Fase II - Refinamento

Aurora Pozo

Refinamento

• Uma vez isolada uma raiz em um intervalo [a,b], procura-se, nesta fase, considerar uma aproximação para a raiz e melhorá-la sucessivamente até se obter uma aproximação com a precisão requerida

Critérios de paradaPor outro lado, como um determinadométodo pode não convergir em uma dada aplicação, é comum impor-se, também,um número máximo de iterações.

Método da Bisseção

• A idéia do Método da Bisseção é reduzir o intervalo [a, b] que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração.

function [raiz,iter]=bissec1(f,a,b,eps1),//calcula a raiz de f(x) no intervalo [a,b]// com precisão eps1x0=a;x1=b;xm=(x0+x1)./2;it=0;while (min(abs(f(xm)),(x1-x0))>eps1)&it<=150 do

if f(x0).*f(xm) > 0 then x0=xm; else x1=xm; end;

xm=(x0+x1)./2;it=it+1;

end;raiz=xm;iter=it;endfunction;

Estimativa do número de iterações

Vantagens e Desvantagens do Método da Bisseção

• A maior vantagem do Método da Bisseção é que, para sua convergência, não há exigências com relação ao comportamento do gráfico de f no intervalo [a; b].

• Entretanto, ele não é eficiente devido à sua convergência lenta. Pode ser observado que f(x) não decresce monotonicamente. Isto decorre do fato de que na escolha de uma aproximação x = a+b/2 não se leva em consideração os valores da função nos extremos do intervalo. No pior caso, a raiz está próxima a um extremo.

• O Método da Bisseção é mais usado para reduzir o intervalo antes de usar um outro método de convergência mais rápida.

Método da Falsa Posição

function [raiz,iter]=falpos1(f,a,b,eps1),//calcula a raiz de f(x) no intervalo [a,b]// com precisão eps1x0=a;x1=b;if f(x0)*f(x1)>=0 then error("O valor de f(a) e f(b) devem ter sinal

diferente");end;xp=(x0.*f(x1)-x1.*f(x0))./(f(x1)-f(x0));it=0;while (min(abs(f(xp)),(x1-x0))>eps1)&it<=150 do if f(x0).*f(xp) > 0 then x0=xp; else x1=xp; end; xp=(x0.*f(x1)-x1.*f(x0))./(f(x1)-f(x0));

it=it+1;end;raiz=xp;iter=it;endfunction;

Vantagens e Desvantagens do Método da Falsa Posição

• A grande vantagem do Método da Falsa Posição é que ela é uma técnica robusta, que converge independentemente da forma do gráfico de f no intervalo [a; b].