PRODEZ RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO CONCURSOS · GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS R$2.400,00...

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RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

PROF PEDRÃO POLÍCIA CIVIL 2017

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1

RAZÃO

É uma divisão: b

a

PROPORÇÃO

É a igualdade entre razões: d

c

b

a

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Têm “o mesmo sentido” de variação – quando uma aumenta, a outra também aumenta ou quando uma diminui, a outra também diminui.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Têm “sentidos contrários” de variação – quando uma aumenta, a outra diminui ou quando uma diminui a outra aumenta.

EXERCÍCIOS 01) Uma operadora de telefone celular cobra uma tarifa de

R$ 0,40 por minuto de ligação e uma de telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso de 4 minutos. Comparando-se os dois valores, conclui- se que a razão entre a tarifa do celular e a do fixo é: 02) Paulo e André receberam juntos R$88.000,00.

Enquanto Paulo aplicou 3/5 do que recebeu em ações, André investiu 2/3 de sua parte na montagem de uma pequena empresa. Após essas duas operações, ambos ficaram com quantias iguais. Com base nessas informações, é correto afirmar que o valor investido por André, em reais, é igual a: 03) Antônio aplicou a quantia de R$ 800,00 e Carolina

aplicou a quantia de R$ 400,00. Essas duas aplicações, feitas em uma mesma instituição financeira, renderam juntas, após certo período, R$ 600,00. Nessas condições, a aplicação de Antônio e a de Carolina renderam, respectivamente: 04) Cecília presenteou seus netos, André de 8 anos e

Sofia de 6 anos, com a quantia de R$420,00 dividida em partes proporcionais a suas idades. A quantia recebida por Sofia, em reais, foi: 05) Uma herança de R$ 40.000,00 será dividida entre três

irmãos A, B e C, em partes proporcionais às suas idades 5, 8 e 12, respectivamente. A quantia que B irá receber é 06) Três sócios A, B e C montaram um negócio, sendo que

A investiu R$ 8.000,00, B investiu R$ 6.000,00 e C investiu R$ 4.000,00. Eles combinaram que o lucro obtido seria dividido proporcionalmente aos capitais investidos. Após

algum tempo, verificou-se um lucro de R$ 7.200,00, a ser distribuído. Pode-se afirmar que os valores a serem atribuídos a A, B e C são, respectivamente: 07) Dividindo 264 em três partes inversamente

proporcionais a 2, 5 e 8, encontramos três números cuja soma dos dois maiores é igual a S. Calcule S.

GABARITO

01) 10 02) R$32.000,00 03) R$400,00 e R$200,00 04) R$180,00 05) R$12.800,00 06) R$3.200,00; R$2.400,00 e R$1.600,00 07) S = 160 + 64 = 224

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Quando há apenas duas “situações” envolvidas. Pode

ser diretamente ou inversamente proporcional.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Quando há mais que duas “situações” envolvidas. Pode ser diretamente ou inversamente proporcional, inclusive misturando as situações em uma mesma questão.

EXERCÍCIOS 08) Em uma pesquisa sobre o analfabetismo em

matemática, foram entrevistadas 2000 pessoas, amostra que representa 110 milhões de brasileiros entre 15 e 64 anos de idade. Dentre os entrevistados, 60 foram considerados analfabetos absolutos em matemática. Com base nas informações do texto acima, calcule o número estimado de brasileiros entre 15 e 64 anos, analfabetos absolutos em matemática. 09) De acordo com reportagem da revista Veja (20 de

junho de 2007, p. 88-90), um dos grandes sonhos da classe média brasileira que começa a vida economicamente ativa é passar em um concurso público. A proporção de funcionários públicos entre os trabalhadores “formais” no Brasil passou de 17%, na década de 80, para 22%, atualmente. Segundo dados do IBGE, o Estado brasileiro emprega hoje aproximadamente 9 milhões de cidadãos. De acordo com esses dados, calcule a quantidade aproximada de trabalhadores na iniciativa privada atualmente. 10) Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$1,50.

Se um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele irá pagar ao feirante? 11) Se, em uma fábrica de automóveis, 12 robôs idênticos

fazem uma montagem em 21 horas, em quantas horas 9 desses robôs realizam a mesma tarefa? 12) Um festival foi realizado num campo de 240m por 45m.

Sabendo que para cada 2 m2 havia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival?

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2

13) Em 2006, segundo notícias veiculadas na imprensa, a

dívida interna brasileira superou um trilhão de reais. Em notas de R$ 50,00, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toneladas. Com base nessas informações, pode–se afirmar corretamente que a quantidade de notas de R$ 50,00 necessárias para pagar um carro de R$ 24.000,00 tem massa, em quilogramas, de: 14) Se o vazamento de uma torneira enche um copo de

200ml de água a cada hora, é correto afirmar que, para se desperdiçar 3m3 de água, são necessários 15) O nanômetro é a unidade de medida de comprimento

usada em Nanotecnologia (“nano” vem do grego e significa “anão”). Sabe-se que um metro equivale a um bilhão de nanômetros. Considerando o diâmetro da Terra com 13.000 quilômetros, conclui-se que a medida do diâmetro da terra, em nanômetro, é igual a: 16) Para escaparem de uma penitenciária, 10 prisioneiros

decidem cavar um túnel de 450m de comprimento. Em uma fuga anterior, 12 prisioneiros cavaram um túnel de 270m, trabalhando 6 horas por noite, durante 9 noites. Se os atuais prisioneiros pretendem trabalhar 4 horas por noite, em quantas noites o túnel ficará pronto? 17) Se 6 pessoas, trabalhando 4 horas por dia, realizam

um trabalho em 15 dias, 8 pessoas, trabalhando 6 horas por dia, farão o mesmo trabalho em: 18) Um fabricante de queijo gasta 60 litros de leite para

fazer 18 queijos de 2,5kg cada um. Quantos queijos de 2kg ele faz com 80 litros de leite? 19) Ao reimprimir um livro de 100 páginas de 32 linhas

com 42 letras por linha, usaram-se 24 linhas de 32 letras. O novo livro foi apresentado com:

GABARITO

08) 3.300.000 09) 31,9% 10) R$2,50 11) 28 horas 12) 37.800 13) 0,48kg 14) 625 dias 15) 1,3 x 1016 16) 27 noites 17) 7,5 dias 18) 30 queijos 19) 175 páginas

PORCENTAGEM

É sempre uma regra de três simples, diretamente proporcional.

03,0100

3%3

30,0100

30%30

Ex: a) Calcule 10% de 20%

b) Calcule (10%)2

c) Calcule %100

EXERCÍCIOS 20) Um comerciante reajustou o preço de determinado

produto em 10%. Observando que as vendas caíram, resolveu dar um desconto de 10% sobre o valor anunciado para o produto. Podemos afirmar que o valor final, em relação ao inicial, será: 21) A população de uma cidade cresceu 25% em um ano

e, no ano seguinte, teve um decrescimento de 25%. Em relação à população inicial da cidade, podemos deduzir corretamente que a população: 22) Um cliente possui R$ 100,00 (cem reais) em sua conta

bancária. Sabendo-se que o Governo Federal cobra um tributo de 0,38% de CPMF (Contribuição Provisória sobre a Movimentação Financeira) sobre cada movimentação financeira, qual o valor máximo que esse cliente pode sacar sem ficar com a conta negativa? 23) Um administrador municipal promoveu uma consulta à

população com o objetivo de obter subsídios para o projeto do orçamento do próximo ano. Das pessoas consultadas, 4392 responderam que a maior prioridade deveria ser dada à segurança pública. Sabendo que estas constituíam 24% do total de pessoas consultadas, calcule esse total. 24) Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há

100 alunos. Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação. Dentre os que ficaram em recuperação, 70% foram aprovados. Determine o percentual de alunos aprovados nessa disciplina. 25) Pedrão comprou dois aparelhos de ar condicionado e,

com isso, seu consumo de energia elétrica, de setembro para outubro, cresceu em 40%. Se a conta de outubro registra um consumo de 210kWh, a conta de setembro registrava um consumo de: 26) Segundo dados publicados na revista Istoé Dinheiro

(02/08/06) no ano de 2006 deverão ser investidos no mundo 673 bilhões de dólares em mídia e serviços de marketing. Este valor representa um crescimento de 6,2% em relação a 2005. Com base nesses dados, calcule quanto foi investido no mundo, no ano de 2005, em mídia e serviços de marketing. 27) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu

12% de uma estrada. Ao concluir o segundo trecho, correspondente a 1.200 metros, o percentual percorrido passou a ser 16% da estrada. A extensão da estrada é 28) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 100m

por R$ 900,00. Se ele vender 40m com lucro de 35%, 50m com lucro de 20% e 10m pelo preço de custo, então o comerciante terá um lucro na venda da peça de:

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3

29) O dono de uma loja sabe que, para não ter prejuízo, o

preço de venda de determinado produto deve ser, no mínimo, 30% superior ao preço de custo. Visando atender clientes que pedem desconto, o dono da loja define o preço de venda, acrescentando 60% ao preço de custo. Dessa forma, o maior desconto que ele pode conceder, sem ter prejuízo, é de: 30) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que

custava R$4200,00, já incluídos R$120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: 31) Em porcentagem das emissões totais de gases do

efeito estufa, o Brasil é o quarto maior poluidor, conforme a tabela abaixo. É CORRETO afirmar que a porcentagem de gases emitidos juntamente por Japão e Canadá, em relação aos gases emitidos pelo Brasil, é aproximadamente:

32) Mona verificou que o preço de um televisor era

R$840,00. Após uma semana, retornou à mesma loja e constatou que o preço da mesma televisão fora reajustado em mais 15%. O desconto que Mona deve receber para que o valor da televisão retorne ao preço anterior é, aproximadamente, de: 33) Uma empresa comprou três milhões de reais em

dólares. No primeiro mês, o dólar oscilou negativamente em 12%, mas no segundo mês a empresa conseguiu recuperar 8% do prejuízo acumulado. Ao final do segundo mês, a perda da empresa em relação ao seu investimento inicial foi de aproximadamente: 34) Um investidor iniciante investiu R$ 3.000,00 na Bolsa

de Valores. No primeiro mês ele perdeu 40% do valor investido e no segundo mês ele recuperou 30% do prejuízo do mês anterior. Ao final do segundo mês, o montante investido em sua carteira era de: 35) Jorge trabalha em uma empresa cujo piso salarial é de

R$360,00 e recebe, mensalmente, o triplo desse valor. A metade do que ganha fica comprometida com as despesas de luz, gás, transporte e lazer. Além disso, o aluguel e o IPTU consomem juntos 20% do seu salário e 1/4 do que

recebe é gasto com alimentação e a compra de produtos de primeira necessidade. Com base nessas informações, é correto afirmar que, mensalmente, Jorge tem condições de poupar: 36) Joana, que trabalha como vendedora, teve duas

propostas de emprego: - a primeira oferece um salário de R$ 600,00, mais comissão de 1% do seu total de vendas; - a segunda oferece um salário de R$ 700,00, mais comissão de 0,6% do seu total de vendas. Acima de qual valor total de vendas efetuadas, a primeira proposta de emprego de Joana oferece maior salário do que a segunda? 37) O preço de um carro novo é de R$ 22.000,00 e diminui

de 10 % a cada ano de uso. Qual será o preço com 3 anos de uso? 38) Um vendedor de frutas levava um carregamento de

caixas de laranjas para vender a seu cliente a R$8,40 cada caixa. Ao chegar para a venda percebeu que havia doze caixas com frutas impróprias para o consumo, que foram descartadas, e as que sobraram foram vendidas por ele com acréscimo de 15% em seu preço. Com isso, obteve o mesmo montante que conseguiria caso não tivesse perdido as doze caixas e as tivesse vendido a R$ 8,40. A quantidade de caixas de laranjas vendidas foi de: 39) Recentemente o governo autorizou um aumento de

