Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

MATEMÁTICA

Prof. RODRIGO OLIVEIRA f (x)

1

1. Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais As grandezas físicas estão relacionadas de diversas formas. Conhecendo-se a expressão matemática que rege tal relação, podem-se estabelecer mecanismos para a resolução de problemas baseando-se no estudo das proporções, sendo estas diretas ou inversas.

Os tipos de proporções mais utilizados, em nível de Ensino Médio, são: proporção direta, proporção direta quadrática, proporção inversa, proporção inversa quadrática. Aqui serão tratadas as proporções acima citadas e também outros casos. É importante observar que o tratamento dado às grandezas em termos de proporcionalidade não pode ser feito à revelia mas somente a partir da certeza da proporcionalidade expressa pela lei matemática. Usar-se-á “x” como variável independente e “y” como variável dependente. 1.1 Grandezas diretamente proporcionais Dadas duas grandezas “y” e “x”, elas serão diretamente proporcionais quando o quociente de “y” em relação a “x” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:

kxy ou y = k.x

onde: x é a variável independente; y é a variável dependente; k é uma constante de proporcionalidade.

Assim, pode-se escrever: xy

A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é diretamente proporcional a “x”. Exemplo 1: Considerar a tabela a seguir:

x y kxy

Graficamente:

2 6 326

4 12 34

12

6 18 36

18

8 24 3824

10 30 31030

Note que a razão xy forneceu sempre um mesmo valor. Assim, a

constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 3 e a grandeza “y” é diretamente proporcional à grandeza “x”:

3xy y = 3.x xy

Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma linha reta cuja direção passa pela origem (ver apêndice). Obs.: É importante observar que:

y = 3.x y = 3.0 y = 0 mas:

kxy k

00 k = (pois não há divisão por zero)

Em outras palavras: Sendo duas grandezas diretamente proporcionais, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer razão entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção do ponto (0, 0).

Exemplo 2: Considerar uma mola ideal suspensa verticalmente tendo uma de suas extremidades fixadas. Prendendo-se em sua extremidade livre um bloco, a mola sofre uma deformação x. Para diferentes valores do peso do bloco foram obtidos os correspondentes valores para a deformação da mola. Esses valores estão mostrados na tabela a seguir:

peso: F (N) deformação: x (cm)

0 0

2 0,5

3 0,75

4 1

8 2

9 2,5

a) As grandezas F e x são diretamente proporcionais entre quais valores tabelados? Solução:

Fazendo o quociente xF para os valores da tabela, obtém-se:

cm5,0N2

xF 4 N/cm

cm75,0

N3xF 4 N/cm

cm1N4

xF 4 N/cm

cm2N8

xF 4 N/cm

cm5,2N9

xF 3,6 N/cm

As grandezas F e x são diretamente proporcionais desde o valor zero até a força de 8 N, corresponendo à deformação de 8 cm. b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre essas grandezas dentro do intervalo do item a)? Solução:

k = 4 N/cm c) A lei de Hooke na primeira aproximação linear diz que: A intensidade da força exercida por uma mola é diretamente proporcional à sua deformação de forma a restaurar a posição de relaxamento. Para a mola deste exemplo, ela está de acordo com a lei de Hooke entre quais valores? Solução: A mola está de acordo com a lei de Hooke desde o valor zero até a força de 8 N, corresponendo à deformação de 8 cm d) Qual o significado físico da constante obtida no item b)? Solução: A constante obtida é a constante elástica da mola que é uma característica da mesma. Assim, para o intervalo em que está de acordo com a lei de Hooke, a constante elástica de 4 N/cm significa que para deformar a mola em 1 cm, são necessários 4 N de força externa. e) Determinar uma expressão que relacione “F” e “x” no intervalo em que a mola está de acordo com a lei de Hooke.

x.4Fcm/N4xFk

xF

ou x.4Fx.kFxF

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2

f) Se a mola mantivesse o seu comportamento elástico para qualquer força aplicada, qual deveria ser a deformação sofrida por ela para a força de 9 N? Solução 1: A razão entre os valores de “F” e seus respectivos “x” sempre fornecerão a mesma constante (de acordo com o enunciado). Assim:

cm25,22

5,0.9xx9

5,02

xFk

xF

1

1

Solução 2:

De acordo com a lei de formação 4xF ou F = 4.x:

cm25,2x49x.49x.4F

Solução 3: Pela definição da constante (k = 4 N/cm), sabe-se que para deformar a mola em 1 cm é necessária a aplicação de uma força de N N. Assim:

força deformação

4 N –––– 1 cm 9 N –––– x

4.x = 9.1 4x = 9

cm25,249x

Solução 4:

x.kFxy

x5,0

92

xx

FF

.xkF.xk = F

k.x = Fk.x = F

:finalponto:baseponto 111111

2.x = 9.0,5 2x = 4,5 cm25,225,4x

Exemplo 3: Considerar a seguinte situação:

a) Comparando as distâncias percorridas com os respectivos intervalos de tempo gastos para percorrê-los, pode-se afirmar que a relação entre elas é de proporcionalidade direta? Se sim, determinar a constante de proporcionalidade e mostrar uma possível lei de formação. Se não, por quê? Solução:

Fazendo o quociente

td entre a distância percorrida (d) e o

respectivo intervalo de tempo (t) para realizá-lo através dos valores da figura, obtém-se:

s/m8s10m80

td

s/m8s20m160

td

s/m8s30m240

td

s/m8s40m320

td

Como a razão entre a distância percorrida e o respectivo intervalo de tempo para percorrê-la é sempre uma constante, essas grandezas formam uma proporção direta cuja constante de proporcionalidade vale 8 m/s. Uma possível lei de formação pode ser obtida da seguinte forma:

t.8dous/m8tdk

td

ou t.8dt.kdtd

b) Qual é o significado físico da constante do item a)? Solução: Fisicamente, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la recebe o nome de rapidez média. Obs.: velocidade média é uma grandeza vetorial e é definida como sendo a razão entre o deslocamento efetuado e o intervalo de tempo gasto para efetuá-lo. c) Se o veículo mantiver as características do seu movimento, determinar os valor de “d” e “t” na figura. Solução 1: A razão entre os valores de “d” e seus respectivos intervalos de tempo “t” sempre fornecerão a mesma constante. Assim:

s4580

10.360tt

3601080

tdk

td

5

5

1

1

m48010

60.80d60d

1080

tdk

td

6

6

1

1

Solução 2: Sabe-se que a constante de proporcionalidade vale 8 m/s. Assim: Cálculo de “t”:

s45tt8

3608t

360s/m8tdk

tdtd

ou

s45t8

360tt.8360t.8dt.kdtd

Cálculo de “d”

m480d60.8d860ds/m8

tdk

tdtd

ou m480d60.8dt.8dt.kdtd

Solução 3: Pela definição da constante (k = 8 m/s), sabe-se que a cada segundo o veículo percorrerá 8 m. Assim:

distância tempo

8 m –––– 1 s 360 m –––– t

8.t = 360.1 8t = 360

s458

360t

distância tempo

8 m –––– 1 s d –––– 60 s

d.1 = 8.60 d = 480 m

Solução 4: Cálculo de “t”:

t.kdtd

t10

36080

tt

dd

.tk = d

.tk = dk.t = dk.t = d

:finalponto:baseponto

5

1

5

1

55

11

55

11

80.t = 360.10 80t = 3600 s4580

3600t

Cálculo de “d”: t.kdtd

6010

d80

tt

dd

.tk = d

.tk = dk.t = dk.t = d

:finalponto:baseponto

6

1

6

1

66

11

66

11

10.d = 80.60 10.d = 4800 m48010

4800d

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3

Exemplo 4: Sabe-se que a variação de comprimento (L) de uma barra metálica é diretamente proporcional ao comprimento inicial (L0) da mesma e a variação de temperatura (T) sofrida por ela. a) Determinar uma expressão que relacione L, L0 e T. Solução: Como a proporcionalidade é direta, tem-se 0LL e TL . Sendo L simultaneamente proporcional a L0 e T, pode-se escrever, então, que L é diretamente proporcional ao produto entre L0 e T:

T.LLTL

LL0

0

kT.L

L

0

ou L = k.L0.T

Obs.: Fisicamente, a constante k é o coeficiente de dilatação térmica linear do material que constitui a barra, sendo normalmente representado pela letra grega . b) Considerar duas barras metálicas de mesmo material e submetidas à mesma variação de temperatura. Se a barra 1 tiver o triplo do comprimento inicial da barra 2, qual será a relação entre as variações de comprimento da barra 1 em relação às da barra 2? Solução 1: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e L0. Assim:

20

2

10

10 L

L'kL

LLL

Sabe-se que L01 = 3.L02, logo:

2121

20

2

20

1 L.3LL3L

LL

L.3L

Isto é, a barra 1 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao triplo do da barra 2. Solução 2: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e L0. Assim:

00 L'.kLLL

2

1

2

1

2

1

0

0

2

1

02

01

02

01

LL

LL

L'.kLL'.kL

L'.kL:2barraL'.kL:1barra

Sabe-se que L01 = 3.L02, logo:

212

1

0

0

2

1 L.3L3LL

LL.3

LL

2

2

Isto é, a barra 1 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao triplo do da barra 2. c) Duas barras de mesmo material e comprimento inicial são submetidas às temperaturas conforme a tabela:

Temperatura inicial Temperatura final

Barra 1 20 °C 30 °C

Barra 2 5 °C 25 °C Determinar a relação entre as variações de comprimento entre as duas barras. Solução 1: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e T. Assim: Barra 1: T1 = 30 - 20 = 10 °C Barra 2: T2 = 25 - 5 = 20 °C

2

2

1

1TL

"kTL

TL

122

121 L.2L

2LL

20L

10L

Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro do da barra 1. Solução 2: Como as demais grandezas permanecerão constantes durante o processo, deve-se levar em conta apenas a proporcionalidade entre L e T. Assim: Barra 1: T1 = 30 - 20 = 10 °C Barra 2: T2 = 25 - 5 = 20 °C

T".kLLL 0

2

1

2

1

22

11

22

11TT

LL

T".kLT".kL

T".kL:2barraT".kL:1barra

122

1

2

1 L.2L21

LL

2010

LL

Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro do da barra 1. d) Analisar a relação entre as variações de comprimento de duas barras metálicas de mesmo material tendo uma o quádruplo do comprimento inicial da outra mas submetida à metade da variação de temperatura a que está submetida a barra mais curta. Solução 1: Sabe-se que:

L0 T

Barra 1 L01 T1

Barra 2 L02 = 4.L01 2T

T 12

Conforme visto no item a): T.LL 0 . Assim:

20

2

10

1T.L

LkT.L

L

21

Sabe-se que L02 = 4.L01 e 2T

T 12

, logo:

10

2

10

1

10

2

10

1T.L.2

LT.L

L

2T

.L.4

LT.L

L

111

1

2L

L 21 L2 = 2.L1

Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro da barra 1. Solução 2: De acordo com a tabela montada na solução anterior e conforme visto no item a): T.LL 0 . Tem-se: L = k.L0.T

20

10

2

1

202

101

202

101

TLT.L

LL

TL.kLT.L.kL

T.L.kL:2barraT.L.kL:1barra

2

1

2

1

2

1

21

LL

T.L.2

T.L

LL

2T

.L.4

TL

LL

2

1

10

10

2

1

10

10

2

1

1

1

1

1

L2 = 2.L1 Isto é, a barra 2 apresentará uma variação de comprimento correspondente ao dobro da barra 1.

MATEMÁTICA


4

Exemplo 5: Considerar uma grandeza “z” e sua dependência com outras duas grandezas “x” e “y” de acordo com os gráficos a seguir:

A relação entre “z” e o produto das grandezas “x” e “y” é de proporcionalidade direta? Se sim, determinar uma possível lei de formação. Se não, por quê? Solução: Pelos gráficos (linhas retas que passam pela origem) é possível afirmar que a grandeza “z” é diretamente proporcional à grandeza “x” e à grandeza “y” podendo-se escrever, então, que “z” é diretamente proporcional ao produto entre “x” e “y”:

y.xzyzxz

z = k.x.y

Para se obter a constante de proporcionalidade pode-se proceder da seguinte forma:

2k242.k4x.kzxz 111

z = 2x

3k131.k3y.kzyz 122

z = 3y

Assim: z = (2x).(3y) = 6xy z = 6xy

Note que k = k1.k2 1.2 Grandezas inversamente proporcionais Dadas duas grandezas “y” e “x”, elas serão inversamente proporcionais quando o produto de “y” e “x” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:

y.x = k ou x1.ky


Assim, pode-se escrever:

x1y

A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é inversamente proporcional a “x”. Exemplo 1: Observar a tabela a seguir:

x y k = y.x

1 10 k = 10.1 = 10

2 5 k = 5.2 = 10

2,5 4 k = 4.2,5 = 10

4 2,5 k = 2,5.4 = 10

5 2 k = 2.5 = 10

10 1 k = 1.10

Note que o produto y.x forneceu sempre um mesmo valor. Assim, a constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 10 e a grandeza “y” é inversamente proporcional à grandeza “x”:

y.x = 10 x1.10y

x1y

Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma hipérbole equilátera (ver apêndice). Obs.: É importante observar que essa hipérbole equilátera nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + ). Em outras palavras: Sendo duas grandezas inversamente proporcionais, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer produto entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção dos pontos (0, y) e (x, 0). Exemplo 2: Uma determinada amostra de gás ideal é introduzida no recipiente a seguir que é dotado de um êmbolo móvel. A tabela ao lado mostra o comportamento da pressão exercida pelo gás em função do volume ocupado por ele.

