GEOMETRIA PLANAIntrodução

Você vai iniciar, agora, o estudo de uma das ciências mais belas criadas pelo homem: a Geometria. Nascida da necessidade de medir terras, encontra-se hoje presente, em todos os momentos do nosso dia-a-dia, nos tamanhos e formas dos objetos que nos cercamNa Geometria admitimos a existência de três elementos intuitivos, isto é, sem definição: ponto, reta e plano. A partir desses três elementos são construídas todas as demais figuras geométricas. A bem da verdade, esses três elementos existem apenas em nossa imaginação. Tentaremos criar algumas imagens concretas para representar o ponto, a reta e o plano, com a finalidade de ajudar um pouco nossa intuiçãoUm pingo d’água, a cabeça de um alfinete, um grão de areia, a marca deixada por um lápis num papel são concretizações aproximadas da idéia de ponto; são aproximadas, pois o ponto geométrico não tem “tamanho”, isto é, não tem dimensão.Pense, agora, num barbante bem esticado: a figura obtida assemelha-se a um “pedaço” de reta; “pedaço”, pois a retatem que ser entendida como infinitamente “comprida” em ambos os sentidos. Da mesma forma, você pode visualizar um plano imaginando uma folha de papel bem esticada:

.

.

NOÇÕES PRIMITIVAS

• As noções primitivas são aceitas sem definição.• Adotaremos sem definir as noções de ponto, reta e

plano.

• PONTO

• A . ou B .

• Obs: As noções (conceitos, termos, entes) geométricos• são estabelecidas por meio de definição.

RETAPLANO

r

POSTULADOS OU AXIOMAS OU PROPOSIÇÕESPRIMITIVAS

• São proposições aceitas sem demonstração.

EXEMPLOPor um ponto passam infinitas retas.

• POSTULADO DA EXISTÊNCIA• Numa reta, bem como fora dela, há infinitos

pontos,

A є r , B є r , C є r

D r, E r, F r, G r∉ ∉ ∉ ∉

• Num plano , bem como fora dele, há infinitos pontos.

A Є α, B Є α, C Є αD α, E α∉ ∉

• POSTULADO DA DETERMINAÇÃO• Dois pontos distintos determinam uma única reta

que passa• por eles.

• r = AB

obs .expressão duas retas coincidentes é equivalentea uma única reta.

• Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

• α = (A, B, C)

POSTULADO DA INCLUSÃO• Se uma reta tem dois pontos distintos num

plano, então areta está contida nesse mesmo plano.

É ESSENCIAL SABER QUE:• Pontos coplanares são pontos que pertencem a um• mesmo plano.• Pontos colineares são pontos que pertencem a uma• mesma reta.• Figura é qualquer conjunto de pontos.• Figura plana é uma figura que tem todos os seus

pontos num mesmo plano.• Figura espacial é uma figura em que nem todos os• seus pontos estão em um mesmo plano.• Uma figura é convexa quando dois de seus pontos

definem sempre um segmento inteiramente contido nela

Notações gráficas• Pontos coplanares

Pontos colineares

Figura plana

Figura espacial

Figura convexa

Figura não convexa (côncava)

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS NO PLANO.

• CONCORRENTES

PARALELAS

Obs: A expressão duas retas coincidentes é equivalentea uma única reta.

RETA,SEMI - RETA E SEGMENTO DE RETA

• Considerando dois pontos distintos A e B, temos:

• A reta AB• O segmento AB• A semi-reta AB• A semi-reta BA

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

• Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente• se, uma extremidade de um coincide com uma extremidade• do outro

SEGMENTOS COLINEARES• Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se,• estão numa mesma reta.

• AB e CD são colineares (não são consecutivos)

• RS e ST são colineares (e consecutivos)

MN e NP são colineares (e consecutivos)

SEGMENTOS ADJACENTES• Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se e

somente se, possuem em comum apenas uma extremidade(não tem pontos internos comuns).

• RS e ST não são adjacentes• RS ∩ ST = ST

MN e NP são adjacentesMN ∩ NP = {N}

EXERCÍCIOS

• 01. Assinale as proposições verdadeiras:• (01) Por um ponto passam infinitas retas.• (02) Por três pontos dados passam uma só reta.• (04) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a• um plano, então a reta está contida nesse plano.• (08) Por dois pontos distintos passa uma reta.• (16) Três pontos distintos são sempre colineares.• (32) Duas retas distintas que têm um ponto comum são• concorrentes.• (64) Quatro pontos distintos são sempre coplanares.

