FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV COLEGIADO DE...

1

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

ROBSON GAEBLER

O USO DA INTERPOLAÇÃO EM UMA ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

UNIÃO DA VITÓRIA

2011

2

ROBSON GAEBLER

O USO DA INTERPOLAÇÃO EM UMA ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

Trabalho de Conclusão de Curso para

obtenção parcial de título de licenciado pleno

em Matemática pela Faculdade Estadual de

Filosofia, Ciências e Letras – FAFIUV sob a

orientação do professor Doutor Simão

Nicolau Stelmatchuck.

UNIÃO DA VITÓRIA

2011

3

Dedico esse trabalho aos meus pais Rudi Gaebler e Dinorá

Marçal Gaebler aos meus irmãos Rafael e Elisângela e para

minha fiel companheira Jaqueline.

4

AGRADECIMETOS

Os agradecimentos iniciais são aos meus pais, Rudi Gaebler e Dinorá Marçal Gaebler

pela compreensão, paciência e dedicação em oferecer-me o tesouro mais precioso do homem,

o conhecimento. E por estarem o tempo todo ao meu lado me ajudando e confiando na minha

recuperação do acidente. Aos meus irmãos Rafael e Elisângela por sempre incentivarem meus

estudos, e pela paciência de estarem ao meu lado o tempo todo. De um modo geral agradeço

pela corrente positiva de todos no momento difícil que passei no hospital.

Agradeço a todos os professores que auxiliaram de alguma maneira em minha

formação acadêmica, em especial aos professores Simão, Áureo, Israel e a professora

Michele.

Em especial agradeço a Jaqueline pela paciência, motivação e companheirismo que só

ela poderia dar.

5

ão nos tornaremos matemáticos, mesmo que decoremos todas

as demonstrações, se o nosso espírito não for capaz, por si, de

resolver qualquer espécie de problema.

René Descartes

6

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 11

2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ..................................................................................................... 13

3 PROPOSTA DE ENSINO ................................................................................................................. 15

3.1 Justificativa ................................................................................................................................. 15

3.2 Proposta de Atividade ................................................................................................................. 15

3.3 Cálculo de Volume de um Sólido de Revolução ......................................................................... 17

3.4 Formulação de um plano para a resolução do problema ............................................................. 18

3.5 Interpolação Polinomial .............................................................................................................. 20

3.6 Interpolação Forma de Lagrange ................................................................................................. 23

3.7 O uso de tecnologias da informação e comunicação ................................................................... 24

3.8 Algoritmo para interpolação de n pontos na forma de Lagrange para ser executado no Scilab

5.2.2 ................................................................................................................................................... 25

3.9 Uma possível execução do plano de resolução do problema ...................................................... 27

3.10 Cálculo do Volume do Morro do Cristo .................................................................................... 31

3.11 Etapa da verificação dos resultados obtidos .............................................................................. 32

4 CONCLUSÃO ................................................................................................................................... 33

REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 34

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................... 35

7

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Foto retirada do Morro do Cristo........................................................ 17

Figura 2 - Representação gráfica da curva f(x), no qual ocasiona um sólido.... 19

Figura 3 - Foto do morro do Cristo inserida no GeoGebra................................ 21

Figura 4 - Primeiro polinômio característico do contorno do morro................... 33

Figura 5 - Segundo polinômio característico do contorno do morro.................. 34

8

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Primeira série de pontos para o contorno do morro............................. 32

Tabela 2 - Segunda série de pontos para o contorno do morro............................. 33

9

RESUMO

Acredita-se que um ensino mais significativo dos objetos matemáticos parte quando os alunos

passam a resolver problemas. Neste trabalho é apresentada uma atividade para formação

inicial de professores de Matemática neste modelo, em tal atividade se inicia o estudo de

interpolações polinomiais com a integração do software livre Scilab. Com o foco do problema

apresentado pode-se tornar através da matemática aplicada um significado maior para o

estudo de Interpolação visto no curso de Cálculo Numérico e também para outros objetos

vistos de forma mais tradicional nos cursos de Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, e

Álgebra Linear.

Palavras chaves: Interpolação, Software Livre, Resolução de Problemas

10

ABSTRACT

It is believed that a more meaningful teaching of mathematical objects part when students

begin to solve problems. This work presents an activity for initial training of teachers of

mathematics in this model, such activity begins the study of polynomial interpolation with the

integration of the free software Scilab. With the focus of the presented problem can become

applied mathematics through a greater significance for the study of interpolation seen in the

course of numerical calculation and also for other objects seen in a more traditional courses

in Calculus, Integral Calculus, and Linear Algebra .

Keywords: interpolation, free Software, troubleshooting

11

1 ITRODUÇÃO

Ao assumir que o papel do educador é oportunizar conhecimento para seus alunos,

D’Ambrosio (1996) aponta como conhecimento os esforços praticados por indivíduos para

encontrar explicações, formas de lidar e conviver com o meio. Logo, para desenvolver

conhecimento matemático se faz necessário o ato de criar e analisar. Acredita-se que um

problema, ainda que simples, pode ocasionar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à

curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver, por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. (POLYA, 1995, p.5)

Para que a atividade possa propiciar um ambiente motivador é adotada uma postura no

qual o aluno é inserido em uma situação problemática, assim ele pode vivenciar uma situação

matemática em seu contexto diário. Aqui apresento uma atividade no qual a matemática é

inserida em um contexto diferente àquele geralmente apresentado pelos professores.

