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INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO NO COMPORTAMENTO DE PILARES ESBELTOS

LUIZ GABRIEL SARMET MOREIRA SMIDERLE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ AGOSTO - 1998



“Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre

em Ciências de Engenharia”.

Orientador: Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães

CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ AGOSTO - 1998



“Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre

em Ciências de Engenharia”. Aprovada em 28 de agosto de 1998. Comissão Examinadora: __________________________________________________ Prof. Luiz Felippe Estrella Júnior (Doutor, Estruturas) - UENF __________________________________________________ Prof. Ney Augusto Dumont (Doutor, Estruturas) - PUC / RJ __________________________________________________ Prof. Raul Rosas e Silva (Doutor, Estruturas) - PUC / RJ __________________________________________________ Profa Vânia José Karam (Doutora, Estruturas) - UENF __________________________________________________ Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães (Doutor, Estruturas) - PUC / RJ Orientador

À minha família, em especial à minha

esposa, Fátima, e à minha mãe, Jeanne.

AGRADECIMENTOS

• A Deus, a quem sempre devo dar graças em todos os momentos de minha vida;

• Ao meu orientador, Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães, pelos conhecimentos

transmitidos, pela dedicação, mesmo na dificuldade da orientação à distância, e

pela amizade demonstrada ao longo destes anos;

• Aos professores e funcionários do LCENG, especialmente ao Prof. Luiz Felippe e

à Profa.Vânia, sempre disponíveis e prontos a colaborar;

• Ao companheirismo dos colegas da primeira turma de Mestrado em Estruturas da

UENF: Eduardo, Lucy, Wellington e Valdir, de cuja companhia nos privamos tão

precocemente. Também à turma de Geomecânica, em especial ao colega e

irmão Geraldo, talvez o meu maior incentivador;

• À minha esposa Fátima, pela seu apoio, compreensão e cumplicidade;

• À minha mãe, Jeanne, meus irmãos e toda a minha família, que, com todo apoio

e incentivo, muito contribuíram para que este trabalho fosse concluído;

• Ao amigo Engo Fernando Costa e Silva, pela participação decisiva na viabilização

do meu curso de Mestrado;

• À FENORTE, pelo apoio financeiro.

SUMÁRIO

Resumo ..................................................................................................................... iii

Abstract ..................................................................................................................... iv

Lista de Símbolos ...................................................................................................... v

Capítulo I - Introdução ............................................................................................... 1

Capítulo II - Descrição do modelo computacional ..................................................... 4

2.1 - Introdução ..................................................................................................... 4

2.2 - Análise geométrica não linear ....................................................................... 5

2.2.1 - Estado deformado de uma seção genérica ......................................... 5

2.2.2 - Variação da energia potencial total ...................................................... 6

2.3 - Análise física não linear ................................................................................ 8

2.3.1 - Leis constitutivas dos materiais ........................................................... 8

2.3.1.1 - Concreto ................................................................................. 8

2.3.1.2 - Aço ....................................................................................... 12

2.3.2 - Obtenção dos esforços seccionais resistentes .................................. 13

2.3.3 - Determinação das derivadas parciais dos esforços

resistentes em relação aos parâmetros de deformação .......................................... 13

2.4 - Elemento finito utilizado .............................................................................. 14

2.5 - Método de resolução ................................................................................... 15

Capítulo III - Curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura ........................... 17

3.1 - Introdução ................................................................................................... 17

3.2 - Análise das curvas obtidas pelo modelo ..................................................... 17

3.3 - Influência da resistência do concreto .......................................................... 24

3.4 - Influência da forma do diagrama tensão-deformação ................................. 25

Capítulo IV - Curvas Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez ..............31 4.1 - Introdução ................................................................................................... 17

4.2 - Curvas µ−ν−λ com momento de primeira ordem constante ao

longo do pilar ........................................................................................................... 32

4.2.1 - Análise das curvas obtidas pelo modelo ............................................ 32

4.2.2 - Influência da resistência do concreto ................................................. 55

4.2.3 - Influência da forma do diagrama tensão-deformação ....................... 58

4.3 - Curvas µ−ν−λ com momento de primeira ordem variável ao

longo do pilar ........................................................................................................... 61

4.3.1 - Análise das curvas obtidas pelo modelo ............................................ 61

4.3.2 - Influência da resistência do concreto ................................................. 82

Capítulo V - Conclusões e sugestões para trabalhos futuros .................................. 87

Referências bibliográficas ....................................................................................... 89

Anexo A - Gráficos µ−ν−φ ....................................................................................... 91

Anexo B - Gráficos µ−ν−λ ....................................................................................... 96

ii

RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo do comportamento de pilares esbeltos de

concreto armado, realizado com o auxílio de um modelo computacional que

considera a relação tensão-deformação no concreto proposta pelo MC90-CEB,

válida também para concretos de alta resistência. O modelo leva em conta as não

linearidades físicas do concreto e do aço, a não linearidade geométrica da estrutura

e a fissuração do concreto.

São construídas, a partir do modelo, curvas Momento Fletor - Força Normal -

Curvatura (µ−ν−φ) e Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez (µ−ν−λ)

para concretos de resistências normal e alta. A seguir são feitas comparações entre

estas curvas adimensionais obtidas a partir do modelo e as construídas

considerando o diagrama parábola-retângulo. São observadas diferenças

significativas, notadamente para valores altos da resistência do concreto.

No final são apresentadas algumas conclusões e sugestões para futuros

trabalhos relacionados ao tema.

iii

ABSTRACT

The behavior of reinforced concrete slender columns is analyzed with a

computational model based on the finite element method. The model adopts the

concrete stress-strain relationship proposed by the CEB-90 Model Code, and takes

into account the material and geometrical non-linearities.

Bending Moment - Axial Force - Curvature curves (µ-ν-φ) and Bending

Moment - Axial Force - Slenderness ratio curves (µ-ν-λ) are constructed with the

model for concretes with high and normal strengths. The results show that these

dimensionless curves are affected by concrete strength. In addition, the comparison

of these curves with those obtained based on the parabola-rectangle concrete stress-

strain diagram, shows that the form of the stress-strain diagram also affects the

column behavior.

Some conclusions and suggestions for future researches about this subject

are presented at the end.

iv

LISTA DE SÍMBOLOS

ROMANOS

Ac - área de concreto

As - área de armadura tracionada (ou menos comprimida)

A’s - área de armadura comprimida (ou mais comprimida)

b - largura da seção de concreto

[B] - matriz de relações entre deformações e deslocamentos ou matriz de

incidência cinemática

[C] - matriz de relação secante entre tensões e deformações

d - altura útil da seção

d’ - distância entre o centro de gravidade da armadura mais comprimida e

bordo mais próximo da seção

d/r - produto da curvatura pela altura útil da seção

<d> - vetor de deslocamentos nodais para o sistema local

[D] - matriz da relação tangente entre tensões e deformações

Ec - módulo de elasticidade tangente do concreto

Es - módulo de elasticidade do aço na origem da curva

tensão-deformação

e2 - deslocamento transversal de segunda ordem do eixo do pilar

{f} - cargas nodais aplicadas

fck - resistência característica do concreto à compressão

fcm - resistência média de compressão do concreto

fctm - resistência média de tração do concreto

fy - tensão de escoamento da armadura tracionada

fyc - tensão de escoamento da armadura comprimida

fycd - tensão de escoamento de cálculo da armadura comprimida

fyd - tensão de escoamento de cálculo da armadura tracionada

h - altura da seção de concreto

<H> - vetor de transformação das deformações

[Kt] - matriz de rigidez tangente do elemento

Kll - termos constantes da matriz [Kt] v

Kln - termos da matriz [Kt] que variam linearmente

Knn - termos da matriz [Kt] que variam quadraticamente

Kp - termos da matriz [Kt] que dependem do esforço normal

l - comprimento final do elemento de concreto

l0 - comprimento inicial do elemento de concreto

le - comprimento de flambagem do pilar

M - momento fletor

M1 - momento fletor de primeira ordem

M2 - momento fletor de segunda ordem

N - força normal

NB - número de barras de aço da seção transversal

NICNR - número de iterações por passo na solução com Newton-Raphson

NRζ, MRξ - esforços seccionais resistentes nas direções ζ e ξ

1/r - curvatura da seção

[RD] - matriz das relações incrementais entre tensão e deformação

[T] - matriz de transformação entre os sistemas global e local de

coordenadas

u - deslocamento de um ponto genérico na direção do eixo x

u0 - deslocamento axial do eixo de referência

u’0, u’’0 - primeira e segunda derivadas do deslocamento axial

v - deslocamento de um ponto genérico na direção do eixo y

v0 - deslocamento transversal do eixo de referência

v’0, v’’0 - primeira e segunda derivadas do deslocamento transversal

X, Y, Z - sistema global de coordenadas

x, y, z - sistema local de coordenadas

GREGOS

∆ - deslocamento inicial

<∆> - vetor de deslocamentos nodais axiais

{∆d} - vetor de incrementos dos deslocamentos nodais no sistema local

{∆f} - vetor das forças desequilibradas

vi

∆1, ∆2 - deslocamentos nodais axiais

ε - deformação axial total

εc - encurtamento unitário do concreto comprimido

εcu - deformação última do concreto

εct1 - deformação de tração para o concreto correspondente a 0,9 fctm

εct2 - deformação de tração para o concreto correspondente a fctm

{εg} - vetor dos termos da deformação em um ponto no centro de gravidade

da seção transversal

εyd - deformação unitária de escoamento do aço

ε0 - deformação do centro de gravidade da seção

ε01, ε02 - componentes da deformação axial

εs - deformação na armadura tracionada

ε‘s - deformação na armadura comprimida

δπ, δ2π - primeira e segunda variação da energia potencial total

φ - curvatura da seção (produto da curvatura pela altura útil da seção)

λ - índice de esbeltez

µ - momento fletor reduzido

µ1 - momento fletor reduzido de primeira ordem

µ2 - momento fletor reduzido de segunda ordem

ν - esforço normal reduzido

<θ> - vetor de rotações nodais

{σ} - vetor de tensões genéricas

σc - tensão de compressão no concreto

χ0 - curvatura para um ponto do eixo de referência do elemento

ω - taxa mecânica de armadura

ξ, ν, ζ - sistema local de coordenadas que passa pelo centro de gravidade da

seção transversal do elemento

vii

Capítulo I

INTRODUÇÃO

O concreto armado é um material em que não existe linearidade entre

tensões e deformações, uma vez que o aço e o concreto apresentam

comportamentos não-lineares. Este tipo de não-linearidade denomina-se não-

linearidade física. Em se tratando de pilares surge ainda a não-linearidade

geométrica, ocasionada pelos deslocamentos transversais do seu eixo. Os

deslocamentos aumentam os momentos fletores solicitantes e, com isso, a

armadura necessária para garantir o equilíbrio (Figura 1.1).

N N H y A A M1=H.y e2 M1 + M2=N.e2 CONFIGURAÇÃO CONFIGURAÇÃO INDEFORMADA DEFORMADA

Figura 1.1 - Solicitações de segunda ordem

Assim, o dimensionamento de um pilar esbelto de concreto armado sujeito a

flexo-compressão só pode ser realizado iterativamente, através de um processo de

aproximações sucessivas, onde em cada iteração se procuram igualar os esforços

solicitantes aos esforços resistentes. Para tal, estão disponíveis na literatura as

curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura (µ−ν−φ) e Momento Fletor - Força

Normal - Índice de Esbeltez (µ−ν−λ), baseadas na relação tensão-deformação

representada pelo diagrama parábola-retângulo. Entretanto, a curva tensão-

deformação do concreto em compressão obtida experimentalmente depende, entre

outros fatores, da sua resistência. O CEB (1990) apresenta uma função para

representar a relação tensão-deformação do concreto que leva em conta a sua

resistência e conduz a modelagem muito mais condizente com resultados

experimentais. Por isto, foi dada ênfase neste trabalho à importância do tipo de

2

função escolhida para representar a relação tensão-deformação do concreto e suas

conseqüências no comportamento de pilares esbeltos.

Pela análise dos gráficos abaixo se podem observar as diferenças entre as

relações tensão-deformação propostas pelo MC90-CEB e pela NBR-6118 (1978)

para diferentes resistências do concreto.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

NBR

CEB

cu cu

fcm

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

NBR

CEB

cucu

fcm

(a) - fcm = 20 MPa (b) - fcm = 60 MPa

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

NBR

CEB

cucu

fcm

(c) - fcm = 80 MPa

Figura 1.2 - Relações Tensão-Deformação do MC90-CEB e da NBR-6118 (1978)

para diferentes resistências do concreto

Este trabalho consiste num estudo do comportamento de pilares esbeltos de

concreto armado realizado com o auxílio do modelo computacional PCFRAME

(Campos, 1993). O programa é baseado no método de elementos finitos e considera

a relação tensão-deformação no concreto proposta pelo MC90-CEB. Além disso,

3

leva em conta as não linearidades físicas do concreto e do aço, a não linearidades

geométrica da estrutura e a fissuração do concreto.

A dissertação é composta de cinco capítulos e dois apêndices. O capítulo 2

apresenta uma descrição do modelo computacional empregado. No capítulo 3 são

analisadas as curvas µ−ν−φ. São obtidas, pelo modelo, curvas com pilares de

concreto de resistência normal e de alta resistência. Nesta oportunidade se pôde

fazer a comparação entre estas curvas do modelo para diferentes resistências e

também com as curvas existentes na literatura, as quais se baseiam no diagrama

parábola-retângulo para representar a relação tensão-deformação do concreto. O

capítulo 4 trata dos diagramas µ−ν−λ. Primeiro são analisadas as curvas para pilares

submetidos a momentos de primeira ordem constantes ao longo de sua altura. São

obtidas curvas para pilares curtos e esbeltos, para duas resistências características

do concreto (fck = 20 MPa e fck = 80 MPa, como nas curvas µ−ν−φ). São feitas

comparações entre as curvas obtidas pelo modelo, analisando-se a influência da

resistência do concreto no traçado das mesmas. Também é analisada a influência

do tipo de diagrama empregado na relação tensão-deformação do concreto através

de comparações com aquelas curvas baseadas na relação parábola-retângulo. A

seguir são obtidos os mesmos diagramas µ−ν−λ para os momentos de primeira

ordem variando ao longo do pilar, quando são analisados os comportamentos nas

diferentes resistências de concreto, em colunas com diversos valores de esbeltez.

Por fim, são apresentadas no capítulo 5, conclusões e sugestões para trabalhos

futuros. Nos apêndices A e B são apresentados, respectivamente, todos os ábacos

µ−ν−φ e µ−ν−λ obtidos neste trabalho.

4

Capítulo II

DESCRIÇÃO DO MODELO COMPUTACIONAL

2.1 - Introdução

Trata-se do modelo computacional PCFRAME, desenvolvido por Krüger

(1989), e modificado por Campos (1993), para análise não linear de estruturas

aporticadas de concreto armado e protendido. O modelo considera a relação tensão-

deformação do concreto na tração e na compressão segundo as recomendações do

MC90-CEB, leva em conta as não linearidades físicas do concreto e do aço, a não

linearidade geométrica da estrutura e a fissuração do concreto. A consideração da

relação tensão-deformação no concreto proposta pelo CEB (1990) em substituição à

parábola-retângulo da NBR-6118 (1978), feita por Campos (1993), leva a uma

modelagem do concreto mais condizente com resultados experimentais,

principalmente no que diz respeito à resistência do concreto à tração. Desta

maneira, a distribuição das tensões nas seções transversais de uma peça será feita

considerando na mesma a existência de trechos fissurados e não fissurados.

O programa baseia-se no método dos elementos finitos, para grandes

deslocamentos e pequenas deformações da estrutura. A resolução do problema da

não linearidade física e geométrica é feita a partir de uma formulação em termos de

relações tangentes para a aplicação incremental das solicitações, com iterações de

equilíbrio controladas por diversos métodos (Krüger, 1989). A versão utilizada do

programa PCFRAME leva em conta a possibilidade de formação de rótulas plásticas

em qualquer lugar do pórtico, pelo reposicionamento dos pontos de Gauss

considerados para as integrações numéricas.

Nos itens seguintes é feita uma descrição do modelo de acordo com o

apresentado na tese de Lima Jr (1996).

2.2 - Análise geométrica não linear

5

Independentemente do tipo de não-linearidade envolvida, física ou

geométrica, a formulação do problema é feita em termos de deslocamentos e é

válida para qualquer tipo de material, elástico ou não. Foram consideradas na

análise as seguintes hipóteses:

• as seções perpendiculares ao eixo de referência do elemento de viga

permanecem planas e perpendiculares ao eixo após as deformações (teoria de

Bernoulli-Euler-Navier). Os efeitos das solicitações de cisalhamento não são

considerados;

• a estrutura está sujeita a grandes deslocamentos, mas a pequenas deformações.

2.2.1 - Estado deformado de uma seção genérica

O deslocamento de um ponto genérico A (ver figura 2.1) é dado por:

u = u0 - y . v’0

v = v0 (2.1)

Figura 2.1 - Deformação genérica de um elemento de viga

onde u0 representa o deslocamento axial do eixo de referência na direção x, v0 o

deslocamento transversal ao eixo de referência, v’0 a primeira derivada deste

6

deslocamento em relação a x, e y a distância do ponto genérico ao eixo de

referência.

As deformações em uma seção transversal são dadas pela soma de uma

parcela linear e outra não linear, conforme a equação:

ε = u’0 - y.v”+ ½ . (v’0)2 (2.2)

2.2.2 - Variação da energia potencial total

As forças de massa são consideradas nulas pelo modelo e as cargas {f}

aplicadas à estrutura são nodais e estão relacionadas com os respectivos

deslocamentos nodais {d} do elemento. Pode-se então escrever a primeira variação

da energia total como:

δπ = (2.3) { } [ ] { } { } { }δ ε ε δg

L

gTC dx d f

0

0∫ −. . . . =

δ

onde {εg} é o vetor que contém as componentes da deformação em um ponto no

centro de gravidade da seção transversal e [C] é a matriz de relação secante entre

tensões e deformações. A partir da expansão da equação (2.3) se obtém:

δπ = (2.4) { } [ ] [ ] [ ] { }δ ∆ Θ∆Θ

∆ Θ. . . . . .B C B dxPM

LT

0∫

−

onde [B] é a matriz das relações entre tensões e deslocamentos nodais.

A partir da equação (2.4) é obtida a expressão da segunda variação da

energia total, que dá origem à expressão da matriz de rigidez tangente do elemento

utilizado:

δπ2=

(2.5)

{ } [ ] [ ] [ ] { } { } { }δ δ∆ Θ∆Θ

∆ Θ Φ Φ. . . . . . ' . . ' .B D B dx N dxL T

xTL

0 0∫ ∫

+

−

{ }−

δ ∆ Θ .PM

7

onde [D] é definida de modo idêntico à matriz [C], porém contendo o módulo de

elasticidade tangente Et do material em lugar do módulo secante Es. Para facilitar a implementação computacional e a visualização dos termos

lineares e não lineares é feito um desdobramento do primeiro termo entre

perênteses da equação (2.5) em várias parcelas:

δ2π = (2.6) { } [ ] [ ] [ ] [ ]( ) { }δ δ∆ Θ∆Θ

∆ Θ. .K K K KPM

n nn p11 1+ + +

−

onde [K11] é a matriz tangente do elemento que contém os termos constantes, [K1n]

a matriz tangente que contém os termos que variam linearmente com os

deslocamentos, [Knn] a matriz tangente que contém os termos que variam

quadraticamente com os deslocamentos e, finalmente, a matriz [Kp] é aquela que

contém os termos que dependem do esforço normal Nx.

A equação do equilíbrio incremental é definida através da relação (2.7), pois a

equação (2.6) é válida para qualquer variação de deslocamento δ[d].

[KT] . {∆d} = {∆f} (2.7)

onde {∆d} representa o vetor dos incrementos dos deslocamentos nodais, {∆f}

representa o vetor das forças não equilibradas e [KT] a matriz de rigidez tangente ou

incremental do elemento, definida por:

[KT] = [K11] +[K1n] + [Knn] + [Kp] (2.8)

2.3 - Análise física não linear

A não linearidade física ocorre pelo fato de a matriz [D], que aparece na

equação (2.5), variar em função do nível de solicitação a que são submetidos os

8

materiais concreto e aço. Além disso, a matriz de rigidez tangente [KT] depende da

magnitude dos esforços normais através do termo [Kp].

A matriz de relações incrementais [RD] é definida por Krüger (1989) como:

[RD] =

=

oo

oo

NRNRNRNR

DDDD

∂χξ∂∂εξ∂∂χζ∂∂εζ∂

2221

1211 (2.9)

2.3.1 - Leis constitutivas dos materiais

2.3.1.1 - Concreto

O modelo utiliza a formulação do CEB (1990) para a representação do

comportamento do concreto à compressão e à tração. As curvas correspondentes

são apresentas nas figuras 2.2 e 2.3, onde:

fcm - Valor genérico da resistência à compressão;

Ec - Módulo de elasticidade tangente;

Ec1 - Módulo de elasticidade secante;

εc1 - Deformação para tensão máxima de compressão, igual a 0,0022;

εcu - Deformação correspondente a 0,5fcm;

fctm - Valor genérico da resistência à tração em MPa;

σct - Tensão de tração em MPa;

εct - Deformação de tração;

εct1 - Deformação de tração correspondente à tensão de tração de 0,9fctm, e

εct2 - 0,00015.

9

Figura 2.2 - Curva tensão vs. deformação para compressão segundo CEB (1990)

Figura 2.3 - Curva tensão vs. deformação para tração segundo CEB (1990)

O CEB (1990) define fcm, para especificações de projeto, como:

fcm = fck +8 (em MPa) (2.10)

A equação que determina a curva genérica da figura 2.2 é dada por:

10

σc =

EE

EE

f

c

c1

c

c1

c

c1

c

c1

c

c1

cm

−

+

−

.

..

εε

εε

εε

2

1 2

(2.11)

para εc < εcu.

Para valores maiores que εcu a equação da curva é dada por:

σc = 1 2 42

2

1

εε

ξ −εε

εε ε

ε

ξεεc

c1

c

c1

c

c1 c

c1

c

c1cmf

+

−

−

. . . . (2.12)

onde,

ξ = 4 2 2

2 1

1

2

1 1

1 1

2

. . .

.

εε

εε

εε

cu

c

c

c

cu

c

c

c

cu

c

c

c

EE

EE

EE

−

+

−

−

+

1 (2.13)

e a deformação εcu é dada por:

εε

cu

c

c

c

c

c

EE

EE1 1 1

212

12

1 14

12

1 12

= +

+ +

−. . . . (2.14)

O módulo de elasticidade tangente para o concreto de peso normal pode ser

estimado utilizando-se sua resistência característica, conforme a equação abaixo:

Ec = αe .(fcm / fcmo)1/3 (MPa) (2.15)

onde,

fcmo = 10 MPa

αe = 2,5 x 104 MPa.

11

O módulo de elasticidade secante fica então definido como:

E (2.16) fc

cm1

0,0022=

O comportamento à tração do concreto, representado na figura 2.3, é definido

pelo CEB (1990) como:

σct = Ect . εct (2.17)

para valores de σ ≤ 0,9fctm, e:

σct = f -0,1.f

ctmctm

0 000150 9

0 00015,

, .. ,

−

−f

Ectm

c

ctε (2.18)

para 0,9fctm < σ ≤ fctm.

Para as equações (2.17) e (2.18), o valor de fctm é definido como:

f (2.19) ff

ctm fck

ckct m=

α , .0

23

onde,

αfct m MPa, ,=1 40 , e

f Mck 0 10= .Pa

Por fim, εct1 é definido como:

ε (2.20) ctf

Ectm

c1

0,9=

.

12

2.3.1.2 - Aço

São considerados dois tipos de armadura: classe A e classe B. Na armadura

classe A, a curva tensão-deformação é caracterizada por um trecho linear até o

limite de escoamento e pela existência de um patamar de escoamento. O aço

classe B não apresenta um patamar de escoamento definido. O modelo utiliza os

diagramas tensão-deformação propostos pela NBR-6118 (1978), que são

apresentados nas figuras 2.4 e 2.5.

Figura 2.4 - Diagrama tensão vs. deformação simplificado para o aço tipo A

Figura 2.5 - Diagrama tensão vs. deformação simplificado para o aço tipo B

13

2.3.2 - Obtenção dos esforços seccionais resistentes

A partir da geometria da seção (coordenadas dos vértices da poligonal

fechada, coordenadas das barras e suas respectivas áreas) e das relações

constitutivas dos materiais, podem-se obter os esforços seccionais resistentes

(momento fletor e esforço normal) para um sistema local de coordenadas (ξ, η, ζ)

que passa pelo centro de gravidade da seção (considera-se perfeita a aderência

entre o concreto e o aço). Faz-se então a integração das tensões tanto para o

concreto como para o aço, sendo as mesmas definidas em função das curvas

tensão-deformação.

MRξ = - (2.21) ( ) ( )σ ε η ρ σ ε ηc

Ac

ii

NBs idA A s∫ ∑+

=. . . .. .

1i

NRξ = - (2.22) ( ) ( )σ ε ρ σ εc

Ac

ii

NBs idA A s∫ ∑+

=. .. .

1

onde ρi é a percentagem da armadura total As correspondente à i-ésima barra, NB é

o número total de barras e Ac é a área de concreto comprimida considerando que a

seção seja homogênea.

2.3.3 - Determinação das derivadas parciais dos esforços resistentes em

relação ao parâmetro de deformação

Derivando-se os termos das equações (2.21) e (2.22) em relação a cada um

dos parâmetros (ε0, χ0), tem-se:

∂ ξ∂ε

∂σ∂ε

∂ε∂ε

η ρ∂σ∂ε

∂ε∂ε

ηMR dA A

o

c

oAc

ii

NBs

s

oi= −

−

∫ ∑ =

. . . . . . .1

(2.23)

∂ ζ∂ε

∂σ∂ε

∂ε∂ε

ρ∂σ∂ε

∂ε∂ε

NR dA Ao

c

oAc

ii

NBs

s

o= −

−

∫ ∑ =

. . . . .1

(2.24)

14

∂ ξ∂χ

∂σ∂ε

∂ε∂χ

η ρ∂σ∂ε

∂ε∂χ

ηMR dA A

o

c

oAc

ii

NBs

s

oi= −

−

∫ ∑ =

. . . . . . .1

(2.25)

∂ ζ∂χ

∂σ∂ε

∂ε∂ε

ρ∂σ∂ε

∂ε∂χ

NR dA Ao

c

oAc

ii

NBs

s

o= −

−

∫ ∑ =

. . . . .1

(2.26)

Krüger (1989) mostra que estas integrais de área podem ser transformadas

em integrais em todo o contorno da seção transversal de cada elemento. Logo, a

matriz [RD] pode ser escrita genericamente:

[RD] = { } { }H H T∫

. . .∂σ∂ε

dA (2.27)

onde {H} representa o vetor de transformação das deformações no centro de

gravidade da seção transversal da peça, para um ponto qualquer da mesma.

2.4 - Elemento finito utilizado

O programa utiliza um elemento finito de viga inicialmente descrito em um

sistema natural de coordenadas (figura 2.6a). Em seguida, este é transformado para

um sistema auxiliar, onde as coordenadas de deslocamentos são dispostas segundo

as coordenadas globais do pórtico e permitem a descrição de deslocamentos de

corpo rígido (figura 2.6b). Depois é feita a transformação para o sistema global de

coordenadas e então se segue o método da rigidez direta.

15

(a) - natural (b) - auxiliar

Figura 2.6 - Sistemas de coordenadas

2.5 - Método de resolução

Para cada etapa do processo incremental precisa-se resolver o sistema não-

linear de equações. Esta resolução é feita pelo método de Newton-Raphson por

meio de várias estratégias à escolha do usuário: método do controle do trabalho das

forças externas; método das normas dos deslocamentos; método de controle dos

deslocamentos; e o controle de carga.

Para a análise da estrutura numa determinada etapa do carregamento é

processado o algoritmo apresentado na figura 2.7, independentemente da estratégia

utilizada para a resolução do sistema não linear de equações.

16

Cálculo das cargas nodais aplicadas a cada incremento

Cálculo das características geométricas iniciais para o estado indeslocado e

indeformado para o elemento

Os acréscimos de deslocamentos globais oriundos da resolução dos sistemas de equações não-lineares são transformados em acréscimos de

deslocamentos de cada barra

Atualização das características geométricas e da matriz [T]

Cálculo da matriz de rigidez tangente e o vetor dos deslocamentos nodais equivalentes às

tensões para o sistema global Não

Modificação da matriz de rigidez global

para as condições de contorno

Não Verificação Sim da i-ésima iteração do

critério de convergência

Resolução do sistema de O processo iterativo é equações para um novo encerrado para acréscimo de deslocamentos o incremento globais, com atualização dos mesmos em questão

Formação de uma nova Sim Verificação se o incremento de matriz e um novo carga atingiu o máximo vetor de forças nodais indicado nos dados de entrada

O processo incremental é encerrado e os resultados da estrutura podem ser encontrados nos arquivos de saída

Figura 2.7 - Algoritmo utilizado pelo modelo computacional para a análise da

estrutura numa etapa do carregamento

17

Capítulo III

CURVAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

3.1 - Introdução

Neste capítulo são apresentadas algumas curvas momento fletor - força

normal - curvatura, obtidas pelo modelo computacional, para concretos com

resistência característica normal e concretos de alta resistência. É feita uma

comparação entre estas curvas, analisando-se aí a influência da resistência do

concreto. É feita, também, uma comparação entre estas curvas e aquelas obtidas

com base no diagrama parábola-retângulo. Para esta situação é analisada a

influência da forma do diagrama tensão-deformação nas mesmas.

3.2 - Análise das curvas obtidas pelo modelo

As curvas foram obtidas para pilares bi-rotulados, discretizados em quatro

elementos, com seção transversal indicada na figura 3.1, submetidos a uma força

normal de compressão constante (correspondente a um determinado valor de ν) e a

um par de momentos fletores aplicados nos extremos, que vão sendo incrementados

pelo programa, e são responsáveis pelos momentos de primeira ordem, como se

pode verificar na figura 3.1.

Todos os diagramas foram feitos para um concreto de resistência

normal (fck = 20 MPa) e para um concreto de alta resistência (fck = 80 MPa), sempre

considerando o aço CA-50A.

Nos dados de entrada do programa, os valores fornecidos para as

resistências do concreto foram fc = 0,85fcd e para o aço fy = fyd. Portanto, um concreto

com fck = 20 MPa tem como dado de entrada no programa uma resistência fc = 0,85

x 20 / 1,4 = 12,14 MPa. Para fck = 80 MPa se tem 48.57 MPa como valor de entrada

da resistência do concreto. A resistência do aço (sempre empregado o CA-50A) foi fy

= fyd = 50 / 1,15 = 43,5 MPa.

18

N = cte. Tipo de seção transversal: d’ d’/h = 0,05 M1 Valores incrementados C C le A A M1 h

Figura 3.1 - Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ−ν−φ

Assim, fixado o valor de ν (da força normal N) as curvas foram obtidas para

as diversas taxas mecânicas de armadura (ω) sempre para a seção intermediária

C-C.

A figura 3.2 mostra as curvas correspondentes a ν = 0,2 para uma seção de

um pilar de concreto com resistência fck = 20 MPa. O eixo das ordenadas representa

os momentos fletores reduzidos totais, correspondentes à soma dos momentos de

primeira ordem (esforços M1, aplicados nas extremidades do pilar) com as

solicitações de segunda ordem (N.e2). As abscissas representam os valores da

curvatura da seção (1/r) multiplicados por 1000 e por sua altura útil (d).

Assim, ν = N/b.h.fcd e µ = M/b.h2.fcd , sendo M = M1 + M2

onde:

M1 - momento de primeira ordem (aplicado);

M2 - momento de segunda ordem (N.e2)

19

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

C

A

B

Figura 3.2 - Diagramas µ−ν−φ para fck = 20 MPa - ν = 0,2

Observando as curvas para as diversas taxas mecânicas de armadura (ω),

podem-se notar alguns pontos em que ocorrem mudanças nas suas trajetórias

(pontos A, B e C assinalados na curva correspondente a ω = 1,0). No ponto A ocorre

a fissuração no concreto. Há então uma perda de rigidez da coluna, ocorrendo uma

mudança na inclinação da curva em um trecho também aproximadamente linear até

o ponto B, onde ocorre o escoamento da armadura tracionada (atingida no ponto B a

deformação εs = εyd = 2,07‰). O ponto C corresponde ao esgotamento da

capacidade de carga da seção, com a curva tendendo a ficar na horizontal. Isto

ocorre exatamente no instante em que a armadura comprimida começa a escoar.

Analisando-se a figura 3.3 podem-se verificar os comentários acima. Nela se

mostra a evolução das deformações do concreto e das armaduras na seção

20

intermediária do pilar com o acréscimo do momento aplicado M1 para a curva

correspondente a ω = 0,4. Assim, acompanhando as deformações, podem-se

observar os pontos onde ocorrem a fissuração do concreto (ε = 0,15‰) e o início do

escoamento das armaduras (ε = 2,07‰).

A figura 3.3a mostra a relação entre os momentos totais (µ) e as deformações

nas fibras externas do concreto e nas armaduras comprimida e tracionada. A figura

3.3b mostra o momento aplicado µ1 (de primeira ordem) também com as mesmas

deformações correspondentes.

Acompanhando a figura 3.3b se observa inicialmente, com µ1 próximo de

zero, a seção toda comprimida, com as deformações nas duas faces do pilar muito

próximas. À medida que se vai aumentando o valor de µ1, começam a surgir tensões

de tração na seção até que, atingida a deformação de 0,15‰ na fibra mais

tracionada, ocorre a fissuração no concreto (ponto A da figura 3.2).

O próximo ponto onde se tem uma inflexão na curva (ponto B) ocorre quando

é atingida a deformação correspondente ao início do escoamento da armadura

tracionada (no caso, εs = εyd = 2,07‰). Isto acontece para valores µ e µ1 da ordem de

0,23 e 0,10 respectivamente. Pode-se confirmar na figura 3.2 que realmente o ponto

B na curva para ω = 0,4 tem um valor para µ de aproximadamente 0,23.

A partir daí, com a armadura tracionada já escoando, vai ocorrendo um

acréscimo muito pequeno de µ1, embora ainda com grandes aumentos do momento

total (provenientes dos aumentos da excentricidade de segunda ordem). Ou seja, no

trecho B-C da curva para ω = 0,4 se tem no gráfico µ vs. ε um segmento

ascendente, embora com uma inclinação menor do que no trecho anterior ao início

do escoamento da armadura. Já no gráfico µ1 vs. ε, se tem neste trecho uma

inclinação muito pequena, próximo à horizontal, com pequenos incrementos de µ1.

21

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.10

0.20

0.30

d'/h=0.05 - fck=20MPa - A O CA 50-A

= 0.15 = 2.07 = - 2.07

Escoamento da Armadura Tracionada

Escoamento da Armadura Comprimida

Fissuração no Concreto

DEFORMA ES NO CONCRETO

DEFORMA ES NAS ARMADURAS

COMPRESS O TRAÇÃO

ν=0.2 − ω=0.4

(a) - µ vs. ε

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.04

0.08

0.12

= 0.15 = 2.07= -2.07




COMPRESS O TRAÇÃO

1

(b) - µ1 vs. ε

Figura 3.3 - Gráficos dos Momentos Totais e Momentos Aplicados vs. Deformações

22

No ponto C ocorre o início do escoamento da armadura comprimida, para

µ ≅ 0,27, como se pode observar no gráfico µ vs. ε (εs = εycd = -2,07‰). Verifica-se

também que a partir deste ponto ocorrem acréscimos muito pequenos de µ com os

valores de µ1 já decrescendo. A capacidade de carga da seção foi esgotada e a

curva µ vs. φ passa a ficar praticamente na horizontal.

Na tabela 3.1 são apresentados todos os casos de analisadas neste trabalho

para a obtenção das curvas µ−ν−φ.

As curvas obtidas com outros valores de ν apresentam comportamento

semelhante aos casos aqui analisados (para ν = 0,2), diferindo, entretanto,

principalmente na localização dos pontos de início de escoamento das armaduras

tracionada e comprimida (pontos B e C da figura 3.2 ). Com o aumento da força

normal, os pontos B e C tendem a trocar de posição, ou seja, a armadura

comprimida passa a escoar antes da tracionada. Para ν = 0,4, por exemplo, pode-se

observar na figura 3.4 que, para a mesma resistência do concreto, as posições dos

pontos B e C se invertem para as taxas mecânicas ω = 1,0 e ω = 0,2, passando

nesta última curva a ocorrer primeiro o escoamento da armadura comprimida. Para ν

= 0,6 e 0,8 a armadura A’s (comprimida) escoa sempre antes de As (tracionada).

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

Fissura o

Escoam. de A's

Escoam. de As

d'/h=0.05 - fck=20MPa ν=0.4

Escoam. de A's

Escoam. de As

Fissura o

ω=1.0

ω=0.2

Figura 3.4 - Curvas µ−ν−φ para ν = 0,4 - Indicação dos pontos marcantes do

desenvolvimento das curvas

23

Tabela 3.1 - Casos analisados na obtenção das curvas µ−ν−φ

ν fck (MPa) ω Aço d’/h 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,2 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,4 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0 CA-50A 0,05 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,6 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,8 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0

24

3.3 - Influência da resistência do concreto

Na figura 3.5 se apresentam as curvas µ−ν−φ para concretos com fck de

20 MPa e 80 MPa plotadas no mesmo gráfico a fim de se analisar a influência da

resistência do concreto.

Verifica-se que as diferenças entre as curvas tendem a diminuir com o

aumento do momento atuante. Até a fissuração do concreto, as diferenças são

substancialmente grandes. Para valores de µ próximos a 0,05, por exemplo, uma

seção com ω = 0,0 e concreto com fck = 20 MPa, tem uma curvatura menor do que

uma com ω = 0,6 e concreto de 80 MPa. A partir da fissuração da seção até o início

do escoamento da armadura tracionada, as curvas das duas resistências tendem a

se aproximar um pouco, chegando a ficar coincidentes durante o escoamento da

armadura tracionada até a armadura comprimida começar a escoar. Neste ponto,

que corresponde exatamente ao esgotamento da capacidade resistente da seção

(portanto, já no estado limite último), as curvas voltam a se separar, ficando as de

concreto com menor resistência ligeiramente acima daquelas construídas com

fck = 80 MPa.

Mais adiante, nas figuras 3.7, 3.8 e 3.9, serão apresentadas as curvas µ−ν−φ

para ν = 0,4, ν = 0,6 e ν = 0,8 respectivamente. Há uma tendência de aumento das

diferenças entre as curvas (no estado limite último) com o crescimento da força

normal ν. Em termos de capacidade de carga (normalizada), as seções dos pilares

com fck = 20 MPa resistiram a um momento µ cerca de 1,5% superior ao daquelas

com concreto de 80 MPa para ν = 0,2. No caso de ν = 0,8, esta diferença aumenta

para aproximadamente 7,5%.

25

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.2

fck=20MPa

fck=80MPa

_________

_ _ _ _ _

ω=0.4

Figura 3.5 - Curvas µ−ν−φ para ν = 0,2 - Influência da Resistência do Concreto

3.4 - Influência da forma do diagrama tensão-deformação

A figura 3.6 mostra as curvas obtidas para concretos com resistências

características de 20 e 80 MPa juntamente com aquelas construídas com o

diagrama tensão-deformação parábola-retângulo da NBR-6118 (1978). Estas últimas

foram retiradas graficamente de Fusco (1981) a fim de se fazer a comparação com

as obtidas pelo modelo, analisando-se a influência da forma do diagrama σ.ε no

traçado das mesmas.

26

2.00 4.00 6.00 8.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.2ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2

ω=0.0

fck=20MPa

fck=80MPa

- - - - - fck=qualquer - PAR B-RET NG.

________

_ _ _ _

ω=0.4

Figura 3.6 - Curvas µ−ν−φ do modelo (CEB) vs. Parábola-retângulo (NBR-6118)

para ν= 0,2

As curvas baseadas na relação tensão-deformação da NBR-6118 são válidas

para qualquer valor de resistência do concreto, uma vez que o diagrama parábola-

retângulo tem sua forma independente do valor da mesma.

Como na figura 3.5, aqui também as diferenças são razoavelmente grandes

para baixos valores do momento. À medida em que a seção vai sendo mais

solicitada, com o aumento de M1 (e, evidentemente, aumento também do momento

total), as curvas apresentam a tendência de se aproximar. As curvas de Fusco, no

entanto, não mostram nitidamente o trecho entre o escoamento da armadura

tracionada e o início do escoamento da comprimida, apresentado pelas curvas do

27

modelo (trecho B-C da figura 3.2). No patamar tendendo à horizontal do final das

curvas, já no estado limite último, elas apresentam uma significativa diferença (para

quase todos os valores de ω, as maiores diferenças se apresentam neste trecho),

aparecendo sempre as do modelo por cima (primeiro as de fck = 20 MPa, logo abaixo

as de fck = 80 MPa) e por último, mais afastadas, as curvas do diagrama parábola-

retângulo.

Nas figuras 3.7, 3.8 e 3.9 são apresentadas as curvas µ−ν−φ obtidas pelo

modelo para os demais casos estudados, ou seja, para ν = 0,4, ν = 0,6 e ν = 0,8

respectivamente. Da mesma forma como foi feito para ν = 0,2, são mostrados

gráficos comparando as curvas para as duas resistências do concreto e, em

seguida, a comparação destas últimas com as curvas baseadas no diagrama

parábola-retângulo para a relação tensão-deformação do concreto. De um modo

geral, o comportamento destas curvas é semelhante ao apresentado por aquelas

mostradas na figura 3.6.

As primeiras curvas µ−ν−φ (para ν = 0,2 e parte de ν = 0,4) foram obtidas com

pilares esbeltos (λ ≅ 138). Acontece que, com o aumento da solicitação, o pilar

muitas vezes passava a entrar em colapso por instabilidade, sem que a seção

analisada tivesse sua capacidade de carga esgotada (o pilar flambava sem que as

armaduras escoassem ou que o concreto esmagasse) inviabilizando a obtenção das

curvas. Assim as demais curvas foram obtidas para as seções intermediárias de

pilares curtos (λ ≅ 35).

28

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.4

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

_________

_ _ _ _ _

fck=20MPa

fck=80MPa

)

ω=0.0

ω=0.4

ω=0.4

(a) - Influência da Resistência do Concreto

2.00 4.00 6.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.4ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2

ω=0.0

fck=20MPa (CEB)

fck=80MPa (CEB)

- - - - - fck=qualquer (PAR B-RET NG)

_______

_ _ _ _

(b) - Curvas do Modelo (CEB) vs. Diagrama Parábola-Retângulo (NBR-6118)

Figura 3.7 - Curvas µ−ν−φ para ν = 0,4

29

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.6

_________

_ _ _ _ _

fck=20MPa

fck=80MPa

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2

ω=0.0

ω=0.4

ω=0.4


1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.6

________

_ _ _ _

fck=20MPa (CEB)

fck=80MPa (CEB)

- - - - - fck=qualquer (PAR B-RET NG.)

ω=1.0

ω=0.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2



30

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.8

_________

_ _ _ _ _

fck=20MPa

fck=80MPa

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2

ω=0.0

ω=0.4

ω=0.4


1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A O CA 50-A

ν=0.8

________

_ _ _ _

fck=20MPa (CEB)

fck=80MPa (CEB)

- - - - - fck=qualquer ( PAR B-RET NG.)

ω=1.0

ω=0.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2



31

Capítulo IV

CURVAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - ÍNDICE DE ESBELTEZ

4.1 - Introdução

São apresentados neste capítulo dois tipos de curvas µ−ν−λ. Primeiramente

são analisadas as curvas obtidas com momentos de primeira ordem constantes ao

longo do pilar (figura 4.1a), considerando concretos com fck = 20 MPa e fck = 80 MPa.

Além da análise da influência da resistência do concreto, é feita também uma

comparação entre as curvas obtidas pelo modelo e aquelas baseadas no diagrama

parábola-retângulo.

Em seguida se apresentam as curvas µ−ν−λ obtidas com os momentos de

primeira ordem variando ao longo da altura do pilar (figura 4.1b), que é o caso mais

respresentativo de solicitações existentes nos pilares de edifícios.

M1 M1

M1 M1

M1

M1 M1 M1

(a) - M1 constante ao longo do pilar (b) - M1 variável ao longo do pilar

Figura 4.1 - As duas formas do diagrama de momentos de primeira ordem

empregadas na obtenção das curvas µ−ν−λ

32

Não se dispõe na literatura destes ábacos µ−ν−λ com M1 variável, portanto

não são apresentadas comparações com curvas baseadas na relação parábola-

retângulo. São analisadas somente as comparações entre as curvas obtidas pelo

modelo, para concretos de resistência normal e de alta resistência.

4.2 - Curvas µ-ν-λ com momento de primeira ordem constante ao longo do

pilar

4.2.1 - Análise das curvas obtidas pelo modelo

De modo semelhante às curvas µ−ν−φ, apresentadas no Capítulo III, estes

diagramas foram obtidos para um pilar bi-rotulado submetido a uma força normal e a

um par de momentos aplicados nas suas extremidades, como mostra a figura 4.2:

N Tipo de seção transversal: d’ d’/h = 0,10 M1 Valores A A incrementados C C le h M1

Figura 4.2 - Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ−ν−λ

Neste caso, porém, tanto a força normal quanto o momento aplicado são

incrementados na análise, de modo a se obterem pares de esforços (N e M1) que

levem ao colapso do pilar, seja por instabilidade ou pelo esgotamento da capacidade

resistente da sua seção crítica (seção intermediária C-C indicada na figura 4.2, onde

ocorre a excentricidade de segunda ordem máxima).

Todos os diagramas foram construídos considerando o aço CA-50A com a

distribuição das armaduras mostrada na figura 4.2 (a relação d’/h = 0,10 foi

33

escolhida por ser ela a empregada nas curvas existentes que consideram o

diagrama parábola-retângulo). Foram construídas curvas para um concreto de

resistência normal (fck = 20 MPa) e para um concreto de alta resistência

(fck = 80 MPa).

Escolhida uma determinada esbeltez, a resistência do concreto e a taxa

mecânica de armadura, cada par de esforços (ν e µ1) que conduzia o pilar à ruína

representava um ponto da curva µ−ν−λ.

Do mesmo modo como para as curvas µ−ν−φ, os valores fornecidos para as

resistências do concreto nos dados de entrada do programa foram fc = 0,85fcd e para

o aço fy = fyd. Portanto, foi dado o valor fc = 12,14 MPa para a resistência de um

concreto com fck = 20 MPa e 48,57 MPa para fck = 80 MPa. A resistência do aço foi

fy = fyd = 50 / 1,15 = 43,5 MPa. Os casos analisados estão indicados na tabela 4.1.

As curvas referentes à esbeltez le/h = 40 (λ ≅ 138) e le/h = 25 (λ ≅ 87) foram

obtidas com pilares discretizados em quatro elementos iguais, tendo o primeiro

ponto de Gauss do elemento 3 se deslocado para a sua extremidade esquerda a fim

de se poderem obter as tensões e deformações exatamente na seção intermediária

do pilar (figura 4.3).

Elem. 1

Elem.2

Elem.3

Elem.4

Ponto de Integração deslocado para a extremidade do elemento 3

Figura 4.3 - Uma das discretizações dos pilares utilizados na obtenção das curvas

µ−ν−λ

34

Tabela 4.1 - Casos analisados na obtenção das curvas µ−ν−λ para M1 Constante

(total de 540 casos)

le/h fck ω ν Aço d’/h (MPa) 0,0 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,39 - 0,44 0,2 0 - 0,09 - 0,13 - 0,18 - 0,22 - 0,26 - 0,35 - 0,44 - 0,46 - 0,49 20 0,4 0 - 0,09 - 0,13 - 0,18 - 0,22 - 0,26 - 0,31 - 0,35 - 0,44 - 0,53 - 0,58 0,6 0 - 0,13 - 0,18 - 0,26 - 0,31 - 0,35 - 0,44 - 0,53 - 0,60 - 0,64 0,8 0 - 0,18 - 0,35 - 0,44 - 0,53 - 0,61 - 0,68 - 0,71 1,0 0 - 0,18 - 0,35 - 0,53 - 0,61 - 0,70 - 0,76 - 0,79

40 0,0 0 - 0,04 - 0,09 - 0,13 - 0,18 - 0,22 - 0,26 - 0,29 - 0,31 0,2 0 - 0,07 - 0,09 - 0,11 - 0,13 - 0,15 - 0,18 - 0,20 - 0,22 - 0,24 - 0,26 0,28 - 0,31 - 0,33 - 0,35 - 0,38 - 0,39 80 0,4 0 - 0,04 - 0,13 - 0,22 - 0,31 - 0,35 - 0,39 - 0,44 - 0,47 - 0,48 0,6 0 - 0,04 - 0,13 - 0,22 - 0,31 - 0,39 - 0,48 - 0,56 - 0,57 0,8 0 - 0,04 - 0,13 - 0,22 - 0,35 - 0,44 - 0,53 - 0,57 - 0,65 - 0,66 1,0 0 - 0,02 - 0,09 - 0,13 - 0,18 - 0,22 - 0,26 - 0,39 - 0,46 - 0,53 - 0,66 0,74 - 0,75 0,0 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,44 - 0,53 - 0,57 - 0,62 0,2 0 - 0,09 - 0,13 - 0,18 - 0,35 - 0,53 - 0,61 - 0,70 - 0,74 20 0,4 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,53 - 0,70 - 0,85 - 0,88 CA-50A 0,10 0,6 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,53 - 0,70 - 0,88 - 1,02 - 1,04 0,8 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,53 - 0,70 - 0,88 - 1,05 - 1,19 - 1,22 1,0 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,44 - 0,53 - 0,70 - 0,88 - 1,05 - 1,23 1,37 - 1,43 0,0 0 - 0,02 - 0,04 - 0,07 - 0,09 - 0,11 - 0,13 - 0,15 - 0,18 - 0,20 - 0,22

25 0,24 - 0,26 - 0,28 - 0,31 - 0,35 - 0,44 - 0,48 - 0,53 - 0,55 - 0,57 0,2 0 - 0,0004 - 0,002 - 0,004 - 0,02 - 0,04 - 0,07 - 0,09 - 0,11 - 0,13 0,15 - 0,18 - 0,22 - 0,31 - 0,39 - 0,53 - 0,66 - 0,72 - 0,75

0,4 0 - 0,004 - 0,02 - 0,04 - 0,07 - 0,09 - 0,11 - 0,13 - 0,15 - 0,18 - 0,22

0,31 - 0,44 - 0,66 - 0,75 - 0,88 - 0,91 - 0,93 80 0,6 0 - 0,09 - 0,18 - 0,26 - 0,35 - 0,53 - 0,70 - 0,88 - 1,02 - 1,04 0,8 0 - 0,02 - 0,04 - 0,07 - 0,13 - 0,22 - 0,35 - 0,53 - 0,66 - 0,88 - 1,01 1,09 - 1,23 - 1,30 - 1,32 1,0 0 - 0,02 - 0,04 - 0,09 - 0,13 - 0,18 - 0,22 - 0,26 - 0,39 - 0,66 - 0,88 1,09 - 1,23 - 1,31 - 1,40 - 1,50 - 1,53

35

Tabela 4.1 - Continuação

le/h fck ω ν Aço d’/h (MPa) 0,0 0 - 0,01 - 0,03 - 0,04 - 0,06 - 0,09 - 0,12 - 0,15 - 0,22 - 0,28 - 0,33 0,42 - 0,48 - 0,60 - 0,63 - 0,65 - 0,67 - 0,70 - 0,72 - 0,77 - 0,82 0,2 0 - 0,04 - 0,09 - 0,15 - 0,23 - 0,31 - 0,35 - 0,38 - 0,40 - 0,43 - 0,50 0,60 - 0,69 - 0,77 - 0,82 - 0,87 - 0,91 - 0,95 - 0,97 - 1,00 - 1,05 0,4 0 - 0,07 - 0,16 - 0,28 - 0,33 - 0,38 - 0,45 - 0,50 - 0,55 - 0,60 - 0,64 0,75 - 0,84 - 0,43 - 0,99 - 1,05 - 1,10 - 1,13 - 1,18 - 1,21 - 1,25 20 0,6 0 - 0,11 - 0,24 - 0,32 - 0,38 - 0,43 - 0,47 - 0,55 - 0,61 - 0,67 - 0,80 0,94 - 1,03 - 1,16 - 1,23 - 1,29 - 1,36 - 1,40 - 1,43 - 1,45 0,8 0 - 0,14 - 0,23 - 0,32 - 0,36 - 0,39 - 0,46 - 0,55 - 0,64 - 0,80 - 0,93 1,13 - 1,29 - 1,41 - 1,51 - 1,58 - 1,62 - 1,65 1,0 0 - 0,08 - 0,18 - 0,28 - 0,33 - 0,38 - 0,42 - 0,46 - 0,58 - 0,73 - 0,91 1,05 - 1,32 - 1,50 - 1,63 - 1,75 - 1,82 - 1,85

10 0,0 0 - 0,007 - 0,02 - 0,05 - 0,06 - 0,11 - 0,15 - 0,17 - 0,26 - 0,32 0,35 - 0,38 - 0,41 - 0,45 - 0,52 - 0,55 - 0,64 - 0,68 - 0,75 - 0,80 CA-50A 0,10 0,83 - 0,85 0,2 0 - 0,04 - 0,06 - 0,09 - 0,15 - 0,23 - 0,27 - 0,29 - 0,31 - 0,32 - 0,34 0,38 - 0,42 - 0,48 - 0,54 - 0,60 - 0,67 - 0,70 - 0,76 - 0,81 - 0,85 0,91 - 0,98 - 1,00 - 1,02 - 1,03 - 1,05 0,4 0 - 0,03 - 0,07 - 0,17 - 0,22 - 0,28 - 0,30 - 0,33 - 0,35 - 0,36 - 0,42 0,48 - 0,57 - 0,65 - 0,72 - 0,78 - 0,86 - 0,93 - 1,01 - 1,07 - 1,18 1,20 - 1,22 - 1,24 - 1,25 20 0,6 0 - 0,05 - 0,11 - 0,17 - 0,24 - 0,28 - 0,31 - 0,34 - 0,37 - 0,45 - 0,52 0,67 - 0,78 - 0,92 - 1,04 - 1,15 - 1,22 - 1,36 - 1,40 - 1,42 - 1,44 1,45 0,8 0 - 0,07 - 0,14 - 0,23 - 0,27 - 0,32 - 0,35 - 0,38 - 0,48 - 0,61 - 0,78 0,90 - 1,06 - 1,16 - 1,28 - 1,40 - 1,51 - 1,59 - 1,61 - 1,64 - 1,65 1,0 0 - 0,08 - 0,18 - 0,28 - 0,31 - 0,33 - 0,37 - 0,44 - 0,56 - 0,70 - 0,89 1,02 - 1,20 - 1,31 - 1,44 - 1,58 - 1,70 - 1,78 - 1,81 - 1,84 - 1,85

Ainda com relação aos pilares esbeltos (le/h = 40 e 25), os pontos foram obtidos da seguinte maneira: fixavam-se os valores da força normal N (escolhidos em ordem crescente, a partir de zero, de modo a varrer todo o eixo das abscissas) e se fazia incrementar somente M1 até que ele atingisse o valor que conduzisse o pilar à ruína. Então, N e M1 transformavam-se nos esforços reduzidos na forma adimensional ν e µ1 gerando as curvas.

36

Na figura 4.4 é apresentado um gráfico contendo as curvas de interação

µ−ν−λ para um concreto com resistência normal (fck = 20 MPa) e esbeltez le/h = 40

(λ ≅ 138) para as diversas taxas mecânicas de armadura.

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA-50A

le/h=40 - M1 Constante

A

B

CD

PONTOS DE MUDANÇA NA TRAJETÓRIA

Figura 4.4 - Curvas µ−ν−λ para M1 constante - le/h = 40; fck = 20 MPa

Foram tomados os pontos A, B, C e D indicados na curva correspondente à

taxa de armadura ω = 1,0 para se poder analisar o comportamento das curvas ao

longo de suas trajetórias. Para todas as curvas (excetuando-se a de ω = 0,0) há uma

mudança mais brusca nos seus traçados exatamente na região assinalada na figura.

O ponto C foi escolhido por acontecer justamente ali a mudança de trajetória

da curva. Os demais pontos, A, B e D, correspondem respectivamente a ν = 0,2; 0,4

e 0,6.

37

Como já foi dito, cada ponto de qualquer uma das curvas representa um par de

esforços (ν e µ1) que leva o pilar à ruína, seja por esgotamento da capacidade de

carga de sua seção crítica (por esmagamento do concreto ou escoamento das

armaduras) ou por instabilidade da coluna. Assim, a análise dos pontos será feita por

meio de gráficos momento aplicado vs. deformações na seção intermediária do pilar

(seção crítica), onde se poderá acompanhar o comportamento das deformações no

concreto e nas armaduras à medida em que M1 vai sendo incrementado (já que N

era sempre mantido com um valor constante).

Na figura 4.5 é apresentado um gráfico mostrando a evolução das

deformações no concreto e nas armaduras na seção intermediária C-C, com os

acréscimos do momento aplicado M1, para o ponto A (que representa o par de

esforços ν = 0,20 e µ1 = 0,347). São apresentadas duas curvas de deformações no

concreto, uma para cada face do pilar. Também para as armaduras aparecem duas

curvas, representando as deformações nas duas porções de armadura dispostas de

cada lado da seção (figura 4.2).

Acompanhando-se o gráfico tem-se inicialmente, para o momento aplicado µ1

igual a zero, todas as curvas de deformações juntas, partindo do mesmo ponto.

Trata-se, neste instante, de compressão uniforme, já que ν = 0,20 e µ1 = 0. Com o

aumento do momento, as deformações do concreto nas duas faces do pilar vão se

distanciando até que se tenha tração em uma delas. A partir daí, as fibras

tracionadas do concreto resistem às tensões até o instante em que, atingida a

deformação εc = 0,15‰, ocorre a fissuração. Passa a existir, a partir deste ponto,

apenas uma curva de deformações no concreto (na face comprimida da seção) e as

duas curvas que representam as deformações nas armaduras comprimida e

tracionada. Com a fissuração do concreto há uma perda de rigidez da seção e se

pode observar no gráfico a primeira mudança de inclinação das curvas. Apresenta-

se, então, um trecho praticamente linear até µ1 ≅ 0,32, onde ocorre o escoamento da

armadura tracionada. Nova perda de rigidez da seção, com mais uma mudança de

inclinação das curvas. O momento continua aumentando até atingir seu valor

máximo exatamente no ponto onde a armadura comprimida começa a escoar. A

seção passa então a não resistir mais a acréscimos de carga e as curvas passam a

assumir um trecho descendente.

38

Conclui-se, assim, que no ponto A o que levou o pilar à ruína foi o

esgotamento da capacidade de carga da seção intermediária C-C, que se deu por

escoamento das armaduras.

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

d'/h=0.10 - le/h=40fck=20MPa - A o CA 50-A

= 0.15 = 2.07 = -2.07






COMPRESS O TRAÇÃO

(ν=0.2 ; µ1=0.347)

Pto. A -

1

ω=1.0

Figura 4.5 - Curvas momento aplicado vs. deformações na seção intermediária,

correspondentes ao ponto A da figura 4.4

A figura 4.6 apresenta a curva momento aplicado vs. deslocamento

transversal do eixo do pilar (deslocamento de segunda ordem no nível da seção

intermediária C-C), também relativa ao ponto A.

39

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

e

1

Escoam. de As

Escoam. de A's

Fissura o

2 (cm) Figura 4.6 - Curva momento aplicado vs. deslocamento de 2a ordem,

correspondente ao ponto A da figura 4.4

A figura mostra que, apesar de o deslocamento de segunda ordem já ser de

aproximadamente 17 cm, portanto um valor alto (tratava-se de um pilar com 20 cm

de largura e com 8 metros de altura), o pilar só foi à ruína (ou seja, µ1 atingiu seu

valor máximo) com o escoamento da armadura comprimida em sua seção

intermediária.

Completando a análise do ponto A, apresenta-se na figura 4.7 o gráfico

correspondente ao momento total vs. deformações, sempre referidas à seção C-C.

O momento total se constitui da soma dos momentos de primeira e segunda ordens,

isto é, da soma do momento aplicado com o produto da força normal pelo

deslocamento de segunda ordem e2 (µ = µ1 + ν.e2).

Acompanhando-se a figura 4.7 podem-se verificar também os pontos de

fissuração e escoamento das armaduras. Uma observação importante em

comparação com o gráfico µ1 vs. ε é que, no instante em que ocorre o esgotamento

da capacidade de carga do pilar, os valores do momento total não diminuem como

os de primeira ordem, mas tendem a ficar num patamar constante. Isto acontece

porque a redução de µ1 é compensada por um acréscimo de momento de segunda

40

ordem, pois, a partir daquele instante, os deslocamentos transversais (e2) passam a

crescer numa taxa cada vez maior (figura 4.14).

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.20

0.40

0.60


= 0.15 = 2.07 = -2.07






COMPRESS O TRAÇÃO

(ν=0.2 ; µ1=0.347)

Pto. A -ω=1.0

Figura 4.7 - Curvas momento total vs. deformações na seção intermediária,

correspondentes ao ponto A da figura 4.4

No ponto B os esforços são ν = 0,4 e µ1 = 0,218. Na figura 4.8 é apresentado

o gráfico correspondente a este ponto representando o momento aplicado vs.

deformações na seção intermediária do pilar. Numa análise semelhante à da figura

4.5 (ponto A) constata-se que, também aqui no ponto B, o momento máximo é

atingido exatamente no início do escoamento da armadura comprimida. Verifica-se

no gráfico que a armadura tracionada entra em escoamento um pouco antes da

comprimida. Para µ1 ≅ 0,217 se tem As começando a escoar e logo após, para

µ1 = 0,218, já há o início do escoamento da armadura comprimida.

41

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


= 0.15 = 2.07 = -2.07




DEFORMA ES NO CONCRETODEFORMA ES NAS ARMADURAS

(ν=0.4 ; µ1=0.218) Pto. B -

1

ω=1.0

Figura 4.8 - Curvas momento aplicado vs. deformações na seção intermediária, correspondentes ao ponto B da figura 4.4

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.20

0.40

0.60


= 0.15 = 2.07 = -2.07

Escoamento da Armadura Tracionada Escoamento

da Armadura Comprimida



(ν=0.4 ; µ1=0.218) Pto. B -ω=1.0

Figura 4.9 - Curvas momento total vs. deformações na seção intermediária, correspondentes ao ponto B da figura 4.4

42

Verifica-se que o comportamento do pilar é o mesmo nos pontos A e B. No

ponto B o momento aplicado também começa a diminuir a partir do início do

escoamento da armadura comprimida, instante este que representa o esgotamento

da capacidade resistente da seção crítica da coluna. O gráfico da figura 4.9 (µ vs. ε)

tem um desenvolvimento idêntico ao equivalente para o ponto A (figura 4.7).

No ponto C ocorre uma mudança na trajetória da curva µ−ν−λ. O par de

esforços que conduz o pilar à ruína é ν = 0,525 e µ1 = 0,072. Na figura 4.10, que

mostra as curvas µ1 vs. ε, pode-se verificar que as solicitações alcançam seus

valores máximos sem que a seção crítica do pilar tenha esgotado sua capacidade

resistente. O momento aplicado começa a diminuir e as deformações não indicam

escoamento das armaduras nem tampouco esmagamento do concreto.

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08


= 0.15 = -2.07


Fissura o no Concreto


COMPRESSÃO TRAÇÃO

(ν=0.525 ; µ1=0.072) Pto. C -

1

ω=1.0

INSTABILIDADE DA COLUNA


correspondentes ao ponto C da figura 4.4

43

Observa-se que, após a fissuração do concreto (que se dá para µ1 ≅ 0,05), o

pilar já não resiste mais a tantos acréscimos de carga como nos casos anteriores.

Para um momento aplicado em torno de 0,07 já se tem a ruína do pilar e a armadura

comprimida só entra em escoamento no trecho descendente das curvas.

Pode-se concluir, assim, que se trata de um caso de instabilidade da coluna

no ponto C. Atingida a combinação crítica dos carregamentos capaz de gerar a

instabilidade, os deslocamentos transversais do eixo do pilar vão crescendo cada

vez mais rapidamente sem que seja possível à seção oferecer esforços resistentes

capazes de equilibrar os solicitantes.

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


= 0.15 = -2.07




(ν=0.525 ; µ1=0.072) Pto. C -ω=1.0



correspondentes ao ponto C da figura 4.4

A figura 4.11 apresenta as curvas momento total vs. deformações. Verifica-se

que, mesmo depois de atingido o esgotamento da capacidade de carga do pilar, os

valores do momento total continuam crescendo, diferente do que ocorreu nos pontos

A e B onde ele passava a ficar praticamente constante (ver figuras 4.7 e 4.9). A

44

seguir, após a análise do ponto D, estas diferenças nos gráficos µ vs. ε serão

abordadas.

O comportamento do pilar no ponto D pode ser analisado pelas figuras 4.12 e

4.13. Na primeira se apresenta o gráfico µ1 vs. ε. Também como no ponto C, aqui o

estado limite último é atingido pela flambagem do pilar. A concreto fissura na seção

C-C para µ1 ≅ 0,04 e já para o valor de aproximadamente 0,05 ocorre a instabilidade.

Neste ponto, as deformações nas armaduras indicam que as mesmas estão longe

de começar a escoar. As fibras mais comprimidas do concreto também não estão

próximas de atingir o encurtamento correspondente ao seu esmagamento (aqui no

ponto D estas observações ficam ainda mais evidentes do que no ponto C).

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00

0.01

0.03

0.05

0.00

0.02

0.04


Fissura o no Concreto


(ν=0.6 ; µ1=0.051) ω=1.0

Pto. D -

1

ε = −2.07 ε = 0.15



correspondentes ao ponto D da figura 4.4

Na figura 4.13 se mostram as curvas momento total vs. deformações na

seção intermediária da coluna.

45

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50




(ν=0.6 ; µ1=0.051) ω=1.0

Pto. D -

ε = −2.07 ε = 0.15



correspondentes ao ponto D da figura 4.4

Da mesma maneira como ocorreu no ponto C, o momento total continua

crescendo após o esgotamento do pilar, o que, como já foi dito, não ocorreu nos

pontos A e B. Isto ocorre porque nestes casos, onde o estado limite último de ruína

ocorre por instabilidade (pontos C e D), os momentos de segunda ordem

representam uma grande parcela do momento total. Assim, os acréscimos de µ2,

que continuam a ocorrer após atingida a carga de ruína do pilar, levam o momento

total a manter o crescimento, apesar do decréscimo de µ1. Este decréscimo do

momento de primeira ordem, que ocorre nos dois casos, representa muito mais para

o momento total nos pontos A e B (esgotamento da seção crítica com escoamento

das armaduras) do que nos pontos C e D. As figuras 4.14 e 4.15 mostram gráficos

onde aparecem, simultaneamente, as curvas dos momentos de primeira ordem, de

segunda ordem e total vs. o deslocamento e2 para os pontos A e D respectivamente.

Nelas se podem visualizar os comentários acima.

46

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00

0.00

0.20

0.40

0.60

PONTO A

e2(cm)

Ru na (escoam. de A's)

µ

µ Total

1

µ 2

µ2

Figura 4.14 - Ponto A - Curvas momentos vs. deslocamento de 2a ordem

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

PONTO D

e2(cm)

Ru na(Instabilidade)

µ

µ

Total

1

Figura 4.15 - Ponto D - Curvas momentos vs. deslocamento de 2a ordem

47

Da análise destes quatro pontos na curva correspondente a ω = 1,0 do

gráfico µ−ν−λ, pode-se concluir que o ponto C (e, por extensão, todos os pontos

equivalentes nas demais curvas da figura 4.4) representa um divisor do

comportamento do pilar. Esforços aplicados que se constituam em pontos

localizados no gráfico antes do ponto C levam o pilar à ruína por esgotamento da

capacidade de carga de sua seção crítica por escoamento das armaduras. Qualquer

ponto localizado depois dele representa um par de esforços solicitantes que conduz

o pilar à instabilidade.

Um outro ponto dos diagramas de interação que também merece destaque é

o correspondente a µ1 = 0,00 (compressão centrada). No processo de obtenção

deste ponto das curvas, a força normal N era incrementada pelo programa e era

fornecido um momento de primeira ordem diferente de zero mas muito pequeno (no

valor de 0,10 kNcm). Este pequeno valor de M1 era dado a fim de gerar uma

excentricidade mínima capaz de desencadear o aparecimento dos deslocamentos

de segunda ordem. Caso se entrasse no programa com M1 = 0,00, o pilar seria

analisado como submetido a compressão simples, sem os efeitos de segunda ordem

que o levam à instabilidade. Foi preciso criar uma perturbação no modelo teórico

para se obter a carga normal crítica de flambagem. Na figura 4.16 é mostrada a

curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar (no nível da seção

intermediária C-C) para o ponto correspondente à compressão centrada (ν= 0,79;

µ1 = 0,00) da curva para ω= 1,0. A carga vai de ν = 0,0 até ν≅ 0,77 sem que haja

praticamente nenhum deslocamento (o pequeno deslocamento que há, o qual

teoricamente não existe, é em função da excentricidade de primeira ordem induzida)

até que repentinamente atinge um valor crítico (no caso aproximadamente 0,79) que

leva o pilar à instabilidade, passando a promover então deslocamentos transversais

cada vez maiores.

Apresentam-se na figura 4.17 os diagramas µ−ν−λ para pilares com a

relação le/h = 25 e resistência característica fck = 20 MPa. Estas curvas, além de

terem sido obtidas exatamente da mesma maneira, apresentam o mesmo

comportamento daquelas com le/h = 40. Embora menos perceptível visualmente,

elas também apresentam uma região de limite entre pontos de ruína por

esgotamento da seção crítica por escoamento das armaduras e pontos de

instabilidade.

48

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

e2(cm)

ν=0.79 − µ1=0.00ω=1.0

Figura 4.16 - Instabilidade na compressão centrada - Curva ν vs. e2 - le/h = 40

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501

ω=1.0

fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA-50A


ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0

LIMITE DA MUDANÇA DE COMPORTAMENTO


49

Além destas curvas para le/h = 40 e le/h = 25 foram obtidos também os

diagramas de interação força normal - momento - esbeltez (com M1 constante) para

pilares curtos, com le/h = 10 (λ ≅ 35). Diferentemente das anteriores, estas curvas

foram construídas empregando-se pilares discretizados em doze elementos iguais,

também deslocando o primeiro ponto de Gauss do elemento 7 para baixo para

coincidir exatamente com a seção intermediária C-C do pilar (figura 4.18).

Ponto de Integração deslocado

Elem. 7

Elem. 1

Elem. 12

Figura 4.18 - Discretização dos pilares para as curvas µ−ν−λ com le/h = 10

O processo de obtenção dos pares de esforços também foi diferente daquele

empregado nas curvas anteriores. Aqui se faziam incrementar pelo programa tanto a

força normal quanto o momento aplicado, mantidos numa determinada proporção.

Portanto, para cada ponto o programa rodava com a relação N/M1 num determinado

valor. Entrava-se sempre, primeiramente, com N/M1 = 0, depois N/M1 = 1% (N em

kN, M1 em kNcm), N/M1 = 2% ... 10%... 300% ... até o último ponto, que

correspondia a M1 = 0.

50

A figura 4.19 apresenta as curvas µ−ν−λ para os pilares com le/h = 10 e

concreto de resistência normal (fck = 20 MPa), sempre para o aço CA-50A e

d’/h = 0,10.

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

le/h=10 - M1 Constantefck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA-50A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


Por se tratar de pilares curtos, aqui não há casos de instabilidade (a exceção

se apresenta no caso de compressão centrada em pilares sem armaduras, como

será visto em seguida). Em todos os demais pontos das curvas a ruína se dá por

esgotamento da capacidade de carga da seção mais crítica do pilar, que continua

sendo a intermediária. No início das curvas, no trecho ascendente, este

esgotamento se dá por escoamento da armadura tracionada (trecho em azul na

curva para ω = 1,0). Depois se tem um pequeno trecho onde, além de As, A’s

também passa a escoar, no topo das curvas (trecho vermelho em ω = 1,0). Na maior

parte do trecho descendente a ruína se dá pelo escoamento somente da armadura

comprimida (ou mais comprimida). Para as curvas correspondentes a todas as taxas

51

de armadura, excetuando-se a ω = 0,0, mesmo se introduzindo uma pequena

excentricidade de primeira ordem nos pontos de compressão centrada, como foi feito

com os pilares esbeltos, o pilar não flamba. Tanto para M1 = 0,00, como para M1 =

0,10 kNcm o valor da força N obtida é praticamente o mesmo, sem instabilidade.

Apenas no caso específico da compressão centrada no pilar sem armação (ponto ν

= 0,820; µ1 = 0 da curva ω = 0) é que se pode considerar que a ruína se deu por

instabilidade, mesmo se tratando de uma peça curta. A figura 4.20a mostra que

quando se introduz uma excentricidade inicial (no caso, um momento de primeira

ordem M1 = 0,10 kNcm constante ao longo do pilar) a curva força normal vs.

deslocamento transversal no nível da seção intermediária faz um patamar indicando

flambagem do pilar quando ν atinge 0,820. Quando não se coloca a excentricidade,

ou seja, entrando no programa com M1 = 0 (compressão centrada mesmo) não há

deslocamento transversal e a curva segue em linha reta até ν assumir o valor de

0,849, quando a ruína do pilar se dá por esmagamento do concreto.

Na figura 4.20b podem ser observadas as deformações na seção

intermediária do pilar para a situação com excentricidade inicial. Nela se pode

verificar que as curvas de deformações das duas faces da coluna estão

praticamente coincidentes até o instante da instabilidade, mostrando que realmente

a seção permanece praticamente submetida a compressão centrada até aquele

ponto. Com um encurtamento uniforme na seção em torno de 1,5‰ (portanto ainda

longe do esgotamento do concreto), as curvas passam a caminhar em sentido

contrário, formando um patamar horizontal. Não há mais acréscimos de carga e os

valores das deformações sinalizam para a instabilidade. Observa-se ainda que o

estado limite é atingido sem que se tenha tração em nenhum ponto da seção (e

portanto de todo o pilar). Assim, foi considerado o ponto correspondente à

compressão centrada na curva ω = 0,0 como sendo ν = 0,820 e µ1 = 0, o qual levou

o pilar à ruína por instabilidade.

52

0.00 0.10 0.20 0.30

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Deslocam. Transversal (cm)

Com excentricidade inicial (M1=0.10 kNcm - cte.) INSTABILIDADE

Sem excentricidade inicial (M1=0)ESMAGAMENTO DO CONCRETO

le/h=10 - fck=20MPa -Compress o Centrada

ν=0.820

ν=0.849

nível da seção intermediária

ω=0.0

(a) - Curvas ν vs. e2 com e sem excentricidade inicial

-3.00 -2.00 -1.00 0.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00le/h=10 - fck=20MPa -Compress o Centrada - com excentricidade inicial

(seção intermediária)

ω=0.0

ν=0.820

(b) - Curvas ν vs. ε com excentricidade inicial

Figura 4.20 - Compressão centrada - ω = 0,0 - le/h = 10 - Instabilidade em pilar curto

53

Foi tomado um ponto próximo ao eixo das abcissas (ν = 1,031; µ1 = 0,002) da

curva ω = 0,2 para se analisar o comportamento. A figura 4.21 mostra o gráfico das

curvas força normal vs. deformações do concreto e armaduras na seção

intermediária do pilar. Como se trata de uma excentricidade de primeira ordem muito

pequena em um pilar curto, as curvas das deformações estão muito próximas

mesmo no estado limite último, com a seção toda comprimida. Aqui as curvas

partem de zero (nesta análise tanto N quanto M1 foram incrementados, na proporção

N/M1 = 20%) e fazem praticamente metade do percurso juntas sem que se possa

perceber seu distanciamento no gráfico (quase como se fosse uma compressão

centrada). Para ν em torno de 0,5 já se percebe o afastamento das curvas dos

bordos mais comprimido e menos comprimido da seção. Este afastamento vai

aumentando até que sejam atingidos os esforços que conduzem A’s ao escoamento.

A partir do início do escoamento da armadura mais comprimida a seção já não

resiste mais a acréscimos de carga, podendo-se observar na figura um ligeiro

declínio nas curvas após este ponto (notar que as deformações do concreto na face

mais comprimida do pilar não chegaram a atingir o valor correspondente à tensão

máxima - εc = 2,2‰).

-2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00

0.00

0.40

0.80

1.20

ω=0.2 − (ν=1.031 − µ1=0.002)




−2.07ε =

Escoam. da armadura mais comprimida

Figura 4.21 - Curvas ν vs. ε - Ponto ν = 1,031; µ1 = 0,002 da curva ω = 0,20

54

Para concluir a análise das curvas µ−ν−λ para le/h = 10, é apresentada na

figura 4.22 a curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar no nível

da seção intermediária para o mesmo ponto (ν = 1,031; µ1 = 0,002 ) da curva ω= 0,2.

Nela se pode observar como é pequeno o valor do deslocamento de segunda ordem

máximo para este caso de pilar curto (comparar com a figura 4.6).

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.00

0.40

0.80

1.20

ω=0.2 − (ν=1.031 − µ1=0.002)


e2(cm

Ru na (escoam. de A's)

) Figura 4.22 - Curva força normal vs. deslocamento de 2a ordem

55

4.2.2 - Influência da resistência do concreto

Na figura 4.23 se apresentam as curvas µ−ν−λ, com M1 constante ao longo do

pilar (de esbeltez le/h = 40), para concretos com resistência normal (fck = 20 MPa) e

de alta resistência (fck = 80 MPa) representadas no mesmo gráfico.

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501

d'/h=0.10 - A o CA 50-A


ω=0.0ω=0.2

fck=20MPa

fck=80MPa

_______

_ _ _ _

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

ω=0.4

Figura 4.23 - Curvas µ−ν−λ - Influência da Resistência do Concreto - le/h = 40

Analisando a figura, verifica-se que as maiores diferenças entre as curvas das

duas resistências se dão no trecho correspondente à ruína do pilar por instabilidade.

Excetuando-se a curva referente a ω = 0,0, as diferenças entre as curvas para

concretos de resistência normal e elevada podem ser consideradas desprezíveis

para os pontos de esgotamento da capacidade resistente da seção crítica do pilar

por escoamento das armaduras. A partir do ponto em que as curvas entram na

região de instabilidade as diferenças passam a ser bastante

56

significativas, sendo sempre majoradas à medida em que a excentricidade inicial (ou

seja, µ1) diminui. Verifica-se também que quanto menor a taxa de armadura, maiores

são estas diferenças. Isto se explica porque quanto menor a armação de um pilar,

maior a participação do concreto na sua capacidade resistente. E é exatamente no

concreto que residem as diferenças nas leis constitutivas dos materiais, ou seja, na

relação tensão-deformação para diferentes resistências características. É como se

no trecho de ruína por esgotamento da seção com escoamento das armaduras,

estas últimas se sobrepusessem ao concreto, minimizando as diferenças. E é

exatamente por ter pilares sem armaduras que as curvas com ω = 0,0 mantêm as

diferenças em todo o seu traçado. Nelas só o concreto é responsável pela

resistência do pilar em todos os pontos da curva, daí as diferenças se manifestarem

sempre. Para ω = 0,0, ω = 0,2 e ω = 0,4 as curvas de resistência normal chegam a

ultrapassar aquelas para concreto de alta resistência com taxa mecânica maior. Ou

seja, na região de instabilidade, um pilar com fck = 20 MPa, por exemplo, e ω = 0,2

resiste a um par de esforços (ν e µ1) maiores do que um outro com ω = 0,4 e

fck = 80 MPa (par de esforços maiores evidentemente na forma adimensional e não

em termos absolutos). De ω = 0,6 a ω = 1,0, as curvas de taxas diferentes não

chegam a se cruzar, com as diferenças diminuindo à medida em que a armação

aumenta (embora ainda bastante significativas).

Na figura 4.24 são mostradas as curvas com diferentes resistências de

concreto para le/h = 25 e le/h = 10 em (a) e (b) respectivamente. No gráfico da figura

4.24a verifica-se que o comportamento é semelhante ao das curvas para le/h = 40,

porém com diferenças menores. Somente na região de instabilidade, neste caso

mais precisamente nos trechos correspondentes às pequenas excentricidades

iniciais, na parte final das curvas, é que as diferenças se mostram significativas

(excetuando-se também aqui as curvas para ω = 0,0). Para estes pilares menos

esbeltos, no entanto, as curvas das duas resistências se invertem de posição na

região de instabilidade. As curvas relativas ao concreto com fck = 80 MPa resistem a

esforços adimensionais ν e µ1 maiores neste trecho do que as de resistência normal,

situação inversa à ocorrida nos pilares com le/h = 40. Pode-se dizer, no entanto, que

em linhas gerais as diferenças diminuíram com a redução da esbeltez do pilar.

57

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501

d'/h=0.10 - A o CA 50-A


_______

_ _ _ _

fck=20MPa

fck=80MPa

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2

ω=0.0

ω=0.4

ω=0.4

(a) - le/h = 25

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0 fck=20MPa

fck=80MPa

_______

_ _ _ _

(b) - le/h = 10

Figura 4.24 - Curvas µ−ν−λ - Influência da Resistência do Concreto

58

A figura 4.24b mostra as curvas para um pilar curto. Aqui o comportamento é

diferente, pois não se têm regiões de instabilidade. Inicialmente, no seu trecho

ascendente, as curvas para fck = 20 MPa e fck = 80 MPa se apresentam exatamente

coincidentes (trecho correspondente ao esgotamento por escoamento de As). Ao se

aproximarem do topo, nos pontos onde começa a haver também o escoamento da

armadura comprimida, as diferenças entre as curvas se mostram com seus valores

máximos. A partir daí as diferenças vão diminuindo, percorrendo aproximadamente

três quartos do trecho descendente até se anularem, fazendo as curvas caminharem

juntas novamente até o final.

4.2.3 - Influência da forma do diagrama tensão-deformação

Na figura 4.25 aparecem, além das curvas obtidas pelo modelo para

concretos de diferentes resistências, aquelas baseadas na relação tensão-

deformação do concreto da NBR-6118 (1978), obtidas por Fusco (1981), para pilares

com le/h = 40.

Como se tem feito até aqui, pode-se dividir o gráfico em duas regiões, para

facilitar a análise. A primeira corresponde à região de ruína por esgotamento da

seção crítica do pilar por escoamento das armaduras. A segunda região diz respeito

aos pontos em que houve instabilidade da coluna. No trecho do escoamento das

armaduras observa-se uma tendência de subida da curva da NBR-6118 em relação

às curvas obtidas pelo modelo na proporção em que as taxas mecânicas de

armadura vão aumentando. As curvas do modelo aparecem sempre próximas

(excetuando-se, como já foi dito, as curvas para ω = 0,0, nas quais evidentemente

não há armadura escoando), com as de resistência normal um pouco acima

daquelas de fck = 80 MPa. Para ω = 0,2, a curva baseada na relação da NBR-6118

se encontra abaixo das do modelo. Na taxa imediatamente superior, ω = 0,4, ela se

coloca entre as curvas de 80 e 20 MPa. Para ω = 0,6 a curva de Fusco já aparece

acima da de fck = 20 MPa em aproximadamente metade da extensão da curva na

região do gráfico de ruína por escoamento das armaduras. Finalmente, para as duas

últimas taxas mecânicas de armadura (ω = 0,8 e ω = 1,0), as curvas baseadas no

diagrama parábola-retângulo partem juntas com as curvas do modelo no ponto de

59

flexão simples (correspondente a ν = 0) e se afastam das mesmas, colocando-se

acima delas em toda a região em questão.

Na segunda região do gráfico, que se caracteriza pela ruína por instabilidade

do pilar, esta tendência de subida da curva baseada na relação da NBR-6118, em

relação às curvas do modelo, com o aumento da taxa de armadura também se

verifica. Só que aqui, como já foi visto, as diferenças entre as curvas baseadas na

relação do CEB (1990) são maiores do que na primeira região e as curvas da

NBR-6118 se colocam desde ω = 0,0 até ω = 1,0 entre as duas curvas do modelo.

Inicialmente, para ω = 0,0, ela aparece muito próxima à curva de fck = 80 MPa. Com

o aumento das taxas de armadura as curvas de Fusco vão se afastando desta, indo

em direção à curva do modelo para resistência de 20 MPa. Nas curvas relativas a

ω = 1,0 a curva da NBR-6118 encontra-se bem mais próxima à de resistência normal

do que àquela de fck = 80 MPa.

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501

d'/h=0.10 - A o CA 50-A


_______

_ _ _ _

fck=20MPa (CEB)

fck=80MPa (CEB)

fck=qualquer (PAR B-RET NG.)- - - - -ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2ω=0.0

ω=0.4

Figura 4.25 - Curvas µ−ν−λ do modelo (CEB) vs. Par-Retâng.(NBR-6118) - le/h = 40

60

Nas figuras 4.26 e 4.27 são mostrados os gráficos comparativos das curvas

µ−ν−λ (com M1 constante ao longo do pilar) do modelo com as baseadas no

diagrama parábola-retângulo da NBR-6118, para le/h = 25 e le/h = 10

respectivamente.

No gráfico para le/h = 25 observa-se um comportamento semelhante ao

apresentado pelas curvas para pilares com le/h = 40, porém com diferenças mais

regulares entre as curvas. A tendência apresentada para os pilares mais esbeltos,

de as curvas baseadas no diagrama parábola-retângulo subirem em relação às do

modelo com o aumento da taxa de armadura, também se verifica aqui, porém com

menor intensidade. Para a taxa de ω = 0.2 a curva da NBR-6118 já está acima das

do modelo em boa parte de seu traçado. Se afasta mais um pouco em ω = 0,4 e

ω = 0,6 quando praticamente mantém o afastamento até as taxas seguintes de

ω = 0,8 e ω = 1,0 em grande parte da extensão das curvas.

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501

d'/h=0.10 - A o CA 50-A

_______

_ _ _ _

fck=20MPa (CEB)

fck=80MPa (CEB)

fck=qualquer (PAR B-RET NG.)


- - - - -

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.2

ω=0.0

ω=0.4


Na figura 4.27, onde se encontram as curvas para os pilares curtos, observa-

se que aquelas baseadas na relação parábola-retângulo da NBR-6118 estão, na

61

maior parte de sua extensão (para todas as taxas de armadura), muito próximas das

curvas do modelo para resistência característica de 20 MPa. Somente em alguns

pequenos trechos próximos ao topo das curvas e ao eixo das abcissas (apesar de

aqui não haver instabilidade nesta região) é que os diagramas de Fusco se afastam

um pouco daquelas curvas, ficando acima e abaixo delas respectivamente.

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0 fck=20MPa (CEB)

fck=80MPa (CEB)

fck=qualquer (PAR B-RET NG.)

_______

_ _ _ _

- - - - -

ω=0.4


4.3 - Curvas µ−ν−λ com momento de primeira ordem variável ao longo do pilar

4.3.1 - Análise das curvas obtidas pelo modelo

Estas curvas foram obtidas da mesma maneira que as anteriores, porém com

os momentos de primeira ordem aplicados de modo a apresentar um diagrama

variável ao longo do pilar, conforme a figura 4.1b. Foi mantido o tipo de aço

(CA-50A) e a seção transversal, inclusive com a mesma relação d’/h = 0,10 (como

se apresenta na figura 4.2).

62

Todas as curvas µ−ν−λ com M1 variável foram obtidas com pilares

discretizados em doze elementos, porém com os elementos da extremidade bem

pequenos, de modo a se poderem analisar adequadamente as seções do topo e da

base do pilar, que se apresentam aqui como seções críticas, onde M1 apresenta seu

valor máximo. Neste caso, diferentemente dos pilares solicitados com M1 constante,

o simples deslocamento dos pontos de Gauss dos elementos do topo ou da base do

pilar para a extremidade gerava distorções. Após vários testes adotou-se um modelo

discretizado de pilar que tinha os dois elementos extremos com apenas 0,001 cm e

os demais dividindo a coluna em partes iguais, com o que se conseguiram ótimos

resultados. Não houve problemas numéricos na análise computacional ao se

colocarem lado a lado elementos de tão grande diferença de dimensões pelo fato

destes elementos menores estarem exatamente junto aos apoios do pilar. A figura

4.28 apresenta o esquema da discretização do pilar adotada na obtenção das

curvas.

Elem. 7

Elem. 1

Elem. 12

Elem. 2

Elem. 11

Figura 4.28 - Discretização dos pilares para as curvas µ−ν−λ com M1 Variável

Na tabela 4.2 são mostrados os casos analisados neste trabalho para a

construção das curvas µ−ν−λ com M1 variável.

63

Tabela 4.2 - Casos analisados na obtenção das curvas µ−ν−λ para M1 Variável (total de 1319 casos)

le/h fck ω ν Aço d’/h (MPa)

0,0 0 - 0,01 - 0,03 - 0,07 - 0,09 - 0,14 - 0,23 - 0,29 - ... - 0,426 - 0,427

0,2 0 - 0,04 - 0,06 - 0,10 - 0,18 - 0,23 - ....................... - 0,489 - 0,492

0,4 0 - 0,04 - 0,08 - 0,13 - ........................................... - 0,559 - 0,560

20 0,6 0 - 0,12 - 0,26 - ..................................................... - 0,629 - 0,636

0,8 0 - 0,15 - 0,33 - ..................................................... - 0,709 - 0,713

1,0 0 - 0,19 - 0,29 - ..................................................... - 0,792 - 0,793

40 0,0 0 - 0,007 - 0,014 - ................................................. - 0,307 - 0,309

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,392 - 0,395

80 0,4 0 - 0,04 - 0,08 - .................................................... - 0,479 - 0,482

0,6 0 - 0,05 - 0,11 - ..................................................... - 0,569 - 0,571

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 0,659 - 0,661 CA-50A 0,10

1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 0,750 - 0,751

0,0 0 - 0,005 - 0,01 - ................................................... - 0,481 - 0,483

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,560 - 0,562

0,4 0 - 0,04 - 0,08 - ..................................................... - 0,643 - 0,646

20 0,6 0 - 0,05 - 0,12 - ..................................................... - 0,736 - 0,737

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 0,837 - 0,841

1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 0,927 - 0,932

35 0,0 0 - 0,003 - 0,007 - ................................................. - 0,378 - 0,379

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,485 - 0,486

80 0,4 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,485 - 0,486

0,6 0 - 0,05 - 0,11 - ..................................................... - 0,709 - 0,710

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 0,823 - 0,825

1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 0,940 - 0,941

64

Tabela 4.2 – Continuação

le/h fck ω ν Aço d’/h (MPa)

0,0 0 - 0,005 - 0,01 -.................................................... - 0,629 - 0,636

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,641 - 0,643

20 0,4 0 - 0,04 - 0,08 - .................................................... - 0,750 - 0,751

0,6 0 - 0,05 - 0,12 - ..................................................... - 0,864 - 0,869

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 0,991 - 0,995

30 1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 1,117 - 1,128

0,0 0 - 0,003 - 0,007 - ................................................. - 0,466 - 0,467

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,603 - 0,604

0,4 0 - 0,04 - 0,08 - ..................................................... - 0,745 - 0,747

80 0,6 0 - 0,05 - 0,11 - ..................................................... - 0,892 - 0,893

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 1,042 - 1,043

1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 1,195 - 1,196

0,0 0 - 0,01 - 0,03 - ..................................................... - 0,606 - 0,616 CA-50A 0,10

0,2 0 - 0,04 - 0,06 - ..................................................... - 0,736 - 0,737

20 0,4 0 - 0,04 - 0,08 - ..................................................... - 0,877 - 0,883

0,6 0 - 0,05 - 0,12 - ..................................................... - 1,028 - 1,044

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 1,203 - 1,229

25 1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 1,398 - 1,426

0,0 0 - 0,007 - 0,01 - ................................................... - 0,563 - 0,575

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,748 - 0,750

80 0,4 0 - 0,04 - 0,08 - ..................................................... - 0,912 - 0,933

0,6 0 - 0,05 - 0,11 - ..................................................... - 1,123 - 1,126

0,8 0 - 0,15 - 0,24 - ..................................................... - 1,322 - 1,324

1,0 0 - 0,19 - 0,24 - ..................................................... - 1,527 - 1,530

65

Tabela 4.2 – Continuação

le/h fck ω ν Aço d’/h

(MPa)

0,0 0 - 0,01 - 0,03 - ..................................................... - 0,739 - 0,820

0,2 0 - 0,04 - 0,06 - ..................................................... - 0,923 - 1,049

20 0,4 0 - 0,04 - 0,08 - ..................................................... - 1,103 - 1,250

0,6 0 - 0,05 - 0,12 - ..................................................... - 1,284 - 1,450

0,8 0 - 0,07 - 0,15 - ..................................................... - 1,462 - 1,650

10 1,0 0 - 0,09 - 0,19 - ..................................................... - 1,641 - 1,851 CA-50A 0,10

0,0 0 - 0,007 - 0,01 - ................................................... - 0,723 - 0,836

0,2 0 - 0,02 - 0,04 - ..................................................... - 0,911 - 1,050

80 0,4 0 - 0,04 - 0,08 - ..................................................... - 1,094 - 1,250

0,6 0 - 0,05 - 0,11 - ..................................................... - 1,274 - 1,450

0,8 0 - 0,15 - 0,24 - ..................................................... - 1,454 - 1,650

1,0 0 - 0,19 - 0,24 - ..................................................... - 1,633 - 1,850

66

Os pilares submetidos a força normal acompanhados de momento de primeira

ordem com este diagrama variável se comportam de maneira bem diferente

daqueles sujeitos a M1 com diagrama constante ao longo de sua altura. Nestes

últimos, os esforços se mostram muito mais críticos, uma vez que na seção

intermediária se tem sempre a combinação das três solicitações com seus valores

máximos (ν, µ1 e µ2). Nesta seção, os momentos aplicados geram deslocamentos

transversais que provocam os esforços de segunda ordem. No caso de M1 variável,

não existe deslocamento transversal na seção intermediária, pois nela não há

momento de primeira ordem. Assim ela só é solicitada pela força normal. Fica claro,

então, que quanto mais esbelto é o pilar, maiores são os deslocamentos de segunda

ordem e, portanto, maior a diferença entre os comportamentos das curvas µ−ν−λ

para M1 constante e variável. Na figura 4.29 são mostradas as curvas comparativas

para as duas situações (M1 constante e variável) em um pilar esbelto (le/h = 40) e em

um curto (le/h = 10), onde se pode constatar a observação acima.

Os pontos das curvas para M1 variável foram sempre obtidos incrementando-

se simultaneamente a força normal e o momento aplicado, da mesma maneira como

nas curvas para le/h = 10 com M1 constante. Para cada ponto, o programa rodava

com a relação N/M1 num determinado valor, com a curva partindo sempre de N = 0

até o último ponto, que correspondia a M1 = 0.

Também nestes diagramas µ−ν−λ se obtiveram curvas para fck = 20 MPa

(fc = 0,85fcd = 12,14 MPa) e para fck = 80 MPa (fc = 48,57 MPa), sendo que aqui elas

foram construídas para cinco valores de λ (um pilar curto e quatro esbeltos).

Como já foi dito, pela forma do diagrama de momentos de primeira ordem, as

seções mais críticas do pilar são as extremas, solicitadas com N e M1, já que,

enquanto não ocorre a instabilidade, a seção intermediária tem apenas a solicitação

normal (sendo nulos tanto M1 quanto M2). Na figura 4.30 está representado o gráfico

para le/h = 40 e concreto fck = 20 MPa. Podem-se verificar as duas regiões

assinaladas no gráfico que representam as duas causas de ruína do pilar:

esgotamento da capacidade de carga das seções extremas (topo e base do pilar) e

instabilidade da coluna. Para pontos das curvas em que a força normal não atinge

determinado valor, a ruína se dá porque as armaduras das seções extremas entram

em escoamento, esgotando sua capacidade resistente. Nestes casos o pilar não

flamba e o deslocamento horizontal de seu eixo no nível da seção intermediária é

nulo, não havendo momentos de primeira nem de segunda ordens nesta seção.

67

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.401

DIAGRAMA VARI VEL DE M1

le/h=40 - fck=20MPa - ω=0.6

DIAGRAMA CONSTANTE DE M1

DIAGRAMA CONSTANTE DE M1

(a) - Pilares esbeltos - le/h = 40

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.401

DIAGRAMA VARI VEL DE M1

le/h=10 - fck=20MPa - ω=0.6

(b) - Pilares curtos - le/h = 10

Figura 4.29 - Comparação das curvas µ−ν−λ para M1 Constante e Variável

68

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.20

0.40

0.601

le/h=40 - M1 Vari vel

fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

INSTABILIDADE DO PILAR

ESGOTAMENTO DA CAPACIDADE DE CARGA DASSE ES EXTREMAS

E F

Figura 4.30 - Curvas µ−ν−λ para M1 variável - le/h = 40; fck = 20 MPa

A figura 4.31 mostra a representação esquemática do pilar deformado sob a

ação de N e M1. Para os pontos que caem na região de instabilidade, o pilar vai se

deformando como na figura 4.31 até perder a estabilidade e flambar para um dos

lados (figura 4.36), sem que as seções do topo e da base tenham esgotado sua

capacidade de carga.

Verifica-se também na figura 4.30 que o trecho final de todas as curvas se

constitui num seguimento reto e na vertical. Um pilar submetido a compressão

centrada entra em ruína por instabilidade sob uma determinada força normal ν.

Pode-se acrescentar um momento µ1 até certo valor que o pilar continua flambando

com a mesma carga ν.

69

N

M1

M1

N

Figura 4.31 - Esquema dos deslocamentos transversais do eixo do pilar sob ação

dos esforços solicitantes N e M1 - configuração estável, sem fambagem

Para ilustrar as duas situações de ruína do pilar (esgotamento das seções

extremas e instabilidade) foram tomados dois pontos na curva da taxa mecânica

correspondente a ω = 0,2 para serem analisados (pontos E e F assinalados na figura

4.30). O ponto E representa um par de esforços que levou o pilar ao estado limite

último de ruína por esgotamento das suas seções extremas causado pelo

escoamento da armadura tracionada. Na figura 4.32 se pode ver um gráfico, relativo

a este ponto E, com as curvas força normal vs. deformações no concreto e nas

armaduras na seção do topo do pilar. A rigor, estas deformações ocorrem numa

seção próxima do topo, uma vez que o ponto de Gauss não está localizado na

extremidade do elemento. Em termos práticos, no entanto, elas podem

perfeitamente ser consideradas como sendo na seção do topo, em função do

reduzidíssimo tamanho do elemento ali localizado.

70

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

(Seção do Topo)

Pto. E -

le/h=40 - fck=20MPaDEFORMA ES NO CONCRETODEFORMA ES NAS ARMADURAS

(ν=0.228; µ1=0.162)

Escoam. da Armadura Tracionada

ω=0.2

Fissura o

= 2.07

Figura 4.32 - Curvas força normal vs. deformações na seção do topo do pilar

correspondentes ao Ponto E da figura 4.30

Observa-se no gráfico a evolução das deformações com o incremento das

cargas. Para ν ≅ 0,07 ocorre a fissuração do concreto (na seção do topo e da base

do pilar, concomitantemente) quando, pela perda de rigidez, chega a aparecer um

pequeno patamar nas curvas. Os esforços vão aumentando até que a armadura

tracionada entre em escoamento para ν ≅ 0,208. A partir daí a seção ainda resiste a

aumentos das solicitações até elas atingirem seus valores máximos,

correspondentes a ν = 0,228 e µ1 = 0,162. No ponto E, portanto, as seções

extremas esgotaram-se ainda com o pilar mantendo uma configuração estável de

deslocamentos. A seção intermediária C-C não teve sua capacidade esgotada, uma

vez que ela está solicitada apenas à compressão, com ν = 0,228, sem momentos de

primeira ou de segunda ordens. Na figura 4.33 é mostrada a curva força normal vs.

deslocamento transversal do pilar no nível da seção intermediária. Por ela se pode

visualizar que os esforços crescem até a ruína do pilar sem que haja deslocamento

transversal neste ponto. Assim, a seção intermediária não tem solicitações de

segunda ordem.

71

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Desloc. Horiz.- seção intermed. (cm)

Pto. E - (ν=0.228; µ1=0.162)

ω=0.2le/h=40 - fck=20MPa -

Figura 4.33 - Curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar,

no nível da seção intermediária, correspondente ao Ponto E da figura 4.30

Já na figura 4.34 é mostrada a mesma curva ν vs. deslocamento horizontal,

porém para o ponto F da figura 4.30. Os esforços aplicados vão sendo

incrementados sem que haja deslocamentos transversais no nível da seção C-C até

que, para ν = 0,257, as armaduras tracionadas das seções da extremidade do pilar

entram em escoamento (observar a figura 4.35). Estas seções, porém, continuam a

resistir a acréscimos de cargas, as quais continuam aumentando ainda sem

provocar deslocamento transversal. Com mais um pequeno acréscimo das

solicitações (para ν = 0,267 e µ1 = 0,167) observa-se que o pilar entra em

instabilidade, com os deslocamentos transversais aumentando acentuadamente.

72

-0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

Desloc. Horiz. - seção intermed. (cm)

In cio de escoamento da armadura tracionadanas se es extremas do pilar (topo e base)

Instabilidade da coluna

ν=0.257

Pto. F - (ν=0.267; µ1=0.167)le/h=40 - fck=20MPa - ω=0.2

Figura 4.34 - Curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar, no

nível da seção intermediária, correspondente ao Ponto F da figura 4.30

-2.00 0.00 2.00 4.00

0.00

0.10

0.20

0.30

(Seção do Topo)

Pto. F -


(ν=0.267; µ1=0.167)

Escoam. da Armadura Tracionada

ω=0.2

Fissuração

= 2.07

Figura 4.35 - Curvas força normal vs. deformações na seção do topo do pilar

correspondentes ao Ponto F da figura 4.30

73

Na figura 4.35 se apresentam as deformações na seção do topo do pilar

contra a força normal. Pela observação simultânea desta com a figura 4.34, se pode

verificar que embora a armadura tracionada já estivesse escoando, a seção ainda

resistia a incrementos de cargas quando o pilar entrou em instabilidade.

Figura 4.36 - Representação esquemática do mecanismo da flambagem - pilares

submetidos a M1 variável

Na figura 4.36 está representado esquematicamente o comportamento dos

deslocamentos transversais ao longo do pilar no instante da instabilidade. O pilar

não consegue mais manter estável a configuração de deformações em que se

encontrava e, como já foi dito, flamba para um dos dois lados. Pela análise da figura

se poderia dizer que a seção situada a um quarto da altura do pilar (le/4), ou a

equivalente a ela, situada a três quartos da altura (3le/4 ), seriam candidatas a

74

seções críticas da coluna. Isto porque, durante o processo de aplicação incremental

das cargas, elas apresentam solicitações de primeira e de segunda ordens (ν, µ1 e

µ2), ao contrário das seções extremas (solicitadas por ν e µ1, sendo porém este

último com seu valor máximo) e da seção intermediária (somente solicitada por ν). A

figura 4.37 mostra a curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar

a um quarto de sua altura (le/4).

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

Desloc. Transv. (cm) a le/4

Pto. F - (ν=0.267; µ1=0.167)

Figura 4.37 - Curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar no

nível le/4, correspondente ao Ponto F da figura 4.30

Observa-se que o deslocamento vai se dando para a esquerda até que, para

um determinado valor das cargas, ele muda repentinamente de sentido, passando a

se encaminhar para a direita. Isto está coerente com o mecanismo de flambagem

apresentado na figura 4.36. Da metade da coluna para baixo os deslocamentos

transversais se dão para a esquerda até que ocorra a instabilidade e o pilar flambe

para a direita, com os mesmos se invertendo de sentido (neste caso a flambagem se

deu para a direita, sendo que ela poderia igualmente se dar para a esquerda). Para

confirmar estas observações pode-se verificar na figura 4.38 a mesma curva ν vs.

deslocamento horizontal, porém para o nível referente a três quartos da altura do

pilar (3le/4, ponto simétrico àquele da figura 4.37 na parte superior da coluna).

