GABARITO ITA -...

GABARITO ITA

MATEMÁTICA

PROVA 2016/2017

3

GABARITO ITA – MATEMÁTICA

NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária i2 = –1det M: determinante da matriz MM–1: inversa da matriz MMN: produto das matrizes M e NAB: segmento de reta- de extremidades nos pontos A e B[a, b] = { : }x a x b∈ ≤ ≤

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Questão 1

Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X ≠ Y. Considere as seguintes afirmações:

I. Existe uma bijeção f: X → Y.II. Existe uma função injetora g: Y → X.III. O número de funções injetoras f: X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y → X.

É (são) verdadeira( s)

A ( ) nenhuma delas.B ( ) apenas I.C ( ) apenas III.D ( ) apenas I e II.E ( ) todas.

Gabarito: Letra A.Os conjuntos x = {1} e y = {1, 2} satisfazem as condições do problema, nessas condições:I. Falsa, pois não existe bijeção f: X → Y.II. Falsa, pois não existe função injetora g: Y → XIII. Falsa, pois há duas funções injetoras f: X → Y e uma função sobrejetora g: Y → X.

4

GABARITO ITA – 15/12/2016

Questão 2

O número de soluções da equação (1 + secθ)(1 + cossecθ) = O, com θ E [–π,·π], é

A ( ) 0.B ( ) 1.C ( ) 2.D ( ) 3.E ( ) 4.

Gabarito: Letra A.

(1 + secθ)(1 + cossecθ) = O

Condição de existência:

cosθ ≠ 0 e senθ ≠0

θ ≠ 2π

+ kπ e θ ≠ kπ, k ∈

cosθ = –1 e senθ = –1

θ = π e θ = – 2π

Como θ é diferente de kπ e 2π

+kπ, não possui solução.

Questão 3

Sejam a, b, c, d ∈ . Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d – 140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d – b é

A ( ) –140.B ( ) –120.C ( ) 0.D ( ) 120.E ( ) 140.

5


Gabarito: Letra D.PG: a, b, c, dPA: a, b/2, c/4, d – 140 da PG: da PA:b a q

c a q

d a q

ba

c

b ac

a q a aq

q q q

=

=

=

= +

= +

= +

− + = → =

·

·

·

·

· ·

2

3

2

2

22 4

4

4

4 4 0

e i)

22

24 2

140

2 2140

2 2140

42

2

23

ii) ·

· ··

··

c bd

c bd

a q a qa q

aa

a

= + −

= + −

= + −

= + ·· 8 140

204080160

120

−

====

− =

abcd

d b

Questão 4

O maior valor de tg x, com x x=

∈

12

35

02

arcsen e é, ,π

A ( ) 1/4.B ( ) 1/3.C ( ) 1/2.D ( ) 2.E ( ) 3.

6


Gabarito: Letra B.

n

x

xx

x x

x

=

=

+= ⇒ = +

12

35

235

21

35

10 3 3

3

2

2

2

arc sen

sen

TgTg

Tg Tg

Tg −− + =

= =

∈ ⇒ =

10 3 0

13

3

04

13

1 2

1

Tg

Tg e Tg

Como x Tg

x

x x

x

.

[ , ]π

Questão 5

Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é

A ( ) 95

.

B ( ) 125

.

C ( ) 185

.

D ( ) 215

.

E ( ) 245

.

7


Gabarito: Letra C.

(3, 3)=A

: 2 2 0= ⇔ − =r y x x y

22�

�

Num quadrado as diagonais são iguais, perpendiculares e concorrem no ponto médio, além disso a medida da diagonal é 2 .

Assim,

22

2 3 3

2 1

6

10

1852 2

2=−

+⇔ = ⇒ = =

·S

Questão 6

Considere o sistema de equações

S

x y z

x y z

x y z

1 27 83

4 81 4010

2 54 247

2 3

2 3

2 3

+ + =

+ + =

+ + =

.

Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual a

A ( ) 0.B ( ) 3.C ( ) 6.D ( ) 9.E ( ) 12.

8


Gabarito: Letra C.