Quando uma nova situação é apresentada ao aluno é natural que esse se sinta

incomodado e até mesmo preso a antigos valores de ensino. Para que esse tipo de situação

seja amenizado, as práticas docentes devem ser adequadas. Entretanto, as atividades que

consistem um novo sistema de ensino devem vir formuladas de tal modo que o aluno se sinta

motivado e capacitado em desenvolver suas apreciações.

A atividade apresentada neste trabalho consiste basicamente em encontrar o volume

aproximado, através de uma imagem, do Morro do Cristo localizado na cidade de União da

Vitória no estado do Paraná. O que se pretende é discutir, a luz da educação matemática, uma

maneira de inserir essa atividade em sala de aula, destacando objetos matemáticos que são

desenvolvidos no decorrer do desenvolvimento da situação exposta.

Desenvolvemos neste trabalho uma linha de raciocínio que visa a auxiliar o trabalho

do professor na resolução do problema. Longe de querermos dar um caminho fechado,

simplesmente, adotamos uma postura de orientação, até o ponto de construirmos um

algoritmo para encontrar o polinômio pelo processo de interpolação.

13

2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Quando o aluno é inserido em um ambiente no qual ele passa a enfrentar situações que

confrontem sua sensatez, procedimentos são adquiridos para enfrentar tal situação. Resolver

um problema faz com que o aluno se insira nesse tipo de contexto. Uma vez que

procedimentos serão adquiridos quando esses passarem a desenvolver estratégias e heurísticas

para solucionar o problema proposto. São numerosos os casos em que podemos constatar a

construção do conhecimento matemático a partir da busca da solução de um problema.

A História da Matemática está repleta de exemplos da força motivadora que alguns problemas podem ter, de modo que podemos afirmar: a Matemática não é infalível ou inquestionável; não está pronta e totalmente estruturada. Ela se desenvolve pela prática da crítica e da dúvida e move-se a partir de conhecimentos anteriores, em busca de novos conhecimentos necessários à solução de novos ou antigos, mas não resolvidos, problemas. (Allevato, 2005, p.38)

Assim sendo, podemos crer que problemas proporcionem o senso de curiosidade e

despertem interesse maior do aluno para com a matemática. Ao mesmo tempo quando esses

passam a resolver tais situações desenvolvimentos cognitivos são adquiridos, tais eles como

criatividade, raciocínio, conceitos e a própria formalidade da matemática como um todo.

Problemas não são chamados de ‘problemas’ se o resolvedor não necessita identificar situações matemáticas, ou seja, se ele pode resolver o “problema” utilizando um simples modelo de resolução de outro já resolvido. Tais problemas não passam de meros exercícios, já que podem ser numerosos, não necessitam da interpretação do enunciado e envolvem um único conteúdo e uma única metodologia. Esses proliferam em muitos livros didáticos.” (Medeiros, 2007, p.10)

Tal definição reforça a ideia de que problema tem enunciado e que necessariamente

provoca no resolvedor a necessidade de identificar que situações matemáticas, que estratégias

são adequadas à solução do problema.

Para se resolver um problema Polya (1995) nos atenta a algumas etapas importantes ao

processo do desenvolvimento cognitivo:

• Analisar e Compreender o problema: Para isso é necessário que o enunciado do

problema esteja de forma clara e compreensível para existir a possibilidade de

desenvolvimento deste;

• Elaborar um plano/estratégia para resolver o problema: A partir desse momento

existe a possibilidade de um mesmo problema ser resolvido de forma distinta por um mesmo

14

indivíduo, uma vez que a sua estratégia influencia no método a ser resolvido o problema.

Também se destaca a ideia de que experiências anteriores em resolução de outros

problemas influenciam na forma de desenvolver a resolução de um novo problema;

• Executar o plano de resolução: Uma vez definido o plano para resolver o

problema, a execução do problema é o momento de efetuar cálculos e desenvolver algoritmos;

• Verificação do Resultado obtido: Momento importante, se não o mais

importante, do desenvolvimento da resolução. Agora é o momento de reflexão daquilo que foi

feito, de detectar possíveis erros e validar o resultado obtido com aquilo que foi proposto no

enunciado do problema.

Apesar de muitas estratégias poderem resolver o mesmo problema, vemos que uma

orientação é necessária em tais atividades. Sem tal direcionamento a eficácia da metodologia

pode ficar comprometida por vários aspectos, como por exemplo, divagações infrutíferas e

tempo restrito para a resolução do problema.

O processo de construção da identidade do professor ocorre das experiências e práticas

cotidianas do mesmo. Esses saberes são desenvolvidos durante a formação inicial, em outras

formas de formação continuada e durante sua prática. Não se defende aqui que a quantidade

de cursos de formação continuada está vinculada com uma prática pedagógica significativa.

