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INSTITUTO SUPERIOR TCNICOANLISE DE ESTRUTURAS

APONTAMENTOS DE LINHAS DE INFLUNCIA

Eduardo Pereira

1994

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NOTA INTRODUTRIA

Pretende-se com estes apontamentos fornecer aos alunos da disciplina de Anlise de Estruturas I um

elemento escrito que os auxilie na aprendizagem da determinao de Linhas de Influncia. Nestesentido, constituem estes apontamentos um complemento aos textos de apoio sobre Anlise Elstica de

Estruturas, considerando-se como apreendidos os conhecimentos relativos formulao e aplicao

dos mtodos de anlise matricial de estruturas: o Mtodo das Foras e o Mtodo dos Deslocamentos.

Da mesma forma, a notao aqui utilizada coincide com a adoptada na apresentao desses mtodos.

Nestes apontamentos so introduzidas as noes bsicas sobre Linhas de Influncia, dando-se uma

panormica geral dos principais mtodos utilizados para a determinao de funes de influncia em

prticos. Para cada um dos mtodos, indica-se quais os princpios em que se baseiam listando-se em

seguida as principais etapas que os compem. A utilizao de exemplos de aplicao procurademonstrar a sua forma de aplicao prtica.

So utilizadas as tabelas de Anlise de Estruturas, anexas aos textos de apoio sobre Anlise Elstica de

Estruturas, para obter os valores das matrizes de flexibilidade e de rigidez dos elementos de barra, bem

como para os valores das deformaes devidas s cargas de vo e das foras de fixao.

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NDICE

INTRODUO................................................................................................................................................................... 1

Cargas Mveis, Combios de Cargas Mveis e Caminho de Rolamento .................................................. 1

Funo de Influncia, Linha de Influncia e Superfcie de Influncia ........................................................ 2Utilizao de Linhas de Influncia.................................................................................................................... 3

MTODO DIRECTO PARA A DETERMINAO DE LINHAS DE INFLUNCIA ............................................... 4

Aplicao do Mtodo Directo em Estruturas Isostticas............................................................................. 4

Aplicao do Mtodo Directo em Estruturas Hiperstticas .........................................................................6

Mtodo Directo Associado ao Mtodo das Foras ...................................................................... 6

Mtodo Directo Associado ao Mtodo dos Deslocamentos......................................................11

MTODO INDIRECTO PARA A DETERMINAO DE LINHAS DE INFLUNCIA........................................... 16Princpios gerais .................................................................................................................................................. 16

Mtodo Indirecto Aplicado a Estruturas Isostticas ....................................................................................17

Mtodo Indirecto Aplicado a Estruturas Hiperstticas ................................................................................21

Mtodo Indirecto Associado ao Mtodo das Foras ...................................................................21

Mtodo Indirecto Associado ao Mtodo dos Deslocamentos...................................................27

ESCOLHA DO MTODO DE CLCULO....................................................................................................................... 33

Estruturas Isostticas ......................................................................................................................................... 33

Estruturas Hiperstticas..................................................................................................................................... 33

CONCLUSES .................................................................................................................................................................... 35

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................................................................. 37

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INTRODUO

Cargas Mveis, Combios de Cargas Mveis e Caminho de Rolamento

Por forma a sistematizar o estudo das linhas de influncia, interessa definir o que se entende por cargamvel, combio de cargas mveis e caminho de rolamento.

Considera-se como carga mvel uma fora generalizada de direco, sentido e intensidade

determinadas, mas sem posio fixa na estrutura. Na representao grfica deste tipo de cargas utiliza-

se uma simbologia que consiste em associar uma circunferncia ao vector que indica a direco e

sentido da carga por forma a realar o carcter mvel da aco. Na figura 1

apresentam-se diferentes tipos de cargas mveis.

Figura 1

Um combio de cargas mveis corresponde a um conjunto de cargas mveis que mantm entre si uma

posio relativa constante. Simula a aco de veculos automveis, composies ferrovirias, pontes

rolantes ou outro tipo de solicitao mvel.

A zona da estrutura onde se considera a possvel actuao de cargas mveis habitualmente

designada por caminho de rolamento. No caso de estruturas compostas por peas lineares o caminho

de rolamento uma linha, enquanto que no caso de estruturas constitudas por peas bidimensionais

pode corresponder a uma superfcie.

Figura 2

Os diferentes tipos de cargas mveis a considerar no projecto de estruturas so, em geral, definidos ou

pelo dono da obra ou pelos regulamentos aplicveis. No caso de pontes rodovirias de classe I, o

Regulamento de Segurana e Aces para Estruturas de Edifcios e Pontes (RSA) define, no seu artigo

41, o veculo tipo representado na figura 2. um veculo de trs eixos equidistantes, cada um com

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dois rodados de 0.20m por 0.60 m, e com uma carga de 200 kN por eixo. O caminho de rolamento

associado a este veculo constitudo pela faixa de rodagem da ponte, considerando-se o eixo do

veculo paralelo ao eixo da ponte.

Funo de Influncia, Linha de Influncia e Superfcie de Influncia

Em todos os casos em que se preveja a actuao de cargas mveis isoladas ou de combios de

cargas, necessrio ter em conta o facto de a cada posio desta aco corresponder um

determinado campo de esforos, reaces e deslocamentos. Assim, para uma determinada grandeza

em estudo necessrio determinar qual a posio mais desfavorvel da carga mvel ou do combio de

cargas considerado.

Quando se consideram estruturas com comportamento elstico linear e se admite como vlida a

hiptese dos pequenos deslocamentos pode ser aplicado, na sua anlise, o teorema da sobreposio

de efeitos. Assim, o conhecimento do comportamento das estruturas face actuao de cargas mveis

unitrias permite conhecer a sua resposta para a actuao de combios de cargas.

Define-se como funo de influncia de determinado efeito, E(x), o valor desse efeito (esforo,

deslocamento ou reaco) em funo da posio, x, de uma carga mvel unitria. O domnio de

variao da posio da carga mvel corresponde ao caminho de rolamento considerado.

No caso do caminho de rolamento corresponder a uma linha, possvel fazer a representao da

funo de influncia atravs do traado de um grfico em que as abcissas representam a posio da

carga ao longo do caminho de rolamento, e as ordenadas o valor da funo de influncia. A linha

obtida nesta representao designa-se por linha de influncia.

Figura 3

Na figura 3 apresenta-se, como exemplo, a linha de influncia correspondente ao momento flector da

seco S de um prtico actuado por cargas mveis verticais.

