Geração de cenários de estresse para curvas de juros
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Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Geracao de cenarios de estressepara curva de juros
Alan De Genaro e Mariela Fernandez
9 de setembro de 2011
Alan De Genaro e Mariela Fernandez Geracao de cenarios de estresse para curva de juros
Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Roteiro:
1 Motivacao.
2 Modelo de Heath-Jarrow-Morton.
3 Construcao de cenarios.
4 Implementacao no mercado brasileiro.
5 Consideracoes finais.
Alan De Genaro e Mariela Fernandez Geracao de cenarios de estresse para curva de juros
Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Motivacao
Teste de estresse: avaliacao da perda potencial de uma carteiracontemplando o risco de evento.O teste de estresse tem tido uso crescente no meio academico ou nacomunidade financeira, sendo que, nesta ultima, de maneiraespontanea ou por imposicao regulatoria. Por exemplo:
o uso regulatorio do teste de estresse ocorreu nos Estados Unidos daAmerica no comeco de 2009, quando todas as instituicoes financeirasforam obrigadas a avaliar o risco de suas carteiras e capacidade desuportar situacoes extremas sem comprometer a estabilidade dosistema financeiro;o uso espontaneo do teste de estresse ocorre na BM&FBOVESPApara calculo de margem de garantia, permitindo assim o perfeitofuncionamento do mercado pela certeza dos seus participantes deque seus ganhos serao recebidos e suas operacoes de compra e vendaserao liquidadas conforme estabelecido na negociacao.
Alan De Genaro e Mariela Fernandez Geracao de cenarios de estresse para curva de juros
Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Problema
Definicao de metodos e modelos para a construcao de teste de estresse ede cenarios de estresse.
1) Definicao do teste de estresseUm dos possıveis testes de estresse e o “Teste de estresse sistematico”.Consiste na criacao de uma serie de cenarios de estresse para osprincipais fatores de risco de um portfolio.
O trabalho de Vieira-Neto e Urban (2003) apresenta a metodologia daBM&FBOVESPA para a avaliacao das margens de garantia dos contratosderivativos negociados no segmento BM&F. O conceito subjacenteconsiste em decompor os contratos, segundo uma condicao denao-arbitragem, em seus fatores primitivos de risco e avalia-losconjuntamente em um cenario de estresse.
Alan De Genaro e Mariela Fernandez Geracao de cenarios de estresse para curva de juros
Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Problema
Definicao de metodos e modelos para a construcao de teste de estresse ede cenarios de estresse.
1) Definicao do teste de estresseUm dos possıveis testes de estresse e o “Teste de estresse sistematico”.Consiste na criacao de uma serie de cenarios de estresse para osprincipais fatores de risco de um portfolio.
O trabalho de Vieira-Neto e Urban (2003) apresenta a metodologia daBM&FBOVESPA para a avaliacao das margens de garantia dos contratosderivativos negociados no segmento BM&F. O conceito subjacenteconsiste em decompor os contratos, segundo uma condicao denao-arbitragem, em seus fatores primitivos de risco e avalia-losconjuntamente em um cenario de estresse.
Alan De Genaro e Mariela Fernandez Geracao de cenarios de estresse para curva de juros
Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Exemplo intuitivo de teste de estresse de um contrato futuro de moedas:
F = Se(r−rf )T = SPUrPUrf
S valor do ativo a vista;r taxa de juros local;rf taxa de juros estrangeira.
lnF ′
F= ln
S′
S+ ln
PU ′rPUr
− lnPU ′rf
PUrf
Cenario de estresse para os fatores primitivos de risco:
Ativo a vista ±8% ⇒ S(1± 0, 08).Taxa de juros local +0, 01 e −0, 005 ⇒ r + 1% e r − 0, 5%.Taxa de juros estrangeira +0, 02 e −0, 01 ⇒ rf + 2% e rf − 1%.
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Exemplo intuitivo de teste de estresse de um contrato futuro de moedas:
F = Se(r−rf )T = SPUrPUrf
S valor do ativo a vista;r taxa de juros local;rf taxa de juros estrangeira.
lnF ′
F= ln
S′
S+ ln
PU ′rPUr
− lnPU ′rf
PUrf
Cenario de estresse para os fatores primitivos de risco:
Ativo a vista ±8% ⇒ S(1± 0, 08).Taxa de juros local +0, 01 e −0, 005 ⇒ r + 1% e r − 0, 5%.Taxa de juros estrangeira +0, 02 e −0, 01 ⇒ rf + 2% e rf − 1%.
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Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
2) Definicao dos cenarios de estresse
Metodo Nelson-Siegel-Svensson. Modelo parametrico deinterpolacao da taxa de juros, amplamente usado na literatura e nasinstituicoes financeiras.
Jamshidian e Zhu (1996) propoem uma estruturacomputacionalmente eficiente para a geracao de cenarios para amensuracao de risco de uma carteira.