Ou seja, colocar os estudantes, futuros professores, em contato com a atividade de ensinar e

prepará-los para o exercício desta atividade constitui um dos objetivos da Licenciatura. Logo,

para habilitar futuros professores a praticarem resolução de problemas com seus alunos, esses

necessitaram vivenciar em sua formação inicial tal metodologia, de modo que um

determinado objeto matemático tenha sido vivenciado através dessa prática pedagógica.

É razoável supor que, o professor que em sua formação inicial passou por atividades

de resolução de problemas, tenha mais facilidade em aplicar essa metodologia na sua prática

docente.

15

3 PROPOSTA DE ESIO

3.1 Justificativa

Para o professor efetivar um ambiente propício para a resolução de problemas em sua

prática pedagógica, é importante que este seja familiarizado com etapas desse processo e o

próprio também tenha passado por situações nas quais um problema acarretou o

desenvolvimento de aprendizagem de um determinado objeto matemático. Para que isso

ocorra é importante que durante sua formação inicial, determinados conteúdos venham a ser

abordados por metodologias de resolução de problemas.

Na formação inicial de professores de Matemática, encontra-se no Cálculo Numérico,

um momento propício para problematizar situações as quais o desenvolvimento de ajuste de

curvas pode ser empregado. Logo, se acredita que este é um importante momento para

vivenciar a prática pedagógica de resolução de problemas, uma vez que é possível resgatar

conteúdos já abordados anteriormente e discutir a luz dessa metodologia um novo objeto de

estudo.

3.2 Proposta de Atividade

Por meio de um problema em aberto, ou seja, aquele no qual o enunciado não se tem

uma estratégia para sua resolução. Busca-se por intermédio das investigações dos alunos

iniciar um novo objeto de estudo: o ajuste de curvas. O problema consiste em determinar o

volume do morro do Cristo, por meio de uma foto retirada deste local, figura 1.

Figura 1 – Foto retirada do Morro do Cristo

Fonte: O autor.

Figura 1- Foto retirada do Morro do Cristo Fonte - O autor (2011)

16

A etapa de análise e compreensão do problema é desenvolvida de forma gradativa.

Assim, o problema é proposto e a imagem é fornecida, podendo também o professor estimular

seus alunos a fotografarem outra imagem, em um ângulo distinto do fornecido inicialmente.

Isso pode ocasionar debates significativos pelos alunos, uma vez que com imagens distintas o

resultado obtido também pode ser distinto.

Considerações distintas formuladas pelos alunos podem ocorrer, para que a

compreensão do problema se efetive de forma eficiente nos futuros professores, é aceitável

que o professor questione seus alunos com indagações no qual vão auxiliar esses na

compreensão do problema, dando assim condições paras os aprendizes saberem o que fazer.

Na etapa da elaboração de um plano para a resolução, ideias podem surgir com o

desenrolar da compreensão do problema exposto. Se o indivíduo já passou por situação

semelhante, ou seja, por outra situação de resolução de problema, essas experiências

adquiridas anteriormente podem auxiliar na elaboração de um plano. Logo, se conclui que

diferentes planos podem surgir no mesmo problema exposto a turma. Como o ambiente de

formação inicial de professores, é bastante aceitável admitir que conceitos já abordados

anteriormente na sua formação sejam utilizados e tratados de forma aplicável neste problema.

Isso ocorre de forma natural quando os alunos expressam suas heurísticas da situação

problemática, se isto não ocorrer o papel do professor é mediar à situação de tal maneira que

conceitos já abordados anteriormente venham a ser relembrados e até mesmo usados na

situação.

Uma possibilidade de resolução do problema a surgir é o levantamento da hipótese de

que o morro do Cristo seja um sólido. Logo, conceitos abordados anteriormente na sua

formação podem ser empregados em tal situação. Existe também a possibilidade de se

considerar que o morro seja representado por uma superfície. Supondo esse último caso, ou

seja, supondo o morro como uma superfície, teríamos que possuir uma imagem

tridimensional. Desta maneira o aluno poderia utilizar a Integral dupla, dado por integração

em várias variáveis. Entretanto, fica a questão “como identificar tal superfície?”. Existe a

possibilidade que o aluno identifique uma grande dificuldade neste momento, cabendo assim

ao professor o dever de auxiliar, se assim for o caso, propondo uma hipótese simplificadora da

situação, ou seja, olhar a situação como sendo um sólido de revolução. E, assim, se espera o

questionamento de como calcular o volume de um sólido de revolução?

Aqui vemos a oportunidade

e integral de uma variável, pois para calcular o volume

encontremos uma curva geratriz. A seg

de Guidorizzi (2001).

3.3 Cálculo de Volume de um Sólido de Revolução

Seja �� uma função contínua no intervalo

se � o conjunto obtido pela rotação em torno do eixo

pelas retas a e b, pelo eixo

volume V de �.

