Fenômenos didáticos e a relação do saber matemático ... · 1 – Resolver uma equação do 2°...

Fenômenos didáticos e a relação do saber

matemático em sala de aula

Prof. José Luiz Cavalcante (UEPB)

Prof. Marcus Bessa de Menezes (UFCG-CDSA)

Prof. Fernando Emílio Leite de Almeida (IFPE – Pesqueira)

QUEM SOMOS?

Grupo de fenômenos didáticos na classe de Matemática (UFPE);

- Abraão Araújo – TAD

- Anna Paula – Contrato Didático

- Dilson Cavalcanti – Ensino da álgebra

- Fernando – Contrato Didático

- Lúcia Araújo – Metacognição

- Mônica Lins – Campos conceituais

- Regina Celi – Transcrição da Linguagem

- Zé Luiz – Teoria Antropológica do Didático

DESAFIOS DA EDUCAÇÃO

INTRODUÇÃO

Desafios da educação no Brasil

- A escola e sua estrutura

- Alunos desmotivados e desinteressados

- A necessidade de valorizar o professor

- Qualidade do livro didático

- Disciplina e violência na escola

Escola depredada.exe

Professor - valorização.exe

Professores apanhando.exe

Professor

(pólo pedagógico)

Aluno

(pólo psicológico)

Saber a ensinar

(pólo epistemológico)

Contrato Pedagógico

Relação ao saber do aluno :

Conhecimentos prévios;

Hipóteses acerca do novo

saber.

Mudança em relação ao

saber ao longo da relação

didática.

Relação ao saber do

professor : aspectos

epistemológicos e

afetivos Contrato

Didático

Transposição

Didática Interna

Saber científico

Transposição Didática Externa Epistemologia

do Saber;

Vigilância

Epistemológica

N O O S F E R A

Tempo

Contexto

Triângulo das Situações Didáticas

SALA DE AULA

OS ALUNOS

Quem são esses alunos? Escola – Educação Formal x Familiar

Que importância dão à Escola e ao saber?

- Utilização do saber

- Sala de aula: Ecossistema particular.

A Geração Superficial: O que a Internet está fazendo com nossos

cérebros? (Nicholas Carr)

OS ALUNOS

Alunos on-line (Blackberries e iPods; redes de wi-fi; Blogs e

microblogs; smartphones; pen drives; netbooks...). Quem resiste?

Fontes de saber:

- Facebook, twitter, google,...

- Memória artificial (taxistas britânicos, agenda telefônica)

A neuroplasticidade do cérebro (adaptação a novas tecnologias)

OS ALUNOS

Velocidade das informações Superficialidade sobre os

conteúdos.

Barnaby Rich, ano: 1600

“Uma das grandes doenças de nossa época é a infinidade de

livros, que exercem uma sobrecarga no mundo que não é

possível digerir a abundância de matéria fútil que todo dia é

chocada e divulgada”

Como os alunos veem a Matemática?

O SABER

Como a sociedade vê a Matemática?

O SABER

Língua Portuguesa Matemática

Fenômenos didáticos e a relação do saber

matemático em sala de aula

TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO

Prof. José Luiz Cavalcante (UEPB)

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

- TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

Saber científico

Saber a ser ensinado

Noosfera

Saber preparado

Saber ensinado

Professor

Saber aprendido

Alunos

Tra

ns

po

siç

ão

Did

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a

Ex

tern

a

Tra

ns

po

siç

ão

Did

áti

ca

Inte

rna

Tra

ns

form

aç

ão

do

sa

be

r pe

lo

alu

no

A relação entre o professor x saber – “Núcleo duro”

da Transposição Didática Interna

“O saber ensinado deve parecer conforme o saber a

ensinar. Ou melhor, a questão de sua adequação, não

deve ser formulada. Ficção de identidade ou de

conformidade aceitável. O professor não existe,

porque o ensino não existe senão ao preço desta

ficção: esta vive dessa ficção, deve viver dessa

ficção.” (Chevallard, 1991).

TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

“O saber, tal-como-é-ensinado, o saber ensinado, é

necessariamente distinto do saber-inicialmente-

designado-como-o-que-deve-ser-ensinado. Este é o

terrível segredo que o conceito de transposição

didática põe em perigo” (Chevallard, 1991).

A relevância do processo de Transposição Didática:

Vigilância Epistemológica

TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS - PROFESSOR

- Praxeologia do Professor (OM):

- subtipo de Tarefa T2: 0² bxax

abx

bax

bax

x

baxx

bxax

0

0

0)(

0²

TAREFA RESOLUÇÃO DO

PROFESSOR TÉCNICAS

ELEMENTOS

TECNOLÓGICOS

T – Resolver uma equação do

2° grau

Tipo de Tarefa (T2)

ax² + bx = 0

TFE – Fatorar expressões,

colocando em evidencia o

fator comum.