Dario (2004) o autor faz uso da Teoria dos Valores Extremos, TVE,para a geracao de cenarios de estresse para fatores de risco spot etemporais nao correlacionados.
Rezende (2008) propoe uma metodologia de construcao de cenariosde estresse probabilısticos para as curvas de juros estimando cenarioscondicionais para as variacoes paralelas e de inclinacao da curva dejuros.
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Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Modelo de Heath-Jarrow-Morton
1 Modelo contınuo para ν fatores de incerteza
rt = r0 +∫ t
0
( ν∑j=1
σjs(t)∫ t
s
σjs(u)du)ds+
∫ t
0
σs(t)dW s.
2 Modelo discreto
rt+∆t − rt = µt∆t+ν∑j=1
σjt√
∆tZjt .
3 Analise de Componentes Principais
rit+1 − rit = µiσi +3∑j=1
√λjV ij σ
iZjt para i = 1, · · · , N.
4 Comparacao dos termos estocasticos
σjt ≈√λj∆tV •j σ
• para j = 1, 2, 3.
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Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Modelo de Heath-Jarrow-Morton
1 Modelo contınuo para ν fatores de incerteza
rt = r0 +∫ t
0
( ν∑j=1
σjs(t)∫ t
s
σjs(u)du)ds+
∫ t
0
σs(t)dW s.
2 Modelo discreto
rt+∆t − rt = µt∆t+ν∑j=1
σjt√
∆tZjt .
3 Analise de Componentes Principais
rit+1 − rit = µiσi +3∑j=1
√λjV ij σ
iZjt para i = 1, · · · , N.
4 Comparacao dos termos estocasticos
σjt ≈√λj∆tV •j σ
• para j = 1, 2, 3.
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Estrutura funcional da volatilidade
σjt (T ) =(αj + βj(T − t)
)eγj(T−t) + δj , para j = 1, 2, 3
e do drift correspondente
µt(T ) =3∑j=1
σjt (T )[δj(T−t)+
βjγj
(T−t)eγj(T−t)+(eγj(T−t)−1)(αjγj−βjγ2j
)]Utilizando a relacao abaixo podem ser calibrados os coeficientes da formafuncional da estrutura de volatilidade
σjt ≈√λj∆tV •j σ
• para j = 1, 2, 3.
arg minN∑i=1
((αj+βj
i
252)eγj
i252 +δj−
√λj
1/252Vij σ
i)2
, para j = 1, 2, 3.
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Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
Finalmente, para qualquer prazo Ti tem-se que
r0+1(Ti) = r0(Ti)+1
252µ(Ti)+
√1
252
(σ1(Ti)ξ1 +σ2(Ti)ξ2 +σ3(Ti)ξ3
),
sendo ξ1, ξ2 e ξ3 variaveis aleatorias independentes com distribuicaogaussiana padrao,
σj(Ti) =(αj + βj(Ti)
)eγj(Ti) + δj , para j = 1, 2, 3
e
µ(Ti) =3∑j=1
σj(Ti)[δj(Ti) +
βjγj
(Ti)eγj(Ti) + (eγj(Ti) − 1)(αjγj− βjγ2j
)].
Em geral, para qualquer holding period HP
r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP
252µ(Ti)+
√HP
252
(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3
),
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Motivacao Modelo HJM Construcao de cenarios Implementacao Conclusoes
r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP
252µ(Ti)+
√HP
252
(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3
),
Problema
ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?.
Resposta dos gestores de risco
Para 1 dia, cenario de 1%, em 6 meses, cenario de 0, 5% e para mais de3 anos, cenario de −1%.
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r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP
252µ(Ti)+
√HP
252
(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3
),
Problema
ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?.
Resposta dos gestores de risco
Para 1 dia, cenario de 1%, em 6 meses, cenario de 0, 5% e para mais de3 anos, cenario de −1%.
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Problema
(T1, choque1), (T2, choque2) e (T3, choque3) ⇒ ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?,
sendo choquei = r0+HP (Ti)− r0(Ti).
r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP
252µ(Ti)+
√HP
252
(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3
).
Solucao
HP
252
0@µ(T1)µ(T2)µ(T3)
1A +
rHP
252
0@σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1)σ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)
1A 0@ξ1ξ2ξ3
1A =
0@choque1choque2choque3
1A
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Problema
(T1, choque1), (T2, choque2) e (T3, choque3) ⇒ ξ1 =?, ξ2 =? e ξ3 =?,
sendo choquei = r0+HP (Ti)− r0(Ti).
r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP
252µ(Ti)+
√HP
252
(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3
).