Sendo � uma partição de�� com �� e � sendo os pontos de máximo e mínimo

Figura 2 – Representação gráfica da curva f(x)

Fonte - O autor (2011)

Relembramos que a integral

oportunidade do professor relembrar os conceitos de cálculo diferencial

e integral de uma variável, pois para calcular o volume de um sólido de

geratriz. A seguir relembremos tais conceitos, os quais são retirados

lculo de Volume de um Sólido de Revolução

uma função contínua no intervalo ��, � com ��x� � 0 nesse intervaloo conjunto obtido pela rotação em torno do eixo �, do conjunto

, pelo eixo x e pelo gráfico ��, observado na figura 2. O objetivo é definir o uma partição de ��, � temos então �: � ��

sendo os pontos de máximo e mínimo respectivamente

Representação gráfica da curva f(x)

O autor (2011)

integral é dado por:

� �� lim�� ! " ��#�Δ��#�#� .&

'

17

os conceitos de cálculo diferencial

de um sólido de revolução basta que

uir relembremos tais conceitos, os quais são retirados

nesse intervalo. Toma-

, do conjunto ( do plano limitado

. O objetivo é definir o

� � �# � �#� � � �respectivamente de � em ��#, �#)��.

18

Como *� +�� ,Δ�� representa o volume do cilindro de altura ℎ. E *, +�� ,Δ�� representa o volume do cilindro de altura ., ou seja, nesse caso o cilindro

maior que extrapola a função �. Logo, se pode afirmar que o volume * do sólido gerado pelas retas �, e pela função � é aproximado por:

" +�� ,Δ��#

�/� ≤ * ≤ " +�� ,Δ��.#�/�

Usando a definição de integral concluímos que o volume da região � delimitada pelas

retas �, e pela função � é expressa por: �1� * + ��,��.&

'

Exemplo 1: Determine o volume do sólido de revolução, obtido pela rotação da curva �� ,, no intervalo �1,2�. Aplicando a fórmula (I), e sendo �� , com o intervalo definido em �1,2�, vemos

que

* � +��,�,��,� .

Efetuando o cálculo e isolando a constante +, tem-se * + 4 �5��,� .

Como a primitiva de �5 é dada por �65 , então * 8�6 +.

3.4 Formulação de um plano para a resolução do problema

Nem mais fácil e nem menos importante que as outras etapas, é o papel do professor

oferecer aos alunos condições para formular um plano de resolução. Como já existe uma

prática na elaboração de cálculo de volume e área em sólidos de rotação esse momento é

“amenizado”, entretanto outro problema surge também nessa etapa: como determinar uma

19

função que descreva o contorno do morro do Cristo? Dado que é fornecido aos alunos, futuros

professores, a imagem do morro do Cristo, figura 1. O aluno poderá pensar em inserir a

imagem num plano cartesiano e assim determinar pontos nos quais contornem sua forma,

fazendo assim que tais pontos pertençam a uma curva característica de seu contorno. Caso

nenhum aluno expresse tal ideia, porém tendo em vista o tempo e a precisão, o professor pode

induzir tal idéia e oferecer aos alunos algum software de plotagem, tal como GeoGebra,

observamos esse procedimento na figura 3.

Figura 3 – Foto do morro do Cristo inserida no GeoGebra Fonte - O autor (2011)

Busca-se uma resposta para o problema: como determinar uma função que descreva o

contorno do morro do Cristo? Os alunos podem encontrar uma tabela de dados ��, 9�� com : 1, … , < que geralmente é representado visualmente por meio de um gráfico, figura 3.

Disso, se espera que haja uma relação entre as variáveis �, 9 de tal modo que seria expressa

por uma função 9 ��.

Ao observar a figura 3, o professor, se for o caso, pode induzir os alunos a ver que ∀ � ∈ ? existe um único ∈ @, e questionar como se descreve a curva geratriz. Aqui é

esperado que o conceito de função entre na discussão. A pergunta natural que poderá surgir é:

como descrever tal função? Acredita-se que neste momento os alunos vão encontrar

dificuldade, pois a definição de função esta bem posta, porém uma expressão algébrica é de

20

difícil verificação. Assim, o momento é ideal para o professor iniciar o estudo de ajuste de

curvas.

Como a situação problema requer que encontremos uma função que represente o

contorno do morro do Cristo, e não requer que encontremos alguma previsão para um dado � ∈ ?, a utilização da interpolação se torna favorável ao momento. Contudo como existem

diferentes formas de interpolação, entre elas lineares, logarítmicas e polinomiais cabe ao

professor direcionar a escolha dos alunos ao formularem a hipótese de que tipo de função

pode caracterizar o contorno do morro do Cristo. Uma vez que a interpolação linear não

caracteriza de forma eficiente o contorno. A polinomial para um primeiro estudo se torna mais

favorável do que a logarítmica.

3.5 Interpolação Polinomial

Encontramos em Ruggiero (1997) que dado uma série de pontos n+1 o objetivo é

aproximar f(x) por um polinômio��#, de grau menor ou igual a n, tal que: ��A� �#��A�; C 0,1,2,3, … , < . O professor pode passar a questionar seus alunos: existe um

polinômio que satisfaz a hipótese levantada no problema?

Se �� ! + ��! + �,�!, + � + �#�!# é o polinômio que representa a curva F, então conhecendo os coeficientes �!, ��, �,, �, �# podemos calcular o volume desejado. Da

hipótese estabelecemos o sistema linear:

GHIHJ �! + ��! + �,�!, + � + �#�!# ��!��! + �� + �,��, + � + �#��# ��! + ��, + �,�,, + � + �#�,# ��,�⋮�! + ��# + �,�#, + � + �#�## ��#�.

