ÍNDICE · Números primos 23 ... logo, 125 - 90 = 35 é o número de pessoas que estão fora do...

MATEMÁTICA - PREPARATÓRIO CMRJ - PEDRO II - ESCOLAS TÉCNICAS - 6º ANO 0

ÍNDICE

Conjuntos 01 Sistema de numeração decimal e romano 08 Conjunto dos números naturais 12 Resolução de sistemas simples 21 Múltiplos e divisores 22 Números primos 23 Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum 25 Frações 30 Números decimais 43 Medida de comprimento 52 Medida de superfície 54 Medida de capacidade 55 Medida de Volume 56 Medida de massa 56 Áreas do retângulo, quadrado e do triângulo 57 Volume do paralelepípedo e do cubo 60 Unidades de tempo 61 Provas 64 Respostas dos exercícios e das provas 106


Conjuntos Noções de conjunto

É um grupo de coisas, pessoas, números, bichos, etc, normalmente de mesma espécie, re-presentado entre chaves. Denominaremos por letras maiúsculas: A, B, C, D,... .

Exemplos: - Conjunto das letras da palavra CADERNO = {C, A, D, E, R, N, O} = {A, C, D, E, N, O, R},

colocaremos sempre em ordem crescente. - Conjunto dos números pares inteiros e positivos: A = {2, 4, 6, 8,...}. Os três pontinhos,

significa dizer que o conjunto continua indefinidamente. Note que o zero (0) não é par, não é ímpar, não é positivo e não é negativo. Ele é neutro.

- Conjunto dos números ímpares, inteiros e positivos, maiores que 4 e menores que 11: A = {5, 7, 9}

- Conjunto dos números pares, inteiros e positivos, maiores ou iguais a 5 e menores ou i-guais a 12: A = {6, 8, 10, 12}.

Obs: Não escrevemos elementos repetidos em um conjunto: A {1, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Símbolos usados:

< - menor que > - maior que ≤ - menor ou igual a ≥ - maior ou igual a Exemplo: - Escreva o conjunto dos números x, inteiros e positivos, tal que: x > 4 = {5, 6, 7, 8, ...} x < 8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x ≤ 4 = {1, 2, 3, 4} x ≥ 2 = {2, 3, 4, 5, ...} 3 < x < 8 = {4, 5, 6, 7}. Sempre que um valor estiver entre dois outros valores, representa-

remos sempre assim: a < x < b = x maior que a e menor que b. a ≤ x < b = x maior ou igual a a e menor que b. a < x ≤ b = x maior que a e menor ou igual a b. a ≤ x ≤ b = x maior ou igual a a e menor ou igual a b.

Elementos A cada componente de um conjunto, chamamos de elemento. No conjunto A = {2, 4, 6, 8,...}, 2 é um elemento, 4 é um elemento, 8 é um elemento, etc. Se 2 é elemento do conjunto A, então ele pertence a A e escrevemos 2 ∈ A. Se 5 não é

elemento do conjunto A, dizemos que 5 não pertence a A e escrevemos 5 ∉ A. Símbolos usados: ∈ - pertence a ∉ - não pertence a Usamos estes símbolos quando relacionamos elemento com conjunto. n(A) ou #A significa número de elementos de A. Exemplo: No conjunto B = {3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12} temos que n(B) = #B = 8. Atenção: Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Exemplos: - Biblioteca é um conjunto de livros, logo os livros são elementos da biblioteca. Mas um li-

vro é um conjunto de páginas. Acabamos de ver que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.

- Seja A = {2, 3, {4, 5}, 6, 7}. Os elementos de A são: 2, 3, {4, 5}, 6 e 7. Veja que {4, 5} é um conjunto e é elemento de A.


Conjunto unitário e conjunto vazio Conjunto unitário - é o conjunto que possui um único elemento. Exemplos: - Conjunto formado pelas vogais da palavra PAR = {A}. Tem um elemento. - Qual dos conjuntos é unitário? A = {3, 4, 5}, B = {35} e C = {7}. B e C, pois eles têm um elemento. Conjunto vazio - é o conjunto que não tem elementos. Exemplo: - Conjunto dos estados brasileiros cujos nomes começam com a letra z. Não tem estado brasileiro cujo nome começa com a letra z, logo é um conjunto vazio. Representação do conjunto vazio: { } ou ø. Cuidado! { ø } não é conjunto vazio e sim unitário, cujo elemento é o conjunto vazio.

Conjunto finito e conjunto infinito Conjunto finito - quando conseguimos contar seus elementos. Ex: A = {1, 2, 3, 4} n(A) = 4 Conjunto infinito - quando não conseguimos contar seus elementos. Ex: A = {1, 2, 3, 4,...} n(A) = ???, não temos como contar. Conjunto limitado - quando conhecemos o primeiro, último elemento ou os dois. Ex: A = {1, 2, 3, 4,...}, conhecemos o primeiro elemento. A = {..., 1, 2, 3, 4}, conhecemos o último elemento. A = {1, 2, 3, 4}, conhecemos o primeiro e o último elementos. Limitado à direita - quando conhecemos o último elemento e não conhecemos o primeiro

elemento. Ex: A = {..., 1, 2, 3, 4}. Limitado à esquerda - quando conhecemos o primeiro elemento e não conhecemos o último

elemento. Ex: A = {1, 2, 3, 4,...}. Conjunto ilimitado - quando não conhecemos o primeiro e o último elementos.