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3

No caso do caminho de rolamento corresponder a uma superfcie, a representao grfica da funo

de influncia designa-se por superfcie de influncia.

Utilizao de Linhas de Influncia

Conhecendo o traado da linha de influncia de determinada grandeza possvel definir o valor dessa

grandeza para cargas mveis isoladas ou para combios de cargas.

Para o exemplo apresentado na figura 3, considere-se a actuao do comboio de cargas apresentado

na figura 4. O valor do momento flector na seco S, para a actuao desse conjunto de cargas,

dado por:

MS = px1

x 2

E(x) dx + PE(x3) ,

o que equivalente, no caso da carga uniformemente distribuda a,

MS = p A(x1, x2) + P E(x3) ,

em queA(x1,x2) representa a rea a sombreado.

Figura 4

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4

MTODO DIRECTO PARA A DETERMINAO DE LINHAS DE INFLUNCIA

A determinao da funo de influncia e o consequente traado da linha de influncia pode ser feito a

partir da sua definio. Neste caso, a estrutura resolvida considerando como aco a carga mvel

unitria colocada numa posio genrica, funo da coordenada no caminho de rolamento. Quando se

trata de estruturas isostticas a sua resoluo feita recorrendo unicamente s condies de equilbrio,

enquanto que no caso das estruturas hiperstticas necessrio recorrer a um mtodo de anlise de

estruturas, o qual poder ser o Mtodo das Foras ou o Mtodo dos Deslocamentos.

Este mtodo para a determinao de linhas de influncia habitualmente designado como Mtodo

Directo visto recorrer directamente definio de linha de influncia.

Aplicao do Mtodo Directo em Estruturas Isostticas

Por forma a exemplificar a aplicao deste mtodo considere-se, para a viga isosttica representada na

figura 5a, a determinao das linhas de influncia das reaces verticais e do momento flector e do

esforo transverso na seco S. Na figura 5b representa-se o sentido arbitrado para as reaces

verticais, bem como qual a coordenada escolhida para referenciar a posio da carga mvel.

Figura 5a Figura 5b

Utilizando as equaes de equilbrio, possvel calcular o valor das reaces de apoio RA e RB em

funo da posio da carga unitria. Obtm-se assim para as funes de influncia das reaces de

apoio as seguintes expresses:

RA (x ) = 1 -xL

RB(x) =

xL

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O momento flector e o esforo transverso na seco S podem ser definidos a partir das reaces de

apoio na forma,

MS(x) = L - x0( )RB para a carga situada entre A e S logo 0 x x 0M

S(x) = x

0R

Apara a carga situada entre S e B logo x

0 x L

VS(x) = - RB para a carga situada entre A e S logo 0 x < x 0VS(x) = RA para a carga situada entre S e B logo x 0 < x L

As funes de influncia do momento flector e do esforo transverso na seco S obtm-sesubstituindo nesta expresso as funes de influncia de RA e RB, logo:

MS(x) = L - x0( )xL

para 0 x x 0

MS(x) = x 0 1 - xL

para x 0 x L

VS(x) = -xL

para 0 x < x 0

VS(x) = 1 -xL

para x0 < x L

Na figura 6 apresenta-se o traado das linhas de influncia de RA , RB, MS e VS obtidas a partir da

representao grfica das respectivas funes de influncia.

Figura 6

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6

Aplicao do Mtodo Directo em Estruturas Hiperstticas

Para o caso de estruturas hiperstticas, o procedimento a utilizar em tudo semelhante, havendo no

entanto que utilizar o Mtodo das Foras ou o Mtodo dos Deslocamentos para a resoluo da

estrutura. Nos pargrafos seguintes descrevem-se sucintamente estes dois mtodos, exemplificando-se

a sua aplicao com a determinao das linhas de influncia do momento flector nas seces S e B e

da rotao do n B da viga contnua representada na figura 7a. Na figura 7b apresenta-se a

discretizao adoptada na resoluo deste problema.

Figura 7a Figura 7b

Mtodo Directo Associado ao Mtodo das Foras

A resoluo da estrutura sob a aco da carga mvel unitria feita recorrendo ao mtodo das foras.

Para tal necessrio, com base na escolha de um sistema base isosttico, determinar as parcelas

complementar e particular da soluo. A parcela complementar resulta da actuao das incgnitas

hiperstticas unitrias. A parcela particular define a actuao isolada da carga rolante em cada um dos

elementos de barra que constituem o caminho de rolamento. A soluo da estrutura obtida por meio

da imposio das equaes de compatibilidade ao nvel dos deslocamentos associados s incgnitas

hiperstticas.

Descrio do mtodo

Discretizao e orientao da estrutura;

Determinao do grau de indeterminao esttica, ; Escolha de um sistema base por meio da libertao de ligaes independentes; Parcela complementar: Clculo dos esforos e deformaes associados s incgnitas

hiperstticas, obteno dos termos da matriz de flexibilidade e da parcela complementar doesforo, reaco de apoio ou deslocamento do qual se pretende a linha de influncia Ec;

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Considerando separadamente a actuao da carga unitria em cada elemento de barra pertencente

ao caminho de rolamento:

Parcela particular: Aplicao da carga mvel unitria, determinao dos esforos e

deformaes, determinao dos deslocamentos associados s incgnitas hiperstticas e da

parcela particular do esforo, reaco de apoio ou deslocamento do qual se pretende alinha de influncia E0;

Resoluo da equao do mtodo das foras (F p + v0 = 0), obteno das expresses das

funes de influncia das incgnitas hiperstticas p para a actuao da carga no elemento

de barra considerado;

Obteno da expresso da funo de influncia para a actuao da carga no elemento debarra considerado a partir da sobreposio de efeitos : E = Ec p + E0.

Comentrios

A soluo obtida para a equao do mtodo das foras corresponde funo de influncia dos

esforos ou reaces de apoio escolhidas como incgnitas hiperstticas.

A parcela particular da funo de influncia corresponde funo de influncia do esforo, reaco ou

deslocamento na estrutura isosttica que serve de sistema base. No caso da determinao de funes

de influncia de deslocamentos, o clculo dos valores dos deslocamentos no sistema base para a

actuao das incgnitas hiperstticas unitrias e para a actuao da carga mvel unitria poder

revestir-se de alguma complexidade se no se colocar um n na seco cujo deslocamento se pretende

determinar.