L Sendo < + 1 o número de equações e variáveis, a representação matricial do sistema

fica da forma:

MNNNO1 �! �!, … �!#11⋮1

��,⋮�#��,�,,⋮�#,

� ��#� �,#⋮ ⋮� �##PQQQR . MNN

NO�!��,⋮�#PQQQR

MNNNO��!��,�⋮��#�PQQ

QR.

21

Chamemos de A a matriz cujos termos independentes são representados por �!, ��, �,, � , �#, de B, a matriz cujos termos são os coeficientes �!, ��, �,, �, �# e de C, a matriz dos termos dependentes ��!�, ��, ��,�, � , ��#�. Logo, um resultado bem

conhecido de sistemas lineares, afirma que quando �ST�(� ≠ 0 teremos uma única solução

para o sistema linear, o que resulta um único polinômio que caracterize a curva F. Na matriz A nota-se que cada linha representa uma sequência. Alexander Theóphile

Vandermonde foi o principal matemático no estudo de matrizes com essa característica, logo

elas são chamadas de matrizes de Vandermonde.

O determinante de uma matriz de Vandermonde A pode ser tomado da forma det�(� ∏ ��Z − �� \Z . Usaremos indução para provar que o determinante de A é não nulo.

Para n=2 vemos que:

�ST ]1 ��1 �,] �, − ��.

Verificado para < 2 supomos que o caso vale para < − 1. Multiplicando a primeira coluna

de A por -1 e somando nas demais colunas, obtemos:

MNNNNO

1 0 0 … 0��,⋮��#^��, − ��,, − ��,⋮�,#^� − ��#^�

�8 − ��8, − ��,⋮�8#^� − ��#^�

��⋱…�# − ��#, − ��,⋮�##^� − ��#^�PQQ

QQR.

Para zerar todos os elementos abaixo de 1 (coluna 1), multiplicamos a linha : por −�� e somamos com a linha : + 1 para todo : 1, … , < − 1. Ficando assim:

MNNNO 1 0 0 � 000⋮0

�, − ��,��, − ��⋮�,#^,��, − ��8 − �,�8��8 − ��⋮�8#^,��8 − ��

��⋱…�# − ��#��# − ��⋮�##^,��# − ��PQ

QQR.

Colocando em evidência os termos �� − ��, obtemos

22

��, − �� # − �� `̀ 1 0 � 0 1 � 0 �, �

01�# ⋮ 0 ⋮�,#^, ⋱� ⋮�##^,`̀. Expandindo este determinante, pela primeira linha, aplicando a hipótese de indução

concluímos que:

det�(� a��Z − �� \Z

Assim se todo elemento �!, ��, �,, � , �# é diferente entre si então det�(� ≠ 0. Em

resumo, obtemos o seguinte teorema:

TEOREMA 1: Existe um único polinômio �#�� de grau ≤ <, tal que �#�� A�, C 0,1,2, … , < desde que �A ≠ �Z , b ≠ C.

É importante que o professor apresente pelo menos um exemplo da situação, uma vez

que isso irá acarretar na percepção dos alunos quanto ao trabalho de cálculos efetuados para

se determinar os coeficientes �# do polinômio.

Exemplo 2: Dado os pontos (2,3), (3,7), (4,12) e (6, 17). Determine o polinômio p(x)

que interpola os pontos dados.

Montando o sistema linear da situação temos:

c �! + 2�� + 4�, + 8�8 3�! + 3�� + 9�, + 27�8 7�! + 4�� + 16�, + 64�8 12�! + 6�� + 36�, + 216�8 17L. Tomasse a forma matricial do sistema:

i 1 2 4 81 3 911 46 16362764216j . i�!��,�8

j i 371217j. Dado que a matriz quadrada i 1 2 4 81 3 911 46 1636

2764216j possui determinante não nulo, assim ela é

invertível, isola-se a matriz dos coeficientes �!, ��, �,, �8 para conseguir a seguinte solução do sistema

23

i�!��,�8j k−0,7894732−0.37719301,4254386−0,1447368l.

Insere-se nesse instante a oportunidade de se tratar de algumas formas de interpolação

polinomial, tais elas como forma de Lagrange e a forma de Newton. Ou seja, existe a

possibilidade de se optar por qualquer uma das duas, nesse trabalho, abordamos a forma de

Lagrange.

3.6 Interpolação Forma de Lagrange

Considerando que se tenha n+1 pontos x0, x1, x2, x3,..., xn distintos entre si, tais que 9� ��, ∀ :, : 0,1,2,3, … , <. Sejam os (n+1) polinômios de grau n dados da forma: �!�� − �� − �,� … �� − �#� �� − �!�� − �� … �� − �#� ⋮ �#�� − �!�� − �� … �� − �#^��. Tais polinômios podem ser chamados de polinômios de Lagrange e também podem ser

representados da seguinte forma.