1 27 83

4 81 4010

2 54 247

1 27 8

2 3

2 3

2 3

2

x y z

x y z

x y z

xay

b cz

+ + =

+ + =

+ + =

= = =, e 33

Substituindo:

(I) a + b + c=3

(II) 4 a + 3 b + 5 c = 10

(III) 2 a + 2 b + 3 c = 7

Fazendo: (III) - 2(I), temos:

3 - 2 = 1 c c c

a b a b

a b

⇒ =

+ = ⇒ = −+ =

−

1

2 2

4 3 5

8 4

. Substituindo temos :

bb b

b

a

xx

yy y

zz

x y z

+ =

=

= −

= − ⇒ = −

= ⇒ = ⇒ = ±

= ⇒ =

+ + = −

3 5

3

1

11 1

273 9 3

81 2

1

22

3 .

++ + =3 2 6

9


Questão 7

O número de soluções inteiras da inequação 0 3 8 22 2≤ − + ≤x x x é

A ( ) 1.B ( ) 2.C ( ) 3.D ( ) 4.E ( ) 5.

Gabarito: Letra C.

3 8

3 8

9 48 64

2 2

2

x x x x

x x x x x

x x

+ ≤

+ ≤ ≠

+ +

,

· · ,

= 0 é solução

para 0

≤≤

+ + ≤

− ≤ ≤ −

x

x x

x

2

2 6 8 0

4 2

, com soluções:

Para valores inteiros de x:

I. x = −⇒

≤ − − ≤≤ ≤

4

0é solução

0 16 | 48 32| 2

0 2 (V)

II. x = 3 9 |27 24| 2

0 6 2 (F) − ⇒

≤ − − ≤≤ ≤

0

III. x = −⇒

≤ − − ≤≤ ≤

2

é solução

4 |12 16| 20 0 2 (V)

0

A inequação possui 3 soluções inteiras.

10


Questão 8

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-1,-2,-3,-4,-5}. Se C = {xy : x ∈ A e y ∈ B}, então o número de elementos de C é

A ( ) 10.B ( ) 11.C ( ) 12.D ( ) 12.E ( ) 14.

Gabarito: Letra E.

A\B –1 –2 –3 –4 –5

Logo, A · B possui 14 elementos distintos.

1 –1 –2 –3 –4 –5

2 –2 –4 –6 –8 –10

3 –3 –6 –9 –12 –15

4 –4 –8 –12 –16 –20

5 –5 –10 –15 –20 –25

11


Questão 9

Sejam 2 2 2 21 2 = {( ) : 1} {( , ) : ( 1) 25}S x, y y x e S x y x y∈ ≤ − = ∈ + + ≤ A área da região

S S é1 2∩

A ( ) 254

2π− .

B ( ) 254

1π− .

C ( ) 254π.

D ( ) 754

1π− .

E ( ) 754

2π− .

Gabarito: Letra A.Analisando os gráficos temos em sequência

y y = |x|

x

y y = |x| – 1

x1

–1

yy = ||x| – 1|

1

1

–1

yS1y = ||x| – 1|

1

1

–1

y ≥||x| – 1|

–1

–6

4

S2

x

y

–1x

y

2

x

A área será igual a 1/4 da área do círculo menos a área de um quandrado de lado 2 , assim

( )2 25 25

2 24 4

Sπ π⋅

= − = −

12


Questão 10

Sejam a, b, e, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:

l. a bb a(log ) (log )c c= .

II. ab

bc

ca

d d dc a b

log log log

III. log ( ) logab abc c=

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I.B ( ) apenas II.C ( ) apenas I e II.D ( ) apenas II e III.E ( ) todas.

Gabarito: Letra C.