V (L) p (atm)

18 1

9 2

6 3

4,5 4

a) As grandezas p e V são inversamente proporcionais? Solução: Fazendo o produto p.V para os valores da tabela, obtém-se:

1.18 = 18 atm.L 2.9 = 18 atm.L 3.6 = 18 atm.L

4.4,5 = 18 atm.L Como o produto p.V sempre forneceu o mesmo valor (18 atm.L ), as grandezas “p” e “V” são inversamente proporcionais. b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre essas grandezas? Escreva uma possível expressão matemática para a relação entre “p” e “V”. Solução:

k = 18 atm.L Uma possível expressão matemática para a relação entre “p” e “V” pode ser obtida da seguinte forma:

p.V = k p.V = 18 atm.L p.V = 18 ou

V18p

V1.18p

V1.kp

V1p

c) A lei de Boyle-Mariotte diz que: Mantendo-se constante a temperatura de uma amostra de um gás ideal, a pressão é inversamente proporcional ao volume ocupado por esse gás. Pelos dados da tabela, o gás em questão pode ser considerado ideal se a transformação for isotérmica? Solução: Conforme a solução do item a) as grandezas pressão e volume são inversamente proporcionais, isto é, de acordo com a lei de Boyle-Mariotte. d) Qual será a pressão exercida pelo gás quando este ocupar um

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5

volume de 5 L? Solução 1: O produto entre os valores de “p” e seus respectivos “V” sempre fornecerão a mesma constante. Assim:

p1.V1 = k = p.V

1.18 = p.5 18 = p.55

18 = p = 3,6 atm

Solução 2:

De acordo com a lei de formação 18V.p ou V18p :

5

18p 3,6 atm

Solução 3: Como a relação é de proporção inversa, pode-se resolver por uma regra de três simples inversa. Assim:

volume pressão

18 –––– 1 5 –––– p

Transformando a regra de três simples inversa em direta, isto é, invertendo uma das colunas, tem-se:

volume pressão

18 –––– p 5 –––– 1

p.5 = 18.1 p.5 = 18 5

18p 3,6 atm

Solução 4:

p.V = kV1.kp

185

p1

VV

pp

V1.kp

V1.kp

V1.kp

V1.kp

:finalponto

:baseponto

1

111

11

p.5 = 18.1 p.5 = 18 5

18p 3,6 atm

Exemplo 3: Para abrir uma porta, a maçaneta é colocada o mais longe possível da dobradiça, isto porque ao aplicar uma força perpendicularmente a uma distância do eixo de rotação, o autor estará realizando um torque em relação a uma origem dado pela expressão = F.d, onde é o módulo do torque, F é a intensidade da força aplicada e d é a distância ao eixo de rotação. a) Como as grandezas torque e força aplicada se relacionam? Solução: Pela análise da expressão = F.d, constata-se que F , pois para a relação entre e F, d é mantida constante. b) Como as grandezas força aplicada e distância ao eixo de rotação se relacionam para um mesmo torque? Solução:

Pela análise da expressão = F.d, constata-se que d

F ou

d1F . Note que é, de acordo com o exemplo, a constante de

proporcionalidade. Sendo assim, d1F , isto é, a força aplicada é

inversamente proporcional à distância ao eixo de rotação. c) Uma força F realiza um torque quando aplicado a uma distância d. Se a força for triplicada, a distância ao eixo de rotação onde essa força deverá ser aplicada valerá quanto para produzir o mesmo torque? Solução 1:

Sabe-se que: F d

Situação 1 F1 d1

Situação 2 F2 = 3.F1 d2 Pela expressão = F.d, tem-se:

F1.d1 = = F2.d2 F1.d1 = 3.F1.d2

F1.d1 = 3F1.d21

112 F3

d.Fd

3dd 1

2

Isto é, para exercer o mesmo torque, uma força três vezes maior que a primeira necessita de uma distância três vezes menor que a distância anterior. Solução 2: Como a relação é de proporção inversa, pode-se resolver por uma regra de três simples inversa. Assim:

força distância

F1 –––– d1 3F1 –––– d2


força distância

F1 –––– d2 3F1 –––– d1

F1.d1 = 3F1.d2 3dd

F3dFd 1

21

112

Isto é, para exercer o mesmo torque, uma força três vezes maior que a primeira necessita de uma distância três vezes menor que a distância anterior. Exemplo 4: Para percorrer um determinado deslocamento, um veículo animado de 80 km/h demora 25 min. Para cumprir esse mesmo deslocamento em 20 min, qual deverá ser a velocidade do veículo? Solução 1: Para percorrer um mesmo deslocamento em um intervalo menor, deve-se aumentar a velocidade. Assim, tem-se uma proporção inversa:

kv.tvkt

v1t

Assim: t1.v1 = k = t2.v2

80.25 = 20.v2 80.25 = 20.v2

2v20

25.80 100 km/h

Solução 2: Para percorrer um mesmo deslocamento em um intervalo menor, deve-se aumentar a velocidade. Assim, tem-se uma proporção inversa:

velocidade tempo

80 km/h –––– 25 min v2 –––– 20 min


velocidade tempo

v2 –––– 25 min 80 km/h –––– 20 min

v2.20 = 80.25

20

25.80v2 100 km/h

Exemplo 5:

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6

O gráfico a seguir mostra apenas três pontos do comportamento da frequência de uma onda transversal em função de seu comprimento de onda.