PDM - Propriedade Distributiva

da Multiplicação;

PPN - Propriedade do Produto

Nulo;

POI - Propriedades das

operações inversas em R

(conjunto dos números reais)

ou leis da transposição de

termos.

SUBTÉCNICAS

ITFZ - Igualando os termos a

zero;

TTC - Transpondo termos,

invertendo as operações.



- subtipo de Tarefa T3: 0)²( cax

acx

cax

cax

cax

cax

0

0

0)²(


PROFESSOR TÉCNICAS

ELEMENTOS

TECNOLÓGICOS


2° grau

Tipo de Tarefa (T3)

(ax + c)² = 0

ERQ - Extrair a raiz quadrada

da equação.

PR – Propriedade da

Radiciação;





termos.

SUBTÉCNICAS





- subtipo de Tarefa T4: 0))(( bxax

bx

bx

ax

ax

bxax

0

0

0))((


PROFESSOR TÉCNICAS

ELEMENTOS

TECNOLÓGICOS


2° grau

Tipo de Tarefa (T4)

(x + a).(x + b) = 0

TPN – Produto nulo,

igualando os fatores à zero.

PPN - Propriedade do Produto

Nulo;





termos.

SUBTÉCNICAS





- subtipo de Tarefa T8: 0² cbxax

a

acbbx

acb

cbxax

2

4²

4²

0²


PROFESSOR TÉCNICAS

ELEMENTOS

TECNOLÓGICOS


2° grau

Tipo de Tarefa (T8)

ax² + bx + c = 0

CQ – Completar Quadrados;

BAS – Fórmula de Báskara.





termos;


radiciação.

SUBTÉCNICAS

DRE – Desenvolver ou reduzir

expressões;




- Praxeologia do Professor (OD):

- Aulas:

Equações de segundo grau incompletas → completas

- As atividades matemáticas eram gradativas;

- Conhecimentos anteriores;

- Situações sistemáticas de treinamento.

ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS ALUNO

- Praxeologia do Aluno:

- subtipo de Tarefa T2: 0² bxax

TAREFA RESOLUÇÃO DO ALUNO TÉCNICAS ELEMENTOS

TECNOLÓGICOS

T1 – Resolver uma

equação do 2° grau

Tipo de Tarefa (T12)

ax² + bx = 0

Atividade solicitada

2x² - 8x = 0

STI – Substituir a incógnita por

valores numéricos e verificar a

igualdade (tentativa e erro).

PON - Propriedades das

operações numéricas.

SUBTÉCNICA

CVE - Calcular o valor de

expressões numéricas)

- 5 alunos utilizam a técnica de tentativa (encontram uma única raiz);

- 3 alunos utilizam a técnica de transposição de termos (encontram uma única

raiz);

- 10 alunos utilizaram a Bháskara;

- Nenhum aluno acompanhou a técnica utilizada pelo Professor (Fatoração,

colocando o termo comum em evidência)



- subtipo de Tarefa T3: 0)²( cax


TECNOLÓGICOS

T1 – Resolver uma equação

do 2° grau


(ax + c)² = 0


(2x + 5)² = 0

TPN – Técnica produto nulo

(mentalmente).





termos.

- 17 alunos optaram por Bháskara;

- 2 alunos utilizaram a técnica de desmembrar a potência para obter o produto

nulo;

- 4 alunos acompanham a técnica eleita pelo Professor (extração da raiz

quadrada)

- O status da fórmula de Bháskara.



- subtipo de Tarefa T4: 0))(( bxax


TECNOLÓGICOS


do 2° grau

Tipo de Tarefa (T4)

(x + a).(x + b) = 0


(x - 8).(x + 4) = 0

BAS – Fórmula de Báskara. POI - Propriedades das




termos;


radiciação.

SUBTÉCNICAS

DRE – Desenvolver ou

reduzir expressões;



- 17 alunos optaram por Bháskara (única opção, diferente, apresentada pelos

alunos);

- 5 alunos utilizam a mesma técnica do Professor (Produto nulo);

- Apesar de, aparentemente, ser mais simples a utilização dá técnica

apresentada pelo Professor, os alunos fazem uma opção por outro caminho.



- subtipo de Tarefa T8: 0² cbxax


TECNOLÓGICOS


do 2° grau


ax² + bx +c = 0


(x + 4)(x – 7) = 5x + 5

FAT – Fatoração de um

trinômio do segundo grau.

