HISTÓRIA E USO DE MÍDIAS TECNOLÓGICAS NO ENSINO DAS FUNÇÕES

POLINOMIAIS DE PRIMEIRO GRAU

Gilmara Aparecida Schran1

Pedro Pablo Durand Lazo2

RESUMO

O presente artigo foi elaborado a partir da implementação do projeto PDE no primeiro ano do ensino médio no conteúdo de Função Polinomial de Primeiro Grau,

seguindo as Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná. Teve como principais objetivos: a construção de uma metodologia inovadora e dinâmica para a prática docente; a busca por alternativas metodológicas

que possibilitem a utilização da História da Matemática e das Mídias Tecnologias como recursos didáticos; a sondagem de como mobilizar e envolver os estudantes para a aprendizagem; saber se a História da Matemática pode mudar a percepção

que o aluno tem da disciplina e explicar o papel que ela tem na sociedade. Com a aplicação do Material Didático elaborado, explorou-se instrumentos de apoio à aprendizagem e à prática docente disponível na escola, em aulas diversificadas,

atividades atrativas, valorizando o processo de produção do conhecimento através da atuação do aluno como agente ativo ,abandonando abordagens fragmentadas e sem significado, tornando as aulas mais prazerosas . A partir da construção do

conhecimento sistematizado com a participação do aluno, foi possível explorar o desenrolar dos fatos na história desse conteúdo que, muitas vezes, é visto como obsoleto. Utilizou-se uma metodologia diferenciada onde a observação dos

conceitos esteve ligada a exemplos de situações do cotidiano da maioria dos alunos, relacionando a função de primeiro grau com outras áreas do conhecimento. O uso das mídias Tecnológicas influenciou decisivamente nas atividades possibilitando a

alteração da estratégia costumeira, o que gerou resultados positivos e eficácia no trabalho.

Palavras-chave: História da Matemática; Função Polinomial de Primeiro Grau;

Mídias Tecnológicas

1 Autora: Professora de Matemática no Ensino Médio, vinculada à Secretaria Estadual de Educação

(SEED) e Participante do Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná (PDE/2010) 2 Orientador: Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas (CCET), Universidade Estadual do Oeste

do Paraná (UNIOESTE), 85814-110, Cascavel, PR, Brasil.

ABSTRAT

This article was prepared from the PDE project implementation in the first year of

high school in the contents of First-Degree Polynomial Function, following the curriculum guidelines of the Public Education from the State of Paraná. The main objectives: building a dynamic and innovative methodology for teaching practice, the

search for alternative methodologies that enable the use of the History of Mathematics of Media and Technology as educational resources, the survey of how to mobilize and involve the students to learn, whether the history of mathematics can

change the perception that the student has of the discipline and explain how it work in the society. With the application of prepared courseware, was explored tools to support learning and teaching practice available at the school, classes in diverse

ways, attractive activities , valuing the process of knowledge production through the performance of the student as active agent, leaving fragmented approaches and meaningless, making the lessons more pleasurable. From the construction of

systematized knowledge to the student's participation, it was possible to explore the course of events in the history of content that often is seen as obsolete. Was used a different methodology where the observation was linked to concepts of examples of

everyday situations of most students, relating the function of the first degree with other areas of knowledge. The use of media Technology decisively influenced the change in activities enabling the usual strategy, which generated positive results and

effectiveness at work.

Keywords: History of Mathematics; Polynomial Function of First Degree; Media

Technology

1 INTRODUÇÃO

A matemática é uma atividade autossuficiente. Um matemático precisa de

lápis, papel e tempo para pensar. O físico, o químico o biólogo, precisam de

instrumentos para experimentar e além, precisam de matemática para não perder

tempo em especulações. A matemática não precisa de nenhuma outra ciência. Ela

penetra em todas as outras ciências com maior ou menor grau de matematização.

Ocupa-se de símbolos abstratos e de relações entre eles. Os símbolos são

considerados como abstrações de modelos concretos. Nesse trabalho, propôs-se

despertar o interesse do aluno e partir do conhecimento dele, para isso, foi muito

importante explorar a relação da Matemática com as demais ciências que dependem

dela como a Física, a Química, a Biologia, a Economia, etc.

A matemática se elabora de um modo tão particular que a narração detalhada

de seu desenvolvimento histórico é quase nada, acerca dos conteúdos atuais. Se

hoje podemos afirmar que há uma matemática socializada ou podemos dizer até

popularizada, deve-se o fato à criação de novas estruturas abstratas e novas

linguagens de expressões simbólicas sobre as elaborações iniciais, pensamentos

originais, permitindo que ocorra hoje a interpretação de novos teoremas e a relação

desta com a aplicação concreta de forma simples e geral.

Nos últimos anos tem sido crescente a produção científica na área que

relaciona História e Educação Matemática, quer seja na pesquisa sobre os possíveis

usos didáticos da História da Matemática, quer seja na área de História da Educação

Matemática, com ou sem vínculo explícito com o ensino da Matemática.

O Currículo de Matemática está repleto de conteúdos de alto nível de

abstração que não possuem ligação aparente com a vida dos alunos. Isso aumenta

a dificuldade de compreensão, desestimula e desinteressa-os. Hoje em dia, faz-se

necessário, não somente ensinar os conhecimentos envolvidos no cotidiano dos

alunos, mas sim, a partir daquilo que tem significado para eles, chegar à teoria, para

retornar à prática e sucessivamente. É importante trazer para a aula, o método

indutivo, as suposições, as experimentações, as estimativas.

Ainda hoje discutimos se devemos permitir ou não o uso da calculadora nas

salas de aula . Estamos reduzindo a nossa prática pedagógica a um treinamento

baseado na repetição, deixando de lado, a experimentação, o questionamento, a

criatividade, a origem do conhecimento ligado à necessidade humana.

Os professores, na sua grande maioria, não conseguem fazer a ligação da

aplicação prática desse conteúdo de funções polinomiais de primeiro grau (e outros)

respondendo evasivamente quando questionados. A maioria desconhece métodos

apropriados para aplicar , por falha na formação acadêmica ou capacitação.

O saber matemático, apresentado de inicio no ensino como pronto e acabado,

não é efetivo. Para ser efetivo, deve ser construído pelo educando através do

cumprimento de tarefas e atividades que sejam próprias e adequadas à faixa de

capacidade cognitiva e de realidade social. Nada de repetição exaustiva e excessivo

formalismo.

Este artigo fundamenta, relata e analisa a aplicação da produção didática

pedagógica elaborada no terceiro período do Programa de Desenvolvimento

educacional 2010-2012. O material foi objeto de análise e apreciação dos

componentes do Grupo de Trabalho em Rede – GTR3, em capacitação on-line, na

qual o professor PDE a atua como tutor, e eles, com comprometimento e pautados

nos anos de experiência pessoal e profissional, fizeram contribuições relevantes.

Neste trabalho, se propôs despertar o interesse do aluno e partir do conhecimento

dele, para isso, foi necessário explorar a relação da Matemática com as demais

ciências.

A proposta apresentada aos alunos, iniciou-se com um levantamento histórico

do que sejam as equações, quais os tipos, para que servem e como cada povo da

antiguidade construiu o conhecimento a partir de produções e registros encontrados.

O uso dos computadores e da internet, TV’s vídeos, pen-drives e outros, subsidiou a

busca e articularam-se entre si para efetivar o andamento e a realização das

atividades.

No mínimo é instigador para o aluno a busca por uma história usando

recursos que, a princípio, são usuais e corriqueiros no dia a dia deles, afinal, nossos

jovens hoje se qualificam como “digitais” . Dessa forma, o trabalho da escola, tende

a não ser ineficiente.

Atualmente temos os mais diversificados softwares, programas e

equipamentos tecnológicos voltados à Educação. A utilização destes recursos tanto

pode deixar a Matemática mais atrativa aos olhos dos estudantes, quanto contribuir

para acontecer a aprendizagem mais significativa. Na sala de aula podemos contar

com a experimentação virtual através de simuladores. Nesta situação os estudantes

trabalharam em grupos, fazendo uso de computadores e projetores tanto na procura

de informação quanto na apresentação de resultados, ao tempo que foram

estimulados a participar ativamente da aula. A internet engloba os simuladores,

animações e os experimentos. Utilizamo-la como instrumento de pesquisa,

permitindo o acesso dos estudantes a diversas fontes na busca da informação, e

que participassem da construção do próprio conhecimento, facilitando a

aprendizagem e a exploração dos conceitos.

O material foi elaborado para cobrir o processo de intervenção composto por

quatro etapas, descritas a seguir:

1ª etapa – Contendo três atividades: 1ª- Questionários de investigação sobre as

condições socioeconômicas dos alunos e sobre o ensino da matemática; 2ª-

3 Capacitação ofertada aos Profissionais da educação através do Ambiente Virtual de Aprendizagem

da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, desenvolvido em Plataforma Moodle.

dinâmica de grupos - jogo dos quadrados quebrados; 3ª- Feedback- frases em

cartazes com lacunas a serem completadas com o conteúdo introdutório, pré-

requisito.

2ª etapa – Contendo três atividades: 1ª - pesquisa na internet a respeito das

contribuições dos povos quanto ao uso de equações matemáticas: sua simbologia,

significado e desenvolvimento , bem como suas contribuições e realizações; 2ª -

leitura informativa sobre o papiro de Ahmes ( ou Rhind); 3ª- abordagem da função

polinomial de 1º grau, conceitos e definições, culminando com o desenvolvimento

de uma atividade disponível no portal dia a dia educação: experimento comida a

quilo.

3ª etapa – Contendo três atividades: 1ª- Problemas de aplicação prática da função

polinomial de 1º grau, relacionando a matemática com outras ciências, de forma

dinâmica e animada; 2ª- a resolução de uma webquest sobre o assunto; 3ª- o uso do

software geogebra para a conferência dos problemas resolvidos anteriormente,

construção de gráficos e verificação dos conceitos estudados na primeira e segunda

etapas.

4ª etapa – composta de um questionário investigativo sobre a metodologia utilizada

no período da intervenção.

Todas as atividades pertinentes ao Material didático pedagógico produzido

para dar suporte à pesquisa são embasadas teoricamente, oportunizando a

confirmação ou refutação de afirmações, hipóteses, teoremas, etc.

2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

O trabalho de pesquisa na elaboração desse projeto iniciou-se à partir do que

traz as Diretrizes Curriculares Da Educação Básica da Secretaria de Estado da

Educação do Paraná (DCE’S da SEED/PR) no que tange as tendência

metodológicas na Educação Matemática e como elas têm um grau de importância

similares entre si e complementam-se uma às outras com o intuito de enriquecer o

processo pedagógico e abandonar abordagens fragmentadas, e sem significado.

Conforme as Diretrizes Curriculares “... a abordagem histórica deve vincular

as descobertas matemáticas aos fatos sociais e políticos, às circunstâncias histórias

e às correntes filosóficas que determinaram o pensamento e influenciaram o avanço

científico de cada época.” (DCE’S, SEED/PR, 2008, p.66)

Usando a história da matemática, deve-se ter o cuidado de evidenciar o

contexto social em que foram elaborados os conceitos , em que a necessidade da

época é a alavanca para as descobertas e criações, mostrando a dinamicidade e a

intencionalidade da matemática.

A Matemática é uma atividade humana em construção. Almeja-se pela

Educação Matemática um ensino que possibilite aos estudantes, análises,

discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideias,

ampliando seu conhecimento e contribuindo para o desenvolvimento da sociedade.

(BERLINGHOFF & GOUVÊA, 2010)

As curiosidades naturais advindas dos questionamentos estudantis, deixam

por vezes, nós professores, sem respostas, ou com respostas vagas e inquietantes.

Uma saída é buscar subsídios na história da construção desse conhecimento, sua

contextualização, levando o estudante a entender processos matemáticos que

precisam conhecer. (BERLINGHOFF & GOUVÊA, 2010).

DANTE (2008, p. 09), no manual do professor, aponta que “A história da

Matemática é também uma importante ferramenta de contextualização ao enfocar a

evolução e as crises pelas quais determinados conceitos matemáticos passaram ao

longo da História”.

Reforçamos e salientamos, subsidiados nas DCE’S/ SEED/PR (2008),

A História deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais (MIGUEL & MIORIM,2004 apud PARANÁ, 2008,p.66).

A importância da história da matemática em relação ao ensino da matemática

foi largamente reconhecida e promovida, por volta do virar do século, mas

gradativamente ela foi reduzida a um conteúdo matemático nas universidades,

sendo em anos recentes, negligenciada. Hoje, há uma recente inovação curricular

que pretende dirigir a atenção e preocupação para as origens históricas e as

aplicações dos conteúdos.

Há muitos fatores por detrás da negligência da utilização da história no ensino

da matemática. Ela deve ser englobada no desenvolvimento do programa. Não é

uma tarefa fácil, nem para os alunos, cuja noção histórica pode ser errada, nem para

professores que tiveram muito pouco da história da matemática em sua formação, e

nenhuma orientação de como usa-la com os alunos. Os próprios historiadores têm

sentido dificuldade em conciliar as complexidades e sutilezas históricas com a

simplicidade que requer os textos a serem trabalhados com os alunos e mesmo para

a divulgação popular, sem perder a veracidade e a precisão. A historia da

matemática deve ser usada em sala de aula de maneira natural, sem aviso prévio. O

professor , enquanto mediador, deve incluir nas discussões durante suas aulas, as

perspectivas históricas acerca do assunto, discretamente, utilizando anedotas

históricas relevantes, filmes, projetos, exposições e problemas. Esse recurso pode

ajudar a motivar os alunos para a aprendizagem, tornar a matemática mais

humanizada menos assustadora; mostrar aos alunos como os conceitos se

desenvolveram e ajudá-los a compreendê-los. Isso pode mudar a percepção que se

tem da matemática, e explicar, inclusive, o papel que ela tem na sociedade.

(FAUVEL, Cadernos do GTHEM. Nº1).

3 O ESTUDOS DAS FUNÇÕES

No que diz respeito ao conteúdo dirigido nesse trabalho: Funções, mais

restritamente ao ensino da Função Afim, nas DCE’S, ressaltamos a afirmação “O

conteúdo de funções simbolizou os primeiros sinais de modernização do ensino de

Matemática” (PARANÁ, 2008, p.58).

Concordamos com a proposição feita por DANTE (2005, p. 14) no manual do

professor, que aponta “O tema funções, integrador por excelência, é um dos mais

importantes da Matemática. Por meio das funções e seus gráficos podemos

entender ,melhor vários fenômenos das ciências e fatos da atualidade”.

Na Educação Básica, os alunos devem compreender a relação entre as

Funções e o auxílio ao homem e suas atividades, na resolução de problemas , bem

como a relação com as diversas áreas do conhecimento. Embasados pelas DCE'S

“As funções devem ser vistas como construção histórica e dinâmica, capaz de

provocar mobilidade às explorações matemáticas, por conta da variabilidade e da

possibilidade de analise do seu objeto de estudo […]” (PARANÁ,2008,p.59).

Façamos uma viagem pelo tempo para entender um pouco a História dessa

ciência intrigante e não imutável, bem como o papel das funções e seu surgimento.

As matemáticas em 1800 constavam, basicamente, da herança grega, com a

sua exigência da demonstração e do discurso perfeitamente coerente com passos

cuidadosamente medidos, onde não se rejeitava a conclusão. Por muito tempo essa

matemática grega pareceu perfeita: mas na verdade não era. O seu domínio era

muito limitado e faltava clareza aos alicerces da construção euclidiana; os homens

do século XVIII já se haviam dado conta disso mas não sabiam como remediar tal

dificuldade.(REVUZ, 1967, P. 21-22).

Surge a álgebra (cálculo, em árabe). Desenvolvera-se e inventara os números

negativos; os irracionais, que haviam aterrorizado os gregos, eram utilizados,

embora não definidos satisfatoriamente.

Então, com Descartes, surge a geometria analítica “aproximando a geometria

dos antigos da álgebra dos modernos”, e depois, com um avanço enorme, nascera a

análise, dos trabalhos de Fermat, Leibniz e Newton. O cálculo diferencial e integral,

ganhou imediatamente, com Newton, um sucesso enorme por permitir descrever

racionalmente o movimento dos planetas. Seu desenvolvimento ocorreu com uma

velocidade vertiginosa: já no século XVII Euler parecia explorar-lhe todas as

possibilidades, ao passo que Lagrange e Laplace, o aplicavam com notável

fecundidade, o primeiro à mecânica e o segundo à teoria das probabilidades.

Mesmo com a ascensão da análise nos séculos XVII e XVIII, faltava o rigor de

Euclides. O conceito capital da análise, e seu fundamento, é o do limite, que faltou

aos gregos. É então que se verifica a decisiva intervenção de Cauchy, o qual

introduziu rigor num domínio que andara arredio, causando um certo mal estar. O

importante na obra de Cauchy é, com a simples exigência de rigor, que abriu novos

caminhos. Encara-se a exigência de rigor como sendo, por vezes, uma censura,

austera, proibitiva. Mas, muito longe de ser apenas negativa, a sua função é

fecundante, pois raciocínio não rigoroso é aquele raciocínio que não explicita todas

as suas justificações, que aceita resultados parciais sem a devida demonstração,

que tem pressupostos mal definidos. O trabalho de Cauchy foi continuado ao longo

do século XIX, onde a exigência de rigor deu-lhe novo alento.

No século XVII, com a geometria analítica nasce uma nova classificação que

tendia a classificar cada disciplina por meio de um substantivo, que indicava o

objeto, seguido por um adjetivo que indicava o método: geometria analítica,

geometria diferencial mecânica analítica, etc., com a análise, ou seja, o estudo das

funções, ocupando o ponto central e fornecendo instrumentos a quase todos os

outros ramos.

Para estabelecer essa nova classificação (na qual a ciência se desenvolvia

em leque e se subdividia) a matemática precisou definir um suporte tão neutro e

incolor que pudesse, nas demonstrações, representar um objeto qualquer. A

contribuição decisiva a esse respeito foi dada por Cantor, o qual, entre 1870 e 1880,

criou a teoria dos conjuntos. A noção de conjunto é o alicerce do edifício da

Matemática, tal como hoje o conhecemos. (REVUZ, 1967, p. 22-38).

Ocorre uma nova organização das matemáticas: o feixe divergente, reagrupa-

se. Os matemáticos usam em todos os ramos de uma disciplina, os mesmos

conceitos e a mesma linguagem; é agora lícito falar de Matemática em vez de

matemáticas . A Matemática foca mais a ação e menos a contemplação, dando um

caráter dinâmico a ela. Com a ênfase na aplicabilidade, vê-se uma matemática mais

adaptada a outras ciências como Econometria4, Sociologia, Linguística... a

matemática foi adquirindo uma certa maleabilidade, pois a fabricação de máquinas

de calcular, permitiu liberdade ao homem, pois a parte cansativa ficou ao encargo da

máquina, podendo o homem ficar completamente livre para planear a tarefa que a

máquina executará.

A introdução dos espaços de funções, dos quais cada elemento é, por sua vez, uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, a das famílias de espaços de funções e, noutro campo, a dos espaços fibrados, a dos feixes, a das séries de co-homologia e, a de nível mais alto,a introdução das categorias, são exemplos desta nova aptidão da Matemática para de situações que haviam tornado extremamente complexas fazer brotar a simplicidade.( REVUZ,1967,p.54).

4 É a ciência que se utiliza de um conjunto de ferramentas estatísticas com o objetivo de entender a relação entre variáveis econômicas através da aplicação de um modelo matemático.

Não se pode negar que a Matemática passa a ser componente necessária de

toda atividade humana, que se queiram resultados claros, inteligíveis, rigorosos,

pois, é eficaz, maleável, fecunda e dinâmica.

Segundo Eves (2004):

O conceito de função, como as noções de espaço e geometria, passou por evoluções acentuadas. [...] A história do termo função proporciona outro exemplo interessante da tendência dos matemáticos de generalizar e ampliar os conceitos. A palavra função, na sua forma latina equivalente, parece ter sido introduzida por Leibniz em 1694, inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a uma curva, como, por exemplo, as coordenadas de um ponto na curva, a inclinação de uma curva e o raio da curvatura de uma curva. Por volta de 1718, Johann Bernoulli havia chegado a considerar uma função como uma expressão qualquer formada de uma variável e algumas constantes; pouco tempo depois Euler considerou uma função como uma equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes. [...] O conceito de Euller se manteve inalterado até que Joseph Fourier (1768-1830) foi levado a considerar, em suas pesquisas sobre a propagação do calor, as chamadas séries trigonométricas. Essas séries envolvem uma forma de relação mais geral entre as variáveis que as que já haviam sido estudadas anteriormente. Numa tentativa de dar uma definição de função ampla o suficiente a ponto de englobar essa forma de relação, Lejeune Dirichlet (1805-1859) chegou à seguinte formulação: Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que é uma função ( unívoca) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função.(EVES,2004, p.660-661.)

Essa definição apresentada por Dirichlet acentua a ideia de relação entre dois

conjuntos de números. Ela é bastante ampla. A teoria dos conjuntos veio ampliar o

conceito de função de modo a abranger relações entre dois conjuntos de elementos

quaisquer, sejam esses elementos números ou não. Assim, na teoria dos conjuntos,

uma função f é, por definição, um conjunto qualquer de pares ordenado de

elementos, pares sujeitos à condição seguinte: se (a1, b1) Є f, ( a2, b2 ) Є f e a1 = a2,

então b1 = b2. O conjunto A dos primeiros elementos dos pares ordenados chama-se

domínio da função e conjunto B de todos os segundos elementos dos pares

ordenados se diz imagem da função. Assim uma função é um tipo de subconjunto do

produto cartesiano A x B. Uma função f se diz injetora se, de ( a1, b1 ) Є f , ( a2, b2 )

Є f e b1 = b2 decorre a1 = a2. Se f é uma função e (a, b) Є f, escreve-se b = f(a).

(EVES, 2004, p. 661)

Em resumo, o termo funções foi introduzido por Leibniz em 1694, mas os

seus conceitos foram sendo elaborados por muitos séculos. Já eram analisadas

pelos Babilônios e os Pitagóricos ideias e relações que hoje podem ser

consideradas funções, como exemplo, as relações existentes entre as alturas dos

sons e os comprimentos das cordas vibrantes. As funções estavam sempre

relacionadas a curvas ou em seus pontos específicos. Os eixos cartesianos foram

representados pela primeira vez por Descartes, o que permitiu estabelecer a

correspondência entre pontos do plano, e pares de números assim como seus

respectivos gráficos. Estudos na área da Física também auxiliaram nos estudos e na

elaboração dos conceitos sobre funções.

O matemático suíço Leonard Euler foi quem introduziu o conceito de funções

como conhecemos e estudamos hoje. Ele escreveu: "Se x é uma quantidade

variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que

seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável".Também foi ele

quem introduziu a notação f(x), com a qual representamos o valor correspondente a

x pela função f.

4 O USO DAS MÍDIAS TECNOLÓGICAS

Cada vez mais e mais estão sendo disponibilizadas e acopladas mídias

tecnológicas como ferramentas úteis nas ações em Educação Matemática. Ao usá-

las, enfatiza-se um aspecto fundamental da disciplina, que é a

experimentação.(BORBA & PENTEADO, 2001, apud PARANÁ , 2008, p. 66)

Trabalhar com as mídias tecnológicas, torna o ensinar e aprender visto sob o

foco da valorização do processo de produção do conhecimento, onde os estudantes

podem analisar conjecturas, argumentar sobre as atividades que envolvem

experimentação, sintetizando algumas etapas do processo construtivo. “No contexto

da Educação Matemática, os ambientes gerados por aplicativos informáticos

dinamizam os conteúdos curriculares e potencializam o processo pedagógico”.

(BORBA,1999, apud PARANÁ, 2008, p. 65).

Procurando diversificar as aulas, tornar o conteúdo atrativo, e possibilitar a

visualização dos conceitos estudados, é que o uso das mídias tecnológicas está

sendo explorado, deixando evidente que existem diversas formas de ensinar e

aprender.

Na Matemática, o impacto maior dos computadores é na forma de

instrumentos. Eles causaram mudanças nela em, pelo menos, três modos: primeiro

permitiram que matemáticos testassem conjecturas e descobrissem novos

resultados , mediante a gama de possibilidades que ele, o computador, oferece e a

agilidade que proporciona, não eximindo os matemáticos de terem de provar as

conjecturas através de demonstrações que as tornam verdadeiras.

A segunda modificação está ligada a simulação e visualização. Pode se fazer

figuras a partir de dados, figuras que frequentemente são muito mais esclarecedoras

do que dados numéricos sozinhos. Podem ser realizados cálculos numéricos para

soluções aproximadas de equações. Dessa forma pode-se usa-las para entender

situações cuja descrição precisa é muito complicada para uma análise matemática

completa. Também teve impacto na matemática pura, como por exemplo a

descoberta dos Fractais, com estruturas altamente complexas, que, no começo do

século XX , só pareciam complicados e impossíveis de serem tratados. Depois que

se aprendeu usar os computadores para traçar as figuras, descobriu-se que os

fractais podem ser belos, e um novo campo da matemática nasceu.

A terceira mudança está relacionada com o que se chamam sistemas de

computação algébrica : programas de computador que podem “fazer álgebra”.

Trabalham com polinômios, funções trigonométricas, exponenciais e mais.

(BERLINGHOFF & GOUVÊA, 2010,p. 57,58).

Cada vez mais e mais estão sendo disponibilizados e acopladas mídias

tecnológicas como ferramentas úteis nas ações em Educação Matemática. Ao usá-

las, enfatiza-se um aspecto fundamental da disciplina, que é a

experimentação.(BORBA & PENTEADO, 2001, apud PARANÁ ,2008, p. 66)

As tendências metodológicas apresentadas nas Diretrizes Curriculares do

Estado do Paraná, para garantir a eficácia no processo de ensino e aprendizagem

de Matemática, devem ser articuladas sempre que possível, propiciando que a

abordagem dos conteúdos transite por todas as tendências da Educação

Matemática.

4. 1 GEOGEBRA

É um software de matemática dinâmica, que junta geometria, álgebra e

cálculo. É livre, gratuito com versão em português e funciona tanto no sistema

operacional Windows quanto no Linux, disponíveis nos laboratórios do Paraná

Digital5 (PRD), das escolas. O Geogebra pode ser utilizado em Educação

Matemática nas escolas de Ensino Fundamental, Médio e Superior.Ele reúne a

geometria interativa com álgebra e cálculo.

A utilização das tecnologias, particularmente do programa Geogebra, tem potencial para possibilitar que os estudantes possam explorar, visualizar, testar hipóteses, fazer conjecturas e refletir sobre os conceitos e as propriedades da Geometria. Nós, professores, também podemos utilizá-lo como auxiliar no processo de mediação e ensino tanto da Geometria quanto da Álgebra e de outros tópicos com esses envolvidos. (LANGER,2011)

Utilizou-se o Geogebra para mostrar diferentes maneiras de construir gráficos

da função Afim , suas propriedades e particularidades, justificando e argumentando,

através de situações problemas vistos e estudados em sala de aula.

O software está disponível para download6, onde são também informados os

requisitos básicos necessários na máquina para instalação e execução do programa.

A utilização da ferramenta é possível em todas as escolas do Estado do Paraná pois

está instalado em todos os computadores dos Laboratórios do Paraná Digital (PRD).

5 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

5 Projeto de inclusão digital das escolas públicas do Estado do Paraná. 6 http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=pt_BR

A História da Matemática é um elemento orientador na elaboração de

atividades, na criação de situações problemas, na fonte de busca, na compreensão

e como esclarecedor de conceitos matemáticos.

Concordando com Paulo Freire (1996), que afirma “se estivesse claro para

nós que foi aprendendo que percebemos ser possível ensinar, teríamos entendido

com facilidade a importância das experiências informais nas ruas, praças, no

trabalho, na sala de aula”. Estamos num constante aprender. Não nos é possível

ensinar, se não passamos pelo aprender. Valendo-nos das experiências do aluno e

do seu conhecimento, torna-se mais efetiva a assimilação e descoberta de

conceitos, métodos e técnicas, caso contrário, só reforçaremos a perplexidade, a

impotência e a incapacidade cognitiva.

Com vistas na apropriação e na reflexão que os alunos deveriam desenvolver,

os assuntos foram tratados numa linguagem simples e precisa. As propriedades ,

acompanhadas ao longo das aulas, das respectivas justificativas, ajudando a criação

de raciocínio lógico, a argumentação e o desenvolvimento do espírito crítico. Sempre

que for possível, o grau de abstração deve ser ligado à aplicabilidade concreta.

Os avanços teóricos têm comprovado que a aprendizagem não se dá pelo

treino mecânico descontextualizado, ou pela exposição exaustiva do professor. Pelo

contrário, a aprendizagem dos conceitos ocorre pela interação dos alunos com o

conhecimento. Portanto, oportunizamos situações em que os indivíduos

interagissem com o conhecimento e estabelecessem hipóteses para que estas

fossem, posteriormente, confirmadas ou reformuladas.

Houve uma ruptura da educação Matemática com o modelo tradicional,

optando por um trabalho interativo, onde eles puderam analisar o problema, para

que então passar a compreendê-lo. Foi oferecido um espaço para discussões e

interação entre o professor e os alunos e vice-versa.

6 EXECUTANDO A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Como citado anteriormente, elaborou-se este plano de intervenção para ser

aplicado na 1ª série A, do período matutino do Ensino Médio, no Colégio Estadual

Novo Horizonte, em Ampére, Paraná.

O projeto foi apresentado à equipe administrativa, aos professores, pais e aos

alunos da turma. Observou-se, após a aplicação de questionários escritos, o pouco

esclarecimento e domínio da turma sobre o estudo das funções, mesmo já tendo

feito uma introdução ao tema em séries anteriores. A maior defasagem encontrada

foi no campo conceitual, nas representações simbólicas usuais e principalmente na

forma como entendem e utilizam a álgebra. Também foi possível fazer um breve

diagnóstico da classe.

É no momento da implementação que colocamos em prática as estratégias

estudadas e planejadas conforme a realidade da escola. A seguir os resultados

obtidos e considerações sobre as etapas da intervenção :

6.1 PRIMEIRA ETAPA

6.1.1 ATIVIDADE I - QUESTIONÁRIOS DE INVESTIGAÇÃO

Com o intuito de conhecer um pouco a realidade foram aplicados dois

questionários investigativos um deles sobre as condições socioeconômicas dos

alunos e o outro sobre o ensino de matemática.

1- SOBRE VOCÊ

Averiguamos que as famílias dos alunos pesquisados são pequenas e,

comparadas com dados de tempos anteriores, confirmam a tendência das famílias a

ser formadas por um número cada vez menor de membros e, deles, poucos são

estudantes. Na maioria delas os pais são operários nas indústrias e os demais são

agricultores.

Todos têm pelo menos uma TV em casa, e poucos tem duas. Dos 19

alunos pesquisados, 10 possuem computador em casa e 9 não. Dos 10 alunos que

possuem, apenas um tem dois computadores. A maioria tem aceso à internet (17) e

dois (02) acessam às vezes, mas a maioria acessa em lugares distintos (não tem

internet em casa, apesar de ter computador). Quando questionados com relação a

para que acessam, as respostas em ordem de prioridade foram: pesquisa e

trabalhos escolares; redes sociais (Orkut, facebook, MSN); jogar. Em conversa

informal, “confessaram” que raramente estudam usando a internet e muitos nem

sabem como usar esse recurso para esta finalidade, nem visualizam as

possibilidades que a internet pode oferecer.

2- SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA

O segundo questionário aplicado versou sobre o ensino de Matemática.

Questionados a respeito das atividades desenvolvidas na disciplina de matemática

em toda sua caminhada estudantil, serem atividades boas, interessantes e

dinâmicas, dividiram-se entre sim, não e a grande maioria opinou às vezes. A opção

nunca,não foi usada.

A opinião dos alunos após a análise geral quanto ao que falta, por vezes, em

algumas aulas de Matemática para que elas funcionem mais eficazmente foi: realizar

mais atividades em sala de aula; explicação mais lenta com algo de interesse dos

alunos para que os faça prestar mais atenção. Concordam que precisam se esforçar

e prestar mais atenção. Querem aprender “coisas conhecidas”, que vão usar. Não

gostam de tarefas para casa devido ao fato de muitos trabalharem meio período.

Não há noção de coletividade e bem comum. Cada qual pensa na sua situação e

não no que é viável para o grande grupo. Consideram que o professor de

matemática, em meio à angústia de cumprir o programa, trabalhar os conteúdos

principais, selecionar os pré-requisitos , exerce pressão sobre eles.

Quanto à abordagem histórica dos conteúdos a maioria afirma que de vez em

quando um assunto aqui ou ali era abordado mais como informação ,leitura opcional

ou sugestão de pesquisa. Mas, refazer os mesmos procedimentos anteriormente

feitos para se tirar conclusões, ou se construir uma forma atual e prática, não.

Nenhum aluno assinalou a opção nunca, confirmando com isso, que não colocam as

atividades das aulas de matemática como desinteressantes, ruins ou apáticas.

15,79%

5,26%

78,95%

0%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

SIM NÃO ÀS VEZES NUNCA

Você já teve em suas aulas de matemática,

abordagem histórica do conteúdo?

Gráfico 1: Presença da história do conteúdo nas aulas de matemática

Fonte: Alunos 1ª A - CENH

Afirmam saber o que é equação , mas posteriormente verificamos o quão

falho foi a preparação que tiveram: chegam ao ensino médio com muitas

dificuldades de entendimento e de como se resolvem, tão pouco a relação

geométrica entre as equações e suas raízes. Falar então de como as equações

vem influenciando a história da humanidade acaba por ser incoerente com

adolescentes que mal conseguem resolver e reconhecer uma equação básica. Esse

tópico percebido se tornou a chave, o incentivo para a implementação do projeto em

questão: curiosidade em abordar algo desconhecido. Mostrar a ligação dos avanços

científicos modernos com as funções. Algumas pesquisas ao longo da vida

acadêmica foram realizadas sobre a vida e obra de Matemáticos importantes,mas

longe de se tornar uma influência positiva nos seus estudos; era mais uma tarefa

que tinham a cumprir.

Quanto ao conceito de função na matemática, apesar de conhecerem o

significado da palavra de forma intuitiva, ninguém a definiu satisfatoriamente.

O auge da investigação foi a unanimidade quanto ao uso de Mídias

Tecnológicas nas aulas de matemática: raramente são usadas pelos professores da

disciplina. Seus professores de matemática não usavam.

0,00%

31,58%

52,63%

15,79%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

SIM NÃO ÀS VEZES NUNCA

O Uso de Mídias é habitual nas aulas de

Matemática?

Gráfico 2: Uso de Mídias Tecnológicas em Matemática

Fonte: Alunos 1ª A - CENH

As mídias com as quais os alunos têm mais contato são:

TV (18); computadores (11); DVD's (8); vídeos (7); som (12); internet (9) e software

(1). O último item foi citado por uma aluna que fazia um curso de informática noturno

e conhecia o geogebra.

94,73%

57,90%

42,10%36,84%

63,15%

47,36%

5,26%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

100,00%

18 11 8 7 12 9 1

TV PC DVD'S VÍDEOS SOM INTERNET SOFTWARE

QUAL MÍDIA VOCÊ TEM MAIS CONTATO ?

(nº de opções livre por aluno)

Gráfico 3: Mídias usuais nas aulas

Fonte: Alunos 1ª A – CENH

Solicitamos, na pesquisa, que os alunos escolhessem uma palavra que

definisse a Matemática para eles. Percebemos que alguns se espelharam na opção

de outros por falta de iniciativa e até mesmo de opinião própria (talvez não

estivessem habituados a dar sua opinião por nunca ninguém se preocupar em pedir

ou ,divagando um pouco mais, preguiça de pensar e medo de errar).Segue a

listagem das palavras que surgiram:

Conhecimento- mais- interessante – cálculo- necessária – contas – difícil – problema

– vida – raciocínio – soma de números (uma palavra?). Um aluno respondeu:

Confusão na minha cabeça. A palavra mais citada foi calculo.Para a grande maioria

dos alunos dessa turma matemática se resume a cálculo. Considero que tiveram

sete termos positivos classificando a matemática contra três negativos. Cálculo

ficaria como neutro nessa classificação.

Muitas vezes não percebemos o quanto nossos alunos têm a contribuir com o

processo de ensinar e aprender, não parando para ouvi-los: damos nossa aula,

entramos e saímos falando e falando, falamos de novo, repetimos muito achando

que isso é garantia de assimilação por parte deles ou isso serve para desencargo de

consciência. Ainda na atividade de investigação, solicitei aos alunos na questão 12:

Em breves palavras, relate alguma experiência que julgue importante ou

interessante das aulas de matemática que você já teve.

O primeiro impacto deles foi se fechar, resistir e não responder honestamente.

Relatei uma experiência importante na minha formação enquanto aluna na primeira

série do então primário, quando eu contava com 7 anos de idade, lá pelos idos da

década de 70. Com isso, as canetas começaram se mexer e relatos que considero

riquíssimos surgiram, os mesmos certamente fornecem campo para uma forte

análise por parte da equipe pedagógica, direção pais e professores da escola. O

material produzido foi levado à direção e equipe pedagógica, posteriormente aos

professores de matemática do colégio.

Esses depoimentos serviram de subsídio para análise dos professores do

colégio, de todas as disciplinas, em reunião pedagógica para entendimento, estudo

e tomada de decisão quanto a alternativas que possivelmente amenizam as

situações apresentadas, bem como previnem atitudes impensadas ou inoportunas

futuramente no colégio.

6.1.2 ATIVIDADE II- DINÂMICA DE GRUPO - JOGO DOS QUADRADOS

QUEBRADOS

Forma-se grupos de 5 elementos ;

Cada equipe recebe um envelope. Cada componente

da equipe recebe três peças dos quebra-cabeças,

distribuídas aleatoriamente pelo professor;

Antes de se proceder à abertura dos envelopes são

apresentadas as instruções:

1. Não pode abrir os envelopes até um sinal do

Foto 1: arquivo pessoal da autora professor , válido para todos os grupos.

2. O objetivo do jogo é que ao final, cada elemento tenha um quadrado feito à

sua frente de mesmo tamanho e igual número de peças que os outros;

3. Não podem falar durante todo o tempo da execução da tarefa; nem usar

códigos não verbais para se pedir peças de quadrados;

4. Apenas podem ser dadas peças de quadrados aos colegas, os quais não

devem recusá-las.

5. A única forma de ajudarem os outros é fornecerem-lhes peças.

(Adaptado de - Coletânea de Exercícios: Da Liderança Situacional à Liderança Transformacional)7

.

Percebeu-se, no decorrer da aplicação dessa atividade, que alguns alunos

têm assimilado muito bem o espírito cooperativo, o trabalho em equipe a

colaboração. Por outro lado, o fato da dinâmica escolhida exigir que não se fale

durante sua execução, nem se gesticule ou faça sinal de alguma forma, indicando o

que o se pretende, foi o fato complicador para a turma. Dá-se pouca importância

para a percepção sensorial, para os sentimentos, e muita para o falar, o pedir.

Poucos dos nossos alunos conseguem trabalhar em equipe: o que mais acontece é

sentarem perto pra desempenhar uma tarefa. Uma dinâmica como essa possibilita

confirmar alguns tópicos básicos para o trabalho em equipe que se deseja: troca de

conhecimento, ajuda mútua, colaboração, interesse pelo próximo, espírito de equipe,

bem comum.

7 Disponível em: http://www.aprender-a-liderar.com/Dossier/colectexercicios.pdf)

6.1.3 ATIVIDADE I I I - COMPLETANDO LACUNAS

Para iniciar a atividade elaborada no material didático , requer um feedback

do conteúdo anteriormente estudado, pré-requisito ao estudo da função Afim:

(conjuntos, conjuntos numéricos, grandezas, noção de função, domínio,

contradomínio, imagem, gráficos, coordenadas cartesianas). Importante observar o

conceito de função que se necessita fixar:

Segundo Caraça,a definição de função:

Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos numéricos; diz-se

que y é função de x e escreve-se y = f ( x ) , se entre as duas variáveis existe uma

correspondência unívoca no sentido x → y . A x chama-se variável independente , a

y variável dependente.( CARAÇA, 2005, p. 121).

Essa atividade foi aplicada após a apresentação de dois vídeos8 de 22 min e

55 segundos ao todo.Os vídeos atuaram como uma revisão de conteúdo para a

atividade de completar lacuna em cartazes contendo tópicos pré-requisitos. Antes,

responderam as questões abaixo:

1) As dicas apresentadas no primeiro vídeo são importantes? Qual mais chamou sua atenção?

2) Cite um exemplo de função.

3) Faça uma pequena síntese, de no máximo 10 linhas sobre os , assuntos dos vídeos.

( Duração aproximada entre os vídeos e a síntese de 50 minutos).

A classe foi dividida em equipes. Cada equipe recebeu alguns cartazes

enumerados com frases incompletas (lacunas) e também fichas contendo palavras

com as quais deveriam completar as lacunas nos cartazes que receberam. As

palavras foram entregues aleatoriamente às equipes de modo a disporem de tantas

palavras quantas lacunas lhe couberam. Havendo discordância entre a equipe

quanto a palavra que receberam não ser a necessária à sua lacuna, um membro da

equipe “negociava” com outras equipes uma “troca”, ocorrendo ajuda mútua na

execução da tarefa. Durante o processo foi permitida consulta aos cadernos e livros

da equipe. Ao final, os cartazes foram conferidos e expostos em sequência na sala

8 disponíveis em: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=257

(13’52’’) e www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=258

para, então, ser procedida a leitura de todos elucidando possíveis dúvidas e

subsidiando o trabalho a ser feito na sequência da ideia de função Afim.

Duração: Duas (2) horas-aula.

Esta forma de recapitular os tópicos importantes, foi dinâmica e descontraída,

teve empenho, esforço e pesquisa. Acreditamos que, dessa forma, dessa maneira

ele é forçado a recapitular e coordenar as idéias de uma forma concatenada, pois os

cartazes foram expostos na sequência de estudo.

6.2 SEGUNDA ETAPA

6.2.1 ATIVIDADE I

A turma foi organizada em equipe de 5 elementos conforme afinidade (

preferencialmente os mesmos que participaram do jogo dos quadrados quebrados).

Elegeram um líder, um representante para comandar e dividir os trabalhos. Cada

equipe realizou pesquisa na internet e/ou biblioteca da história das equações e as

contribuições de um povo nessa área, através de sorteio, (gregos, babilônios,

hindus, árabe,egípcios, italianos, franceses, portugueses);após apresentaram em

sala as informações, as curiosidades encontradas e as conclusões da pesquisa . O

trabalho foi relatado através de slide (no máximo 5) com a história pesquisada, e

entregue sob a responsabilidade do líder da equipe. O contexto social de cada

cultura na época indicada, favoreceu o entendimento das produções referenciadas

até hoje. Isso possibilitou uma visão da sociedade da época e como as descobertas

foram surgindo na vida das pessoas.

Elaboraram e expuseram através de slide aos demais colegas o resultado da

pesquisa e o que mais lhe chamou a atenção. Essa atividade teve o agravante de

que, nessa classe, a maioria não sabia elaborar slide, selecionar e salvar imagens,

nem montar e salvar o slide para expor. Então, foram orientados e auxiliados na

elaboração do slide, inserção de figuras, etc, de modo que alguns, dominaram

razoavelmente bem a técnica de trabalho com o BrOffice-Impress. Dentre os líderes,

foram eleitos quatro, para, sintetizar os trabalhos em uma única produção (slide)

que foi apresentada novamente a TODOS na sala de aula . As equipes seguiram

as instruções e pesquisaram em sitios sugeridos e selecionados previamente.

6.2.2 ATIVIDADE II

O passo seguinte foi leitura informativa sobre o Papiro de Rhind9 , que serviu

para elucidar dúvidas e reforçar as pesquisas apresentadas pelas equipes nos

slides. O trabalho pôde ser desenvolvido a contento, porque a escola de

implementação dispõe de sala de projeção com data show e acesso à internet, e

conseguimos a visualização de imagens e sítios selecionados previamente,

direcionando a análise e estudo para o objetivo desejado. Alguns modelos de

problemas encontrados no referido documento foram apresentados e comparados à

escrita atual, verificando a evolução do conhecimento.

6.2.3 ATIVIDADE III - Função Polinomial de Primeiro Grau

O maior desafio nessa implementação foi o de, usando a História da

Matemática e as Mídias tecnológicas, mostrar como o conteúdo Funções simbolizou

os primeiros sinais de modernização do ensino da matemática, e como por meio

das funções e gráficos podemos entender melhor vários fenômenos das ciências e

fatos da realidade.

Percebemos que os alunos chegam ao Ensino Médio sem compreender as

funções e não aplicam os conhecimentos na resolução de problemas. A

dinamicidade e a relação entre as grandezas, variável independente e dependente.

Os conceitos, a história, os caminhos do pensamento percorridos pelos

matemáticos as crises na História da Educação Matemática, devem ser dominadas

e entendidas pelo professor regente, para que ele, tendo conhecimento acima do

nível de conhecimento de seu aluno, possa dar suporte e orientação aos seus

9Documento egípcio de cerca de 1.650 a. C onde um escriba chamado Ahmes detalha a solução de 85

problemas.Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm

educandos. Precisamos possuir o conhecimento e a simbologia necessárias à

elevação do senso comum ao conhecimento elaborado científica e culturalmente.

A introdução da função polinomial de primeiro grau foi realizada após

assistirmos e analisarmos uma animação10 disponível no portal dia a dia educação.

Essa animação tem no total 50 segundos de duração e explora um exemplo de

função afim na modelagem matemática de fenômenos físicos. Bastante singela mas

muito clara e, por ser rápida, não se perde tempo e se tem uma ótima fonte visual de

exemplo.

Subsidiados pelas pesquisas realizadas e os slides produzidos, partimos da

observação de como as equações eram resolvidas através de símbolos e

escolhemos dois problemas do papiro estudado para refazer os cálculos:

“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.

Chamamos a atenção para a expressão Aha, no problema, que indica o valor

desconhecido, e que atualmente esse problema seria escrito com o auxílio de letras,

as mais comuns x, y e z. Vimos a representação do problema utilizando

letras: x + x/7= 19. Como verificamos também na atividade da etapa anterior,

no papiro de Rhind ( ou de Ahmes ) consta uma coleção de problemas que eram ,

provavelmente usados para treinar jovens escribas no Egito Antigo. Muitos

problemas eram bastante simples, outros bem complicados. Vejamos um simples, o

de número 26 : “Uma quantidade mais um 1/4 dela dá 15. Qual é a quantidade?”

x + 1/4x = 15 (essa forma de escrever apareceria num futuro bem longínquo).

Os escribas eram instruídos a resolver usando o que hoje chamamos de Método

da Falsa Posição: é proposta uma resposta que não se espera seja correta, mas que

torna os cálculos fáceis. Usa-se o resultado encontrado, o incorreto para descobrir o

número pelo qual precisamos multiplicar nossa tentativa para obter a resposta certa.

Vejamos agora como era resolvida esse problema, mostrando os passos

presentes no papiro, seguidos de um comentário. "Tome-se o 4 e então, se 1/4 dele

dá 1 o total é igual a 1". Ahmes começa, neste caso, por dar uma estimativa para x,

atribuindo-lhe o valor 4 de modo a anular a fração. Depois obtém 4 + 1 =5. "Divida-

se 15 por 5 e dá 3". Para encontrar o valor real tem que se encontrar o número N

que multiplicado pelo valor estimado dê 15, ou seja, 5*N = 15, N=15/5 = 3.

10

Disponível em: www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9603

"Multiplique-se 3 por 4 e obtém-se 12". O resultado pretendido é o produto da

multiplicação de N pela estimativa de x. Logo a quantidade pretendida é 12.

Nas atividades sequenciais (descritas abaixo), foi solicitado que resolvessem

algumas equações que lhes foram dadas refazendo o método da falsa posição e, ao

final, que fizessem um comparativo entre s métodos: o da falsa posição e o atual de

resolução de equações.

Faça o que se pede:

1) O texto inicial fala em escribas e servidores chineses. Pesquise quais eram as atribuições de cada um deles.

2) O que são papiros e de que material eram confeccionados?

3) Resolva a equação x + x/7 = 19, usando o método da falsa posição utilizado para resolver x + 1x/4 = 15 , como mostra o texto.

4) Como resolvemos hoje tais equações? Demonstre. 5) Faça um comparativo entre os métodos: o da falsa posição e o modo atual de

resolução das equações de primeiro grau.

Fazendo um esquema no quadro, exploramos os conceitos de domínio da

função: Pensemos numa função como uma máquina. Se x estiver no domínio da

função, quando “entrar na máquina” ele será aceito como entrada, e a máquina

produzirá uma saída f (x) de acordo com a lei que define a função.

X f(x)

(entrada) (saída)

Importante observar que essa “máquina” aceita somente valores que ela

considera admissível. Pensemos como no caso de uso de um eletrodoméstico

qualquer, poderia ser um liquidificador que processa alguns produtos sem danos e

outros, não. Precisamos conhecer os valores que a “máquina” admite para que a

transformação se processe.

As funções podem ser representadas de maneiras diferentes, vejamos: (1) verbalmente (descrevendo-a com palavras); (2 )numericamente ( tabela);

Lei de formação da função

(3) visualmente (gráfico); (4) algebricamente (fórmula).

Se uma função puder ser representada das quatro maneiras, melhor se valer

delas para ir entendendo mais a função. Mas ocorre que certas funções são

descritas mais naturalmente por uma maneira ou de outra.

De pose da introdução e explorando a curiosidade dos alunos, através de

uma situação simples e corriqueira introduziu-se o conceito de função: colocamos

uma mesa e contamos os lugares disponíveis. Em seguida, colocamos mais um

mesa, unida à primeira e procedemos a contagem dos lugares disponíveis, e assim

sucessivamente para três e quatro mesas. À partir daí, tabulamos esses dados,

relacionando número de mesas e lugares disponíveis, para descobrirmos a forma

geral de relação entre as grandezas envolvidas.

Apresentamos definições de função de primeiro grau por diferentes autores e

exemplos variados. Procedemos o trabalho com os conceitos que são envolvidos na

referida função, como domínio, contra domínio, imagem. Significados dos

coeficientes a e b na função, também explorando exemplos variados e executando

exercícios propostos, ora em atividades em grupos, ora em atividades individuais,

intra e extra classe.

Particularmente, no estudo do sinal da função de primeiro grau,explorado na

situação seguinte:

Na quitanda do seu Agenor, da avenida principal de nossa cidade, vendem-se

goiabas. Na compra de um lote de goiabas, ele gasta R$ 200,00. Como cada goiaba

é vendida a R$ 0,80, ele deseja saber quantas goiabas devem ser vendidas para

que haja lucro no final da venda.

Observe que o resultado final ( receita menos o custo) é dado em função do número

x de goiabas vendidas e a lei da função é f(x)= 0,80x – 200.

Vendendo 250 goiabas não haverá lucro nem prejuízo. Para x = 250, f (x)= 0 ٭

Vendendo mais do que 250 goiabas haverá lucro. Para x 250, f (x) 0٭

.Vendendo menos que 250 goiabas haverá prejuízo. Para x 250, f(x) 0 ٭

Situações assim, nos fazem dizer que fizemos o estudo do sinal da função, que

nada mais é que determinar os valores de x do domínio para os quais f(x) = 0, f(x)

0 e f (x) 0.

Vamos agora analisar essa mesma situação no gráfico:

Ficou bastante fácil o entendimento de:

Função crescente: a 0 Função decrescente: a 0

Em anos anteriores o estudo do sinal era repassado aos alunos, desvinculado

de uma situação problema e isso tornava o entendimento difícil e o domínio do

estudo era assimilado somente por alguns alunos que possuíam maior nível de

abstração. Nessa experiência percebemos o quão valiosa é a forma de trabalhar no

resultado final. Eles realmente entenderam a análise do problema e, nas questões

subsequentes, abstraíram com mais facilidade.

Para encerrar a etapa fomos ao laboratório de informática, onde, de posse de

caderno e calculadora, resolveram o experimento comida a quilo11. As dúvidas que

surgiram foram tiradas no desenvolvimento da atividade e entregues em forma de

relatório para avaliação. O seguinte passo foi a elaboração, em equipes, de

problemas similares ao resolvido no portal, para correção e troca entre equipes, que

os resolveram para fixação.

6.3 TERCEIRA ETAPA

6.3.1 ATIVIDADE I - PROBLEMAS DE APLICAÇÃO DA FUNÇÃO DE PRIMERIO

GRAU

Iniciamos assistindo um vídeo12. Nesse vídeo encontramos os assuntos

estudados até então, e funcionou como uma recapitulação breve dos temas

explorados nos exercícios desenvolvidos.

Passamos em material impresso contento sete situações problemas, onde

cada um tinha relação com outra ciência, como física, química, biologia, matemática

financiera e outras, para que resolvessem em sala e dessem continuidade em casa,

sempre tirando as dúvidas ou com a professora ou com colegas de maior afinidade.

6.3.2 ATIVIDADE II – WEBQUEST

Esta atividade13 também foi desenvolvida no laboratório de informática, em

equipe. Como dispúnhamos de pouco tempo e o material a ser explorado ainda

contemplava outras atividades interessantes, a maior parte do trabalho com a

11

Disponível em: webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/midias/experimentos/Comida_a_quilo/index.html

12 Disponível em:http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=260

13 Disponível em:

http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=8790

webquest foi desenvolvida em casa, e os alunos que não dispunham de computador

e/ou internet, ocupavam o laboratório da escola, também em turno contrário,

previamente agendado com o ADM14 local.

6.3.3 ATIVIDADE III - FAMILIARIZANDO-SE COM O GEOGEBRA

Na primeira aula com o geogebra os alunos tomaram conhecimento inicial de

como usar o programa. Receberam um material impresso contendo atividades

introdutórias que foram desenvolvidas em aulas seguintes

O material impresso continha passos de como proceder a verificação dos

problemas resolvidos no caderno, e após a resolução no computador, os resultados

eram conferidos com as respostas do caderno. Foram realizadas algumas atividades

de reforço utilizando o software. No decorrer do desenvolvimento das atividades,

percebemos que alguns alunos não estão familiarizados com o uso do computador

como ferramenta e tivemos bastante trabalho de acompanhamento com eles.

6.4 QUARTA ETAPA

6. 4. 1 QUESTIONÁRIO PÓS- INTERVENÇÃO

Assim como os questionários aplicados no início da implementação, esse

aplicado no final do período de implementação serviu como subsídio para a

avaliação do trabalho feito. Os comentários relevantes apontados pelos alunos,

foram posteriormente analisados e são indicativos de que a inclusão proposta de

trabalhar com a história da matemática e as mídias tecnológicas surtem efeito

positivo na aprendizagem.

14

Auxiliar administrativo encarregado do laboratório de informática.

As atividades aplicadas em sala de aula, permitiram que os estudantes

ampliassem seu campo conceitual. Isso subsidiará o indivíduo no trabalho com as

novas informações que recebem, permitindo interpreta-las e seleciona-las conforme

a situação. A partir da formação de conceitos supõe-se que o estudante conseguirá

aprender princípios, incluindo regras e axiomas, e posteriormente resolver

problemas que envolvam esses conceitos e princípios, ampliando seu conhecimento

estrutural.(BRITO,2005,p.80).

Outro fator, muito evidente hoje em dia, é a interferência das atitudes do

professor de matemática nas atitudes de seus alunos. A forma negativa de perceber

e trabalhar com a disciplina, usando de coerção,castigos, “sermões” ,ameaças, torna

o comportamento do estudante aversivo ao estudo, dessa e qualquer outra

disciplina. Cabe ao professor passar uma visão positiva e harmônica da disciplina,

focando no aprendizado livre de fatores traumáticos e negativos, pois a matemática

influencia a sociedade como um todo e tem relação direta com inúmeras áreas do

conhecimento. Trabalhamos com situações motivadoras, interessantes e

desafiadoras, deixando que os alunos interagissem com o objeto de estudo e

construíssem significativamente o conhecimento chegando a abstrações mais

complexas, tendo, certamente, atitudes positivas em relação à matemática.

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Muitas são as vezes em que nós professores de matemática, apresentamos

os conteúdos de forma expositiva transcrevendo as definições e propriedades,

forçando o aluno a ser simplesmente um mero receptor desse conteúdo, não

deixando nada para ele “descobrir”.

Ao se levar para sala de aula, um conteúdo organizado, de forma sequencial

e lógica, iniciando a aula com situações desafiadoras e motivadoras, guiando o

aluno a descobrir os significados e relações entre os conceitos envolvidos e os

procedimentos relacionados para se alcança-los e mostrando a relação com as

outras disciplinas escolares, a aprendizagem se dá de maneira significativa e de

forma clara, “descobrindo” uma matemática menos aterrorizante.

Se quisermos que a aprendizagem seja efetiva, é importante que o ensino

seja dado de um modo tal que esta aprendizagem tenha significado, porque

mecanicamente não se garantirá eficiência.As atividades devem levar em

consideração: aprendibilidade, utilidade, validade, generalidade, importância,

estrutura, perceptibilidade de exemplos e numerosidade de exemplos, sendo estes

atributos os determinantes da maneira como se dará a aprendizagem.

Com as Tecnologias podemos abrir a sala de aula e ver o mundo e mediar

seu conhecimento. Elas permitem obter diferentes formas de representação da

realidade, de forma mais abstrata ou concreta, mais estática ou dinâmica, mais

linear ou paralela, mas todas elas, combinadas, integradas, possibilitam uma melhor

apreensão da realidade e o desenvolvimento de todas as potencialidades do aluno ,

dos diferentes tipos de inteligência, habilidades e atitudes.

As tecnologias oferecem várias formas de captar e mostrar o mesmo objeto,

representando-o sob ângulos e meios diferentes: pelos movimentos, cenários, sons,

integrando o racional e o afetivo, o dedutivo e o indutivo, o espaço e o tempo, o

concreto e o abstrato, o real e o virtual . Isso tudo, aliado à História da Matemática

usada como recurso didático possibilita entender o passado, compreender a

construção do conhecimento inerente a uma época, com a visão holística

necessária, inter-relacionando os acontecimentos, épocas e dados históricos. É uma

forma de interdisciplinaridade coerente e real, pois não há como separar os

conhecimentos produzidos dos acontecimentos de época nas quais foram surgindo.

Deveria ocorrer uma análise do currículo e programas dos cursos para

formação de docentes de modo a propiciar que ocorra mudanças substanciais, em

termos de conhecimento, visto que se atuaria na base da formação inicial. O

conteúdo em si a ser ensinado desde as séries iniciais até as maneiras mais efetivas

de como trabalhar, usando recursos adequados, fazendo com que eles desenvolvam

atitudes positivas com relação à matemática.

Boa parte dos estudantes apresentam dificuldades para entendimento

dos conceitos matemáticos. Por conta disso, é necessário o uso de uma diversidade

de meios pedagógicos, e o ideal é que esses meios sejam modernos e de acordo

com a sociedade atual. Hoje temos à nossa disposição os mais diversificados

softwares, programas e equipamentos tecnológicos voltados à Educação.

Considerando que as mídias tecnológicas já estão presentes no dia a dia da maioria

dos nossos estudantes, e algumas delas presente na escola, e também diante de

uma sociedade cada vez mais tecnológica, se faz indispensável o uso de

tecnologias na escola. A utilização destes recursos, aliados à História da Matemática

pode deixar a aula mais atrativa e contribuir para tornar significativa a aprendizagem.

A proposta de intervenção mostrou-se uma oportunidade ímpar de realizar

uma retomada no fazer pedagógico, reformulando o uso da hora atividade, muito

restrita diga-se de passagem, mas que pode ser amplamente difundida como

momento de busca e disseminação de saber do professor. Sem a oportunidade do

PDE, não ingressaríamos por esse rumo de reciclar conceitos, técnicas e teorias

vistas somente no momento da formação acadêmica ou capacitações estanques

realizadas ao longo da carreira docente. O constante preparar das aulas adentra por

um caminho de mesmice ou acomodação, justificado pela constante falta de tempo e

excesso de tarefas a serem realizadas, com burocracia inerente à nossa função e a

experiência que anos de prática nos trouxe. A velha chama da vocação ao

magistério que um dia estava lampejante voltou a brilhar e sentimo-nos com uma

enorme capacidade de inovação e melhor, de acompanhar o desenvolvimento da

sociedade e suas tecnologias, buscando situar a escola e o processo de ensinar e

aprender atualizado e contagiante.

Com o crescimento intelectual de nossos alunos, conseguiremos uma

mudança significativa em nossas comunidades. Pessoas informadas, detentoras de

conhecimento jamais serão lesadas em seus direitos ou negligentes com seus

deveres.

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