,0.4,3,.4,.3,1.9,3.9,.3,1.2,4.4,.3,2,4.1,.2)

> dados<-data.frame(x1,x2,x3,m)



Mistura

Planejamento

0.2 0.4 0.6 0.8

0.8

0.6

0.4

0.2 0.8

0.6

0.4

0.2

x2

x3

x1

Fraction x3

Frac

tion

x2Fraction x1

●

● ●

●

● ●

● ●

●

● ●

●

● ●

●




Mistura

Analise

Call:

lm(formula = m ~ x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 - 1, data = dados)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-0.5000 -0.0583 0.0333 0.0750 0.3000

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

x1 3.100 0.174 17.84 2.5e-08 ***

x2 0.450 0.174 2.59 0.029 *

x3 0.350 0.174 2.01 0.075 .

x1:x2 -0.300 0.751 -0.40 0.699

x1:x3 9.633 0.751 12.83 4.3e-07 ***

x2:x3 -0.533 0.751 -0.71 0.495

---

Signif. codes:

0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.25 on 9 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.993, Adjusted R-squared: 0.989

F-statistic: 221 on 6 and 9 DF, p-value: 3.01e-09



Mistura

Superfıcie

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.2 0.4 0.6 0.8

0.8

0.6

0.4

0.2 0.8

0.6

0.4

0.2

x2

x1

x3

Fraction x3

Frac

tion

x2Fraction x1

●

● ●

●

● ●

● ●

●

● ●

●

● ●

●





Exemplo

No modelo, veja que os componentes x1 e x3 interagemsinergicamente (sinal positivo) e que x1 faz com que a respostaaumente.

Observe no grafico da superfıcie de resposta que o maximo esta aoredor de 4,2 que as proporcoes sao aproximadamente 66% e 34%para os componentes 1 e 3, respectivamente;

O componente 2 nao contribui para a variacao da resposta;




Exemplo

Em alguns experimentos, a ausencia de algum ingrediente podenao resultar em resposta;

Pode-se nesse caso, considerar valores mınimos para osingredientes e utilizar a representacao usual;

Na literatura, isso e chamado de pseudocomponente

No pacote mixexp existem funcoes que permitem a introducao derestricoes nos componentes do modelo;

Tambem existem funcoes para gerar outros planejamentos.



Mistura

Planejamento

0.2 0.4 0.6 0.8

0.8

0.6

0.4

0.2 0.8

0.6

0.4

0.2

x2

x3

x1

Fraction x3

Frac

tion

x2Fraction x1

●

● ●

● ●

●

●

Figura 5 : Planejamento em rede Simplex Central


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