10% no preço da gasolina e, logo em seguida, um aumento de 8% no preço do álcool. Como, na composição da gasolina, o álcool contribui com 25%, o preço da gasolina teve, então, um novo reajuste correspondente ao aumento do preço do álcool. O aumento da gasolina, levando em conta os dois reajustes, foi de: 40) A tabela abaixo descreve os valores gastos, no

primeiro ano de vida, com cachorros e gatos. De acordo com a tabela, para um cachorro e um gato, o gasto com ração, no primeiro ano, representa em relação ao custo total, incluindo o preço dos animais, a porcentagem de:

41) Quando foi admitido em uma empresa, José contratou

um plano de saúde, cujo valor correspondia a 5% do seu salário. Hoje, José tem um salário 30% maior e o plano de saúde teve, desde a admissão de José, um aumento de 82%, representando, atualmente, K% do salário de José. O valor de K é:

1,8Canadáº10

2,1Malásiaº9

3,2Japãoº7

5,4Brasilº4

11,9Chinaº2

15,8Unidos Estadosº1

mPorcentagePaísçãoClassifica

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4

42) Um teatro aumenta o preço do ingresso em 8%. Em

conseqüência, o número de ingressos vendidos diminui em 5%. Qual é a variação, em porcentagem, da receita obtida pelo teatro? 43) O preço do produto X é 20% menor que o do produto

Y, e este, por sua vez, tem preço 20% maior que o do produto Z. Se os preços dos três produtos somam R$ 237,00, quanto custa, em reais, o produto Z? 44) Consideremos a renda per capita de um país como a

razão entre o Produto Interno Bruto (PIB) e sua população. Em 2004, a razão entre o PIB da China e o Brasil, nesta ordem, era 2,8; e a razão entre suas populações, também nesta ordem, era 7. Com base nessas informações, pode–se afirmar corretamente que, em 2004, a renda per capita do Brasil superou a da China em: 45) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, seu

novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$9,99. Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%, em R$, é: 46) De acordo com diagnóstico do Banco Central a

respeito de meios de pagamento de varejo no Brasil, no ano de 2006, constata-se que 24% dos pagamentos foram feitos com cheque e 46%, com cartão. O valor médio desses pagamentos foi de R$623,00 para os cheques e de R$65,00 para os cartões. O valor médio, quando se consideram todos os pagamentos efetuados com cheque e cartão, é, aproximadamente: 47) O senhor Pitágoras contrata um advogado; esse

consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ 30 000,00 e cobra, a título de honorários, 15% da quantia recebida. Qual a importância que resta para o senhor Pitágoras? 48) Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o lucro

de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual a taxa única, que representa o valor final da mercadoria, após o último aumento. 49) Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de

Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: “prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10% mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito:”prove-me e fique 20% mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:

GABARITO 20) 99% do valor inicial 21) diminuiu 6,25% 22) R$99,62 23) 18.300 24) 79%

25) 150kWh 26) 633,71 bilhões de dólares 27) 30km 28) 24% 29) 18,75% 30) R$3792,00 31) 92,6% 32) 13% 33) 11% 34) R$2160,00 35) R$54,00 36) R$25000,00 37) R$ 16.038,00 38) 80 39) 12,2% 40) 24% 41) 7% 42) 2,6% 43) R$75,00 44) exatos 150% 45) R$222,00 46) R$ 256,00 47) R$22950,00 48) 38,6% 49) ficou 1% mais baixa

QUESTÕES FEPESE

RAZÃO 01- (FEPESE-PREFSJ-2013)A razão entre o número de lobos e coelhos em uma floresta é de 4:77. Se na floresta existem 1155 coelhos, quantos lobos existem nessa floresta? a. ( ) 30 b. ( ) 45 c. ( ) 50 d. ( ) 60 e. ( ) 70 02- (FEPESE-PREFIÇA-2014) Em uma floresta a razão entre presa e predador é de 2:3. Sabe-se ainda que o número de presas é igual ao dobro do número de predadores menos 8. Portanto, o número de predadores nesta floresta é: a. ( ) 4.

b. ( ) 6.

c. ( ) 8.

d. ( ) 10.

e. ( ) 12. PROPORÇÃO 03- (FEPESE-FCEE-2013) Uma escola recebe 50 computadores, os quais devem ser distribuídos entre quatro de suas turmas. Por outro lado, a distribuição deve ser proporcional ao numero de alunos em cada turma. Sabendo que a turma A tem 20 alunos, a B, 24 alunos, a C, 26 alunos e a D, 30 alunos, podemos afirmar que a turma C ira receber: a. ( ) 14 computadores. b. ( ) 13 computadores. c. ( ) 12 computadores. d. ( ) 10 computadores. e. ( ) 8 computadores. 04- (FEPESE-FCEE-2013) Um centro educacional utiliza uma escala de zero a nove para avaliar seus alunos, sendo zero a nota mínima e nove a nota máxima. Logo, a nota 8,5 nessa escala representa, na escala usual de zero a dez, a nota: a. ( ) 9,222… b. ( ) 9,333… c. ( ) 9,444… d. ( ) 9,555… e. ( ) 9,666…

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REGRA DE TRÊS

05- (FEPESE-UDESC-2010) Um recenseador tem que entrevistar 540 pessoas. Sabendo que a cada 7 dias ele entrevista 63 pessoas, assinale a alternativa que indica a porcentagem de pessoas entrevistadas após 30 dias. a. ( ) 25% do total. b. ( ) 40% do total. c. ( ) 50% do total. d. ( ) 60% do total. e. ( ) 75% do total. 06- (FEPESE-PREFFPOLIS-2012) Se aumentarmos em 60% a velocidade de um automóvel, o tempo necessário para efetuar certo trajeto diminuirá em: a. ( ) 30% b. ( ) 37,5% c. ( ) 40% d. ( ) 60% e. ( ) 62,5% 07- (FEPESE-FCEE-2013) Se em uma loja 15 funcionários atendem 320 pessoas a cada 8 horas, então quantas horas seriam necessárias para que 30 funcionários atendessem 240 pessoas? a. ( ) 6 h b. ( ) 5 h c. ( ) 4 h d. ( ) 3 h e. ( ) 2 h 08- (FEPESE-IMETRO-2010) 20 funcionários de uma empresa prestam atendimento online a 600 consumidores a cada 18 horas. Quantos funcionários são necessários para prestar atendimento a 800 consumidores a cada 24 horas? a. ( ) 20 b. ( ) 30 c. ( ) 40 d. ( ) 50 e. ( ) 60 09- (FEPESE-MPE-2014) Se em uma cidade 15 máquinas limpam 105 quilômetros de ruas a cada 3 dias, então quantas máquinas são necessárias para limpar 182 quilômetros de rua a cada 6 dias? a. ( ) 11. b. ( ) 12. c. ( ) 13. d. ( ) 14. e. ( ) 15. 10- (FEPESE-PREFBRU-2013) Se em uma fábrica de sapatos, 15 pessoas produzem 200 sapatos a cada 8 horas então para produzir 900 sapatos a cada 12 horas são necessárias: a. ( ) 30 pessoas. b. ( ) 40 pessoas. c. ( ) 45 pessoas. d. ( ) 54 pessoas. e. ( ) 60 pessoas.

11- (FEPESE-PREFCRI-2014) Se 15 máquinas extraem 40 toneladas de carvão a cada 5 dias, quantas máquinas são necessárias para extrair 224 toneladas de carvão a cada 7 dias? a. ( ) 30 b. ( ) 45 c. ( ) 60 d. ( ) 90 e. ( ) 75 PORCENTAGEM 12- (FEPESE-PREFFPOLIS-2014) Sabendo que o total da população brasileira é de aproximadamente de 191.800.000 habitantes e que a população brasileira em idade escolar é de aproximadamente 41.700.000 de crianças e jovens entre 4 e 17 anos de idade (IBGE, Censo Demográfico 2010), calcule o percentual da população total brasileira que está em idade escolar. a. ( ) 2,17% b. ( ) 21,74% c. ( ) 22,45% d. ( ) 4,59% e. ( ) 45,99 13- (FEPESE-IMETRO-2010) Um mês antes do natal uma loja varejista aumenta o preço de seus produtos em 30%. Após o Natal, em uma liquidação, a loja oferece 40% de desconto em seus produtos. O desconto final, em relação ao preço antes do aumento, é de: a. ( ) 40%. b. ( ) 32%. c. ( ) 30%. d. ( ) 25%. e. ( ) 22%.

14- (FEPESE-PREFFPOLIS-2017) Em um supermercado o preço do quilo de carne sofre um aumento de 12%. Percentualmente, a redução que deve ser aplicada ao novo custo do quilo da carne para que este volte ao preço original (antes do aumento de 12%) é: a. ( ) Maior que 11,6%. b. ( ) Maior que 11,3% e menor que 11,6%. c. ( ) Maior que 11% e menor que 11,3%. d. ( ) Maior que 10,7% e menor que 11%. e. ( ) Menor que 10,7%. 15- (FEPESE-PREFFPOLIS-2017) Para um encontro com amigos Maria encomenda 9 pizzas. O preço unitário de cada pizza é R$ 20,22 e para compras acima de 10 pizzas há um desconto de 8% no total da compra. Portanto, a diferença entre o custo de Maria comprar 10 pizzas ou 9 pizzas é: a. ( ) Mais do que R$ 4,5.

b. ( ) Mais do que R$ 4,25 e menos do que R$ 4,5.

c. ( ) Mais do que R$ 4 e menos que R$ 4,25.

d. ( ) Mais do que R$ 3,75 e menos do que R$ 4.

e. ( ) Menos do que R$ 3,75.

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16- (FEPESE-CASAN-2011) Um de seus primos decidiu abrir um novo negócio. Como ele não dispõe da totalidade dos recursos necessários, optou por oferecer a oportunidade de investimento para seus familiares, prometendo um rendimento composto de 30% a.a. sobre o capital investido. Hoje você investiu $ 50.000,00 no empreendimento. Quanto espera resgatar em dois anos? a. ( ) $ 65.100,00 b. ( ) $ 72.300,00 c. ( ) $ 80.000,00 d. ( ) $ 84.500,00 e. ( ) $ 93.600,00 17- (FEPESE-FCEE-2012)Qual a taxa anual composta de crescimento de uma população que multiplicou por oito sua quantidade de habitantes em três anos? a. ( ) 50% b. ( ) 100% c. ( ) 150% d. ( ) 200% e. ( ) 250%

GABARITO QUESTÕES FEPESE

01) d 02) b 03) b 04) c 05) c 06) b 07) d 08) a 09) c 10) c 11) c 12) b 13) e 14) d 15) c 16) d 17) b

ANÁLISE COMBINATÓRIA

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) n1.n2.n3...= total de possibilidades

Ex: Supondo que 5 colegas vão sair de carro, sentados nos 5 lugares disponíveis. De quantos modos podemos fazer isso, se: a) Todos souberem dirigir?

12012345

b) Apenas três souberem dirigir?