Subconjunto Se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B, dizemos que A é

subconjunto de B, ou seja, A está contido em B e representamos por A ⊂ B ou B ⊃ A. Símbolos: ⊂ - está contido ⊃ - contém ⊄ - não está contido ⊃ - não contém Usamos estes símbolos quando relacionamos conjunto com conjunto. Atenção para os conjuntos que são elementos de outro conjunto. Obs: a abertura do símbolo estará sempre voltada para o conjunto que possuir maior nú-

mero de elementos. Pense no seguinte: pegue o conjunto com menos elementos (A) e coloque dentro do outro

(B). Se o conjunto B não se alterar, então A⊂ B. Exemplos: A = {2, 3, 4, 7, 8} e B = {3, 4, 8} - A⊃ B ou B⊂ A. A tem mais elementos que B. A = {2, 3, 4, 7, 8} e B = {3, 4, 5, 8} - A ⊃ B ou B⊄ A. A tem mais elementos que B e 5∈ B,


A = {1, 3, 5, 8, 10} Diagrama de Venn 1 A 3 10 5 8

U A B C

mas 5∉ A. O conjunto vazio ({ } ou ø) é subconjunto de todos os conjuntos. Vamos encontrar os subconjuntos de A = {1, 2, 3}: ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Note que achamos número de elementos.

Com nenhum elemento, com 1 elemento, com 2 elementos, com 3 elementos, com 4 elementos, até o número de elementos do conjunto. No caso, n(A) = 3, paramos em 3 elementos.

Ao conjunto formado pelos subconjuntos de A chamamos de CONJUNTO DAS PARTES DE A ou PARTIÇÃO DE A e representamos por P(A).

Teremos no exemplo: P(A) = {ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Note que cada conjunto que forma

P(A) é elemento de P(A). O que nos mostra, mais uma vez, que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.

Poderemos achar quantos elementos tem P(A) sem encontrá-los: n(P(A)) = 2n, onde n é o número de elementos de A.

Exemplo: Calcule quantos subconjuntos possuem os conjuntos abaixo: A = {1, 2, 3, 4} - n(A) = 4 → 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 subconjuntos D = { } - n(D) = 0 → 20 = 1 subconjunto

Conjunto universo (U) É o conjunto que contém todos os conjuntos de um problema. Ex: Dados: A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 5, 7, 8} e D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. D = U porque A ⊂ D, B ⊂ D e C ⊂ D. No Diagrama de Venn, temos: Note que A, B e C estão contidos em U, logo U é o

conjunto universo.

Operações com conjuntos Usaremos dois tipos de representação: A = {1, 3, 5, 8, 10} e o conhecido Diagrama de Venn

que é a representação cercando os elementos do con-junto através de uma figura geométrica.

As operações são: União ( )∪ Interseção ( )∩ Diferença (-) Complementar ( )ACB

São todos os elemen-tos, comuns e não

comuns, de todos os conjuntos.

A B A∪ B

São os elementos comuns a todos os

conjuntos.

A B A∩ B

O que tem no primei-ro conjunto e não tem

no segundo. A B A - B

Se um conjunto A es-tá contido em B,

chamamos de com-plementar de A em B

ao conjunto B - A. B A

CBA = B - A


A B

C

A B

C

A exceção do complementar, que coloca uma condição, as operações darão como resultado um conjunto. No caso do complementar, se o conjunto de cima não estiver contido no de baixo, o resultado será NÃO EXISTE COMPLEMENTAR. Chamamos de conjuntos disjuntos aos conjuntos cuja interseção é o conjunto vazio. Quando forem três conjuntos, a representação no Diagrama de Venn será:

A 2 B 1 3 Atenção para numeração e 5 seu significado. 4 6

7 C

1 → A - (B∪ C) 2 e 5 → A∩ B 3 → B - (A∪ C) 4 e 5 → A∩ C 5 → A∩ B∩ C 5 e 6 → B∩ C 7 → C - (A∪ B) 2 → (A∩ B) - C e por aí vai. Exemplo: Dados A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}, B = {1, 8, 9, 10}, C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} e D = {2, 3, 5}, calcule: a) A∩ B∩ C = {8} b) A∩ D = {2, 3, 5} c) B∩ D = { } = ø d) A - B = {2, 3, 5, 6, 8} e) D - C = {2, 3} f) (A∩ B)∩ (C∪ D) = {1, 8}∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {8} g) (A - B) ∪ (B - A) = A ∆∆∆∆ B = {2, 3, 5, 6} ∪ {9, 10} = {2, 3, 5, 6, 9, 10} h) CAD = A - D = {1, 6, 8}, isto porque D ⊂ A. i) CCB = NÃO EXISTE, pois B ⊄ C Marque no diagrama de Venn os conjuntos abaixo:

(A∩ B)∩ (C∪ B) [(A - B) ∪ (B - C)] ∩ (C - B) A 2 B 1 3 5 4 6

7 C

A∩ B corresponde às regiões 2 e 5 C∪ B corresponde às regiões 2, 3, 4, 5, 6 e 7. A interseção dessas regiões são as regiões 2 e 5. Logo:

A 2 B 1 3 5 4 6

7 C

A - B corresponde às regiões 1 e 4 B - C corresponde às regiões 2 e 3 (A - B) ∪ (B - C) corresponde às regiões 1, 2, 3 e 4 C - B corresponde às regiões 4, e 7 A interseção dessas regiões é a região 4. Lo-go:

Vamos resolver dois problemas: 1. Em uma região com 125 pessoas, são lidos 2 jornais. 20 pessoas lêem somente o jornal

A, 40 pessoas lêem só o jornal B e 30 pessoas lêem os dois jornais. Responda: a) quantas pessoas não lêem os jornais A e B. b) quantas pessoas não lêem o jornal A.


A B 20 30 40 35

A 10 B 60 100

10 20 30

50 C

Vamos colocar os dados no diagrama de Venn. Começaremos sempre pela interseção dos conjuntos. Veja que no diagrama temos 20 + 30 + 40 = 90 que é menor que o total de pessoas. logo, 125 - 90 = 35 é o número de pessoas que estão fora do diagrama.