Exemplo de aplicao

- Escolha do sistema base e anlise da soluo complementar

A estrutura em anlise tem um grau de hiperstatia igual a 1. Assim, necessrio introduzir uma

libertao na estrutura por forma a obter um sistema base. Na figura 8a representa-se o sistema base

escolhido, o qual consiste na libertao do momento flector na seco inicial da barra 2. Para este

sistema base, apresenta-se na figura 8b a distribuio de momentos flectores associada aplicao da

incgnita hipersttica unitria.

Figura 8a Figura 8b

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A matriz dos esforos independentes que equilibram as incgnitas hiperstticas unitrias toma assim aforma, B

t= 0 1 1 0[ ]. A partir da definio deste operador de equilbrio e das caractersticas

geomtricas e mecnicas das diferentes barras possvel obter, considerando unicamente a

deformabilidade por flexo, a matriz de flexibilidade da estrutura,

F * = 2 L3 E I .

O momento flector na seco S devido actuao da incgnita hipersttica unitria igual ax0

L.

O momento flector na seco B igual a 1 e o valor da rotao do n B deL

3 E Imedido no

sentido directo.

- Soluo particular

Na anlise da aco da carga mvel deve-se considerar separadamente a colocao da carga em cada

um dos tramos. Nas figuras 9a e 9b apresenta-se a distribuio de momentos flectores referentes ao

caso em que a carga mvel se encontra na barra 1 e na barra 2, respectivamente.

Figura 9a Figura 9b

A aco da carga mvel quantificada a partir do vector dos esforos, X0, bem como do vector das

deformaes devidas s cargas de vo, u . Assim, para a carga na barra 1 obtm-se,

X 0t = 0 0 0 0[ ] e ut =

x1 ( L - x1) (2L - x1)

6 L E I

x1 ( L - x1) (L+ x1)

6 L E I0 0

,

sendo o momento flector na seco S igual a x1 -x0

Lx1

, para a carga entre A e S

( 0 x1 x

0) e igual a x

0

-x0

Lx

1

, para a carga entre S e B ( x

0

x1 L ) .

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O valor do momento flector na seco B nulo e a rotao do n B igual ax1 L

2 - x12( )

6 L EI

Para a carga na barra 2, tem-se

X 0t = 0 0 0 0[ ] e ut = 0 0 x2 ( L - x2) (2L -x2 )

6 L E Ix2 (L-x 2 ) (L + x2)

6 L E I

,

e tanto o momento flector nas seces S e B, como a rotao do n B, so nulos.

O valor da descontinuidade associada incgnita hipersttica toma o valor,

v 0 =x1 ( L - x1) ( L + x1 )

6 L E I,

quando a carga se encontra na barra 1 e,

v 0 =x2 ( L - x2 ) (2L - x2 )

6 L E I,

quando a carga mvel actua na barra 2.

- Equao do Mtodo das Foras

Tendo em conta a equao de compatibilidade F * p + v0 = 0( , obtm-se para a incgnitahipersttica os seguintes valores:- carga na barra 1 p = -

x1 ( L - x1 ) (L + x1)

4 L2;

- carga na barra 2 p = -x2 ( L - x2) (2L -x 2)

4 L2.

Estas expresses correspondem funo de influncia do momento flector na seco B.

- Sobreposio de efeitos. Obteno das expresses das linhas de influncia

Para se obterem as expresses da funo de influncia do momento flector em S basta sobrepor a

soluo complementar com a soluo particular.

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Linha de influncia do momento flector na seco S

- carga mvel na barra 1

MS = -x1 ( L - x1) (L + x1)

4 L2x0 L

+

1 -x0

L

x1

0

x1

x

0

x0 -x 0L

x1 x0 x1 L

,

ou simplificando,

MS =

1 -5 x 04 L

x1

+x0

4 L3x1

3 0 x1 x0

x0 -5 x0

4 L

x1 +x 0

4 L3 x1

3 x0 x1 L

.


MS = -x2 ( L - x2) (2L -x2 )

4 L2 x 0L

= -x0

4 L32 L2 x2 - 3 L x2

2 + x23( ) .

Linha de influncia do momento flector na seco B


MB = p = -x1 (L-x1) (L + x1 )

4 L2,


M B = p = -x2 ( L - x2 ) (2L - x2)

4 L2 .

Linha de influncia da rotao do n B


B = -x1 ( L - x1 ) (L + x1)

4 L2

L

3 E I+

x1 L2 - x1

2( )6 L EI

,

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ou simplificando,

B =x1 L

2 - x12( )

12 L EI.


B = -x2 ( L - x2) (2L -x 2)

4 L2

L

3 EI= -

L

6 EIx2 +

1

4 EIx2

2-

1

12 L EIx2

3 .

Mtodo Directo Associado ao Mtodo dos Deslocamentos

A resoluo da estrutura para a aco da carga mvel unitria feita recorrendo ao mtodo dos

deslocamentos. Para tal necessrio identificar os deslocamentos independentes e determinar as

parcelas complementar e particular da soluo. A parcela complementar resulta da imposio dos

deslocamentos independentes unitrios. Na parcela particular deve-se considerar separadamente a

actuao isolada da carga rolante em cada um dos elementos de barra que constituem o caminho de

rolamento. A soluo da estrutura obtida por meio da imposio do equilbrio de foras associadas

aos deslocamentos independentes.

Descrio do mtodo


Determinao do grau de indeterminao cinemtica ; Escolha dos deslocamentos independentes; Parcela complementar: Clculo das foras de fixao associadas aos deslocamentos

independentes, obteno dos termos da matriz de rigidez e da parcela complementar do esforo,reaco de apoio ou deslocamento do qual se pretende a linha de influncia Ec;

Considerando separadamente a actuao da carga unitria em cada elemento de barra pertencente

ao caminho de rolamento: Parcela particular: Aplicao da carga mvel unitria, determinao das foras de fixao e

da parcela particular do esforo, reaco de apoio ou deslocamento do qual se pretende alinha de influncia E0;

Resoluo da equao do mtodo dos deslocamentos: (K q + Q0 = QN), obteno das

expresses das funes de influncia dos deslocamentos q para a actuao da carga no

elemento de barra considerado;

Obteno da expresso da funo de influncia para a actuao da carga no elemento de

barra considerado a partir da sobreposio de efeitos : E = Ec q + E0.

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Comentrios

A soluo obtida para a equao do mtodo dos deslocamentos corresponde funo de influncia

dos deslocamentos independentes.


deslocamento na estrutura bloqueada.

Exemplo de aplicao

- Deslocamentos independentes e anlise da soluo complementar

Na figura 10a indica-se qual o deslocamento independente escolhido, a rotao do n B. A soluo

complementar obtida impondo um valor unitrio para este deslocamento. Na figura 10b apresenta-sea distribuio de momentos flectores associada soluo complementar.