• 02. Determine AB, sendo M ponto médio de AB:

ÂNGULOS

Definição

A Ô B

0 é o vértice do ângulo

0A e 0B são os lados

Figura geométrica formada por duas semi-retas de mesma origem.

Bissetriz• Semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

OM é a

bissetriz

OBSERVAÇÕES:

• 1) A distância de um ponto P a uma reta r é dada pela medida do segmento da perpendicular que vai de P à reta r.

• 2) Cada ponto da bissetriz de um ângulo está a igual distância dos dois lados

“A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos dois lados do ângulo”.

ÂNGULOS CONSECUTIVOS

• Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo

vértice e um lado comum.

AÔB e BÔCAÔB e AÔCBÔC e AÔC

ÂNGULOS ADJACENTES

• Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não têm pontos internos comuns

AÔB e BÔC

Medidas Angulares

SISTEMA SEXAGESIMAL

O ângulo reto se divide em 90º (noventa graus), cada grau em 60 (sessenta minutos) e cada minuto em 60’’ ’ (sessenta segundos).

1 reto = 90º 1º = 60’ 1’= 60’’.

SISTEMA CIRCULAR

• A medida de um ângulo central é dada em radiano pela

razão entre o comprimento do arco e o raio.

Na figura acima, o ângulo α, em radiano, é dado por

• Quando o comprimento do arco é igual ao raio temos um radiano

• . Tendo em vista que o comprimento da circunferência é C = 2πR, então a circunferência tem 2π rd.

• Se 2π rd corresponde a 360o, então:• π rad corresponde a 180o• Os problemas da conversão de medidas

de um sistema• para outro serão tratados em

Trigonometria.

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

ÂNGULOS REPLEMENTARES

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

DUAS PARALELAS CORTADAS PORUMA TRANSVERSAL

Ângulos de lados paralelos e ângulosde lados perpendiculares

• São congruentes se ambos são agudos ou ambos obtusos.• São suplementares se um é agudo e o outro obtuso.

EXERCÍCIOS1. Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios5 u. c. e 3 u.c., respectivamente. Sendo s1 o comprimentodo arco AB e s2, o comprimento do arco A’B’, então ovalor de s2 – s1, em unidade de comprimento, é aproximadamenteigual a:01) 0,5202) 1,0503) 1,5704) 3,1405) 4,71

• 2. Calcule a medida do complemento e do suplemento do ângulo que mede:

• a) 70º45’

• b) 85º50’’

• 03. O dobro do complemento de um ângulo,aumentado de 40º é igual a terça parte do suplemento do ângulo. Calcule

o suplemento do ângulo.

• 4.Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas• A soma α + β é igual a:• a) 200º• b) 180º • c) 170• d) 150º• e) 140º

TRIÂNGULO• Elementos do triângulo• Vértices: A, B e C• Lados: AB, AC, e BC• Ângulos Internos: α, β e γ• Ângulos Externos: α’, β’, γ’

Relação entre as medidas dos lados

• Cada lado de um triângulo é maior do que o módulo da

• diferença e menor do que a soma dos outros dois.

• | b – c | < a < b + c

• Ex.: Se 3 e 8 são as medidas de dois lados, o 3º lado é 5 < a < 11

Relação entre os ângulos• SOMA DOS ÂNGULOS• Em um triângulo qualquer:

• Si = A soma dos ângulos internos é 180º.

• Se = A soma dos três ângulos externos é 360º

ÂNGULO EXTERNO

• - Um ângulo externo e o interno consecutivos são

• suplementares. α’+ α = 180º e α + β + γ = 180º→ α’= β + γ• Um ângulo externo vale a soma dos internos não adjacentes

Classificação dos triângulos

• Quanto aos lados:• * Eqüilátero: três lados com medidas iguais.• * Isósceles: dois lados com medidas iguais (havendo

um• lado diferente, ele é considerado a “base” do triângulo).• * Escaleno: não possui lados com medidas iguais.• OBS: Todo triângulo eqüilátero é também triângulo

isósceles

γ

OBS.: O lado a é chamadode base e o ângulo  é o ângulodo vértice.

TRIÂNGULO ESCALENO

Em todo triângulo, o maior lado se opõe ao maior ângulo

Quanto aos ângulos• TRIÂNGULO RETÂNGULO

• Possui um ângulo reto

A hipotenusa é o maior lado e o seu quadrado é igualà soma dos quadrados dos outros dois (catetos).

TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO

Possui um ângulo obtuso

Atenção:Se a é o maior lado do triângulo obtusângulo, então:a2 > b2 + c2

TRIÂNGULO ACUTÂNGULOPossui os três ângulos agudos

Atenção:Se a é o maior lado de um triângulo acutângulo então:a2 < b² + c²

EXERCÍCIOS• 1.Na figura, sabe-se que AC = BC e que AB =

AD = CD. A medida α é igual a• a) 60º.• b) 45º.• c) 40º.• d) 36º.• e) 30º.

ά

• 2. Com base no estudo dos triângulos, é correto• afirmar:a) Se o triângulo é isósceles, então é eqüilátero.b) É possível construir um triângulo com lados medindo8u.c., 5u.c, e 18u.c.c) É possível construir um triângulo com ângulos medindo30º , 40ºe 50º.d) Se um triângulo é retângulo e isósceles, então possuium ângulo de 45º.e) É possível construir um triângulo retângulo com ladosmedindo 1u.c., 1u.c. e 2u.c.

• 3. O triângulo ABC representado na figura abaixo

é isósceles. Se BC = BD = DE = EA, a medida θ do ângulo assinalado, em radianos, é:

Pontos notáveis de um triângulo:• Altura do triângulo• A altura de um triângulo é o segmento da perpendicular baixada de um

vértice à reta suporte do lado oposto.

• ATENÇÃO!• 01. Para cada triângulo, podemos traçar três alturas: uma relativa• a cada lado.• 02. As três alturas de um triângulo concorrem em um único• ponto chamado ortocentro.

Bissetriz interna• A bissetriz interna é o segmento da bissetriz compreendido• entre um vértice de um ângulo e o lado oposto.• As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem• em um ponto interior chamado incentro.• ATENÇÃO!

Sendo os pontos de cada bissetriz eqüidistante dos ladosde um ângulo, o Incentro é o único ponto eqüidistantedos três lados. Ele é o centro da circunferência inscrita notriângulo.

Mediatriz• Mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular, passando pelo

seu ponto médio.

• Cada ponto da Mediatriz, está a igual distância dos dois• extremos do segmento. A mediatriz é o “lugar geométrico”• dos pontos eqüidistantes dos extremos de um segmento.• Teorema: As três mediatrizes de um triângulo concorrem• em um ponto chamado circuncentro, que é o centro da

circunferência• circunscrita. O circuncentro é o único ponto eqüidistante• dos três vértices.

• No triângulo acutângulo, o circuncentro é um ponto interior

• No triângulo obtusângulo, o circuncentro é um ponto exterior.

• No triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio daHipotenusa.

• ATENÇÃO!• No caso do triângulo retângulo, a hipotenusa coincide com o

diâmetro da circunferência circunscrita.

• Todo triângulo inscrito em um semi-círculo é retângulo

Mediana• Mediana de um triângulo é o segmento compreendido• entre cada vértice e o ponto médio ao lado oposto.

• As três medianas de um triângulo concorrem• em um ponto interior chamado baricentro.

• O baricentro está localizado em cada mediana a um terço da base e a dois terços do vértice

• .

ATENÇÃO!

• 01. No triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa tem medida correspondendo à metade da hipotenusa.

• Em conseqüência, os dois triângulos menores obtidos são isósceles.

• 02. Em um triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz, a mediatriz e a altura relativa à base coincidem

• AM é a bissetriz do ângulo A.• AM é a altura relativa ao lado BC.• AM é a mediana relativa ao lado BC.

• AM é a mediatriz relativa ao lado BC.

• 03. No triângulo eqüilátero, a bissetriz, a mediana, a mediatriz e a altura são coincidentes.

• Portanto, o ortocentro, o incentro, o baricentro e o circuncentro coincidem.

Casos de congruência• As condições mínimas para que dois triângulos sejam

congruentes• são: LLL – Os lados dos dois triângulos

respectivamente congruentes

• \

• LAL – Os dois triângulos apresentam dois lados e o ângulo

• formado por esses lados respectivamente congruentes.

• ALA – Os dois triângulos apresentam um lado e os dois• ângulos adjacentes respectivamente congruentes.

Teorema de Tales• .

EXERCÍCIOS• 01. (FBDC) Na figura dada, as retas, r,s e t são

paralelas.• Então, x + y é igual a:

• a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33

• 02. No triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm dovértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN.