Respostas

a) 35 pessoas b) 40 + 35 = 75 pessoas

2. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três produtos A, B e C, obteve-se o seguinte quadro:

Produtos A B C A e B B e C A e C A, B e C Consumidores 100 150 110 20 40 30 10

a) Quantas pessoas foram entrevistadas na pesquisa? b) Quantas pessoas lêem apenas um jornal? Vamos montar o diagrama de Venn: Respostas: a) 60 +10 + 100 + 10 + 20 + 30 + 50 = 280 pessoas b) 60 + 100 + 50 = 210 pessoas

Exercícios: 1. Utilize os símbolos ∈,∉,⊄,⊂, ⊃ e ⊃:

a) 2 ___ {1, 2} b) 3 ___ {1, 2} c) ø ___ {2, 3} d) {1,2} ___ {1, 2, 3} e) {1} ___ {1, 2}

f) {1, 2, 3} ___ {1,3} g) ø ___ {ø, 1} h) {1} ___ {{1}, 2, 3} i) {0} ___ {{0}, 1, 2} j) {1,{2}} ___{1, {2}, 3}

k) {{1, 2}} ___ {{1}, {2}, {1, 2}} l) {ø, {1}} ___ {0, {{1}}, 2} m) {0} ____ {0, {0}, ø} n) {2, 3} ____ {2, 3}

2. Coloque ∈ ou ∉, sendo: A= {a,e,i,o,u} B= {b,c,d,i,g} a) a ___ A b) c ___ A c) g ___ A

d) e ___ B e) f ___ B f) u ___ A

g) d ___ A h) o ___ A i) f ___ A

j) i ___ B k) o ___ B l) g ___ B

3. Complete com ∈ ou ⊂: a) 1 ___ {1, 2} c) {1, 2} ___ {1, 2, 3} e) {1} ___ {0, {1}} b) 1 ___ {1} d) {1} ___ {1, 2, 3} f) ø ___ {ø, {1}}

4. Qual das sentenças abaixo é falsa, sendo, C= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a) 0 ∈ C b) 8 ∉ C c) 9 ∈ C d) 2 ∈ C e) 12 ∉ C

5. Se A={1, {9}, 9, 2}, assinale a afirmação errada: a) 1 ∈ A b) 9 ∈ A c) {9} ∈ A d) {9} ⊂ A e) 2 ⊂ A

6. Qual dos conjuntos abaixo é unitário? a) A: das letras da palavra mini c) C: das cores da camisa do flamengo b) B: das vogais da palavra série d) D: da capital do Brasil

7. Marque a(s) verdadeira(s): a) 1, 2 = {2, 1, 0} c) V é a representação do conjunto vazio b) {4, 8} e {5, 6} são disjuntos; d) {1, 2} é unitário e) {1, 2, 3, ...} é infinito


B A

B A

B A

C

B A

C

4 B A

2 1 3

C A B 2 0 4 1 5

3

8. A representação do conjunto unitário cujo elemento é o zero, é: a) {ø} b) {0} c) {{0}} d) 0 e) {1, 0}

9. Coloque ⊄,⊂, ⊃ e ⊃: a) {1, 2, 3} ___ {5, 2, 6, 1, 3} c) {0, 1, 2, 3, ...} ____ {10, 11} b) {a, b, c, d, e,f} ____ {d, e, f, g} d) {3, 6, 9} ___ {2, 4, 5, 8, ...}

10. Determine as seguintes interseções: a) {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 3, 5, 7} c) {2, 4} ∩ {8, 5} b) {1, 4, 7} ∩ {1, 3, 5, 9} d) {2, 5, 6} ∩ ø

11. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8}, então: a) A∪ B = b) A∩ B = c) A - B = d) B - A =

12. Sejam os conjuntos M = {2, 3, 4}, N = {3, 4, 5, 6} e O = {0, 1, 2, 3, 4}. Achar (M∪ O)∩ N. 13. Hachuriar, em cada diagrama, a região correspondente a operação dada.

a) A∩ B∩ C c) A∪ (B∩ C) e) A∩ B B

A

C

b) A∩ (B∪ C) d) A∪ B f) (A∪ B)∩ C B

A

C

14. Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 4}, C = {1, 4} e D = {0, 2, 5}, calcule: a) C∪ D b) A∪ B∪ D c) A∩ B d) C∩ D e) B - C f) C - A

g) B - A h) D - C i) CAB j) CCB k) CAD l) CAC

m) A ∆ B n) B ∆ C o) C ∆ D p) (A∪ C) ∩ B q) (B∪ D) ∩ C r) (A - B)∪ (B∩ C)

s) (B - A)∩ (D - C) t) (A∩ B)∪ (C∩ D) u) (C - B)∩ (D - A) v) (A∪ B)∪ (C∩ D) x) (B - C)∩ (C - B)

15. Dados os conjuntos X = {1, 2}, Y = {0, 1, 2} e Z = {2, 4}, qual a alternativa que representa a expressão cujo resultado é N = {1, 2}?

a) (X∩ Y) ∪ Z b) X∩ Y∩ Z c) (X∪ Y)∩ Z d) ∅∪ (X∩ Y) 16. Considere o diagrama ao lado e determine o que se pede:

a) A c) A∪ B e) A - B g) CBA b) B d) A∩ B f) B - A h) CAB

17. Considere o diagrama ao lado e determine o que se pede: a) A c) C e) A - B g) A - C b) B d) A∩ B∩ C f) C - B h) CCA

18. Sendo M = {{a}, {b}, {a, b}}, podemos afirmar que: a) {a} ⊂ M b) {a} ∈ M c) {a} ∩ {b} ⊄ M d) a ∈ M e) {a} ∪ {b} ⊂ M


A

C

B

A B

C

A C

B

U A B I III II IV

U A II B I III V IV VI VIII

VII C

19. Considere o conjunto W = {x ∈ N / 4 ≤ x ≤ 40}, x é múltiplo de 5 e não é múltiplo de 2, o número de elementos de W é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. Se A é um subconjunto de B, então a interseção de A e B é:

a) B - A b) B∩ A c) A d) B 21. Se A e B são conjuntos, A - (A - B) é igual a:

a) A b) B c) A - B d) A∪B e) A∩ B 22. Considerando a figura ao lado, é correto afirmar que a região negrita-

da pode ser representada por: a) (B - C) ∪ (C - A) c) (C - B) ∪ (A - C) e) (C - B) ∪ (C - A) b) (A - C) ∪ (B - C) d) (C - A) ∪ (B - A)

23. Considerando a figura ao lado, é correto afirmar que a região negritada pode ser representada por:

a) (A ∪ B) ∩ C d) A - (B ∩ C) b) (A ∩ B) - A e) A - (B - C) c) (A ∩ B) - C 24. Considerando a figura ao lado, é correto afirmar que a região

negritada pode ser representada por: a) A ∩ (C - B) c) A ∩ (B - C) e) (A ∪ B) - C b) A ∪ (C - B) d) A ∪ (B - C)

25. No diagrama ao lado temos que n(A) = 10, n(B) = 15, n(A∩ B) = 3, n(U) = 30. Determine os números de e-lementos das regiões I, II, III e IV.

I - ________ III - _________ II - ________ IV - _________

26. No diagrama dado temos que n(A∩ B∩ C) = 5, n(A∩ B) = 11, n(A∩ C) = 9, n(B∩ C) = 13, N(A) = 22, N(B) = 22, N(C) = 19 e N(U) 36. Determine os números de elementos das regiões I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII..

I - ___ III - ___ V - ___ VII - ___ II - ___ IV - ___ VI - ___ VIII - ___

27. Considere três conjuntos A, B e C, tais que n(B∪C) = 20, n(A∩ B) = 5, n(A∩ C) = 4, n(A∩ B∩ C) = 1 e n(A∪B∪C) = 22. O valor de n[A - (B∩ C)] é:

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 28. Considere três conjuntos A, B e C, tais que n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A∩ B) = 8,

n(B∩ C) = 9, n(A∩ C) = 4 e n(A∩ B∩ C) = 3. O valor de n[(A∪B)∩ C] é: a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) 24

29. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de televisão favori-tos: esporte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas E N H E e N N e H E e H E, N e H telespectadores 400 1200 1080 220 800 180 100


Através desses dados, verifique: a) o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas. b) o número de pessoas da comunidade que assistem a pelo menos um dos três programas.

30. Dos 50 alunos de uma turma, 34 praticam futebol, 21 praticam natação e 5 não prati-cam nenhum desses dois esportes. Calcule quantos alunos dessa turma praticam somente futebol.

31. Num grupo de 75 pessoas, há 35 que falam Inglês, 28 que falam Francês e 17 que falam Inglês e Francês. Quantas pessoas não falam nenhum dos dois idiomas?

a) 12 pessoas b) 23 pessoas c) 29 pessoas d) 30 pessoas e) 40 pessoas 32. Em uma turma há 36 alunas, das quais 25 usam brincos, 13 usam pulseiras e 8 usam

brincos e pulseira. Pergunta-se: a) Quantas usam brincos e não usam pulseiras? b) Quantas usam brincos ou pulseiras? c) Quantas não usam brincos nem pulseiras?

33. Em uma pesquisa feita a respeito da opção do adolescente pela beleza da mulher, veri-ficou-se que num grupo de 200 rapazes:

1) 40 preferiam as louras; 5) 30 preferiam morenas e mulatas; 2) 80 preferiam as morenas; 6) 15 preferiam mulatas e louras; 3) 60 preferiam as mulatas; 7) 10 preferiam louras, morenas e mulatas. 4) 25 preferiam louras e morenas; Pergunta-se: a) Quantos preferiam apenas as louras? b) Quantos não preferiam as mulatas? c) Quantos preferiam louras e morenas, mas não mulatas? d) Quantos não preferiam nenhuma das três?

34. Foi realizada uma pesquisa entre 800 eleitores de um certo candidato. Os resultados foram os seguintes: 270 eleitores têm menos de 25 anos; 220 têm curso superior; 220 moram na Zona Sul; 120 têm menos de 25 anos e moram na Zona Sul; 110 moram na Zona Sul e têm curso superior; 130 têm curso superior e menos de 25 anos; e 70 se enqua-dram nas três características. O número de eleitores que têm 25 anos ou mais, não mo-ram na Zona Sul e não têm curso superior é:

a) 90 b) 380 c) 390 d) 400 e) 420

Sistema de numeração decimal e romano Decimal

Este sistema é chamado decimal por dois motivos: 1. Usamos os algarismos indo-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 (notem que são 10 alga-

rismos). O zero(0) é o único dito não significativo e os outros, significativos. 2. Agrupamos e reagrupamos em grupos de 10 em 10. a) dez unidades formam uma dezena. b) dez dezenas formam uma centena. c) dez centenas formam uma unidade de milhar. d) dez unidades de milhar formam uma unidade de milhão e assim sucessivamente.


Cada algarismo tem o seu valor de acordo com a posição que ele ocupa no número (Vp - va-lor posicional ou valor relativo - é dado pelo número de unidades que ele representa e valor absoluto - é dado pelo valor do algarismo, independente da posição que ele ocupa). A esta posi-ção chamamos de ordem e contamos da esquerda para direita. Veja como é: 5 3 3 2 8

1ª ordem: 8 unidades. Vp = 8 2ª ordem: 2 dezenas ou 20 unidades. Vp = 20 3ª ordem: 3 centenas ou 30 dezenas ou 300 unidades. Vp = 300 4ª ordem: 3 unidades de milhar ou 30 centenas ou 300 dezenas ou 3000 uni-

dades. Vp = 3000 5ª ordem: 5 dezenas de milhar ou 50 unidades de milhar ou 500 centenas ou

5000 dezenas ou 50000 unidades Vp = 50000 Cada grupo de três ordens, da direita para a esquerda, forma uma classe. As classes são:

3ª classe classe dos milhões

2ª classe classe dos milhares

1ª classe classe das unidades simples

9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem centenas de milhão

dezenas de milhão

unidades de milhão

centenas de milhar

dezenas de milhar

unidades de milhar

centenas dezenas unidades

5 3 3 2 8 As outras classes são: bilhão, trilhão, quatrilhão e assim sucessivamente. Observe como decompomos esse número: - 5 dezenas de milhar, 3 unidades de milhar, 3 centenas, 2 dezenas e 8 unidades. - Com algarismos: 53328 = 50000 + 3000 + 300 + 20 + 8 - Escrevemos por extenso: cinqüenta e três mil trezentos e vinte e oito. Comparando números: Comparamos os algarismos de mesma ordem, da maior para a menor. O que tiver o maior

algarismo na ordem será o maior. Ex: 123456 é maior que 123278 porque o algarismo da 3ª ordem do primeiro é maior que o

do segundo. Note que os três primeiro algarismos são iguais. É evidente que os números que tiverem maior número de ordens que outro serão maiores.

Exercícios: 1. Responda:

a) 3276 é formado por quatro números ou quatro algarismos? b) O telefone do Curso bcon é 41010991. Os símbolos que se repetem são números ou al-

garismos? c) Quantas ordens têm o número 1234578960? d) Quantas classes têm o número 2346520234? e) Qual a menor e a maior ordem do número do item d?

2. A distância entre a Terra e a Lua é de 382166 quilômetros. a) Quantas e quais são as ordens desse número? b) Quantas e quais são as classes desse número? c) Qual algarismo ocupa a ordem das dezenas de milhar? d) Faça a decomposição desse número com algarismos. e) Escreva-o por extenso.


3. Faça o quadro de ordens do número formado por 5 dezenas de milhão, 4 unidades de mi-lhão, 6 centenas de milhar, 5 dezenas de milhar, 5 centenas, 8 dezenas e 3 unidades.

a) Quantas classes ele tem? b) Quantas ordens ele tem? c) Trocando de posição o algarismo das unidades com o algarismo das unidades de milhão,

que número será formado? d) Como escrevemos por extenso o número encontrado no item c?

4. Faça a decomposição com algarismos e escreva por extenso os números dizendo quantas ordens e quantas classes eles têm.

a) 123854 b) 30245 c) 810051 d) 351009 e) 401030 5. Complete com = (igual a), > (maior que) ou < (menor que):

a) 1245 ____ 1254 c) 99999 ____ 100000 e) 676999 ____ 677000 b) 13808 ____ 13495 d) 730100 ____ 729345 f) 54786 ____ 54786

6. Qual o menor e o maior número ímpar de sete ordens. 7. Qual o menor e o maior número formado por seis algarismos diferentes. 8. Usando somente os algarismos 1, 3, 4, 7 e 0, sem repeti-los, qual é o menor e o maior nú-

mero par que podemos escrever? 9. Em cada caso, qual o menor dos números:

a) 3 dezenas de milhar ou 1 centena de milhar. b) 1 unidade de milhar ou 5 centenas ou 90 dezenas.

10. Dê o valor posicional e o valor absoluto dos algarismos destacados nos números abaixo: a) 35 ___ ___ d) 2345 ___ ___ g) 17456 ___ ___ b) 450 ___ ___ e) 1004 ___ ___ h) 200045 ___ ___ c) 1287 ___ ___ f) 10327 ___ ___ i) 200035 ___ ___

11. Escreva o valor posicional e o valor absoluto de cada algarismo nos casos abaixo: a) 846 b) 23483

12. Responda ao que se pede: a) Qual o menor número de três algarismos? E o de três algarismos significativos? b) Qual o menor número de três algarismos distintos? E o de três algarismos significati-

vos e distintos? c) Quanto vale a soma do menor número de 4 algarismos distintos com o maior número de

4 algarismos significativos? d) Quantas ordens e classes tem o número 398526363? e) Quantas dezenas tem o número 36473? E centenas?

13. Para escrever os 142 primeiros números naturais, quantos algarismos são utilizados? 14. Uma unidade de 8ª ordem equivale a:

a) 100 unidades de 5ª ordem c) 8 unidades de 1ª ordem b) 10000 unidades de 4ª ordem d) 80000000

15. Qual a diferença entre o valor relativo do algarismo de 3ª ordem e o valor absoluto do algarismo de 5ª ordem do número 36427?


16. Um número do sistema decimal é formado por dois algarismos, sendo x o algarismo das unidades e y o algarismo das dezenas. Se colocarmos o algarismo 2 à direita desse núme-ro, o novo número será:

a) yx + 2 b) x + y + 2 c) 200 + 10y + x d) 100x + 10y + 2 e) 100y + 10x + 2 17. Ao escrever os números inteiros de 1 a 537, quantas vezes figurou o algarismo 8? 18. 50000 dezenas equivale a meia unidade de:

a) 4ª ordem b) 5ª ordem c) 6ª ordem d) 7ª ordem 19. No número 758014, quanto vale o produto entre o algarismo de maior valor absoluto e o

de maior valor relativo? 20. Para numerar as páginas de um livro foram usados 894 algarismos. Quantas páginas tem

esse livro?

Romano Sistema desenvolvido pelo povo romano que tem como símbolos, em letra maiúscula, I, V,

X, L, C, D e M. Nosso sistema 1 5 10 50 100 500 1000

Romano I V X L C D M Algumas regras do sistema romano: 1. Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos no máximo 3 vezes. Exemplos: II = 1 + 1 = 2 XXX = 10 + 10 = 20 CCC = 100 + 100 + 100 = 300 MM = 2000 2. Os símbolos V, L, e D não podem ser repetidos. 3. Quando um símbolo é colocado à esquerda de outro de maior valor, seu valor deve ser

subtraído deste. O I só pode ser colocado antes do V e do X, o X só pode ser colocado antes do L e do C, e o C só pode vir antes do D e do M.

Exemplos: IV = 5 - 1 = 4 XL = 50 - 10 = 40 CM = 1000 - 100 = 900 4. Quando um símbolo é colocado à direita de outro de valor igual ou maior, somamos os

valores desses símbolos. Exemplos: XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13 CL = 100 + 50 = 150 DCC = 500 + 100 + 100 = 700 5. Cada traço horizontal sobre um símbolo indica que multiplicamos esse símbolo por 1000.

não se coloca traço pra que o resultado seja um número que podemos encontrar sem a utiliza-ção do traço ( I = 1000, I I = 2000).

