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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título:HISTÓRIA E USO DE MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS DE PRIMEIRO GRAU
Autor GILMARA APARECIDA SCHRAN Escola de Atuação COLÉGIO ESTADUAL NOVO HORIZONTE-ENS. F. E M.
Município da escola AMPÉRE
Núcleo Regional de Educação FRANCISCO BELTRÃO Orientador Prof. Dr. PEDRO PABLO DURAND LAZO Instituição de Ensino Superior UNIOESTE Disciplina/Área MATEMÁTICA Produção Didático-pedagógica UNIDADE DIDÁTICA Relação Interdisciplinar
_______________________________________
Público Alvo
ALUNOS DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
Localização
COLEGIO ESTADUAL NOVO HORIZONTE-ENS. F. E M. RUA DUQUE DE CAXIAS, 1410. BAIRRO SÃO FRANCISCO.
Apresentação:
Este material didático elaborado para o conteúdo Função de primeiro grau segue as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná .O principal objetivo é construir uma metodologia inovadora e dinâmica em nossa prática docente, buscando alternativas metodológicas que possibilitem a utilização da História da Matemática e das tecnologias como recursos didáticos para a mobilização dos estudantes para a aprendizagem. Exploramos instrumentos de apoio à aprendizagem e à prática docente disponíveis na escola, elaborando aulas diversificadas, atividades atrativas, com a valorização do processo de produção de conhecimentos através da atuação do aluno como agente ativo , com o intuito de enriquecer o processo pedagógico,,abandonando abordagens fragmentadas e sem significado, deixando a escola prazerosa.Visamos a exploração e observação de conceitos, ligando-os a exemplos de situações que ocorrem no nosso cotidiano, relacionando com outras áreas do conhecimento, dando significação ao trabalho pedagógico e acoplando o uso das tecnologias disponíveis na escola,pois elas exercem influência decisiva na atividade e desenvolvimento humano e social. A maioria dos alunos acredita que esses recursos só são aplicáveis em outras disciplinas, devido à maioria dos professores de matemática ainda não os dispor cotidianamente.
Palavras-chave Historia da Matemática - Funções do 1º grau - Mídias Tecnológicas
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................ ..... 04
1 PRIMEIRA ETAPA ........................................................................................ .... 06
1.1 ATIVIDADEI .......................................................................................... ... 06
1.1.1Questionário Investigativo...................................................................... 06
1.1.2 Sobre Você......................................................................................... 06
1.1.3 Sobre o Ensino da Matemática............................................................. 07
1.2 ATIVIDADE II ......................................................................................... ... 08
1.2.1 Dinâmica de Grupo............................................................................... 08
1.2.1.1 Fundamentação Teórica.............................................................. 08
1.2.2 Jogo dos Quadrados Quebrados......................................................... 09
1.2.2.1 Desenvolvimento........................................................................ 09
1.3 ATIVIDADEIII.............................................................................................. 11
1.3.1 Fundamentação Teórica..................................................................... 11
1.3.1.1 Feedback................................................................................... 11
1.3.2 Desenvolvimento............................................................................... 12
2 SEGUNDA ETAPA............................................................................................ 15
2.1 ATIVIDADEI ............................................................................................... 15
2.1.1 Fundamentação Teórica.............................................................................. 15
2.1.1.1 A História da Matemática............................................................ 15
2.1.2 Desenvolvimento.............................................................................. 17
2.1.2.1 Pesquisa: História da Equações................................................ 17
Agora é a sua vez.............................................................................................. 17
2.2 ATIVIDADE II ........................................................................................ .... 18
2.2.1 Um Pouco Mais de História............................................................... 18
O Papiro de Ahmes ( ou Rhind) ........................................................... 18 2.3 ATIVIDADE III ................................................................................ ........... 19
2.3.1 A Função Polinomial de Primeiro Grau............................................... 19
2.3.1.1 Fundamentação Teórica.......................................................... 19
O Estudo das Funções...................................................................... 19
2.3.1.2. Desenvolvimento.................................................................... 23
Animação: um exemplo de função afim na modelagem de fenômenos físicos..... 23
2.3.1.3 Iniciando Função Polinomial de primeiro grau ........................ 23
3
Agora é a sua vez............................................................................................ 25
2.3.1.4 Definição................................................................................. 25
2.3.1.5 Outras definições.................................................................... 25
2.3.1.6 Considerações........................................................................ 27
2.3.1.7 Explorando Os Conceitos...................................................... 28
Agora é a sua vez.................................................................................................. 31
2.3.1.8 Função Crescente e Função Decrescente....................... 32
2.3.1.9 Função Constante e Função Nula..................................... 34
2.3.1.10 Explorando Os Conceitos................................................ 34
Agora é a sua vez.................................................................................................. 36
2.3.1.11 Estudo do Sinal da função Polinomial do 1º Grau........... 36
Agora é a sua vez.................................................................................................. 38
Experimento: Comida a quilo................................................................................. 39
3 TERCEIRA ETAPA............................................................................................ 39
3.1 ATIVIDADE I................................................................................................ 39
3.1.1 Problemas: Aplicando da Função do Primeiro Grau......................... 39
3.2 ATIVIDADE II................................................................................................ 43
3.2.1 Webequest......................................................................................... 43
3.2.1.1 Fundamentação Teórica.......................................................... 43
3.2.1.2 Desenvolvimento..................................................................... 44
3.3 ATIVIDADE III.............................................................................................. 45
3.3.1 Familiarizando-s com o Geogebra................................................... 45
Verificando no Geogebra....................................................................................... 47
Agora é a sua vez.................................................................................................. 50
4 QUARTA ETAPA................................................................................................ 54
4.1 QUESTIONÁRIO PÓS-INTERVENÇÃO..................................................... 54
4.1.1 Questionário: Sobre a metodologia na Intervenção........................... 54
5. AVALIAÇÃO ...................................................................................................... 55
6 REFERÊNCIAS.................................................................................................. 56
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HISTORIA E USO DE MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DAS FUNÇÕES
POLINOMIAIS DE PRIMEIRO GRAU
Gilmara Aparecida Schran Garbin1 Pedro Pablo Durand Lazo2
INTRODUÇÃO
A presente Unidade didática foi produzida baseada nas pesquisas realizadas
durante a elaboração do Projeto de Intervenção Pedagógica a ser implementado no
primeiro ano do ensino médio do Colégio Estadual Novo Horizonte- ens. Fund. E
Médio - HISTORIA E USO DE MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DAS
FUNÇÕES POLINOMIAIS DE PRIMEIRO GRAU.
Após anos de experiência de trabalho docente com o ensino médio,
participação em capacitações e muitas discussões com colegas da área, foi que
resolvemos nos dedicar a uma procura por fundamentação teórica baseada em
autores da linha da pedagogia histórico-crítica, na qual o projeto político pedagógico
(PPP) das nossas escolas estão fundamentados, assim como a proposta
pedagógica curricular (PPC) de matemática.
Esse plano de trabalho elaborado para o conteúdo Função polinomial de
primeiro grau segue as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica
do Estado do Paraná Matemática e estudos sobre o uso de Mídias Tecnológicas no
ensino da Matemática.
O principal objetivo é de construir uma metodologia inovadora em nossa
prática docente no ensino, buscando alternativas metodológicas que possibilitem a
utilização da História da Matemática e das tecnologias como recursos didáticos para
a mobilização dos estudantes para aprendizagem, bem como o de produzir material
didático que verse sobre o assunto função de primeiro grau.
Queremos dar um caráter positivo às aulas, recorrendo aos recursos
tecnológicos como: softwares, televisão, calculadoras, computadores, os aplicativos
da Internet entre outros como instrumentos de apoio à aprendizagem e à prática
docente, elaborando aulas diversificadas, atividades atrativas, com a valorização do
processo de produção de conhecimentos através da atuação do aluno como
1 Autora: Professora de Matemática das Séries Finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio (Educação Básica), vinculada a Secretaria de Estado da Educação do Paraná – (SEED) e participante do Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná (PDE-2010). 2 Orientador: professor Doutor em Matemática da Universidade Estadual do Oeste do Paraná (UNIOESTE).
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agente ativo , com o intuito de enriquecer o processo pedagógico e abandonar
abordagens fragmentadas, e sem significado para diversificar o trabalho de forma
que a escola seja atrativa .
Com a construção de uma metodologia dinâmica, apresentamos exemplos de
situações que ocorrem na realidade, relacionando com outras áreas do
conhecimento como a Física, a Química, a Biologia, Economia, entre outras.
Pretende-se dar significação ao trabalho pedagógico acoplando o uso das
tecnologias disponíveis na escola hoje à prática diária, já que a maioria dos alunos
vivenciam esses recursos sendo aplicados em outras disciplinas, pois a maioria dos
professores de matemática ainda não os dispõe cotidianamente.
A presente unidade didática foi elaborada articulando a história das funções
com o uso de mídias tecnológicas utilizadas e disponibilizadas na escola, com o
intuito de realizar a intervenção pedagógica objetivada. O material didático é
composto por três etapas. A primeira etapa, contém três atividades onde
apresentamos: dois questionários investigativos com o qual levantaremos dados
para diagnóstico da turma, um jogo para explorar aspectos importantes das atitudes
esperadas da classe enquanto equipe de trabalho e uma dinâmica para realizar o
feedback do conteúdo anterior. A segunda etapa, traz atividades voltadas a pesquisa
da história das equações, história das funções e o conteúdo de função polinomial do
primeiro grau a ser explorado. Na terceira etapa, apresentamos o software
Geogebra através do desenvolvimento de uma webequest, propomos problemas
relacionando as funções com outras ciências, alguns dos quais serão resolvidos
também através do uso do software Geogebra juntamente com alguns dos
exercícios desenvolvidos no caderno. Seguindo, expomos uma proposta para
avaliação e apresentamos um questionário com o qual faremos um comparativo
entre o questionário investigativo inicial, anterior à implementação.
Cada etapa, descrita a seguir, refere-se ao que será aplicado durante a
intervenção pedagógica, na seqüência de realização, e os resultados dessa busca
pela construção de uma metodologia, serão analisados e relatados através da
produção de um artigo científico.
Desejamos que nossa produção possa contribuir com idéias pedagógicas
para a fundamentação de professores, na formação de um aluno crítico, que, após
apropriação do conhecimento, atua efetivamente como agente transformador no
meio em que vive.
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1 PRIMEIRA ETAPA
1.1 ATIVIDADE I
1.1.1 QUESTIONÁRIO INVESTIGATIVO
A presente pesquisa tem como intuito conhecer um pouco a realidade para melhorar as aulas de matemática visando uma educação de qualidade. Para isso, é importante que você leia atentamente as questões, seja honesto nas respostas , contribuindo para o êxito do trabalho proposto. 1.1.2 – SOBRE VOCÊ 1) Quantas pessoas moram com você?.....................