(Cálculo mental)





termos;

PON - Propriedades das

operações numéricas

SUBTÉCNICAS

TTC – Transpondo termos,

invertendo as operações;

DRE – Desenvolver ou reduzir

expressões.

- Foi o subtipo em que os alunos mais seguiram a técnica apresentada pelo

Professor;

- 1 aluno utilizou a técnica de fatoração (soma e produto das raízes);

- 5 alunos fizeram por tentativa (valores baixos dos coeficientes, encontram

uma única raiz).

CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO

- Refletir sobre os limites do saber-fazer (savoir-faire),

avançando no domínio matemático teórico.

- Identificar as diferentes formas de realização de uma

tarefa executadas pelo professor e pelo aluno.

- Fazer um mapeamento de uma possível construção do

conhecimento matemático.

- Desafios para o Professor

- Aprofundamento em Pesquisas - Educação Matemática

- Utilização equivocada de jogos matemáticos

- Contextualização (o conhecimento envolve uma relação

entre o sujeito e o objeto)

- Equívocos sobre a Resolução de problemas

- A concepção do professor sobre ensinar e aprender

- O uso de novas tecnologias

PONTOS A SEREM DISCUTIDOS

- Desafios para o Professor

- Fenômenos Didáticos

- Expectativas do professor em relação ao aluno (Contrato)

- Relação do Professor com o saber em jogo

- Gestão do tempo

- Transformação do saber (Transposição)

PONTOS A SEREM DISCUTIDOS

- Avaliação

- O que avaliar? Como avaliar? (Contrato de Avaliação)

- Autonomia dos alunos

QUESTÕES SOBRE AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA

ABAIXO TEMOS DOIS ITENS DE AVALIAÇÃO EM LARGA

ESCALA E SEUS RESPECTIVOS PERCENTUAIS DE ACERTOS

(QUESTÕES ESPELHO DO SAEPE, PROVA PARA ALUNOS DO

5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL):

A) Qual é o resultado da adição 829 + 357 ?

Percentual de acertos: 78%.

B) Um trem transportou 829 passageiros na primeira viagem e

357 passageiros na segunda viagem. Quantos passageiros foram

transportados nessas duas viagens?

Percentual de acertos: 29%.

Que análise você faria desses resultados?

Podemos afirmar que o processo de avaliação está

presente no cotidiano da vida humana. Avaliamos o que

comemos e quanto comemos, por onde andamos e por quanto

tempo andamos, o que vestimos, enfim, estamos atribuindo

valores sejam eles qualitativos ou quantitativos em diversos

momentos da nossa vida. No entanto, apesar de parecer

paradoxal, Pavanello & Nogueira (2006) afirmam que ainda não

temos um consenso do que seria o modo correto de avaliar e qual

o nível de exigência em uma avaliação.



- Professores ainda afirmam que a matemática não tem meio

termo, cada pergunta só tem uma única resposta;

- Aluno como um sujeito ativo na construção do conhecimento, e

que pode organizar de forma particular esse conhecimento

(Transposição Didática);

- Para buscar uma “conformidade”, o aluno pode, simplesmente,

repetir o que o professor faz em sala de aula.


- O fato de buscar essa uma “conformidade”, pode levar a um

pseudo-sucesso (Moretto, 2003);

- O aluno deve ter autonomia na resolução de suas atividades,

deve reconhecer o saber fora da sala de aula;

- O contrato didático estabelecido em sala de aula determina

como o saber será colocado em jogo.


- O Contrato da Avaliação (Menezes & Câmara, 2015) são dicas

e sinais do que será cobrado durante a avaliação;

- Esse tipo de contrato se estabelece de forma inconsciente. O

professor busca evitar o erro em sala de aula (Efeito Topázio);

- A forma de como trabalhar o ERRO em sala de aula.

O ERRO NA MATEMÁTICA

QUESTÕES SOBRE O ERRO EM MATEMÁTICA

- A importância do Erro na aprendizagem da Matemática. Apagar

pode fazê-lo retornar;

- Raffaella Borasi, propõe alternativas para o uso dos erros no

processo de ensino e aprendizagem. Segundo ela, pode-se

remediar “falhas” detectadas nas respostas dos alunos,

descobrir novos conceitos a partir do aprofundamento de

estudos sobre erros cometidos ou pesquisar processos

cognitivos dos estudantes a partir de suas respostas.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

- Permitimos aos alunos uma autonomia na resolução de

problemas?

Questões a se pensar:

- Existe Ensino sem Aprendizagem?

- Como utilizar as novas tecnologias na construção de

conhecimento?

- Valorizamos as construções de nossos alunos?

- Qual o papel do Professor ‘nisso tudo’?

Momento dos Questionamentos

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