TE231

Capitulo 4 –

Interpolação

Polinomial

Prof. Mateus Duarte

Teixeira

1. Introdução

A tabela abaixo relaciona calor específico da

água com a temperatura:

Deseja-se, por exemplo, saber:

a) o calor específico da água a 33,7°C;

b) a temperatura para a qual o calor específico é 0,99837.

InterpolaçãoSolução

1. Introdução

A interpolação consiste em determinar uma

função, que assume valores conhecidos em

certos pontos (nós da interpolação), diferente do

ajuste de curvas.

A classe de funções escolhida para a

interpolação é arbitrária, e deve ser adequada

às características que pretendemos que a função

possua.

Função a ser considerada:

Polinômios → Interpolação Polinomial

1. Introdução

A necessidade de se efetuar esta substituição

surge em várias situações, como por exemplo:

a) Quando são conhecidos somente os valores

numéricos da função para um conjunto de

pontos e é necessário calcular o valor da

função em um ponto não tabelado;

b) Quando a função em estudo tem uma

expressão tal que operações como a

diferenciação e a integração são difíceis (ou

mesmo impossíveis) de serem realizadas.

1. Introdução

Na computação gráfica: Interpretação de um

aplicativo de como alguma coisa deve parecer,

especialmente quando o software não dispõe de

dados suficientes para atender à sua requisição.

Em engenharia e ciência, geralmente tem-se

dados pontuais obtidos a partir de uma

amostragem ou experimento. A partir de

métodos de interpolação pode-se construir uma

função que, aproximadamente, encaixe-se

nestes dados pontuais.

1. Introdução

Embora exista um único polinômio de

grau n que passa por n+1 pontos, há

diversas fórmulas matemáticas para

expressá-lo.

Formas adequadas para

implementação computacional:

Newton e Lagrange.

2. Existência e Unicidade

Seja p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Das condições de interpolação, obtém-se o sistema de (n+1) equações lineares.

Quais são as variáveis independentes (que desejamos obter)? ai ou xi ?

n0n11 n

n1 -n nnnn

10111 n

11 -n n1n1

00011 n

01 -n n0n0

y a xa ... xa xa )x(p

...........................................................................

y a xa ... xa xa )x(p

y a xa ... xa xa )x(p

Demonstração do Teorema:

A matriz dos coeficientes do sistema de equações

lineares é:

Det(A) = (x0 – x1) (x0 – x2) ... (x0 – xn) (x1 – x2)(x1 – x3) ...

(x1 – xn) ... (xn - 1 – xn)

Como x0, x1, ..., xn são distintos, tem-se que det(A) 0, logo o

sistema de equações lineares admite solução única

1 ... 1

............................

1 1

... 1 1

1

1 0

... 1 0

0

nxnnxn

nx

xnxnx

xnxnx

A Matriz de Vandermonde

O sistema de equações lineares pode ser

resolvido utilizando qualquer um dos métodos

(diretos ou iterativos) estudados.

Entretanto os métodos diretos tem complexidade

de ordem cúbica (O(n3)).

É possível expressar o problema de interpolação

polinomial de forma que se obtenham meios de

solução menos dispendiosos, com complexidade

de ordem quadrática (O(n2)).

Determinar o polinômio interpolador através da

resolução de um sistema de equações lineares é

caro computacionalmente. Então surgem outros

métodos de obtê-lo.

Lagrange

Newton

Hermite

Spline

3. Interpolação de Lagrange

Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}.

Encontrar um polinômio interpolador p(x)

que passe por todos os pontos

p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1...

Lk(x) são polinômios

11

Interpolação de Lagrange:

L x e

L x se i k

k k

k i

1

0 ,

n

kii ixkx

ixxxL

0 )(

)()(k

Polinômio Interpolador de Lagrange:

Versão linear:

Versão quadrática:

)()()( 1

01

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxf

)(

)()()(

2

1202

10

1

2101

200

2010

212

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

Considere o seguinte conjunto de pontos:

Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1)

= 4 e f(x2) = 12

2

23

)20).(10(

)2).(1()(

2

0

xxxxxL

xxxx

xL 2)21).(01(

)2).(0()( 2

1

2)12).(02(

)1).(0()(

2

2

xxxxxL

)().()().()().()( 221100 xfxLxfxLxfxLxP

)12.(2

)4.(2)2.(2

23)(

22

2 xxxx

xxxP

25)(

668.423)(

2

222

xxxP

xxxxxxxP

Exemplo: Empregar o polinômio

interpolador de Lagrange de primeiro e

de segundo graus para calcular ln(2)

com base nos seguintes dados:

791759,1)(;6

386294,1)(;4

;0)(;1

22

11

00

xfx

xfx

xfx

Solução:

Polinômio de primeiro grau:

4620981,0)386294,1(14

12)0(

41

42)2(

)()()(

1

1

01

00

10

11

f

xfxx

xxxf

xx

xxxf

Solução:

Polinômio de segundo grau:

5658444,0)791760,1()46)(16(

)42)(12(

)386294,1()64)(14(

)62)(12()0(

)61)(41(

)62)(42(

)(

)()()2(

2

1202

10

1

2101

200

2010

212

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxf

Exercício:

Ajuste por uma reta os seguintes pontos

(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)

101

00

10

1 xfxx

xxxf

xx

xxxp

28,2455,16,524

21,3

42

4

xx

xxxp

6,025,1 xxp

Exercício:

Seja y = f(x) determinar o polinômio que

interpola uma função dada nos pontos a

seguir utilizando o método de Lagrange e

três casas decimais.

1 2,333x - 2667,0)(p xx

4. Interpolação de Newton

Diferenças Divididas de Newton:

Seja f(x) uma função contínua, (n+1) vezes

diferenciável e definida em x0, x1, ...xn (n+1)

pontos distintos de um intervalo (a, b).

Definimos diferença dividida de ordem n

de uma função f(x) definida nos pontos xi, i

= 0, 1,...,n por

21

0

1210321210

],...,,[],...,,,[],...,,,[

xx

xxxxfxxxxfxxxxf

n

nnn

Então:

)(][ 00 xfxf

01

0110

)()(],[

xx

xfxfxxf

02

1021210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

03

2103213210

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

(ordem 0)

(ordem 1)

(ordem 2)

(ordem 3)

Operadores:

][ 1xf

][ 2xf

][ 3xf

][ nxf

][ 0xf][ 1,0 xxf

][ 2,1 xxf

][ 3,2 xxf

][ 2,1,0 xxxf

][ 3,2,1 xxxf

...

...

Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2

Seja f(x) uma função contínua e

definida em x0, x1, ...xn (n+1) pontos

distintos de um intervalo (a, b). O

polinômio de grau n baseado nas diferenças divididas dado por:

],...,,,[).)...().((...

],,[).).((],[).(][)(

210110

210101000

nn

n

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxP

Operadores:

02

01

01

12

12

2

01

011

00

)()()()(

)()(

)(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

xx

xfxfb

xfb

],,[).).((],[).(][)( 2101010002 xxxfxxxxxxfxxxfxP

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

1202102

2

201102 )( xxbxxbxxbxbxbxbbxf

Faça uma estimativa de ln(2)

empregando um polinômio interpolador

de Newton de terceiro grau utilizando os

seguintes pontos:

609438,1)(;5

791759,1)(;6

386294,1)(;4

;0)(;1

33

22

11

00

xfx

xfx

xfx

xfx

Solução:

O polinômio de terceiro grau a ser obtido

possui a forma:

As primeiras diferenças divididas para o

problema são:

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxf

4620981,014

0386294,1],[ 01

xxf

As segundas diferenças divididas para o

problema são:

1823216,065

791759,1609438,1],[

2027326,046

386294,1791759,1],[

23

12

xxf

xxf

02041100,045

2027326,01823216,0],,[

05187311,016

4620981,02027326,0],,[

123

012

xxxf

xxxf

A terceira diferença dividida é:

Polinômio interpolador de Newton:

007865529,015

02041100,0],,,[ 0123

xxxxf

)6)(4)(1(007865529,0

)4)(1(05187311,0)1(4620981,00)(3

xxx

xxxxf

Valor aproximado para ln(2)=0,6287686

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

Estimativa cúbica

Estimativa linear (a)

Estimativa linear (b)

Estimativa quadrática

Função real

fun

çã

o f

(x)

variável independente x

Erros relativos (lineares):

(a) 48,3%

(b) 33,3%

Erro relativo (quadrática):

18,4%

Erro relativo (cúbica):

9,3%

Exemplo

Exemplo

Considerações Finais:

Nos métodos que utilizam diferenças divididas

a estimativa do erro de truncamento pode ser

facilmente integrada ao algoritmo, uma vez

que utiliza uma diferença.

No método de Lagrange, a estimativa do erro

de truncamento pode ser obtida apenas se a

função interpolada for conhecida

analiticamente.

O método de Lagrange é um pouco mais

simples de ser implementado.

Trabalho

Um automóvel, viajando por uma rodovia é

cronometrado em diversas posições. Os dados

seguem onde tempo (s) e distância (pés) e

velocidade (pés/s).

Use o polinômio de segundo grau de Lagrange e

cúbico de Newton para obter a posição e

velocidade do automóvel quando t = 10 s.

Plote os gráficos e compare com a ferramenta

Excel.