2)Quantas dessas pessoas estudam?......................
3)Quantas dessas pessoas trabalham? E em quê?
...............................................................................................................................
4) Sua casa tem televisão? Quantas?........................
5) Sua casa tem computador? ( ) Sim ( ) Não
Se possui: Quantos?.............
6) Tem acesso à internet? .......................
Se possui: Onde?........................
7) Para que você mais usa ?........
8) Onde você mora: ( ) zona rural ( ) zona urbana
9) Como você vem até a escola:
( ) transporte escolar ( ) carro ( ) bicicleta ( ) a pé ( ) outro:.................
Colega professor: O objetivo dessa atividade é colher dados junto à classe, para levantar problemas, conhecer a turma, analisar e poder tomar providências e atitudes que propiciem reverter algum quadro negativo, quando for o caso, ou mesmo dar andamento positivo às aulas.
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1.1.3 SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA 1- Das aulas de matemática que você teve em sua caminhada estudantil até agora, você considera que as atividades eram: Boas? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes ( ) nunca Interessantes? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes ( ) nunca Dinâmicas? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes ( ) nunca 2- Fazendo uma análise geral, o que falta, por vezes, em algumas aulas de matemática, para que elas funcionem de maneira mais eficaz? ............................................................................................................. 3- Você já teve em suas aulas de matemática, abordagem histórica do conteúdo, isto é, alguma vez foi lhe contado a origem , a história do contexto de época que este conteúdo surgiu com fatos nomes, episódios? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes ( ) nunca 4- Você sabe o que é uma equação matemática? ( ) sim ( ) não 5- Você conhece como os homens vem desenvolvendo o uso das equações na história da humanidade? ( ) sim ( ) não 6-Você sabe a que conteúdo matemático se deve muitos avanços científicos da modernidade? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes ( ) nunca 7- Você já pesquisou sobre a vida e a obra de algum matemático importante? ( ) sim ( ) não ( ) alguns ( ) nunca 8- Como você conceituaria a palavra função?............................... ............................................................................................................ 9- O uso de mídias tecnológicas como: tv, som, softwares, computador, internet, DVD’s simuladores, vídeos, entre outros tem sido uma prática habitual nas aulas de matemática? ( ) sim ( ) não ( ) às vezes ( ) nunca 10- Qual das mídias citadas na questão anterior você tem mais contato?.........................................................................
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11- Para você o que define MATEMÁTICA em uma única palavra?..............................................................
12- Em breves palavras relate alguma experiência que você julgue importante ou interessante das aulas de matemática que você já teve. 1.2 ATIVIDADE II
1.2.1 DINÂMICA DE GRUPO
1.2.1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O modo como os alunos percebem a matemática escolar são desenvolvidos
desde o início da sua escolaridade. Neste enfoque, é indispensável compreender
as relações da sociedade com a educação, a relação professor aluno e vice-versa,
bem como as influências que a sociedade exerce no processo ensino aprendizagem.
Em Brito( 2005),
Tendo como pano de fundo a cognição social, a educação é considerada um processo social e a sala de aula o ambiente onde os professores e alunos trabalham em conjunto, para um fim comum, que é compartilhar de significados relativos a determinadas disciplinas e o desenvolvimento de habilidades previstas no currículo; é considerado também que a educação é afetada por uma série de fatores que concorrem simultaneamente. (BRITO, 2005, p. 46)
As atividades escolares que são normalmente aplicadas em sala de aula, nas
diferentes disciplinas, permitem que o estudante amplie seu campo conceitual. Isso
subsidiará o indivíduo no trabalho com as novas informações que recebe, podendo
interpretá-las e seleciona-las conforme a situação. A partir da formação de conceitos
supõe-se que o estudante conseguirá aprender princípios, incluindo regras e
axiomas, e posteriormente resolver problemas que envolvam esses conceitos e
princípios, ampliando seu conhecimento estrutural. (BRITO,2005,p.80).
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No ensino e aprendizagem, pode ser usado um importante instrumento
educacional: as dinâmicas de grupo.Principalmente quando se pretende uma
educação que valoriza igualmente a teoria e a prática.
Trabalhar com Dinâmica de grupo permite que as pessoas envolvidas passem
por um processo de ensino-aprendizagem onde o trabalho coletivo é colocado como
um caminho para se interferir na realidade, modificando-a.É uma experiência onde o
grupo constrói junto o saber: o conhecimento deixa de ser individual e passa a ser
de todos, coletivo. É importante salientar a participação constante de todos os
membros. Só assim todos se sentirão donos do saber alcançado.
A utilização de uma determinada dinâmica deve responder a objetivos
específicos de uma determinada estratégia educativa, no sentido de estimular a
produção do conhecimento e a recriação deste conhecimento tanto no grupo quanto
no indivíduo, uma vez que a técnica da dinâmica não é um fim, mas um meio - é
uma ferramenta a ser usada.Uma boa dinâmica desperta para a colaboração e
ajuda mútua.(Dinâmicas de grupo, disponível em http://www.pucrs.br/mj/subsidios-
dinamicas.php .Acesso em 05/08/11).
1.2.2 JOGO DOS QUADRADOS QUEBRADOS Adaptado de - Coletânea de Exercícios: Da Liderança Situacional à Liderança Transformacional Disponível em: http://www.aprender-a-liderar.com/Dossier/colectexercicios.pdf
1.2.2.1 DESENVOLVIMENTO
TEMA: Trabalho em equipe. OBJETIVOS DA APLICAÇÃO DO JOGO: Desenvolver a cooperação entre os componentes da equipe; Valorizar os objetivos da equipe; Desenvolver competências de trabalho por objetivos; Identificar a contribuição dos objetivos individuais para os objetivos da equipe. TEMPO ESTIMADO DE DURAÇÃO DO EXERCÍCIO: 30’ para desenvolver o jogo; 20’ para debate.
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MATERIAL NECESSÁRIO: Peças de quadrados de papel cartão dentro de envelopes numerados , com uma distribuição aleatória entre os participantes. Para facilitar a identificação das peças e envelopes onde serão guardadas, cada conjunto de 15 peças de quadrados deve ser confeccionado em papel cartão de cor diferente num total de 8 jogos, para turmas de até, 40 alunos. Modelo das peças :
Foto: arquivo pessoal da autora DESENVOLVIMENTO DO EXERCÍCIO: Forma-se grupos de 5 elementos ;
Cada equipe recebe um envelope. Cada componente da equipe recebe três peças dos quebra-cabeças, distribuídas aleatoriamente pelo professor; Antes de se proceder à abertura dos envelopes são apresentadas as instruções:
• Não pode abrir os envelopes até um sinal do professor , válido para todos os grupos.
• O objetivo do jogo é que no final cada elemento tenha um quadrado feito à sua frente de mesmo tamanho que o dos outros e com igual número de peças;
• Não podem falar durante todo o tempo da execução da tarefa; nem usar códigos não verbais para se pedir peças de quadrados;
• Apenas podem ser dadas peças de quadrados aos colegas, os quais não devem recusá-las.
• A única forma de ajudarem os outros é fornecerem-lhes peças. Observações: 1- As peças podem ser dadas de um componente ao outro, mas não se pode “pedir” peças. As peças têm que ter sempre um dono – os participantes não têm a possibilidade de se desfazerem das peças, mas sim de as darem a alguém. O professor deve fazer cumprir estas regras.Se acaso o número de alunos da classe não for divisível por cinco, os que ficarem fora das equipes terão o papel de auxiliadores na tarefa de garantir o cumprimento das regras na íntegra.
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2 - Para que se alcancem os objetivos, os participantes têm que ter a capacidade de não estar apenas concentrados na sua tarefa, mas também nas dificuldades que os outros poderão estar tendo.
Debater com a classe que conclusões chegam da atividade: A exploração pode ser feita de acordo com a forma como cada elemento conseguiu alcançar o seu objetivo, mas também pela forma como conseguiu contribuir para que os outros elementos alcançassem os seus objetivos. Debater sobre a dependência dos outros para alcançar os objetivos individuais; Deve ser explorado o fato do objetivo ser aparentemente individual (um quadrado feito à frente de cada elemento do grupo), mas de na realidade tratar-se de um objetivo do grupo (o jogo só está concluído com os 5 quadrados em cima da mesa). Essa técnica foi-nos passada a alguns anos quando realizamos cursos de capacitação. Já a utilizamos diversas vezes, na maioria dos casos no início o ano letivo, e, se bem conduzida, é muito proveitosa no que diz respeito à colaboração, sensibilização e mobilização dos alunos em busca de objetivos mútuos, elevando o interesse e a disponibilidade dos mesmos. Acesse o link abaixo e verifique as dinâmicas disponíveis e incremente sua ação pedagógica. http://www.pucrs.br/mj/subsidios-dinamicas.php
1.3 ATIVIDADE III
COMPLETAMENTO DE
1.3.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1.3.1.1 FEEDBACK
Definição da palavra na Wikipédia
Em administração, feedback (retorno de informação ou, simplesmente, retorno) é
o procedimento que consiste no provimento de informação à uma pessoa sobre o
desempenho, conduta, eventualidade ou ação executada por esta, objetivando
orientar, reorientar e/ou estimular uma ou mais ações de melhoria, sobre as ações
futuras ou executadas anteriormente.
Colega Professor: devido ao período em que essa intervenção será implementada, achamos necessária a realização de uma revisão de conteúdos para a certificação de que alguns tópicos básicos trabalhados anteriormente, tenham a caracterização pertinente.
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No processo de desenvolvimento da competência interpessoal o feedback é um
importante recurso porque permite que nos vejamos como somos vistos pelos
outros. É ainda, uma atividade executada com a finalidade de maximizar o
desempenho de um indivíduo ou de um grupo. Processualmente, é oriundo de uma
avaliação de monitoria.