Figura 10a Figura 10b

Tendo em conta as caractersticas geomtricas e mecnicas da estrutura, a soluo complementar

permite obter a seguinte matriz de rigidez da estrutura,

K =6 E I

L

.

O momento flector na seco S na soluo complementar igual a3 E I

L2x0 . O momento flector na

seco B, considerando-a como seco final da barra 1, igual a

3 E I

L , e a rotao do n B tomaum valor unitrio.

- Soluo particular

Na anlise da aco da carga mvel necessrio considerar separadamente a colocao da carga em

cada um dos tramos. Nas figuras 11a e 11b apresenta-se a distribuio de momentos flectores

referentes ao caso em que a carga mvel se encontra na barra 1 e na barra 2, respectivamente.

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Figura 11a Figura 11b

A aco da carga mvel quantificada a partir do vector das foras de fixao. Assim, para a carga na

barra 1 obtm-se,

Q0 = - x1 L

2

- x12

( )2 L2

,

sendo o momento flector na seco S igual a

x1 +x1

3 - 3 L2 x12 L3

x 0

, para a carga entre A e S ( 0 x1 x0 )

e igual a

x 0 +

x13 - 3 L2 x1

2 L3 x0

, para a carga entre S e B ( x0 x1 L ) .

O momento flector na seco B igual a -x1 L

2 - x12( )

2 L2, e a rotao do n B nula.

Para a carga na barra 2, tem-se

Q0 =x2 L - x2( ) 2 L - x2( )

2 L2

,

e valores nulos para o momento flector nas seces S e B, e para a rotao do n B.

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- Equao do Mtodo dos Deslocamentos

Tendo em conta a equao de equilbrio K q + Q0 = QN( ), obtm-se para a rotao do n B osseguintes valores:

- carga na barra 1 q =x1 (L

2 - x12

)

12 L EI;

- carga na barra 2 q = -x2 L - x2( ) 2L -x 2( )

12 L EI.

Estas expresses correspondem funo de influncia da rotao do n B.

- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia

Para se obterem as expresses da funo de influncia do momento flector em S, basta sobrepor a

soluo complementar com a soluo particular,


MS = x1 (L2

- x12

)12 L E I

3 E IL2

x0 +

x1 +x1

3 - 3 L2 x1

2 L3 x0 0 x1 x0

x 0 +x1

3 - 3 L2 x12 L3

x0 x0 x1 L

,

ou simplificando,

MS =

1 -5 x 04 L

x1

+x0

4 L3x1

3 0 x1 x0

x0 -5 x04 L

x1 +x0

4 L3x1

3 x0 x1 L

.


MS = -x2 L - x2( ) 2 L - x2( )

12 L EI

3 E I

L2x0 = -

x04 L3

2 L2 x 2 - 3 L x22 + x2

3( ) .

Como era de esperar, a expresso obtida para a linha de influncia do momento flector na seco S

idntica obtida recorrendo ao mtodo das foras. O seu traado apresentado na figura 12.

A funo de influncia do momento flector na seco B determinada da mesma forma, tomando os

seguintes valores:

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MB =x1 (L

2 - x12

)

12 L E I

3 E I

L-

x1 L2 - x1

2( )2 L2

= -x1 L

2 - x12( )

4 L2 .


M B = -x2 L - x 2( ) 2L -x2( )

12 L EI

3 E I

L= -

x2 L - x2( ) 2L -x 2( )4 L2

.

Figura 12

A expresso obtida para a funo de influncia do momento flector na seco B idntica obtida

utilizando o mtodo das foras. O traado da respectiva linha de influncia apresentado na

figura 13.

Figura 13

Na figura 14 apresenta-se o traado da linha de influncia da rotao do n B, a qual corresponde

funo de influncia do deslocamento independente, q, utilizado na resoluo deste problema.

Figura 14

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MTODO INDIRECTO PARA A DETERMINAO

DE LINHAS DE INFLUNCIA

Princpios gerais

- Linhas de influncia de esforos ou de reaces de apoio

O mtodo indirecto para a determinao de linhas de influncia de esforos decorre da aplicao do

teorema de Mller-Breslau. Este teorema tem o seguinte enunciado:

Este teorema vlido na hiptese dos pequenos deslocamentos e deformaes. No caso de estruturas

hiperstticas, necessrio garantir a linearidade fsica (comportamento elstico e linear).

Este resultado no mais do que uma aplicao do Princpio da Dualidade, visto que exprime adualidade entre relaes de equilbrio e compatibilidade na forma: se X x0 = f x,x0( )[ ]x entoverifica-se que x = f x,x 0( )[ ]ux0 desde que o deslocamento x seja o deslocamentocorrespondente fora x e a deformao u x0 seja a correspondente ao esforo X x0 .

Para o caso das reaces de apoio, devido ao facto de se tratar de foras exteriores, necessrioadaptar estas relaes da seguinte forma: R = f x( )[ ]x e x = - f x( )[ ]r , representando r odeslocamento correspondente reaco de apoio R.

Assim, a determinao das linhas de influncia de esforos e reaces pode ser considerada como a

determinao da deformada do caminho de rolamento, na direco e sentido da carga mvel, sob a

aco da descontinuidade unitria dual do esforo ou da reaco pretendida.

Figura 15

O valor da ordenada da linha de influncia de um determinado esforo na seco de abcissa x0, X x0 ,

provocado por uma fora unitria, x=1, igual ao deslocamento, x , correspondente a x, obtido a

partir da introduo da deformao unitria associada ao esforo X, ux0

=1.

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As deformaes unitrias positivas a considerar para o caso do momento flector, esforo transverso e

esforo normal encontram-se representadas na figura 15.

- Linhas de influncia de deslocamentos

O mtodo indirecto aplicado determinao das linhas de influncia de deslocamentos corresponde a

uma aplicao do Teorema da Reciprocidade:

O valor do deslocamento na seco x0, x0 , quando a carga mvel unitria, x=1, actua na seco de

abcissa x, igual ao valor do deslocamento da seco de abcissa x, x, quando se aplica uma carga

unitria, x0 , na seco de abcissa x0.

Esta relao pode ser escrita na forma: se x0 = f x,x0( )[ ] x ento verifica-se que x = f x,x0( )[ ]x0 , desde que o deslocamento x seja o deslocamento correspondente fora x ea fora x0 seja a correspondente ao deslocamento x0 .

Este resultado vlido dentro das hipteses de linearidade fsica e geomtrica.

