IA012 – Segurança em Comunicação de Dados Operações...

17
IA012 – Segurança em IA012 – Segurança em Comunicação de Dados Comunicação de Dados Operações criptográficas básicas - Operações criptográficas básicas - Aritmética em corpos finitos GF(p) e o Aritmética em corpos finitos GF(p) e o algoritmo estendido de Euclides algoritmo estendido de Euclides Daniel Felix de Brito Daniel Felix de Brito [email protected] [email protected]

Transcript of IA012 – Segurança em Comunicação de Dados Operações...

IA0

12

–S

eg

ura

nça

em

IA0

12

–S

eg

ura

nça

em

Co

mu

nic

açã

o d

e D

ad

os

Co

mu

nic

açã

o d

e D

ad

os

Op

era

çõ

es

cri

pto

grá

ficas

básic

as

-O

pe

raçõ

es

cri

pto

grá

ficas

básic

as

-A

ritm

ética

em

co

rpos

fin

itos

GF

(p)

e o

Aritm

ética

em

co

rpos

fin

itos

GF

(p)

e o

alg

oritm

oe

ste

nd

ido

de

Eu

clid

es

alg

oritm

oe

ste

nd

ido

de

Eu

clid

es

Da

nie

l F

elix

de

Bri

toD

anie

l F

elix

de

Bri

to

fbri

to.d

an

iel@

gm

ail.

co

mfb

rito

.da

nie

l@g

mail.

co

m

Vis

ão

Ge

ral

Vis

ão

Ge

ral

R

evis

ão

Re

vis

ão

G

rupo

s,

an

éis

eco

rpo

s;

Gru

po

s,

an

éis

eco

rpo

s;

A

ritm

ética

Mo

du

lar;

Ari

tmé

tica

Mo

du

lar;

A

lgo

ritm

od

eE

uclid

es;

Alg

ori

tmo

de

Eu

clid

es;

C

orp

os

fin

ito

sC

orp

os

fin

ito

s

C

orp

os

fin

ito

s n

afo

rma

GF

(P);

Co

rpo

sfin

ito

s n

afo

rma

GF

(P);

In

ve

rso

multip

licativo

e a

lgori

tmo

In

ve

rso

multip

licativo

e a

lgori

tmo

este

nd

ido

de

Eu

clid

es.

este

nd

ido

de

Eu

clid

es.

Re

vis

ão

–G

rup

os,

an

éis

eco

rpo

sR

evis

ão

–G

rup

os,

an

éis

eco

rpo

s

G

rup

os:um

gru

po

[G,*

um

con

jun

tod

e

Gru

po

s:um

gru

po

[G,*

um

con

jun

tod

e

ele

men

tos c

om

um

ao

pera

ção

bin

ári

a,

ele

men

tos c

om

um

ao

pera

ção

bin

ári

a,

ind

icad

a p

or

*,q

ue

asso

cia

a c

ad

ap

ar

ind

icad

a p

or

*,q

ue

asso

cia

a c

ad

ap

ar

ord

en

ad

o (

a,b

)d

e e

lem

en

tos

em

Gum

ord

en

ad

o (

a,b

)d

e e

lem

en

tos

em

Gum

ele

men

to (

a*b

)e

mG

,d

e m

od

o a

e

lem

en

to (

a*b

)e

mG

,d

e m

od

o a

ob

ed

ece

r4

axio

mas:F

ech

am

ento

,o

bed

ece

r4

axio

mas:F

ech

am

ento

,

Asso

cia

tivid

ad

e,

Ele

me

nto

id

en

tid

ad

e e

Asso

cia

tivid

ad

e,

Ele

me

nto

id

en

tid

ad

e e

Ele

men

to in

vers

o.

Ele

men

to in

vers

o.

Re

vis

ão

–G

rup

os,

an

éis

eco

rpo

sR

evis

ão

–G

rup

os,

an

éis

eco

rpo

s

A

is:U

ma

ne

lR

,in

dic

ad

opo

r[R

,+,x

um

An

éis

:U

ma

ne

lR

,in

dic

ad

opo

r[R

,+,x

um

co

nju

nto

de

ele

me

nto

s c

om

du

as

ope

raçõ

es

co

nju

nto

de

ele

me

nto

s c

om

du

as

ope

raçõ

es

bin

ária

s(a

diç

ão

em

ultip

lica

çã

o)

de

form

aqu

ebin

ária

s(a

diç

ão

em

ultip

lica

çã

o)

de

form

aqu

e

pa

rato

do

a,b

,ce

mR

,se

jam

obed

ecid

os a

lgu

ns

pa

rato

do

a,b

,ce

mR

,se

jam

obed

ecid

os a

lgu

ns

axio

ma

s.

axio

ma

s.

C

orp

o:U

mco

rpo

F,

ind

ica

do

po

r[F

,+,x

um

Co

rpo

:U

mco

rpo

F,

ind

ica

do

po

r[F

,+,x

um

co

nju

nto

co

nju

nto

de

ele

me

nto

sco

md

ua

sd

eele

me

nto

sco

md

ua

so

pera

çõ

es

op

era

çõ

es

bin

ári

as

bin

ári

as

(ad

içã

oe

mu

ltip

lica

çã

o)

de

form

aqu

e(a

diç

ão

em

ultip

lica

çã

o)

de

form

aqu

e

pa

rato

do

a,b

,ce

mR

,se

jam

obed

ecid

os a

lgu

ns

pa

rato

do

a,b

,ce

mR

,se

jam

obed

ecid

os a

lgu

ns

ax

iom

as

ax

iom

as

..

Re

vis

ão

–G

rup

os,

an

éis

eco

rpo

sR

evis

ão

–G

rup

os,

an

éis

eco

rpo

s

xim

od

ivis

or

Co

mu

m -

MD

C(a

,b)

xim

od

ivis

or

Co

mu

m -

MD

C(a

,b)

M

áxim

od

ivis

or

Com

um

:p

ara

bd

ife

ren

teM

áxim

od

ivis

or

Com

um

:p

ara

bd

ife

ren

te

de

ze

roé

de

fin

ido

com

ose

nd

o u

md

ivis

or

de

ze

roé

de

fin

ido

com

ose

nd

o u

md

ivis

or

de

ase

a =

mb

para

alg

um

m,

on

de

a,b

e

de

ase

a =

mb

para

alg

um

m,

on

de

a,b

e

msão

in

teir

os.N

ota

çã

o:m

dc(a

,b)

=c

msão

in

teir

os.N

ota

çã

o:m

dc(a

,b)

=c

ind

ica

qu

eo

inte

iro

c é

con

sid

era

do

o

ind

ica

qu

eo

inte

iro

c é

con

sid

era

do

o

xim

od

ivis

or

com

um

de

a e

bse:

xim

od

ivis

or

com

um

de

a e

bse:

c

éd

ivis

or

de

ae

de

b;

div

iso

rd

ea

ed

eb;

Q

ualq

ue

rd

ivis

or

de

ae

div

iso

rd

ec;

Qu

alq

ue

rd

ivis

or

de

ae

div

iso

rd

ec;

Ari

tmé

tica

Mo

du

lar

Ari

tmé

tica

Mo

du

lar

C

on

gru

ên

cia

:d

ois

in

teir

os

ae

bsã

oC

on

gru

ên

cia

:d

ois

in

teir

os

ae

bsã

oco

nsid

era

do

sco

ng

rue

nte

sm

ód

ulo

n,se

(am

od

co

nsid

era

do

sco

ng

rue

nte

sm

ód

ulo

n,se

(am

od

n)=

(bm

od

n).

Isto

ée

scri

toco

mo

n)=

(bm

od

n).

Isto

ée

scri

toco

mo

a≡

b(m

od

n).

Exe

mplo

:7

3≡

4(m

od

23

);a

≡b

(mo

dn

).E

xe

mplo

:7

3≡

4(m

od

23

);

O

pe

raçã

o:[(

am

od

n)

-(b

mo

dn

)]m

od

n=

(a-b

)O

pe

raçã

o:[(

am

od

n)

-(b

mo

dn

)]m

od

n=

(a-b

)m

od

n;

mo

dn

;

Exem

plo

:11

mo

d8

=3

;1

5m

od

8=

7;

Exem

plo

:11

mo

d8

=3

;1

5m

od

8=

7;

[(11

mo

d8

)-

(15

mo

d8

)]m

od

8=

(3-7

)m

od

8[(

11

mo

d8

)-

(15

mo

d8

)]m

od

8=

(3-7

)m

od

8

= -

4m

od

8=

4=

-4

mod

8=

4

(11-1

5)

mod

8=

-4

mo

d8

= 4

;(1

1-1

5)

mod

8=

-4

mo

d8

= 4

;