I.

a kcb

cb

ba

bk

cb

ba

bk

ca

bk

log

loglog log

log log log

log log

( )

( )=

=

⋅ =

=

kk b ca

= log

Verdadeiro

II. ab

bc

ca

k

a

dc

da

db

dc

db

⋅

⋅

=

⋅−( )

log log log

log logbb c kd

adc

db

da

dc

db

da

db

log log log log

log log lolog log

−( ) −( )−( )

⋅ =

+gg log log log

log log

log log log l

da

dc

db

da

dc

dk

da

dc

db

−( ) −( )+ =

⋅ −( ) + oog log log log log log logdb

da

dc

dc

db

da

dk⋅ −( ) + ⋅ −( ) =

13


O

k ddk=

= =

log0 1

verdadeiro

III. log log

log

loglog

log log log

log

( )abbc

ac

abc

aab a

c

abc

ac

aab

ab

=

=

= ⋅

+ llog log log

log log log log log

log l

ac

ac

ab

ab

ac

ac

ac

ab

ab

= ⋅ +( )+ = + ⋅

=

1

oog logac

ab b⋅ ≠( )1

logac a c= ⇔ =1 (apenas neste caso a igualdade é válida, logo concluímos que o item III é falso.)

Falso.

Questão 11

Sejam D P=

100

020

003

e =

702

010

205

.

Considere A = P–1 DP. O valor de det (A2 + A) é

A ( ) 144.B ( ) 180.C ( ) 240.D ( ) 324.E ( ) 360.

Gabarito: Letra A .

A = P– 1 · D · P

A2 = P–1 · D · P · –1P · D · P

A2 = P–1 · D2 · P

14


Logo,

A2 + A = P–1 · D2 · P + P–1 · D2 · PA2 + A = P–1 · (D2 + D) · P

Det (A2 + A) = –1( )Det P · Det (D2 +D) · ( )Det P

Det (A2 + A) = Det (D2 + D)

2

2 0 0

+ = 0 6 0

0 0 12

D D

Det (A2 + A) = 2 · 6 · 12 = 144

Questão 12

Considere dois círculos no primeiro quadrante:

• C1 com com centro (x1, y1), raio r1 e área π

.16

• C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144π.

Sabendo que (x1, y1, r1) e (x2, y2, r2) são duas progressões geométricas com somas dos termos

iguais a 7

4 e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C1 e C2 é igual a

A ( ) 123.

2

B ( ) 129.

2

C ( ) 131.

2

D ( ) 135.

2

E ( ) 137.

2

15


Gabarito: Letra E.

Queremos a distância entre C1 e C2 que fica DC1 – C2 = x x y y1 2

2

1 2

2−( ) + −( )

Encontrando os raios

Área da circunferência C1

ππ

r

r C

1

2

1 1

1614

=

= ( )está no primeiro quadrante

Área da circunferência C2

π πrr C

2

2

2 2

14412=

= ( )está no primeiro quadrante

Como e estão em P.G.

Temos que e

x y r x y r

x r y x r1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2

, , , ,( ) ( )⋅ = ⋅ == y2

Como x y r

x y

yx

1 1 1

1 1

1

74

32

2

+ + =

+ =

=

e

.

x y rx y

y x

2 2 2

2 2

2 2

219

2 3

+ + =+ =

=e

.

Como x y

xx

x x

x y

1 1

1

1

1 1

1 1

32

232

2 3

112

+ =

+ =

+ =

= =e

x y

x xx y

2 2

2 2

2 2

9

2 3 93 6

+ =

+ == =e .

16


D x x y y

D

d

= −( ) + −( )

= −( ) + −

=

1 2

2

1 2

2

22

1 312

6

1372

.

Questão 13

Das afirmações:

I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2k – 1(2m – 1), em que k e m são inteiros positivos.

II. Existe um número [0, / 2]x ∈ π de tal modo que os números a1 = sen x, a2 = sen (x + π/4), a3 = sen (x + π/2) e a4 = sen (x + 3 π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.

III. Existe um número inteiro primo p tal que p é um número racional.

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I.B ( ) apenas II.C ( ) apenas III.D ( ) apenas I e II.E ( ) todas.

Gabarito: Letra A.

I. Verdadeira, pois se o número for ímpar ele é o produto de um por ele próprio, ou seja, 21–1 · (2m – 1), e se o número for par ele é o produto de um ímpar por uma potência de 2, ou seja, 2n – 1 (2m – 1).