Exemplos: I = 1000000 D = 500000 XXXVL = 50035 Exercícios:

1. Represente os números abaixo em romanos: a) 19 b) 24 c) 346 d) 1189

2. Complete a tabela: Nosso sistema 18 995 325 234567 5346

Romano XXXIX MDXCI 3. Represente os números abaixo, em romanos:

a) 159 b) 26

c) 1900 d) 2264

e) 648 f) 57

g) 1985 h) 3149

i) 925 j) 85

l) 1554 m) 4520


4. Escreva com símbolos romanos o maior número indo-arábico que pode ser escrito com três algarismos.

5. Represente com algarismos os seguintes números romanos: a) MCMLXXXI b) CXXVIII

c) XXIII d) LXV

e) DCC f) XLVI

g) MMD h) XLIX

i) VDCC j) CCCXXIV

6. Escreva com algarismos indo-arábicos: a) XXVII b) XCIV c) CCCL d) MDXXXIX e) MMCDXC f) MMMCMXCIX

7. Escreva usando numeração romana a) João Paulo segundo b) D. Manuel terceiro

c) Henrique oitavo d) Capítulo vinte e um

e) Paulo sexto f) Século vinte

8. Escreva com algarismos indo-arábicos: a) MCCXXXIV b) MMDCIX

c) MMMCDXI d) CDIXLI

e) DCCXLIILI f) CCXXXVVII

9. Complete a tabela: romano indo-arábicos indo-arábicos romano indo-arábicos romano indo-arábicos romano

26 81 1000000 LXXIII LVII DCII

505 7200 7014219 DCCCII CX MMM

1034 30007 3238 MCDIX V IV

Conjunto dos números naturais (N) Trabalhamos com o sistema de numeração decimal, logo usaremos os algarismos 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9 (dez algarismos) para formarmos todos os números deste sistema. Algarismo - cada um dos sinais que, juntos ou não, representam um número. Cada sistema

de numeração terá os seus algarismos. Sistema de base 2 3 4 ...

Algarismos usados 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 Número - Ao juntarmos ou não algarismos, formamos números. O número representa

quantidade. Numeral - que designa um número. Os números naturais são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... Representamos por N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Operação com números naturais Adição

Existem duas idéias ligadas à adição: a) juntar quantidades Em um galinheiro tem 5 galinhas e 3 galos. Quantas aves têm no galinheiro? Juntamos tudo e temos 8 aves. b) acrescentar uma quantidade a outra Letícia tem 9 figurinhas e ganha 5 figurinhas. Com quantas figurinhas ela ficou? Juntamos tudo e ela ficará com 14 figurinhas.


Para resolver estes problemas estamos usando a adição ou soma. Esta operação será re-presentada pelo símbolo +.

No galinheiro temos 5 + 3 = 8 aves e Letícia terá 9 + 5 = 14 figurinhas. Vamos ver alguns exemplos de adição ou soma:

parcelas soma ou total 234 + 13 = 247 234 Colocamos as mesmas ordens uma embaixo da outra e adicionamos + 13 as ordens 247 1275 + 852 = 2127 1 1 1275 Note que ao somarmos os algarismos de 2ª ordem encontramos 12 que é + 852 maior que 10 logo passamos 1 unidade para a ordem seguinte. 2127 Passamos a ter 8 + 3 = 11. Passamos 1 unidade para a ordem seguinte. Passamos a ter 1 + 1 = 2, logo o resultado é 2127.

32 + 189 + 437 = 658 1 1 32 Faremos da mesma forma, independente da quantidade de números 189 + 437 658

Note que todos os termos antes da igualdade chamam-se parcelas e depois da igualdade soma ou total. Propriedades da adição:

a) Comutativa - a ordem das parcelas não altera a soma. 32 + 45 = 77 ou 45 + 32 = 47. A ordem das parcelas não alterou a soma. b) Associativa - Se juntarmos (associarmos) duas ou mais parcelas de uma soma e somar-

mos as outras, encontramos a mesma soma. 32 + 43 + 25 = 100 ou (32 + 43) + 25 = 75 + 25 = 100 c) Elemento neutro - quando uma das parcelas é 0 (zero) a soma é igual a soma das outras

parcelas. Ao somarmos com 0 (zero), não alteramos a soma. O 0 (zero) é o elemento neutro da adição.

Subtração São três as situações que envolvem a subtração: a) Tirar uma quantidade de outra. Carlos tinha 5 figurinhas e deu 2 para seu irmão. Com quantas figurinhas ele ficou? Subtraímos o menor do maior e encontramos 3 figurinhas. b) Comparar duas quantidades para saber quanto uma tem a mais que a outra. Num saco temos 9 bolas e em outro saco temos 4 bolas. Quantas bolas o primeiro saco

tem a mais do que o segundo? Subtraímos o menor do maior e encontramos 5 bolas. c) Comparar duas quantidades para saber quanto falta para uma se igualar a outra. Numa vasilha cabem 13 bolas e está com 6 bolas. Quantas bolas faltam para completar a

vasilha? Subtraímos o menor do maior e encontramos 7 bolas.


Para resolver estes problemas estamos usando a subtração ou diferença. Esta operação será representada pelo símbolo -.

234 - 13 = 221 234 minuendo Colocamos as mesmas ordens uma embaixo da outra e - 13 subtraendo subtraímos as ordens 221 resto ou diferença

1284 - 896 = 388 1284 Notemos que não podemos subtrair 6 de 4. Pediremos 1 emprestado da ordem - 896 anterior e assim sucessivamente. 388 14 - 6 = 8; 8 antes do 4 passa a ser 7. 7 - 9 não pode, então teremos 17 - 9 = 8. Antes do 8 passa a ser 1. 1 - 8 não pode, então teremos 11 - 8 = 3. Antes do 2 passa a ser 0. Resultado = 388.