Importante ação administrativa que facilita a consolidação das ações e seus resultados; ou seja
garante retorno ao desencadeador das ações e retorna ao mesmo o resultado.(disponível em
http://pt.wikipedia.org/wiki/Feedback acesso em 24/05/2011 )
Outra definição para feedback é :
o processo de fornecer dados a uma pessoa ou grupo ajudando-o a melhorar seu desempenho no sentido de atingir seus objetivos.Para que haja êxito na comunicação do feedback as barreiras devem ser rompidas e estabelecida uma relação de confiança e segurança.O feedback pode ser de dois tipos: aberto – é óbvio e direto. Obtido através de perguntas e de observação, durante a realização de exercícios e testes. Mostra o que o ouvinte captou e o que não captou. Pode ser falsificado. velado – é obtido através da prática de observar a reação do ouvinte a estímulos externos. Pode se obtido na sua expressão, posição, movimentos e atitude. (O que é Feedback? Disponível em
http://www.umtoquedemotivacao.com )
1.3.2 DESENVOLVIMENTO
Para iniciar o uso do posterior material didático elaborado, requer um feedback do conteúdo anteriormente estudado, pré-requisito ao estudo da função Afim: (conjuntos, conjuntos numéricos, grandezas, noção de função, domínio, contra-domínio, imagem, gráficos, coordenadas cartesianas). Importante observar o conceito de função que se necessita fixar:
Segundo Caraça,a definição de função: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos numéricos; diz-se
que y é função de x e escreve-se y = f ( x ) , se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x → y . A x chama-se variável independente , a y variável dependente.( CARAÇA, 2005, p. 121).
Será realizada uma revisão no quadro e exibido na TV pendrive os vídeos
indicados abaixo.
PARA FIXAR Vamos assistir na TV pendrive a vídeos sobre função, para responder às questões seguintes. http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=257
(13’52’’)
www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=258(9’03’’)
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Responda as questões abaixo e entregue ao seu professor:
1) As dicas apresentadas no primeiro vídeo são importantes? Qual mais chamou sua atenção?
2) Cite um exemplo de função. 3) Faça uma pequena síntese, de no máximo 10 linhas sobre os , assuntos dos vídeos.
( Duração aproximada entre os vídeos e a síntese de 50 minutos).
A classe será dividida em equipes. Cada equipe receberá alguns cartazes enumerados com frases incompletas (lacunas) e também fichas contendo palavras com as quais devem completar as lacunas nos cartazes que receberam. As palavras serão entregues aleatoriamente às equipes de modo a disporem de tantas palavras quantas lacunas lhe couberam. Havendo discordância entre a equipe quanto a palavra que receberam não ser a necessária à sua lacuna, um membro da equipe “negocia” com outras equipes uma “troca”, ocorrendo ajuda mútua na execução da tarefa.Durante o processo será permitida consulta aos cadernos e livros da equipe. Ao final, os cartazes serão conferidos pela regente da classe e expostos em sequência na sala para, então, ser procedida a leitura de todos elucidando possíveis dúvidas e subsidiando o trabalho a ser feito na sequência da idéia de função Afim. Duração: Duas (2) horas-aula.
1- A NOÇÃO DE ......................É A MATERIALIZAÇÃO DA NOÇÃO CONCRETA DE COLEÇÃO.
2- SEMPRE QUE EXISTE RELAÇÃO O ...........................DE UM DOS TERMOS FORNECE INDICAÇÕES MAIS OU MENOS PRECISAS SOBRE O OUTRO TERMO. EX.: UM RÁPIDO ...................DOS PNEUS É INDICATIVO DE GRANDES VELOCIDADES HABITUAIS.
3- A ........................... DE RELAÇÃO SIGNIFICA QUE O CONHECIMENTO DE UM DOS TERMOS NÃO FORNECE A MÍNIMA......................... SOBRE O OUTRO. EX.: A COR DE UM AUTOMÓVEL NÃO INFORMA SOBRE A SUA VELOCIDADE MÁXIMA.
Frases contidas nos cartazes
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4- SEJA CONSIDERADO DOIS EIXOS PERPENDICULARES OX E OY, PARA OS QUAIS A INTERSEÇÃO O SEJA A ORIGEM. O SISTEMA DE COORDENADAS ESTABELECIDO POR ESSE PROCESSO CHAMA-SE SISTEMA CARTESIANO ...........................
5- OS DOIS EIXOS DO SISTEMA CARTESIANO DIVIDEM O PLANO EM QUATRO REGIÕES, CHAMADAS.........................
6- POR CONVENÇÃO, OS PONTOS SITUADOS SOBRE O .................DO SISTEMA..................................., NÃO PERTENCEM A NENHUM QUADRANTE.
7- CADA QUADRANTE ESTÁ RELACIONADO COM OS ...............DAS COOORDENADAS DOS ..................... SE UM PONTO ESTÁ NO .............QUADRANTE, SUAS COORDENADAS SÃO AMBAS POSITIVAS
8- UM PONTO QUE PERTENÇA AO QUARTO QUADRANTE APRESENTA.......................POSITIVA E ORDENADA ....................................
9- CHAMA-SE PRODUTO ......................DOS CONJUNTOS A E B, E REPRESENTA-SE POR A X B , O CONJUNTO DE TODOS OS ...... ORDENADOS (X,Y) COM O PRIMEIRO ELEMENTO X EM A E SEGUNDO ELEMENTO Y EM B.
10- EM ......................SÓ SE CONSIDERA UMA RELAÇÃO QUANDO, PARA........................ (x,y) À RESPOSTA À PERGUNTA “O PAR (x,y) VERIFICA A RELAÇÃO?” É NECESSÁRIAMENTE “SIM” OU “NÃO”.
11- A NOÇÃO FUNDAMENTAL DA ÁLGEBR4A É A DE ....DE COMPOSIÇÃO, ..........OU FORMAÇÃO.
12- INTUITIVAMENTE, FUNÇÃO DESCREVE UMA ........................... ENTRE OS ELEMENTOS DE DOIS ......................: DE UMA FORMA MAIS PRECISA, ............É UM TIPO ......................... DE RELAÇÃO .
13- SEJAM OS CONJUNTOS A E B DIFERENTES DO CONJUNTO VAZIO, E SEJA F UMA RELAÇÃO DE A EM B. DIZ-S QUE F É FUNÇAO DE ...............SE, E SOMENTE SE, PARA TODO X EM A ................EM CORRESPONDÊNCIA UM E UM SÓ Y EM B TAL QUE
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(X,Y) Є F
MATEMÁTICA AUSÊNCIA DESGASTE
CARTESIANO EIXOS CONJUNTO QUALQUER
OPERAÇÃO LEI CONHECIMENTO A EM B
FUNÇÃO ESPECIAL CORRESPONDÊNCIA PARES
CARTESIANO EXISTIR CONJUNTOS SINAIS
PONTOS . NEGATIVA PRIMEIRO QUADRANTES
ABSCISSA EIXO INDICAÇÃO ORTOGONAL
2 SEGUNDA ETAPA
2.1 ATIVIDADE I
2.1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1.1.1 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
O trabalho de pesquisa na elaboração desse projeto iniciou-se à partir do
que traz as Diretrizes Curriculares Da Educação Básica da Secretaria de Estado da
Educação do Paraná ( DCE’S da SEED/PR) no que tange as tendência
metodológicas na Educação Matemáticas e como elas têm um grau de importância
similares entre si e complementam-se uma às outras com o intuito de enriquecer o
processo pedagógico e abandonar abordagens fragmentadas, e sem significado.
Conforme as DCE’S da SEED/PR (2008), “... a abordagem histórica deve
vincular as descobertas matemáticas aos fatos sociais e políticos, às circunstâncias
histórias e às correntes filosóficas que determinaram o pensamento e influenciaram
o avanço científico de cada época.”
Usando a história da matemática, tomando-se o cuidado de evidenciar o
contexto social em que foi elaborado o determinado conceito,em que a necessidade
Fichas para as lacunas
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da época é a alavanca para as descobertas e criações, mostra a dinamicidade e a
intencionalidade da matemática.
Ela é uma atividade humana em construção. Almeja-se pela Educação
Matemática um ensino que possibilite aos estudantes, análises, discussões,
conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias, ampliando seu
conhecimento e contribuindo para o desenvolvimento da sociedade.
(BERLINGHOFF & GOUVÊA, 2010)
As curiosidades naturais advindas dos questionamentos estudantis, deixam
por vezes, nós professores, sem respostas, ou com respostas vagas e nada
tranquilizadoras. Uma saída é buscar subsídios na história da construção desse
conhecimento, sua contextualização, levando o estudante a entender processos
matemáticos que precisam conhecer. (BERLINGHOFF & GOUVÊA, 2010).
DANTE(2008, p. 09), no manual do professor, afirma que “A história da
Matemática é também uma importante ferramenta de contextualização ao enfocar a
evolução e as crises pelas quais determinados conceitos matemáticos passaram ao
longo da História”.
Reforçamos e salientamos, subsidiados nas DCE’S/ SEED/PR (2008),
A História deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais (MIGUEL & MIORIM,2004 apud PARANÁ, 2008,p.66).
A importância da história da matemática em relação ao ensino da matemática
foi largamente reconhecida e promovida, por volta do virar do século, mas
gradativamente ela foi reduzida a um conteúdo matemático nas universidades,
sendo em anos recentes, negligenciada. Hoje, há uma recente inovação curricular
que pretende dirigir a atenção e preocupação para as origens personificadas e para
as aplicações dos conteúdos.
Há muitos fatores por detrás da negligência da utilização da história no ensino
da matemática. Ela deve ser englobada no desenvolvimento do programa. Não é
uma tarefa fácil, nem para os alunos, cuja noção histórica pode ser errada, nem para
professores que tiveram muito pouco da história da matemática em sua formação, e
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nenhuma orientação de como usa-la com os alunos. Os próprios historiadores têm
sentido dificuldade em conciliar as complexidades e sutilezas históricas com a
simplicidade que requer os textos a serem trabalhados com os alunos e mesmo para
a divulgação popular, sem perder a veracidade e a precisão. A história da
matemática deve ser usada em sala de aula de maneira natural, sem aviso prévio
do tipo “neste momento vamos conhecer um pouco da história da matemática !” O
professor , enquanto mediador, deve incluir nas discussões durante suas aulas, as
perspectivas históricas acerca do assunto, discretamente, utilizando anedotas
históricas relevantes, filmes, projetos, exposições e problemas .Esse recurso pode
ajudar a motivar os alunos para a aprendizagem, tornar a matemática mais
humanizada menos assustadora; mostrar aos alunos como os conceitos se
desenvolveram e ajudá-los a compreendê-los. Isso pode mudar a percepção que se
tem da matemática, e explicar, inclusive, o papel que ela tem na sociedade.
(FAUVEL).