II. Falsa, pois

17


( )

2 21 3 2

2

· a = a sen · sen ( + /2) = sen ( + /4)

2 sen · cos = sen + cos sen cos

2

1 (1 + 2 sen cos ) 2 sen cos = 1 + 2 sen cos2 0 = 1 F

a x x x

x x x x x x

x x x x x x

⇒ π π

⇒ ⇔

= ⇔

⇒ ⇔

Assim 2

1 3 2 · a a a≠

III. Falsa, pois 2

2 2

2 (a,b , b 0 e MDC (a,b) = 1) p = a = pb

a ap

b b= ∈ ≠ ⇒ ⇔

porém

um quadrado perfeito não pode ser igual a um não quadrado perfeito, assim p não pode ser racional.

Questão 14

Com os elementos 1, 2, ... , 10 são formadas todas as sequencias (a1, a2, ... , a7 ).Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é

A ( )

7

7!.

10 · 3!

B ( )

7

10!.

10 · 3!

C ( )

7

3!10 · 7!

D ( ) 3

10!.

10 · 7!

E ( ) 3

10!.

10

18


Gabarito: Letra B.

Casos favoráveis =

10 · 7!

7

Casos possíveis = 7 · · · · · · = 1010 10 10 10 10 10 10

7 7

7

10 10! · 7!7 7! · 3!P = · 7! =

10 10

10!P =

10 · 3!

Questão 15

Considere a equação

5012 2 250

2 ( )( – ) = .

( + b ) + 1a bi

a bia

+

O número de pares ordenados 2( , ) a b ∈ que satisfazem a equação é

A ( ) 500.B ( ) 501.C ( ) 502.D ( ) 503.E ( ) 504.

Gabarito: Letra D.

I. z a bi

z a bi

z a b

= −= +

= +2 2 2

19


II. zz

zz

z

zz

z

z

501

500

501

500

500

2

10

0

2

1

2

=+

=

≠

=+

=

é sol

Para temos:

.

,

| |

zz

t tt

t tt

t

Lo

serve

serve

500

500

2

1

21

2 02

1

+

⇒ =+

+ − == −

=

Seja|z| =

(~ )

( )

ggo z,| |= 1

III. zz

zz

zz

zz

z z

501

500501

1 002502

500502

1 002 500

2

1

2

1

=+

=+

⇒ =+

( )·

· · (.. 11

2

)

Como zz1 002

500 1

2. ·

( )+ = 1 vem:

Z502 = 1 ⇒ temos 502 soluções.

Total: 503 soluções

20


Questão 16

Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em cm2, é

A ( ) 3,36.B ( ) 3,60.C ( ) 4,20.D ( ) 4,48.E ( ) 6,72.

Gabarito: Letra A.Sabendo que 6, 8, 10 é um triângulo pitagórico, então:10 6 8

4810245

6 5

3657625

2

2 2 2

· ·h

h

h

BAM

h x

=

=

=

= + −( )

= +

Pitágoras no ∆

55 10

1 4

21 4

245

12

3 36

2− +

=

⋅= ⋅ ⋅ =

x x

x

AMN

x h

,

, ,

Área do ∆

5 – x 5

86

10

B M x N C

A

h

21


Questão 17

Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. entre O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,

A ( ) 18 + 3π.B ( ) 30 + 10π.C ( ) 18 + 6π.D ( ) 60 + 10π.E ( ) 36 + 6π.

Gabarito: Letra D.

5

560°

5

B CA

O perímetro da correia será igual a medida de seis segmentos BC, e seis arcos AB.

2 6 5 516

2 5 60 10p = +( ) + ⋅

= +( )π π cm.

22


Questão 18

O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈ 2 tais que a equação, em z ∈ ,

z2 + z + 2 – ( a + ib) = O

possua uma raiz puramente imaginária é

A ( ) uma circunferência.B ( ) uma parábola.C ( ) uma hipérbole.D ( ) uma reta.E ( ) duas retas paralelas.

Gabarito: Letra B.

z2 + z + 2 = a + ib

z = ki: substituindo na expressão temos:

–k2 + ki + 2 = a + bi

a = 2 – k2

b = k ⇒ a = 2 – b2.

b2 = 2 – a.

(b – 0)2 = a – 2–1

Parábola de vértice (2,0) e P = – 12

.