7212343

FATORIAL(!) n! = n.(n – 1).(n – 2)...1 Obs: 0! = 1 e 1! = 1

Ex: 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Simplificação

Ex:

a) 30!4

!4.5.6

!4

!6

b) 56!5.1.2.3

!5.6.7.8

!5!.3

!8

c) 111

11.10

!9

!9!9.10

!9

!9!10

ARRANJO SIMPLES

Importa a ordem dos elementos (PFC)

Ex: Oito atletas disputarão a final dos 100m rasos na Olimpíada. Desconsiderada a possibilidade de empate, então o número de maneiras diferentes de compor o podium, é de:

336678

Ou então:

3366.7.8

!5

!5.6.7.8

!5

!8

!38

!8A3

8

PERMUTAÇÃO SIMPLES Importa a ordem dos elementos (PFC)

Ex: 01) Serão distribuídos 5 prêmios entre 5 pessoas, mas elas deverão se organizar em fila para recebê-los. De quantas maneiras distintas isto pode ser feito?

12012345 Ou então: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 02) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PEDRÃO?

720123456

Ou então: P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO “Importa” a ordem dos elementos (PFC com repetição) Ex:

2neNn

!pn

!nAp

n

)pn(

!nPn

!...!

!nP ...,

n

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01) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMAR?

12!2

!2.3.4

!2

!4P2

4

02) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra APROVAÇÃO?

30240!31.2

!3.4.5.6.7.8.9

!2!3

!9P 2,3

9

COMBINAÇÃO SIMPLES Não importa a ordem dos elementos

Ex: Considerando 20 times disputam o Campeonato Brasileiro da série A, calcule: a) Quantos jogos “de ida” são disputados em uma única rodada?

190

!181.2

!18.19.20

!18!2

!20

!220!2

!20C2

20

b) Quantos jogos são disputados, considerando as partidas “de ida” e “de volta”?

380190.2C.2 220

Ou então:

38019.20

!18

!18.19.20

!18

!20

!220

!20A2

20

Ou então:

3801920

EXERCÍCIOS 01) Três amigos irão ao teatro e seus ingressos permitem

que escolham três poltronas, entre cinco pré-determinadas de uma mesma fila, para sentar-se. Nessas condições, de quantas maneiras distintas eles poderão se acomodar para assistir ao espetáculo? 02) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu

estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras possíveis de escolher pelo menos 3 cobaias é: 03) Com o objetivo de manter a democracia, realizou-se

uma eleição para compor a equipe diretiva de um clube. Essa equipe deve ser composta por um diretor, um vice-diretor e um coordenador. Considerando que um grupo composto por 10 pessoas resolveu participar desse processo e que qualquer uma delas pode ocupar qualquer

cargo, é correto afirmar que o número de equipes que se pode formar com esse grupo é: 04) Considere todos os números inteiros positivos que

podem ser escritos permutando-se os algarismos do número 2341. Quantos dos números considerados são menores que 2341? 05) Uma prova de matemática consta 8 questões das

quais o aluno deve escolher 6. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões? 06) Com os algarismos 2, 3, 4, 6, 7 e 8, quantos números

pares de 4 algarismos distintos podemos formar? 07) Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, quantos

números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados? 08) A Copa do Mundo de Futebol, que foi realizada na

Alemanha a partir de junho de 2006, contou com a participação de 32 seleções divididas em 8 grupos com 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em cada grupo, as seleções jogaram entre si uma única vez, qual o total de jogos realizados na primeira fase? 09) A senha de acesso a um jogo de computador consiste

em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será: 10) De quantas formas podemos permutar as letras da

palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem? 11) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA

em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem. 12) O número de permutações da palavra ECONOMIA que

não começam nem terminam com a letra O é 13) Considere um grupo formado por 7 homens e 5

mulheres do qual se quer extrair uma comissão constituída por 4 pessoas. Quantas são as comissões formadas por 2 homens e 2 mulheres? 14) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses

serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês? 15) A prova de um concurso é composta somente de 10

questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B, C e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer? 16) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa

desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e

!pn!p

!nCp

n

)pn(

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8

espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: 17) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3

tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: 18) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é

composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? 19) A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao apostador

as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-fácil, o apostador marca 15 dos 25 números que constam na cartela e tem uma em 3.268.760 chances, de acertar. Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 10 dos 16 números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta passaria a ser de uma em: 20) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde

Pafúncio marcou o telefone de Emingarda e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Pafúncio lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Pafúncio havia feito quantas ligações? 21) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio

Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? 22) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar

uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? 23) De um grupo de 10 pessoas, entre as quais, Maria,

Marta e Mércia, deseja-se escolher uma comissão com 4 componentes. Quantas comissões podem ser formadas, das quais participem Maria e Marta, mas Mércia não participe?

24) De quantas maneiras podemos classificar os 4

empregados de uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias? 25) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de

ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse: "Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão". Com base nessa informação, qual foi o número de ministros presentes ao encontro? 26) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas como

na figura abaixo:

Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que não haja um corredor entre eles, são em número de 27) Existem quantos números pares, de três algarismos,

maiores do que 500? 28) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma

outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. O número de triângulos, com vértices em três desses pontos, é: 29) Num camping existem 2 barracas disponíveis. O

número de modos como se pode alojar 6 turistas, ficando 3 em cada uma, é: 30) Um campeonato de futebol de salão é disputado por

várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram disputadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes.

GABARITO – ANÁLISE COMBINATÓRIA

01) 60 02) 16 03) 720 04) 09 05) 28 06) 240 07) 48 08) 48 09) 26.363 10) 1440 11) 24 12) 10800 13) 210 14) 34560 15) 5120 16) 3888 17) 34 18) 136 19) 8008 20) 23 21) 2600 22) 55 23) 21 24) 81 25) 06 26) 10 27) 249 28) 84 29) 20 30) 17

PROBABILIDADES Espaço amostral = tudo que pode ocorrer Evento = o que quer

Evento impossível

ocorrerpodequetudo

querqueop

%00n

0p

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9

Evento certo

Conseqüência: Eventos complementares

Ex:

01) Arremessa-se um dado comum e observa-se a face voltada para cima. Qual a probabilidade do valor obtido ser: a) Um número maior que 6?

%006

0p

b) Um número menor ou igual a 6?

%10016

6p

c) Um número par?

%505,02

1

6

3p

d) Um número ímpar?

%505,02

1

6

3p

e) Um número primo?

%505,02

1

6

3p

f) Um número par ou um número ímpar?

%10016

6

6

3

6

3p

g) Um número par ou um número primo?

6

5

6

1

6

3

6

3p

02) No arremesso de dois dados comuns, qual a probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas para cima valores múltiplos de 3?

9

1

6

2

6

2p

03) No arremesso de dois dados comuns, qual a probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas para cima valores cuja soma seja igual a 10?

6

1

4e

6

1

6ou

6

1

5e

6

1

5ou

6

1

6e

6

1

4

12

1

36

3

36

1

36

1

36

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

04) No arremesso de uma moeda viciada, a probabilidade de se obter cara é igual ao dobro da probabilidade de se obter coroa. Qual a probabilidade de se obter cada um dos casos?

3

2)ca(p

3

1)co(p

1)co(p3

1)co(p)co(p2

1)co(p)ca(p

)co(p2)ca(p

Árvore das possibilidades

Considere a seguinte situação: Um casal deseja ter três filhos e pretende saber qual a probabilidade de nascerem no mínimo dois meninos, sendo que a probabilidade de ser menino ou de ser menina tem o mesmo valor.

Observa-se que o total de possibilidades é igual a 8 (tudo que pode ocorrer), e que no mínimo dois homens (dois ou três homens) são 4 possibilidades (o que quer), então:

%505,02

1

8

4p

A questão anterior pode ser calculada, sem o uso da árvore das possibilidades, da seguinte forma:

%1001n

np

%100p%0ou1p0

%1001p

Importantíssimo: e = multiplica ou = soma

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10

%505,02

1

8

4

8

1

8

1

8

1

8

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

He

2

1

He

2

1

Hou

2

1

He

2

1

He

2

1

Mou

2

1

He

2

1

Me

2

1

Hou

2

1

Me

2

1

He

2

1

H

Ou então: HHM ou HMH ou MHH ou HHH são 4 possibilidades, sendo cada uma com probabilidade igual a 1/8, então:

%505,02

1

8

14

EXERCÍCIOS

01) Num sorteio com os números de 1 a 25, a

probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de 3 é: 02) Em uma pesquisa de marketing foram entrevistadas

duas mil pessoas, que opinaram sobre duas embalagens de um produto que seria lançado no mercado consumidor. O resultado foi o seguinte: 1.200 pessoas preferiram a primeira embalagem, 500 preferiram a segunda e 300 não gostaram de nenhuma delas. Escolhida uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade estimada de ela gostar da primeira embalagem? 03) Um baralho comum de 52 cartas tem três figuras

(valete, dama e rei) de cada um dos quatro naipes (paus, ouros, espadas e copas). Ao se retirar uma carta do baralho, a probabilidade de ser uma carta que apresente figura de paus é: 04) Um dado defeituoso apresenta duas faces com 4

pontos. No lançamento deste dado, a probabilidade de sair uma face com 4 pontos é: 05) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas.

As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é: 06) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200

estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear? 07) Um casal pretende ter três filhos. A probabilidade de

nascerem dois meninos e uma menina, independentemente da ordem, é de: 08) Uma escola fez uma pesquisa de opinião entre os seus

alunos para decidir sobre as modalidades esportivas distintas de futebol que seriam priorizadas para treinamento. Todos os alunos da escola responderam à pesquisa, optando por apenas uma modalidade. O gráfico a seguir resume o resultado da pesquisa.

Sobre o exposto, assinale as alternativas com C (certa) ou E (errada). a) O número de alunos da escola é 1000. b) Na escola, existem mais alunos do sexo feminino. c) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a probabilidade de X ter optado por ginástica é 15%. d) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a probabilidade de X ser mulher ou ter optado por vôlei é 75%. e) Escolhendo aleatoriamente um aluno homem X da escola, a probabilidade de X ter optado por basquete é 15%. 09) No sorteio de um número natural de 1 a 10, qual a

probabilidade de sair um número par ou um múltiplo de três ou um número menor que 7? 10) A probabilidade de se obter pelo menos duas caras no

lançamento simultâneo de 3 moedas honestas, é igual a: 11) Num sorteio, concorrem todos os números inteiros de 1

a 100. Escolhendo-se um desses números ao acaso, qual é a probabilidade de que o número sorteado tenha 2 algarismos distintos? 12) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho:

de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônibus, a probabilidade de chegar atrasada ao trabalho é 10% e, se for de moto, a probabilidade de se atrasar é 20%. A probabilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao trabalho é igual a: 13) Tem-se dois dados, sendo um perfeito e outro com

todas as faces marcadas com 6 pontos. Um deles é escolhido ao acaso e lançado. A probabilidade de se obter 6 é: 14) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda,

determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.

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11

15) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma

branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas? 16) Nei e Rui lançam, cada um, um dado não

tendencioso.A probabilidade do resultado obtido por Nei ser menor do que o resultado obtido por Rui é: 17) Ao se jogar dois dados, qual a probabilidade de se

obter o número 7 como soma dos resultados? 18) Três cestas idênticas, contém cada uma delas 30 bolas

iguais, exceto pela cor. Na primeira cesta existem 9 bolas vermelhas e 21 pretas; na segunda existem 24 bolas vermelhas e 6 pretas; por fim, a terceira cesta contém 12 bolas vermelhas e 18 pretas. Escolhendo-se uma cesta de forma aleatória e sorteando, também aleatoriamente, uma bola dessa cesta, a probabilidade de sua cor ser vermelha é: 19) Em uma sala de aula existem 40 alunos. Dez deles

têm 13 anos, 20 têm 14 anos e o restante da turma é composta de alunos com 15 anos de idade. Escolhendo dois alunos ao acaso, a probabilidade de eles terem a mesma idade é igual a 20) Um dado (cubo de seis faces congruentes) perfeito, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes sucessivamente. A probabilidade de que o produto dos pontos obtidos seja maior que 12 é de:

21) Em um grupo de cinco artistas, dois deles têm a

mesma nacionalidade. Um produtor quer escolher três artistas deste grupo para encenar uma peça . A probabilidade dos dois artistas com a mesma nacionalidade encenarem juntos essa peça é: 22) Considere que numa cidade 40% da população adulta

é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? 23) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4

amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? 24) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no

mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a: 25) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de

Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A

probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é:

GABARITO – PROBABILIDADES

01) 8/25 = 0,32 = 32%

02) 60% 03) 3/52 04) 1/3

05) 1/99 06) 50% 07) 3/8

08)

a) V b) V c) V d) V e) F

09) 90% 10) 50% 11) 81% 12) 83% 13) 7/12 14) 1/6 15) 2/9

16) 5/12

17) 1/6 18) 50% 19) 14/39

20) 13/36

21) 30% 22) 52% 23) 3,96% 24) 0,20 25) 30%

QUESTÕES FEPESE

ANÁLISE COMBINATÓRIA 01- (FEPESE-CASAN-2011) De quantas maneiras podemos colocar seis pessoas em fila, sabendo-se que duas pessoas se recusam a ficar juntas? a. ( ) 120 b. ( ) 280 c. ( ) 480 d. ( ) 560 e. ( ) 720 02- (FEPESE-CAU-2013) Uma empresa dispõe de 11 funcionários, sendo 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras a empresa pode escolher 5 funcionários, sendo 3 mulheres e 2 homens, para elaborar um projeto? a. ( ) 180 b. ( ) 200 c. ( ) 220 d. ( ) 240 e. ( ) 260 03- (FEPESE-CAU-2013) Uma pessoa tem à disposição 8 tipos de piso para colocar em 4 quartos de sua casa. De quantas formas diferentes ela pode ladrilhar os quartos, de maneira que todos os quartos tenham pisos diferentes? a. ( ) 70 b. ( ) 1240 c. ( ) 1420 d. ( ) 1680 e. ( ) 1860 04- (FEPESE-CELESC-2012) Em uma festa são servidos 4 tipos de carne, 5 tipos de salada e 6 tipos de sobremesa. Se uma pessoa pretende se servir de 2 tipos de carne, 2 tipos de salada e 3 tipos de sobremesa, quantas opções tem esta pessoa? a. ( ) 800 b. ( ) 1200 c. ( ) 1600 d. ( ) 2400 e. ( ) 3600

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12

05- (FEPESE-CELESC-2012) Uma empresa tem 8 funcionários à disposição para os cargos de presidente, primeiro secretário e segundo secretário. De quantas maneiras diferentes esses cargos podem ser preenchidos? a. ( ) 24 b. ( ) 56 c. ( ) 336 d. ( ) 1680 e. ( ) 40320 06- (FEPESE-CELESC-2014) Quatro pessoas decidem trocar presentes. Cada uma traz um presente e coloca-o em cima de uma mesa. Depois, uma por vez escolhe um dos presentes. A única restrição é que uma pessoa não pode escolher o presente que trouxe. De quantas maneiras é possível escolher os presentes? a. ( ) 9

b. ( ) 7

c. ( ) 11

d. ( ) 13

e. ( ) 15 07- (FEPESE-CELESC-2014) Em uma empresa trabalham 20 pessoas. A direção deseja escolher 4 pessoas para pagar um curso de capacitação. De quantas maneiras diferentes a escolha pode ser feita? a. ( ) Mais que 4900

b. ( ) Mais que 4800 e menos que 4900

c. ( ) Mais que 4600 e menos que 4700

d. ( ) Mais que 4700 e menos que 4800

e. ( ) Menos que 4600 08- (FEPESE-CELESC-2014) Um partido político dispõe, entre seus filiados, de 600 maneiras para escolher candidatos a governador e vice-governador. Quantos filiados tem esse partido? a. ( ) 20 b. ( ) 24 c. ( ) 25 d. ( ) 28 e. ( ) 30 09- (FEPESE-UDESC-2010) Um restaurante oferece 20 tipos de pizza, 10 tipos de salada e 5 tipos de sobremesa. Considere que uma pessoa pretende se servir de: _ 1 tipo de pizza _ 1 tipo de salada _ 2 tipos de sobremesa Quantas opções tem essa pessoa? a. ( ) 1000 b. ( ) 1200 c. ( ) 2400 d. ( ) 3600 e. ( ) 4800 10- (FEPESE-CIDASC-2011) Um fazendeiro precisa colocar seus 5 funcionários homens e 5 funcionárias mulheres em fila indiana, de maneira que os homens e as mulheres se alternem (ou seja, um homem não pode ficar ao lado de um homem e uma mulher não pode ficar ao

lado de uma mulher). Seguindo este critério, de quantas maneiras o fazendeiro pode formar esta fila? a. ( ) 10000 b. ( ) 12800 c. ( ) 14400 d. ( ) 15000 e. ( ) 16200 11- (FEPESE-PREFTIJ-2011) Em um exame, um aluno deve escolher cinco questões entre 8 questões propostas. De quantas maneiras possiveis este aluno pode escolher suas cinco questões? a. ( ) 42 b. ( ) 49 c. ( ) 52 d. ( ) 56 e. ( ) 64 PROBABILIDADES

12- (FEPESE-CAU-2013) Em uma gaveta encontram-se 6 canetas azuis e 4 vermelhas. Uma pessoa pega, sem olhar, duas canetas desta gaveta. Qual a probabilidade que as canetas escolhidas tenham a mesma cor? a. ( ) 6/15

b. ( ) 7/15

c. ( ) 8/15

d. ( ) 9/45

e. ( ) 14/45 13- (FEPESE-CELESC-2014) Em uma caixa encontram-se 5 bolas azuis e 7 bolas vermelhas, todas iguais (exceto a cor). Uma pessoa retira, sem olhar, duas bolas de dentro da caixa, sucessivamente. Qual a probabilidade das duas bolas serem vermelhas? a. ( ) 1/22

b. ( ) 3/11

c. ( ) 5/22

d. ( ) 7/22

e. ( ) 9/22 14- (FEPESE-PREFFPOLIS-2012) Lançando-se duas moedas perfeitas simultaneamente, a probabilidade de ocorrer cara em ambas as moedas é: a. ( ) 1/2 b. ( ) 3/2 c. ( ) 2/3 d. ( ) 1/4 e. ( ) 3/4 15- (FEPESE-PREFTIJ-2011) Uma moeda e lançada quatro vezes consecutivas e os resultados obtidos são anotados na sequencia que ocorrem. Logo, a probabilidade de ocorrer cara no primeiro lançamento, coroa no segundo, cara no terceiro e cara no quarto lançamento é de: a. ( ) 1/2 b. ( ) 1/5 c. ( ) 1/8 d. ( ) 1/10

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13

e. ( ) 1/16

GABARITO QUESTÕES FEPESE 01) c 02) b 03) d 04) b 05) c 06) a 07) b 08) c 09) e 10) c 11) d 12) b 13) d 14) d 15) e

NOÇÕES DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

PA PG

(2, 4, 6, 8, 10, ...) (2, 4, 8, 16, 32, ...)RAZÃO

r = a2 – a1 = a3 – a2 2

3

1

2

a

a=

a

a=q

PA PG

TERMO GERALPA PG

an = a1 + (n – 1).r an = a1.qn – 1

TRÊS TERMOS DESCONHECIDOS

PA PG

x – r, x, x + r q.x,x,q

x

SOMA DOS TERMOS

PA PG

2

n.aaS 1n

1q

aq.aS 1n

1q

1qaS

n

1

q1

aS 1

FINITA

INFINITA

EXERCÍCIOS

01) Somando-se uma mesma constante aos números 8, 12

e 17, nessa ordem, obtém-se uma P.G. de razão igual a: 02) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a

mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? 03) Suponha que, em 15/01/2006, Bonifácio tinha R$27,00

guardados em seu cofre, enquanto que Valfredo tinha

R$45,00 guardados no seu e, a partir de então, no décimo quinto dia de cada mês subseqüente, as quantias contidas em cada cofre aumentaram segundo os termos de progressões aritméticas de razões R$8,00 e R$5,00, respectivamente. Considerando que nenhum deles fez qualquer retirada, a quantia do cofre de Bonifácio superou a do Valfredo no mês de: 04) Os brasileiros estão cada vez mais comprando um

computador pessoal, e o objetivo maior dessa compra é a conexão à internet. O acesso à rede mundial de computadores é, hoje, um recurso básico de qualquer equipamento. Os valores que expressam o número de brasileiros conectados em janeiro de 2005, setembro de 2005 e maio de 2006, estão em progressão aritmética de razão 1,3 milhão e totalizam 35,7 milhões. Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que, se os usuários da internet aumentassem na mesma progressão, o número de brasileiros conectados em setembro de 2007 seria de: 05) A fim de comemorar o dia da criança, uma escola

promoveu uma brincadeira, visando premiar algumas delas. Para isso, reuniu 100 crianças, formando uma grande roda. Todas foram numeradas sucessivamente, de 1 até 100, no sentido horário. A professora de Matemática chamava cada uma pelo número correspondente – na seqüência 1, 16, 31, 46, e assim por diante – e lhe dava um chocolate. A brincadeira encerrou-se quando uma das crianças, já premiada, foi chamada novamente para receber seu segundo chocolate. O número de chocolates distribuídos durante a brincadeira foi: 06) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em

progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$250,00 e R$400,00, a primeira possui 07) Para testar o efeito da ingestão de uma fruta rica em

determinada vitamina, foram dados pedaços desta fruta a macacos. As doses da fruta são arranjadas em uma seqüência geométrica, sendo 2g e 5g as duas primeiras doses. Qual a correta continuação dessa seqüência? 08) A comunicação eletrônica tornou-se fundamental no

nosso cotidiano, mas infelizmente, todo dia recebemos muitas mensagens indesejadas: propagandas, promessas de emagrecimento imediato, propostas de fortuna fácil, correntes, etc. Isso está se tornando um problema para os usuários da Internet pois o acúmulo de “lixo” nos computadores compromete o desempenho da rede! Pedro iniciou uma corrente enviando uma mensagem pela Internet a dez pessoas, que, por sua vez, enviaram, cada uma, a mesma mensagem a outras dez pessoas. E estas, finalizando a corrente, enviaram, cada uma, a mesma mensagem a outras dez pessoas. O número máximo de pessoas que receberam a mensagem enviada por Pedro é igual a: 09) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células

pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

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14

Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será: 10) A soma de três números em progressão aritmética

crescente é 12. Se somarmos 2 ao terceiro termo, a nova seqüência constitui uma progressão geométrica. Calcule o produto dos três termos da progressão geométrica. 11) Conta a história da Matemática que, ainda criança,

Gauss solucionou o seguinte problema em alguns minutos. O problema consistia em dar o resultado da soma: 1 + 2 + 3 + 4 + .......... + 98 + 99 + 100 = X Podemos afirmar que o valor de X é igual a: 12) A paixão do brasileiro por automóvel é conhecida e

explorada pelos fabricantes, que investem muito em publicidade. Os anúncios destacam o design, a qualidade, a potência, a valorização do veículo, além de uma infinidade de outros itens. Um fabricante afirma que um de seus modelos, que custava em 2001 R$ 25000,00, sofreu uma desvalorização de R$ 1500,00 ao ano. Se calcularmos a cotação desse carro, ano a ano, até 2005, podemos dizer que esses valores são uma PA, em que a soma vale: 13) Numa cidade, a cada ano, o número de novos

profissionais de uma certa área é de 10 a mais do que o número de novos profissionais do ano anterior. Se, durante 9 anos, o número de profissionais dessa área teve um aumento de 396 profissionais, pode-se afirmar que, no 3o ano, o número de novos profissionais foi igual a: 14) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem

capacidade para 25 000 litros, contém, em um determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é: 15) O dono de uma loja precisa com urgência de

vendedores para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecedem o Natal. Aparecem três candidatos. Ele oferece R$1,00 pelo primeiro dia de trabalho e, para os dias seguintes, o dobro do que eles recebem no dia anterior. Dois candidatos consideram humilhante a proposta e recusam-na. O candidato que conhece matemática aceita a proposta. Então, ele receberá, pelos doze dias de trabalho, a importância de:

16) Segundo a história da Matemática, o rei ofereceu uma

recompensa ao sábio que desenvolveu o jogo de xadrez no seu reino. A recompensa pedida foi que cada casa do tabuleiro fosse preenchida com sementes de trigo, mas dobrando a cada casa. No caso, seria uma PG de primeiro termo 1 e razão igual a 2. Logo o rei desistiu da recompensa e nomeou o sábio como seu conselheiro repleto de honrarias. Isto porque, se a recompensa fosse realmente cumprida, ao final das 64 casas do tabuleiro, a quantidade de grãos de trigo seria da ordem de: 17) Em um processo de desintegração atômica em cadeia,

a primeira desintegração é de 3 átomos em um segundo. A cada segundo que passa a desintegração é sempre o quádruplo da anterior; logo, o tempo em segundos que leva para desintegrar 12288 átomos é: 18) João marcou um encontro com Maria às 20h. Como

Maria não chegou às 20h, João decidiu esperar por um intervalo t1 de trinta minutos; em seguida, por um período adicional de t2 = t1/3 minutos, depois por um período de t3 = t2/3 minutos, e assim por diante, com cada período adicional igual a um terço do período anterior. Se Maria não foi ao encontro, quanto tempo João esperou? (Indique o valor mais próximo.) 19) Suponha que um jovem ao completar 16 anos pesava

60kg e ao completar 17 anos pesava 64kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 1/2, então ele nunca atingirá 68kg. 20) Dado que :

1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9 ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 ; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Pode-se afirmar que 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 195 + 197 + 199 é igual a:

GABARITO

01) 4

5 02) 49, 56 e 64 anos 03) Agosto

04) 15,8 milhões 05) 20 06) R$ 200,00 07) 12,5; 31,25; 78,125... 08) 1110 09) 101 10) 64 11) 5050 12) 110000 13) 24 14) 11 15) R$ 4095,00 16) 264 – 1 17) 7 segundos 18) 45 minutos 19) V – para atingir 68kg ele precisaria viver até o infinito. 20) 10000

PROBLEMAS COM SEQUÊNCIAS LÓGICAS 21) Qual será o próximo valor da sequência numérica ( 2,

10, 12, 16, 17, 18, 19, ...) 22) No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local

onde o corpo de Jacques Saunière é encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência

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15

infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... é o número: 23) Os conjuntos A, B, C e D são definidos de acordo com

uma ordem lógica. Sabendo que A = {1,2, 5, 10}, B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e C = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, o conjunto D é: 24) Dado que :

1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9 ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 ; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Pode-se afirmar que 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 195 + 197 + 199 é igual a: 25) Um certo jogo consiste em colocar onze pessoas em

círculo e numerá-las de 1 a 11. A partir da pessoa que recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural dos números, e cada 3ª pessoa é eliminada, ou seja, são eliminadas as pessoas de números 3, 6 etc. Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem continua normalmente com aqueles que ainda não foram eliminados.Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de número: 26) A fim de comemorar o dia da criança, uma escola

promoveu uma brincadeira, visando premiar algumas delas. Para isso, reuniu 100 crianças, formando uma grande roda. Todas foram numeradas sucessivamente, de 1 até 100, no sentido horário. A professora de Matemática chamava cada uma pelo número correspondente – na seqüência 1, 16, 31, 46, e assim por diante – e lhe dava um chocolate. A brincadeira encerrou-se quando uma das crianças, já premiada, foi chamada novamente para receber seu segundo chocolate. O número de chocolates distribuídos durante a brincadeira foi:

GABARITO

21) 200 22) 89 23) {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 24) 10000 25) 7 26) 20

PROBLEMAS COM CONJUNTOS 27) Em uma turma de 60 alunos, 21 praticam natação e

futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol. a)Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e somente um, desses esportes? b)Qual a porcentagem de alunos que não praticam nenhum desses esportes? 28) Na escola do professor Golias, são praticadas duas

modalidades de esportes: o futebol e a natação. Exatamente 80% dos alunos praticam futebol e 60%, natação. Se a escola tem 300 alunos e todo aluno pratica pelo menos um esporte, então o número de alunos que praticam os dois esportes é:

29) Em uma cidade com 40.000 habitantes há três clubes

recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; 14% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o Campestre; e 4% o Silvestre e o Campestre. Somente 2% freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não freqüentam nenhum destes três clubes é: 30) Um instituto de pesquisas entrevistou 1.000 indivíduos,

perguntando sobre sua rejeição aos partidos A e B. Verificou-se que 600 pessoas rejeitavam o partido A; que 500 pessoas rejeitavam o partido B e que 200 pessoas não tem rejeição alguma. O número de indivíduos que rejeitam os dois partidos é: 31) Na seleção de operários da construção civil, foram

entrevistados 80 candidatos e constatou-se que: 45 desses candidatos sabiam lidar com pintura; 50 deles sabiam lidar com instalações elétricas; 50 sabiam lidar com instalações hidráulicas; 15 tinham habilidades nas três modalidades de serviço. Todos os operários tinham habilidade em pelo menos uma das modalidades acima. Foram contratados todos os que tinham habilidade em exatamente duas modalidades. Nessas condições, o número de candidatos contratados foi:

GABARITO 27) a) 50% b) 15% 28) 120 29) 26000 30) 300 31) 35

QUESTÕES FEPESE PA 01- (FEPESE-CASAN-2011) Uma empresa dá início a um plano de expansão e começa a contratar funcionários. Na primeira semana ela contrata 8 funcionários, na segunda 12 funcionários, na terceira 16 funcionários e assim sucessivamente. Considerando esta progressão, quantas semanas são necessárias, no mínimo, para que esta empresa esteja contratando mais do que 70 funcionários por semana? a. ( ) 16 semanas b. ( ) 17 semanas c. ( ) 18 semanas d. ( ) 19 semanas e. ( ) 20 semanas 02- (FEPESE-CIDASC-2011) Um fazendeiro compra 10 galinhas para criação. Após um ano, o número de galinhas do fazendeiro passa para 22. Após dois anos, esse número passa para 34; após três anos para 46 e assim sucessivamente. Considerando essa progressão, após quantos anos o fazendeiro terá exatamente 178 galinhas? a. ( ) 13 b. ( ) 14 c. ( ) 15

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16

d. ( ) 16 e. ( ) 17 03- (FEPESE-UFFS-2010) Quantos múltiplos de 5 existem entre 49 e 2049? a. ( ) 400 b. ( ) 399 c. ( ) 350 d. ( ) 300 e. ( ) 299 04- (FEPESE-UFFS-2011) A soma dos cem primeiros termos da sequencia (an), onde an = n para todo n = 1, 2, 3, … e: a. ( ) 4950. b. ( ) 5000. c. ( ) 5050. d. ( ) 5550. e. ( ) 10001. PG 05- (FEPESE-CASAN-2011) Uma companhia verifica mensalmente a presença de algas em um reservatório de água de uma cidade. No mês de novembro, não há presença de algas no reservatório. Um mês após, nota-se a presença de 18 m2 de algas na superfície do reservatório. Após dois meses, verifica-se a presença de 54 m2; após três meses 162 m2 e, assim, sucessivamente. Considerando esta progressão, podemos afirmar que 6 meses após a verificação feita no mês de novembro, a presença de algas na superfície do reservatório será de: a. ( ) 1458 m2 b. ( ) 3822 m2 c. ( ) 4374 m2 d. ( ) 9633 m2 e. ( ) 13122 m2 06- (FEPESE-CIDASC-2011) Sabe-se que a quantidade de ervas daninhas em uma plantação forma uma progressão geométrica, sendo que no segundo ano da plantação se encontram 12 ervas daninhas por metro quadrado, no terceiro, 48 e assim sucessivamente. Considerando as informações dadas, podemos afirmar que o número de ervas daninhas por metro quadrado, no primeiro ano da plantação, era igual a: a. ( ) 1. b. ( ) 2. c. ( ) 3. d. ( ) 4. e. ( ) 6. FUNÇÕES 07- (FEPESE-PREFTUB-2011) Um restaurante possui mesas quadradas iguais, de quatro lugares. Entretanto, se juntarmos duas mesas teremos lugar para 6 pessoas. Se juntarmos três mesas (sempre na mesma direção), teremos lugar para 8 pessoas e assim sucessivamente. Representando por y o número de lugares e por x o

número de mesas, a expressão matemática que determina

o número de lugares em função do número de mesas (para qualquer número de mesas) é: a. ( ) y = 2 (2x + 1) b. ( ) y = 2 (x + 1) c. ( ) y = x + 2 d. ( ) y = x + 1 e. ( ) y = 4 x 08- (FEPESE-CASAN-2011) Se f é um função real que representa o custo de manutenção de um carro em função do tempo, e sabemos que, f(2x – 3) = 3x + 5 para todo x ∈ IR, onde x representa o tempo em segundos, então: a. ( ) f(x) = 3x + 10

b. ( ) 2

193)(

xxf

c. ( ) 2

183)(

xxf

d. ( ) 3

212)(

xxf

e. ( ) 3

182)(

xxf

09- (FEPESE-CASAN-2011) Se3

2)(

2

xxf é uma

função que representa o custo (em milhares de reais) de um hotel em função do número de funcionários (x) e g(t) =

2t é uma função que representa o número de

funcionários que o hotel deve ter, em função do número de hóspedes (t), então, o custo (em milhares de reais) que o hotel tem com funcionários, quando hospeda 6 pessoas é de: a. ( ) 0 b. ( ) 2 c. ( ) 34/3 d. ( ) 2/3

e. ( ) 3

102

10- (FEPESE-CIDASC-2011) O número de ervas daninhas em uma plantação em função do tempo é dado por C(x) = ax2 + x + 1, onde a é uma constante e x representa o

tempo em semanas. Sabendo-se que na semana 1 o número de ervas daninhas é igual a 9, podemos afirmar que no ano 10 o número de ervas daninhas é igual a: a. ( ) 607. b. ( ) 711. c. ( ) 809. d. ( ) 901. e. ( ) 1001. 11- (FEPESE-CIDASC-2011) Suponha que um trator se move em linha reta e sua posição, em relação a um ponto fixo nesta reta, em função do tempo (em horas) seja dada por p(t) = t2 – t. Sabe-se também que a velocidade instantânea do trator (em km/h), em relação a sua posição, é dada por v(p) = p3 + 1. Logo, no tempo t = 2, sabemos que a velocidade instantânea do trator é igual a: a. ( ) 9 km/h. b. ( ) 15 km/h.

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c. ( ) 21 km/h. d. ( ) 25 km/h. e. ( ) 32 km/h.


01) b 02) b 03) a 04) c 05) c 06) c 07) b 08) b 09) d 10) b 11) a

SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES

São os elementos que expressam uma idéia, mesmo que absurda.

Estudaremos apenas as proposições declarativas,

que podem ser classificadas ou só como verdadeiras (V), ou só como falsas (F). As proposições serão representadas por letras do alfabeto latino: p, q, r, s...

Ex: p: Pedrão é professor. q: Todas as mulheres dirigem mal. r: O Grêmio é o melhor time do Brasil. s: 2 + 3 = 4 t: 5.2 + 1 > 6

u: 32 (– 3)2

Obs: há outros tipos de sentenças que não serão

estudadas por não poderem ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas:

Interrogativas – ex: Será que vou aprender lógica? Exclamativas – ex: Feliz aniversário! Imperativas – ex: Explique bem a matéria. Cuidado: para ser proposição é necessário

“especificar o sujeito”. Ex: Aquelas questões são difíceis. (não é proposição)

SENTENÇAS ABERTAS

São sentenças onde elementos são substituídos por variáveis, não podendo ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas, pois há infinitos valores que podem ser substituídos nas variáveis, tornando-as verdadeiras ou falsas.

Ex: x + y = 5 x + 2 > 7 Se x é professor de y, então x é professor de z.

SENTENÇAS FECHADAS

São sentenças que podem ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas.

Ex: 2 + 7 = 8 32 – 1 < 9

MODIFICADORES

O “não” (símbolos: ~ ou ) é utilizado para

representar a negativa de uma proposição. Lê-se: “não p”.

Ex: p: Pedrão é um bom professor. ~p (ou p): Pedrão não é um bom professor.

Obs: se o símbolo aparecer antes de um parênteses ( ), devemos ler: não é verdade que...

CONECTIVOS

São utilizados para compor proposições compostas, a partir de proposições simples:

Conjunção: “e” (símbolo: ) Disjunção: “ou” (símbolo: ) Condicional: “se..., então” (símbolo: )

Bicondicional: “se, e somente se” (símbolo: )

PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS

p: Pedrão é professor. (simples) q: Karol é linda. (simples) p q: Pedrão é professor e Karol é linda. (composta) p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (composta)

p q: Se Pedrão é professor, então Karol é linda.

(composta) p q: Pedrão é professor se e somente se Karol é

linda. (composta)

TABELA-VERDADE

É uma tabela que exibe todas as valorações que uma frase pode assumir.

O número de linhas de uma tabela-verdade é dado por 2n, onde n é o número de proposições simples que

compõem a tabela-verdade. CONECTIVO “E” ( ) – CONJUNÇÃO

Considere as seguintes situações: 1ª) p: Pedrão é professor. (V)

q: Karol é linda. (V)

p q: Pedrão é professor e Karol é linda. (V) 2ª) p: Pedrão é professor. (V)

q: Karol é linda. (F) p q: Pedrão é professor e Karol é linda. (F)

3ª) p: Pedrão é professor. (F) q: Karol é linda. (V)

p q: Pedrão é professor e Karol é linda. (F) 4ª) p: Pedrão é professor. (F)

q: Karol é linda. (F) p q: Pedrão é professor e Karol é linda. (F)

Observe que a conjunção p q só é verdadeira se

p e q são verdadeiras.

Para ajudar na interpretação das proposições: a

conjunção p q também pode ser interpretada como: # p e então q: Pedrão é professor e então Karol é

linda # p e também q: Pedrão é professor e também Karol é

linda

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# p mas q: Pedrão é professor mas Karol é linda # p embora q; Pedrão é professor embora Karol seja

linda # p assim como q: Pedrão é professor assim como

Karol é linda # p apesar de que também q: Pedrão é professor

apesar de que Karol também é linda # não só p, mas, ainda, q: não só Pedrão é professor,

mas, ainda, Karol é linda # não apenas p, como também q: não apenas Pedrão

é professor, como também Karol é linda Pela tabela-verdade:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

CONECTIVO “OU” ( ) – DISJUNÇÃO

O conectivo “ou” pode ter dois sentidos; Inclusivo ( ): Pafúncio é atleta ou Pafúncio é lindo.

(podem ocorrer as situações isoladamente ou ambas ao mesmo tempo)

Exclusivo ( ); Pafúncio é Paranaense ou Pafúncio é

Catarinense. (não podem ocorrer ambas as situações ao mesmo tempo). As situações de “ou” exclusivo não serão estudadas.

Considere as seguintes situações de “ou” inclusivo: 1ª) p: Pedrão é professor. (V) q: Karol é linda. (V) p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (V) 2ª) p: Pedrão é professor. (V) q: Karol é linda. (F) p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (V) 3ª) p: Pedrão é professor. (F) q: Karol é linda. (V) p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (V) 4ª) p: Pedrão é professor. (F) q: Karol é linda. (F) p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (F)

Observe que a disjunção p q só é falsa se p e q

são falsas.

Pela tabela-verdade:

P q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

CONECTIVO “SE..., ENTÃO ” ( ) –

CONDICIONAL



p q: Se Pedrão é professor então Karol é

linda. (V – Pedrão é professor e Karol é linda) 2ª) p: Pedrão é professor. (V)

q: Karol é linda. (F)


linda. (F – quando Pedrão é professor Karol “tem que ser

linda”) 3ª) p: Pedrão é professor. (F)



linda. (V – quando Pedrão não é professor Karol pode ou

não ser linda) 4ª) p: Pedrão é professor. (F)



linda. (V – quando Pedrão não é professor Karol pode ou

não ser linda) Observe que a condicional p q só é falsa se p é

verdadeira e q é falsa. Para ajudar na interpretação das proposições: A

condicional p q também pode ser interpretada como:

# se p,q: se Pedrão é professor, Karol é linda # q se p: Karol é linda se Pedrão é professor # todo p é q: toda vez que Pedrão é professor, Karol é

linda # quando p, q: quando Pedrão é professor, Karol é

linda # p implica (ou acarreta) q: Pedrão ser professor

implica (ou acarreta) Karol ser linda # p somente se q: Pedrão é professor somente se

Karol é linda # p é condição suficiente para q: Pedrão ser professor

é condição suficiente para Karol ser linda # q é condição necessária para p: Karol ser linda é

condição necessária para Pedrão ser professor Pela tabela-verdade:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

CONECTIVO “SE, E SOMENTE SE ” ( ) –

BICONDICIONAL



p q: Pedrão é professor se e somente se Karol

é linda. (V) 2ª) p: Pedrão é professor. (V)



é linda. (F) 3ª) p: Pedrão é professor. (F)


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é linda. (F) 4ª) p: Pedrão é professor. (F)



é linda. (V)

Observe que a bicondicional p q só é verdadeira

se p e q são ambas verdadeiras ou falsas. Para ajudar na interpretação das proposições: A

bicondicional p q também pode ser interpretada como:

# p se e só se q: Pedrão é professor se e só se Karol

é linda # se p então q e se q então p: se Pedrão é professor

então Karol é linda e se Karol é linda então Pedrão é professor

# p somente se q e q somente se p: Pedrão é

professor somente se Karol é linda e Karol é linda somente se Pedrão é professor

# p é equivalente a q e q é equivalente a p: Pedrão

ser professor é equivalente a Karol ser linda e Karol ser linda é equivalente a Pedrão ser professor

# p é condição necessária e suficiente para q e q é condição necessária e suficiente para p: Pedrão ser

professor é condição necessária e suficiente para Karol ser linda e Karol ser linda é condição necessária e suficiente para Pedrão ser professor

# todo p é q e todo q é p: toda vez que Pedrão é

professor, Karol é linda e toda vez que Karol é linda, Pedrão é professor


P q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Dizer p q é o mesmo que dizer (p q) (q p). Se

Pedrão é professor, então Karol é linda e, se Karol é linda, então Pedrão é professor são formas diferentes de expressar a mesma idéia.

VALORAÇÃO LÓGICA

Consiste em fazer a análise de proposições compostas, atribuindo um “resultado” V ou F para as

mesmas, utilizando para isso o que foi estudado nos casos de aplicação dos conectivos ( , , , ).

MONTAGEM DE UMA TABELA-VERDADE

Entre os objetivos de montar uma tabela-verdade, temos o de determinar o número de valorações verdadeiras e falsas de uma sentença.

A comparação entre as valorações de duas ou mais sentenças nos permite verificar se as mesmas são:

Equivalentes (são equivalentes quando possuírem as

mesmas valorações: V com V, F com F).

Negativas (são negativas quando possuírem as

valorações opostas: V com F, F com V). Tautologia é uma proposição composta onde os

“resultados” da tabela-verdade são sempre verdadeiros (V).

Ex: p p Pela tabela-verdade:

P p p p

V F V

F V V

Contradição é uma proposição composta onde os “resultados” da tabela-verdade são sempre falsos (F).

Ex: p p Pela tabela-verdade:

P p p p

V F F

F V F

Contingência é uma proposição composta onde os

“resultados” da tabela-verdade podem ser verdadeiros (V) e podem ser falsos (F).

Ex: p p


P p p p

V F F

F V V

EXERCÍCIOS

01) Quais são as proposições declarativas, entre as

sentenças abaixo? a) Feliz dia dos professores! b) Curitiba é a capital do Paraná. c) Quem é você? d) Pedro é filho de Pedrão. e) Faça os exercícios. f) Esta frase está errada. g) x – y < 0 h) 42 = 4.2 i) 2 + 3 = 5 j) x + 2 = 3 02) Considere as proposições:

p: João é filho de Ana. q: João é simpático.

Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na forma simbólica: a) p b) p q c) p q d) p q e) p q f) p q

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20

g) ( p q) h) (p q) i) ( p q) j) ( p)

03) Considerando as proposições abaixo, passe as

sentenças para a forma simbólica: p: O professor ensinou. q: O aluno passou no concurso.

a) O professor ensinou ou o aluno passou no concurso. b) O professor não ensinou e o aluno passou no concurso. c) O professor não ensinou ou o aluno não passou no concurso. d) Não é verdade que o professor não ensinou e o aluno não passou no concurso. e) Não é verdade que o professor não ensinou. f) Não é verdade que o aluno passou no concurso. g) O professor ensinou e não é verdade que o aluno não passou no concurso. 04) Considere as proposições:

p: João é filho de Ana. q: João é simpático.

Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na forma simbólica: a) p q

b) p q

c) ( p q)

d) p (p q)

e) p (p q)

f) p (p q)

g) (p q) q

h) (p q) q

05) Dê o valor lógico de cada uma das proposições abaixo:

a) 2 + 3 = 5 e 50 – 1 > 0 b) 2 + 3 = 5 ou 50 – 1 > 0 c) se 2 + 3 = 5 então 50 – 1 > 0 d) 2 + 3 = 5 se e somente se 50 – 1 > 0 e) Pedrão é professor de matemática e de raciocínio lógico. f) Pedrão é professor de matemática ou de raciocínio lógico. g) Pedrão é professor de matemática e de português. h) Pedrão é professor de matemática ou de português. 06) Sendo p e q proposições verdadeiras e r e s proposições falsas, julgue cada uma das sentenças

abaixo: a) p r b) s q c) r s d) p q e) (p q) (r s) f) (p q) (r s) g) (p q) (r s) h) (p q) (r s) i) [ (p q) (r s)] j) [ (p q) (r s)] k) [ (p r) (q s)] l) [ (p r) (q s)]

m) [( p r) ( q s)] 07) Construir a tabela-verdade para cada uma das

sentenças a seguir, dizendo quantas são as valorações verdadeiras e quantas são as valorações falsas: a) p q b) p q c) p q d) (p q)

e) p q

f) (p q) g) (p q)

h)( p q) p i)( p q) (p q) j)(p q) (p q) k)(p q) ( p q)

GABARITO

01) a) F b) V c) F d) V e) F f ) F g) F h) V i) V j) F 02) a) João não é filho de Ana. b) João é filho de Ana e é simpático. c) João não é filho de Ana e é simpático. d) João não é filho de Ana e não é simpático. e) João é filho de Ana ou é simpático. f) João é filho de Ana ou não simpático. g) Não é verdade que João é filho de Ana e é simpático. h) Não é verdade que João é filho de Ana ou é simpático. i) Não é verdade que João não é filho de Ana e é simpático. j) Não é verdade que João não é filho de Ana.

03) a) qp b) qp c) qp

d) qp e) p

f) q g

) qp

04) a) Se João é filho de Ana, então não é simpático. b) Se João não é filho de Ana, então é simpático. c) Não é verdade que se João é filho de Ana então é simpático. d) Se João é filho de Ana, então não é verdade que João é filho de Ana ou é simpático. e) Se João não é filho de Ana, então é filho de Ana e é simpático. f) Se João não é filho de Ana, então não é verdade que é filho de Ana ou é simpático. g) Se João é filho de Ana e é simpático, então não é simpático. h) Se não é verdade que João é filho de Ana ou é simpático, então não é simpático. 05) a) F b) V c) F d) F e) F f) V g) F h) V 06) a) F b) V c) V d) V e) V f) F g) F h) V i) V j) F k) F l) V m) V

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21

07) a) 3V e 1F b) 3V e 1F c) 1V e 3F d) 1V e 3F e) 2V e 2F f) 1V e 3F g) 2V e 2F h) 3V e 1F i) 2V e 2F j) 2V e 2F k) 3V e 1F

IMPLICAÇÕES LÓGICAS

O símbolo é utilizado para representar uma

relação entre duas proposições (compostas ou não), o que é diferente do símbolo que é utilizado para representar

uma operação entre duas proposições.

A proposição pq (dizemos p implica q) ocorre

quando não houver VF (nessa ordem) nas colunas de

suas tabelas-verdade.

Também podemos afirmar que a proposição pq

ocorre quando a proposição p q for uma tautologia

Ex: pq p


P Q q p p ( q p)

V V V V

V F V V

F V F V

F F V V

Observe na tabela-verdade que em pq p não

ocorre VF (nessa ordem), e que p ( q p) é uma

tautologia.

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS

O símbolo é utilizado para representar uma

relação entre duas ou mais proposições, o que é diferente do símbolo que é utilizado para representar uma

operação entre duas ou mais proposições.

A proposição p q (dizemos p equivale a q) ocorre

quando não houver VF nem FV nas colunas de suas

tabelas-verdade.

Ex: p q p q

p Q p p q p q

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

Observe na tabela-verdade que em p q pq não ocorre VF nem FV.

“No popular”: só serão equivalentes quando os “resultados” de sua tabelas-verdade forem idênticos (V com V ou F com F). Observe na tabela-verdade que em p

q p q todas as linhas são correspondentes (V

com V ou F com F).

NEGAÇÕES LÓGICAS

Duas proposições são negativas quando na tabela-verdade observarmos que em todas as linhas ocorre VF ou FV.

Ex: (p q) ; ( p q)

P q p q p q p q

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V

Observe na tabela-verdade que em (p q) ; ( p

q) todas as linhas são V com F ou F com V.

PRINCIPAIS NEGATIVAS E EQUIVALÊNCIAS

NEGATIVAS

As negações são muito exploradas como: “a negativa de ... é ...”

# e virando ou: Original: p q (p e q)

Negação: ( p q) p q

“e” vira “ou” e nega tudo.

# ou virando e: Original: p q (p ou q)

Negação: (p q) p q

“ou” vira “e” e nega tudo.

Ex: A negativa de “Pedrão é professor ou Karol não é linda” é: “Pedrão não é professor e Karol é linda”.

# se... então virando e: Original: p q (se p então q)

Negação: (p q) p q

“se...então” vira “e” e nega a segunda. # e virando se... então: Original: p q (p e q)

Negação: ( p q) p q

“e” vira “se...então” e nega a segunda.

Ex: A negativa de “Se Pedrão é professor, então Karol é linda” é: “Pedrão é professor e Karol não é linda”.

EQUIVALÊNCIAS

As equivalências são muito exploradas como: “dizer ... é equivalente a dizer ...”

# Se ... então virando ou: Original: p q

Equivalência: p q p q

“Se ... então” vira “ou” e nega a primeira. # ou virando se ... então:

Original: p q

Equivalência: p q p q

“ou” vira “se ... então” e nega a primeira. Ex: Dizer “Se Pedrão é professor então Karol é linda”

é logicamente equivalente a dizer que “Pedrão não é professor ou Karol é linda”.

# Se...então virando se...então: Original: p q

Equivalente (contrapositiva – troca p por q e nega

tudo):

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p q q p

Ex: Dizer “Se Pedrão é professor então Karol é linda” é logicamente equivalente a dizer “Se Karol não é linda então Pedrão não é professor”.

EXERCÍCIOS

08) Verifique se as proposições são equivalentes:

a)q p p q

b)p q p q

c) p q p q

d) p q q p

e) p q (p q) p

f)(p q) (p s) p (q s)

09) Verifique se as proposições são negativas:

a) (p q) ; ( p q) b) (p q) ; ( p q) c) (p q) ; ( p q)

d) ( p q) ; ( q p)

e) ( p q) ; (q p)

10) Verifique se as proposições são tautologias,

contradições ou contingências: a) ( p r) (q r) b) (p r) ( q r)

c) (p q) (q r)

11) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é

Engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 12) A negação da sentença “Ana não voltou e foi ao

cinema” é: a) Ana não voltou e foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema d) Ana não voltou e não foi ao cinema e) Ana voltou ou não foi ao cinema. 13) Dizer “Se meu nome é Pedrão, então ensinarei lógica.”

É logicamente equivalente a dizer que: a) Meu nome é Pedrão ou ensinarei lógica. b) Meu nome é Pedrão e ensinarei lógica. c) Se ensinarei lógica, então meu nome é Pedrão. d) Ensinarei lógica ou me chamo Pedrão. e) Ensinarei lógica ou não me chamo Pedrão.

14) Dizer “Pedrão não é professor ou Serginho é paulista”

é o mesmo que dizer: a) Se Pedrão é paulista, então Serginho é professor. b) Se Pedrão não é professor, então Serginho não é paulista. c) Se Pedrão não é professor, então Serginho é paulista.

d) Se Pedrão é professor, então Serginho não é paulista. e) Se Pedrão é professor, então Serginho é paulista.

15) A negativa de “Pedrão é professor ou Serginho não é

paulista” é: a) Pedrão é paulista e Serginho é professor. b) Pedrão é professor e Serginho não é paulista. c) Pedrão não é professor e Serginho não é paulista. d) Pedrão é professor e Serginho é paulista. e) Pedrão não é professor e Serginho é paulista.

16) É correto afirmar que a negativa da sentença “Hoje é

sexta-feira e amanhã não vai chover” é: a) Hoje é sábado e amanhã vai chover. b) Hoje não é sexta-feira e amanhã não vai chover. c) Hoje não é sexta-feira e amanhã vai chover. d) Hoje não é sexta-feira ou amanhã não vai chover. e) Hoje não é sexta-feira ou amanhã vai chover.

17) É correto afirmar que a negativa da sentença “Aprendi

lógica, então acertarei esta questão” é: a) Não aprendi lógica, então não acertarei esta questão. b) Não aprendi lógica, então acertarei esta questão. c) Aprendi lógica e não acertarei esta questão. d) Aprendi lógica e acertarei esta questão. e) Não acertarei esta questão, então não aprendi lógica.

18) É correto afirmar que a equivalente da sentença “Se a crise

aumentar, então as vendas de Natal vão cair” é: a) As vendas de Natal vão cair então a crise não vai aumentar. b) As vendas de Natal não vão cair então a crise vai aumentar. c) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise vai diminuir. d) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise não vai diminuir. e) As vendas de Natal vão aumentar então a crise vai diminuir.

GABARITO

08) a) não são equivalentes b) são equivalentes c) não são equivalentes d) são equivalentes e) não são equivalentes f ) são equivalentes 09) a) são negativas b) são negativas c) não são negativas d) não são negativas e) não são negativas 10) a) contradição b) tautologia c) contingência 11) c 12) e 13) e 14) e 15) e 16) e 17) c 18) e

LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO

ARGUMENTO

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23

Um argumento é uma série de afirmações (proposições chamadas de premissas) que irão gerar uma única proposição (chamada de conclusão).

Podemos dizer então que: premissas + conclusão = argumento

Obs: o argumento normalmente virá depois das

palavras portanto (será representado pelo símbolo) ou logo.

Supondo as premissas P1, P2,..., Pn do argumento, e a conclusão Q, indicamos, de forma simbólica por:

P1, P2,..., Pn Q Lê-se: P1, P2,..., Pn acarretam Q, Q decorre de P1,

P2,..., Pn, Q se deduz de P1, P2,..., Pn, Q se infere de P1, P2,..., Pn.

O símbolo é chamado de traço de asserção. Um argumento de premissas P1, P2,..., Pn e

conclusão Q, também pode ser indicado através da forma padronizada, por:

P1 P2

... Pn

Q Silogismo

É como chamamos todo argumento composto por duas premissas e uma conclusão.

Ex: Pedrão é professor ou engenheiro Pedrão não é engenheiro Portanto, Pedrão é professor

VALIDADE DE ARGUMENTOS

Para podermos determinar se um argumento é válido ou não, devemos inicialmente considerar que as premissas sempre serão verdadeiras.

Argumento válido: quando premissas verdadeiras

geram conclusões verdadeiras. Argumento inválido (sofisma ou falácia): quando

premissas verdadeiras geram conclusões falsas ou ambíguas (podem ser verdadeiras ou falsas).

Obs: se uma das premissas for falsa, o argumento

é inválido. Podemos utilizar as tabelas-verdade para verificar

se um argumento é válido ou inválido, sendo que um argumento só é válido se o valor lógico da conclusão for V em todas as linhas onde os valores lógicos de todas as premissas forem V, nas mesmas linhas.

Outra forma de verificar se um argumento é válido ou não, consiste em se montar a tabela-verdade e verificar se a condicional (P1P2 ... Pn)Q é uma

tautologia. Quando a condicional for uma tautologia, o argumento é válido.

EXERCÍCIOS

19) Verifique se os argumentos são válidos ou inválidos:

a) p q

q

p b) p q

x p

q x c) h q

q p

p x

x y

y h d) p q

q w w p e) p q q

p f) p q q p g) p q

q p h) p q

q x

xm

p i) p q

q k

p k

j) p q

q h

p h

k) p q

q x

xm

pm

l) p q

x q

p x

20) Verificar a validade do argumento:

Se é domingo, Karol vai à missa Karol não foi à missa Logo, não é domingo 21) Verificar a validade do argumento:

Estudo ou não serei aprovado em Matemática

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Se trabalho, não estudo Trabalhei Logo, fui reprovado em Matemática

22) Verificar a validade do argumento:

Se um homem é inteligente, ele casa. Se um homem não casa, ele é infeliz O homem é feliz Logo, homens inteligentes não casam

23) Considere a proposição “Pedrão é professor e

guerreiro, ou Pedrão é bonito”. Como Pedrão não é bonito, então é correto afirmar que Pedrão é professor e guerreiro?

24) Considere as seguintes premissas:

“Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática.”

“Cláudia não é simpática.” A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia: a) Não é bonita e não é inteligente. b) Não é bonita e é inteligente. c) É bonita e não é inteligente. d) É bonita ou é inteligente. e) Se é bonita, então não é inteligente.

25) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim

é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia b) O jardim é florido e o gato não mia c) O jardim não é florido e o gato mia d) O jardim não é florido e o gato não mia e) Se o passarinho canta, então o gato não mia 26) No final de semana Pedrinho não foi ao parque. Ora,

sabe-se que sempre que Pedrão estuda, Pedrão é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Karol vai à missa ou vai visitar seus pais. Sempre que Karol vai visitar seus pais, Pedrinho vai ao parque e, sempre que Karol vai à missa, Pedrão estuda. Então, no final de semana, a) Pedrão não foi aprovado e Karol não foi visitar seus pais. b) Pedrão não estudou e Pedrão foi aprovado. c) Pedrão estudou e Pedrinho foi ao parque. d) Karol não foi à missa e Pedrão não foi aprovado. e) Karol foi à missa e Pedrão foi aprovado.

27) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram

feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de natação: I) Dado chegou antes de Gueti e depois de Ita; II) Dado chegou antes de Dani e Dani chegou antes de Gueti, se e somente se Gueti chegou depois de Ita; III) Rê não chegou junto com Dani, se e somente se Gueti chegou junto com Dado. Logo: a) Dado chegou antes de Rê, depois de Ita e junto com Gueti. b) Gueti chegou antes de Ita, depois de Dani e antes de Dado. c) Gueti chegou depois de Dani, depois de Rê e junto com Ita.

d) Dani chegou antes de Ita, depois de Dado e junto com Rê. e) Rê chegou antes de Gueti, depois de Ita e junto com Dani.

GABARITO

19) a) inválido b) inválido c) válido d) inválido e) inválido f ) inválido g) inválido h) válido i ) válido j ) válido k) válido l ) válido 20) válido 21) válido 22) inválido 23) correto(válido) 24) e 25) c 26) e 27) e

DIAGRAMAS LÓGICOS

O estudo da Teoria dos Conjuntos e dos Diagramas de Venn são ferramentas importantes na resolução de questões de Raciocínio Lógico, sendo que devemos destacar três situações:

Conjuntos que não possuem elementos em

comum (disjuntos – (AB ) – “Nenhum A é B”

Conjuntos que possuem ao menos um elemento

em comum (AB ) – “Algum A é B” e “Algum A

não é B”

Conjunto contido em outro conjunto (AB) –

“Todo A é B”

Proposições Categóricas

# Todo A é B (V), então: Nenhum A é B (F) Algum A é B (V) Algum A não é B (F)

# Nenhum A é B (V), então: Todo A é B (F) Algum A é B (F) Algum A não é B (V)

# Algum A é B (V), então: Nenhum A é B (F) Todo A é B (indeterminada) Algum A não é B (indeterminada)

# Algum A não é B (V), então:

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Todo A é B (F) Nenhum A é B (indeterminada) Algum A é B (indeterminada)

# Todo A é B (F) Algum A não é B (V) Nenhum A é B (indeterminada) Algum A é B (indeterminada)

# Nenhum A é B (F) Algum A é B (V) Todo A é B (indeterminada) Algum A não é B (indeterminada)

# Algum A é B (F) Todo A é B (F) Nenhum A é B (V) Algum A não é B (V)

# Algum A não é B (F) Todo A é B (V) Nenhum A é B (F) Algum A é B (V)

PRINCIPAIS NEGAÇÕES

"PELO MENOS UM NÃO" "TODO É" "EXISTE UM QUE NÃO É" "ALGUM NÃO É" "PELO MENOS UM É" "NENHUM É" "EXISTE UM QUE É" "ALGUM É" "ALGUM É" "NENHUM É" "ALGUM NÃO É" "TODO É" A negação da frase: "Todo Gremista é inteligente" é:

"Pelo menos um Gremista não é inteligente" "Existe um Gremista que não é inteligente " "Algum Gremista não é inteligente " A negação da frase: "Nenhum Gremista é inteligente " é

"Pelo menos um Gremista é inteligente " "Existe um Gremista que é inteligente " "Algum Gremista é inteligente " A negação da frase: "Algum Gremista é inteligente " é

"Nenhum Gremista é inteligente " A negação da frase: "Algum Gremista não é inteligente " é

"Todos Gremistas são inteligente "

EXERCÍCIOS

28) A negação da proposição “As palavras mascaram-se”

pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma palavra se mascara”.

29) A negação da proposição “Existe banco brasileiro que

fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.” 30) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam

rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira. 31) Se A for a proposição “Todos os policiais são

honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

GABARITO

28) E 29) C 30) C 31) E

QUESTÕES FEPESE

NEGAÇÃO 01- (FEPESE-CELESC-2012) negação da afirmação “Não choveu o suficiente este mês e portanto usinas a carvão ou a gás foram ativadas.” é: a. ( ) Se usinas a carvão e a gás não foram ativadas, então choveu o suficiente este mês. b. ( ) Choveu o suficiente este mês e então usinas a carvão ou a gás foram ativadas. c. ( ) Choveu o suficiente este mês e então usinas a carvão e a gás foram ativadas. d. ( ) Não choveu o suficiente este mês e então usinas a carvão e a gás foram ativadas. e. ( ) Se usinas a carvão ou a gás não foram ativadas, então choveu o suficiente este mês. EQUIVALÊNCIA 02- (FEPESE-MPE-2014) A afirmação logicamente equivalente à sentença: “Se José e Maria trabalham, então João ou Lúcia descansam” é: a. ( ) Se João ou Lúcia descansam, então José e Maria não trabalham. b. ( ) Se João ou Lúcia descansam, então José ou Maria não trabalham. c. ( ) Se José e Maria não trabalham, então João e Lúcia não descansam. d. ( ) Se João e Lúcia não descansam, então José e Maria não trabalham. e. ( ) Se João e Lúcia não descansam, então José ou Maria não trabalham. ARGUMENTAÇÃO 03- (FEPESE-CAU-2013) João, Maria e Artur foram viajar para 3 lugares diferentes, cada um utilizando um e apenas um meio de transporte entre automóvel, avião e navio. Sabe-se que se João utilizou automóvel, então Maria não

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utilizou avião. Se Artur ou Maria utilizaram navio, então João utilizou avião. Ainda, Maria não utilizou automóvel e João não utilizou avião. Logo: a. ( ) João utilizou navio, Maria avião e Artur automóvel.

b. ( ) João utilizou automóvel, Maria avião e Artur navio.

c. ( ) João utilizou automóvel, Maria navio e Artur avião

d. ( ) João utilizou navio, Maria automóvel e Artur avião.

e. ( ) É impossível determinar quais meios de transporte foram utilizados por João, Maria e Artur. 04- (FEPESE-CELESC-2014) João, Joaquim, Maria e Ana trabalham juntos. José é contratado e sabe-se que se José fizer amizade com João e Joaquim então não fará amizade com Ana. Se José não fizer amizade com Ana então não fará amizade com Maria. Portanto, se José fizer amizade com Maria podemos afirmar que: a. ( ) José não fará amizade com Ana.

b. ( ) José não fará amizade com João.

c. ( ) José não fará amizade com Joaquim.

d. ( ) José não fará amizade nem com João nem com Joaquim.

e. ( ) José não fará amizade com João ou Joaquim. 05- (FEPESE-MPE-2014) Em um país eleições serão realizadas em breve. Sabe-se que se a pessoa A somente será candidata se a pessoa B for candidata. Ainda, se a pessoa C não se candidatar então a pessoa A também não será candidata. Logo: a. ( ) Se a pessoa B for candidata, então a pessoa A não será candidata. b. ( ) Se a pessoa B for candidata, então a pessoa C também será candidata. c. ( ) Se a pessoa B for candidata, então a pessoa C não será candidata. d. ( ) Se a pessoa B não for candidata, então a pessoa C também será candidata. e. ( ) Se a pessoa B não for candidata, então a pessoa C não será candidata. TENTATIVA E ERRO

06- (FEPESE-CELESC-2012) Um eletricista recebe três caixas, sendo que uma contém cabos azuis, uma contém cabos vermelhos e a outra contém cabos vermelhos e azuis. Porém as etiquetas que descrevem o conteúdo das caixas estão trocadas e todas descrevem de maneira errada o conteúdo das caixas. Podemos afirmar corretamente que:

a. ( ) Não é possível que o eletricista deduza as etiquetas corretas para as caixas tomando conhecimento de apenas um item de uma das caixas. b. ( ) Se o eletricista tomar conhecimento de apenas um item da caixa etiquetada como cabos azuis ou de apenas um item da caixa etiquetada como cabos vermelhos, então nunca é possível que ele deduza as etiquetas corretas para todas as caixas. c. ( ) Se o eletricista tomar conhecimento de dois itens da caixa etiquetada como cabos azuis, então certamente é possível que ele deduza as etiquetas corretas para todas as caixas. d. ( ) Se o eletricista tomar conhecimento de apenas um item da caixa etiquetada como cabos azuis e vermelhos, então certamente é possível que ele deduza as etiquetas corretas para todas as caixas. e. ( ) Se o eletricista tomar conhecimento de um item da caixa etiquetada como cabos azuis e de um item da caixa etiquetada como cabos vermelhos, então certamente é possível que ele deduza as etiquetas corretas para todas as caixas. 07- (FEPESE-CELESC-2012) Quatro trabalhadores moram em apartamentos diferentes de um mesmo edifício, a saber, os apartamentos de números 101, 102, 103 e 104. Sabe-se ainda que: ƒ Se João mora no 101, então Maria mora no 102. ƒ Se Maria mora no 103, então João e José não moram no 101. ƒ Se João não mora no 101, então Laura não mora no 103. ƒ O morador do 103 é uma mulher ƒ João ou José moram no 101. Com base nas informaçõe acima podemos afirmar corretamente que:

a. ( ) José mora no 101. b. ( ) José mora no 104. c. ( ) João mora no 104. d. ( ) Maria mora no 104. e. ( ) Laura não mora no 103.


01) a 02) e 03) a 04) e 05) b 06) d 07) b

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