2.1. 2 DESENVOLVIMENTO
2.1.2.1 HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES
Organizem-se em equipes, de,no máximo 5 elementos (pode ser os mesmos
que participaram do jogo dos quadrados quebrados) conforme afinidade. Eleja um
líder, um representante para comandar e dividir os trabalhos. Cada equipe realizará
18
pesquisa na internet e/ou biblioteca da história das equações e as contribuições de
um povo nessa área, através de sorteio, (gregos, babilônios, hindus, árabe,egípcios,
italianos, franceses, portugueses);após apresentarão em sala as informações, as
curiosidades encontradas e as conclusões da pesquisa . O material será relatado
através de slide (no máximo 5) com a história pesquisada, e entregue sob a
responsabilidade do líder da equipe. O contexto social de cada cultura na época
indicada, favorecerá o entendimento das produções referenciadas até hoje. Isso
possibilitará uma visão da sociedade da época e como as descobertas foram
surgindo na vida das pessoas. Dentre os líderes, serão eleitos quatro, para,
sintetizar os trabalhos em uma única produção (slide) que será apresentada por
TODOS na sala de aula.
Sugestão de endereços: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm21/equacoes.htm
http://www.somatematica.com.br/algebra.php
http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582
http://www.slideshare.net/mcesarcunha/uma-historia-das-equaes-polinomiais
2.2 ATIVIDADE II
2.2.1 UM POUCO MAIS DE HISTÓRIA
O Papiro de Ahmes ( ou Rhind)
Muitos documentos matemáticos antigos chegaram aos dias de hoje, dentre eles, os mais famosos são o Papiro de Ahmes ( ou Rhind) e o Papiro de Moscou. O papiro Rhind ou Ahmes mede 5,5 m de comprimento por 0,32 m de largura, datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Hoje ele está exposto no museu Britânico em Londres.
Colega Professor: Organize duplas (ou trios, conforme disponibilidade de computadores) para realizar a leitura no laboratório de informática , ou na sala de recursos audiovisuais, se dispõe de data show ,como faremos, a leitura pode ser coletiva.
VAMOS LER UM POUCO MAIS SOBRE ELE? ACESSE: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm
19
2.3 ATIVIDADE III 2.3.1 A FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU
2.3.1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O ESTUDO DAS FUNÇÕES
No que diz respeito ao conteúdo a ser dirigido nesse material: Funções,
restritamente o ensino da Função Afim, nas DCE’S, encontramos a afirmação “O
conteúdo de funções simbolizou os primeiros sinais de modernização do ensino de
Matemática” (PARANÁ,2008,p.58).
Concordamos com a proposição feita por DANTE (2005, p. 14) no manual do
professor, que afirma “O tema funções, integrador por excelência, é um dos mais
importantes da Matemática. Por meio das funções e seus gráficos podemos
entender ,melhor vários fenômenos das ciências e fatos da atualidade”.
Na Educação Básica, os alunos devem compreender a relação entre as
Funções e o auxílio ao homem e suas atividades, na resolução de problemas ,
bem como a relação com as diversas áreas do conhecimento. Embasados pelas
DCE'S “As funções devem ser vistas como construção histórica e dinâmica, capaz
de provocar mobilidade às explorações matemáticas, por conta da variabilidade e da
possibilidade de analise do seu objeto de estudo […]”(PARANÁ,2008,p.59).
Façamos uma viagem pelo tempo para entender um pouco a História dessa
ciência intrigante e não imutável, bem como o papel das funções e seu surgimento.
Surge a álgebra .No começo do século IX, um árabe, Mohammed ibn Musa
al-Khowârizmi, bibliotecário do califa ( ao que parece), homem viajado dentro do
império, escreveu um tratado a que chamou Aljebr w’al mûqâbalah, que foi o
inspirador de todos os tratados posteriores até os primeiros tempos do
Renascimento. Esse tratado, que é o autêntico traço de ligação entre a matemática
hindu ( e através dela, dos restos da matemática grega que tinham chegado à Índia)
e a Europa se ocupava da resolução de equações de 1º e 2º graus e das regras a
que obedecia essa resolução. Uma delas, a mais importante (passagem de um
termo de um membro para outro, com troca de seinal)- Al-jebr- acabou por designar
tudo o que diz respeito a equações;esse nome passou às línguas européias com
20
pequenas modificações- álgebra, algèbre, etc.... Uma simples operação veio a
designar todo um ramo de uma ciência.(CARAÇA, 2005,p. 147).
As matemáticas em 1800 constavam, basicamente, da herança grega, com a
sua exigência da demonstração e do discurso perfeitamente coerente com passos
cuidadosamente medidos, onde não se rejeitava a conclusão. Por muito tempo essa
matemática grega pareceu perfeita: mas na verdade não era. O seu domínio era
muito limitado e faltava clareza aos alicerces da construção euclidiana; os homens
do século XVIII já se haviam dado conta disso mas não sabiam como remediar tal
dificuldade.(REVUZ, 1967, P. 21-22).
Desenvolvera-se e inventara os números negativos; os irracionais, que
haviam aterrorizado os gregos, era utilizados, embora não definidos
satisfatoriamente.
Então, com Descartes, surge a geometria analítica “aproximando a geometria
dos antigos da álgebra dos modernos”, e depois, com um avanço enorme, nascera a
análise, dos trabalhos de Fermat, Leibniz e Newton. O cálculo diferencial e integral,
ganhou imediatamente, com Newton, um sucesso enorme por permitir descrever
racionalmente o movimento dos planetas. Seu desenvolvimento ocorreu com uma
velocidade vertiginosa: já no século XVII Euler parecia explorar-lhe todas as
possibilidades, ao passo que Lagrange e Laplace, o aplicavam com notável
fecundidade, o primeiro à mecânica e o segundo à teoria das probabilidades.
Mesmo com a ascensão da análise nos séculos XVII e XVIII, faltava o rigor de
Euclides. O conceito capital da análise, e seu fundamento, é o do limite, que faltou
aos gregos. É então que se verifica a decisiva intervenção de Cauchy, o qual
introduziu rigor num domínio que andara arredio, causando um certo mal estar. O
importante na obra de Cauchy é, com a simples exigência de rigor, que abriu novos
caminhos. Encara-se a exigência de rigor como sendo, por vezes, uma censura,
austera, proibitiva. Mas, muito longe de ser apenas negativa, a sua função é
fecundante, pois raciocínio não- rigoroso é aquele raciocínio que não explicita todas
as suas justificações, que aceita resultados parciais sem a devida demonstração,
que tem pressupostos mal definido. O trabalho de Cauchy foi continuado ao longo
do século XIX, onde a exigência de rigor deu-lhe novo alento.
No século XVII, com a geometria analítica nasce uma nova classificação que
tendia a classificar cada disciplina por meio de um substantivo, que indicava o
objeto, seguido por um adjetivo que indicava o método: geometria analítica,
21
geometria diferencial mecânica analítica, etc., com a análise, ou seja, o estudo das
funções, ocupando o ponto central e fornecendo instrumentos a quase todos os
outros ramos.
Para estabelecer essa nova classificação (na qual a ciência se desenvolvia
em leque e se subdividia ) a matemática precisou definir um suporte tão neutro e
incolor que pudesse, nas demonstrações, representar um objeto qualquer. A
contribuição decisiva a esse respeito foi dada por Cantor, o qual, entre 1870 e 1880,
criou a teoria dos conjuntos. A noção de conjunto é o alicerce do edifício da
Matemática, tal como hoje o conhecemos. (REVUZ, 1967, p. 22-38).
Ocorre uma nova organização das matemáticas: o feixe divergente, reagrupa-
se. Os matemáticos usam em todos os ramos de uma disciplina, os mesmos
conceitos e a mesma linguagem; é agora lícito falar de Matemática em vez de
matemáticas . A Matemática foca mais a ação e menos a contemplação, dando um
caráter dinâmico a ela. Com a ênfase na aplicabilidade, vê-se uma matemática mais
adaptada a outras ciências como Econometria, Sociologia, Lingüística... A
matemática foi adquirindo uma certa maleabilidade, pois a fabricação de máquinas
de calcular, permitiu liberdade ao homem, pois a parte cansativa ficou ao encargo da
maqui, podendo o homem ficar completamente livre para planejar a tarefa que a
máquina executará.
A introdução dos espaços de funções, dos quais cada elemento é, por sua vez, uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, a das famílias de espaços de funções e, noutro campo, a dos espaços fibrados, a dos feixes, a das séries de co-homologia e, a de nível mais alto,a introdução das categorias, são exemplos desta nova aptidão da Matemática para de situações que haviam tornado extremamente complexas fazer brotar a simplicidade.( REVUZ,1967,p.54)
Não se pode negar que a Matemática passa a ser componente necessária de
toda atividade humana, que se queiram resultados claros, inteligíveis, rigorosos,
pois, é eficaz, maleável, fecunda e dinâmica.
Segundo Eves ( 2004):
O conceito de função, como as noções de espaço e geometria, passou por evoluções acentuadas. [...] A história do termo função proporciona outro exemplo interessante da tendência dos matemáticos de generalizar e ampliar os conceitos. A palavra função,
22
na sua forma latina equivalente, parece ter sido introduzida por Leibniz em 1694, inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a uma curva, como, por exemplo, as coordenadas de um ponto na curva, a inclinação de uma curva e o raio da curvatura de uma curva. Por volta de 1718, Johann Bernoulli havia chegado a considerar uma função como uma expressão qualquer formada de uma variável e algumas constantes; pouco tempo depois Euler considerou uma função como uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes. [...]O conceito de Euller se manteve inalterado até que Joseph Fourier (1768-1830) foi levado a considerar, em suas pesquisas sobre a propagação do calor, as chamadas séries trigonométricas. Essas séries envolvem uma forma de relação mais geral entre as variáveis que as que já haviam sido estudadas anteriormente. Numa tentativa de dar uma definição de função ampla o suficiente a ponto de englobar essa forma de relação, Lejeune Dirichlet ( 1805-1859) chegou à seguinte formulação: Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que é uma função ( unívoca) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função.(EVES,2004, p.660-661.)
Essa definição apresentada por Dirichlet acentua a idéia de relação entre dois
conjuntos de números. Ela é bastante ampla. A teoria dos conjuntos veio ampliar o
conceito de função de modo a abranger relações entre dois conjuntos de elementos
quaisquer, sejam esses elementos números ou não. Assim, na teoria dos conjuntos,
uma função f é, por definição, um conjunto qualquer de pares ordenado de
elementos, pares sujeitos à condição seguinte: se ( a1, b1 ) Є f, ( a2, b2 ) Є f e a1 = a2,
então b1 = b2. O conjunto A dos primeiros elementos dos pares ordenados chama-se
domínio da função e conjunto B de todos os segundos elementos dos pares
ordenados se diz imagem da função. Assim uma função é um tipo de subconjunto do
produto cartesiano A x B. Uma função f se diz injetora se, de ( a1, b1 ) Є f , ( a2, b2 )
Є f e b1=b2 decorre a1 = a2. Se f é uma função e (a, b) Є f, escreve-se b = f(a). (
EVES, 2004, p. 661)
Em resumo, o termo funções foi introduzido por Leibniz em 1694, mas os
seus conceitos foram sendo elaborados por muitos séculos. Já eram analisadas
pelos Babilônios e os Pitagóricos idéias e relações que hoje podem ser
consideradas funções, como exemplo, as relações existentes entre as alturas dos
23
sons e comprimentos das cordas vibrantes. Estudos na área da Física também
auxiliaram nos estudos e na elaboração dos conceitos sobre funções.