�1� �� a m� − �Zn, : 0, … , <.#Z/!,Zo�

e possuem as seguintes propriedades �� 1, ��m�Zn 0 Como se deseja encontrar o polinômio interpolador �# �� que satisfaça a condição �#�� 9� considera-se a combinação linear dos polinômios de Lagrange:

�11� p#�� " ��.#�/!

Assim resta determinar os coeficientes #. Tomando o ponto ��A, 9A� tem-se: �#��A� !�!��A� + ��A� + ,�,��A� + � + #�#��A�. Logo

�#��A� !�!��A� ⟹ A p#��A��A��A�, onde

24

�#��A� 9A. Segue que A rsts��s�. Substituindo a igualdade acima em (II), temos

�#�� " 9�� #�/! " 9� ��

#�/!

De (I) e (II) segue a expressão do polinômio interpolador de Lagrange:

�#�� " 9�#

�/! a m� − �Zn�� − �Z�#

Z/!,Zo�

Definimos por fim

u�� ∏ m�^�vn��w^�v�#Z/!,Zo� .

Como u�� 1 e u�m�Zn 0, ∀: ≠ b, o polinômio de Lagrange torna-se:

�#�� " 9�u��#�/! .

3.7 O uso de tecnologias da informação e comunicação

Devido à natureza da atividade, o professor deve estar atento quando surgem

oportunidades de se trabalhar com ferramentas disponíveis no cotidiano dos alunos. Observa-

se que, para determinar o polinômio interpolador requer um trabalho prolongado de cálculos,

ocasionando assim na fácil possibilidade de ocorrerem erros. Busca-se amenizar esse

problema com a inserção de recursos tecnológicos como o computador.

Nesse instante abre-se uma nova oportunidade de aprendizagem para o aluno

decorrente de indagações feitas por eles ou por meio de questionamentos investigativos do

professor. Como essa atividade se insere em um momento da disciplina de Cálculo numérico

se espera que os alunos, futuros professores, possuam um breve conhecimento a cerca de

softwares nos quais possam amenizar a problemática encontrada anteriormente.

25

Podemos destacar as planilhas eletrônicas, que possuem uma série de funções, entre

elas o ajuste de curva. As mais populares são a planilha eletrônica Excel que se encontra na

suíte de aplicativos da Microsoft Office e a planilha eletrônica Calc que se encontra na suíte

de aplicativos do Open Office. Tendo em vista a popularidade dessas duas planilhas

eletrônicas, os futuros professores podem vir a utilizarem tais ferramentas. Assim como nas

discussões a cerca de que ferramenta utilizar para a problemática, se abre uma oportunidade

para inserir a noção de programação para tais alunos.

Tendo em vista que a área da computação é baseada em algoritmos e noções de

métodos numéricos, assim nasce uma oportunidade do futuro professor vivenciar isso na sua

formação. Para tal processo ocorrer, pode-se dar uma noção básica do que é algoritmo e

programação, e onde isso ocorre. Devido às distintas formas de linguagem de programação e

de compiladores existentes, o direcionamento do professor para um determinado ambiente

numérico se faz bastante significante.

Através da forma de Lagrange o aluno pode escrever um algoritmo para ser executado

no ambiente numérico livre Scilab em sua versão 5.2.2. Assim se obtêm de forma mais prática

e segura o polinômio característico. Caso a inserção de programação não faça parte da ementa

de cálculo numérico do curso de licenciatura, pode-se optar em oferecer um algoritmo pronto

ao aluno.

3.8 Algoritmo para interpolação de n pontos na forma de Lagrange para ser executado no Scilab 5.2.2

Abaixo descrevemos um algoritmo, de nossa autoria, para encontrar o polinômio

interpolador. A plataforma que utilizamos é o Scilab 5.2.2, pois este é um software livre, o

qual pode ser disponibilizado para qualquer aluno.

Algoritmo

n=input('Insira o número de pontos a serem interpolados')

X=input('Determine [x0, x1, x2,...,xn]=')

Y=input('Determine [y0, y1, y2,...,yn]=')

z=poly([0 1],'x','coeff');

26

r=0;

for=1:n;

c=1;d=1;

if i<>j

c=c*(z-X(j));

d=d*(X(i)-X(j));

end

end

r=r+Y(i)*(c/d);

end

disp('o polinômio interpolador é')

r

n=input ('Insira o número de pontos a serem interpolados:');

Como linguagem de algoritmos pode não ter sido abordado no curso de Licenciatura,

na sequência damos um pequena explicação sobre os comandos usados.

Input é um comando de entrada de dados, nesse momento pede-se ao usuário que

determine o número de pontos a serem interpolados

X=input('Determine [xo,x1,x2,...,xn]:');

Aqui o usuário irá determinar os valores independentes do eixo da abscissa. Em forma

de vetor.

Y=input('Determine [f(x0),f(x1),f(x2),...,f(xn):');

Posteriormente é solicitado que se insira os valores dependentes do eixo das

ordenadas, também em forma de vetor.

z=poly([0 1],'x','coeff');

poly é o comando que determina o polinômio através dos coeficientes “coeff”.

