Habilidades Numéricas III

8/19/2019 Habilidades Numéricas III

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HABILIDADES NUMÉRICAS III

Presentación

Las matemáticas favorecen específicamente el desarrollo de las competencias genéricas

relacionadas con las categorías “piensa, crítica y reflexivamente” y “se expresa y comunica”, las

cuales te permitirán expresar ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas, así como

resolver problemas de una manera crítica y reflexiva.

Bloque I. Reconoce los lugares geométricos.

Introducción:

La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos, desde la antigüedad más lejana, a

confeccionar mapas o cartas geográficas y a relacionar los puntos de una superficie mediante

números.

Para fijar una figura en el espacio o en un plano hace falta relacionarla con un sistema de referencia.

En el actual sistema geográfico, cualquier lugar del mundo queda determinado con precisión si se

conocen su latitud (a) y su longitud (b), es decir, si se tienen su distancia a al norte o al sur del

ecuador, y su distancia b al este o al oeste del meridiano de Greenwich.

• No basta con tener uno solo de estos datos, ya que hay lugares que tienen la misma latitud

a. Obsérvese figura de al lado:

• Todos los puntos del globo terrestre que están situados en el mismo paralelo, a una

distancia a del ecuador tienen la misma latitud. Lo mismo sucede con solo la longitud.

El sistema de referencia que se usa en la actualidad fue creado por un matemático llamado René

Descartes (1596-1650) y en su honor se le llama PLANO CARTESIANO.René Descartes, en matemáticas, fue el creador de la GEOMETRÍA ANALÍTICA para lo que estableció

un sistema de coordenadas ortogonales llamado Sistema Cartesiano o plano Cartesiano. Asimismo,

contribuyó a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica.

Sistemas coordenados. Características y elementos.

Geometría analítica

Es una rama de las matemáticas que estudia a la geometría euclidiana en la que se asocia una curva

con una ecuación y se utiliza el eje cartesiano como referencia. En principio, esto puede parecer

muy complicado, pero a lo largo del curso verás que no lo es tanto. En el segundo semestre

aprendiste los conceptos básicos de la geometría euclidiana necesarios para comprender la

geometría analítica.

En el siglo XVII, Descartes propuso que era factible relacionar el álgebra con la geometría y

representar una figura geométrica mediante una ecuación de dos o más variables. Así surge la

geometría analítica, cuyo problema principal es encontrar la ecuación a partir de una gráfica llamada

lugar geométrico y viceversa.


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En este bloque utilizarás tus conocimientos previos a cerca de cómo localizar un punto y su posición

respecto a los ejes del plano cartesiano (ejes de referencia), para obtener un lugar geométrico; es

decir, la curva de una ecuación, observando su intersección con los ejes cartesianos y si es simétrica

a ellos. Se entiende por curva una gráfica que es posible representar por medio de una ecuación,

aun cuando sea una línea recta.

•

Igualdad de parejas.

Dos parejas ordenadas son iguales cuando ambos términos son exactamente iguales, es decir:

, , si y Ejemplo:

Determina para qué valores de x son iguales los siguientes pares ordenados:

a)

2,8 2, 3

A partir de la definición planteamos:

2 2

8 3 Al despejar:

22 1 83

b)

(8, √ 3) ,3 Con base en la definición planteamos:

8 √ 3 3 Si despejamos

√ 8 2√ 2 √33 • Puntos de un plano.

Ejes cartesianos rectangulares.

Si se plantea que la zona arqueológica de Teotihuacán está muy lejos, es necesario indicar con

respecto a qué lugar, para poder valorar esta afirmación. Si se está en el DF sería falsa, pero si seencuentra en el estado de Yucatán, entonces sería cierta. Por tanto, para localizar o determinar en

dónde está un objeto es indispensable indicar a partir de qué punto nos referimos.

El punto que debe determinar se llama punto de referencia y con el podemos mencionar cuán lejos

o cerca está un objeto en relación a otro: si está al norte, al sur, ala izquierda o a la derecha.


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Asimismo, cuando tratas de describirle a tus amigos en qué lugar se pueden encontrar para ir a una

fiesta, necesitas saber en dónde están (punto de referencia) para indicarles hacia dónde deben

dirigirse: al norte, sur, oeste o este.

Coordenadas cartesianas de un punto.

Un plano cartesiano, está formado por dos líneas perpendiculares, llamadas ejes coordenados, cuyopunto de intersección se denomina origen. A la línea horizontal se le denomina eje x o de las

abscisas, y a la línea vertical, eje y o de las ordenadas. Los ejes cartesianos dividen el plano en cuatro

regiones llamadas cuadrantes, los cuales se numeran.

PLANO CARTESIANO

Los lugares geométricos

Es la gráfica cuyos puntos satisfacen una ecuación algebraica con dos variables que se colocan enun plano cartesiano y tiene soluciones reales. La cantidad de puntos que forman la gráfica está

directamente relacionada con el número de soluciones que tiene la condición algebraica. En otras

palabras, toda pareja ordenada (x,y) de números reales que satisface una ecuación pertenece a la

gráfica y es parte de su solución.


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Es necesario definir un lugar geométrico cuando:

1. Hay que encontrar el lugar geométrico a partir de una ecuación.

2.

Se plantean algunas condiciones de un lugar geométrico y nos poden hallar su ecuación.

Signos de los puntos (pares ordenados) en los cuadrantes

• Solución de lugares geométricos

Ejemplo:

1.

Encuentra la ecuación y la gráfica que representan los lugares geométricos sigs.

a) La ordenada es el doble de la abscisa.

La ecuación que cumple con el planteamiento es: 2 *para 1 21 2 La pareja ordenada que se obtiene es (-1,-2)

*para 0

20 0 Por tanto, se forma la pareja (0,0)

*para 1

21 2 Por lo que tenemos (1,2)

Al tabular:

x y

-1 -2

0 0


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1 2

Al graficar:

Ejemplos

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano.

1.

A(2, 3)

2. B(-2, 4)

3.

C(-3, -2)

4.

D(1, -3)

5.

E(2, 0)

6.

F(0, -1)

Gráficas y simetría.

Cuando se tiene una ecuación de dos variables y se quiere graficar su lugar geométrico, es necesario

analizar algunas propiedades de las gráficas:


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1.

Intersecciones con los ejes: son los valores en los que la línea del lugar geométrico cruza

los ejes coordenados.

o El punto en el que corta la gráfica el eje sucede cuando 0 o

El punto en el que corta la gráfica el eje Y sucede cuando 0 2. Simetría: en un plano cartesiano, dos puntos son simétricos si están a la misma distancia de un

punto ′ , Hay dos tipos de simetría:

o

Con los ejes:

Si f(x)=f(-x) es simétrica respecto al eje y.

Si f(y)=f(-y) es simétrica respecto al eje x.

o Con el origen:

Si se cumplen las dos anteriores.

Ejemplo:

• La cantidad (en miles) de automóviles vendidos en México para los años 1988 al 1993 está

dada en la siguiente tabla.

• Localiza los puntos en el plano cartesiano y traza una gráfica poligonal de los datos. La

gráfica poligonal se obtiene uniendo los puntos con segmentos de líneas.

1988 1989 1990 1991 1992 1993

25 20 28 30 15 40

A B C D E F

1988 1989 1990 1991 1992 1993


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25 20 28 30 15 40

BLOQUE II. Propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

OBJETOS DE APRENDIZAJE

¿Qué aprenderé?

• Segmentos rectilíneos

• Dirigidos y no dirigidos

• Distancia entre dos puntos.

• Perímetro y área de polígonos

• Punto de división de un segmentos

• Punto medio

Características de un segmento rectilíneo.

Segmentos rectilíneos. Distancia entre dos puntos.

Llamamos segmento a la porción de recta comprendida entre dos extremos.

Ejemplo:

a)

A(7) y B(9)

Consideramos que 7, 9 |7 9| |7 9| |2| 2

Así, concluimos que la distancia no dirigida que existe entre A(7) y B(9) es igual a 2. El resultado es

positivo por el valor absoluto.

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.


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La distancia es un segmento no dirigido, ya que es la misma desde el punto , al punto que ensentido contrario.

1. Tú eliges cuál es el punto . 2.

Ten la precaución de colocar primero la coordenada x y luego la y.

3. No mezcles subíndices, es decir, no debes colocar , .4.

Aplica correctamente las leyes de los signos de la suma y de la multiplicación.

Fórmula:

La distancia entre los puntos P y Q (denotada por: d (P;Q)) está referida a la longitud del segmento

que los une:

Considerando el triángulo que se forma:


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Por el teorema de Pitágoras:

Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos (-2;5) y (4;-1).

Solución:

División de un segmento en una razón dada.

• Para conocer cuánto más grande es un segmento de popote que otro, se divide la longitud

de uno con la del otro; a esta relación se le conoce como razón. Si se representan los

extremos de un popote por ̅ ̅ y el punto donde se corta por ̅ las longitudes de lossegmentos serían las distancias ̅ y ̅ :

̅ ̅ Para encontrar las coordenadas de P en el plano cartesiano:

Para la coordenada x

̅ ̅

Al despejar x

1 Lo mismo ocurre para la coordenada y, por lo que la ecuación queda:


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1 , 1

Por geometría, los triángulos P1PQ y PP2R son semejantes, la proporcionalidad que existe entre sus

lados es:

Por otro lado P1Q= x-x1,

PR = x2 –x

QP = y – y1, RP2 = y2 -y

Formulas:

1) Para determinar la razón conociendo los extremos y el punto de división se emplea:

2) Para encontrar el punto de división conociendo los extremos y la razón se utiliza:

Cuál es la razón en que el punto P (2,7) divide al segmento determinado por los puntos P1 (-1,1) y P2

(6,15)

Sustituyendo valores de x = 2, x1 = - 1, x2 = 6, en la formula

Se obtiene el mismo valor de r si se toman los valores de las ordenadas


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BLOQUE III. Elementos de una recta

Objetos de aprendizaje

• Definición de línea recta

• Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

• Ángulo formado por dos rectas

• Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

La pendiente y el ángulo de inclinación de una recta

• Ángulo de inclinación y pendiente de una recta.

Cuando subes un puente, cuánto más inclinado esté, mayor esfuerzo te costará ascender. A esto se

le conoce como pendiente: a mayor ángulo, mayor pendiente.

• Pendiente de una recta y ángulo de inclinación.

La pendiente m de una recta es la variación que tiene esta en el eje de las abscisas respecto al de

las ordenadas. Si consideramos que los puntos , , son aquellos por los que pasala recta, la pendiente está dada por:

Una recta ℓ en el plano cartesiano con un ángulo de inclinación con el eje de las abscisas formaun triángulo rectángulo. La tangente del ángulo es:

Al sustituir con los datos de la gráfica obtenemos:

Gráficas de rectas según su pendiente:


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Líneas de diversas pendientes.

Ejemplo 1

• Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)

• Ejemplo: encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas que

pasan por:

a)

A(7,9), B(-6,-8)

Obtenemos la pendiente al aplicar la fórmula:

8 967 8 967

1713

Para obtener el ángulo de inclinación aplicamos:


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tan− tan− 1713

tan− 1.3077 •

Ángulo entre dos rectas: para conocer el ángulo que forman dos rectas ℓℓ queintersecan en un punto, se aplica la ley de las tangentes:tan tan 1

Donde A es el ángulo que corresponde a la recta ℓ y B el ángulo de la recta ℓ. Como la tangenteequivale a la pendiente, la ecuación queda:

tan 1 La línea recta. Elementos y su ecuación

Cuando percibes que un cuadro en una pared está inclinado o cuando caminas por una avenida y

notas que la intersección de dos calles tiene forma de cruz o diagonal, estás aplicando tus

conocimientos sobre líneas rectas. Tu relación con estas líneas ha sido muy estrecha desde que eras

niño y dibujabas una casa, un automóvil o la escuela por medio de trazos que intentaban ser rectas,

¿Recuerdas?

• La línea recta es el lugar geométrico formado por un conjunto infinito de puntos que

mantiene siempre la misma dirección o inclinación. Debido a ello se utiliza como modelo

para representar diferentes situaciones de nuestra vida.

Ecuaciones y propiedades de la recta

• La dirección de una línea recta en el plano cartesiano es función del ángulo que se forma

con el eje X y la ecuación que representa su lugar geométrico.

• Forma general de la ecuación de la recta

0 Donde A, B y C son números reales y A y B no pueden valer 0 al mismo tiempo, ya que generarían

una inconsistencia matemática.

• Gráfica de la ecuación de la recta

Para graficar una línea recta solo es necesario conocer un par de puntos, por lo que para trazarlabasta conocer los cortes con los ejes cartesianos. Llamamos abscisa al origen al valor en el que la

recta corta al eje X en un punto que tiene como coordenadas (a, 0). Por otro lado, se denomina

ordenada al origen al valor en que la recta corta el eje Y, con coordenadas (0, b).

• Ejemplo:

Graficar la ecuación lineal 2 3 6 0


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Para encontrar la ordenada al origen sustituye: x=0

20 3 6 0 Se despeja ahora la variable y:

0 3 6 0

3 6 2

Por lo que las coordenadas donde corta el eje Y son (0,2)

Para la abscisa al origen, se sustituye y=0

Se despeja ahora la variable x.

2 30 6 0

2 6

62 3 • Forma de pendiente ordenada al origen

Denominamos ecuación canónica o pendiente-ordenada al origen a la ecuación de primer grado en

la cual se tiene despejada y. su representación es la siguiente:

Fácilmente puedes observar dos características de la recta:

1.

El número que está junto a x, es decir, su coeficiente, es la pendiente de la recta.

2.

El número independiente, el cual no es coeficiente de ninguna de las variables, es la

ordenada al origen.

Ejemplo

Identifica cuáles son los valores de la pendiente y la ordenada al origen en estas ecuaciones:

a)

2 8 Al comparar la expresión tenemos que:m=2, ya que es el número que se encuentra junto a x.b= -8, ya que es el término independiente.

a)

5 10 0 Para obtener el valor de m y de b es necesario despejar y:

5 10 0


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5 10

5 10 1

Por tanto m = -5 y b= 10Ecuación de una recta conocida su pendiente y uno de sus puntos.

• Para hallar la ecuación de la recta cuando se sabe el valor de la pendiente y las coordenadas

de uno de sus puntos, se considera el punto conocido como , y cualquier puntoque pertenezca a la recta.

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por: 7,8

3. Al sustituir en la fórmula tenemos:

8 3 7 Al resolver la ecuación:

8 3 7

8 3 21 Al despejar y:

3 21 8 3 29

Esta es la ecuación de la recta que pasa por (-7,8) y tiene pendiente 3.

Ecuación de la recta en su forma punto pendiente

Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x 1, y1), con una

pendiente dada.


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• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede

definirse como:

1

1

x x

y ym

•

Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:

11

x xm y y

• Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son

las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.

• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A (-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta.

Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es:

5y-x+18=0

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos.

•

Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura:

A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera

las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

1

12

12

1 x x x x

y y y y

•

O bien, la pareja de coordenadas del punto B

2

12

12

2 x x x x

y y y y

•

Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es

indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la mismarecta.

• Ejemplo 2: Sean A (-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica

que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto

que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0


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Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.

• Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x,

y) y B(0,b), como se muestra en la figura

•

Calculando la pendiente

x

ybm

0

• Despejando “y” , y ordenando los términos

bmx y

• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el

eje “y”.

Ejemplo:

• Encontrar la ecuación de la recta de pendiente 3 y ordenada al origen -7.

Solución:

bmx y

73

)7(3

x y

x y

BLOQUE IV. Distintas formas de la ecuación de la línea recta


¿Qué aprenderé?

•

Ecuación de la recta• Pendiente y ordenada al origen

• Punto pendiente

• Dos puntos

• Simétrica


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Ecuación de la recta en forma simétrica y normal

• Ecuación de la recta en forma simétrica.

Cuando se conocen los valores en los que una recta corta las coordenadas de la abscisa al

origen (a, 0) y las de la ordenada al origen (0, b), se encuentra su ecuación aplicando:

Si se consideran las coordenadas , como las abscisas al origen y , como las dela ordenada al origen y se sustituye en la fórmula, queda:

−− −−

Dividimos toda la ecuación entre ab:

1

Donde a es el valor en el cual la recta corta el eje X y b al eje Y. por tanto, al acomodar los

valores la ecuación de la recta en forma simétrica es:

1

Ejemplos

Halla la ecuación simétrica de la recta cuya gráfica se muestra a la derecha.

Como se observa, el valor en el lugar donde la recta pasa por el eje de las abscisas es 4 y en

el eje de las ordenadas es 5. Esto quiere decir que

4

5

Por consiguiente, la ecuación simétrica queda de esta forma:

4

5 1


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Casos especiales de la línea recta

Cuando la pendiente vale 0 0, la recta es horizontal, paralela al eje X, y su ecuaciónes . Esto quiere decir que la recta nunca cruza el eje X, como no hay abscisa al origen,no existe la forma simétrica.

Observa:

De igual modo cuando la paralela es paralela al eje Y, como nunca cruza dicho eje, su ecuación es y se dice que la recta tiene pendiente infinita. Esto se escribe simbólicamente, ∞.Así no existe la forma simétrica ni la forma para este caso.Observa las siguientes gráficas:


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Aplicaciones prácticas

1. En México, la escala para medir la temperatura es la Celsius (°C), pero en países de habla

inglesa como Estados Unidos de América e Inglaterra es el Fahrenheit (° F). Se puede

establecer una relación entre ambas unidades mediante una ecuación de la recta, para ello,

basta conocer dos de sus puntos. Si se sabe que 0°C equivale a 32°F y 0°F equivale a -17.77°C,

se puede encontrar la ecuación de la recta en su forma simétrica que relacione ambas

temperaturas.

Se forman las parejas de números (0°C, 32°F) y (17.77°C, 0°F) y se grafican en un plano cartesiano:

En la gráfica se observa que 17.77

32, por lo que la ecuación que relaciona a ambastemperaturas es:

17.77

32 1

Transformación de la forma general en la forma normal

Cuando tenemos una ecuación de la recta en su forma general 0, se puede dividirentre la expresión:

En donde A y B son los coeficientes de las variables de la ecuación

±√ 0

Separamos los coeficientes para obtener:

±√

±√

±√ 0

Al comparar los coeficientes con la forma normal de la recta se tiene que:

cos ±√+ sin ±√+ ±√+


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El signo radical guarda relación directa con el del coeficiente C, ya que siempre será de signo

contrario a él

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta en la forma normal si

60°

5.

Sustituimos y P en la ecuación x cos sin 0: 12

√ 32 5 0

Para graficar primero se traza una recta de 5cm con una inclinación de 60° que inicie en el origen

(P). Después, se traza una perpendicular a esta ℓ.

Distancia entre dos rectas

La condición para calcular la distancia entre dos rectas es que sean paralelas. De acuerdo con lo

establecido en el tema anterior, la distancia perpendicular entre una recta t el origen está definidapor el valor de P.

Recuerda que: ±√+ Como P es una distancia, su valor siempre será positivo. Por tal razón, se utiliza el valor absoluto.

Para encontrar la distancia entre dos rectas, ℓ ℓ, es necesario hallar la diferencia de las

distancias de cada una con el origen, las cuales se denominan .Ten presentes estas consideraciones:

•

Si las dos rectas están del mismo lado del origen, las distancias se restan. Esto ocurre cuandolos signos del coeficiente C de ambas rectas son iguales.

• En caso de que las rectas estén en lados opuestos respecto al origen, es decir, que los valores

de C sean de signo contrario, se suman las distancias.


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Distancia entre un punto y una recta

Como sabemos, una recta es la distancia más corta entre dos puntos. Para encontrar la distancia

desde un punto , a una recta 0 es necesario determinar la longitud de unalínea perpendicular que se trace del punto hacia la recta.

Para ellos se aplica la definición de la ecuación normal de la recta, en la que el valor del parámetroP se refiere a dicha distancia.

Como en este caso el punto no está en el origen, debemos sustituir los valores del punto , en la fórmula de la ecuación normal.

Por ende, la fórmula para calcular la distancia entre cualquier punto y una recta es:

±√ Distancias dirigidas y no dirigidas

Se le llama distancia dirigida de una recta a un punto cuando el resultado de la fórmula anterior nose aplica con valor absoluto. Si el resultado es negativo el punto estará por debajo de la recta, y si

es positivo estará por encima de ella.

Pero cuando esa información no es necesaria y se aplica el valor absoluto, se le denomina distancia

no dirigida de una recta a un punto.

Ejemplo

Calcula la distancia no dirigida entre la recta 2 7 1 0 y el punto (-3,2).Consideramos que

2,

7,

1

′

3,2

Sustituimos estos valores en la fórmula:

±√ Entonces:

23 72 1± 2 7 6141√ 4 49

19√ 53

Por tanto:

19√ 53


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Obtención de ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a otra

Para encontrar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra es necesario escribir la que

ya se tiene en la forma , y determinar el valor de su pendiente. De este modo se sabequé condiciones presenta para hallar la otra.

Ejemplo

1.

Establecer la ecuación general de una recta paralela a 3 4 12 0 que pasa por elpunto (4,-8).

Se despeja y en la ecuación de la recta para obtener el valor de la pendiente:

3 4 12 0 34

124

34 3

Como , obtenemos , ya que es el coeficiente de x.Puesto que la recta que se busca es paralela a 3 4 12 0, entonces se utiliza la mismapendiente .Después se sustituye y (-3,2) en la ecuación:Por tanto: 8 4

8 34 4 …continuación Ejemplo

Se hacen las operaciones

4 8 3 4 4 32 3 12

Se iguala a 0:

3 4 32 12 0 Se reducen los términos:

3 4 44 0 Esta ecuación representa una recta paralela a 3 4 12 0 que pasa por el punto (4,-8)


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BLOQUE V. La circunferencia con centro en el origen


• Definición de circunferencia

• Recta y segmentos: radio, diámetro, cuerda, secante, y tangente

• Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

• Secciones cónicas

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y el círculo unitario

• La circunferencia es una figura geométrica presente en muchos objetos de nuestra vida

cotidiana. Los matemáticos han estudiado esta figura con interés desde la antigüedad, por

ejemplo descubrieron el número de veces que la longitud del diámetro cabe en la de la

circunferencia y trataron de saber cuántos lados tiene.

CircunferenciaAplicación:

• En la ingeniería mecánica, por la frecuencia de piezas circulares y la relación de sus

parámetros con el funcionamiento de los mismos.

• En el estudio de propagación de ondas sísmicas, epidemias o contaminación.

Elementos fundamentales:

• Centro

• Radio

Elementos asociados:

Radio. Distancia entre el centro y la circunferencia

Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro. Pasa por el centro y la divide simétricamente.

Secante. Recta que corta en dos puntos la circunferencia.


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Tangente. Recta que toca un solo punto.

Elementos de la circunferencia.

Ecuaciones de la circunferencia.

• La circunferencia como lugar geométrico.

Para obtener el valor del radio r se utiliza el teorema de Pitágoras empleando las coordenadas del

punto P(x,y)


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Esta ecuación se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia y es aplicable para cada uno

de los puntos de la circunferencia cuando su centro está en el origen; al reacomodar los términos,

la ecuación resulta:

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen c (0,0)

a)

Si el radio es igual a 5.

Se sustituye el valor de r en la ecuación de a circunferencia:

5 25

a) Si el radio es igual a √ 2 }Se sustituye el valor de r en la ecuación de la circunferencia:

√ 2 2

a)

Si el diámetro es igual a 8.

Como el diámetro es dos veces el radio, entonces r es igual a 4. Por tanto, la ecuación queda:

4

16

Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación de una circunferencia en el origen.

Cuando se conoce la ecuación de una circunferencia podemos saber que está en el origen debido a

que no contiene elementos lineales de x o de y, sino solamente elementos al cuadrado.

En el siguiente ejemplo, a partir de la ecuación de la circunferencia, se obtendrán sus elementos:

radio y centro.

• Ejemplo

Encontrar el valor del radio y la gráfica de la siguiente ecuación:

a) 9

Al comparar esta ecuación con la de la circunferencia , se obtiene que 9. Porconsiguiente, √ 9 3. Debido a la forma de la ecuación, las coordenadas del centro son 0,0. Su gráfica es esta:


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Cortes a un cono mediante un plano

Para los griegos, una sección canónica era una curva en el espacio producto de la intersección de un

plano con un cono de dos ramas, siempre que el plano no cruzara por el vértice del cono. La

geometría analítica estudia estas curvas, con el uso del álgebra, para representar la ecuación de sus

lugares geométricos y se encuentra, en todos los casos, una relación con la ecuación cuadrática.

Cónica:

• Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

Cortes en un cono para obtener circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

La circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola son figuras que se obtienen seccionando un

cono como se muestra en las figuras siguientes:

• Cuando el corte se hace perpendicular a la altura del cono, es decir, con 0° de inclinación, la

sección que se obtiene es una circunferencia.

• Si el ángulo de corte se hace mayor a 0° y menor a 90°, la sección que se obtiene es una

elipse.

• Cuando el corte se hace paralelo a la generatriz, la sección que se obtiene es una parábola.

• En el caso de que el corte se haga a 90°, sin pasar por el vértice del cono, la sección que

resulta es una hipérbola.


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BLOQUE VI. Distintas ecuaciones de la circunferencia


• Ecuaciones de la circunferencia con centro fuera del origen

• Ecuación canónica

• Ecuación general

• Ecuación de la circunferencia a partir de tres puntos

Ecuaciones de la circunferencia:

• Formas ordinarias:

Centro origen de coordenadas:

x2 + y2 = r2

Centro en C (h,k)(x-h)2 + (y-k)2 = r2

Forma general de la ecuación:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.


Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen

En el estudio de las cónicas consideraremos las coordenadas del centro como h para la coordenada

en el eje X y k para la coordenada en el eje y, es decir, C(h,k)Se tiene un punto cualquiera P(x,y) en un plano cartesiano por donde pasa una circunferencia. Al

encontrar la distancia entre el centro y este punto se obtiene el radio:

ℎ


29/52

Si se elevan ambos miembros al cuadrado y se acomoda la ecuación, queda:

ℎ A esta ecuación se le llama la ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia y es la forma más

sencilla de representar el lugar geométrico cuando el centro se coloca en cualquier punto del plano

cartesiano

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la circunferencia con C (-2,5) y radio igual a 2.

Se sustituyen las coordenadas del centro C (-2,5) en la ecuación ordinaria:

2 2 5 2 5 4

Obtención del centro y del radio a partir de la ecuación de una circunferencia fuera del origen

Es posible encontrar los elementos de la circunferencia mediante su ecuación aun cuando su centro

se ubique fuera del origen y, por tanto, graficarla.

Ejemplo

Una circunferencia tiene la siguiente ecuación en forma ordinaria. Determina las coordenadas de su

centro y cuál es el valor del radio:

3 2 16 Comparamos la ecuación con la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia, es decir:

ℎ

3 2 16 Por tanto, 3,2 4 Conversión de la ecuación de una circunferencia de su forma canónica en su forma general.

Para obtener la ecuación de una circunferencia, por ejemplo, con C (-2,6) y radio igual a 5, se

sustituyen los valores en la ecuación ordinaria de la circunferencia, es decir:

ℎ

2

6

5

Se desarrolla los binomios:

4 4 12 36 25 Se ordena la ecuación respecto a sus exponentes y variables, y se iguala a cero:

4 12 36 4 25 0


30/52

4 12 15 0

Observa que la ecuación tiene esta forma:

0 A esta ecuación se le denomina ecuación general de la circunferencia.

Ejemplo

a)

El centro el origen y su radio es igual a 8.

Las coordenadas del centro son C (0,0) y r=8, al sustituir en la ecuación queda:

ℎ 0 0 8 0 0 64

64 Al igualar a 0: 64 0

En este caso, los valores D, E y F son iguales a cero.

Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia.

En las secciones anteriores aprendiste a obtener la ecuación de la circunferencia a partir del centro

y el radio; si desconoces uno o ambos datos, habrá que determinarlos.

Ejemplo

1.

Halla la ecuación de la circunferencia con centro C(5,-7) que pasa por el punto (1,-8)

Como se desconoce el radio, se calcula la distancia entre el centro y el punto conocido mediante la

fórmula de la distancia entre dos puntos, es decir, se determina el radio:

[1 5] [8 7] 15 8 7

4 1

√ 161 √ 17 …Continuación ejemplo.

Después, se obtiene la ecuación de la circunferencia con 5,7 √ 17: 5 7 √ 17

10 25 14 49 17


31/52

10 14 74 17 0

10 14 57 0 Elementos de una circunferencia fuera del origen dada su ecuación

• Conversión de la forma general en forma ordinaria.

En el estudio de las cónicas hay dos tipos de problemas: la obtención de la ecuación a partir de

elementos dados y la de los elementos a partir de la ecuación que representa el lugar geométrico.

En esta secuencia se convertirá la ecuación de una circunferencia de su forma general en su forma

ordinaria para encontrar sus elementos y, en algunos casos, graficarlas. No debes perder de vista la

forma general de la circunferencia, en donde los coeficientes de las variables cuadráticas son

iguales.

• Ejemplo:

Transforma las siguientes ecuaciones de circunferencia en su forma general para obtener sus

elementos:

a) 8 6 16 0

Agrupamos las variables que son iguales y pasamos el término independiente al segundo miembro:

8 6 16 Después se completan los trinomios cuadrados perfectos, sumando en ambos miembros los

coeficientes de los términos lineales divididos entre 2 elevados al cuadrado:

8 8

2 6 6

2 16 8

2 6

2

Desarrollamos las operaciones de los paréntesis:

8 4 6 3 16 4 3 Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos:

4 3 16 16 9 Entonces: ℎ

4,3 √ 9 3 Circunferencias concéntricas Dos o más circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro.

Ejemplo

1. Encuentra la ecuación de una circunferencia concéntrica a:

12 4 10 0

4,5


32/52

Por definición, se necesita determinar primero las coordenadas del centro de la circunferencia

porque será el mismo de la circunferencia que queremos hallar ecuación.

Agrupamos las variables:

12 4 10 Se completan cuadrados:

12x 6 4 2 10 62 6 2 10 36 4

6 2 50 Entonces, el centro es C (6,2).

…Continuación ejemplo.

Después se obtiene la magnitud del radio calculando la distancia entre C (-6,-2) y (-4,5):

[4 6] [5 2] 46 5 2

2 7 √ 449 √53

Para encontrar la ecuación de la circunferencia se sustituyen los valores C (-6,-2) y √ 53 6 2 √53

12 36 4 8 53 12 4 36 8 53 0 12 4 9 0

Esta es la ecuación de la circunferencia concéntrica a:

12 4 10 0 Circunferencia que pasa por tres puntos

Un problema especial relativo a la circunferencia se suscita cuando únicamente se tienen tres

puntos por donde pasa; para resolverlo, se requiere aplicar la forma general:

0 La aplicación más común de esta forma se da cuando se quiere encontrar la ecuación de la

circunferencia circunscrita a un triángulo. La dificultad radica en que los puntos no forman el

diámetro, por tanto, no es sencillo determinar el valor del radio ni en dónde está el centro.


33/52

Ejemplo

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (-3,2), (2,1) y (-2,-4).

Sustituimos cada uno de los puntos en la ecuación general de la circunferencia:

0

Para el punto (-3,2)

3 2 3 2 0 9 4 3 2 0

3 2 9 4 Por consiguiente:

3 2 13 . Para el punto (2,1)

2 1 2 1 0 4 1 2 1 0 2 1 4 1

2 1 5

. …continuación ejemplo.

Para el punto (-2,-4)

2 4 2 4 0 4 16 2 4 0

2 4 4 16 2 4 20 .

Tenemos ahora un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, llamado también sistema 3x3:

3 2 13

2 1 5

2 4 20 El sistema se resuelve por el método de suma y resta. En el caso Ec. 1 y Ec. 2:

3 2 13 2 1 5

Observa que si se cambia el signo de la ecuación 2, el valor de F se elimina:


34/52

3 2 13 2 1 51

Se suman las ecuaciones:

3 2 13

2 1 5 …continuación ejemplo.

Por tanto: 5 8

.

Repetimos este procedimiento con las ecuaciones (Ec. 2) y (Ec. 3), pero en esta ocasión se multiplica

por -1 en la ecuación 3:

2 1 5

2 4 201

Se suman las ecuaciones y al resultado se le llama ecuación 5:

2 1 5 2 4 20

4 5 15 . Después, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (Ec.4) y (Ec. 5):

5 8

4 5 15

Se multiplica por 4 la ecuación 4 y por 5 la ecuación 5 para eliminar D:

5 84 4 5 155

…continuación ejemplo.

Sumamos las ecuaciones y despejamos E.

20 4 32

20 25 75 29 43 4329

Se sustituye el valor de E en la ecuación 4 para encontrar el valor de D:

5 8


35/52


36/52


Ejemplo.

Encontrar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es (-2,1) y cuyo radio es 3.

Solución:

Ok, como nuestro principal objetivo es obtener la ecuación general, y en el enunciado del problema

ya nos dan ciertos datos, entonces identificamos nuestra información y luego hacemos uso de la

ecuación más adecuada para poder obtener lo q se nos pide (por lo general utilizamos la ecuación

ordinaria).

Bien, sabemos que: h = -2; k = 1 y r = 3.

Solución:

Ahora haciendo uso de la ecuación ordinaria sustituimos nuestra información:

Sustituyendo tenemos:

Solución:

Ahora ordenando y dejando cero (0) en el miembro derecho de la ecuación tenemos:


37/52

R=

BLOQUE VII. La parábola con vértice en el origen


• La parábola.

• Elementos asociados a la parábola.

• Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen.

• Ecuación general de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen.

Ecuación de la parábola con vértice en el origen

Apolonio (262-190 a. de C.) llamado «El gran geómetra», en su obra Sobre las secciones cónicas

desarrolla y muestra cómo muchas de las cónicas pueden dibujarse desde un punto. Encontró yplanteó las ecuaciones fundamentales de las cónicas, con base en la geometría de Euclides, y les dio

el nombre de parábola, elipse e hipérbola.

Algunas de las aplicaciones de las cónicas en la vida cotidiana están en las telecomunicaciones,

precisamente en las antenas; en la óptica, en la fabricación de lentes para telescopios y

microscopios; y en la ingeniería, en la construcción de puentes y túneles.

A partir de este bloque te adentrarás en el fascinante mundo de las cónicas y en particular, en este

estudiarás la parábola con vértice en el origen.

Caracterización geométrica de la parábola

Al lugar geométrico cuyos puntos tienen una relación constante entre la distancia a un punto y una

recta fijos se les conoce como cónicas; al punto fijo se le llama foco y a la recta, directriz, mientras

que a la relación entre estos parámetros se le denomina excentricidad (e).

Si 1 nos referimos a una parábola.Si < 1 la cónica es un elipse.Si > 1 le llamamos hipérbola.Elementos fundamentales:

•

Vértice

• Foco

• Directriz


38/52

Elementos de la Parábola

En toda Parábola conviene considerar:

F: Es el punto fijo llamado Foco.

D: Es la recta fija llamada Directriz.

e: Es la recta perpendicular a la Directriz trazada por F y es el eje de Simetría de la Parábola.

V: Se llama Vértice y es el punto de intersección de la Parábola con el Eje de Simetría.


p: Se conoce como Parámetro y es la distancia que existe entre el Foco y la Directriz. Su valor se

representa por p (FQ = p)

Se cumple que el vértice por equidistar del foco y la directriz, es el punto medio del segmento FQ .

Es por ello que VQ = VF =p/2

P: Es un punto determinado de la Parábola.


39/52


Radio Vector: Para un punto cualquiera de la Parábola, P, se denomina vector PF que va desde el

punto al Foco.

Según la definición de la Parábola el radio vector, PF, es igual a la distancia, PB, del punto a la

Directriz.


La parábola tiene los siguientes elementos:

• Pasa por el vértice y abre hacia el foco.

•

La distancia entre el vértice y el foco es la misma que la del vértice y la directriz, a estadistancia se le llama p, parámetro, y siempre la consideraremos positiva.

• Llamamos ancho focal o lado recto a la cuerda que pasa exactamente en el foco, es

perpendicular al eje de simetría y paralela a la directriz.

Denotaremos las coordenadas del vértice como V(h,k ).


40/52

Ecuaciones ordinarias de parábola.

• Parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.

Una parábola está en el eje x cuando su vértice y foco sean horizontales. Estará en el eje x positivo

cuando la parábola abra hacia la derecha, independientemente de su posición en el eje cartesiano.

Del mismo modo, si abre a la izquierda estará en el eje x negativo.

Si el vértice y el foco están en verticales, la parábola estará en el eje y. si abre a hacia arriba esta en

el eje y positivos, si abre hacia abajo esta en el eje y negativo.

Ecuaciones de la parábola:

Formas ordinarias:

Ecuación ordinaria en el eje X:

4 ℎ Ecuación ordinaria en el eje Y:

ℎ 4 Formas generales de la ecuación:

y2 + Dx + Ey + F = 0

x2 + Dx + Ey + F = 0

Para usar las ecuaciones debes considerar que:

• Si la parábola está:


41/52

– En el eje X, la ecuación inicia con y al cuadrado.

– En el eje Y, la ecuación inicia con x al cuadrado.

• Si está abierta en el eje positivo usaremos +4p.

• Si está abierta en el eje negativo usaremos -4p-

• P es la distancia entre el vértice y el foco y entre el vértice y la directriz.

• Los valores de h y k son las coordenadas del vértice V(h,k).

• Al hacer el bosquejo de la parábola es fundamental elegir la ecuación ordinaria que

corresponda a su respectivo eje.

Aplicación:

• En las antenas parabólicas, su receptor está ubicado en el foco de la parábola.

Aplicación:

• En la construcción de puentes y arcos en arquitectura.

Aplicación:

• En balística, para el cálculo de los parámetros del vuelo de los proyectiles.

Obtención de la ecuación de la parábola con vértice en el origen

Ejemplo:

Plantea la ecuación de la parábola con vértice en el origen y con foco F (8,0).

Primero localizamos el vértice y el foco. Hagamos el bosquejo para conocer la orientación de la

parábola.

Cuando en el plano cartesiano el vértice y el foco están orientados de manera horizontal, la parábola

se encuentra en el eje X; por tanto, usaremos la ecuación ordinaria en la cual la variable y está al

cuadrado.

4 ℎ


42/52


43/52

164 4 Entonces: F (4,0)

Las coordenadas del lado recto quedan: (4,8) y (4,-8)

La Ecuación de la directriz es 4

Ecuación analítica de la parábola con vértice en (h, k)

• Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (h, k) entonces la ecuación sería:

1.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en (h + a, k) es:

(y – k)2 = 4a( x – h)

2.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en h +a, k) es:

(x – h)2 = 4a (y – k)

• Desarrollando la ecuación tendremos:

y 2 + k2 – 2yk + 4a x – 4ah = 0 ó x2 + h2 – 2xh + 4ay – 4ak = 0

• Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a ecuaciones más simples hacemos

y 2 + Dx + Ey + F = 0 ó x2 + Dx + Ey + F = 0

• Siempre que E = 0 y D = 0

Ejemplo

• Escríbase la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, 4).


44/52

Ecuación:

x 2=4ay

La distancia del vértice al foco es 4 y, por tanto, a = 4. Sustituyendo este valor con a se obtiene:

x 2=16y

Propiedad de reflexión de la parábola:

• Por ejemplo; Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que

los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo

se concentra en el foco.

Propiedad de reflexión de la parábola

Esto se basa en el hecho de que, en los espejos planos, cóncavos y convexos, los rayos iguales se

reflejan en ángulos iguales.BLOQUE VIII. La ecuación de la elipse


• Definición de elipse.

• Elementos asociados a la elipse.

• Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y sus ejes en

los ejes coordenados.

• Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes

paralelos.

• Ecuación general de la elipse.

Ecuación de la elipse en diversos casos

La elipse como lugar geométrico.

La elipse es el lugar geométrico donde la suma de las distancias de un punto P a dos puntos fijos,

llamados focos (F), siempre es constante. El valor de su excentricidad es menor a uno < 1:


45/52

Elementos asociados con la elipse

Como se observa en la siguiente figura, la elipse tiene dos vértices y, a diferencia de la parábola, las

coordenadas h y k son las del centro, C (h,k):

La distancia entre C (h,k) y cualquiera de los dos vértices es a y se le denomina semieje mayor.

A la distancia entre ambos vértices se le llama eje mayor y tiene un valor de 2a

Del mismo modo, la distancia que existe entre el C(h,k) y cualquiera de los dos focos F, es c y se

conoce como semieje focal.

A la distancia entre ambos focos se le llama eje focal y es igual a 2c.

Al diámetro menor de la elipse, que se mide de manera perpendicular al eje mayor y pasando

encima del centro, se le denomina eje menor y se representa como 2b, por lo que el semieje menor

es igual a b.

Por definición, sabemos que la suma de las distancias de cada foco a un punto de la elipse es igual

a 2a, de tal modo que puede encontrarse una relación pitagórica entre los parámetros a, b y c de laelipse:


46/52

Observa el triángulo rectángulo formado por los valores de a, b y c. si se utiliza el teorema de

Pitágoras y se considera que b y c son los catetos y a la hipotenusa, se tiene que:

Lo que es igual:

Como aprendiste al estudiar la parábola, el lado recto (LR) es la línea perpendicular al eje mayor,

que une dos puntos de la cónica y que pasa por el foco. E la elipse, su longitud se calcula mediante

la fórmula:

2 Aplicación:

• Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol.

También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que esterazonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.

Aplicación:

• Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen

viajes circulares se vuelven elípticas.

Aplicación:

• En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.

Ecuaciones de la elipse:

Formas ordinarias:

Centro origen de coordenadas y horizontal:

x2 + y2 = 1

a2 b2


47/52

Centro en C (h,k), horizontal y vertical:

(x-h)2 + (y-k)2 = 1−

−

1 a2 b2

Forma general de la ecuación:

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

• Ecuaciones ordinarias de la elipse con centro en el origen.

P(x,y) es:

2 Si se simplifica la ecuación y se toma en cuenta que , la ecuación queda para la formahorizontal:

1

ℎ

1

Y para la forma vertical:

1 ℎ

1 • Ecuación General de la elipse

0

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen y vértices situados en±10,0 ±6,0 Ubicamos los puntos conocidos en el plano cartesiano, los valores h & k se obtienen de las

coordenadas del vértice; por tanto, h=0, k=0.

La distancia entre el centro y el vértice es igual a 10 y la distancia entre el centro y el foco es igual a

6: por consiguiente: 10

6 • …ejemplo:

ℎ

1


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Se sustituyen los datos que se conocen:

6 10

36 100

Al despejar 100 36 =

Se sustituye en la ecuación ordinaria:−

− 1

A continuación transformamos la ecuación ordinaria de la elipse usando el concepto de mínimo

común múltiplo. La ecuación se multiplica por 6400.

[

100

64 1[

Obtención de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen

Ejemplo

1.

Obtén la ecuación de la elipse con 2,3,

8,3, 4,3, 5,3 1,3. Como C (-2,3), entonces h=-2 y k= 3

Puesto que los vértices y los focos se encuentran paralelos al eje X, entonces la elipse es de forma

horizontal y su ecuación debe ser como sigue:

ℎ

1 La distancia entre el centro y el foco es igual a 3, por lo que c=3

Se obtiene el valor de b de la fórmula pitagórica:

3 6 9 36

36 9 27

…continuación ejemplo.

Se sustituyen los valores en la ecuación ordinaria:

26

327 1

Entonces, la ecuación queda:


49/52

236

327 1

Se multiplica por el MCM:

2

36

3

27

1972

972 236

972 327 972

27 2 36 3 972 Se desarrollan los binomios:

27 4 4 36 6 9 972 Se realizan los productos:

27 108 108 36 216 324 972 Al ordenar los términos

27 36 108 216 108 324 972 0 27 36 108 216 540 0

BLOQUE IX: La hipérbola


• Definición de hipérbola.

•

Elementos asociados a la hipérbola.

• Ecuación ordinaria de la hipérbola.

• Ecuación general de la hipérbola.

• Ecuación de las asíntotas.

Hipérbola

• Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos

fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

Elementos asociados con una hipérbola

Los elementos de la hipérbola son similares a los de la elipse en cuanto que:

• Tienen dos vértices

• Tienen dos focos

• El centro es C(h,k)


50/52

• La distancia del centro al vértice es a.

• La distancia del centro al foco es c

• La longitud del lado recto es •

El valor de la excentricidad Las diferencias son:

• Los focos se encuentran más lejos del centro que los vértices, por tanto la distancia c es la

más grande de las tres.

• Tiene un par de asíntotas que definen la forma de la hipérbola y provocan que se acerquen

las curvas, pero nunca se toca. Se forman por el rectángulo constituido por los valores a y

b.

• Los puntos del eje conjugado no pertenecen a la hipérbola, pero son auxiliares para su

construcción.

• La relación pitagórica es Elementos fundamentales:

• Centro

• Ejes transverso y conjugado

• Vértices

• Focos

Ecuaciones de la hipérbola:

Formas ordinarias:Con forma horizontal (eje X):

ℎ

1

Con forma vertical (eje Y):


51/52


52/52

Observamos que los vértices están de forma vertical, por tanto, la hipérbola se encuentra en el eje

X, de manera que la ecuación ordinaria r es:

ℎ 1

…continuación ejemplo

3

Por definición sabemos que el eje conjugado es igual a 2b, por consiguiente:

2 8

;

82 4 Como el centro está en el origen h y k valen 0.

Al sustituir queda:

0

3 0

4 1 9

16 1

Si multiplicamos por el MCM que es 144, obtenemos la ecuación general de la hipérbola:

9 16 1144

16 9 144 Aplicación:

• Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas.

• La ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre dos relaciones que son

inversamente proporcionales entre sí.

Habilidades Numéricas III

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