O matemático suíço Leonard Euler foi quem introduziu o conceito de funções
como conhecemos e estudamos hoje. Ele escreveu: "Se x é uma quantidade
variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que
seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável".Também foi ele
quem introduziu a notação f(x), com a qual representamos as funções.
2.3.1.2 DESENVOLVIMENTO
2.3.1.3 INICIANDO FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAU
Problemas que se reduzem a resolver uma equação de primeiro grau
aparecem naturalmente sempre que aplicamos a matemática ao mundo real. Não é surpreendente descobrir que quase todos que estudaram matemática, quer fossem os escribas egípcios, quer os servidores públicos chineses, desenvolveram técnicas para resolver tais problemas. . (BERLINGHOFF & GOUVÊA, 2010,p.125) .
O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.
Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de equações. Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que expressavam o valor desconhecido. Observe:
UMA ANIMAÇÃO - para mostrar um exemplo de função afim na modelagem de fenômenos físicos. www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9603 duração: 50 seg.
24
Note que a expressão Aha, no problema, indica o valor desconhecido, atualmente esse problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a representação do problema utilizando letras: x + x/7= 19. Como você verificou também na atividade da etapa anterior, no papiro de Rhind ( ou de Ahmes ) consta uma coleção de problemas que eram , provavelmente usados para treinar jovens escribas no Egito Antigo. Muitos problemas eram bastante simples, outros bem complicados. Vejamos um simples, o de número 26 :
Para nós hoje isso é apenas a equação linear x + 1/4x = 15 ( essa forma de escrever apareceria num futuro bem
longínquo) . Os escribas eram instruídos a resolver usando o que hoje chamamos de
Método da Falsa Posição: é proposta uma resposta que não se espera seja correta, mas que torna os cálculos fáceis. Usa-se o resultado encontrado, o incorreto para descobrir o número pelo qual precisamos multiplicar nossa tentativa para obter a resposta certa.
Vejamos agora como era resolvida essproblema, mostrando os passos presentes no papiro seguidos de um comentário.
"Tome-se o 4 e então, se 1/4 dele dá 1 o total é igual a 1". Ahmes começa, neste caso, por dar uma estimativa para x, atribuindo-lhe o valor 4 de modo a anular a fração. Depois obtém 4 + 1 =5.
"Divida-se 15 por 5 e dá 3". Para encontrar o valor real tem que se encontrar o número N que multiplicado pelo valor estimado dê 15, ou seja, 5*N = 15, N=15/5 = 3.
"Multiplique-se 3 por 4 e obtém-se 12". O resultado pretendido é o produto da multiplicação de N pela estimativa de x. Logo a quantidade pretendida é 12.
“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.
Uma quantidade mais um 1/4 dela dá 15. Qual é a quantidade?
25
2.3.1.4 DEFINIÇÃO (Adaptado de James Stewart, p. 4)
Pensemos numa função como uma máquina. Se x estiver no domínio da função, quando “ entrar na máquina” ele será aceito como entrada, e a máquina produzirá uma saída f (x) de acordo com a lei que define a função.
X f(x) ( entrada) (saída)
Importante observar que essa “máquina” aceita somente valores que ela considera admissível. Pensemos como no caso de uso de um eletrodoméstico qualquer, poderia ser um liquidificador que processa alguns produtos sem danos e
Faça o que se pede: 1) O texto inicial fala em escribas e servidores chineses. Pesquise quais eram as atribuições de cada um deles. 2) O que são papiros e de que material eram confeccionados? 3) Resolva a equação x + x/7 = 19, usando o método da falsa posição utilizado para resolver x + 1x/4 = 15 , como mostra o texto. 4) Como resolvemos hoje tais equações? Demonstre. 5) Faça um comparativo entre os métodos: o da falsa posição e o modo atual de resolução das equações de primeiro grau.
Lei de
formação da
função
26
outros, não. Precisamos conhecer os valores que a “máquina” admite para que a transformação se processe. As funções podem ser representadas de maneiras diferentes, vejamos: •verbalmente ( descrevendo-a com palavras); •numericamente ( tabela); •visualmente ( gráfico); •algebricamente (fórmula ). Se uma função puder ser representada das quatro maneiras, melhor se valer delas para ir entendendo mais a função. Mas ocorre que certas funções são descritas mais naturalmente por uma maneira ou de outra.
VAMOS PENSAR JUNTOS Analise a clássica situação:
O número de mesas e a quantidade de lugares que cada distribuição oferece de acomodação:
Dizemos que a fórmula y = 2x + 2 é uma equação polinomial do 1º grau, porque o segundo membro é um polinômio de 1º grau na variável x.
2.3.1.5 OUTRAS DEFINIÇÕES
1ª) Uma função f : IR → IR chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x Є IR (Dante, 2008, p. 54). 2ª) Uma função f de A em B é uma função polinomial do 1º grau se a cada x Є A se associa o elemento ( ax + b ) Є B, com a Є IR* e b Є IR: f : A → B definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b ( Marcondes, 2002, p. 58)
Quantos lugares terão quando houver 4 mesas? E 5? E havendo 10 mesas dispostas dessa forma , quantos lugares serão? Seja y o número de lugares e x o número de mesas. Então o número de lugares ( y ) é igual ao número de mesas (x ) Multiplicado por ....... e somado com............. Escrevendo a fórmula que nos dá o número de lugares( y), havendo x mesas é: y = 2x + 2
Uma função f definida IR→IR, é chamada polinomial de 1º grau ou simplesmente função de 1º grau quando é expressa pela fórmula matemática y= ax + b, com a ∈∈∈∈ IR , b ∈∈∈∈ IR e a ≠ 0.
27
Alguns exemplos:
Sejam funções f : IR → IR, definidas pelas seguintes equações polinomiais de 1º grau :
a) y = 4x - 1 d) y = - 3x
b) y = ¾ x + 2 e) y = ½ x - 1
c) y = 8 – 2x f) y = 10x
Então:
Função polinomial de 1 º grau é a função de IR em IR que associa a cada x real o número real ax + b, com a ≠ 0; então;
2.3.1.6 CONSIDERAÇÕES: Se b = 0, isto é f(x) = ax, a função diz- se linear. O gráfico da função polinomial do 1º grau é uma reta.
O conjunto imagem da função polinomial do 1º grau é I(f) = IR ( projeção da reta ( r) sobre o eixo Oy ) .
f(x) = ax + b , com a ≠ 0
28
A sentença aberta f(x) = ax + b, que define a função, denomina-se equação da reta ( r ). Essa é uma das maneiras de se representar a reta; nela, o número a denomina-se coeficiente angular de ( r ), e o número b, coeficiente linear de ( r ) . Observe que o coeficiente linear de ( r ) é a ordenada do ponto onde ( r ) encontra o eixo Oy.
2.3.1.7 EXPLORANDO OS CONCEITOS Exemplo 1 : Na função f, definida por f (x )= -3x + 1 tem-se a = -3 e b = 1.
Veja que o coeficiente angular de ( r ) é a = -3 , e seu coeficiente linear b = 1.
O significado dos coeficientes a e b na função afim
O coeficiente angular determina a inclinação da reta representativa da função em relação ao eixo das abscissas. Sendo a um número positivo, o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x ,no sentido positivo do eixo ( sentido anti-horário) será agudo (o vértice desse ângulo é a raiz ou zero da função). Se a for negativo, esse ângulo será obtuso. Numericamente, a é igual à tangente desse ângulo.
O coeficiente linear é a ordenada do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas ( y ).
PARA FIXAR: Assista ao vídeo, disponível em: www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=259
29
Exemplo 2 :
Seja a função f, linear, definida por f (x ) = 3x; o coeficiente angular da reta ( r ) é a = 3 , e seu coeficiente linear b = 0.
Exemplo 3 : O gráfico da função polinômio do 1º grau, definida pela sentença aberta y = f ( x) = ax + b é a reta que passa pelos pontos ( 1; 2 ) e ( -1; 3 ). Determine a e b.
Resolução O ponto ( 1; 2 ) pertence à reta e , então, fazemos x = 1 e y = 2 a sentença y = ax + b fica satisfeita: 2 = a + b ( I ) Analogamente, como ( - 1; 3 ) pertence à reta : 3 = -a + b ( II ) Resolvendo o sistema constituído pelas equações ( I ) e ( II ), obtemos:
a +b=2 - a + b = 3 ________________ 2b = 5 b = 5/2 substituindo em a + b = 2, temos: a + 5/2 = 2 a= 2 – 5/2 a= - 1/2
30
Exemplo 4 : Uma função f tem domínio A = [-1,2] e é definida pela seguinte lei de formação: y = f ( x ) = 3x –1. Faça o gráfico de f e deduza I ( f ) .
Resolução
O segmento AB é o gráfico de f. O gráfico de f projetado sobre o eixo Oy nos dá: I ( f ) = [ -4,5]. Exemplo 5 : Seja f: A → B uma função definida por f ( x ) = ax + b, a ≠ 0. Chama-se zero de f todo x, x Є A, tal que f ( x ) = 0. Determine o zero da função f de IR em IR. Resolução Perceba que para uma função f, se x é um zero, sua imagem é zero, isto é, f (x) = 0. Para determinarmos o zero da função definida por f ( x ) = ax + b, a ≠ 0, resolvemos a equação f ( x ) = 0: f(x)= 0 f ( x ) = ax+b 0 = ax + b x = - b/a
Temos então:a = -1/2 e b= 5/2 e a equação que define a função é: f ( x ) = -1/2x + 5/2.
31
Então, o zero, ou raiz da função polinomial do 1º grau definida por f ( x ) = ax + b, a ≠ 0 é x = - b/a , isto é, f ( - b/a ) = 0.
1) Em cada uma das seguintes leis que representam funções
polinomiais de 1º grau, determine os coeficientes, angular e linear, e calcule, para cada uma delas f ( 1) ; f ( -2 ) e f ( 0):
a) f(x) = 2x – 4 b ) f ( x) = x + 3 c) f(x) = - 7/2 x
2) Determine o zero das seguintes funções polinomiais do 1º grau: a) y = 3x – 9 b) y = 4x – 8 c) y = x/4 – 1/2 d) y= -5x + 10 3) Sendo f : IR → IR, esboce o gráfico das funções descritas acima.
