FUNCIÓN LINEAL A INTERES SIMPLE

En el cuadernillo de ingreso se estudió en particular funciones de magnitudes proporcionales. En aquella oportunidad te entrenaste en tratar situaciones mediante modelos gráficos y algebraicos. Vale decir, confeccionaste tablas, gráficos y manipulaste expresiones algebraicas del tipo y = 0,8x. Este capítulo trata todas las situaciones cuya gráfica resulten rectas.Para iniciar, abordemos una situación de magnitud directamente proporcional que te permita recordar lo aprendido.

Situación: Una capacitación sobre Técnicas Innovadoras de Manejo del Instrumental Quirúrgico se cobra $35 por persona. Tomemos como x a la Cantidad de Personas que se inscribieron y abonaron el curso, e y la Recaudación total de dinero.

a) Confecciona una tabla que relacione la Recaudación según la Cantidad de personas.

b) Grafica la función.c) Determina la expresión algebraica para la función.d) El alquiler del salón donde dictar el curso sale $400. ¿Cuántas personas

deben inscribirse, cómo mínimo, para cubrir este gasto?

a) La Cantidad de Personas que se inscriban al curso podrían ser 0, 1, 2, 3, ... . Si por cada una da ellas ingresa $35, cuando sean 2 las inscriptas se habrá recaudado $35 x 2; si son 3, $35 x 3, etc. Con estos razonamientos ya podemos ir confeccionando la tabla:

X:Personas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y: $ 0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350

b) El gráfico será:

c) La expresión algebraica preserva las operaciones matemáticas empleada para la confección de la tabla. Será: y = 35·x.e)La respuesta la podemos dar mirando el gráfico: 12 o más personas.Otra forma de tratar este problema es mediante la confección de una ecuación: 400 ≤ 35 x, pues se pretende determinar el número x de personas que permitan una recaudación mínima de $400. Despejando en la inecuación:

≤ x

≤ x

11,42857143.... ≤ x

Veamos otra situación cuya gráfica es una recta, pero no corresponde a una función de proporcionalidad directa:Situación: Un comercio local adquirió los derechos exclusivos para ofrecer un espectáculo musical de Capital Federal, a través de cultura de la municipalidad. Su comisión es $500 más $1,50 por cada boleto que se venda.

Imagínate que eres el dueño del comercio local y estás interesado en hacer especulaciones respecto de la comisión -a ganar- dependiendo de los boletos que se vendan. Para manipular esta situación podemos recurrir a la confección de una tabla y gráficos similar a lo estudiado en el capítulo 9 del cuadernillo del curso de ingreso:x: cantidad de boletos vendidos.y: comisión

Les damos valores arbitrarios a x, producto de nuestra imaginación especulativa como dueños del comercio y obtenemos los correspondientes de y por medio de cálculos matemáticos. x 0 50 100 150 200 250 300y 50

01,5·50+500=575

1,5·100+500=650

1,5·150+500=725

1,5·200+500=800

…. ….

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO: 1) Completa la tabla con los cálculos y resultados faltantes.2) ¿Corresponde esta relación a una de magnitudes directamente proporcionales o inversamente proporcionales?El gráfico resultante es:

El gráfico de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el (0 ; 0) del sistema de ejes coordenados. La gráfica resultantes de la situación es una recta, pero no pasa por el (0 ; 0) sino por el (0;500). Luego, no es una función de proporcionalidad directa.

y = f( x )

Si observamos las cuentas que nos lleva a la obtención de y, podemos deducir la expresión algebraica de la función:

y = f( x) = 1,5·x + 500Situación: Una familia a lo largo de los meses del año 2002 logró mantener fijo su gasto de luz en $25, a pesar de la incidencia del tiempo.Si llamamos x a los meses del año e y al gasto de luz por mes, la tabla para esta situación sería:X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Y 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 La gráfica:

El gasto fue constante a lo largo de los meses, no hubo alguna variación.La expresión algebraica para esta gráfica es:

y = f( x ) = 25A- Definición de función linealLas funciones cuyas gráficas son líneas rectas las reconocemos como funciones lineales. Los casos de funciones lineales son:La recta y = k · x, correspondiente a una función de proporcionalidad directa.La recta y = k · x + b correspondiente a una recta que pasa por (0 ; b), y no por el (0;0) del sistema de ejes coordenados.La recta constante y = b, la cual gráficamente queda paralela al eje x.Los valores numéricos k y b son de importancia. Tienen nombres especiales. Identificaremos como pendiente de la recta al valor numérico k, y, como ordenada al origen al valor numérico b.

En la ecuación de la recta y = 1,5x + 500 la pendiente es 1,5 y la ordenada al origen es 500. La pendiente, 1,5 representa lo que gana por cada un boleto vendido. La ordenada al origen, 500 representa que cobrará aunque no haya vendido ningún boleto.En la ecuación de la recta y = 25 la pendiente es 0 y la ordenada al origen es 25. Gráficamente la recta no tiene inclinación, por eso su pendiente es 0.

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:

3) Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $500 aumente su valor a una razón constante de $50 por año durante los próximos 5 años.

a) Escriba la ecuación que prediga el valor de de la obra de arte en los próximos cinco años.

b) ¿Cuál será su valor tres años después de la fecha de adquisición?4) Supongamos que se ha aceptado un empleo como vendedor. El patrón ha dicho que el sueldo dependerá del número de unidades que venda a la

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semana. La variable y es el sueldo semanal; x, el número de unidades vendidas a la semana; y, la ecuación del sueldo es: y = 3x + 25:

a) ¿Cuánto es la pendiente?b) ¿Cuánto es la ordenada?c) Confecciona una tablad) Graficae) ¿Qué representa la pendiente en el contexto de esta situación? Es decir,

¿cómo se interpreta?, ¿qué significado tiene?f) ¿Qué representa la ordenada al origen? Es decir, ¿cómo se interpreta?