Assim, a determinao das linhas de influncia de deslocamentos pode ser considerada como a

determinao da deformada do caminho de rolamento, na direco e sentido da carga mvel, sob a

aco da fora generalizada unitria correspondente ao deslocamento em anlise.

Mtodo Indirecto Aplicado a Estruturas Isostticas

A aplicao do mtodo indirecto determinao de linhas de influncia em estruturas isostticas faz-se

a partir da aplicao dos teoremas enunciados. Assim, a determinao das linhas de influncia em

estruturas isostticas corresponde determinao da deformada do caminho de rolamento quando da

actuao da descontinuidade unitria correspondente.

No caso de esforos ou reaces, as linhas de influncia correspondentes sero definidas por troos

rectos. Este facto deve-se a que a introduo de uma deformao ou de um deslocamento de apoio

numa estrutura isosttica, por se realizar atravs da introduo da libertao correspondente, no

provoca esforos. Sendo assim, as deformaes so nulas e a deformada unicamente devida aos

deslocamentos de corpo rgido dos vrios elementos.

No caso de deslocamentos em estruturas isostticas em que os diferentes elementos de barra

apresentam seces constantes, as correspondentes linhas de influncia sero constitudas por troospolinomiais de grau no superior ao terceiro. As deformadas cbicas justificam-se pelo facto da

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18

curvatura, em peas rectas de seco transversal constante, ser proporcional ao momento flector, o

qual apresenta um andamento linear tendo em conta que o carregamento constitudo apenas por

cargas concentradas unitrias.

Exemplo de aplicao

Considere-se a estrutura representada na figura 16, para a qual se pretende determinar as linhas deinfluncia do momento flector na seco S1, do esforo transverso na seco S2, da reaco vertical

no apoio C e do deslocamento vertical da seco B, utilizando o mtodo indirecto.

Figura 16

- Linha de influncia do momento flector em S1

Utilizando o mtodo indirecto, a linha de influncia do momento flector na seco S1 corresponde

deformada da estrutura devida introduo de uma deformao unitria correspondente ao momento

flector na seco S1. Na figura 17 apresenta-se o traado desta deformada, indicando-se os valores

teis para a sua completa definio.

Figura 17

Saliente-se o facto da linha de influncia do momento flector ser expressa em unidades de

comprimento, neste caso metro.

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19

- Linha de influncia do esforo transverso em S2

A linha de influncia do esforo transverso na seco S2 corresponde deformada da estrutura devida

introduo de uma deformao unitria correspondente ao esforo transverso na seco S2. Na

figura 18 apresenta-se o traado desta deformada, indicando-se todos os valores necessrios suacompleta definio.

Figura 18

No caso do esforo transverso, os valores da funo de influncia so adimensionais

- Linha de influncia da reaco vertical no apoio C

A linha de influncia da reaco vertical no apoio C corresponde deformada da estrutura devida introduo de um deslocamento unitrio na direco e sentido desta reaco. Arbitrando para a

reaco de apoio o sentido positivo representado, a linha de influncia toma a configurao

apresentada na figura 19. Saliente-se que, tratando-se de uma linha de influncia de uma reaco de

apoio, so consideradas positivas as ordenadas marcadas no sentido inverso ao da carga mvel.

Figura 19

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20

- Linha de influncia do deslocamento vertical da seco B

A linha de influncia do deslocamento vertical da seco B corresponde deformada da estrutura

quando da aplicao de uma fora unitria com a direco e o sentido do deslocamento. O clculo

desta deformada feito com base na distribuio de esforos que esta fora origina na estrutura.

Figura 20

Tendo em conta o diagrama de momentos flectores apresentado na figura 20, possvel concluir queapenas a barra AB se deforma pois s neste troo da estrutura os esforos so no nulos. Assim,

considerando apenas a deformabilidade por flexo, possvel determinar qual o deslocamento vertical

do ponto B, =L3

3 EI=

43

3 EIe, com base neste deslocamento, a deformada do troo BF.

Figura 21

Na figura 21 apresenta-se o traado da linha de influncia do deslocamento vertical da seco B. Para

o troo AB a funo de influncia apresenta a seguinte expresso:

vC =L3

3 EI

3 x2

2 L2

x3

2 L3

em que 0 x L e L = 4m .

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21

Mtodo Indirecto Aplicado a Estruturas Hiperstticas

Para o caso de estruturas hiperstticas o procedimento a utilizar em tudo semelhante, havendo no

entanto que utilizar o Mtodo das Foras ou o Mtodo dos Deslocamentos para a resoluo da

estrutura. Nos pargrafos seguintes descrevem-se sucintamente estes dois mtodos exemplificando-sea sua aplicao recorrendo determinao das linhas de influncia do momento flector nas seces S e

B e da rotao do n B da viga contnua utilizada no mtodo directo, figuras 7a e 7b.

Mtodo Indirecto Associado ao Mtodo das Foras

A resoluo da estrutura, sob a aco da descontinuidade unitria correspondente grandeza para a

qual se pretende a funo de influncia, feita recorrendo ao mtodo das foras. Para tal necessrio,

com base na escolha de um sistema base isosttico, determinar as parcelas complementar e particular

da soluo. A parcela complementar resulta da actuao das incgnitas hiperstticas unitrias. Na

parcela particular deve-se considerar a actuao da descontinuidade unitria para cada uma das linhas

de influncia a determinar. A soluo da estrutura obtida por meio da imposio da compatibilidade

ao nvel dos deslocamentos associados s incgnitas hiperstticas. As equaes obtidas para a

deformada do caminho de rolamento correspondem s expresses das funes de influncia.

Descrio do mtodo


Determinao do grau de indeterminao esttica, ; Escolha de um sistema base por meio da libertao de ligaes independentes; Parcela complementar: Clculo dos esforos e deformaes associados s incgnitas

hiperstticas, obteno dos termos da matriz de flexibilidade e da parcela complementar dadeformada do caminho de rolamento c;

Para cada linha de influncia a determinar:

Parcela particular: Aplicao da descontinuidade unitria, determinao dos esforos e

deformaes, determinao dos deslocamentos associados s incgnitas hiperstticas e daparcela particular da deformada do caminho de rolamento 0;

Resoluo da equao do mtodo das Foras (F p + v0 = 0), obteno dos valores das

incgnitas hiperstticas p;

Obteno da expresso da deformada da estrutura, a qual corresponde funo deinfluncia, a partir da sobreposio de efeitos : = c p + 0.

Comentrios

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22


deslocamento na estrutura isosttica que serve de sistema base.

