Flow in a cilindrical pipe Lecture 9 Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016.

Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016

Flow in a cilindrical pipeLecture 9


• Aplicação directa dos princípios fundamentais da mecânica a um volume de control

• Permitir uma compreensão dos fenómenos físicos e a sua ligação aos princípios fundamentais

• Qualquer hipótese simplificativa introduzida para a obtenção de uma solução, terá que ser pesada nas suas consequências sobre o resultado final

• Objectivo é o conhecimento do campo da velocidades


• Escolher um volume de control • Exprimir matemáticamente as implicações impostas

pelos princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento (2ª lei de Newton)

• Na generalidade:• o princípio de conservação da massa leva à confirmação da

independência do campo das velocidades numa das direcções

• O princípio da conservação da quantidade de movimento estabelecerá o balanço de forças que actuam no volume de control, irá fornecer uma relação de dependência entre as forças associadas ao campo da velocidade e as outras forças actuantes


• Forças podem classificar-se em dois tipos distintos:• Forças de superfície – podem ter componentes normais à

superfície (i.e. Forças de pressão) e/ou componentes tangenciais (i.e. Forças de corte)

• Forças de volume (forças mássicas) - representam acçõe sà distância, as forças derivadas de potenciais (gravítico, eléctrico, magnético). No nosso caso interessará a acção do campo gravítico, i.e., o peso


Flow in cilindrical pipe

• Suponha-se um escoamento estacionário, no interior de um tubo cilindrico, de um fluido viscoso.

• Suponha-se um tubo horizontal de raio R.• Considere-se a região central do tubo,

suficientemente afastada das secções de entrada e saída do tubo.

• Seja X1 o eixo do tubo e r a distância radial ao eixo.

• A configuração simétrica ao longo de x1 ou ao longo da direcção tangencial

• Na região vizinha à parede do tubo a velocidade é paralela à parede do tubo alinhada com x1, leva a supor que o campo da vcelocidade é do tipo:


Mass budget• Um volume de control que terá que ter uma

dimensão suficientemente pequena segundo a direcção radial:• Coroa cilíndrica de raio r , espessura r e complimento l1

terá a vantagem de ter duas faces paralelas ao vector velocidade.

• Escoamento simétrico o elemento de área tranversal pode ser tomado como uma anel circular de área dA=2r r

Mass Budget

rrdArrudAnum 22. 1

Regime estacionário, não há variação de massa m no interior do volume dm/dt=0.

Massa que entra na unidade de tempo:

11211 xA

rrudAu

Massa que sai na unidade de tempo:

112211 lxA

rrudAu


Mass Budget

A aplicação do princípio de conservação da massa implica:

022111 11 lxx rrurru

Referindo esta equação à unidade de massa, i.e. Dividindo ambos os membros por :rru 21

001

1

1

11 111

xu

luu lxx


Momentum budget

• Aplicando o princípio da quantidade de movimento, que estabelece que, para escoamentos estacionários, a diferença entre o momento que abandona o volume e o que entra no volume na unidade de tempo é igual à soma das forças aplicadas ao volume.

• Dado que só uma das componentes da velocidade é não nula bastará escrever a equação do balanço de forças para esta componente.

Momentum Budget

The budget is null because the velocity is not changing, i.e. there is no acceleration.


Applied forces

• Forças aplicadas:• Forças de pressão: a existência de uma fronteira lateral

sólida permite que a pressão possa variar de montante para jusante do escoamento

• Forças aplicadas:• Forças de de corte de origem viscosa: estas forças só se

vão fazer sentir nas paredes A3 e A4. Representando por o valor absoluto da tensão de corte, e notando que u1 decresce quando r aumenta, conclui-se qua a tensão de corte A3 é positiva e em A4 é negativa

• Peso: no presente caso, tubo horizontal, a componente g segundo x1 é nula

Applied forces

dxdz

xz

cos

x

z

Δz

Δx

Θ

coscos rLrgALgPeso

xgz

xzgPeso

Peso (plano não horizontal)


Applied forces

xgz

xzgPeso

rrLzg

Lp rr

0

rrx

gzp rr

0

A aplicação à direcção x1 do principio da conservação da quantidade de movimento fornece o seguinte resultado:

Weight or pressure gradient promote the flow on the same way.

•Passando o limite quando , r, tende para zero:

rrx

gzp

0

rrrr

r

*1

rr

rxgzp

*10

rCr

xgzp

Crxgzpr

2

2*

2

No eixo de simetria, r=0 e é finito, logo C=0.

E reparando que :

Substituindo:

Crxgzpu

rxgzp

ru

rur

xgzp

4

2

2

2 C pode ser determinado atendendo que a velocidade é nula na fronteira sólida em r=R , u=0

22

2

2

141

4

4

RrR

xgzpu

RxgzpC

CRxgzpo

Análise dos Resultados

Velocity is proportional to r2, i.e. the velocity profile is a parabola.

Shear stress is the derivative of the velocity and is a linear profile.

Shear on the wall balances the pressure force:

22

22

RxPR

LP

RLRP

w

w

r

2

2 141

RrR

xgzpu

2r

xgzp

2R

xgzp

w

Discharge and average velocity

22

02

422

2

32

22

81

4242

42

2141

2..

RRxgzpQ

RrrR

xgzpQ

drRrrR

xgzpQ

rdrRrR

xgzpQ

rdrnudAnuQ

RR

R

RA

281 R

xgzp

AQU

22

2

8

8

RQ

Rxgzp

URx

gzp

Friction coefficient

eRUDURU

f 1616

21

4

2

RURU

RR

xP

w4

28

2 2

Tensão de corte na parede:

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