A REPRESENTAÇÃO PICTÓRICA NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS: EXPLORANDO O MODELO DE BARRAS

Raquel Cupolillo (CAp-UFRJ)

Luiz Felipe Lins (SME/RJ)

Camila Sajnin (Licenciatura em Matemática UFRJ / bolsista PROFAEX)

Igor de Melo (Licenciatura em Matemática UFRJ)

Leticia Rangel (CAp-UFRJ)

Miane Moura (Licenciatura em Matemática UFRJ)

Mônica Ferreira Ayres (SME/RJ)

Rita Meirelles (CAp-UFRJ)

Sandra Maria Ayrosa Farias Moreira (SME/RJ)

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/

II Semana da Matemática

IFRJ - Paracambi

09 de novembro de 2017

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Resumo: O Projeto Fundão Matemática, visando ao desenvolvimento profissional permanente

do professor e ao ensino da disciplina, atua investigando e repensando modelos e práticas de

ensino de matemática nas diferentes etapas da Educação Básica. Como uma das linhas de

trabalho, o Grupo de Tecnologia do Projeto Fundão Matemática vem investigando o potencial do

Modelo de Barras (também conhecido como Método de Singapura) como estratégia de resolução

de problemas (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005).

São objetivos da oficina proposta: (i) Apresentar, aplicar e discutir o Modelo de Barras como

estratégia para a resolução de problemas próprios do Ensino Fundamental e (ii) Explorar e

discutir recursos tecnológicos que amparem a utilização desse método. Frações será o assunto

central que determinará a seleção de problemas. Esse tema foi escolhido por incorporar diversos

aspectos (tais como representações e operações) comumente reconhecidos por professores da

Educação Básica por envolverem obstáculos de aprendizagem e dificuldades com metodologias

de ensino (STREEFLAND, 1991; BERTONI, 2008)

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INTRODUÇÃO

A proposta do Grupo de Tecnologia do Projeto Fundão é refletir sobre o conhecimento tecnológico pedagógico de

conteúdo (PALIS, 2010), buscando compreender o impacto do uso de recursos tecnológicos na prática e no conhecimento

do professor. Busca-se também investigar as potencialidades e as limitações da integração e da articulação de tecnologia

no ensino e na aprendizagem. Como princípio de trabalho, para investigar o uso da tecnologia no ensino, o Grupo parte de

um conteúdo matemático relevante para a prática do professor. Desde 2016, o assunto que vem mobilizando o estudo dos

integrantes do grupo e que caracteriza esta oficina é frações. Esse tema foi escolhido por incorporar diversos aspectos (tais

como representações e operações) comumente reconhecidos por professores da Educação Básica por envolverem

obstáculos de aprendizagem e dificuldades com metodologias de ensino (STREEFLAND, 1991; BERTONI, 2008).

A utilização de representação pictórica para a resolução de problemas de matemática na Educação Básica tem

recebido a atenção de educadores. Em particular, a atenção tem se voltado para o Modelo de Barras (QUEIROZ, 2016;

BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005), também conhecido como Método de Singapura1 por estar

fortemente incorporado ao ensino de matemática desse país, que vem obtendo destaque no PISA2. Esse método se baseia

na representação visual como forma de abordagem de problemas aritméticos e algébricos no ensino básico. O Modelo de

Barras se apresenta como uma estratégia em que a representação a partir de desenho prepara os alunos para pensar

analiticamente, proporcionando uma importante transição entre o concreto e o abstrato (FORSTEN, 2010). Pode não

parecer uma estratégia inovadora usar representações diversas por meio de desenhos para amparar a resolução de

problemas que envolvem raciocínios aritméticos e algébricos. Afinal, os gregos já faziam isso desde a época de Euclides.

No entanto, o Modelo de Barras tem se apresentado como um recurso que sistematiza essa estratégia para a resolução de

problemas e tem sido fortemente adotado em livros didáticos em vários países. Assim, o Grupo de Tecnologia decidiu por

investigar esse método e recursos computacionais que amparam a sua aplicação. Entre os recursos tecnológicos

pesquisados para amparar a aplicação do método destacam-se: “Thinking Blocks”, disponível em

http://www.mathplayground.com/thinkingblocks.html, e “Fraction Bars”, disponível em

http://www.kaputcenter.umassd.edu/products/software/fractionbars/fb_web _files/index.html.

Em particular, o grupo vem desenvolvendo e aplicando de forma investigativa atividades que envolvem o Modelo de

Barras em turmas de Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da UFRJ. Essas atividades fundamentam a oficina

proposta. Assim, Tendo como referência o trabalho investigativo realizado pelo grupo, a oficina aborda a resolução de

problemas em uma perspectiva colaborativa, em que os participantes terão a oportunidade de utilizar o Modelo de Barras

na resolução de problemas e de conhecer recursos tecnológicos para esse fim. São objetivos da oficina proposta: (i)

Apresentar, aplicar e discutir o Modelo de Barras como estratégia para a resolução de problemas próprios do Ensino

Fundamental e (ii) Explorar e discutir recursos tecnológicos que amparem a utilização desse método. Frações será o

assunto central que determinará a seleção de problemas.

A representação Pictórica na Resolução de Problemas: Explorando o Modelo de Barras

O Modelo de Barras, também conhecido como Modelo de Representação por Desenho de Singapura ou simplesmente

por Método de Singapura (QUEIROZ, 2016; BALDIN, 2013; FORSTEN, 2010, GINSBURG et al, 2005), oferece uma

abordagem visual para a solução de problemas aritméticos e algébricos. No entanto, é importante observar que o uso de

1 É importante esclarecer que o “método de Singapura” não é reduzido ao Modelo de Barras. O Método Singapura, no que diz respeito à

Matemátca, compõe uma filosofia de ensino adotada no sistema de educação de Singapura que tem como uma dos pontos centrais a resolução de

problemas (BALDIN, 2013). 2 Programme for International Student Assessment. http://www.oecd.org/pisa/.

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modelos de barras para resolver problemas não pode ser considerado como exclusivo da Matemática de Singapura,

tampouco deve-se atribuir a eles a criação dessa estratégia. No entanto, o Modelo de Barras tem ganhado notoriedade

como estratégia e tem tido um papel relevante nos livros didáticos de vários países.

De maneira geral, o Modelo de Barras é uma forma de dar significado a partir de representação pictórica para o que

está sendo apresentado de forma retórica em um problema que envolve raciocínios aritmético e algébrico. Essa

metodologia tem se apresentado com uma ferramenta particularmente relevante na resolução de problemas envolvendo

frações. Por exemplo, consideremos o problema apresentado a seguir:

Estratégias algébricas e aritméticas para resolver esse problema não costumam ser facilmente alcançadas pelos alunos.

Observe que, se a quantidade de brigadeiros deixada pela mãe para os filhos for indicada por x, então a solução do

problema pode ser dada por:

1 1 112

3 3 3

x x x x

Ou, simplesmente,

2 212

3 3x

Portanto, x = 27.

Qualquer professor com experiência no ensino de matemática na Educação Básica pode atestar que não é simples

apresentar nem discutir qualquer dessas soluções em sala de aula. A representação algébrica é reconhecidamente

desafiadora para o ensino da matemática nessa etapa da escolaridade (USINSKIN, 1994).

No entanto, pelo Modelo de Barras, a representação do problema, e sua resolução, podem parecer bem mais simples.

Sendo a quantidade de brigadeiros deixada pela mãe para os filhos representada por uma “barra”, como o retângulo em

verde na Figura 1, o problema pode ser representado, e a solução obtida, como ilustrado. Observe que, nesse caso, a barra

assume o papel da incógnita ou, em linguagem algébrica típica, o papel de “x”. Assim, a barra vai sendo adequadamente

dividida e as quantidades correspondentes aos brigadeiros que cada irmão pegou identificadas na representação em barras.

Claro que esta não é a única solução possível a partir do Modelo de Barras, ela tem caráter apenas ilustrativo.

Estela foi trabalhar e deixou uma bandeja de brigadeiros para seus três filhos com o

seguinte bilhete:

“Queridos, dividam igualmente esses brigadeiros que estou deixando.

Beijos mamãe”

O primeiro filho chegou, pegou a terça parte que lhe cabia e saiu. Depois, o segundo

filho chegou e não viu nenhum dos irmãos. Pensando que era o primeiro, pegou a terça

parte dos brigadeiros que havia e saiu. Mais tarde, o terceiro filho encontrou 12

brigadeiros na bandeja. Acreditando que fosse o segundo, pegou metade e saiu.

Quantos brigadeiros a mãe havia deixado para os três filhos?

(Clube de Matemática da OBMEP – adaptada)

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Figura 1 – Solução do problema proposto pelo Modelo de Barras.

É importante observar que a resolução de problemas pelo Modelo de Barras deve ser encarada como uma etapa

(inicial) para a construção de um raciocínio algébrico. A resolução de problemas exige a habilidade de leitura e de

compreensão do que se lê, estabelecer uma estratégia de resolução, efetuar os cálculos necessários e verificar a solução. O

Modelo de Barras se faz presente na compreensão do que se lê, na construção de estratégia e no processo de cálculo. No

entanto, é importante que os alunos sejam incetivados a também construir a linguagem algébrica e a representar e

solucionar os problemas dessa forma.

Atividades iniciais

1. Um leão pesa 135 kg. Uma vaca pesa 87 kg a mais que o leão. Um elefante pesa 139 kg mais que a vaca.

Quanto pesa o elefante (Qual é a massa do elefante?)

Leão: 135 kg

Vaca: 135 + 87 = 222 kg

Elefante : 222 + 139 = 361 kg

Ou

Elefante: 135 + 87 + 139 = 361 kg

O elefante pesa 361 kg.

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2. O mercado A tinha 156 kg de arroz para vender e o mercado B, 72 kg. Depois de venderem a mesma quantidade de

arroz, verificou-se que o mercado A tinha ainda 4 vezes a quantidade que havia restado no mercado B.

Qual a quantidade de arroz vendida pelos mercados A e B?

Os dois mercados venderam 44kg de arroz.

3. Guilherme gastou 3/8 da sua mesada com transporte e 1/4 com alimentação.

Que fração da mesada sobrou?

Sobraram 3/8 da mesada.

Solução Pictórica Solução Algébrica

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Conhecendo a Ferramenta

1. Acesse o recurso Thinking Blocks, disponível em:

http://www.mathplayground.com/thinkingblocks.html

2. Selecione a opção Modelling Tool;

3. Selecione a opção Start;

4. O recurso exibirá uma área de trabalho onde os problemas

serão resolvidos.

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Atividades complementares

1. Quanto vale 3/5 de R$ 100,00?

2. A soma de dois números é 20. Calcule-os, sabendo que o número maior é 𝟑

𝟐 do número menor.

3. Um grande depósito foi esvaziado, ficando com 1/3 da sua capacidade. Mais tarde, foram retirados 3/4 da água que

foi deixada. Sabe-se que no reservatório ainda restaram 20 mil litros de água. Qual é a capacidade desse

reservatório?

4. Num time carioca de futebol, metade dos jogadores contratados são cariocas, 1/3 de outros estados e os 4 restantes

são estrangeiros. Quantos jogadores contratados tem o clube?

5. Uma barra de metal pesa 3 kg mais ¼ da mesma barra. Quanto pesa essa barra de metal?

6. Um artesão faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos do mesmo tipo poderão ser feitos com

18 metros de couro?

Referências:

BALDIN, YYB, (2013). Texto explicativo sobre a chamada Matemática da Singapura, comunicação pessoal , disponibilizada para

o projeto PROF-OBMEP (2012-2014).

BERTONI, N.E. (2008). A construção do número fracionário. In: Boletim de Educação Matemática, ano 21, n.31. pp. 209-237. Rio

Claro: UNESP.

FORSTEN, C. (2010). Step-by-Step Model Drawing. Solving Word Problems the Singapore Way. Crystal Springs Books,

Peterborough, USA.

GINSBURG, Alan; LEINWAND, Steven; ANSTROM, Terry; POLLOCK, Elizabeth. (2005). What the United States Can Learn

From Singapore’s World-Class Mathematics System (and what Singapore can learn from the United States): An Exploratory

Study. America Institute for Research. Washington, DC.

PALIS, G. L R. (2010). O conhecimento tecnológico, pedagógico e do conteúdo do professor de Matemática. Educação Matemática

Pesquisa. SP, v.12, n.3, pp. 432-451.

QUEIROZ, Jonas M,S. (2014). Resolução de Problemas da Pre-Álgebra e Álgebra para Fundamental II do Ensino Básico com

auxilio do Modelo de Barras, Dissertação de Mestrado Profissional PPGECE, UFSCar. Disponível em site www.ppgece.ufscar.br na

área de dissertações.Disponível em https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/4473.

STREEFLAND, L. (1991). Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research. Dordrecht:

Kluwer Academic Publishers.

USINSKIN, Z. (1994). Concepções sobre Algebra da Escola Média e Utilizações das Variáveis. Em: COXFORD, A. F. e SHULTE,

A. P. (org). As Idéias da Álgebra. Atual Editora. São Paulo.

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ANOTAÇÕES

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