No caso da determinao de funes de influncia de deslocamentos, o clculo dos valores dos

deslocamentos no sistema base para a actuao das incgnitas hiperstticas unitrias e para a actuaoda carga mvel unitria poder revestir-se de alguma complexidade se no se colocar um n na seco

cujo deslocamento se pretende determinar.

No caso da determinao de linhas de influncia de esforos ou de reaces de apoio, os esforos na

parcela particular so nulos, sendo a deformada constituda unicamente por troos lineares.

Exemplo de aplicao

Para ilustrar a aplicao do Mtodo Indirecto associado ao Mtodo das Foras, utilizado o exemploapresentado anteriormente para a determinao de linhas de influncia pelo mtodo directo em

estruturas hiperstticas, representado nas figuras 7a e 7b.

- Escolha do sistema base e anlise da soluo complementar

Quando do estudo deste exemplo para aplicao do Mtodo Directo associado ao Mtodo das

Foras, j foi analisada a parcela complementar tendo sido obtida a matriz de equilbrio,

B

t

= 0 1 1 0[ ] , e a matriz de flexibilidade da estrutura F* =2 L

3 E I

.

Alm destes dois operadores, torna-se necessrio obter a expresso da deformada na parcela

particular. Tendo em conta unicamente a deformabilidade de flexo, e com base no diagrama de

momentos flectores representado na figura 8b, possvel obter a seguinte deformada:

elemento de barra 1

c1 =L

6 EI

x1 -x1

3

L2

;

elemento de barra 2

c1 =L

6 EI2 x2 - 3

x22

L+

x23

L2

;

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23


-Soluo particular

Neste caso, a soluo particular corresponde deformada da estrutura sob a aco da

descontinuidade unitria de flexo na seco S. Na figura 22 representa-se a aplicao desta

descontinuidade.

Figura 22

O valor do deslocamento associado incgnita hipersttica devido aco da descontinuidade unitria,

como se indica na figura 22, dado por:

v 0 =x0

L.

O mesmo resultado podia ser obtido por dualidade, v 0 = Bt

u0 , em que o operador B agrupa os

momentos flectores na seco S devidos s incgnitas hiperstticas unitrias, e u0 representa adeformao de flexo imposta na seco S.

A parcela particular da deformada da estrutura expressa na forma:

Barra 1

0 =1 -

x0

L

x1 0 x1 x0

1 - x1L x0 x0 x1 L

Barra 2

0 = 0

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24


Tendo em conta a equao de compatibilidade F*

p + v0 = 0( , obtm-se para a incgnitahipersttica o valor p = -

3 EI

2 L2

x0 .

- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia do momento flector em S



- carga mvel na barra 1, deformada da barra 1

MS =L

6 EIx1 -

x13

L2

-

3 EI

2 L2x 0

+

1 -x 0

L

x1 0 x1 x 0

1 -x1

L

x0 x0 x1 L

,

ou simplificando,

MS =

1 -5 x 04 L

x1

+x0

4 L3x1

3 0 x1 x0

x0 -5 x04 L

x1 +x 0

4 L3x1

3 x0 x1 L

.


MS =L

6 EI2 x2 - 3

x22

L+

x23

L2

-

3 EI

2 L2 x0

= -

x04 L3

2 L2 x2 - 3 L x22 + x2

3( )


-Soluo particular

Tendo em conta o facto da incgnita hipersttica coincidir com a grandeza para a qual se pretende

determinar a funo de influncia, a deformada correspondente soluo particular nula. Contudo, o

valor do deslocamento associado incgnita hipersttica toma um valor unitrio,

v 0 = 1 ,

como se pode verificar a partir da representao apresentada na figura 23.

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25

Figura 23




3 EI

2 L.

- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia do momento flector em B

Para se obterem as expresses da funo de influncia do momento flector em B, basta considerar a

soluo complementar,


MB =L

6 EIx1 -

x13

L2

-

3 EI2 L

= -

x1 L2 - x1

2( )4 L2

.


M B =L

6 EI2 x2 - 3

x22

L+

x23

L2

-

3 EI

2 L

= -

x2 L - x2( ) 2 L - x2( )4 L2

.


-Soluo particular

Figura 24

Para se obter a linha de influncia da rotao do n B, necessrio determinar qual a deformada da

estrutura devida actuao de um momento unitrio em B. Assim, a anlise da soluo particular

corresponde ao clculo da deformada da estrutura e do valor da descontinuidade associada incgnita

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26

hipersttica para a actuao deste momento unitrio. Na figura 24 apresenta-se a configurao da

deformada para a soluo particular,

- elemento de barra 1

0 =L

6 EIx1 -

x13L2

;

- elemento de barra 2

0 = 0 .

A descontinuidade associada incgnita hipersttica igual a v 0 =L

3 EI.




1

2.

- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia da rotao do n B

Para se obterem as expresses da funo de influncia da rotao do n B, basta sobrepor a soluo

complementar com a soluo particular,


B =L

6 EIx1 -

x13

L2

-

12

+

L6 EI

x1 -x1

3L2

=

x1 L2 - x1

2( )12 L EI

,


B =L

6 EI2 x2 - 3

x22

L+

x23

L2

-

1

2

= -

x2 L - x2( ) 2L -x 2( )12 L EI

.

Mtodo Indirecto Associado ao Mtodo dos Deslocamentos

A aplicao do mtodo indirecto na determinao de linhas de influncia baseia-se na utilizao do

Teorema de Mller-Breslau ou do Teorema da Reciprocidade recorrendo ao mtodo dos

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deslocamentos para a resoluo da estrutura.

A estrutura deve considerar-se solicitada pela aco unitria (deslocamento, deformao ou fora)

associada grandeza (reaco, esforo ou deslocamento) para a qual se pretende a linha de influncia.

A aplicao desta aco induz na estrutura campos de esforos e deslocamentos. O deslocamento docaminho de rolamento na direco e sentido da carga rolante corresponde ao traado da linha de

influncia.

No caso de estruturas hipercinemticas ( > 0), a resoluo da estrutura para a aco unitria podeser feita recorrendo ao mtodo dos deslocamentos, o que corresponde aplicao do mtodo

indirecto associado ao mtodo dos deslocamentos.