Solucao
HP
252
0@µ(T1)µ(T2)µ(T3)
1A +
rHP
252
0@σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1)σ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)
1A 0@ξ1ξ2ξ3
1A =
0@choque1choque2choque3
1A
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Caso o sistema anterior nao tenha solucao
det
σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1)σ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)
= 0,
propoe-se aplicar o seguinte “ajuste numerico” na matriz A
Se σ1(T2)σ2(T3) 6= σ2(T2)σ1(T3),
A =
σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1) + εσ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) σ3(T3)
Se σ1(T2)σ2(T3) = σ2(T2)σ1(T3),
A =
σ1(T1) σ2(T1) σ3(T1) + εσ1(T2) σ2(T2) σ3(T2)σ1(T3) σ2(T3) + ε
2 σ3(T3)
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Observacao:
r0+HP (Ti) = r0(Ti)+HP
252µ(Ti)+
√HP
252
(σ1(Ti)ξ1+σ2(Ti)ξ2+σ3(Ti)ξ3
),
Como√
HP252
(σ1(Ti)ξ1 + σ2(Ti)ξ2 + σ3(Ti)ξ3
)possui distribuicao
gaussiana com media zero e variancia HP252
(σ1(Ti)2 + σ2(Ti)2 + σ3(Ti)2
)tem-se que
P(r0+HP (Ti)− r0(Ti) ≤ choquei
)=
P(√HP
252(σ1(Ti)ξ1 + σ2(Ti)ξ2 + σ3(Ti)ξ3
)≤ choquei −
HP
252µ(Ti)
).
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Implementacao no mercado brasileiro
Vencimentos do contrato futuro de DI com maior volume de negociacaona BM&FBOVESPA no 7 de abril de 2009.
Vencimento Dias uteis Percentual de negociosJaneiro/2010 185 33%Janeiro/2012 687 32%Janeiro/2011 436 16%Outubro/2009 122 6%
Julho/2009 57 4%Julho/2010 308 2%
Observando a liquidez dos contratos, foram escolhidos os seguintesvertices para calibrar a estrutura de volatilidade.
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
84 147 210 273 336 462 588 756 840 1008
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Decomposicao da variacao da estrutura da taxa prefixada em seuscomponentes principais.
Componente Explicacao1o (nıvel) 88,92%
2o (inclinacao) 7,66%3o (curvatura) 1,82%
Total 98,40%
Estrutura de volatilidade dos tres componentes principais. Os pontosrepresentam os valores historicos (autovetor da matriz de correlacao) e aslinhas contınuas as funcoes calibradas.
-3%
-2%
-1%
0%
1%
2%
3%
4%
0 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600
Vola
tilid
ad
e
du
Função de volatilidade
1º fator 2º fator 3º fator
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Estresse estabelecido para construir cenarios de nıvel, inclinacao ecurvatura para 2 dias.
Vertice Estresse positivo Estresse negativo
Cenarios de nıvel
1 1% -1%399 2,4% -1,6%≥ 756 2,5% -1,9%
Cenarios de inclinacao
1 -1% 1%126 0 0≥ 882 2,55% -2%
Cenarios de curvatura
1 1% -1%504 -1,8% 1,6%≥ 1008 2,6% -2,2%
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 300 600 900 1.200 1.500
Taxa (
%)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 300 600 900 1.200 1.500
Ta
xa
(%
)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 300 600 900 1.200 1.500
Taxa (
%)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado
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Estresse estabelecido para replicar cenarios de estresse observados.
Data Vencimento Estresse HP
1 0%22/5/2006 Jan/2008 (≈ 400 du) 1,2% 2 dias
Jan/2010 (≈ 910 du) 0,7%
1 0%13/8/2007 Jan/2009 (≈ 350 du) 1% 3 dias
Jan/2011 (≈ 860 du) 1,4%
1 0%17/9/2008 Jan/2010 (≈ 330 du) 0,25% 3 dias
Jan/2012 (≈ 840 du) 0,7%
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Ta
xa
(%
)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado 22/5/06 Taxa de mercado de 24/5/06
10,8
11,0
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
12,2
12,4
12,6
12,8
13,0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Ta
xa
(%
)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado 13/8/07 Taxa de mercado 16/8/07
13,4
13,6
13,8
14,0
14,2
14,4
14,6
14,8
15,0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
Ta
xa
(%
)
du
Cenários da taxa Pre
Taxa estressada HJM Taxa de mercado 12/9/08 Taxa de mercado 17/9/08
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Consideracoes finais
Foi proposto um metodo de construcao de cenarios de estresse paraa taxa de juros, com base no arcabouco HJM, que incorpore aopiniao de especialistas.
HJM e um modelo livre de arbitragem;foi dada enfase na aplicacao do modelo;interpolador livre de arbitragem.
Desenvolvimento futuro: implementar na decomposicao em PCA adependencia em perıodos de crise.
Publicacao
Revista Brasileira Financas, Vol. 9, No. 3, Junho 2011.
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