• Determine a medida de CN.

• Matematica

Semelhança de triângulo• Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os

três ângulos ordenadamente congruentes e os ladoshomólogos proporcionais.

Teorema fundamental

• Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triânguloque ela determina é semelhante ao primeiro

CASOS DE SEMELHANÇAS DE TRIÂNGULO

• Os dois triângulos apresentam dois ângulos respectivamente congruentes.

Os dois triângulos apresentam os três lados proporcionais.

• Os dois triângulos apresentam dois lados respectivamente

• proporcionais e o ângulo compreendido entre esses lados respectivamente

• congruentes.

TEOREMA• Ligando-se os pontos médios de dois lados de um

triângulo qualquer, o segmento obtido é paralelo ao terceiro lado e com medida igual a sua metade.

• Como os dois triângulos obtidos são semelhantes, conclui-se que:

Teorema das bissetrizes internas• A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em

dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

EXERCÍCIOS• 01. (FJA/2006) Considerando-se as informações contidas na figura

abaixo, pode-se concluir que o segmento CF mede:

• Na figura, está representada uma escada AB, de• comprimento c, apoiada em um muro.• Considerando-se essa informação, pode-se concluir que• o valor de c é igual, em metros

• (UFBA 1ª fase)• Considere a figura acima em que:• • a distância entre as retas paralelas r e s é igual a• 20 u.c. os segmentos AB e CD medem, respectivamente, 10 u.c. e

30 u.c.;P é o ponto de interseção dos segmentos AD e BC.• Com base nesses dados, calcule a área do triângulo• APB, em u.a.

Triângulo retângulo• TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES• Se um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é• 45º, então os dois catetos possuem medidas iguais.

TRIÂNGULO RETÂNGULO COM ÂNGULO DE 30º

• A altura AH divide o triângulo equilátero ABC em dois triângulos retângulos que apresentam um ângulo de 30º.

• Observando o triângulo AHC, concluímos:• Se o cateto se opõe a um ângulo de 30º, a sua medida é• igual a metade da hipotenusa.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

• O triângulo retângulo é a figura geométrica mais freqüente nas aplicações matemáticas

• . Por esta razão, faremos um estudo mais detalhado

• desse tipo de triângulo.• Se no triângulo retângulo

traçarmos a altura relativa à• hipotenusa, obteremos 3

triângulos retângulos semelhantes

• h é a altura relativa à hipotenusa.• m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.• n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa

• Usando a proporcionalidade dos lados dos triângulos semelhantes ΔABC, ΔHAC e ΔHBA, demonstra-se que:

• Cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e a projeção do cateto sobre ela.

• A altura é média geométrica entre os dois segmentos

• que ela determina sobre a hipotenusa.• h² = m.n

• O produto de um cateto pela altura é igual ao produto da sua projeção pelo outro cateto

b.h = am e c.a =an

APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

• O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

• a2 = b2 + c2

OBSERVAÇÃO:

• A área de um triângulo retângulo é dada pelo semi-produto dos dois catetos

• .

RAZÕES TRIGONOMÉTRICASNO TRIÂNGULO RETÂNGULO

• Sendo α a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, temos:

Usando as razões trigonométricas acima, temos:

QUADRADO

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

EXERCÍCIOS• 01. (UNEB) Se, no triângulo ABC, representado na• figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o• lado AB mede, em u.c.,

• 02. (FRB) Um observador, ao nível do chão, avista a• base da janela J1 segundo um ângulo α = 30º e a J2,• segundo um ângulo β = 45º, como mostra a figura.• Sendo a distância entre as bases das duas janelas igual• a 3m, pode-se afirmar que a distância h, do chão à base• de J1, mede, em metros,

Triângulo equilátero• O Δ AHC é retângulo:

Circunferência inscrita

Circunferência circunscrita• .

Triângulos quaisquer

• LEI DOS SENOS

• Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos

• dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo

• Seja um triângulo qualquer ABC, considere uma circunferência

• circunscrita, sendo 0 o centro dela e R o seu raio.

LEI DOS COSSENOS

• Em qualquer triângulo o quadrado de um lado é igual à

• soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado

• Considere um triângulo qualquer ABC:

• Seguindo a lei dos cossenos

• a2 = b2 +c2- 2bc.cos• b 2 = a2 + c2 - 2ac.cosB• c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC