UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ – UVACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CCET

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA: DESENVOLVIMENTO E PRECURSORES

PEDRO CLEDISON BRAGA GOMES

SOBRAL - CEARÁMAIO – 2007

PEDRO CLEDISON BRAGA GOMES

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA:

DESENVOLVIMENTO E PRECURSORES

Monografia apresentada como requisito

parcial para obtenção do título de

Graduado em Matemática, através da

Universidade Estadual Vale do Acaraú -

UVA, sob a orientação da Profª. Maria

José Araújo Souza.

Sobral - CearáMaio – 2007

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HISTÓRIA DA ÁLGEBRA: DESENVOLVIMENTO E PRECURSORES

Monografia aprovada em _____/_____/_______

____________________________________________

Orientando – Pedro Cledison Braga Gomes

____________________________________________

Orientadora - Profª. Ms. Maria José Araújo Souza

Banca Examinadora:

____________________________________________

Profª. Ms. Maria José Araújo Souza

____________________________________________

2° Examinador

____________________________________________

3° Examinador

____________________________________________

Coordenador: Nilton José Cordeiro Neves

Sobral - CearáMaio - 2007

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AGRADECIMENTOS

A Deus, que me protegeu durante todas as idas e vindas de Itapajé para Sobral e pela realização de mais um dos meus sonhos.

A minha querida esposa, Maria da Conceição da Cruz Silva, pela paciência que teve em ficar sempre sozinha enquanto eu estava na Universidade.

Ao meu querido avô, Pedro Gomes de Sousa, que sempre acreditou em mim e sempre deu condições para que eu estudasse.

A minha querida mãe, Maria Zuleide Braga Gomes, que sempre me apoiou e deu forças para que eu fosse adiante.

A todos os meus professores, que me guiaram e fizeram com que eu chegasse até aqui, e quem sabe seguir adiante.

Em especial à professora Maria José Araújo Sousa que me preparou e me ajudou a realizar este trabalho.

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Então o que me diz dessa equação? Se eu lhe vendo um cavalo tendo quatro ferraduras e cada ferradura tem 6 pregos, com a condição que você pague pelo primeiro prego um ob; pelo segundo dois ob; pelo terceiro quatro ob; e assim por diante, dobrando até terminarem todos os pregos, agora pergunto-lhe, a quanto chegará o preço do cavalo?

Robert Recorde (Ground of Artes 1541)

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RESUMO

GOMES, PEDRO C. B. História da Álgebra: Desenvolvimento e Precursores. 2007. Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Estadual Vale do Acaraú, Sobral, 2007.

Este trabalho tem como objetivo tornar conhecidos alguns dos grandes matemáticos que se destacaram em álgebra. Identificar as pessoas que fizeram à álgebra que estudamos hoje. Para tanto, procuramos apresentar a evolução dessa ciência partindo da sua forma mais primitiva, a que o homem moderno teve acesso, até chegar ao nível atual de abstração; estudamos as civilizações do Egito, Mesopotâmea, Grécia, China, Índia, Arábia e Europa Oriental e Ocidental, mostrando o estágio de desenvolvimento algébrico de cada uma delas. Estudamos a história da vida de seis grandes algebristas: Al-Khowrizme, Viét, Cardano, Bombelli, Euler e Gauss. Procuramos mostrar o tipo de pessoas que eles eram, suas profissões, áreas de conhecimento, obras publicadas, e principalmente, saber quais foram as suas contribuições para a Matemática em geral. Escolhemos algebristas, e apenas seis, para não prolongar muito o nosso trabalho, visto que se trata de uma pesquisa de graduação e que poderá ser mais aprofundado em momentos posteriores.

A fundamentação teórica está baseada em vários autores dentre os quais destacamos: Baumgart, Milies e Boyer (1996) e no site: http//www.somatematica.com.br. Esta pesquisa foi de grande valor para a compreensão do conhecimento histórico-matemático e nos permitiu saber mais sobre a vida de alguns dos grandes algebristas da história da Matemática.

Palavras Chave: História. Álgebra. Precursores.

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SUMÁRIO

RESUMO....................................................................................................................... 06

INTRODUÇÃO............................................................................................................ 08

1. BREVE HISTÓRIA DA ÁLGEBRA....................................................................... 11

1.1. A álgebra Antiga................................................................................................. 11

1.1.1. A Álgebra no Egito........................................................................................ 13

1.1.2. A Álgebra na Mesopotâmea.......................................................................... 15

1.1.3 A Álgebra na Grécia....................................................................................... 17

1.1.4 A Álgebra na China........................................................................................ 19

1.1.5 A Álgebra na Índia......................................................................................... 20

1.1.6 A Álgebra na Arábia....................................................................................... 20

1.1.7 A Álgebra na Europa...................................................................................... 21

1.2. A álgebra a Moderna.......................................................................................... 24

1.2.1 Os Números Complexos................................................................................. 25

1.2.2 O Teorema Fundamental da Álgebra............................................................. 26

1.2.3 Os Quatérnions............................................................................................... 27

1.2.4 Grupos e Matrizes.......................................................................................... 28

1.2.5 Teoria dos Corpos.......................................................................................... 29

1.2.6 Anéis e Álgebras............................................................................................. 30

2. PRECURSORES DA ÁLGEBRA: VIDA E CONTRIBUIÇÕES......................... 32

2.1 Al-Khowarizmi.................................................................................................. 32

2.2 François Viét..................................................................................................... 32

2.3 Girolamo Cardano............................................................................................. 34

2.4 Rafael Bombelli................................................................................................. 35

2.5 Leonard Euler.................................................................................................... 38

2.6 Friederich Gauss................................................................................................ 40

3. CONCLUSÕES......................................................................................................... 42

4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................... 43

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INTRODUÇÃO

A matemática é a ciência das grandezas, formas e relações numéricas entre

associações lógicas e abstratas. È uma ciência que abrange diversas áreas do

conhecimento humano, em especial o conhecimento tecnológico. Do ponto de vista

histórico, a matemática pode ser considerada uma ciência em constante construção, uma

obra inacabada que a qualquer momento o homem poderá preencher alguma lacuna

deixada por outros.

A álgebra é o ramo da matemática que generaliza os problemas aritméticos e

geométricos, analisando de um ponto de vista geral todas as soluções possíveis. A

palavra álgebra é uma variável latina da palavra árabe al-jabr usada no título do livro

Al-jabr Wa’l Mugabalah (Ciência da Restauração e Equilíbrio) escrito por Al-

Khowarizmi, matemático árebe que viveu entre 780 e 850 aproximadamente, escrito em

Bagdá por volta de 825. Foi através deste livro que a álgebra se tornou conhecida na

Europa onde “Al-jabr Wa’l Mugabalah” foi traduzido para o latim “Líber Algebrae et

Al mucabala” no século XII ficando clara a origem da palavra álgebra.

A álgebra que estudamos atualmente é muito diferente da estudada por nossos

antepassados. Durante séculos a ciência algébrica não possuiu a simbologia e a

complexidade que possui na atualidade. E para se chegar a tal evolução foi necessário

muito tempo de estudo bem como a criação e convenção dos símbolos que são

fundamentais na álgebra atual.

Ao longo dos nossos estudos é bastante comum nos indagarmos sobre as pessoas

que descobriram ou inventaram a matemática. Qualquer pessoa que tenha algum

interesse por essa área do conhecimento, como eu, gostaria de saber um pouco sobre

essas pessoas. É comum o estudioso da matemática ser imaginado como uma pessoa

mau humorada, relaxada, despenteada, e etc. As pessoas curiosas pelo assunto

especulam sobre a personalidade e até o físico dos matemáticos. Afinal quem são esses

estudiosos? Onde viveram? Quais as suas ocupações?

Tentando responder a essas perguntas e a outras do tipo, decidimos escrever

sobre a vida de alguns dos grandes matemáticos do ramo da álgebra colaborando assim

para um melhor conhecimento dessas pessoas por parte de nós estudantes de matemática

e de outros que possam vir a se interessar pelo assunto. Este trabalho reuniu, de acordo

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com as fontes pesquisadas, alguns dos maiores algebristas contendo suas histórias de

vida e principais contribuições que nos legaram com suas descobertas podendo vir a ser

útil como fonte de pesquisa para outros alunos no futuro visto que poucos são os livros

com este fim. Trata-se de uma ferramenta de ajuda para consulta e para qualquer

aprofundamento teórico ou prático o interessado poderá recorrer à bibliografia sugerida

no final deste trabalho.

Este trabalho foi elaborado através de uma pesquisa bibliográfica. No primeiro

momento foi feito o levantamento dos dados e leitura destes. A formação do trabalho foi

feita com transcrições de partes das fontes estudadas, principalmente do livro História

da Matemática de Boyer-1996 e pelas nossas interpretações das leituras. È composto

por dois capítulos: o primeiro serve como uma ambientação para que o leitor possa

compreender o campo de atuação dos matemáticos descritos no capítulo seguinte. O

segundo capítulo trata da história de vida e contribuições de alguns dos grandes

matemáticos da álgebra.

Objtivos

Objetivo Geral

Fazer uma investigação sobre o desenvolvimento da Álgebra buscando conhecer

alguns dos estudiosos que contribuíram para essa ciência.

Objetivos Específicos

- Elaborar uma síntese da História da Álgebra buscando saber quem foram os

matemáticos que se destacaram nessa área;

- Identificar as pessoas que contribuíram para o desenvolvimento da álgebra que

estudamos hoje buscando saber quais foram as suas contribuições: principais

publicações, profissões que exerceram, onde viveram.

Envolvimento com o tema

Enquanto estudava Matemática a fim de me aprofundar em alguns assuntos

básicos para o curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual Vale do

Acaraú - UVA, percebi que de vez em quando há, em alguns livros, um espaço

reservado para homenagear alguns matemáticos. Um pouco da vida de alguns homens

que se destacaram por suas descobertas em muitos ramos da matemática.

Durante o curso da disciplina História da Matemática, pude ver um pouco da

evolução dessa ciência ao longo dos séculos e conhecer alguns estudiosos que se

destacaram por importantes contribuições para essa evolução. Alguns trabalharam mais

a parte abstrata da matemática, daí a maior importância dos seus estudos por se

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aplicarem de forma generalizada.

Devido a minha curiosidade em saber mais sobre a vida destes estudiosos

nesta monografia destacarei a história da álgebra e de alguns dos matemáticos que se

destacaram nesse ramo da matemática.

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Capítulo 1 - Breve História da Álgebra

Para uma melhor compreensão do desenvolvimento histórico da Álgebra, de acordo com Baumgart, a história da Álgebra está dividida em duas fazes: Antiga e Moderna. A faze Antiga caracteriza-se pelo estudo de equações e dos métodos de resolução enquanto que a faze Moderna caracteriza-se pelo estudo de estruturas como grupos e anéis. O marco da passagem da faze Antiga para Moderna,Segundo Boyer, 1996 foi a dedução das fórmulas de resolução para as equações cúbicas e quárticas por Cardano em 1545.

1.1 A Álgebra Antiga

A álgebra, assim como a matemática em geral, surgiu como conseqüência das

necessidades do homem em saber lidar com o meio para sobreviver. Para melhor se

adaptar ao meio no qual vivia o homem da antiguidade foi descobrindo com o passar

dos séculos, maneiras de representar as diversas quantidades com as quais estavam

envolvidos. Através das semelhanças como: cinco dedos em cada mãos e em cada pés;

dois olhos e ouvidos, e diferenças como: uma ovelha e muitas ovelhas; uma árvore e

muitas árvores, encontradas no cotidiano, o homem foi aos poucos estabelecendo

relações entre quantidades semelhantes e/ou diferentes surgindo assim o conceito de

número que serviu como base para uma representação simbólica das quantidades.

A partir da representação do concreto pelo abstrato, do uso do não palpável para

representar o palpável, e das semelhanças entre as quantidades o homem percebeu que

poderia manipular tais relações e assim usar uma dada quantidade conhecida para

determinar uma outra desconhecida. Levando em consideração que os primeiros

sistemas de medidas estavam relacionados com as partes do corpo podemos concluir

que a álgebra surgiu através de tais manipulações.

Exemplo:

“... 1/4 da largura + comprimento = 7 mãos e comprimento + largura = 10 mãos. Boyer, 1996: 21.”

Nestas duas equações que podem ser modernamente escritas como X + 4Y = 28

e X +Y = 10, observando que nesta época não existiam ainda os sinais de + para a soma

e = para a igualdade, podemos perceber que se trata de um sistema de equações

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lineares e está claro o uso de partes do corpo relacionadas com uma largura e um

comprimento que eram medidos em mãos, ou dedos (uma mão = cinco dedos). Desta

forma X = 4 mãos ou vinte dedos é a largura procurada e Y = 6 mãos ou 30 dedos, o

comprimento procurado.

Durante aproximadamente um milênio (1700 a.C. a 1700 d. C.) a álgebra tratava

somente do estudo das equações. Era uma ciência voltada para a descoberta dos

diferentes tipos de equações e das formas de se chegar à solução. Teve como principais

características a invenção gradual do símbolo para representar a quantidade

desconhecida e a descoberta se resoluções gerais para ás equações cúbicas e quárticas.

Sendo que durante a maior parte deste período as equações mais estudadas eram as

lineares e as quadráticas.

A notação algébrica teve uma evolução lenta e gradual passando por três

estágios importantes (Segundo Baumgart): o retórico (ou verbal), no qual eram usadas

palavras para representar a “coisa” a ser determinada; o sincópado, onde as palavras

foram substituídas por suas abreviações; e por último, o simbólico no qual foram

implantados símbolos para representar a quantidade desconhecida. No estágio simbólico

a notação sofreu muitas mudanças, pois ainda não tinham (os matemáticos) encontrado

uma forma de representação específica para a álgebra, já que existia, a possibilidade

desses símbolos serem confundidos com outros já aplicados na geometria, por exemplo.

Desta forma surgiram muitas tentativas infrutíferas de representar o

desconhecido através de um símbolo até que François Viéte, matemático francês que

viveu de 1504 a 1603 representou a incógnita por uma vogal e os coeficientes

(parâmetros) por consoantes o que representou um importante passo rumo a convenção

dos símbolos na álgebra. É interessante observar que mesmo hoje alguns países

europeus usam o símbolo “÷” para subtração ao invés da divisão. Apesar de todas as

convenções necessárias para o entendimento da álgebra por todo o mundo matemático,

ainda persistem formas diferentes de representação. Daí pode-se sugerir quão tamanhas

foram às dificuldades para se chegar a um consenso de representação da matemática.

1.1.1 A álgebra no Egito

Desde muito tempo, aproximadamente 3000 a.C. quando foram construídas as

pirâmides, os egípcios sabiam contar e medir com precisão e foram adquirindo um

considerável conhecimento matemático aplicado ao dia-a-dia. Influenciados a melhor

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lidarem com as cheias do rio Nilo, começaram cedo a se interessarem por astronomia

para melhor compreenderem o ciclo das águas e se prepararem para a convivência com

as cheias. Usavam um sistema primitivo de numeração decimal com símbolos

diferentes, da primeira á sexta, para as potências de dez; e usavam a escrita hieroglífica,

que eram escritos considerados sagrados, por meio da qual se pode saber muito sobre

esta civilização.

Apesar da fragilidade dos papiros, papel primitivo feito à base de folhas de uma

erva originária das margens do Nilo, muitos resistiram ao tempo até serem encontrados

e traduzidos pelas civilizações modernas. Do ponto de vista algébrico destacam-se dois

papiros em especial: o primeiro com cerca de 30 centímetros de largura e 5 metros de

comprimento, comprado em 1858, ás margens do Nilo, conhecido como Papiro Rind ou

Papiro Ahmes, Ahmes em homenagem ao escriba que o copiou por volta de 1650 a.C. e

o segundo, o Papiro de Moscou tem quase o comprimento do Ahmes ou Rind, mas só

um quarto da largura. Foi escrito por um escriba desconhecido em 1890 a.C.

aproximadamente, comprado em 1893 (Segundo Boyer, 1996).

• O Papiro Ahmes trata de vários problemas matemáticos dentre os quais alguns

são algébricos. Trata-se de expressões algébricas simples, equações lineares do

tipo x + ax + bx = c, onde a, b, c são quantidades conhecidas e x, a quantidade

desconhecida. O problema 24, contido no Papiro Ahmes, pede o valor de “aha”

sabendo que aha mais um sétimo de aha é igual a dezenove. A solução de

Ahmes não é a dos livros modernos, mas é característica de um método

conhecido como “método da falsa posição” ou “regra do falso”. Esse método

consiste em atribuir um valor, provavelmente falso, para aha, e as operações

indicadas à esquerda da igualdade são efetuadas sobre esse número suposto. O

resultado é então comparado com o resultado que se pretende e usando

proporção chega-se à resposta correta. Na equação dada à quantidade a ser

descoberta é aha e os egípcios usavam uma decomposição dos números por

frações para chegar à solução. A solução dada por Ahmes é a seguinte: o valor

tentado para aha é 7, de modo que aha + 1/7 aha é 8, em vez de 19, como se

queria. Como 8(2 + 1/4 + 1/8) = 19, deve-se multiplicar 7 por 2 + 1/4 + 1/8 para

obter a resposta. Ahmes achou 16 + 1/2 + 1/8, então conferiu a resposta

mostrando que se a 16 + 1/2 + 1/8 somarmos 1/7 (que é 2 + 1/4 + 1/8), de fato,

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obteremos19. Neste exemplo já se usava a prova saber se o valor encontrado

estava correto, o que já era uma evolução para a matemática da época.

• O Papiro de Moscou tem 25 problemas matemáticos quase todos da vida prática,

exceto os problemas 10 e 14. O problema 10 apresenta uma questão que pede a

área do que parece ser um cesto com um diâmetro 4 1/2. Para encontrar a

solução o escriba procede como se usasse o equivalente da fórmula S = (1 –

1/9)2 (2x)x, onde x é 4 1/2 obtendo como resposta 32 unidades. O problema 14

questiona; qual o volume de um troco de pirâmide quadrada com altura de seis

unidades, se as arestas das bases superior e inferior medem 2 e 4 unidades. A

solução é encontrada usando-se o equivalente a fórmula moderna V = h(a2 + ab

+ b2)/3, onde h é a altura e a, b são os lados das bases quadradas, encontrando 56

como resposta.

Papiro Rind (Ahmes)

14

Papiro de Moscow

A álgebra egípcia era retórica e não teve uma evolução significativa devido ao

sistema de numeração que era muito primitivo impossibilitando uma possível

sofisticação rumo a novos métodos de solução e extensão a outros tipos de equações.

1.1.2 A Álgebra na Mesopotâmea

Assim como no Egito, pelo final do quarto milênio antes da era cristã, também

no vale mesopotâmico havia por essa época uma civilização de alto nível. Ali, os

sumérios construíram casas e templos decorados com cerâmica, e mosaicos artísticos

com desenhos geométricos e os grandes governantes realizaram vastas obras públicas

como um sistema para irrigar a terra e controlar as inundações.

As civilizações antigas da Mesopotâmea são freqüentemente chamadas de

babilônicas devido a uma convensão do uso informal do nome “babilônica” para a

região entre os rios Tigre e Eufrates, durante um período de cerca de 2000 anos que se

estendeu até aproximadamente 600 a.C. quando em 538 a.C. a Babilônia, cidade capital

do Império Babilônico, foi dominada por Ciro da Pércia terminando assim o império, no

entanto, a cidade foi poupada.

Os babilônicos usavam um sistema de numeração sexagesimal. Usavam a escrita

cuneiforme, que eram marcas em forma de cunhas feitas com estilete sobre tabletas de

barro mole que eram cozidas em fornos ou ao calor do sol. Foram encontradas muitas

destas tabletas que tratam de problemas algébricos.

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A álgebra babilônica, assim como a egípcia, também era retórica, porém, os

babilônicos detinham um maior conhecimento algébrico que os egípcios, pois, nos

registros cuneiformes foram encontradas além das equações lineares, outras como as

quadráticas dos tipos: x2 = px + q, x2 + q = px; e as cúbicas dos tipos: x3 + x2 = a, px3 +

qx2 = r. A álgebra babilônica tinha atingido um bom nível de abstração pois as equações

do tipo ax4 + bx2 = c e ax8 + bx4 = c eram reconhecidas como sendo apenas equações

quadráticas disfarçadas, isto é, quadráticas em x2 e x4. Os babilônios também foram

mais longe no que diz respeito a resolução de equações. Vejamos um exemplo típico de

problemas encontrados em escrita cuneiforme que remontam ao tempo do rei Hamurabi.

A notação é feita usando a notação indo-arábica em vez da sexagesimal cuneiforme. A

coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o

exemplo (Segundo Baumgart)

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim

a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área.x+y=k

xy=P } ... (A)[3] [Resposta] 18 comprimento;

14 largura.

[4] Segue-se este método: Tome

metade de 32 [que é 16].k/2

16 x 16 = 256 (k/2)2

256 - 252 = 4 (k/2)2 - P = t2 } ... (B)

A raiz quadrada de 4 é 2.

16 + 2 = 18 comprimento. (k/2) + t = x.16 - 2 = 14 largura (k/2) - t = y.[5] [Prova] Multipliquei 18

comprimento por 14 largura.

18 x 14 = 252 área

((k/2)+t) ((k/2)-t)

= (k2/4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são

apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com

números e, finalmente, na [5] a resposta é testada. Esse método era repetido em

problemas semelhantes e por isso é conhecido como receita.

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Modernamente podemos representar o problema dado através de um sistema de

equações lineares: x + y = 32, xy = 252 que seria facilmente resolvido pelo método da

substituição. Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas

freqüentemente preferiam usar seu método paramétrico.

Do mesmo modo que no Egito, o sistema de numeração primitivo babilônico não

permitiu que eles evoluíssem mais no estudo da álgebra tanto que para poderem se

estender aos resultados egípcios e babilônicos os matemáticos europeus tiveram que

recorrer a notação indo-arábica de numeração.

1.1.3 A álgebra na Grécia

As atividades intelectuais das civilizações egípcias e mesopotâmicas tinham

perdido sua inspiração bem antes da era cristã, dando vez a novas e vigorosas culturas

que estavam surgindo ao longo de todo o litoral mediterrâneo. Dentre elas a civilização

grega.

A história grega pode ser recuada até o segundo milênio a.C. quando, como

invasores analfabetos vindos do norte, os povos que formaram essa civilização, abriram

caminho até o mar. Não trouxeram tradição matemática ou literária consigo; no entanto,

tiveram desejo ansioso de aprender, e não demoraram a melhorar o que lhes ensinavam.

Por exemplo, tomaram, talvez de fenícios, um alfabeto existente, constituído só por

consoantes, e lhe acrescentaram as vogais, conforme destaca Boyer, 1996:

Através das rotas mercantis os gregos tiveram acesso às culturas egípcia e babilônica. Entraram em contato com a matemática dessas civilizações; mas não estavam dispostos a apenas receber as antigas tradições, e se apropriaram tão completamente do assunto que logo deram uma forma drasticamente diferente.

Os gregos usavam um alfabeto composto por vinte e sete letras que

representavam os números: nove para os inteiros menores do que dez, nove para os

múltiplos de dez menores do que cem e nove para os múltiplos de cem menores do que

mil.

A álgebra grega foi formulada pelos pitagóricos (sociedade secreta que estudava

matemática e filosofia liderada por Pitágoras de Samos, 569 a.C. a 475 a.C.,

aproximadamente) e por Euclides de Alexandria (325 a.C a 265 a.C.,

aproximadamente). Era uma álgebra geométrica, já que os gregos, em especial Euclides,

eram grandes geômetras e não conheciam os números racionais e só sabiam lidar com

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os números inteiros, assim o número representado por raiz quadrada de 2 não podia ser

compreendido pelos gregos. A descoberta dessas grandezas que não podiam ser

medidas exigia um novo método para tratar á álgebra herdada dos babilônicos. Os

velhos problemas em que dados a soma e o produto de dois lados de um retângulo se

pediam as dimensões tinham de ser tratados de um modo diferente dos de até então

usados. Uma álgebra geométrica tomara o lugar da antiga álgebra aritmética e nessa

nova álgebra não podia haver somas de segmentos com áreas ou de áreas com volumes.

Assim, para (a + b)2 = a2 +2ab + b2, os gregos representavam da seguinte forma:

b2 ab

a+b

ab a2

a + b

Usando figuras geométricas os gregos puderam demonstrar as soluções para

diversos tipos de equações bem como deduziram fórmulas que poderiam ser aplicadas a

qualquer exemplo do mesmo tipo. Para representar a Lei Distributiva a (b + c + d) = ab

+ ac + ad, era feito como se segue:

b c d

O retângulo sobre a e a soma dos segmentos b, c, d é igual à soma dos

retângulos sobre a e cada um dos segmentos b, c, d tomados separadamente.

A matemática grega deu uma parada brusca devido à ocupação romana. Devido

ao estilo da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita,

era necessário um meio de comunicação vivo, oral o que não foi possível visto que as

escolas de instrução direta não sobreviveram ao domínio romano.

a ab ac ad

18

1.1.4 A álgebra na China

A civilização da China é mais antiga do que a da Grécia, porém, não mais antiga

do que as do Egito e Mesopotâmea. Foi uma civilização que pouco contribuiu para o

desenvolvimento da matemática. Ao contrário dos gregos, os chineses não se

interessaram em ampliar os conhecimentos vindos de outras culturas.

Enquanto os gregos dominavam um amplo conhecimento matemático, os

chineses repetiam os velhos hábitos dos babilônios de reunir coleções de problemas do

mesmo tipo e usavam o método da falsa posição dos egípcios. Os problemas

matemáticos criados pelos chineses muitas vezes parecem mais bonitos do que práticos,

e, no entanto a civilização chinesa foi responsável por um número surpreendente de

inovações tecnológicas como a impressão e a pólvora (século VIII); o papel e a bússola

(século IX) que surgiram mais cedo na China do que em outros lugares.

A álgebra chinesa apresenta equações que vão até as de grau quatorze e um

método de transformação que usa aproximações decimais para encontrar a raiz

(aproximada). Esse método se chama “fan-fa” cujos elementos podem ter surgido muito

antes do século III na China, mas que tem o nome de “Horner”, que viveu meio milênio

depois. Para resolver a equação x2 + 252x – 5292 = 0, por exemplo, Chu Shih-Cheih

(matemático que viveu de 1280 a 1303) primeiro obteve x = 19 como aproximação

(uma raiz cai entre x = 19 e x = 20) depois usou o método de Horner, nesse caso a

transformação y = x – 19 para obter a equação y2 + 290y – 143 = 0 (com uma raiz entre

y = 0 e y = 1) deu então a raíz dessa como, aproximadamente, y = 143/(1 + 290) daí o

valor correspondente de x é 19 + 143/291.

Apesar de os chineses terem desenvolvido muitos tipos de equações, a aplicação

dessas para a vida prática não estava definida e por isso não houve uma contribuição

significante para a álgebra por parte dessa civilização.

1.1.5 A álgebra na Índia

A civilização indiana também é mais antiga do que a civilização grega, no

entanto, assim como os chineses, num primeiro momento não tiveram empenho em

aprender e melhorar a matemática de outras civilizações. Assim como os egípcios os

19

indianos usavam cordas para fazer medições e tinham noções geométricas primitivas

adquiridas com o traçado de templos e medida e construção de altares.

A álgebra da Índia era voltada para o estudo de equações indeterminadas. Era

uma álgebra sincopada e os seus maiores colaboradores foram Bhamagupta (viveu em

628) e Bháskara (1114 a 1185). O primeiro encontrou soluções gerais de equações

quadráticas, inclusive duas raízes mesmo quando uma é negativa; aparentemente foi o

primeiro a dar uma solução geral da equação Diofantina (Diofante foi um matemático

grego que viveu entre 250 e 350) ax + by = c, onde a, b e c são inteiros. O segundo,

Bháskara, o mais importante matemático do século XII, preencheu algumas lacunas na

obra de Bhamagupta, por exemplo, dando uma solução geral da equação x2 = 1 + py2

proposta por Bhamagupta.

Foi uma infelicidade o fato de os matemáticos indianos terem se apaixonado por

análise indeterminada em particular, pois esse tema não serviu de base para a

matemática moderna e dessa forma a Índia ficou de fora no que diz respeito a

contribuições significativas para a álgebra.

1.1.6 A álgebra na Arábia

A civilização árabe, ou islâmica, sob a influência do profeta Maomé expandiu

seus domínios territoriais a partir de 632 conquistando Damasco, Jerusalém, grande

parte do vale mesopotâmico, Alexandria e etc. Os conquistadores não sabiam ler e

escrever e a princípio não se interessaram pela cultura dos seus dominados. Somente a

partir de 750 os árabes começaram a absorverem os conhecimentos alheios e em mais

ou menos 775, traduziram o Surya Siddhanta (obra indiana do século V) para o árabe.

Os árabes foram tomando gosto por traduções, foram conquistados pelo saber

dos seus dominados, e logo traduziram muitas outras obras, em especial as gregas, para

o árabe. Fundaram a Casa da Sabedoria em Bagdá onde reuniram estudiosos da Síria e

Mesopotâmea, além de estudiosos árabes. Dentre os mestres havia um matemático

árabe, Mohammed ibu-Musa Al-Khowrizmi, que fez importantes contribuições para o

desenvolvimento da matamática.

Na álgebra, Al-Khowrizmi uniu a geometria grega com a aritmética resultando

numa álgebra geométrica mais compreensível que a dos gregos por ser mais elementar;

classificou equações em seis tipos, todas relacionadas com raízes, quadrados e números:

20

1 - quadrados iguais a raízes [ax2 = bx] 2 - quadrados iguais a um número [ax2 = c]

3 - raízes iguais a um número [ax = c]

4 - quadrados e raízes iguais a um número [ax2+bx= c]

5 - quadrados e número iguais a raízes [ax2 + c = bx] 6 - raízes e número iguais a quadrados [bx + c = ax2]

As soluções são dadas por regras “culinárias” para encontrar a raiz positiva da

equação dada desconsiderando a raiz negativa

A inspiração árabe para a matemática é uma mesclagem da matemática da

Babilônia antiga e da Índia medieval. Partindo do pré-suposto que a álgebra árabe era

retórica, podemos concluir que a mesopotâmea foi a mais provável fonte inspiradora já

que os árabes não se ateram a indeterminação indiana.

Os árabes contribuíram para as civilizações modernas com os algarismos que

que usamos atualmente que foi uma contribuição fundamental para o desenvolvimento

da matemática em geral.

1.1.7 A álgebra na Europa

Durante a Idade Média a história da matemática concentrou-se na Europa. Foi lá

que essa ciência teve seu mais notável desenvolvimento. Primeiramente na sua parte

oriental, islâmica, Império Bizantino, com centro em Constantinopla, onde a língua

oficial era a grega; e depois na sua parte Ocidental, Império Romano, que não tinha um

centro único e nem uma única língua, mas o latim era a língua falada pelos estudiosos

da época.

A matemática bizantina era uma espécie de ação conservadora, destinada a

preservar o legado da antiguidade até que o Ocidente estivesse pronto para ir adiante.

Até que, como no século IX na Arábia, os europeus latinos superaram a barreira com a

cultura árabe no século XII. Aprenderam à língua árabe e traduziram as principais obras

matemáticas da época: obras de Euclides, como os Elementos, que tinham sido

traduzidas para o árabe e Al-jabr Wa’l Mugabalah, de Al-Khowarizm. A época foi de

transição de um ponto de vista antigo para um mais novo.

Pelo final do século XII foram fundadas muitas das universidades famosas como

Bolonha, Oxford e Cambridge. Dessa forma, o século XIII apresentou um grandioso

21

progresso matemático com relação ao século que o precede, na Idade Média, os

progressos até então alcançados. Tanto que a Europa Ocidental veio a rivalizar com

outras civilizações no nível de suas realizações matemáticas.

O progresso matemático não foi contínuo em nenhuma parte do mundo e

também não o foi na Europa Ocidental que no século XIV enfrentou a pior peste que já

assolou a Europa, a Peste Negra. Nesta época a Inglaterra e a França tinham assumido a

liderança na matemática, porém, além da Peste Negra, foram devastadas pela Guerra

dos Cem Anos e pela Guerra das Rosas, daí o declínio da cultura européia que só

voltaria a evoluir no século seguinte.

Pela metade do século XV a atividade matemática estava outra vez aumentando

impulsionada pela facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de

numeração indo-arábico, muito superior ao romano, que requeria o uso do ábaco; pela

invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo

mediante a melhoria das comunicações baseada em ampla distribuição; pelo

ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; pela retomada do

comércio e viagens facilitando o intercâmbio de idéias. Cidades comercialmente fortes

foram surgindo, primeiramente na Itália, e foi lá que o renascimento matemático teve

início na Europa.

A álgebra entrou na Europa através do livro Al-jabr Wa’l Mugabalah de al-

Khowarizmi que foi traduzido para o latim por Robert de Chester, em 1140. Vale

lembrar que na tradução de Chester à palavra al-jabr aparece como algebrae que mais

tarde se tornou tal como é hoje, álgebra. Devido a influência de Al-Khowarizmi a

álgebra européia apresentava uma mistura de geometria com aritmética, mas aos poucos

foi deixando de ser tão elementar quanto a álgebra árabe. O estudo dessa “nova” (nova

na Europa) ciência se espalhou pela Europa e logo alguns países se destacaram ao

apresentarem novidades rumo a modernidade. A contribuição algébrica mais

significante veio da Itália. Em 1545 Girolamo Cardano, ou Cardan (1501-1575)

publicou na sua obra Ars Magna, a resolução das equações cúbicas e quárticas com a

colaboração de Nicolo Tartáglia (cerca de 1500-1557) para as equações cúbicas e de

Ludovico Ferrari (1522-1565), sendo os três italianos, para as equações quárticas. Para

a equação cúbica x3 + 6x = 20 (o cubo e seis vezes o lado igual a vinte) Cardano achou

x = 2 como uma das raízes do seguinte modo.

“... substitua-se x por u – v e suponha-se u e v relacionados de modo que seu produto (pensando como área) é um terço do coeficiente de x

22

na equação cúbica, isto é, uv = 2. Substituindo na equação vem u3 - v3

= 20 e, eliminando v, temos u6 = 20u3 + 8, uma equação quadrática em relação à u3. Portanto, como é sabido, u3 vale 108 + 10. Da relação u3 - v3 = 20 vemos que v3 = 108 – 10; donde, de x = u – v

temos x = 3 10108 + - 3 10108 − ...Cardano termina como formulação verbal da regra equivalente à nossa solução de x3 + px = q como x = ( ) ( ) ( ) −++3 23 223 qqp ( ) ( ) ( )3 23 223 qqp −+ “. ( Boye, 1996: 196.)

Para a resolução da equação quártica, Cardano apresenta seis passos para se chegar ao valor de x como segue:

“... então os passos para a resolução de x4 + 36 = 60x... 1) primeiro somar os coeficientes quadrados e números a ambos os lados para que o primeiro membro fique um quadrado perfeito, nesse caso x2 + 12x + 36, ou (x + 6 + y)2 ; 2) agora somar a ambos os membros da equação termos envolvendo uma incógnita y de modo que o primeiro membro permaneça um quadrado perfeito, como (x + 6 + y)2. A equação fica; 3) o passo crucial seguinte consiste em escolher y de modo que o trinômio no segundo membro fique um quadrado perfeito. Isso se faz, é claro, igualando a zero o discriminante – uma regra antiga e bem conhecida; 4) do passo 3 resulta uma equação cúbica em y – y3 + 15y2 + 36y = 450 – hoje chamada a “cúbica resolvente” da equação quártica dada. Essa é agora resolvida em relação a y e pelas regras previamente dadas para a resolução de equações cúbicas, sendo o resultado y=

54180449

21287

4180449

21287 33 −−++ ; 5) substituir o valor

de y obtido em 4 na equação para x no passo 2 e extrair de ambos os membros; 6) o resultado do passo 5 é uma equação quadrática, que deve agora ser resolvida afim de achar o valor de x desejado.”(Boyer, 1996: 196)

Essas descobertas representaram muito para a evolução da álgebra, pois serviram

de impulso para pesquisas e novos estudos rumo a uma maior generalização. Foi um

alicerce tão importante para o progresso da matemática, como um todo, que o ano de

1545 é tido como marco inicial da matemática moderna.

A álgebra deixara de ser tão elementar e a partir de agora os algebristas estavam

preparados para ir adiante rumo novas descobertas. O conjunto dessas “novas”

descobertas proporcionou a modernização da álgebra.

23

1.2 A Álgebra Moderna

Os resultados publicados por Cardano na sua Ars Magna impulsionaram a

pesquisa em álgebra e quando surgia algum entrave para a sua evolução, algum

matemático, mesmo que levasse anos de estudo, apresentava uma saída para se seguir

em frente e dessa forma à álgebra foi se tornando cada vez mais complexa. A Europa

serviu como berço para tal evolução e agora os países se revezavam com as suas

contribuições. Embora nem sempre as fórmulas de resolução para equações representem

uma ferramenta para a vida prática, elas abrem novos horizontes para os estudiosos e

dessa forma podem ser à base de grandes descobertas.

Outro fator muito importante para a abstração da álgebra foi à evolução da

notação, nesse aspecto destacam-se François Viét (ou Vieta, em latim) que usou uma

vogal para representar a quantidade a ser determinada, e uma consoante para representar

as quantidades, grandezas ou números supostos ou conhecidos. Mas foi um outro

matemático francês que primeiro usou os símbolos que usamos atualmente, René

Descartes (1596-1650). Ele usou as letras iniciais do alfabeto para representar as

quantidades conhecidas, e as letras do final do alfabeto para as desconhecidas, bem

como os expoentes para as incógnitas (xx = x2 e xxx = x3) com a diferença de que

Descartes não via x2 e x3 apenas como área e cubo, como faziam os gregos antigos, ele

também os interpretava como segmentos o que tornou sua álgebra bem mais flexível e

contribuiu para a convenção da simbologia em álgebra.

Mas o processo que levou à introdução de abstração em álgebra foi iniciado em

1815, quando vários matemáticos da Universidade de Cambridge fundaram a Analitical

Society, que tinha como objetivo imediato reformular o ensino do cálculo, adotando as

notações em uso no continente, no entanto, sua principal contribuição foi discutir os

fundamentos da álgebra.

1.2.1 Os números Complexos

Segundo Milies até meados do século XVI os matemáticos não aceitavam e nem

sabiam lidar com raízes quadradas de números negativos. Cardano já tinha se deparado

24

com tal tipo de questão ao aplicar a sua fórmula para ás cúbicas na equação x3 = 15x + 4

que dava

x = 33 21212121 −−−+− , mesmo sabendo que x = 4 era raiz, Cardano não

conseguia entender como sua fórmula seria válida nesta situação. Classificou as raízes

quadradas de números negativos como “sofisticas” e não conseguiu encontrar a saída

para a solução. No ano de 1572, Rafael Bombelli (cerca de 1526 – 1573), matemático

italiano e admirador de Cardano, apresentou uma proposta para a solução do problema

de Cardano: como x = 4 é raiz da equação.

“Bombelli supôs que exista uma expressão do tipo a + b− que possa ser considerada como raiz cúbica de 2 + 121− , ou seja, (a + b− )3 = 2 + 121− . Para calcular essa raiz ele assumiu que a raiz cúbica de 2 - 121− seja da forma a - b− . Somando-se a +

b− com a - b− = 4 obteve a = 2. Com esse resultado achou b = 1, pois (a + b− )3 = 2 + 11 1− . Milies:17”

Felizmente as partes + b− e - b− se anulam, mas como podemos anular o

que não existe? Visto que a compreensão de raiz quadrada de número negativo não

existia, por parte dos matemáticos da época. Apesar de aceitar somente os números

reais, era necessário levar em consideração esses números fictícios para poderem seguir

adiante toda vez que ocorresse uma situação como esta, e Bombelli mostrara uma saída.

O método de Bombelli só se aplica a uma equação quando já se conhece uma

das raízes e, portanto não pode ser considerado como uma fórmula geral. A importância

desse método esta em explicar como se pode obter a solução de uma equação apesar de

surgir pelo caminho raiz quadrada de número negativo. Seu raciocínio mostrou o papel

importante que os números imaginários iriam desempenhar no futuro. Em 1833,

William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático e físico irlandês, deu a

fundamentação definitiva dos números complexos como sendo pares ordenados de

números reais tal como é apresentada atualmente.

Hamilton observou à expressão a + bi e percebeu que a + bi não é uma soma

genuína, do mesmo tipo que 2 + 3, pois bi não pode ser adicionado com a. Assim

percebeu que escrever um número complexo da forma a + bi não é mais do que dar o

par ordenado de números reais (a, b). Dessa forma Hamilton introduziu uma álgebra

formal de pares de números complexos cujas regras e combinação são precisamente as

que usamos hoje e definiu a soma e o produto de pares ordenados da seguinte forma: b

(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)

25

(a, b) x (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Segundo Boyer (1996), Hamilton interpretava seus pares ordenados como sendo

vetores e o produto de dois desses pares como rotação. E tentou estender a sua idéia a

três dimensões não o conseguindo devido à multiplicação de n-uplas, para n maior que

dois que ele não conseguiu formular.

1.2.2 O Teorema Fundamental da Álgebra

Resolver problemas por radicais se tornou o centro de estudo da álgebra depois

do livro L-Álgebra de Bombelli e agora os matemáticos se questionavam quanto a

solução de equações de grau superior como as de grau maior do que quatro. Provar que

uma equação de grau n tem exatamente n raízes parecia uma conseqüência da extensão

dos resultados até aqui obtidos para as equações já estudadas. Para isso, antes de

qualquer coisa, era necessário provar se uma equação com coeficientes reais pode ou

não ser expressa como produto de fatores lineares e quadráticos com coeficientes

também reais.

Muitas foram às tentativas de resolver tal questão: em 1702, Gottfied Wilhem

Leibniz (1646 – 1716), matemático alemão que foi um dos criadores do Cálculo,

mostrou que não era possível fazer tal fatoração, mas Nicholaus Bernoulli (1687 –

1759) o corrigiu em 1719 mostrando que Leibniz havia cometido um erro na sua

demonstração; Em 1742, Leonard Euler (1707 – 1783), matemático suíço, observou que

se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa a + b 1− também tem

a conjugada a – b 1− e que o produto [x – (a + b 1− )] [x – (a - b 1− )] é uma

expressão quadrática com coeficientes reais. A partir dessa observação a questão da

fatoração ficou reduzida a provar a existência de raízes. Este resultado é hoje conhecido

como “O Teorema Fundamental da Álgebra”:

Todo polinômio com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz complexa.

Muitos matemáticos tentaram provar esse teorema, mas nem mesmo o próprio

Euler o conseguiu até que em 1799, Carl Friederich Gauss (1777 – 1855), matemático

alemão, o conseguiu na sua tese de Doutorado.

1.2.3 Os Quatérnions

26

Após a formulação definitiva dos números complexos, Hamilton (1805-1865),

matemático Irlandês, queria compreender como poderia ser feita a seguinte

multiplicação: (a + bi + cj) (x + yi + zj) de forma que os termos desse produto também

fosse um terno. Esperava que o comprimento do produto de vetores fosse igual ao

produto dos comprimentos e para tal considerou i2 = j2 = -1, mas a dificuldade estava em

determinar ij e ji. Certo dia enquanto caminhava ao lado de sua esposa veio a

revelação: era necessária a introdução de um quarto termo de forma que i2 = j2 = k2 =

ijk = -1 que contém a solução do problema. Partindo dessa fórmula, Hamilton deduziu

que:

ij = - ji = k

jk = - kj = i

ki = - ik = j

Uma vez definido o produto Hamilton definiu o conjugado α = a + bi + cj + dk

como sendo o quatérnion: α’ = a - bi - cj - dk. Para o módulo ele usou a seguinte

definição:

|| α || = α α’ = a2 + b2 + c2 + d2 e observou que || α || ≠ 0 se, e somente se, α ≠ 0.

Das definições resulta que dados dois quatérnions α e β, tem-se:

|| α β || = || α ||. || β || e para α ≠ 0 tem-se: α -1 = 1/|| α ||. α’ que é, de fato, o inverso de α,

uma vez que um cálculo simples mostra que α α’ = 1.

Com a multiplicação definida, o conjunto dos quatérnions constitui o primeiro

exemplo de anel não comutativo com divisão, embora esse conceito ainda não estivesse

em uso. Dessa forma, dados dois quatérnions quaisquer, a soma e o produto são também

quatérnions.

Essa descoberta teve um papel decisivo no desenvolvimento da álgebra. Em

especial para a abstração que estava em crescimento. Hamilton mostrou pela primeira

vez um exemplo de álgebra não comutativa e a possibilidade de estender o conjunto das

álgebras conhecidas.

Dois meses após a descoberta dos quatérnions John T. Graves introduziu os

octônions. Esse sistema foi redescoberto independentemente por Arthur Cayley (1821 –

1895), matemático inglês, em 1845 e por isso os octônions são freqüentemente

27

chamados números de Cayley. Estava assim aberto o caminho para as generalizações.

Em 1853 Hamilton introduziu os biquatérnions que nada mais são do que quatérnions

com coeficientes complexos e constituem assim uma álgebra de dimensão oito.

Ainda no mesmo artigo que fala dos biquatérnions uma nova generalização se

inicia e em 1848 é apresentado a Royal Irish Academy os Números Hipercomplexos

como o conjunto de todos os símbolos da forma: x1e1 + x2e2 + ... + xnen, onde x1, x2, ... xn

são números reais, e eventualmente, complexos e e1, e2, ... en são símbolos, chamados de

unidades do sistema que apresenta as mesmas propriedades dos quatérnios para a soma

e o produto.

1.2.4 Grupos e Matrizes

Nos anos seguintes dois novos exemplos de estruturas algébricas, de grande

importância foram introduzidos por Athur Cayley: o conceito de grupo e de matriz.

Cayley tinha uma grande habilidade para as formulações abstratas: sabia enxergar uma

generalização por traz de um exemplo particular e isto lhe permitiu ser o primeiro a dar

o conceito de grupo abstrato. O primeiro matemático que usou o termo grupo foi

Evariste Galois (1811 – 1832), um francês. O estudo das permutações estava em alta na

época e muitos matemáticos estavam envolvidos com o estudo desse tema.

Para definir a noção de grupo abstrato, Cayley usou uma notação multiplicativa

e, para explicar o fato de num grupo uma só operação está definida, ele observou que no

seu conjunto os símbolos “+ e 0” não têm nenhum significado. Para introduzir a adição

ele denotou os elementos do grupo por letras gregas α , β, ... e considerou combinações

lineares do tipo aα +bβ + ... que tratou como elementos de um sistemas hipercomplexo.

Definiu a soma de quaisquer dois elementos desse tipo somando coeficiente a

coeficiente e a multiplicação distributivamente, a partir do produto de elementos do

grupo.

Pouco tempo depois, em 1855, Cayley introduziu o conceito de matriz. Partindo

do estudo de determinantes ou como uma forma conveniente de expressar as equações:

x1 = ax + by

y1 = cx + dy

Segundo Milies o estudo de determinantes estava em uso desde muito tempo,

introduzidos em conexão com a resolução de sistemas lineares. È interessante observar

que na atualidade ocorre o contrário: o conceito de matriz é estudado como pré-requisito

28

para os determinantes, que por sua vez são pré-requisitos para os sistemas lineares.

Como Cayley estava interessado nas transformações lineares, a composição das

matrizes lhe sugeriu a definição de produto de matrizes e conseqüentemente, a inversa

de uma matriz. Em 1858, Cayley introduziu o conceito de soma de matrizes e de

produto por escalares. Aqui novamente a visão de Cayley lhe permitiu ver um novo

sistema algébrico semelhante aos que vinham sendo observados: o fato de as matrizes se

comportarem como quantidades, pois elas podem ser somadas, multiplicadas ou

compostas. Cayley observou aí uma clara relação com os quatérnions; notou que se M e

N são duas matrizes de ordem 2x2 que verificam M2 = N2 = - 1 e MN = - NM então, L =

MN, tem-se que as matrizes L, M e N satisfazem um sistema de relações precisamente

similar aquele da teoria dos quatérnions. Daí a demonstração atual de que M2(C), o anel

das matrizes de ordem 2x2 com coeficientes complexos é isomorfo ao anel dos

quatérnions nos números complexos, de Hamilton. Neste momento resulta, por fim, que

as matrizes também são sistemas hipercomplexos.

1.2.5 Teoria dos Corpos

O conceito de corpo como sendo um conjunto fechado para as operações de

soma e multiplicação onde existem oposto e inverso de qualquer elemento (com

exceção do inverso do zero), bem como o conceito de corpo gerado por n números

complexos α 1,..., α n, como o conjunto de todos os números que podem ser obtidos por

soma, subtração, multiplicação e divisão ( exceto a divisão por zero) já aparecem no

trabalho de Galois sobre resolução de equações polinomiais. Essencialmente Galois

usou as idéias de Gauss de considerar congruências módulo um número primo p e

construiu o corpo dos inteiros módulo p denotado por Zp. Depois considerou o anel de

polinômios com coeficientes em Zp e tomou congruências módulo um polinômio

irredutível f. A partir daí pode -se mostrar que se f tem grau n, então o conjunto das

classes dos restos assim construído é um corpo finito com pn elementos. Assim, Galois

construiu os corpos que hoje são conhecidos como Corpos de Galois e são denotados

por GF(pn).

Tempos depois E. H. Moore (1862 – 1932), matemático inglês, provou, em

1903, que todos os corpos finitos de mesma ordem são isomorfos entre si e, portanto,

são isomorfos aos corpos de Galois dessa ordem. Uma outra linha de pesquisa que

contribuiu para a Teoria dos Corpos foi a Teoria dos Números de Gauss a qual estudou

29

os resíduos quadráticos, ou seja, dado um número primo p e um número inteiro a que

não é múltiplo de p, um inteiro x diz-se um resíduo quadrático de a, em relação a p se x2

≡ a (mod p). Anos mais tarde Gauss considerou também resíduos cúbicos e bi

quadráticos. A Teoria dos Números de Gauss foi o primeiro passo rumo a uma área de

grande importância na álgebra atual: a Teoria dos Números Algébricos. Esta teoria foi

desenvolvida a partir dos esforços de inúmeros matemáticos para provar o Teorema de

Fermat que diz: numa equação da forma xn + yn = zn não tem solução inteira para n > 2.

As inúmeras tentativas de demonstrar esse teorema levaram Richard Dedekind (1831 –

1916), matemático alemão, a definir um número algébrico como sendo raiz de uma

equação da forma anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0, onde a0, a1,... , an-1, an-2, an são

números inteiros e diz-se um inteiro algébrico se é raiz de uma equação da forma acima,

com an = 1.

Com estas definições prova-se que os números algébricos formam um corpo, os

inteiros algébricos formam um domínio de integridade e que se um inteiro algébrico é

um número racional, então é um inteiro ordinário. Neste contexto Dedekind deu a

primeira definição formal de corpo e de anel.

1.2.6 Anéis e Álgebras

Desde o começo os sistemas hipercomplexos, hoje chamados de álgebras

lineares associativas, eram definidos a partir de elementos básicos, definindo a soma da

forma natural e o produto distributivamente, a partir da multiplicação de elementos da

base. Em 1903 Leonard Eugene Dickson (1874 – 1954), matemático americano, deu a

primeira definição abstrata de álgebra. Deu duas definições de álgebras lineares

associativas: a primeira é a álgebra já conhecida, em termos de elementos básicos

constantes estruturais com a novidade de impor certas condições as constantes

estruturais, os postulados do sistema, e mostra que estas condições são independentes

entre si e que nenhuma delas é congruência lógica das restantes; sua segunda definição

se aproxima bastante da forma atual, apesar do uso de coordenadas. Ele considerou um

sistema de elementos da forma A = (a1, a2,..., an) onde os coeficientes ai, que ele chamou

de coordenadas do elemento, pertencem a um dado corpo F. Definiu a soma

componente a componente e fez a seguinte observação: dados dois elementos A e B

sempre existe um outro elemento D tal que A + D = B. Depois ele provou as seguintes

características:

30

1) para quaisquer dois elementos A e B do sistema A∙B é outro elemento do

sistema cujas coordenadas são funções bi lineares das coordenadas A e B com

coeficientes em F;

2) (A∙B) ∙C = A∙ (B∙C), se A∙B, B∙C, (A∙B)∙C, A∙(B∙C) pertencem ao sistema;

3) existe no sistema um elemento I tal que A∙I = A para todo elemento do

sistema;

4) existe no sistema pelo menos um elemento A tal que A∙Z ≠ 0 para qualquer

elemento Z ≠ 0.

Feinalmente, em 1923, Dickson deu a definição definitiva puramente abstrata,

livre de coordenadas, que é a álgebra atual.

Quanto ao conceito de anel, Dedekind e Leopold Kronecker (1823 – 1891), já

trabalhavam com esse conceito nos seus estudos sobre teoria dos números algébricos,

embora o termo usado fosse ordem. Quem introduziu o termo anel foi um matemático

nascido na Prússia Oriental, David Hilbert (1862 – 1943) ainda no contexto dos

números algébricos. A definição abstrata, com toda a sua generalização foi dada em

1914 por Adolf Abraham H. Fraenkel (1891 – 1965) matemático alemão. A sua

definição á muito próxima da atual. Ele considerou um sistema com duas operações que

ele chamou de soma e produto e estabeleceu que, em relação a soma o sistema deve

formar um grupo. Sobre o produto ele especifica que deve ser associativo e distributivo

em relação à soma e inclui a existência de um elemento unidade. A partir destes

axiomas é possível provar a comutatividade da soma bem como uma série de resultados

elementares.

O objetivo de Fraenkel era dar uma teoria abstrata e compreensiva da Teoria dos

Anéis, no entanto, esta tarefa não pode ser desenvolvida na época.

A álgebra se tornara uma ciência de alto grau de abstração. Agora é possível

fazer cálculos em dimensões superiores a dois, lidar com estruturas inimagináveis pelos

nossos antepassados. Muitos foram os matemáticos que contribuíram para esse tão

elevado nível de desenvolvimento algébrico, e o capítulo seguinte é dedicado a alguns

deles.

31

32

Capítulo 2 – Precursores da Álgebra: Vida e Contribuições

Como pudemos perceber no capítulo anterior, a álgebra, assim como a

matemática em geral, é o resultado de uma constante construção e ao longo dos séculos

foi sendo transformada nesta brilhante ciência tal como conhecemos hoje. Também

pudemos conhecer os personagens que contribuíram para essa construção, pessoas que

dedicaram suas vidas ao estudo da álgebra e que para com estas pessoas temos uma

dívida impagável.

No capítulo que se segue fizemos um levantamento biográfico sobre as vidas

dessas pessoas no sentido de identificá-las e conhece-las um pouco mais. Como não

podemos falar de todos, em função da abrangência do trabalho, destacamos seis grandes

algebristas que assim como muitos outros, foram responsáveis pelas descobertas que

transformaram a álgebra nesta ciência que estudamos atualmente. Cada um com a sua

contribuição de modo que a partir delas pode-se desenvolver outras.

2.1 Al-Khowarizmi (Arábia, 780-850)

Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khowarizmi nasceu em torno de 780 da

era cristã em Khowarizmi, região sul do Mar Aral, na parte Perça ocupada pelos árabes

(atualmente parte do Uzbequistão). Quando criança mudou-se com seus pais para um

lugar ao sul de Bagdá. Na época do califa al-Mamum (809 – 833) trabalhou na Casa da

Sabedoria, onde estavam reunidos estudiosos da Síria e Mesopotâmea, bem como

estavam reunidas grandes obras científicas da Antigüidade. Escreveu sobre aritmética,

álgebra, astronomia, geografia e sobre o calendário. È possível que também tenha

escrito sobre o astrolábio e sobre relógios de sol, no entanto, pouco da sua obra chegou

aos nossos dias. Os trabalhos sobre aritmética e álgebra foram muito importantes para o

desenvolvimento da matemática visto que foi a partir destes que a Europa pode expandir

para novas descobertas.

Na aritmética, Al-Khowarizmi escreveu um pequeno tratado que se perdeu, mas

antes de se perder, foi traduzido para o espanhol. No texto ele introduziu os nove

símbolos indianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero.

Depois explicou como escrever um número no sistema decimal usando os dez símbolos.

Descreveu as operações de cálculo (adição, subtração, multiplicação e divisão) segundo

33

o método indiano e explicou a extração da raiz quadrada. Depois do calculo com

números inteiros aborda também o calculo com frações unitárias.

Em 830 aproximadamente, época das traduções das ciências gregas, hindus,

perças e etc para a língua árabe, Al-Khowarizmi publicou sua álgebra, intitulada al-

jaber Wa’l Mugabalah (ciência da restauração e equilíbrio), que é composto de seis

capítulos breves onde cada um destes trata de um tipo específico de equação quadrática

que ele classificara em seis tipos. Por ser o primeiro a escrever sobre álgebra e pelo

modo simples e claro de explicar seus conteúdos ele é considerado o Pai da Álgebra.

As suas contribuições não param por aí, traduções do seu nome levaram à

palavra algorismo ou algoritmo; a palavra “xoy”, usada por ele para a incógnita, deu

origem ao “x” da álgebra moderna; al-jaber deu origem á palavra álgebra. Também deve

a ele a introdução do calculo hindu no mundo islâmico, que depois pôde ser

aprofundado e ampliado por outros matemáticos árabes que o seguiram.

Na astronomia destaca-se a sua participação na medição do comprimento de um

grau da Terra. Considerando que a Terra é redonda o objetivo era calcular o seu

tamanho e circunferência. Obtiveram um resultado impressionante para a época, século

IX, encontraram 91176 metros como resultado, ficando a apenas 877 metros do

resultado moderno.

Al-Khowarizmi morreu em 846 aproximadamente. Pouco se sabe sobre a sua

vida, mas o que sabemos já é o bastante para que ele seja considerado uma das maiores

capacidades científicas do islã.

2.2 Viet (França, 1540-1603)

François Viét ou Franciscus Vieta, em latim, nasceu na França, em 1540.

Formou-se em direito, mas estudava matemática nas horas vagas. Tornou-se membro do

Parlamento da Bretanha e depois se tornou membro do Conselho do Rei, servindo

durante os reinados de Henrique III e Henrique IV. Durante o reinado de Henrique IV a

França estava em guerra com a Espanha e Viét decifrou as mensagens em código,

usadas pelo inimigo. Tratava-se de um sistema de caracteres secretos que envolvia cerca

de 600 desses símbolos que eram periodicamente mudados. Pelo feito ele foi acusado,

pelos espanhóis, de ter um pacto com o demônio.

Apesar de não ser matemático profissional fez importantes contribuições

para esta ciência, principalmente no ramo da álgebra. Nessa época a álgebra estava

34

resumida a um receituário para resolver equações numa incógnita ou sistemas de duas

equações e duas incógnitas, os nossos sistemas de equações lineares, derivadas de

problemas comercial ou geométrico. Ao contrário da Geometria, a álgebra não dispunha

de uma forma universal de representação. Existia uma mistura entre simbolismo e

sincopação que não ajudavam no entendimento geral desse ramo da matemática. Ele

deu um passo profundo seguindo rumo à convensão dos símbolos ao usar uma vogal

maiúscula para representar à incógnita e uma consoante, também maiúscula, para

representar o coeficiente. Foi o primeiro a mostrar a diferença que existe entre

coeficiente e variável e a partir de suas representações o matemático, também francês,

René Descartes (1596 – 1650) formulou as representações atuais para os termos

integrantes de uma equação.

Era defensor da representação decimal (contra a sexagesimal). Calculou o seno

de um grau com treze algarismos e com base nesse valor preparou extensas tábuas para

as seis funções trigonométricas. Foi o primeiro a aplicar a álgebra na Trigonometria.

François Viét morreu em 1603, deixando um bom alicerce preparado para

maiores construções na Matemática.

2.3 Cardano (Itália, 1501-1576)

Girolamo Cardano nasceu em 24 de setembro de 1501na cidade de Pávia, Itália.

Filho de pais não casados, Cardano sofreu tentativas de morte ainda no ventre de sua

mãe, mas para o bem da matemática sobreviveu. Seu pai era um intelectual que se

dedicava à medicina, advocacia, matemática e as ciências ocultas. O filho seguiu os

caminhos do pai: estudou nas Universidades de Pávia e Pádua e recebeu o grau de

doutor em medicina em 1525, aos 24 anos, e se tornou um grande médico (depois de

Versalius foi o médico mais renomado de toda a Europa na sua época). Cardano

também se dedicou á matemática, leis, astrologia e probabilidade.

Aos 44 anos, publicou o trabalho que o tornaria conhecido e através do qual o

seu nome entraria para a história da matemática: o livro Ars Magna (a Grande Arte) no

qual apareceram impressas pela primeira vez as fórmulas de resolução para as equações

cúbicas e quárticas.

Cardano era viciado em jogo e assumiu ter jogado xadrez, por quarenta anos, e

dados por 25, diariamente. Nesta época era comum jogar para passar o tempo e como

valia dinheiro, era uma atividade que poderia render algum para prover suas

35

necessidades, mas na verdade ele acabou perdendo boa parte da sua vida e fortuna nesta

atividade. Mas soube tirar proveito dos jogos e desenvolveu a primeira análise

matemática de jogos. Formulou o conceito de espaço amostral com resultados

igualmente prováveis. Escreveu um pequeno manual do jogador intitulado Líber de

Ludo Aleae (O Livro dos Jogos de Azar), que pode ter sido a sua maior contribuição

para a matemática. Neste livro ele discutiu o montante correto da aposta a ser feita por

um jogador que tem probabilidade p de ganhar a importância s, estabeleceu a Lei pn =

pn, que dá a probabilidade de que um evento ocorra independentemente n vezes

sucessivas.

Cardano foi um dos primeiros a desenvolver o estudo das probabilidades.

Faleceu em 21 de setembro de 1576, em Roma, a três dias de completar 75 anos de

idade.

2.4 Bombelli (Itália, 1526-1573)

Rafael Bombelli nasceu em 1526, na cidade de Bolonha, Itália. Era o mais velho

dos seis filhos de Antonio Mazzoli. O pai de Rafael era um próspero negociante de lãs e

tinha posses. Em 1506, a cidade de Bolonha estava sob o domínio de Giovanne II e

Antonio Mazzoli envolveu-se em manifestações contra o seu governo, como não

conseguiram tirar Giovanne do poder a família de Rafael teve seus bens confiscados e

foi exilada e somente depois de muitos anos a família Mazzoli obteve o perdão e pode

voltar à Bolonha e recuperar os seus bens.

Na tentativa de disfarçar a sua descendência, Rafael mudou seu sobre nome para

Bombelli. Trabalhou para um nobre romano, Alessandro Rufini, futuro bispo de Melfi.

Neste período interessou-se por matemática e envolveu-se no desafio do momento que

era determinar as fórmulas geral para a resolução das equações cúbicas e quárticas,

quando conheceu vários outros estudiosos, dentre os quais Girolamo Cardano, do qual

se tornaria um admirador. Em 1549 foi encarregado pelo seu patrão, que agora já era

bispo, de demarcar as fronteiras da região do Val di Chiana. Enquanto realizava o seu

trabalho (1551 – 1555), enfrentou reclamações dos vizinhos fronteiriços e por isso

interrompeu o serviço temporariamente.

Enquanto aguardava o recomeço das demarcações, escreveu seu famoso livro de

álgebra denominado L’Álgebra, a partir dos estudos de Cardano. Quando o trabalho

recomeçou, em 1560, o livro ainda não estava concluído e Bombelli passou a visitar o

36

professor Antonio Maria Pazzi, da Universidade de Roma. Nesse período teve acesso a

um manuscrito de Diofante, que foi um matemático grego da antiguidade. Tratava-se de

um texto sobre aritmética que o deixou apaixonado e os dois, ele e o professor,

resolveram traduzir tal obra. A influencia de Diofante foi tão grande que dos 272

problemas existentes no sue livro, 143 eram baseados nos escritos diofantino.

Rafael Bombelli Foi o primeiro matemático a usar o jogo de sinais. No seu livro

sobre álgebra ele escreveu:

• mais vezes mais é igual a mais;

• menos vezes menos é igual a mais;

• mais vezes menos é igual a menos;

• menos vezes mais é igual a menos;

• mais raiz quadrada de menos n vezes mais raiz quadrada de menos n é igual a

menos n;

• mais raiz quadrada de menos n vezes menos raiz quadrada de menos n é igual a

mais n;

• menos raiz quadrada de menos n vezes mais raiz quadrada de menos n é igual a

mais n;

• menos raiz quadrada de menos n vezes menos raiz quadrada de menos n é igual

a menos n.

Também foi o primeiro a mostrar uma saída para a solução de uma equação em

que aparecia raiz quadrada de número negativo. Usou os símbolos: a + b− e a - b−

que mais tarde se tornaria a base para a definição final de número complexo. Ao todo

ele escreveu cinco livros, deixando o quarto e o quinto por terminar, pois faleceu em

1573, provavelmente em Roma, aos 47 anos.

Bombelli não era um matemático profissional, pois não fora universitário, no

entanto, foi importante para o desenvolvimento da álgebra, que era a sua área. Em 1923,

seus escritos foram encontrados numa biblioteca de Bolonha e seus cinco livros foram

republicados em 1929.

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2.5 Euler (Suíça. 1707-1783)

Leonard Euler nasceu no dia 15 de abril de 1707 em Basiléia, Suiça. Seu pai,

Paul Euler, era um ministro religioso que possuía algum conhecimento matemático e era

casado com Margaret Brucker, filha de um outro homem da igreja.

Teve suas primeiras aulas de matemática com o pai o que pode ter despertado

seu gosto pelo assunto. Paul Euler queria mesmo era que seu filho se tornasse um

teólogo e sonhava em ver seu filho estudando Teologia. Quando completou a idade de ir

para a escola, Euler foi morar com a sua avó materna e como não tinha muitas aulas de

matemática, passou a ler livros e a ter aulas, às escondidas, sobre o assunto.

Aos 14 anos entrou para a Universidade e logo fez um exame, com o professor

Jean Bernoulli (1667-1748), que foi seu professor de matemática e descobriu o

potencial do garoto. Em 1723, aos 16 anos, obteve o grau de mestre em filosofia e

passou a Estudar Teologia seguindo o desejo do seu pai. Também teve instrução de

medicina, astronomia, física e línguas orientais. Mas gostava mesmo era de matemática

e com a ajuda de Jean Bernoulli, convenceu o seu pai a deixá-lo estudar matemática.

Aos 19 anos, após concluir os estudos na Universidade de Basiléia, tentou uma vaga

para professor de Física na própria Universidade, mas não conseguiu devido a sua

juventude. Aos vinte anos foi indicado para o Grande Prêmio da Academia de Paris no

qual obteve o segundo lugar. Foi convidado a trabalhar na Academia de São

Petersburgo na Rússia, mais chegando lá não conseguiu o emprego devido à morte de

Catarina I, que fundara a escola e como gostava da idéia de trazer estrangeiros para

trabalharem nela, convidara a Euler.

Desiludido com a carreira de professor, Euler entrou para a marinha Russa onde

se tornou tenente. Mas a esperança não havia morrido e em 1730, com a Academia já

em melhores condições, assumiu o seu lugar de professor de física na escola. Aos 26

anos, se tornou o principal matemático da academia com a saída de seu amigo Daniel

Bernoulli (1700-1782), filho de Jean Bernoulli. Com esse novo cargo passou a ganhar

melhor e pode investir mais na sua pesquisa matemática. Casou-se em sete de janeiro de

1734, com Katharin Gsell e tiveram 13 filhos dos quais apenas 5 sobreviveram à

infância.

A academia de São Petersburgo editava, periodicamente, uma revista de

matemática, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, na qual ele

publicava inúmeros dos seus artigos. Eram tantos que o francês François Arago

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(1786-1853) disse que Euler podia calcular sem qualquer esforço tal como o homem

respira e as águias se sustentam no ar.

Sua facilidade em escrever era tanto que chegava a estar com um filho no colo,

um bloco de notas sobre a perna e os outros filhos a brincarem à volta dos seus pés. Em

1735, aos 28 anos, perdeu a visão do olho direito. Convidado por Frederico, o Grande,

deixou a Academia de São Petersburgo e foi para a Academia de Berlim, na Alemanha,

onde passou 25 anos, voltando à Rússia em 1766, aos 59 anos.

Dentre as contribuições de Euler para a Matemática estão:

• o uso da letra “e” como base do sistema de logaritmos naturais;

• ouso da letra grega “π” para representar a razão entre o comprimento e diâmetro

de uma circunferência;

• o uso do símbolo “i” para 1− ;

• o uso de letras maiúsculas “A, B, C” para representar os lados de um triângulo e

minúsculas “a, b, c” para seus ângulos opostos;

• o uso do símbolo “lx” para logaritmo de x;

• o uso de símbolo “∑” para adição;

• o uso de “f (x)” para representar a função de x;

• na álgebra formulou o teorema fundamental da álgebra além de outras notações

em Geometria, Trigonometria e Analise.

Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500

livros e artigos. Por volta de 1770 perdeu a visão do olho esquerdo e agora precisava

ditar suas idéias para que um dos seus filhos escrevesse, ou escrever com giz em

grandes quadros negros. No entanto o fluxo de suas pesquisas e publicações não

diminuiu. Em 1776, aos 59 anos perdeu todos os seus bens, a exceção dos manuscritos

de matemática, num incêndio na sua casa.

A sua capacidade para o cálculo mental era tão grande que conseguia fazer, de

cabeça, cálculos que outros matemáticos tinham dificuldade de fazer no papel. Ele foi

descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria analise encarnada.

Após passar 17 anos de cegueira total, Euler morreu em 18 de Setembro de

1783, aos 76 anos, de uma hemorragia cerebral.

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2.6 Gauss (Alemanha, 1777-1855)

Johann Carl Friederich Gauss nasceu num casebre em Brunswich, Alemanha.

Seu pai, Gerhard Diederich era jardineiro e pedreiro e não queria que o filho estudasse,

mas a sua mãe Dorothea e seu tio Friederich, que percebeu a inteligência do sobrinho, o

incentivaram e o ajudaram nos seus primeiros passos como estudante..

Gauss era um gênio; tinha uma memória fotográfica conseguia lembrar dos

acontecimentos da sua infância; aos dois anos impressionava as pessoas que

acompanhavam o seu desenvolvimento; antes dos três anos corrigiu uma longa soma

que seu pai fazia, ao seu lado, em voz alta; aprendeu a ler e a somar sozinho. Aos sete

anos entrou para a escola. Certo dia o professor pediu que os alunos somassem de um 1

a 100 e Gauss logo achou a resposta, 5050, aparentemente sem cálculos, supõe-se que já

aí ele tivesse descoberto a fórmula para calcular a soma dos termos de uma progressão

aritmética.

Aos 10 anos ele foi admitido na classe de aritmética e na primeira aula, sem que

os alunos ali presentes jamais tivessem ouvido falar de uma progressão aritmética, o

professor deu-lhes um longo problema de soma, cujo resultado, através de uma fórmula

poderia ser encontrado em poucos segundos. O problema era o seguinte:

81297+81395+81693+...+100899, em que a diferença de um número para o próximo

era sempre a mesma (aqui 198) e um determinado número de termos (aqui 100) para ser

somado, o que tornava a obtenção do resultado simples, caso se soubesse deste macete.

O professor disse “quem for terminando vá colocando a lousa sobre a minha

mesa”. Terminando o ditado Gauss colocou sua lousa na mesa. Quando o professor

olhou na lousa estava escrito apenas um único número, o certo. Ele descobrira,

instantaneamente, o macete. Todos os outros alunos tinham enormes somas erradas. O

professor ficou tão atônito com a proeza do menino de 10 anos que pagou do próprio

bolso livros de aritmética para ele, que as absorvia ligeiramente. Reconhecendo que fora

ultrapassado pelo aluno, o professor passou o ensino para seu jovem assistente, Johann

Martin Bartelo (1769-1856), que era apaixonado por matemática. Entre Bartelo, com

dezessete anos, e Gauss, com 10, nasceu uma amizade que durou toda a vida. Eles

estudavam juntos e ajudavam um ao outro nas suas dificuldades.

Gauss sempre contou com a ajuda financeira do Duque de Brunswick para os

seus estudos. Em 30 de Março de 1796 decidiu-se pela matemática e em 1798 tornou-se

doutor pela Universidade de Helmstädt e sua tese foi a demonstração do “Teorema

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Fundamental da Álgebra” provando que toda equação polinominal f(x) = 0 tem pelo

menos uma raiz real ou imaginária e para isso baseou-se em considerações geométricas.

Foi o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados usando somente régua

e compasso como auxiliares. Também foi o primeiro a representar graficamente os

números complexos pensando em partes real e imaginária como ordenadas de um plano.

No seu livro “Disquisitiones Arithmtical” (pesquisas aritméticas), desenvolveu notações

da Teoria dos Números, nele apresentando a notação b ≡ c(mod a), para a relação de

congruência; apresentou a lei da reciprocidade quadrática e demonstrou o teorema

segundo o qual todo número inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira

como produto de números primos.

No inicio do século XIX deixou de lado a aritmética para dedicar-se à

Astronomia e nesta área criou um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado

até hoje, o que lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de

Göttinger, onde passou 40 anos. Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que

transmite sinais por meio de luz refletida e em eletromagnetismo inventou o

magnetômetro bifiliar e o telégrafo elétrico.

Gauss casou-se em 1805, com a idade de 28 anos com Johanne Osthof de

Brunswisck. Não era ambicioso por dinheiro e poucas obras suas foram publicadas

durante sua vida. Queria mesmo era o progresso da matemática pelo qual lutou até

descobrir que sofria de dilatação cardíaca.

Gauss morreu em 1855, aos 78 anos e é considerado o “Príncipe da

Matemática”.

A contribuição de cada um dos matemáticos funciona como um tijolo numa

construção, onde essa construção é a própria matemática. Ao longo do tempo foram

sendo acrescentadas as descobertas de muitos estudiosos ao passo que a matemática foi

ficando cada vez mais completa, no entanto, essa obra ainda não acabou e ainda poderão

surgir novas descobertas.

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4. CONCLUSÕES

A álgebra foi aos poucos ganhando espaço e aplicações em diversas atividades

do ser humano, e o seu desenvolvimento se deu de forma gradual. Diversos homens

dedicaram suas vidas ao estudo da Matemática e de várias partes do mundo surgiram

novos conceitos, fórmulas e problemas de difícil resolução, de modo que os

responsáveis por tais feitos entraram para a história devido aos mais variados tipos de

contribuição.

Os matemáticos são pessoas como as outras: têm problemas, defeitos,

qualidades, estão sujeitos a doenças e a morte, mas também são pessoas determinadas a

alcançar os seus objetivos; são pacientes, investigadores, capazes de tentar muitas vezes,

embora nem sempre consigam êxito. O matemático é uma pessoa que aceita desafios e

não se deixa vencer facilmente pelos fracassos e esta característica sua é talvez mais

importante que a sua inteligência.

Graças a essas pessoas a humanidade hoje dispõe de um alto poder tecnológico e

um alto conhecimento matemático que são o resultado de milênios de estudos e

construções.

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5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• BAUMGART, JOHN K. Tópicos de História da Matemática: História da Álgebra. Disponível em <http://www.somatematica.com.br/cgi-bin/busca/search.pl?lang=en&q=historia+da+%E1lgebra>. Acesso em: 10 de janeiro de 2007.

• BOWERS, J. Como Vivem os Matemáticos: uma Gente Original. In: Convite à Matemática. Lisboa: Edições Sílabo LDA, 1991, pg. 199-231.

• BOYER, C. B. História da Matemática. New York: Edgard Blücher LTDA, 1996.

• COXFORD, A.F. & SHULTE, A.P. As Idéias da Álgebra. Tradução: Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995.

• EURECA: A Matemática Divertida e Emocionante. Revista Galileu, Edição Especial, Editora Globo - Abril, 2003.

• MILIES, P.C. Breve História da Álgebra Abstrata. Instituto de Matemática e Estatística - IME, USP.

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