Como é a relação entre as grandezas f e ? Solução: Fazendo o produto .f para os valores do gráfico, obtém-se:

(0,1.102).(1,0.106) = 1,0.107 m/s (0,25.102).(0,4.106) = 1,0.107 m/s (0,5.102).(0,2.106) = 1,0.107 m/s

Como o produto .f sempre forneceu o mesmo valor (1,0.107 m/s) as grandezas “f” e “” são inversamente proporcionais. Obs.: a constante de proporcionalidade obtida para esse exemplo é a velocidade de propagação da onda. Exemplo 6: Considerar uma grandeza “z” e sua dependência com outras duas grandezas “x” e “y” de acordo com os gráficos a seguir:

Qual é a expressão matemática que informa a relação entre “z”, “x” e “y”? Solução: Pelos gráficos (linha reta que passa pela origem e hipérbole equilátera) é possível afirmar que a grandeza “z” é diretamente proporcional à grandeza “x” e inversamente proporcional à grandeza “y”:

yxkz

yxz

y1zxz

Para se obter a constante de proporcionalidade pode-se proceder da seguinte forma:

32k

646.k4x.kzxz 111

x32z

63.2k31.k2

y1.kz

y1z 222

y1.6z

Assim:

yx.4z

y6.x

32z

Note que k = k1.k2 1.3 Grandezas diretamente proporcionais ao quadrado

Dadas duas grandezas “y” e “x”, “y” será diretamente proporcional ao quadrado de “x” quando o quociente de “y” em relação a “x2” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:

kxy2 ou y = k.x2


Assim, pode-se escrever: 2xy

A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é diretamente proporcional ao quadrado de “x”. Exemplo 1: Observar a tabela a seguir:

Graficamente:

x y kxy2

1 2 2k122

2 8 2k282

3 18 2k318

2

4 32 2k432

2

Note que a razão 2xy forneceu sempre um mesmo valor. Assim, a

constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 2 e a grandeza “y” é diretamente proporcional ao quadrado da grandeza “x”:

2xy2 y = 2.x2 2xy

Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma parábola que passa pela origem (ver apêndice).. Obs.: É importante observar que:

y = 2.x2 y = 2.02 y = 0 mas:

kxy2 k

00

2 k = (pois não há divisão por zero)

Em outras palavras: Sendo duas grandezas relacionadas através de uma proporcionalidade quadrática, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer razão entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção do ponto (0, 0). Exemplo 1: Abandona-se uma bolinha em uma canaleta conforme mostra a figura a seguir.

Determinar a lei de formação de dependência entre a distância percorrida pela bolinha e o tempo gasto para percorrê-la. Solução:

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7

Fazendo o quociente 2td para os valores da figura, obtém-se:

201

1005

105

td

22 0,05 cm/s2

201

40020

2020

td

22 0,05 cm/s2

201

90045

3045

td

22 0,05 cm/s2

201

160080

4080

td

22 0,05 cm/s2

Como a razão entre a distância percorrida e o respectivo intervalo de tempo ao quadrado para percorrê-la é sempre uma constante, essas grandezas formam uma proporção direta quadrática, cuja constante de proporcionalidade vale 0,05 cm/s2. Uma possível lei de formação pode ser obtida da seguinte forma:

2222

2 t.05,0dous/cm05,0tdk

tdtd

ou t.05,0dt.kdtd 22

Obs.: Fisicamente, a constante obtida neste exemplo é a metade da aceleração de translação que possui a bolinha. Exemplo 2: Sabe-se que a área de um círculo é dada por A = .r2, onde r é o raio do círculo. Sendo assim, se um círculo de raio r tem área de 20 cm2, qual será a área de um círculo de raio igual a 3r? Solução:

A = .r2 2rA 2

2

1

2

122

21

2

1222

211

222

211

rr

AA

rr

AA

r.Ar.A

r.A:2círculor.A:1círculo

91

A20

r3r

A20

rr

AA

222

1

2

122

A2 = 180 cm2 Exemplo 3: Sabe-se que a energia cinética de uma partícula é dada por

2C mv

21E , onde EC é a energia cinética, m é a massa da

partícula e v é o módulo de sua velocidade. a) Qual é a relação de proporcionalidade entre EC e m? Solução: A relação de proporcionalidade entre EC e m é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:

mEm.kEm2vEmv

21E CC

2

C2

C

Isto é, a energia cinética é diretamente proporcional à massa. b) Qual é a relação de proporcionalidade entre EC e v? Solução: A relação de proporcionalidade entre EC e v é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:

2C

2C

2C

2C vEv.kEv

2mEmv

21E

Isto é, a energia cinética é diretamente proporcional ao quadrado do módulo da velocidade. c) Estabelecer o esboço dos gráficos EC x m, EC x v e EC x v2.

Solução: mEC

EC x m = linha reta

2C vE

EC x v = parábola

2C vE

EC x v2 = linha reta

d) Um corpo de massa m e velocidade v tem energia cinética EC. Um outro corpo, de massa 2m e velocidade v/2 terá energia cinética EC2. Obter, em função de EC, o valor de EC2. Solução: Sabe-se que:

m v

corpo 1 m v

corpo 2 2m 2v

Assim, tem-se: 2

C mv21E

222

211

2C

C

222C

211C

222C

211C

vmvm

EE

vm21E

vm21E

vm21E:2corpo

vm21E:1corpo

1

2

1

2

1

2/11

E

E

4vm2

vmE

E

2v).m2(

mvE

E

2C

C2

2

2C

C2

2

2C

C 111

2E

E2

EE2

EE C

CC

CC

C2

12

2

1

Isto é, o corpo 2 apresentará a metade da energia cinética do corpo 1. 1.4 Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado Dadas duas grandezas “y” e “x”, “y” será inversamente proporcional ao quadrado de “x” quando o produto de “y” e “x2” for sempre igual a uma constante. Matematicamente:

y.x2 = k ou 2xky


Assim, pode-se escrever:

2x1y

A notação acima é lida da seguinte forma: “y” é inversamente proporcional ao quadrado de “x”. Exemplo 1: Considerar a tabela a seguir:

Graficamente:

x y k = y.x2

1 36 k = 36.12 = 36

2 9 k = 9.22 = 36

3 4 k = 4.32 = 36

4 2,25 k = 2,25.42 = 36

5 1,44 k = 1,44.52 = 36

Note que o produto y.x2 forneceu sempre um mesmo valor. Assim,

MATEMÁTICA


8

a constante de proporcionalidade, para esse exemplo, vale 36 e a grandeza “y” é inversamente proporcional ao quadrado da grandeza “x”:

y.x2 = 36 2x1.36y 2x

1y

Observe, também, que o gráfico constituído pelos pontos da tabela (e extrapolando para qualquer valor real atribuído a “x”) formará uma hipérbole (não equilátera) (ver apêndice). Obs.: É importante observar que essa hipérbole nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + ). Em outras palavras: Sendo duas grandezas inversamente proporcionais ao quadrado, a constante de proporcionalidade pode ser obtida a partir de qualquer produto entre quaisquer valores correspondentes das grandezas, com exceção dos pontos (0, y) e (x, 0). Exemplo 2: A intensidade sonora é definida como sendo o fluxo de energia por unidade de área. A intensidade sonora medida a uma distância r de

uma fonte puntiforme é dada por 2r4PI

, onde P é a potência

sonora emitida pela fonte e r é a distância entre a fonte e o ouvinte. a) Qual é a relação de proporcionalidade entre I e P? Solução: A relação de proporcionalidade entre I e P é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:

PIP.kIP.r4

1Ir4

PI 22

Isto é, a intensidade sonora é diretamente proporcional à potência sonora.

b) Qual é a relação de proporcionalidade entre I e r? Solução: A relação de proporcionalidade entre I e r é obtida tratando os demais fatores como constantes. Assim, tem-se:

2222 r1I

r1.kI

r1.