4) Determine a lei que define a função representada em cada um dos
gráficos: a) b)
5) Sendo a função f (x) = ax + b com a, b ∈ IR e a ≠ 0, determine os valores de a e b de modo que f(3) = 4 e f ( -1) = 2
PARA FIXAR Acesse a simulação disponível em: webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/linear/linear/ind
ex.html
Colega Professor:
Sugiro que a próxima atividade no laboratório de informática seja também
desenvolvida e explorada novamente em sala de aula, registrando as tabelas e fazendo
os gráficos no caderno, para melhor assimilação.
32
2.3.1.8 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Consideremos a função polinômio de 1º grau definida pela sentença aberta: f ( x ) = 2x + 1 Observe a tabela ou no gráfico que “aumentando-se” x “ aumentam” os correspondentes de y. x y = f( x ) -2 -3 -1 -1
0 1 1 3 2 5 . . . . . . Uma função com tal comportamento diz-se Crescente em IR. Observe que, no exemplo, se atribuímos a x dois valores reais distintos x1 e x2 tais que x1 < x2, obtém-se f(x1) < f (x2).
Uma forma equivalente para se colocar a definição acima é:
FUNÇÃO DECRESCENTE
Uma função f, real de variável real, diz-se crescente em I, I⊂ D (f), se e somente se, para todo x1, x2 ∈ I, tem-se: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ).
Uma função f real de variável real, diz-se crescente em I, I ⊂ D ( f), se e somente se, para todo x1, x2 ∈ I, x1≠ x2, tem-se: f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0 x1 – x2
33
Com o mesmo raciocínio anterior, consideremos a função polinômio do 1 º grau definida pela equação aberta : f ( x ) = - x + 1 Observe agora na tabela ou no gráfico, que, “aumentando-se” x “diminuem-se” os correspondentes valores de y: x y = f( x ) -2 3 -1 2 0 1 1 0 2 -1 : : . . Uma função com tal comportamento se diz decrescente em IR. Observe no exemplo que, se atribuirmos a x dois valores reais distintos x1 e x2 tais que x1< x2, obtém-se: f ( x1 ) > f ( x2 ).
Uma forma equivalente para se colocar a definição acima é:
Uma função f, real de variável real, diz-se decrescente em I, I⊂ D (f), se e somente se, para todo x1, x2 ∈ I,tem-se: x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ).
Uma função f real de variável real, diz-se decrescente em I, I ⊂ D ( f), se e somente se, para todo x1, x2 ∈ I, x1 ≠x2, tem-se: f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 x1 – x2
34
2.3.1.9 FUNÇÃO CONSTANTE E FUNÇÃO NULA São funções, que embora não sejam do 1º grau são relações do tipo y = ax + b. Na função constante, como a = 0, a expressão y = ax + b fica reduzida a y = b. Ou seja, f(x)= K. O gráfico dessa função é uma reta paralela a eixo Ox. Y = 4 y = -4
Exemplo: Um carro que, durante 15 minutos, mantém velocidade de 80km/h. ver ( 0,80)
Na função nula , a expressão y = ax + b fica reduzida a y = 0, pois a = 0 e b = 0. Neste caso, o gráfico dessa função é o próprio eixo Ox. 2.3.1.10 EXPLORANDO OS CONCEITOS Exemplo 1 : Verifique que a função definida por f ( x ) = 3 x + 1 é crescente em IR.
35
Solução Devemos calcular f (x1 ) – f ( x 2 ): f (x1 ) – f ( x 2 ) = (3 x1 + 1 ) – ( 3 x 2 + 1 ) = 3 (x1 - x 2 )
E daí para todo x1 , x 2 ∈ IR , x1 < x 2, pode-se concluir que: f (x1 ) – f ( x 2 ) = 3 (x1 - x 2 ) < 0 negativo, pois x1 < x2
f (x1 ) – f ( x 2 ) < 0 f (x1 ) < f ( x 2 ) então: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f ( x 2 ), para todo x1, x2 ∈ IR, e a função é crescente em IR.
Exemplo 2 : Seja a função polinômio do 1 º grau, f, definida por: f ( x ) = ax + b , a ≠ 0 Verifique que se a > 0, f é crescente em IR. Solução Calculemos f (x1 ) – f ( x 2 ): f (x1 ) – f ( x 2 ) = ( ax1 + b ) – ( ax2 + b ) = a ( x1 – x2 ) E daí, para todo x1, x2 ∈ IR, x1 < x 2, pode-se concluir que:
f (x1 ) – f ( x 2 ) = a (x1 - x 2 ) < 0 positivo negativo, pois x1 < x2
f (x1 ) – f ( x 2 ) < 0 f (x1 ) < f ( x 2 ) Então, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f ( x 2 ) , para todo x1, x2 ∈ IR , e a função é crescente em IR quando a > 0. Exemplo 3 Seja a função f, definida pela sentença aberta: f( x ) = 1/x
a) Dê o domínio de f;
36
b) Verifique que f é decrescente em IR+*; Solução
a) O domínio de f é constituído por todos os valores reais de x tais que x ≠0 :
D ( f ) = IR * b) Calculemos f (x1 ) – f ( x 2 ) : f (x1 ) – f ( x 2 ) = 1/x1 – 1/ x2 positivo, pois x1 <x2
= x2 – x1 > 0 x1 x2
positivo, pois x1, x2 ∈ IR+*
f (x1 ) – f ( x 2 ) > 0 f (x1 ) > f ( x 2 ) Então, x1< x2 ⇒ f (x1 ) > f ( x 2 ) e a função é decrescente em IR+*.
2.3.1.11 O ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Seja a situação seguinte: Na quitanda do seu Agenor, da avenida principal de nossa cidade, vende-se goiabas. Na compra de um lote de goiabas, ele gasta R$ 200,00. Como cada goiaba é vendida a R$ 0,80 , ele deseja saber quantas goiabas devem ser vendidas
Resolva os exercícios propostos :
Verifique que a função definida por f ( x )= -2x + 6 é decrescente em IR.
Seja a função polinômio do 1º grau,f, definida por:
f (x) = ax + b , a ≠ 0. Verifique que se a < 0, f é decrescente em IR.
3- Seja a função f definida pela sentença aberta: f (x) = 1/x.
Verifique que f é crescente em IR -* .
37
para que haja lucro no final da venda. Observe que o resultado final (receita menos o custo) é dado em função do número x de goiabas vendidas e a lei da função é f(x)= 0,80x – 200. .Vendendo 250 goiabas não haverá lucro nem prejuízo ٭ Para x = 250, temos f (x)= 0 .Vendendo mais do que 250 goiabas haverá lucro٭ Para x > 250, temos f (x) > 0 .Vendendo menos que 250 goiabas haverá prejuízo ٭ Para x < 250, temos f(x) < 0. Situações assim, nos fazem dizer que fizemos o estudo do sinal da função, que nada mais é que determinar os valores de x do domínio para os quais f(x) = 0, f(x) > 0 e f (x) < 0. Vamos agora analisar essa mesma situação no gráfico:
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM PELA ANÁLISE DO GRÁFICO Função crescente→ a > 0
38
Função decrescente→ a < 0
Resolva as questões à seguir:
1) Para as funções a baixo você calculou anteriormente f(0); o que isso significa? Calcule agora o valor de f(x) = 0 para cada uma. O que isso representa no gráfico? a) f(x) = 2x – 4 b ) f ( x) = x + 3 c) f(x) = - 7/2 x
2) Dadas as mesmas funções acima, faça o estudo do sinal de cada uma delas através do esboço do gráfico.
39
Elaborem um problema envolvendo comida a quilo, como os solucionados no experimento anterior (deve conter tabela e gráfico). Troquem entre as equipes e verifiquem os erros e acertos. Cada equipe entrega ao professor a sua elaboração com a devida solução.
3 TERCEIRA ETAPA 3.1 ATIVIDADE I
3.1.1 PROBLEMAS:APLICANDO FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
ATIVIDADE II
Colega Professor: os problemas relacionados a seguir referem-se à aplicabilidade prática da função afim e sua ligação com outras áreas do conhecimento. É interessante que o aluno faça os cálculos em seu caderno, podendo usar papel milimetrado para os gráficos. Posteriormente usará o Geogebra para corrigir .Uma boa dica são os simuladores, verifique em: contenidos.cnice.mec.es/feria/ies_tierno_galvan_alcala/funciones/index.htm
webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/linear/linear/index.html
PARA FIXAR: Assista ao vídeo, disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=260
PARA FAZER: Acesse o seguinte experimento: webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/experimentos/Co
mida_a_quilo/index.html
Durante a resolução do experimento, os alunos devem usar calculadora para
agilizar os cálculos.
Colega Professor:
A elaboração dos problemas deve ser acompanhada e corrigida antes da troca
entre as equipes.
Sugiro os links abaixo , são muito interessantes para explorar o conteúdo de
forma dinâmica e agradável, experimente... webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/experimentos/E
nergia_eletrica/index.html
40
É uma seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: A = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) B = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) C = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
1) Observe a seguinte tabela feita por um Biólogo enquanto acompanhava o crescimento de uma planta, em cm, todos os dias. Se a relação entre o tempo (t) e a altura (h) observada por ele for mantida, qual altura a planta terá, no vigésimo quinto dia ? Elabore a lei da relação existente e faça um gráfico com os pontos da tabela e ligue-os.
DIAS ALTURA (CM)
0 0
5 3
10 6
... ...
... ...
Observe que a seqüência ( 0, 3, 6,...) é uma progressão aritmética ( P.A.) e a seqüência ( 0, 5, 10, ...) também é uma P.A.
Mas o que é uma P.A.?
2) Observe a P.A. de razão 3: ( 1, 4, 7,...) se pela função afim f(x) = 3x + 1 é levada a outra P.A.( y1, y2, y3, ...yn,....), qual é a razão dessa nova P.A. ?
41
3) Uma família registra os gastos de consumo ( C) que tem por semana e sua renda ( x ) semanal são tais que C = 1000 + 0,4x. Diga qual o valor do consumo semanal dessa família se: a) a renda aumentar em R$ 500,00; b) a renda diminuir em R$ 500,00; c) a renda aumentar em R$ 1.000,00; d) a renda diminuir em R$ 1.000,00.
4) Um trem sai da estação à velocidade de 40km/h. Duas horas mais tarde, um segundo trem sai da estação à velocidade de 60km/h. A que distância da estação o segundo trem cruzará com o primeiro?
(Desafio: Vamos resolver diferente? Que tal montarmos uma dramatização onde tenhamos uma pista graduada em quilômetros desenhada na quadra ou saguão da escola, e dois alunos representando os trens e outro marcando o tempo e distância percorrida por cada trem?
5)Um fabricante gasta R$ 40.000,00 na produção de camisas masculinas ao mês. Cada camisa é vendida a R$ 50,00. ele deseja saber quantas camisas devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.
42
6) Luís Henrique está procurando por um trabalho. Em uma empresa que comercializa grãos, encontrou dois planos salariais para optar. Com o plano A será pago a ele um salário mensal de R$ 700,00 mais uma comissão de R$ 50,00 para cada tonelada de grãos que ele vender. Com o plano B ele receberá um salário mensal de R$ 500,00 e uma comissão de R$ 70,00 por tonelada vendida.
a) Escreva esses dois planos de pagamento na forma de equações. Faça com que x represente o número de toneladas vendidas e y a quantia de pagamento que ele receberá:
Equação ou lei matemática do Plano salarial A__________________________
Equação ou lei matemática do Plano salarial B__________________________
b) Preencha as tabelas que representam a venda de grãos X lucro de cada função:
PLANO A
Venda (toneladas)
Cálculos Lucro (y)
0
10
20
30
40
50
PLANO B
Venda (toneladas)
Cálculos Lucro (y)
0
10
20
30
40
50
c) Usando papel milimetrado, desenhe um gráfico destas duas funções.
43
d) Quantas toneladas Luís Henrique teria que vender no Plano B antes de ganhar tanto dinheiro quanto ele ganharia no Plano A?
e)Se ele estimar que pode vender aproximadamente 25 toneladas por mês, que plano ele deveria escolher?
f) Como se classificam as funções: crescente, decrescente ou constantes?
g) Em que situação é mais vantagem o Plano salarial A? E o Plano B
h) Em que valor o gráfico corta o eixo y em cada função?
Plano A_____________________ Plano B __________________________
7)Vamos considerar que dois carros se movam no mesmo sentido e em linha reta em movimento uniforme. No instante inicial (t0 = 0) eles estão distantes 240 m um do outro, conforme ilustração. Se o carro A anda a uma velocidade constante de 10 m/s e o carro B de 8 m/s, calcule o tempo que o carro A leva para alcançar o carro B. A B
240 m 3.2 ATIVIDADE II
3.2.1 WEBQUEST
3.2.1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Cada vez mais e mais estão sendo disponibilizados e acopladas mídias
tecnológicas como ferramentas úteis nas ações em Educação Matemática. Ao usa-
las, enfatiza-se um aspecto fundamental da disciplina, que é a experimentação.(
BORBA & PENTEADO, 2001, apud PARANÁ ,2008, p. 66)
44
Trabalhar com as mídias tecnológicas, torna o ensinar e aprender visto sob o
foco da valorização do processo de produção do conhecimento, onde os estudantes
podem analisar conjecturas, argumentar sobre as atividades que envolvem
experimentação. “No contexto da Educação Matemática, os ambientes gerados por
aplicativos informáticos dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o
processo pedagógico”. (BORBA,1999, apud PARANÁ, 2008, p. 65)
Procurando diversificar as aulas, tornar o conteúdo atrativo, e possibilitar a
visualização dos conceitos estudados, bem como valorizar o processo de produção
de conhecimentos, é que o uso das mídias tecnológicas como software, televisão,
calculadoras, os aplicativos da Internet entre outras, estão sendo explorados,
deixando evidente que existem diversas formas de ensinar e aprender.
As tendências metodológicas apresentadas nas Diretrizes, para garantir a
eficácia no processo de ensino e aprendizagem de Matemática, devem ser
articuladas sempre que possível, propiciando que a abordagem dos conteúdos
transite por todas as tendências da Educação Matemática.
3.2.1.2 DESENVOLVIMENTO
Você e sua equipe devem resolver agora uma Webequest. Você sabe o que é isso e como funciona?
WebQuest é uma atividade estruturada de forma que vocês alunos se envolvam no desenvolvimento de uma tarefa de investigação usando principalmente recursos da Internet.
Acesse o seguinte endereço: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=8790&
id_pagina=1
Vem
45
O Geogebra é um software livre, acessível na rede para download ( disponível em www.geogebra.org)
3.3 ATIVIDADE III 3.3.1 FAMILIARIZANDO-SE COM O GEOGEBRA
Quando iniciar (abrir) o GeoGebra, aparece a janela como esta:
Tela inicial - baseada na utilização da versão 3.2.41.0 do Geogebra • Utilizando a barra de ferramentas, pode-se construir na janela de geometria.
Ao mesmo tempo, as coordenadas dos pontos, as equações das retas, etc, vão
sendo "afixadas" na janela de álgebra.
Colega Professor: Você encontra outras webequest’s com conteúdos variados, disponíveis em http://www.webquestbrasil.org/criador/procesa_index_busqueda.php Sugiro também a leitura sobre o geogebra, disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1786-
6.pdf?PHPSESSID=2010011308222591
46
• Introduzindo, no campo de entrada, coordenadas, equações, comandos, os
correspondentes objetos geométricos são desenhados na janela de
geometria/gráficos.
• A barra de ferramenta do GeoGebra está dividida nas janelas ou botões
apresentados abaixo:
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11
Barra de ferramentas GeoGebra
• Cada janela ou botão contém várias ferramentas; para selecionar uma função,
devemos clicar sobre uma das janelas, no lado direito inferior sobre a setinha, e
arrastar o cursor para baixo, quando a função desejada estiver selecionada é só dar
um clique.
Nesta tela o 3º botão está precionado.
• O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para anular as
últimas operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y
(refazer), esta opção também é encontrada no canto superior direito da tela.
Visível no canto superior direito.
47
• Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o GeoGebra dá informações de
como proceder para utilizá-la, como se vê na figura abaixo.
Tela onde o 4º botão está pressionado, demonstrando os procedimentos. • O menu Exibir – Protocolo de Construção fornece uma
tabela listando todos os passos que você tomou fazendo sua construção. Ele
serve para revisar a construção passo a passo utilizando as teclas de seta.
• Para tornar objetos desenhados visíveis ou invisíveis,
clique com o botão direito e escolha Exibir objeto.
• O aspecto dos objetos (cor, tipo de linha, etc.) também é
alterado facilmente, fazendo-se um clique com o botão direito e escolhendo
Propriedades.
• É possível esconder (ou ativar) a janela de álgebra, o
sistema de eixos, a malha, através do menu Exibir.
• Para ampliar ou reduzir as figuras com os botões e
respectivamente, após selecionar os botões é só clicar na área de
trabalho, estará se alterando toda a área de trabalho e não só a figura.
• O menu Ajuda apresenta uma lista completa de ajudas.
Passo a passo para a construção do gráfico de funções polinomiais de 1º grau no software GeoGebra
Problema das mesas e lugares disponíveis ( Pag. 27) 1-Abra o Geogebra.
48
2-Clique no menu Arquivo e selecione Gravar como. Digite o nome do arquivo: exercícios_nome. Salve o arquivo na pasta atividades geogebra
3-Selecione a ferramenta Inserir texto (10º botão/B10) e clique sobre a área de trabalho, onde deseja que o texto apareça. Digite: Seu nome completo. Dê um Enter no teclado. Digite: Data:..../..../.....Clique em OK para aplicar. Observe a organização desses dados na figura (você pode mover o texto, clicando sobre ele e arrastando).
4-Selecione a ferramenta Inserir texto (B10) e clique sobre a área de trabalho, onde deseja que o título da atividade, apareça. Digite: PROBLEMA 1 . Clique em OK para aplicar.
5- Clique com o botão direito do mouse sobre o título da atividade e selecione Propriedades. Selecione a guia Cor e escolha uma cor de preferência. Escolha a guia Texto e mude o tamanho da fonte (letra) para 18 e clique em N para que o texto fique em negrito. Depois clique em fechar.
6- Veja se a janela de álgebra, o campo de entrada e os eixos estão aparecendo na tela. Caso não estejam, selecione Exibir no menu e marque essas opções.
7- No campo de entrada digite a = 2 e aperte enter. Digite b = 2 e dê enter. Esses
serão os valores dos coeficientes a e b da função afim que queremos observar. Veja
se na janela de álgebra aparecem os valores de a e b como objetos livres. Clique
com o botão direito sobre o “a” e marque a opção Exibir objeto. Repita o mesmo
para “b”.
8- Selecione a opção novo ponto , no 2º botão e crie um ponto sobre o eixo x.
Pode-se também usar o campo de entrada para esse fim. Esse ponto será rotulado
automaticamente de A. Para ter a certeza de que o ponto está sobre o eixo aperte
Esc ou ative a ferramenta Mover , clique no ponto A e arraste-o. Utilizando o
comando escrito tem-se a certeza de sua localização.
9- No campo de entrada digite a seguinte expressão: a*x(A) + b. Após digitar,
pressione enter.
Esses 5 primeiros passos você deve repetir a cada arquivo novo (atividade nova) que for fazer, alterando problema 1, 2, 3 e assim por diante.
49
10- O que você observa? Para que foi utilizado o símbolo * (asterisco), o que ele
indica? O que significa x(A)?
11- Vamos transferir o valor de c para o Eixo Y. No campo de entrada digite o valor
(0,c). Verifique se aparece um ponto B no Eixo Y. Caso não apareça talvez seu valor
de “c” seja grande ou pequeno demais. Se isso ocorrer, selecione a opção Mover
e movimente o ponto A sobre o eixo x até que o ponto B surja na tela.
12- Selecione a opção Reta perpendicular , no botão 4. A seguir trace uma
perpendicular ao eixo y, passando pelo ponto B e uma perpendicular ao eixo x
passando por A. Para isso, após acionar B4, você clica sobre o eixo e sobre o ponto
desejado. A perpendicular aparecerá automaticamente.
13- Selecione a opção Interseção de dois objetos, no botão 2 . Marque a
interseção das duas perpendiculares. Esse ponto será rotulado como ponto C.
14- Na opção Exibir / Esconder objetos, no B11, clique sobre as retas que passam
por AC e BC e as oculte. Outra alternativa é selecionar a opção Mover , do
botão 1.
15-Com a ferramenta Segmento definido por dois pontos, crie segmentos que
unam A a C e B a C. Esse segmentos serão rotulados automaticamente de f e g.
Clicando com o botão direito do mouse sobre cada um deles selecione a opção
Propriedades e mude o estilo do segmento para tracejado.
16-Clique com o botão direito sobre o ponto C e selecione Habilitar rastro. Essa
opção fará com que o ponto C deixe uma marca, um rastro quando for movimentado.
17-Então selecione a opção Mover , no botão 1 e movimente lentamente o
ponto A sobre o eixo x. O que você observa?