Alg

ori

tmo

de

Eu

clid

es

Alg

ori

tmo

de

Eu

clid

es

S

em

dc(a

,b)

=1

Se

md

c(a

,b)

=1

ae

bsã

oa

eb

ore

lati

va

men

tere

lati

va

men

te

pri

mo

s;

pri

mo

s;

A

lgo

ritm

od

eE

uclid

es

pa

rae

nco

ntr

ar

om

dc;

Alg

ori

tmo

de

Eu

clid

es

pa

rae

nco

ntr

ar

om

dc;

Alg

ori

tmo

de

Eu

clid

es

Alg

ori

tmo

de

Eu

clid

es

Ari

tmé

tica

mo

du

lar

Ari

tmé

tica

mo

du

lar

- P

rop

rie

da

de

s-

Pro

pri

ed

ad

es

D

efin

imo

sZ

De

fin

imo

sZ

nnco

mo

oco

nju

nto

de

inte

iro

sn

ão

co

mo

oco

nju

nto

de

inte

iro

sn

ão

ne

ga

tivo

sm

en

ore

squ

en

:Z

ne

ga

tivo

sm

en

ore

squ

en

:Z

nn=

[0,1

...(

n-1

)];

=[0

,1...(

n-1

)];

In

ve

rso

mu

ltip

lica

tivo

:b.b

Inve

rso

mu

ltip

lica

tivo

:b.b

-1-1≡

1(m

od

n)

≡1

(mo

dn

)

b

rela

tiva

me

nte

prim

oa

nb

rela

tiva

me

nte

prim

oa

n

se

mpre

exis

teb

se

mpre

exis

teb

-1-1;;

Ari

tmé

tica

Mo

du

lar

Ari

tmé

tica

Mo

du

lar

Inve

rso

Mu

ltip

lica

tivo

Inve

rso

Mu

ltip

lica

tivo

In

ve

rso

mu

ltip

lica

tivo

:b.b

-1≡

1(m

od

n);

G

ara

ntir

qu

eto

do

so

se

lem

en

tos d

eZ

n p

ossu

am

inve

rso

mu

ltip

lica

tivo

.

E

xe

mplo

:Z

8 =

[0,1

,2,3

,4,5

,6,7

]

Corp

os f

initos n

a f

orm

a G

F(p

)C

orp

os f

initos n

a f

orm

a G

F(p

)

C

orp

os f

initos d

eo

rde

m p

Corp

os f

initos d

eo

rde

m p

nn;

GF

=G

alo

isfield

;;

GF

=G

alo

isfield

;

pp

nndeve

ser

pri

mo

;P

or

qu

e?

deve

ser

prim

o;P

or

qu

e?

G

F(P

)G

F(P

) co

nju

nto

de

inte

iro

s Z

co

nju

nto

de

inte

iro

s Z

pp=

[0

,1...p

-1]

=[0

,1...p

-1]

Q

ualq

uer

inte

iro

em

ZQ

ualq

uer

inte

iro

em

Zpp

tem

um

invers

om

ultip

lica

tivo

se

ete

mu

min

vers

om

ultip

lica

tivo

se

e

so

men

tese

esse

inte

iro

for

rela

tivam

en

tepri

mo

de

p.

so

men

tese

esse

inte

iro

for

rela

tiva

men

tepri

mo

de

p.

Corp

os f

initos n

afo

rma

GF

(P)

Corp

os f

initos n

afo

rma

GF

(P)

Alg

ori

tmo

Este

nd

ido

de

Eu

clid

es

Alg

ori

tmo

Este

nd

ido

de

Eu

clid

es

S

em

dc(n

,b)=

1,

entã

o b

tem

um

inve

rso

Se

md

c(n

,b)=

1,

entã

o b

tem

um

inve

rso

mu

ltip

licativo

du

lon

.O

use

ja,

pa

rau

mm

ultip

licativo

du

lon

.O

use

ja,

pa

rau

m

inte

iro

po

sitiv

o b

<n,

exis

teum

bin

teir

op

ositiv

o b

<n,

exis

teum

b-1-1

<n

de

<

nd

e

mo

do

qu

e b

.bm

od

o q

ue

b.b

-1-1≡

1m

od

n.