4PI

r4PI

Isto é, a intensidade sonora é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre a fonte e o receptor. c) A 10 cm de uma fonte sonora a intensidade sonora é de 16.10-6 W/m2. Determinar a intensidade sonora medida a 40 cm dessa mesma fonte. Solução: Sabe-se que:

I r

Situação 1 16.10-6 W/m2 10 cm

Situação 2 I2 40 cm Assim, tem-se:

2r4PI

2

1

2

2

12

1

22

2

1

22

2

21

1

22

2

21

1

rr

II

r

rII

r4PI

r4PI

r4PI:2situação

r4PI:1situação

16I10.164

I10.16

1040

I10.16

2

62

2

62

2

6

1610.16I

6

2 1.10-6 W/m2

Isto é, na situação 2, a intensidade sonora é 16 vezes menor que

na situação 1. Exemplo 3: A lei de Coulomb afirma que a intensidade da força de interação (F) entre duas partículas puntiformes dotadas de cargas elétricas líquidas (q1 e q2) é diretamente proporcional ao produto entre os módulos dessas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância (r) que separa essas partículas. a) Estabelecer matematicamente a lei de Coulomb. Solução:

221

221

2

21

r|q|.|q|kF

r|q|.|q|F

r1F

|q|.|q|F

Obs.: k é chamada de constante eletrostática do meio. Para o vácuo seu valor é aproximadamente 9.109 Nm2/C2. b) Duas esferas muito pequenas estão eletrizadas com cargas elétricas 2Q e 3Q, separadas por uma distância d, se repelem com uma força F. Após um processo qualquer, as mesmas duas esferas passam a ter carga elétrica de 2Q. Qual será a nova força de interação se as esferas continuarem a estar separadas pela distância d? Solução: Da lei de coulomb, tem-se:

221

r|q|.|q|kF

23

FF

46

FF

dQ4kF

dQ6kF

dQ2.Q2kF:2situação

dQ3.Q2kF:1situação

22

1

2

2

2

2

2

1

22

21

F32F2

c) Duas cargas elétricas q1 e q2 apresentam uma força de interação eletrostática F quando separadas por uma distância d. Determinar a força de interação quando estiverem separadas por uma distância 3d. Solução: Da lei de coulomb, tem-se:

221

r|q|.|q|kF

2

2

2

1

221

2

221

1

22

212

21

211

dd9

FF

)d3(|q|.|q|kF

d|q|.|q|kF

d|q|.|q|kF:2situação


F91F

dd9

FF

22

2

2

c) Duas cargas elétricas q1 e q2 apresentam uma força de interação eletrostática F quando separadas por uma distância d. Determinar a força de interação quando estiverem separadas pela metade da distância inicial. Solução: Da lei de coulomb, tem-se:

221

r|q|.|q|kF

2

2

2

1

221

2

221

1

22

212

21

211

d/4d/1

FF

)2/d(|q|.|q|kF

d|q|.|q|kF

d

|q|.|q|kF:2situação


F4F4

d.d1

FF

2

2

22

1.5 Grandezas com proporcionalidades diversas

MATEMÁTICA


9

Exemplo 1: A terceira lei de Kepler diz que: “O quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita elíptica.” a) Expressar essa lei matematicamente: Solução: de acordo com o enunciado 32 RT , isto é, T2 = k.R3. b) Um planeta X tem período T sendo que sua órbita apresenta um raio médio R. Qual será o período de um planeta Y que possui órbita com raio médio de 4R? Suponha que ambos os planetas pertençam ao mesmo sistema solar. Solução: Sabe-se que:

T R

Planeta X T R

Planeta Y TY 4R Assim, tem-se:

T2 = k.R3 32

Y3Y

2Y

3X

2X

3Y

2Y

3X

2X

R4R

TT

R.kTR.kT

R.kT:YplanetaR.kT:Xplaneta

6

2

Y

3

2

2

Y

32

Y 21

TT

21

TT

41

TT

T8T81

TT

21

TT

21

TT

YY

3Y

6Y

Isto é, o planeta Y apresentará um período de revolução igual a 8 vezes o período do planeta X. Exemplo 2: A lei de Guldberg-Wagge ou lei de ação das massas afirma que: “A velocidade de uma reação química é diretamente proporcional ao produto das concentrações molares dos reagentes elevados a expoentes obtidos experimentalmente.” Esses expoentes serão iguais aos respectivos coeficientes estequiométricos caso a reação seja realizada em etapa única. a) Considerar que a reação química hipotética a seguir ocorra em apenas uma etapa:

2A + 3B A2B3 Encontrar uma representação para a velocidade da reação química. Solução: reagente A: coeficiente estequiométrico 2 reagente B: coeficiente estequiométrico 3 Pela lei de Guldberg-Wagge, tem-se:

3232 ]B.[]A[kv]B.[]A[v b) para a reação hipotética do item a) o que aconteceria com a velocidade da reação química caso a concentração do reagente A dobrasse e a do reagente B fosse reduzida à metade? Solução: Sabe-se que:

[A] [B]

Situação 1 X Y

Situação 2 2X 2Y

Tem-se 32 ]B.[]A[kv Assim:

2/11

vv

8Y.X4kv

Y.kXv

2Y.)X2(kv:2situação

Y.kXv:1situação

2

13

22

3213

22

321

2vv 1

2

Isto é, a velocidade da reação química seria reduzida à metade. Exemplo 3: A lei de Guldberg-Wagge ou lei de ação das massas afirma que: “A velocidade de uma reação química é diretamente proporcional ao produto das concentrações molares dos reagentes elevados a expoentes obtidos experimentalmente.” Suponha que a reação A + B X não ocorra em uma etapa e a tabela a seguir mostra como a velocidade da reação química varia em função das concentrações dos reagentes A e B.