Adição e subtração: 32 - 5 + 48 - 37 = 38 Primeiro operamos todos os sinais +. Quando não tiver sinal é +. Ex: 4 = +4 32 + 48 = 80 Depois adicionamos todos os sinais -. 5 + 37 = 42. Depois subtraímos o + do -. 80 - 42 = 38. Com a prática poderemos fazer direto: 32 - 5 = 27 + 48 = 75 - 37 = 38 Expressões numéricas:

Chamamos de expressões numéricas aquelas que são divididas por colchetes, chaves e pa-rênteses.

Ex: Vamos resolver a expressão [23 - {4 + (3 + 5 - 2) + 3} - 2] = 8. Começaremos sempre de dentro para fora e quando tiver o sinal - antes trocamos o sinal

do que encontramos. (3 + 5 - 2) = 6 Teremos: [23 - {4 + 6 + 3} - 2]. Antes dos parênteses o sinal é +, então conservamos o si-

nal. {4 + 6 + 3} = 13. Teremos: [23 - 13 - 2]. Antes dos colchetes o sinal é -, então trocaremos o sinal. 23 - 13 - 2 = 8 Exercícios:

1. Efetue as operações pedidas: a) 6755 + 4197 b) 117088 + 75649 c) 3277 + 4567 + 678 d) 437 + 5678 + 123478

e) 5438 + 45687 + 1345 + 567 f) 34567 - 987 g) 23478 - 3459

h) 3486 - 1235 i) 2345678 - 34512 j) 9876 - 1234

2. Efetue as operações pedidas: a) 45-13+38-26 = b) 137-48-32+62 = c) 34+22+34-41-30 = d) 234-56+32-43-89 =

3. Resolva as expressões: a) 35 + [20 + {2 + (2 + 7 - 2) + 3} - 2] = b) 45 + (23 - {4 + [5 + 8 - 3] + 5} - 2) + 12 =

c) 35 + [20 + {2 + (2 + {31 - 22} + 7 - 2) + 3} - 2] - 2 = Multiplicação

São três as situações de multiplicação: a) somar várias vezes parcelas iguais. 23 + 23 + 23 = 69 = 3 vezes 23 = 3 x 23 = 69 b) organização retangular:


Quantas bolas têm a figura? São 2 linhas e 4 colunas. Teremos 2 vezes 4 = 4 + 4 = 8 Ou 2 x 4 = 8

c) Combinar possibilidades. Marcos tem 4 camisas e 5 calças. De quantas formas ele pode se vestir? São 4 camisas. Para cada camisa que ele usar poderá usar 5 calças. Logo, teremos: 4 x 5 = 20 modos de se vestir. Para resolver estes problemas estamos usando a multiplicação ou produto. Esta operação

será representada pelo símbolo x ou . (ponto). 234 x 2 = 468 234 fator Colocamos o fator com menor número de ordens embaixo do outrox 2 fator Multiplicamos este fator por todos os elementos do outro fator. 468 produto

284 x 23 = 6532 284 Colocamos o fator com menor número de ordens embaixo do outro. x 23 Multiplicamos cada ordem deste fator, começando pela primeira. 852 Este produto nos dará um numero que ocupará uma linha. 568 Quando multiplicarmos as outras ordens, ocuparemos linhas deixando 6532 vazio o espaço que ficaria embaixo da primeira ordem da linha anterior.

Note que 3 x 4 = 12 é maior que 10. Colocamos o 2 e somamos uma unidade ao 8, após fazer-mos o produto 3 x 8 = 24. Teremos 24 + 1 = 25. Colocamos o 5 e somamos ao 2, após o produto 3 x 2 = 6. Teremos 6 + 2 = 8. E assim sucessivamente. Propriedades da multiplicação:

a) Comutativa – a ordem dos fatores não altera o produto. 2 x 3 = 3 x 2 = 6 3 x 4 x 2 = 4 x 3 x 2 = 2 x 3 x 4 = 24 b) Elemento neutro – se multiplicarmos um número por (1) um, o resultado é ele mesmo. 3 x 1 = 3 3 x 4 x 1 = 12 x 1 = 12. O 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação. c) Associativa – ao agruparmos (associarmos) os fatores, de diferentes modos, o produto

não se altera. 2 x 3 x 5 = (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) = 30 d) Distributiva – ao multiplicarmos um número por uma soma ou diferença, multiplicamos

esse número por cada elemento da soma ou diferença. 2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16 3 x (5 – 2) = 3 x 5 – 3 x 2 = 15 – 6 = 9 Em qualquer expressão que aparece multiplicação, adição e diferença, faremos primeiro as

multiplicações, depois as somas e depois as diferenças. Ex: 2 + 3 x 4 + 5 – 2 x 2 + 6 x 3 + 4 - 3 = Iremos fazer primeiro 3x4, 2x2 e 6x3, ficando: 2 + 12 + 5 – 4 + 18 + 4 – 3 = 41 – 7 = 34

Exercícios: 1. Efetue as operações pedidas, usando multiplicação:

a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = d) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = b) 3 x 3 x 3 x ... x 3 (12 fatores) = e) 2 x 2 x 2 x ... x 2 (15 fatores) c) 3 x 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 f) 10 . 10 . 10 . ... . 10 (13 fatores)


2. Efetue as operações pedidas: a) 3 + 5 x 4 – 2 x 3 + 4 + 2 x 3 = c) 2 . 3 + 4 – 3 + 4 . 5 – 3 . 4 + 57 - 32 = b) 6 x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 + 3 x 3 = d) 52 . 4 – 4 . 21 + 12 – 3 . 4 + 4 . 7 =

3. Resolva as expressões: a) 4 + [3 . 2 + 3 . {12 – 3 . 2 + 3 . (2 + 4 . 5 – 2 . 3 + 1) – 3 x 2} + 4] – 1 = b) 2 x [4 + 3 x 2 + {5 + 4 x (2 x 3 + 4 x 2 – 3 + 2 x 3) + 4} + 3 x 2] + 4 x 2 =