Questão 19

Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2/3, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é

A ( ) 120160

.

B ( ) 119154

.

23


C ( ) 110144

.

D ( ) 105135

.

E ( ) 119144

.

Gabarito: Letra E.

P P P k

Pk k

k

Pk

P

12

22

32

1

2 2

30 40 60

900 90023

600

1 60038

⋅ = ⋅ = ⋅ =

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =.

PPk

P3 33 60016

= ⇒ =.

Logo, a probabilidade de errar cada lançamento é:

PP P

P P

P P

1 1

2 2

3 3

113

158

156

= − =

= − =

= − =

A probabilidade de errar os três lançamentos é:

P P P PE = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 2 3

13

58

56

25144

Logo, a probabilidade de acertar ao menos um lançamento é:

P PE= − = − =1 125

144119144

24


Questão 20

Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectiva mente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que CD é bissetriz do ângulo

ACB e seja E um ponto do prolongamento de CD, na direção de D, tal que DBE DCB = . A medida, em cm, de CE é

A ( ) 11 6

3.

B ( ) 13 6

3.

C ( ) 17 6

3.

D ( ) 20 6

3.

E ( ) 25 6

3.

Gabarito: Letra E.

15

12

108

B C

D

EA

θθθ

Usando o Teorema das bissetrizes no triângulo ABCVamos encontrar:

AD BD= =8 12e

Usando Teo. de Stewart no triângulo ABC152 · 8 + 102 · 12 = 20 ( DC2 + 12 · 8)

DC2 = 54

DC = 3 6

O quadrilátero ACBE é inscritível logo

25


AD · BD = ED · DC

8 12 3 6

16 63

16 63

3 6

25 63

⋅ = ⋅

=

= +

= +

=

ED

DE

EC ED DC

EC

Questão 21

Considere as retas de equações

r y x a s y bx c: : ,= + = +2 e

em que a, b, c são reais. Sabendo que r e s são perpendiculares entre si, com r passando por (0,1) e s, por 2 4, ,( ) determine a área do triângulo formados pelas retas r, s e o eixo x.

Gabarito:

Se r⊥s, então b b2 12

2= − ⇔ =

−

0 1 1

2 4 5

2 12

25

22

0

,

,

: , : , ,

( )∈ ⇒ =

( )∈ ⇒ =

= + = − + −

r a

s c

r y x s y xAssim ∈

( )∈ =

r

s

,

, .5 2 0 2e tgθ

�

xθ

22

−

2�

5 2

2 5 22

21216

22

121 212

22

2

2

2

( ) + = +

⇔ =

= =Portanto S

26


Questão 22

Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação 43x–1> 34x.

Gabarito:

4 3x –1 > 3 4x

log 43x–1 > log 34x

(3x – 1)log4 > 4x · log33x · log4 – log4 > 4x · log3x (3 log4 – 4 log3) > log4x (6 log2 – 4 log3) > 2 log2x (4 log3 – 6 log2) < – 2 log2

x x<−

−⇒ <

−2 2

4 3 6 22 2

6 2 4 3log

log loglog

log log

Questão 23

Considere o· polinômio

p x x x x(x) ( ) ( ) ( ) .= − + + + − + +4 3 21 2 3 3 2 3 1 4 3 2

a) Determine os números reais a e b tais que p(x) = (x2 + ax +1)(x2 + bx+ 2).b) Determine as raízes de p(x).

Gabarito: a)

P(x) = (x2 + ax + 1) · (x2 + bx + 2)

Coef de x3:

ax3 + bx3 = (a + b)x3 ⇒ + = − −a b 1 2 3

Coef de x:

2ax + bx = (2a + b)x ⇒ + = − −2 1 4 3a b

27


Logo:

a b

a b

ab

+ = − −

+ = − −

= −= −

1 2 3

2 1 4 3

2 31

b)P x

x x x x

x x

x

x

( )

( ) · ( )

(II)

(II)

=

− + − + =

− + =

=±

= ±

0

2 3 1 2 0

2 3 1 0

2 3 82

3 2

2 2

2

2 −− + =

=± −

=±

x

xi

2 0

1 72

1 72

Questão 24

Sejam A e B dois conjuntos com 3 e 5 elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas f : B → A existem?