Experimento A (mol/L) B (mol/L) v (mol/mim)

I 0,5 0,5 0,015

II 1,0 0,5 0,030

III 0,5 1,0 0,060

IV 1,0 1,0 0,120 a) Determinar a lei matemática para a velocidade da reação química A + B X. Solução: Pela lei de Guldberg-Waage, tem-se v = k.[A]a.[B]b. Para o estabelecimento dos expoentes, deve-se analisar o comportamento da velocidade em função de um dos reagentes; para isso, o outro deverá permanecer inalterado. Assim: Expoente “a”: Analisar experimentos I e II (ou III e IV) pois a concentração de B não varia.

Experimento I: ba

ba

baII2

baI1

]B.[)0,1(k030,0]B.[)5,0(k015,0

]B.[]A[kv]B.[]A[kv

Experimento II:

a

21

21 a = 1

Expoente “b”: Analisar experimentos I e III (ou II e IV) pois a concentração de A não varia.

Experimento I: ba

ba

bIII

a3

bI

a1

)0,1.(]A[k060,0)5,0.(]A[k015,0

]B.[]A[kv]B.[]A[kv

Experimento III:

b

21

41 b = 2

v = k[A].[B]2

AAPPÊÊNNDDIICCEE

MATEMÁTICA


10

Proporção Direta

Para uma proporção direta, o gráfico que une os pontos correspondentes formam uma linha reta cuja direção passa pela origem.

x.kyxy Essa reta poderá ser:

Proporção Inversa

Para uma proporção inversa, o gráfico que une os pontos correspondentes formam uma hipérbole equilátera.

x1.ky

x1y

Essa hipérbole equilátera poderá ser:

Obs.: É importante observar que essa hipérbole equilátera nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a 0+ mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + [se k > 0] ou a - [se k < 0]).

Proporção Direta com o Quadrado

Para uma proporção direta com o quadrado, o gráfico que une os pontos correspondentes formam uma parábola que passa pela origem.

22 x.kyxy Essa parábola poderá ser:

Proporção Inversa com o Quadrado

Para uma proporção inversa com o quadrado, o gráfico

que une os pontos correspondentes formam uma hipérbole (não equilátera).

22 x1.ky

x1y

Essa hipérbole equilátera poderá ser:

Obs.: É importante observar que essa hipérbole nunca tocará os eixos horizontal e vertical. Isto é, quando “x” for muito grande (tendendo a + ), “y” será muito pequeno (tendendo a zero mas, ainda assim, não nulo) e quando “x” for muito pequeno (tendendo a 0+ mas, ainda assim, não nulo) “y” será muito grande (tendendo a + [se k > 0] ou a - [se k < 0]). Comparação Gráfica das Proporções A figura a seguir mostra, para k = 1, o comportamento gráfico das proporções anteriores (no 1º quadrante).

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

MATEMÁTICA


11

1. A lei de Stefan-Bolzmann estabelece que o fluxo de energia (E) emitida por um corpo negro é diretamente proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta (T). Assim, a lei de Stefan-Boltzmann pode ser representada por ___________ e se a temperatura absoluta de um corpo negro for duplicada, seu fluxo de energia será ____________. A alternativa que preenche as lacunas corretamente e na ordem em que aparecem no texto é:

Represente a constante de proporcionalidade pela letra grega . (A) E = .T; duas vezes maior. (B) E = .T4; duas vezes maior.

(C) 4T1E ; dezesseis vezes maior.

(D) E = .T4; oito vezes maior. (E) E = .T4; dezesseis vezes maior. 2. A intensidade do campo magnético (B) criado por um fio retilíneo longo percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i a uma

distância r é dada pela expressão ri.

2B 0

. Assim, o gráfico B

versus i é: (A) um ramo de parábola. (B) um ramo de hipérbole equilátera. (C) uma reta que passa pela origem. (D) um ramo de hipérbole não equilátera. (E) uma curva exponencial. 3. O número 510 foi dividido em duas partes sendo elas diretamente proporcionais aos números 8 e 9. Assim sendo, pode-se afirmar que: (A) a parte maior supera a menor em 30 unidades. (B) ambas as partes são formadas por números ímpares. (C) as partes são 210 e 300. (D) as partes são 230 e 280. (E) é impossível obter números inteiros que satisfaçam o enunciado. 4. Dizem que as crianças quando caem não sofrem o mesmo impacto que um adulto pelo fato de aquelas terem seus ossos “moles”. No entanto, a causa para não sofrerem o mesmo dano que um adulto está na quantidade de energia mecânica que é transformada em energia cinética durante a queda. Se a pessoa estiver parada, a energia mecânica será igual à energia potencial gravitacional. Estime quantas vezes a energia potencial gravitacional de um ser humano adulto é maior que de uma criança. Para isso, admita que todas as dimensões de um adulto sejam o dobro das de uma criança e que a energia potencial gravitacional (EP) seja diretamente proporcional à massa (m) e à altura do centro de massa (hCM) da pessoa, bem como o fato de a massa ser diretamente proporcional ao volume. (A) 4 vezes (B) 8 vezes (C) 10 vezes (D) 16 vezes (E) 20 vezes 5. Uma torneira cuja vazão máxima é constante de 5 L/min enche um certo reservatório em 20 min. Para encher o mesmo reservatório em 5 min é necessário: (A) acrescentar quatro torneiras iguais à primeira. (B) acrescentar três torneiras iguais à primeira. (C) substituir a torneira existente por outra cuja vazão seja o triplo. (D) substituir a torneira existente por outra cuja vazão seja o quíntuplo. (E) substituir a torneira existente por outra cuja vazão seja de 1,2 L/min.

6. Analise os gráficos a seguir:

Na ordem em que aparecem, os gráficos são: ramo de uma parábola, uma linha reta, um ramo de hipérbole equilátera. Sendo assim, a expressão matemática que mostra a relação entre as grandezas y, a, b e c é:

Dado: k é uma constante.