B- La ordenada al origenLa ordenada al origen es el valor de la función obtenido cuando la variable x se le asigna el valor 0. Gráficamente es el lugar sobre el eje y por donde pasa la recta. Si aplicamos esto en la actividad para el alumno 4):Haciendo x = 0, entonces y = 3· 0 + 25 = 0 + 25 = 25.25 es la ordenada al origen.En la gráfica:

Claramente se aprecia que la recta intercepta al eje y en 25.

C- La pendienteSituación: Juan González fabrica guitarras y posee una máquina cuyo costo fue de $2.250.- La empresa que se la vendió le informó que la vida de la misma era de 60.000 Hs., al cabo de la cuál el Sr. González la podía vender a un valor aproximado de $450. El Sr. González necesita saber cuanto debe ahorrar por hora para que al cabo de la vida útil pueda comprarse otra máquina de las mismas características.Supongamos que vivimos en un país sin inflación.

Entendemos que al pasar 60 000Hs de uso deberíamos tener $2 250, pero la guitarra la podremos vender como usada a una valor de $450. Entonces el dinero que necesito ahorrar a lo largo de las 60 000 Hs es: $2.250 - $450.

Dinero a ahorrar por hora de uso =

Debemos ahorrar 3 centavos de peso por cada hora.

Si x representa las horas de uso transcurrido, e y, el dinero a ahorrar, podemos confeccionar una tabla:

X 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Y 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 35

La ecuación algebraica que permite calcular el dinero a ahorrar en función de las horas de uso es:

Y = f( x) = 0,03xLa pendiente de la recta es 0,03.

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:5) Grafica la ecuación.

Situación: Una persona compra un auto para su uso familiar. Paga a la concesionaria $18 000, por la adquisición. Transcurridos tres años de uso lo vende a un valor de $9300. ¿Cuál fue la desvalorización por año del vehículo, suponiendo que ésta fue constante?

Si compra a $18 000 y vende a $9300, el dinero que perdió a lo largo de los tres años es: $9300 - $ 18 000. El resultado de esta resta será un valor negativo, el cual describe el estado de “pérdida” monetaria de la persona.

El auto, partiendo desde $18 000 pierde $2900 por cada año. Con esta información podemos confeccionar una tabla, donde x son los años transcurridos desde la compra e y el valor del auto:

x y0 180001 151002 122003 93004 64005 35006 600

Para obtener 15 100, hicimos 18000-2900; para obtener 12200, hicimos 15100-2900; y así continuamos hasta el final de la tabla Grafiquemos valor del vehículo en función de los años:

En el gráfico vemos que la ordenada al origen es 18000, pero ¿la pendiente?

3 - 0

9300 - 18000

La pendiente de la recta se define como la razón de la elevación al recorrido. De aquí:

Entonces la pendiente de la recta es -2900. Como tenemos los dos valores importantes de la recta, k y b, podemos dar la ecuación de la recta correspondiente a la gráfica y la tabla:

y = f ( x ) = - 2900 x + 18000

Situación: Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Estudia la demanda del público que tiene este comerciante, en función del precio.Llamemos x a la cantidad de rasuradoras que el público le compra, e y al precio por unidad de las rasuradoras. Con la información de la situación podemos armar la tabla:

X(Nº de

rasuradotas)

Y($)

20 2530 20

Llevemos estos dos puntos a un sistema de ejes coordenados:

Cuando el precio pasa de $25 a $20, la cantidad de rasuradoras compradas pasa de 20 a 30. Es decir, hay un descenso del número de rasuradoras demandadas a medida que el precio se incrementó.

ACTIVIDADES PARA EL ALUMNO:

CÁLCULOS DERIVADOS.En las situaciones anteriores se ha calculado el Capital Final, conociendo el Capital Inicial, el Período (tiempo) y la Tasa. Pueden darse situaciones donde el Capital Final sea dato, y la incógnita esté en el Capital Inicial, o en el Período, o en la Tasa. A continuación se presentan algunas situaciones.

25 -20

30 - 20

Situación: ¿A qué tasa de interés se hizo una colocación de $2700 que luego de permanecer depositada durante 4 meses permitió obtener una ganancia bruta de $162?Situación: ¿Durante cuánto tiempo fue necesario depositar $3600 para poder obtener una ganancia de $225 con una tasa de interés de 1,25% mensual?Situación: ¿Qué dinero debo invertir para que en 3 años se convierta en $12000 a una tasa del 20% anual?

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Descuento simple “D” Es la rebaja que se hace sobre un pagare o documento de crédito si se levantan o saldan antes de la fecha de vencimiento; el descuento es el interés que cobra quien presta dinero sobre la suma que entrega. 5 Todo documento de crédito tiene dos valores: el valor nominal y el valor escrito que se abona en la fecha de vencimiento y el valor efectivo actual o real que es el que tiene en el momento que se lo levanta

Actividad para el alumno:

Ejemplo 1 Por un préstamo de $3000 se cobra un interés de 10% pagadero cada tres meses en forma simple si se liquida en 60 días, ¿cuál es el valor al vencimiento y cuál es el importe de los intereses?

Ejemplo 2

Una persona descuenta un documento de $4.100  que se vence dentro de 3 meses y se actualiza mensualmente con el 3% mensual. Se pide calcular el descuento comercial simple y el valor que

.

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Descuento racional o matemático Recibe este nombre en razón de la prioridad que debería tener entre las distintas modalidades del descuento esta reflexión será obvia si consideramos que lo entregado en calidad de préstamo es el valor actual y el interés correspondiente tendría que calcularse sobre dicho valor.