Descrio do mtodo


Determinao dos deslocamentos independentes; Soluo complementar: Traado das deformadas, obteno dos termos da matriz de rigidez e da

parcela complementar da deformada do caminho de rolamento, c; Soluo particular: Aplicao da descontinuidade unitria, determinao dos vectores Q0 e QN,

determinao da soluo particular para a deformada do caminho de rolamento 0; Resoluo da equao do mtodo dos deslocamentos (K q + Q0 = QN), obteno dos

deslocamentos nodais q; Obteno da expresso da deformada do caminho de rolamento sobrepondo barra a barra a

soluo particular com a soluo complementar: = c q + 0.

Comentrios

No caso da determinao de linhas de influncia de reaces, haver lugar aplicao de um

deslocamento unitrio segundo a direco e sentido da reaco. A aco corresponde a um

assentamento de apoio unitrio, a deformada do caminho de rolamento corresponde linha de

influncia, tendo em conta que um deslocamento segundo o sentido da carga rolante corresponde a umvalor negativo da funo de influncia. H a considerar os termos Q0 e 0 sendo os termos QN nulos.

No caso da determinao de linhas de influncia de esforos, encontra-se tabelado o valor das foras

de fixao para a deformao unitria e a expresso da parcela particular da linha de influncia para osdiferentes elementos de barra. H a considerar os termos Q0 e 0 sendo os termos QN nulos.

No caso da determinao de linhas de influncia de deslocamentos, a descontinuidade unitria

corresponde aplicao de uma carga unitria. Se o deslocamento for um deslocamento nodal, existem

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apenas os termos QN sendo os termos Q0 nulos. No caso de deslocamentos de vo os termosQNso nulos, existindo os termos Q0, bem como a parcela particular 0.

Exemplo de aplicao

Para ilustrar a aplicao do Mtodo Indirecto associado ao Mtodo dos Deslocamentos utilizado o

exemplo apresentado anteriormente para a determinao de linhas de influncia em estruturas

hiperstticas, representado nas figuras 7a e 7b.

- Anlise da soluo complementar

A parcela complementar j foi analisada quando do estudo deste exemplo para aplicao do Mtodo

Directo associado ao Mtodo dos Deslocamentos, tendo sido obtida a matriz de rigidez da estrutura

K =6 E I

L

.

Alm da matriz de rigidez da estrutura, torna-se necessrio obter a expresso da deformada

correspondente parcela complementar. Tendo em conta unicamente a deformabilidade por flexo, e

com base no diagrama de momentos flectores representado na figura 10b, possvel obter a seguinte

expresso:

elemento de barra 1 c1 =

1

2 L2L2 x1 - x1

3( );

elemento de barra 2

c1 = -1

2 L2 2 L2 x2 - 3 L x2

2 + x23( );


-Soluo particular

Neste caso, a soluo particular corresponde deformada da estrutura sob a aco da

descontinuidade unitria de flexo na seco S. Na figura 25 representa-se a aco desta

descontinuidade no sistema base.

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29

Figura 25

O valor da fora de fixao devida aco da descontinuidade unitria, como se indica na figura 25,

dado por:

Q0 = -3 EI

L2x0 .


Barra 1

0 =

x1 - x0 +3x 02 L2

L - x1( )2 -x0

2 L3L - x1( )3 0 x1 x 0

3x 02 L2

L - x1( )2 -x0

2 L3L - x1( )3 x0 x1 L

Barra 2

0 = 0


Tendo em conta a equao de equilbrio K q + Q0 = QN( ), obtm-se para o deslocamentoindependente o valor q =

x 0

2 L

.

- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia do momento flector em S




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30

MS =L2 x1 - x1

32 L2

x 02 L

+x1 - x0 +

3x0 L - x1( )2

2 L2 -

x0 L - x1( )3

2 L30 x1 x0

3x 0 L - x1( )2 2 L2

-x0 L - x1( )3

2 L3x0 x1 L

ou simplificando,

MS =

1 -5 x 04 L

x1

+x0

4 L3x1

3 0 x1 x0

x0 -5 x04 L

x1 +x 0

4 L3x1

3 x0 x1 L

.


MS = -1

2 L22 L2 x2 - 3 L x2

2 + x23( ) x02 L

= -

x04 L3

2 L2 x2 - 3 L x22 + x2

3( )


-Soluo particular

Neste caso a soluo particular corresponde deformada da estrutura sob a aco da descontinuidade

unitria de flexo na seco B. Considerando a seco B como a seco final da barra 1, representa-se na figura 26 a aco desta descontinuidade no sistema base.

Figura 26

O valor da fora de fixao devida aco da descontinuidade unitria, como se indica na figura 26,

dado por:

Q0 = -3 EI

L.


Barra 1

0 = x1 - L +3

2 L L - x1( )2

-1

2 L2 L - x1( )3

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31

Barra 2

0 = 0



1

2.

- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia do momento flector em B.

Para se obterem as expresses da funo de influncia do momento flector em B, basta sobrepor asoluo complementar com a soluo particular,


MB =L2 x1 - x1

3

2 L2

1

2+ x1 - L +

3 L - x1( )2 2 L

-L - x1( )3

2 L2

= -

x1 L2 - x1

2( )4 L2


M B = -1

2 L22 L2 x2 - 3 L x2

2 + x23( ) 12

= -

x2 L - x2( ) 2 L - x2( )4 L2


Para se obter a linha de influncia da rotao do n B, necessrio determinar a deformada da

estrutura devida actuao de um momento unitrio em B. Assim, a soluo particular para esta acocorresponde ao anulamento do termo Q0 e da soluo particular da deformada 0, sendo a solicitaodevida simplesmente aco de QN = 1 .



L

6 EI

.

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- Sobreposio de efeitos. Obteno da expresso da linha de influncia da rotao do n B

As expresses da funo de influncia da rotao do n B, devido ao facto da soluo particular ser

nula, obtm-se multiplicando a soluo complementar pelo valor do deslocamento independente

obtido. Assim,


B =1

2 L2L

2x1 - x1

3( ) L6 EI

=x1 L

2 - x12( )

12 L EI;


B = -1

2 L22 L2 x2 - 3 L x2

2 + x23( ) L

6 EI= -

x2 L - x2( ) 2 L - x2( )12 L EI

.

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ESCOLHA DO MTODO DE CLCULO

O objectivo fundamental deste texto de apoio foi o de apresentar os principais mtodos para

determinao de linhas de influncia. Contudo, tem grande interesse reflectir sobre que mtodoescolher quando se pretende determinar linhas de influncia numa estrutura.

Estruturas Isostticas

A escolha do mtodo de clculo, para estruturas isostticas, limita-se opo entre o mtodo directo e

o mtodo indirecto, dependendo esta escolha do tipo de estrutura em causa.