(A) c

b.aky2

(B) 2

2

cb.aky

(C) 2cb.aky

(D) 2

22

cb.aky

(E) cb.aky

2

7. Sabe-se que a diferença de potencial elétrico (V), a resistência elétrica (R) e a intensidade de corrente elétrica (I) que passa por um condutor estão relacionadas através de V = R.I. Para uma diferença de potencial constante (A) a intensidade de corrente elétrica é proporcional à resistência elétrica. (B) a intensidade de corrente elétrica é inversamente proporcional à resistência elétrica. (C) a intensidade de corrente elétrica é invariável à medida que a resistência elétrica varia. (D) o gráfico de I x R é uma linha reta descendente. (E) ) o gráfico de I x R é um ramo de parábola. 8. A lei universal dos gases ideais pode ser representada por

kTV.p

onde p é a pressão, V é o volume, T é a temperatura

absoluta e k é uma constante. Considere as seguinte afirmações: I. Se T for mantida constante, p e V são inversamente proporcionais. II. Se p for mantida constante, V e T são diretamente proporcionais. III. Se V for mantido constante, p e T são inversamente proporcionais. São verdadeiras: (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) apenas I e III. 9. Uma pessoa deseja dividir o número 210 em três partes, sendo estas inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 6. A menor parte vale: (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 (E) 100

MATEMÁTICA


12

10. A área de um triângulo eqüilátero é dada por 43LA 2 . Um

triângulo equilátero tem área Y quando seu lado mede X. Se o lado for triplicado a área desse triângulo valerá: (A) 3Y (B) Y/3 (C) 9Y (D) Y/9 (E) Y 11. A potência elétrica dissipada por um resistor é dada pela

expressão RVP

2 , onde V é a diferença de potencial aplicada e R

é a resistência elétrica do resistor. Para um resistor com resistência elétrica constante, qual alternativa melhor mostra o gráfico P versus V?

(A) (B) (C)

(D) (E)

12. A potência elétrica dissipada por um resistor é dada pela expressão P = R.i2, onde i é a intensidade de corrente elétrica que passa pelo resistor e R é a resistência elétrica do resistor. Para um resistor com resistência elétrica constante, qual alternativa mostra corretamente o gráfico P versus i2?

(A) (B) (C)

(D) (E)

13. O valor de um diamante é proporcional ao quadrado de seu peso em quilates. Sendo dado que um diamante de 12 quilates quebrou-se em dois pedaços, um de 8 e outro de 4 quilates. Dessa forma, o prejuízo equivale a um diamante de (A) 2 quilates (B) 4 quilates (C) 6 quilates (D) 8 quilates (E) 10 quilates 14. A figura a seguir mostra um carrinho descendo um trilho inclinado, onde x1, x2 e x3 são as distâncias percorridas pelo carrinho nos intervalos de tempo [0; t1], [t1; t2] e [t2; t3].

Sabe-se que a distância percorrida pelo carrinho é diretamente proporcional ao quadrado do tempo de percurso. Os valores de x1, x2 e x3 são, respectivamente, 10 cm, 30 cm e 50 cm. Sendo assim, os instantes de tempo t1, t2 e t3 decorridos desde a soltura do carrinho (t = 0) podem ser, respectivamente, (A) 1 s, 3 s e 5 s. (B) 1 s, 2 s e 3 s. (C) 1 s, 4 s e 9 s. (D) 1 s, 3 s e 5 s. (E) 1 s, 9 s e 25 s. 15. A lei da gravitação universal de Newton afirma que o módulo da força de interação entre duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância r é diretamente proporcional ao produto entre as massas das partículas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. A constante de proporcionalidade está representada pela letra G. Assinale a alternativa que descreve matematicamente a lei da gravitação universal de Newton.

(A) rm.mGF 21

(B) 221

rm.mGF

(C) 21

2

m.mrGF

(D) 21 m.m

rGF

(E) 2

21rm.mGF

16. A figura mostra o comportamento da grandeza y em função da grandeza x. Pela análise da figura, pode-se afirmar que: (A) y x2

(B) yx1

(C) y 2x1

(D) y 3x1

(E) y x3 17. A resistência elétrica de um fio condutor é dada pela expressão

ALR , onde é a resistividade do material, L é o comprimento

do fio e A é a área de secção normal do fio. Para um fio comum, a área de secção normal é um círculo de raio r. Sendo assim, afirma-se que: (A) a resistência elétrica do fio é diretamente proporcional a r. (B) a resistência elétrica do fio é diretamente proporcional ao quadrado de r. (C) a resistência elétrica do fio é inversamente proporcional a r. (D) a resistência elétrica do fio é inversamente proporcional ao quadrado de r. (E) a resistência elétrica do fio não depende de r.

MATEMÁTICA


13

18. A energia potencial elétrica armazenada em um capacitor de capacitância C submetido a uma diferença de potencial V é dada

por 2

CVE2

P . Dois capacitores de capacitâncias X e 4X possuem

a mesma energia potencial elétrica. Assim, pode-se afirmar que o capacitor de (A) maior capacitância está submetido a uma diferença de potencial 4 vezes maior que o capacitor de menor capacitância. (B) maior capacitância está submetido a uma diferença de potencial 2 vezes maior que o capacitor de menor capacitância. (C) menor capacitância está submetido a uma diferença de potencial 4 vezes maior que o capacitor de maior capacitância. (D) menor capacitância está submetido a uma diferença de potencial 2 vezes maior que o capacitor de maior capacitância. (E) maior capacitância está submetido a uma diferença de potencial igual à do capacitor de menor capacitância. 19. Um tanque com 100 L de água é esvaziado através de uma vazão constante de 5 L/min. Considere as afirmações a seguir: I. O volume de água escoado é diretamente proporcional ao tempo. II. O volume de água que permanece no tanque é inversamente proporcional ao tempo. III. O volume de água que permanece no tanque é inversamente proporcional ao quadrado do tempo. São verdadeiras: (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) apenas I e III.

20. Considere a expressão 2

43

tz.xky , onde k é uma constante.

Se as grandezas x, z e t forem todas duplicadas, a grandeza y será: (A) duplicada. (B) quadruplicada. (C) quintuplicada. (D) multiplicada por 10. (E) multiplicada por 32.