Gabarito: No funções: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243No funções sobrejetivas: TOTAL – (~ serve) = 243 – n(A, ∪A2, ∪A3)A1: funções tq a1 ∉ Im fA2: funções tq a2 ∉ Im fA3: funções tq a3 ∉ Im f

n(A1) = n(A2) = n(A3) = 25 = 32n(A1 ∩ A2) = n(A1 ∩ A3) = n(A2 ∩ A3) = 1n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 0n(A1 ∪ A2 ∪ A3) = 3 × 32 – 3 × 1 + 0 = 96 – 3 = 93

No funções sobrejetoras = 243 – 93 = 150

b1

b2

b3

b4

b5

a1

a2

a3

B A

28


Questão 25

Sejam A= {1, 2, ... , 29, 30} o conjunto dos números inteiros de 1 a 30 e (a1, a2, a3) uma progressão geométrica crescente com elementos de A e razão q > 1.

a) Determine todas as progressões geométricas (a1, a2, a3) de razão q = 32

.

b) Escreva q = mn

, com m, n ∈ e mdc(m, n) = 1. Determine o maior valor possível para n.

Gabarito:

a) (a1, a2, a3) = (23

a2, a2, 32

a2), assim

(a2 é míltiplo de 6 e 32

a2 < 30 ⇔ a2 < 20) a2 ∈ {6, 12, 18}

b) (a1, a2, a3) = (nm

a2, a2, mn

a2), assim

a2 é múltiplo de mn e menor que mn

q = mn

> 1 ⇔ m>n

Se n ≥ 5, a2 ≥ mn ≥ 30 (descartada, já que a2 < 30), já se n = 4, m pode ser 5, gerando a solução (16, 20, 25).

Assim o maior n é 4.

Questão 26

Esboce o gráfico da função ƒ: → dada por

f ( ) .x x= −−212

29


Gabarito:

yx

=

12

1

yx

=

12

1

yx

=

−

12

12

12

12

yx

=

−

12

12

12

30


Questão 27

Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impos sível:

x ay zx y z

x az

+ + =− − + = −

+ =

22 3 1

3 5.

Gabarito: Pela regra de Cramer, sabemos que:

α iiAA

=DetDet

( )( )

Para o sistema ser impossível (SI) temos:

(I) Det(A) = 0

1 11 2 3

3 07 6 7 6 0

1 6

2 2

a

aa a a a

a a

− − = + + ⇒ + + =

= − = −ou

(II) Det(Ai) ≠0

Det( )Aa

aa a a ax

2 11 2 3

5 011 10 11 10 02 2− − = + + ⇒ + + =

a ≠ –1 e a ≠ –10

Logo, a = –6

31


Questão 28

Um triângulo retângulo com hipotenusa c = +2 1 6( ) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em tornodo seu maior cateto.

b a

c

1

Gabarito:

Seja b o maior cateto c = +2 1 6( )

Área:

S=ab2

= prab2

a + b + c(I)

ab - c = a + b (ab - c) (a + b)

a b - 2 a

2

2 2

⇒ = ⇔

⇒ = ⇒

( )·

21

2

bbc +c =a + 2 ab +b

Pitágoras

a b - 2 abc - 2 ab= c

ab - 2 c - 2 ab = 2 (c

2 2 2

2 2

⇒

⇔⇔

++1) (II)

Substituindo (II) em (I):

ab = a +b+c +b+c⇒ + = ⇔2 1

2

( ) ac

cc + 2 = a + b + c a + b = c + 2(III)⇒

32


Montando a equação do 2o grau temos:

x (c+2) x+ 2 (c+1) =

c 4 · 2 · (c+1) c +4 c+4 8 c 8

2

2

−∆ = + − ⇒ ∆ = − −

⇔

c

( )2 2

∆∆ = − − ⇒ ∆ = + − + −

⇔ ∆ = + − − − ⇔ ∆ =

c 4c 4 ·

x= 6 o

2 [ ( ] ( )

( )

2 1 6 4 2 1 6 4

4 7 2 6 8 8 6 4 16

2

uu x= 4 + 6 a = 6 ou b = 4 + 6

A área total do cone é dada por:

S = S + S S =t B lat t

⇒

⇒ π rr + r g

S = a + ac

S = 6 + · 6 2+2 6

S = 6 +2 6 + 12 S = 2 9

2

t2

t2

t t

π

π π

π π

π π π π

⇒

⇒

( ) ( ) ⇔

⇔ ++ 6( )

Questão 29

Determine o conjunto das soluções reais da equação 32

12 2cossec tgx

x

− = .