18-Desabilite a opção Habilitar traço clicando novamente com o botão direito sobre
o ponto C.
19-No Campo de Entrada digite a seguinte expressão: f(x) = a*x + b e pressione
50
enter. O que você observa?
20- Selecione a opção Mover , no botão 1 e movimente devagar o ponto a que
está na tela, que no GeoGebra também pode ser construído utilizando-se uma
ferramenta identificada como Seletor, que está no botão 10. Faça isso também
com o ponto b. Em que circunstâncias a reta que representa a função ficará paralela
ao eixo x? Ela poderá ficar paralela ao eixo y? Em que tipo de condição?
21- Mude o valor de a alterando a posição do seletor até que ele assuma valores
negativos. O que você percebe? Selecione Propriedades e mude o estilo do rótulo,
alterando-o para nome & valor. Mude também os estilos dos pontos B e C. O que
você nota? A função é crescente ou decrescente? Que relação há entre ser
crescente e decrescente e o sinal do parâmetro a, coeficiente de x na função?
22-Movendo o seletor que corresponde ao “b” o que você observa? Quais os efeitos
das modificações desse valor?
23- Há outra maneira de proceder esse estudo. Siga os passos, selecione a opção
Mover e clique com o botão direito sobre o ponto A. Selecione Propriedades e mude
o estilo do rótulo, alterando-o para nome & valor. Mude também os estilos dos
pontos B e C. Agora movimente lentamente o ponto A sobre o eixo x e responda : A
função é crescente ou decrescente?
É a hora de comprovar : Organizem-se em equipes de no máximo 4 componentes. Cada equipe seguirá as orientações do professor que os incumbirá de desenvolver no laboratório de informática, os exercícios abaixo, bem como alguns dos resolvidos anteriormente no caderno. Ao final de cada atividade, salve o arquivo com o nome de um representante da equipe.
51
Utilizando o geogebra, e seguindo o passo a passo demonstrado anteriormente,
Explore as alterações no gráfico pelas modificações dos coeficientes, das seguintes
funções:
1) f (x )= -3x + 1 (explorando os conceitos - exemplo 1):
a- quais as raízes da função?
b- a função é crescente ou decrescente?
c- onde o gráfico da função intersecta o eixo y?
d- em qual intervalo a função é positiva?
e- em qual intervalo a função é negativa? 2) f (x) = 3x (explorando os conceitos - exemplo 2)
a- quais as raízes da função?
b- a função é crescente ou decrescente?
c- onde o gráfico da função intersecta o eixo-y?
d- em qual intervalo a função é positiva?
e- em qual intervalo a função é negativa?
3- Faça, em um mesmo gráfico no geogebra, o estudo dessas três funções: f(x)=3x ;
f(x)=3x +1 ; f(x) = 3x -1, crie legenda onde cada função tenha uma cor diferente.O
que você conclui quanto à posição dessas retas? Como podemos classificá-las?
Mova as retas. O que você observa? Quem é o coeficiente angular e o que ele
indica?
4- Observe o exemplo 3 do item explorando os conceitos.
O gráfico da função polinômio do 1º grau, definida pela sentença aberta y = f ( x) = ax + b é a reta que passa pelos pontos ( 1; 2 ) e ( -1; 3 ). Determine a e b.
Obteremos a lei de formação da função em questão, explorando o geogebra.
Siga os 5 primeiros passos elencados na primeira atividade. Em seguida:
6- Usando a janela de visualização e vamos criar os pontos dados de duas maneiras:
a) Clique com o botão direito do mouse na janela de visualização e marque a
52
opção exibir malha. Ative a ferramenta PONTO ( 2º botão ) e clique
nos lugares correspondentes a (1,2) e (-1,3) da janela de visualização. O
Geogebra criou (e já nomeou) dois pontos: A e B, ou
b) você pode optar em utilizar o campo entrada, para inserir esses pontos.
Para isso digite apenas (1,2) e dê enter. Faça o mesmo com as
coordenadas do outro ponto: digite apenas (-1,3) e dê enter. ). O
Geogebra criará e o nomeará os pontos na tela.
Observe na janela de álgebra que aparece em Objetos Dependentes? É a equação
da reta procurada. Clique com o botão direito do mouse em cima da reta ( abre uma
janela : Reta a) . Selecione y=kx +d. Observe a janela de álgebra. O que você
percebeu? É o mesmo que o encontrado quando resolvemos a atividade: f ( x ) = -
1/2x + 5/2 ?
Explore os recursos do software colorindo a reta, alterando sua espessura. Você
pode, inclusive colorir a janela de visualização. Confira seu trabalho e salve a
atividade.
Problema 1 (Pag. 41)
Repita os passos de 1 a 5.
6- Selecione a ferramenta Inserir texto e clique sobre cada um dos eixos (x e y), onde deseja que o título dos eixos apareça. Digite número de Dias – eixo x e altura (cm) - eixo y.
7- Clique no Menu Opções. Selecione Rotular e menos para objetos novos.
8- Selecione em B10 a opção seletor .Clique sobre a janela de visualização. Na janela que abre,no item intervalo marque min.-20 e max. 20. Clique em aplicar. Faça o mesmo para introduzir o seletor b. Clique em aplicar.
9- No campo de entrada( Caso não esteja aparecendo essa janela clique no Menu Exibir e selecione Campo de entrada), digite a lei que você elaborou y= 3*x/5 (a letra x precisa ser minúscula). Clique na tecla Enter. Esse comando cria o gráfico de uma função.
10-No botão B11, selecione a opção reduzir, se por acaso você não visualizar a altura no gráfico referente ao 25º dia procurado.Clique sobre a malha até ter visualização. (Para visualizar melhor, vá no menu exibir malha)
53
11- Clique com o botão direito do mouse sobre a linha do gráfico e selecione Propriedades.
12-Selecione a guia Cor e escolha um tom de verde. Selecione a guia Estilo e escolha a espessura da reta igual a 4. Clique em fechar.
13- Ao final, para gravar a atividade, vá em arquivo clique em salvar.
Problema 2 (Pag. 41)
Proceda os 5 primeiros passos como no problema anterior.
6-Selecione em B10 a opção seletor . Na janela que abre,no item intervalo marque min.-5 e max. 5. Clique em aplicar. Faça o mesmo para introduzir o seletor b. Clique em aplicar.
7- - No campo de entrada digite a lei: y=3*x+1 (a letra x precisa ser minúscula). Clique na tecla Enter. Com esse comando foi criado o gráfico da função.
8- Clique com o botão direito do mouse sobre a linha do gráfico e selecione Propriedades. Selecione a guia Cor e escolha um tom de azul . Selecione a guia Estilo e escolha a espessura da reta igual a cinco. Clique em fechar. Esta é uma função crescente ou decrescente?
9- Clique com o botão direito do mouse, e marque a opção malha( caso ela ainda não esteja aparecendo)
10- Selecione a ferramenta Novo ponto, ou utilize a caixa de entrada e represente os seguintes pontos sobre o plano cartesiano:
(0,1) enter. (1,4) enter , (4,13) enter, (7,22) enter. Automaticamente os pontos são nomeados. Confira se eles pertencem, todos à reta y= 3x+1. (Lembre-se: f(x) = y).
11- Clique sobre cada ponto com o lado direito do mouse. Selecione a opção propriedades. Abra a guia Cor e escolha uma cor qualquer. Na guia Estilo, marque tamanho 3. Clique em fechar. Ao final da atividade, gravar.
Problema 3 (Pag. 42)
Proceda como nos problemas anteriores da regra 1 a 5.
6- No campo entrada digite: y=1000+0.4x e dê enter. Se a reta que representa a função não estiver visível, vá no botão B11 e selecione a opção reduzir. Clique sobre a janela de visualização até que a linha da função esteja parecendo ( Clique várias vezes até que nos eixos estejam demarcados os espaçamentos de 500 em 500).Você pode aumentar a espessura da linha do gráfico e alterar a cor, clicando sobre ela com o botão direito do mouse e selecionando a opção propriedades, guia cor e guia espessura.
54
7-Faça as observações que necessitar, verificando os cálculos de seu caderno. Marque os pontos referentes às alternativas com cores diferentes.
8-Mude a cor da janela de visualização: clique com o botão direito do mouse sobre a malha, selecione a opção janela de visualização. Vá em cor de fundo, clique no retângulo e selecione uma cor da segunda linha. Clique em fechar.
9-Salvar a atividade na pasta geogebra.
4 QUARTA ETAPA 4.1 QUESTIONÁRIO APÓS INTERVENÇÃO
4.1.1 SOBRE A METODOLOGIA NA INTERVENÇÃO 1- O que você achou da metodologia( procedimentos e andamento) das aulas de matemática durante esse conteúdo de função afim? ............................................................................................................. 2-As atividades contribuíram para que você entendesse o conteúdo? ............................................................................................................. 3- Como você classificaria as atividades desenvolvidas nesse período? ............................................................................................................. 4- A inclusão da história da matemática realizada, contribuiu para a compreensão dos conceitos matemáticos? ............................................................................................................. 5- Que contribuições a história da matemática e o uso das mídias trouxe para as aulas? ............................................................................................................. 6- Você gostou de incluir as mídias tecnológicas durante as aulas de matemática? Por quê? ............................................................................................................. 7- Qual das mídias utilizadas você considera mais significativa para o aprendizado nesse período? ............................................................................................................. 8-Escolha um episódio ocorrido em sala de aula que você achou importante e faça alguns comentários. ............................................................................................................. 9- Escreva, em breves palavras, seu comentário sobre a metodologia de ensino trabalhada nesse período. .............................................................................................................
55
5 AVALIAÇÃO
Durante todas as aulas os alunos devem ser observados e acompanhados
para verificar a evolução e o processo de aprendizagem acontecendo. As resoluções
das atividades, bem como as produções e elaborações feitas servirão de subsídio
para a aferição da nota no final do processo, levando em conta a exposição dos
trabalhos e do envolvimento de cada um no período.
Durante a finalização do desenvolvimento de cada etapa, deve ocorrer uma
verificação da obtenção dos objetivos propostos, bem como uma auto-análise, tanto
da parte do professor, quanto dos alunos.
A análise dos dados coletados com o questionário pós intervenção servirá
como base de avaliação do processo de intervenção bem como do material
produzido.
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6 REFERÊNCIAS
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![GUIA PEDAGÓGICO [GP] ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL …ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos/conteudos-digitais/guias... · ... [F – 8] [823SF] ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DE](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5bf4bf0c09d3f25b6f8c97d7/guia-pedagogico-gp-estudo-da-funcao-polinomial-f-8-823sf-estudo.jpg)