21. Sabe-se que xy e 2t1x . Caso a grandeza “t” dobrar de

valor, a grandeza “y”: (A) também dobrará. (B) quadruplicará. (C) será dividida por dois. (D) será dividida por quatro. (E) ficará inalterada. 22. A lei de Graham afirma que a velocidade (v) de efusão de um gás é inversamente proporcional à raiz quadrada de sua massa molar (MM). A alternativa que mostra corretamente essa lei é: (A) MMkv

(B) kMMv

(C) 2

1

2

1MMMM

vv

(D) 1

2

2

1MMMM

vv

(E) 1

2

2

1MMMM

vv

23. Uma partícula eletrizada em movimento em um campo magnético uniforme pode sofrer a atuação de uma força magnética. Caso a partícula descreva um movimento

circunferencial uniforme, o raio de curvatura é dado por B.qv.mR ,

onde m é a massa da partícula, v é o módulo da velocidade da partícula, q é o módulo da carga elétrica líquida da partícula e B é o módulo do campo magnético. Duas partículas, 1 e 2, são lançadas com a mesma velocidade no mesmo campo magnético. Sabe-se que a carga elétrica líquida da partícula 1 é o dobro da partícula 2 e possui a metade da massa da segunda. Sendo assim, pode-se afirmar que: (A) R2 = 4R1 (B) R2 = 2R1 (C) R2 = R1 (D) 2R2 = R1 (E) 4R2 = R1 24. Sendo y = ax + b e z = y - b, pode-se dizer que: (A) xz (B) xy (C) yz

(D) x1z

(E) x1y

25. Sabe-se que xy e que tx . Assim:

(A) 2ty

(B) 2t1y

(C) ty (D)

t1y

(E) y = t 26. Um retângulo de lados a e b tem área A. Outro retângulo, de lados a’ e b’ proporcionais a a e b, tem área A’. Sendo k a constante de proporcionalidade entre os lados, pode-se afirmar que: (A) A’ = k.A (B) A’ = k2.A (C) A’ = k3.A (D) A’ = k4.A (E) A’ = k5.A 27. Um paralelepípedo de arestas a, b e c tem volume V. Outro paralelepípedo, de arestas a’, b’ e c’ proporcionais a a, b e c, tem volume V’. Sendo k a constante de proporcionalidade entre as arestas, pode-se afirmar que: (A) V’ = k.V (B) V’ = k2.V (C) V’ = k3.V (D) V’ = k4.V (E) V’ = k5.V Instrução: O enunciado a seguir refere-se às questões 28, 29 e 30. Matematicamente, a expressão que relaciona o período de oscilação (T) de um pêndulo simples com seu comprimento (L) e

com o campo gravitacional local (g) é gL2T .

MATEMÁTICA


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28. Pela análise da expressão, verifica-se que o período é ___________________. Comparando o período de oscilação de dois pêndulos simples em um mesmo local, sendo que o pêndulo 1 possui comprimento de 120 cm e o pêndulo 2 comprimento de 30 cm, conclui-se que o período de oscilação do pêndulo 1 é ___________________ que o do pêndulo 2. Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas acima na ordem em que aparecem no texto. (A) diretamente proporcional ao comprimento – quatro vezes maior. (B) diretamente proporcional ao comprimento – duas vezes maior. (C) diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento – duas vezes maior. (D) diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento – quatro vezes maior. (E) inversamente proporcional à raiz quadrada do comprimento – duas vezes menor. 29. Considere os valores dos campos gravitacionais para planetas hipotéticos:

Planeta X Y Z W

Campo gravitacional (N/kg) 2,5 5 20 40

Admitindo que o campo gravitacional terrestre seja 10 N/kg, para qual planeta deverá ser levado um pêndulo simples de modo que seu período seja duas vezes maior que na Terra? Admita que o comprimento do fio não seja alterado. (A) X (B) Y (C) Z (D) W (E) nenhum dos mostrados na tabela. 30. Um pêndulo simples de comprimento igual a 80 cm apresenta período T quando colocado em um campo gravitacional g. Ao transladar esse pêndulo para um local onde o campo gravitacional vale g/4, é necessário _____________________ o comprimento do fio para que o período seja mantido inalterado. A alternativa que completa corretamente a lacuna do texto acima é: (A) reduzir em 60 cm (B) reduzir em 20 cm (C) reduzir em 40 cm (D) aumentar em 20 cm (E) aumentar em 40 31. A área de um hexágono regular de lado L é dada por

3L23A 2 . Se o lado do hexágono for quadruplicado, o valor da

área desse hexágono será: (A) multiplicada por 324 . (B) multiplicada por 16. (C) multiplicada por 4. (D) dividida por 324 . (E) dividida por 16.

32. A área de um triângulo equilátero é dada por 43LA 2 . Esse

mesmo triângulo, quando inscrito em uma circunferência de raio R,

estabelece com esta a seguinte relação: R23h , onde h é a altura

do triângulo e R é o raio da circunferência. Sabe-se, ainda, que o

lado desse triângulo e sua altura se relacionam por: 23Lh .

Assim, o que aconteceria com a área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência se o raio dessa fosse reduzido à metade?

(A) Ficaria reduzida à quarta parte. (B) Ficaria reduzida à metade. (C) Duplicaria. (D) Quadruplicaria. (E) Não seria alterada. 33. O módulo do campo elétrico criado por um dipolo elétrico

quando medido sobre o eixo do dipolo é dado por 30 z

p2

1E

,

onde p é o momentum de dipolo elétrico e z é a distância do centro do dipolo ao ponto de medida do campo elétrico. O momentum de dipolo elétrico é um número intrínseco ao dipolo, sendo seu valor dado por p = q.d, onde q é o módulo das cargas elétricas das partículas e d é a distância que as separa. Os valores de e 0 são, respectivamente, aproximadamente iguais a 3,14 e 8,85.10-12 F/m. Suponha que para uma distância de 5 cm do centro do dipolo, o campo elétrico seja igual a 1,6.10-6 N/C. Nessas condições, a que distância do centro do dipolo estaria sendo medido o campo elétrico se o módulo encontrado fosse de 2,0.10-7 N/C? (A) 10 cm (B) 20 cm (C) 50 cm (D) 100 cm (E) n.d.a. 34 Considere o seguinte enunciado: “O quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita elíptica.” O enunciado acima é o da terceira lei de Kepler. Representando por T o período e R o raio médio, uma possível expressão matemática para essa lei é: (A) T = k.R3 (B) T3 = k.R2 (C) T = k.R3/2 (D) T = k.R2/3 (E) T = k.R1/3 35. Uma grandeza A é diretamente proporcional à grandeza X. Outra grandeza, B, é diretamente proporcional ao quadrado de X. Assim, considerando apenas valores positivos, a grandeza A é: (A) diretamente proporcional a B. (B) diretamente proporcional a B2. (C) diretamente proporcional a B1/2. (D) inversamente proporcional a B. (E) inversamente proporcional a B2.

GGAABBAARRIITTOO

1-E 2-C 3-A 4-D 5-B 6-A 7-B 8-D 9-B 10-C 11-A 12-B 13-D 14-B 15-B 16-C 17-D 18-D 19-A 20-E 21-D 22-D 23-A 24-A 25-C 26-B 27-C 28-C 29-A 30-A 31-B 32-A 33-A 34-C 35-C

Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais

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