GABARITO - 3a Lista de Exerccios

Universidade Federal da Bahia - UFBADepartamento de Ciencia da Computacao - DCC

MAT174 - Calculo Numerico

May 22, 2014

Questao 01 - Encontre uma raz da equacao abaixo utilizando os metodos abaixo, e em seguidafaca um comparativo dos resultados obtidos, sendo que:

= 0.01 (0, 1)

f(x) = x3 9x+ 3

a) Metodo da Bisseccao

k = 0 a0 = 0 b0 = 1 x = 0.5 f(x) = 1.375 f(a) = 3 f(a) f(x) < 0 |xk xk1| < (?) 0.5 > a1 = a0 b1 = x0

k = 1 a1 = 0 b1 = 0.5 x = 0.25 f(x) = 0.765625 f(a) = 3 f(a) f(x) > 0 |xk xk1| < (?) 0.25 > a2 = x1 b2 = b1

k = 2 a2 = 0.25 b2 = 0.5 x = 0.375 f(x) = 0.322265625 f(a) = 0.765625 f(a) f(x) < 0 |xk xk1| < (?) 0.125 > a3 = a2 b3 = x2

k = 3 a3 = 0.25 b3 = 0.375 x = 0.3125

1

f(x) = 0.218017578 f(a) = 0.765625 f(a) f(x) > 0 |xk xk1| < (?) 0.0625 > a4 = x3 b4 = b3

k = 4 a4 = 0.3125 b4 = 0.375 x = 0.34375 f(x) = 0.0531311035 f(a) = 0.218017578 f(a) f(x) < 0 |xk xk1| < (?) 0.03125 > a5 = a4 b5 = x4

k = 5 a5 = 0.3125 b5 = 0.34375 x = 0.328125 f(x) = 0.0822029114 f(a) = 0.218017578 f(a) f(x) > 0 |xk xk1| < (?) 0.015625 > a6 = x5 b6 = b5

k = 6 a6 = 0.328125 b6 = 0.34375 x = 0.3359375 f(x) = 0.0144743919 f(a) = 0.0822029114 f(a) f(x) > 0 |xk xk1| < (?) 0.0078125 < a7 = x6 b7 = b6

c) Metodo da Secante

k = 1 x2 = x1 f(xk)f(xk)f(xk1) (xk xk1) 1

f(x1)f(x1)f(x0) (x1 x0) = 0.375

|xk+1 xk| < (?) 0.625 > |f(xk+1)| = 0.322265625 >

k = 2 x3 = x2 f(xk)f(xk)f(xk1) (xk xk1) 0.375

f(x2)f(x2)f(x1) (x2 x1) = 0.331941545

|0.331941545 0.375| < (?) 0.043058455 > |f(xk+1)| = 0.049101137 >

k = 3 x4 = x3 f(xk)f(xk)f(xk1) (xk xk1) 0.331941545

f(x3)f(x3)f(x2) (x3 x2) = 0.337634621

|0.337634621 0.331941545| < (?) 0.005693076 < f(xk+1) = 0.002222052 <

2

Questao 02 - Encontre uma raz da equacao abaixo utilizando o Metodo de Newton, sendo que:

= 105

(2.44,0.38)

f(x) = x3 5x2 + x+ 3

Inicialmente devemos escolher qual ponto sera o nosso ponto de convergencia para aplicacaodo Metodo de Newton!

f(2.44) = 43.73f (2.44) = 14.64f(0.38) = 1.843f (0.38) = 12.28

k = 0 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x1 = x0

f(x0)f (x0)

= 1.42902

k = 1 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x2 = x1

f(x1)f (x1)

= 0.88937 |xk xk1| = |x1 x0| = 1.0111

k = 2 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x3 = x2

f(x2)f (x2)

= 0.68167 |xk xk1| = |x2 x1| = 0.5397

k = 3 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x4 = x3

f(x3)f (x3)

= 0.64673 |xk xk1| = |x3 x2| = 0.2077

k = 4 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x5 = x4

f(x4)f (x4)

= 0.64575 |xk xk1| = |x4 x3| = 0.03494

k = 5 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x6 = x5

f(x5)f (x5)

= 0.64575 |xk xk1| = |x5 x4| = 0.0009812

k = 6 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x7 = x6

f(x6)f (x6)

= 0, 645751311 |xk xk1| = |x6 x5| = 0.0000007666

3

x = x6 = 0, 64575

Questao 03 - Encontre uma raz da equacao abaixo utilizando o Metodo de Newton, sendo que:

= 2x0 = 1.5

Nessa questao, como ja foi passado o ponto x0 nao precisamos calcular a f (x) e verificarqual o ponto de convergencia do metodo !

Queremos iterar o metodo de Newton ate chegar bem proximo da nossa raz exata = 2.0

Sabemos que f (x) = 2x+ 1

k = 0 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x1 = x0

f(x0)f (x0)

= 2.06

k = 1 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x2 = x1

f(x1)f (x1)

= 2.000820313

k = 2 xk+1 = xk f(xk)f (xk) x3 = x2

f(x2)f (x2)

= 2

f(x) = x2 + x 6

Questao 04 - Encontre uma raz da equacao abaixo utilizando o Metodo da Iteracao Linear,sendo que:

= 103

x0 = 1.5

f(x) = x3 x 1

O primeiro passo para aplicacao do Metodo da Iteracao Linear (Ponto Fixo) e calcular afuncao de iteracao

(x) = 3x+ 1

(x) = x3 1

Para escolher entre uma das duas funcoes acima, precisamos verificar a convergencia dometodo:

4

|(x)| < 1(?)

(x0) =(x+1)

22

3 |(1.5)| = 0.18 < 1(x0) = 3x2 |(1.5)| = 675 1

A partir dos calculos acima, escolhemos nossa funcao de iteracao como sendo:

(x) = 3x+ 1

k = 0 xk+1 = F (xk) x1 = F (x0) = 1.35721

k = 1 xk+1 = F (xk) x2 = F (x1) = 1.33086 |xk xk1| < (?) = 0.14279 >

k = 2 xk+1 = F (xk) x3 = F (x2) = 1.32588 |xk xk1| < (?) = 0.02635 >

k = 3 xk+1 = F (xk) x4 = F (x3) = 1.32494 |xk xk1| < (?) = 0.00498 >

k = 4 xk+1 = F (xk) x5 = F (x4) = 1.35720 |xk xk1| < (?) = 0.00094 < x = 1.32494

5