No caso de vigas Gerber, ou vigas de rtulas, a utilizao do mtodo indirecto parece ser a mais

adequada visto que a simplicidade destas estruturas permite uma fcil determinao no s das

deformadas resultantes da imposio de deformaes unitrias (linhas de influncia de esforos ou

reaces) como tambm a determinao da deformada para a actuao de cargas unitrias (linhas de

influncia de deslocamentos).

No caso de linhas de influncia de esforos ou reaces em prticos isostticos, devido ao facto das

deformaes unitrias poderem induzir movimentos de corpo rgido mais complexos, , em geral,

aconselhvel a utilizao do mtodo directo. Para o caso da determinao de linhas de influncia de

deslocamentos neste tipo de estruturas, o mtodo indirecto parece ser de mais fcil aplicao.

Em trelias isostticas pretende-se geralmente a determinao das linhas de influncia dos esforos

normais nas barras. O mtodo mais eficiente para se proceder determinao destas linhas de

influncia consiste na determinao das linhas de influncia das reaces de apoio utilizando o mtodo

indirecto, aplicando-se em seguida as relaes de equilbrio, equilbrio de ns ou mtodo das seces,

para a determinao das linhas de influncia dos esforos normais nas barras.

Estruturas Hiperstticas

Se, no caso das estruturas isostticas, a escolha do mtodo se limita opo entre mtodo directo ou

mtodo indirecto, no caso das estruturas hiperstticas, alm desta escolha, necessrio optar pelo

mtodo das foras ou pelo mtodo dos deslocamentos para a resoluo da estrutura. Uma forma

simples de decidir qual o mtodo a utilizar para a resoluo da estrutura pode ser a comparao entre

o grau de indeterminao esttica, , e o grau de indeterminao cinemtica, . Assim, quando .

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34

Contudo, esta opo encontra-se tambm condicionada pelas ferramentas de clculo disponveis.

Presentemente, devido ao facto de ser menos condicionado pela topologia das estruturas, a maioria

dos programas de clculo automtico de estruturas tm como base a utilizao do mtodo dos

deslocamentos. Assim, tem-se generalizado a utilizao deste mtodo no clculo de linhas de influncia,

apesar de para alguns tipos de estruturas, como o caso das vigas contnuas, o mtodo das foras serde muito fcil aplicao.

Em relao utilizao do mtodo directo ou do mtodo indirecto na determinao de linhas de

influncia em estruturas hiperstticas necessrio no s ter em conta que linhas de influncia se

pretendem determinar mas tambm quantas linhas de influncia. Se o nmero de linhas de influncia a

determinar inferior ao grau de indeterminao da estrutura ( ou ), o mtodo geralmente utilizadoconsiste na utilizao do mtodo indirecto para a determinao de cada uma das linhas de influncia.

No entanto, se o nmero de linhas de influncia pretendidas superior ao grau de indeterminao da

estrutura, torna-se mais aconselhvel a utilizao de um mtodo misto.

Os mtodos mistos consistem na utilizao do mtodo directo ou do mtodo indirecto para o clculo

das linhas de influncia dos deslocamentos independentes ou das incgnitas hiperstticas, utilizando em

seguida a sobreposio de efeitos para a determinao das linhas de influncia pretendidas. Assim,

para a determinao de linhas de influncia utilizando o mtodo dos deslocamentos procede-se da

seguinte forma:

Determinar as linhas de influncia dos deslocamentos independentes, qi(x), utilizando o mtodo

directo ou o mtodo indirecto (em geral o mtodo indirecto);

Determinar a parcela particular que corresponde linha de influncia da grandeza pretendida,na estrutura bloqueada, E0(x). Este clculo pode ser feito utilizando o mtodo directo ou

indirecto (estes valores so tabelados e correspondem parcela particular do mtodo indirecto

associado ao mtodo dos deslocamentos);

Determinar o valor da grandeza da qual se pretende a linha de influncia, Eci , para a aco de

cada um dos deslocamentos independentes, qi;

Aplicar a sobreposio de efeitos E(x) = Eci qi(x)[ ]i=1

+ E0 (x) .

O procedimento para a aplicao do mtodo misto associado ao mtodo das foras em tudo

anlogo ao descrito para o mtodo dos deslocamentos. Assim:

Determinar as linhas de influncia das incgnitas hiperstticas, pi(x), utilizando o mtodo directo

ou o mtodo indirecto (em geral o mtodo indirecto);

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Determinar a parcela particular, que corresponde linha de influncia da grandeza pretendida,no sistema base, E0(x). Este clculo pode ser feito utilizando o mtodo directo ou indirecto

(estes valores coincidem com a linha de influncia na estrutura isosttica que serve de sistema

base);

Determinar o valor da grandeza da qual se pretende a linha de influncia, Eci , para a aco de

cada uma das incgnitas hiperstticas, pi ;

Aplicar a sobreposio de efeitos E(x) = Eci pi(x)[ ]i=1

+ E0(x) .

Quando se pretende automatizar o clculo de linhas de influncia, geralmente adoptado o mtodo

misto com base no mtodo dos deslocamentos. Na realidade, com base num programa de anlise de

estruturas pelo mtodo dos deslocamentos, com grande simplicidade que se adicionam as rotinasnecessrias ao clculo de linhas de influncia. Estas rotinas devero permitir o clculo das deformadas,

bem como das solues particulares para as linhas de influncia no elemento de barra.

CONCLUSES

Do que anteriormente foi exposto interessa sublinhar as seguintes ideias principais:

Uma funo de influncia estabelece os valores de determinada grandeza numa estrutura emfuno da posio de uma carga unitria, considerando-se que a carga pode ocupar diferentes

posies ao longo de um caminho de rolamento previamente definido;

Uma linha de influncia a representao grfica de uma funo de influncia quando se

considera como caminho de rolamento uma linha;

O mtodo directo para a determinao de funes de influncia consiste na determinao dos

valores da grandeza a determinar directamente a partir da resoluo da estrutura para a

posio genrica da carga unitria no caminho de rolamento;

O mtodo indirecto consiste na determinao dos deslocamentos, nas diferentes seces do

caminho de rolamento e segundo a direco e sentido da carga unitria, originados pela

imposio da descontinuidade unitria correspondente grandeza para a qual se pretende

determinar a linha de influncia;

No caso de estruturas hiperstticas, existe a necessidade de escolher qual o mtodo de anlise

estrutural para a resoluo da estrutura. No caso de estruturas reticuladas, a escolha reside na

opo entre o mtodo das foras e o mtodo dos deslocamentos.

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BIBLIOGRAFIA

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