27

r=0;

for i=1:n

for é um comando de iteração, indicando que o processo do algoritmo decorre de 1 até n, que

é o número de termos a serem interpolados.

c=1;d=1;

for j=1:n

if i<>j

c=c*(z-X(j));

d=d*(X(i)-X(j));

end

end

r=r+Y(i)*(c/d);

r é a variável que guarda o resultado do polinômio interpolador.

end

disp('O polinômio interpolador é:')

Disp é o comando de saída de dados, assim como input porem esse indica o

“resultado” (saída).

r

Polinômio interpolador final gerado pelo algoritmo.

3.9 Uma possível execução do plano de resolução do problema

Seguindo a sequência proposta para resolver um problema, observamos que nos

capítulos 3 e 4 foi desenvolvido a fase de planejamento, ou seja, construímos um plano para a

resolução. Neste momento, vamos à execução do plano proposto. Aqui, cabe ressaltar que a

nossa resolução é uma forma particular e outras podem ser encontradas.

Inicialmente, devem-se determinar quais pontos serão utilizados para a interpolação e

assim determinar o polinômio ��. Para isso a imagem inicial do morro, representado na

figura 1, foi inserida no software Geogebra, observe figura 4, a fim de determinar com maior

28

precisão as coordenadas dos pontos, e para verificar se o polinômio interpolador se adéqua

bem ao contorno do morro do Cristo, figuras 4 e 5.

Para isso, uma possível tentativa é utilizando o algoritmo desenvolvido anteriormente,

ocorre para seis pontos a serem interpolados, como segue na tabela 1, os mesmos pontos

podem ser utilizados para o caso da utilização do Excel ou Calc.

Tabela 1 – Primeira série de pontos para o contorno do morro


Utilizando o algoritmo desenvolvido no Scilab, se encontra o polinômio ��: �� 0.68 + 1.5519786� − 0.7478837�, + 0.1325582�8 − 0.0094354�5+ 0.0002309�6

x f(x) 0 0.68

3.42 1.36 7.12 1.64 10.5 2.76 13.3 1.76 15.9 0.76

Figura 4 – Primeiro polinômio característico do contorno do morro Fonte - O autor (2011)

Aqui, existe uma resolução para o problema

então partir para a última fase da proposta de resolução de um problema: a

resultados. Aqui o professor, pode questionar o aluno sobre a v

espera-se que o aluno se auto avalie sobre seus resultados.

O aluno poderá observar que a

que entre os dois primeiros nó

forma adequada o contorno do morro. Na verdade apenas entre os nós

comporta de forma que satisfaz a imagem. Intuitivamente

é inserir mais um ponto entre os dois primeiros nós. Determinando assim um novo polinômio

a partir de sete pontos. Com o novo ponto

alternativa é aproximar os pontos C

expostos na tabela 2:

Tabela 2

Fonte

Primeiro polinômio característico do contorno do morroO autor (2011)

Aqui, existe uma resolução para o problema do polinômio interpolador. Podemos

então partir para a última fase da proposta de resolução de um problema: a

resultados. Aqui o professor, pode questionar o aluno sobre a validad

se que o aluno se auto avalie sobre seus resultados.

O aluno poderá observar que a curva c representada na figura 4

que entre os dois primeiros nós, entre os pontos A e B, a “barriga” de p

forma adequada o contorno do morro. Na verdade apenas entre os nós C

comporta de forma que satisfaz a imagem. Intuitivamente, a primeira solução que se imagina


pontos. Com o novo ponto surge uma nova série de dados,

é aproximar os pontos C, D e E. Resultando em novo conjunto de sete pontos

Tabela 2 – Segunda série de pontos para o contorno do morro

x f(x) 0 0.68

1.48 0.96 3.42 1.36 7.12 1.64 10.5 2.76 13.3 1.76 15.9 0.76

Fonte – O autor (2011)

29

Primeiro polinômio característico do contorno do morro

do polinômio interpolador. Podemos

então partir para a última fase da proposta de resolução de um problema: a verificação de

alidade de suas escolhas, e

4 não é adequada, note

p�� não representa de C e D, D e E a curva se

a primeira solução que se imagina


de dados, tabela 2. Uma

D e E. Resultando em novo conjunto de sete pontos

Segunda série de pontos para o contorno do morro

O novo polinômio fica assim determinado:

�� 0.68 − 0.1091154+ 0.0000307

Figura 5 – Segundo polinômio


O aluno pode observar

um pouco de realismo entre os dois últimos nós

introduzindo uma quantidade de nós que o satisfaça.

uma resolução para o cálculo do volume, utilizaremos o polinômio 0.1091154� + 0.35868�,conseguido com a inclusão do ponto

Outra maneira de se obter o polinômio interpolador é utilizando

Calc. Além da resolução em si do problema, o

O novo polinômio fica assim determinado:

1091154� + 0.35868�, − 0.13311�8 + 0.02008410000307�x

Segundo polinômio característico do contorno do morro

O autor (2011)

O aluno pode observar que as alterações nos três nós surtiram efeito,

lismo entre os dois últimos nós, pontos E e F. Assim, ele pode seguir

quantidade de nós que o satisfaça. Em nosso caso, com a finalidade de dar

uma resolução para o cálculo do volume, utilizaremos o polinômio , − 0.13311�8 + 0.0200841�5 − 0.0013125conseguido com a inclusão do ponto G.