Gabarito:

3

2

11

31

2

1

6 1

6

2

2 22

2

2

sentg sec

cos

cos cos

cos cos

co

xx x

x

x x

x x

= + = =

−=

= −

ss cos

coscos arc cos

co

2 1 0

1 24 25

1 512

13

13

2

x x

xx x k

+ − == + =

=− ±

= ↔ = ± +

∆

π

ss x x k=−

↔ = ± +1

223

2π

π

33


Questão 30

Considere o cubo ABCDEFGH de aresta 2 tal que: ABCD é o quadrado da base inferior; EFGH, o quadrado da base superior e AE BF CG DH, , e são as arestas verticais. Sejam L, M e N os pontos médios das arestas AB CG GH, ,e respectivamente. Determine a área do triângulo LMN.

Gabarito:

N

z

LMM

A

Dx

y

Coordenadas dos pontos L, M e N.

L = (0, 1, 0)M = (2, 2, 1)N = (2, 1, 2)LM

=

=

( , , )

LN ( , , )

2 1 1

2 0 2

S LM LNi j k

S i j k u a

LMN

LMN

= × =

= − − =

12

12

2 1 12 0 2

12

2 2 2 3

|| ||

.

..

34


Comentário de matemática

A prova abrangeu grande parte do programa de matemática e teve questões com uma ótima gradação de dificuldades. As questões mais difíceis foram a 05 de geometria analítica, a 08 de análise combinatória e a 17 de geometria plana e as questões mais difíceis foram a 15 de números complexos, a 20 de geometria plana e a 28 de geometria espacial. Mais uma vez a banca atingiu seus objetivos selecionando os melhores candidatos.

Professores:André FelipeAnderson IzidoroÁlvaroCarlos Eduardo (Cadu)Jean PierreSeccoThiago Esquian

35


QUANDO20 de dezembro de 20169:00h – 12:00ONDEA Prova será realizada em 14 unidades doElite no Rio de Janeiro.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:PORTUGUÊS

- Interpretação de texto- Frase, oração e período- Sintaxe- Orações: coordenadas, substantivas e adjetivas- Concordância nominal e verbal- Regência nominal e verbal- Morfossintaxe do que, se e como

MATEMÁTICA- Conjuntos e Funções- Produtos Notáveis e Fatoração- Sequências: PA e PG- Sistemas lineares- Análise combinatória- Trigonometria- Números complexos- Polinômios e Equações- Geometria plana

FÍSICA- Leis de Newton- Trabalho e Energia- Impulso e Quantidade de Movimento- Termologia e Dilatação-- Calorimetria e Termodinâmica- Hidrostática- Reflexão e Refração- Ondas

INSCRIÇÕESAs inscrições podem ser feitas nascoordenações das unidades do Elite de13/12 a 19/12.

www.sistemaeliterio.com.br

O QUE É O CDAAPÉ a unidade residencial do Sistema Elite deEnsino que visa reunir alunos oriundos doRio de Janeiro e de outros estados comaspirações extraordinárias, proporcionandoum ambiente saudável de cooperação,fraternidade e imersão nos estudos.

O QUE O CDAAP OFERECE- Quartos masculino e feminino isolados;- Ambientes climatizados;- Salas de estudo;- Alimentação: Café da manhã, almoço, lanche e jantar;- Acompanhamento psicopedagógico;- Monitoria de Matemática, Física, Química e Inglês;- Projeto de Redação e Escrita em Inglês (Writing Composition);- Treinamento para Olimpíadas de Matemática, Física e Química;

36


GABARITO ITA -...

Documents

Transcript of GABARITO ITA -...