Divisão São duas as idéias de divisão: a) Verificar quantos grupos podem ser formados. Com 42 laranjas, quantas caixas, com 6 laranjas cada, poderei formar? Serão 7 caixas porque 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 6 x 7 = 42. A operação a ser feita será a divisão: 42 : 6 = 7 ou 7642 =÷ . Note os símbolos usados

para a divisão. b) Repartir ou distribuir em parte iguais. Dividindo-se 184 em 8 partes iguais, quanto caberá a cada parte? Em cada parte haverá 23 porque 23 x 8 = 184, ou seja, 184 : 8 = 23. Vamos aprender a dividir: 1 8 4 8 Da esquerda para direita juntaremos os algarismos até encontrarmos - 1 6 23 um número maior que 8. Será o 18. 2 4 O número mais próximo de 18 é 2 x 8 = 16. - 2 4 Faremos 18 - 16 = 2 e abaixaremos o primeiro algarismo à direita. 0 Continuaremos a fazer a mesma coisa até a diferença ser menor que 8. 184 é o DIVIDENDO (D), 8 o DIVISOR (d), 23 o QUOCIENTE (q) e 0 o RESTO (r). Note que 184 = 23 x 8 + 0, ou seja, D = d x q + r. Dizemos que uma divisão é exata quando o resto é zero (0) e inexata (não exata) quando

o resto é diferente de zero. Façamos mais algumas divisões como exemplo:

1 9 0 5 19: 5 = 3 5 0 4 18 50 : 18 = 2 -1 5 38 -3 6 28 4 0 40 : 5 = 8 1 4 4 144 : 18 = 8 - 4 0 -1 4 4 0 → resto (divisão exata) 0 → resto (divisão exata)

2 4 1 4 23 - 2 3 104 quociente 1 1 4 Notemos que 11 é menor que 23. Acrescentamo um 0 no quociente - 9 2 e abaixamos o algarismo seguinte. 22 resto Como restou 22 que é diferente de 0, a divisão não é exata.

Observação 1: se dividirmos um número por ele mesmo o quociente será 1 (um). 3 : 3 = 1; 567 : 567 = 1; a : a = 1; bc : bc = 1 Observação 2: se, em uma expressão, aparece multiplicação e divisão, faremos a opera-

ção na ordem em que ela aparece. Ex: 2 x 3 + 4 : 2 + 3 x 8 : 6 = 6 + 2 + 24 : 6 = 6 + 2 + 4 = 12 Exercícios:

1. Efetue as operações pedidas: a) 1684 : 2 = b) 12402 : 3 c) 432 : 12 = d) 3216 : 35 = e) 768 : 24 = f) 770 : 24 = g) 45321 : 12 = h) 13144 : 12 =


2. Efetue as operações pedidas: a) 4 + 2 x 3 – 2 + 4 : 2 + 3 x 2 x 6 : 4 – 5 = c) 2 x 3 : 2 x 4 : 4 + 5 x 8 : 5 = b) 12 : 3 x 2 + 24 : 4 x 3 – 22 : 11 = d) 4 x 3 + 18 : 2 x 5 + 64 : 8 : 2 x 3 =

3. Resolva as expressões: a) [4 : 2 x {5 x 8 : 4 + 2 x (4 + 5 x 3 - 8 : 2 x 3) + 24 – 8 : 2} + 4 : 2 x 4] = b) 12 : 3 x 2 + 2 x [8 – 4 x 2 : 8 + 3 x {4 + 12 : 3 + (36 : 6 x 2 – 4 x 3 : 4) + 2} – 21 : 3] + 4 =

Potenciação É a forma abreviada de representarmos um produto de vários fatores iguais. Ex: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26. São 6 fatores iguais (2). Lemos 2 elevado a 6 ou 2 a sexta. 3.3.3.3.3.3.3.3 = 38. Lemos 3 elevado a 8 ou 3 a oitava. 2.2.2.2.2.3.3.3.3.4.4.4 = 25.34.43. Só podemos representar em forma de potência fatores

iguais. Propriedades da potenciação:

- Multiplicação de potências de mesma base - conservamos a base e somamos os expoen-tes. am x an = am + n

28 x 25 = 28 + 5 = 213 32 x 34 x 38 = 32 + 4 + 8 = 314 - Divisão de potências de mesma base - conservamos a base e subtraímos os expoentes.

am : an = am - n

28 : 25 = 28 - 5 = 23 325 : 312 = 325 - 12 = 313 - Potência de potência - conservamos a base e multiplicamos os expoentes. (28)4 = 28 x 4 = 232 ((35)2)3 = 35 . 2 . 3 = 330 Cuidado: (28)4. O número que está elevado a 4 é 28. Multiplicamos os expoentes.

482 . O número que está elevado a 4 é o 8. Elevamos 8 a potência 4.

Conclusão: (28)4 ≠ 482

- Potência de produto - elevamos cada fator ao expoente. (a x b)m = am x bm (2 x 5)3 = 23 x 53 (3 x 4 x 6 x 7)2 = 32 x 42 x 62 x 72 - Potência de um quociente (divisão) - elevamos cada elemento da divisão ao expoente.

(a : b)m = am : bm (7 : 5)3 = 73 : 53 - Observação 1: Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1. a0 = 1. Vamos entender porque; Se dividirmos um número por ele mesmo o resultado é 1. am : am = 1. Vamos pegar a mesma divisão e aplicar a propriedade das potências: am : am = am - m = a0. Comparando temos: a0 = 1 Observação 2: em uma expressão a potência será a primeira operação a ser efetuada. Ex: 3 x 22 + 3 = 3 x 4 + 3 = 12 + 3 = 15

Exercícios: 1. Efetue as operações pedidas, dando o resultado em forma de potência:

a) 25 + 25 + 25 + 25 = b) 32 . 35 . 36 . 34 = c) 53 . 54 . 52 : 53 . 54 : 5 = 2. Efetue as operações pedidas:

a) 4 + 22 x 3 – 23 + 4 : 2 + 34 x 2 x 6 : 4 – 50 = c) 2 x 32 : 2 x 42 : 4 + 52 x 8 : 5 = b) 12 : 3 x 23 + 24 : 4 x 32 – 22 : 11 = d) 4 x 32 + 18 : 2 x 50 + 64 : 8 : 2 x 30 =

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