Outra maneira de se obter o polinômio interpolador é utilizando

Além da resolução em si do problema, o Calc pode auxiliar na verificação de

30

0200841�5 − 0.0013125�6

característico do contorno do morro

que as alterações nos três nós surtiram efeito, todavia perde-se

Assim, ele pode seguir

Em nosso caso, com a finalidade de dar

uma resolução para o cálculo do volume, utilizaremos o polinômio �� 0.68 −0013125�6 + 0.0000307�x Outra maneira de se obter o polinômio interpolador é utilizando planilha eletrônica

pode auxiliar na verificação de

31

resultados. Um exemplo é dado na figura 6, que pode ser observado abaixo.

Figura 6 – Polinômio característico do contorno do morro, utilizando Calc


3.10 Cálculo do Volume do Morro do Cristo

Na formação do professor, esse momento da resolução do problema é importante para

rever objetos matemáticos e dar um significado maior para esses conceitos, e ainda

proporcionar o estudo de novas abordagens dentro do Cálculo Numérico. Em (I) encontramos

a fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução, onde �� representa uma

função. Agora com a curva �� já determinada basta calcularmos o volume desse sólido.

�1� * + ��,��&'

Sendo a nossa escolha

32

�� 0.68 − 0.1091154� + 0.35868�, − 0.13311�8 + 0.0200841�5 −0.0013125�6 + 0.0000307�x De (I) segue que: *y + 4 �0.0000307�x − 0.0013125�6 + 0.0200841�5 − 0.13311�8 + 0.35868�, −�6.z! 0.1091154�+0.68�2��. Um cálculo simples mostra que

*y 148.5532. Como o volume do morro *{ é a metade do volume do sólido *y de revolução, basta

dividir esse valor encontrado por dois, resultando em:

*{ *y2 74.2766 |<:��S} �S ~S�:�� S ��|~S Aqui esclarecemos que a medida volume é algo a ser precisado, pois ela depende do

tamanho da foto tirada em comparação com a realidade. Mantemos |<:��S} �S ~S�:�� S ��|~S por um rigor matemático necessário.

3.11 Etapa da verificação dos resultados obtidos

O retrospecto feito por cada passo do plano elaborado se torna de grande importância

para o desenvolvimento do conhecimento, e possibilita que possíveis erros sejam detectados.

É de extrema importância verificar os resultados obtidos se esses estão de acordo com as

condições impostas pelo problema. Essa análise pode ser inicialmente feita pelo próprio

aluno, e posteriormente apresentada aos demais colegas. Isso ocasiona em um ambiente de

reflexão e discussão a cerca de outras formas de se ver o problema.

O professor tem o importante papel de lembrar, de que por mais que ele tenha

conduzido o aluno a ter uma ideia para a situação, foi o aluno que desenvolveu e analisou o

processo, ocasionando assim na satisfação do resolvedor do problema.

Na possível execução do plano de resolução apresentado neste trabalho, capítulo 5,

percebe-se que o algoritmo desenvolvido no Scilab resultou em um polinômio de igualdade

aquele apresentado pela planilha eletrônica Calc. Logo, tem-se que tal algoritmo é eficiente

para o caso, ocasionando assim em um polinômio interpolador aceitável para a situação.

33

4 COCLUSÃO

Quando os alunos estudam conteúdos matemáticos relacionados com o seu contexto

existe a possibilidade de gerar discussões acerca de questões sociais, entre outras. No possível

desenvolvimento da resolução deste problema, nota-se que existe a possibilidade de discussão

a cerca da utilização de softwares livres ou pagos para o desenvolvimento da atividade.

Desenvolvendo assim a possibilidade de uma visão crítica e reflexiva da situação em estudo.

Para que isso ocorra é adequado que o professor conviva com situações semelhantes na sua

formação inicial.

A adoção dessa atividade em contexto de formação inicial de professores viabiliza que

situações matemáticas já trabalhadas sejam tratadas de forma mais significativa, entre elas

destacam-se integrais, conceitos de álgebra linear e estudo de interpolação através de um

ambiente numérico.

Poderia ser feita a adoção da problemática para se achar o volume de alguma garrafa

ou algum recipiente, entretanto, a análise da forma de um morro parece ser um elemento

motivador no ensino dos objetos matemáticos destacados anteriormente.

34

REFERÊCIAS

ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à solução de problemas fechados: análise de uma experiência. Tese de doutorado. Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP - Rio Claro, 2005.

D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, 1996.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Vol. 1. Rio de Janeiro. LTC. 2001.

MEDEIROS JUNIOR, R. J. Resolução de Problemas e Ação Didática em Matemática no Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado, UFPR, 2007. POLYA, G. A Arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Ed. Interciência, 1995. RUGGIERO, M. A. G. LOPES, V. L. R. Cálculo �umérico Aspectos Teóricos e Computacionais, Makron, 2ª edição, 1997.

35

BIBLIOGRAFIA

LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo. Harbra. 1994. LIMA, E. L., Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2ª edição, 1996.

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV COLEGIADO DE...

Documents

Transcript of FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS – FAFIUV COLEGIADO DE...