≡1

mod

n.

O

alg

ori

tmo

euclid

iano

po

de

se

re

ste

nd

ido

O

alg

ori

tmo

euclid

iano

po

de

se

re

ste

nd

ido

pa

ra e

ncon

tra

ro

md

c(n

,b)

e c

aso

pa

ra e

ncon

tra

ro

md

c(n

,b)

e c

aso

md

c(n

,b)=

1fo

rne

ce

oin

ve

rso

m

dc(n

,b)=

1fo

rne

ce

oin

ve

rso

mu

ltip

licativo

de

b;

mu

ltip

licativo

de

b;

Alg

ori

tmo

Este

nd

ido

de

Eu

clid

es

Alg

ori

tmo

Este

nd

ido

de

Eu

clid

es

E

xe

mp

lo m

dc(1

75

9,5

50)=

1

e a

-1=

35

5

55

0.3

55

≡1

(mo

d1

75

9)

Q

=A

3/B

3=

175

9/5

50

=3

;

(T

1,T

2,T

3)

=(1

-3

.0,0

-3.1

,1

75

9-3

.55

0)=

(1,-3

,1

09);

(A

1,A

2,A

3)

=(B

1,B

2,B

3)

=(0

,1

,5

50

);

(B

1,B

2,B

3)

=(T

1,T

2,T

3)

=(1

,-3

,1

09

);

Exe

mp

lop

rático

- R

SA

Exe

mp

lop

rático

- R

SA

S

ele

cio

ne

dois

mero

s p

rim

os,

p=

17

e

Sele

cio

ne

dois

mero

s p

rim

os,

p=

17

e

q=

11;

(p≠

q);

q=

11;

(p≠

q);

C

alc

ule

n=

p.q

=17

.11

=18

7;

Ca

lcu

le n

=p

.q=

17

.11

=18

7;

C

alc

ule

z=

(p-1

).(q

-1)=

16

.10

=1

60

;C

alc

ule

z=

(p-1

).(q

-1)=

16

.10

=1

60

;

S

ele

cio

ne

e ta

lq

ue

ese

jaS

ele

cio

ne

e ta

lq

ue

ese

jare

lati

va

me

nte

re

lati

va

me

nte

pri

mo

pri

mo

a z

e m

eno

rd

oqu

e z

;E

x:e

=7

;a

ze

me

no

rd

oqu

e z

;E

x:e

=7

;

Pod

e-s

e u

tiliz

ar

oalg

oritm

od

eE

uclid

es

eP

od

e-s

e u

tiliz

ar

oalg

oritm

od

eE

uclid

es

e

ve

rificar

se

md

c(e

,z)=

1;

ve

rificar

se

md

c(e

,z)=

1;

Exe

mp

lo p

rático

-R

SA

Exe

mp

lo p

rático

-R

SA

D

ete

rmin

ed

tal qu

e d

.e≡

1 (

mo

d z

)e

d<

De

term

ine

dta

l qu

e d

.e≡

1 (

mo

d z

)e

d<

z;

Ex:d

=2

3z;

Ex:d

=2

3

23

.7=

16

1 =

1.1

60

+1;

23

.7=

16

1 =

1.1

60

+1;

d

é o

inv

ers

om

ult

ipli

ca

tiv

od

ee

oin

vers

om

ult

ipli

ca

tiv

od

ee

..P

ara

ga

ran

tir

qu

ed

exis

ta

Para

ga

ran

tir

qu

ed

exis

ta e

dev

e s

er

e d

ev

e s

er

rela

tiv

am

en

tep

rim

oa

zre

lati

va

me

nte

pri

mo

az,

com

od

efin

ido

,com

od

efin

ido

no

pa

sso

an

teri

or.

Po

de-s

e u

tiliz

ar

on

op

asso

an

teri

or.

Po

de-s

e u

tiliz

ar

oa

lgo

ritm

oes

ten

did

od

e E

uc

lid

es

alg

ori

tmo

es

ten

did

od

e E

uc

lid

es

pa

ra

pa

ra

de

term

ina

rd

.d

ete

rmin

ar

d.

P

U=

[e,n

]=

[7,1

87

]e

PR

=[d

,n]

=[2

3,1

87

].P

U=

[e,n

]=

[7,1

87

]e

PR

=[d

,n]

=[2

3,1

87

].