75

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00

0.10

0.20

0.30

Desloc. Transv. (cm) a 3le/4

Pto. F - (ν=0.267; µ1=0.167)

Figura 4.38 - Curva força normal vs. deslocamento horizontal do eixo do pilar no

nível 3le/4, correspondente ao Ponto F da figura 4.30

Aqui se observa que os deslocamentos mantêm o mesmo sentido após a

flambagem. Ao contrário da situação anterior, os pontos situados na metade superior

do pilar já se deslocavam para a direita enquanto ele mantinha a configuração

estável. Com a instabilidade, a coluna flambou para a direita, com os deslocamentos

se acentuando neste mesmo sentido.

O comportamento das deformações no concreto e nas armaduras para a

seção situada a aproximadamente le/4 (porque o primeiro ponto de integração do

elemento 4 não se localiza exatamente a um quarto da altura do pilar, mas muito

próximo disso) pode ser analisado pela observação da figura 4.39.

76

-1.20 -0.80 -0.40 0.00 0.40 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

(Seção a aproxim. le/4)

Pto. F -


(ν=0.267; µ1=0.167)ω=0.2

Fissura o

= 0.15

Figura 4.39 - Curvas força normal vs. deformações na seção a aproximadamente

le/4, correspondentes ao Ponto F da figura 4.30

Verifica-se que o máximo valor de ν (e, portanto, a instabilidade) ocorre sem

que haja sinais de escoamento das armaduras ou esmagamento do concreto.

Conclui-se assim que nesta seção não ocorre nada de relevante que possa ter

contribuído para induzir a instabilidade do pilar. Observa-se também na figura que as

deformações decrescem imediatamente após a instabilidade, isto porque no instante

da flambagem acontece um alívio temporário em todas as seções da coluna.

Para concluir a análise do comportamento do pilar no ponto F, é apresentado

na figura 4.40 um gráfico contendo as curvas força normal vs. deformações do

concreto na seção intermediária C-C. Pode-se visualizar que até o instante anterior à

flambagem, as curvas das deformações do concreto nas duas faces do pilar estão

coincidentes. Isto confirma que a seção está submetida a compressão centrada, pois

já foi visto que ela não é solicitada nem por M1 nem por M2 (ver figura 4.34, que

mostra os deslocamentos de segunda ordem nulos até o instante da instabilidade).

Quando ν atinge o valor crítico que conduz o pilar à flambagem, as curvas das

deformações nas duas faces da coluna se separam bruscamente, mostrando que

ficou, evidentemente, um lado comprimido e outro tracionado.

77

-0.40 -0.20 0.00 0.20

0.00

0.10

0.20

0.30

Pto. F - (ν=0.267; µ1=0.167)

(Seção Intermediáriac

) Figura 4.40 - Curvas força normal vs. deformações do concreto nas duas faces do

pilar, na seção intermediária, correspondentes ao Ponto F da figura 4.30

O ponto F, como já foi visto, está localizado no início (limite) da região dos

pontos das curvas que representam esforços que conduzem o pilar à instabilidade.

Para os gráficos µ−ν−λ com M1 constante, quando eram obtidos os pontos

correspondentes à compressão centrada (portanto com M1 = 0) era necessário

introduzir uma pequena excentricidade de primeira ordem a fim de desencadear o

processo de instabilidade, no caso dos pilares esbeltos. Se fosse fornecido M1 = 0

como dado de entrada do programa, a seção crítica do pilar seria calculada como

submetida a compressão simples, como se o pilar fosse uma peça curta e não

houvesse deslocamentos de segunda ordem. No caso das curvas com M1 variável,

como os momentos aplicados nas extremidades do pilar são exatamente iguais e de

sentidos contrários, as solicitações são simétricas, o que faz com que em diversos

pontos das curvas se tenha que introduzir uma assimetria nestes momentos

aplicados para que ocorra a flambagem do pilar. Para valores mais baixos da

relação N/M1 com que se entra com os esforços no programa (no caso da curva

78

para ω = 0,2, do ponto F até o ponto correspondente à relação N/M1 = 25%, ou seja

ν = 0,483 e µ1 = 0,097) a instabilidade ocorria sem que fosse preciso criar a

assimetria. Para valores maiores de N/M1 (maiores que 25% para a curva ω = 0,2)

se iam introduzindo assimetrias que eram aumentadas à medida em que esta

relação entre os esforços aplicados aumentava. Ou seja, tomando a curva ω = 0,2 se

tinha, do início da curva até N/M1 = 25%, os pares de esforços obtidos normalmente,

com os momentos M1 aplicados nos extremos do pilar sendo exatamente iguais.

Depois deste ponto, o pilar só flambava se fossem aplicados M1 e 1,00001M1 em

cada um de seus extremos. Mais alguns pontos eram assim obtidos até que se tinha

que aumentar a assimetria para M1 e 1,0001M1, e assim por diante até M1 e

1,001M1. Os pontos das curvas correspondentes a M1 = 0 (compressão centrada) se

obtinham da mesma maneira como eram obtidos para M1 constante (no caso das

curvas para le/h = 40, 25 e 10 eles já tinham sido obtidos para aquela situação).

Na figura 4.41 se encontra a curva ν vs. deslocamento horizontal do pilar no

nível da seção intermediária para o ponto ν = 0,492 e µ1 = 0,025 da curva para

ω = 0,2 (ponto correspondente à relação N/M1 = 100%). Para ilustrar a necessidade

da introdução da diferença entre os momentos aplicados nas extremidades do pilar

foram desenhadas duas curvas no gráfico. A primeira, obtida com momentos

idênticos aplicados no topo e na base do pilar (linha tracejada). Observa-se que a

curva passa por ν = 0,492 com as cargas continuando a aumentar sem que o pilar

flambe. Embora se possa observar um leve desvio nesta curva na altura da carga

crítica de flambagem (ν = 0,492), ela retorna à sua trajetória e continua a subir como

uma reta vertical de deslocamentos transversais nulos. A outra curva (linha cheia) foi

obtida com a introdução da assimetria nos momentos aplicados (M1 e 1,001M1).

Neste caso se observa que está caracterizada a instabilidade, com os

deslocamentos transversais sempre crescentes a partir de ν = 0,492. Pode-se

verificar também que aqui a flambagem do pilar se deu para a esquerda, sendo que

neste caso não foi aleatoriamente, uma vez que a assimetria introduzida nos

momentos induziu a coluna a se deslocar para este lado (diferentemente do ponto F,

aqui o pilar já tinha deslocamentos não nulos antes da instabilidade).

79

-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

Desloc. Horiz. - seção intermed. (cm)

ω=0.2 − (ν=0.492; µ1=0.025)

le/h=40 - fck=20MPa

An lise sem assimetrianos momentos aplicados

An lise com assimetrianos momentos aplicados

ν=0.492

Figura 4.41 - Instabilidade induzida com assimetria nos momentos aplicados

As demais curvas µ−ν−λ com M1 variável obtidas para pilares esbeltos têm o

mesmo comportamento das curvas analisadas para le/h = 40. Apenas no caso dos

pilares curtos é que o comportamento se mostra diferente, praticamente não

havendo casos de ruína por instabilidade.

Na figura 4.42 são apresentadas as curvas para pilares com esbeltez le/h = 10

e concreto com resistência característica fck = 20 MPa.

80

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.20

0.40

0.60


fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

Figura 4.42 - Curvas µ−ν−λ para M1 variável - le/h = 10; fck = 20 MPa

Como no caso dos diagramas µ−ν−λ com M1 constante, aqui também só há

instabilidade na esbeltez le/h = 10 no caso específico da compressão centrada nos

pilares sem armação (no ponto correspondente a µ1 = 0 da curva ω = 0,0 - mesma

situação da figura 4.20). Em todos os demais pontos de todas as curvas, o estado

limite último de ruína é atingido por esgotamento das seções do topo e da base dos

pilares.

Nas figuras 4.43 e 4.44 são mostradas as curvas ν vs. ε e ν vs. deslocamento

horizontal no nível da seção intermediária do pilar para o ponto (ν = 0,923;

µ1 = 0,046) da curva ω = 0,2 (na análise este ponto correspondeu a N/M1 = 100%,

N = 527 kN; M1 = 527 kNcm).

81

-3.00 -2.00 -1.00 0.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

le/h=10 - fck=20MPa

(Seção do Topo do Pilar)

Escoamento de A's

ω=0.2 − (ν=0.923; µ1=0.046)Pto.

______ DEFORMA ES NO CONCRETO______ DEFORMA ES NAS ARMADURAS

= -2.07

Figura 4.43 - Curvas ν vs. ε - ω = 0,2 - ponto (ν = 0,923; µ1 = 0,046) - seção do

topo do pilar

-0.20 0.00 0.20 0.40

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

ω=0.2 − (ν=0.923; µ1=0.046)

le/h=10 - fck=20MPa

Pto.

Deslocam. Transversal (cm)nível da seção intermediária

Figura 4.44 - Curva ν vs. e2 - ω = 0,2 (ν = 0,923; µ1 = 0,046) - seção intermediária

82

Verifica-se na figura 4.43 que o pilar foi à ruína por esgotamento da

capacidade de carga das suas seções extremas (topo e base), com as armaduras

mais comprimidas escoando. Isto pode ser confirmado pela análise da figura 4.44

onde se vê que os deslocamentos transversais do eixo do pilar no nível da seção

intermediária C-C permanecem nulos até a ruína do pilar.

Uma observação adicional que se pode fazer é que, para grande parte dos

trechos ascendentes, estas curvas para le/h = 10 coincidem exatamente com as

curvas para le/h = 25. Estes trechos se caracterizam pelo esgotamento das seções

extremas por escoamento da armadura tracionada. Assim, nestas seções extremas,

os deslocamentos de segunda ordem não influenciam no estado limite último, não

importando a esbeltez do pilar.

4.3.2 - Influência da resistência do concreto

Apresentam-se na figura 4.45 as curvas µ−ν−λ com M1 variável para pilares

com esbeltez le/h = 40 de concretos com resistências características de 20 e

80 MPa.

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.20

0.40

0.601


d'/h=0.10 - A o CA 50-A

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0



fck=20MPafck=80MPa

_________ _ _ _ _ _

ω=0.4


83

Verifica-se que no trecho ascendente das curvas (correspondente ao

esgotamento por escoamento da armadura tracionada) elas se encontram

praticamente coincidentes (à exceção das curvas para ω = 0,0). No ponto mais alto

das curvas para fck = 80 MPa (µ1 máximo) elas passam a se afastar daquelas de

concreto com resistência normal. Na região de instabilidade este distanciamento

aumenta, ficando sempre as de fck = 20 MPa acima das de alta resistência. Verifica-

se que, à medida que a taxa de armadura cresce, a distância entre as curvas das

duas resistências na região de instabilidade diminui. Para as taxas de ω = 0,0 até

ω = 0,4 as curvas chegam a se entrelaçar, quando pilares com armação menor

resistem a esforços (adimensionais) maiores que outros com uma taxa de armadura

maior (sendo o primeiro com um concreto de resistência normal e o último com

fck = 80 MPa).

As figuras 4.46, 4.47 e 4.48 mostram os diagramas comparativos para as

duas resistências do concreto para as relações de esbeltez le/h = 35, 30 e 25. As

observações sobre as curvas para pilares com esbeltez le/h = 40, feitas sobre a

figura 4.45, são válidas para todos os casos, sendo que na instabilidade as

diferenças entre elas apresentam alterações em cada um dos gráficos, em função

da redução da esbeltez do pilar.

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0.00

0.20

0.40

0.601 le/h=35 - M1 Vari vel

d'/h=0.10 - A o CA 50-A

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


ESGOTAMENTO DA CAPACIDADE DE CARGA DAS SE ES EXTREMAS

fck=20MPafck=80MPa

____________ _ _ _ _ _

ω=0.4


84

0.00 0.40 0.80 1.20

0.00

0.20

0.40

0.60

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

le/h=30 - M1 Vari veld'/h=0.10 - A o CA 50-A



1

fck=20MPafck=80MPa

____________ _ _ _ _ _

ω=0.4

ω=0.4


0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.20

0.40

0.60le/h=25 - M1 Vari vel

d'/h=0.10 - A o CA 50-A

1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0



fck=20MPafck=80MPa

__________ _ _ _ _


85

Verifica-se, pela observação simultânea dos gráficos anteriores, que há uma

tendência de subida das curvas para concreto com alta resistência em relação

àquelas com fck = 20 MPa, na região de instabilidade, à medida em que a esbeltez

do pilar diminui. Para le/h = 35 (figura 4.46), para as taxas mecânicas de armadura

correspondentes a ω = 1,0 a curva para concreto de fck = 80 MPa já aparece depois

da de fck = 20 MPa. Para a esbeltez le/h = 30 (figura 4.47) se tem esta situação já

desde ω = 0,6 até ω = 1,0. No caso dos pilares menos esbeltos (le/h = 25, figura

4.48) verifica-se que na região de instabilidade as curvas para concretos de alta

resistência estão dispostas sempre à direita daquelas para concreto normal (à

exceção de ω = 0,0).

Em linhas gerais, pode-se concluir que, na instabilidade, as curvas para

pilares de concretos de alta resistência tendem a se deslocar para cima (a caminhar

no sentido de resistir a esforços maiores) em relação às de resistência normal à

medida em que a armação aumenta. Além disso elas também tendem a subir em

relação às curvas de resistência normal quando a esbeltez do pilar diminui.

Na figura 4.49 se apresentam as curvas µ−ν−λ com M1 variável para pilares

com concretos de resistências características 20 MPa e 80 MPa e esbeltez le/h = 10.

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.20

0.40

0.60 le/h=10 - M1 Vari vel

d'/h=0.10 - A o CA 50-A

1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0fck=20MPa ___________

fck=80MPa ___________


86

No caso de pilares curtos não existe a região de instabilidade nos diagramas

µ−ν−λ. Assim, as diferenças entre as curvas das duas resistências do concreto se

mostram parecidas com as dos pilares esbeltos nos trechos de esgotamento das

seções extremas.

O trecho ascendente dos diagramas, onde a ruína do pilar se dá por

escoamento da armadura tracionada, se apresenta com as curvas para as duas

resistências coincidentes. No topo das curvas, onde a armadura comprimida (ou

mais comprimida) também está escoando, se tem a maior diferença entre elas. A

partir daí, no trecho descendente dos diagramas, as diferenças vão diminuindo até

se anularem no eixo ν (nos pontos de compressão centrada).

87

Capítulo V

CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

As análises desenvolvidas neste trabalho permitem concluir que, de um modo

geral, o tipo de função escolhida para representar a relação tensão-deformação do

concreto tem importância significativa na avaliação do comportamento dos pilares

esbeltos de concreto armado. Até mesmo no caso de concretos com resistência

normal, onde o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo da NBR-6118

(1978) e a relação proposta pelo MC90-CEB são semelhantes, se observam

diferenças tanto nas curvas µ−ν−φ quanto nas µ−ν−λ.

As divergências entre as curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura,

construídas com diferentes resistências do concreto, aparecem em praticamente

toda a extensão das mesmas, desde os menores valores do momento (sobretudo

até a fissuração do concreto) até o esgotamento da capacidade de carga da seção

(escoamento das armaduras). As seções de concreto com resistência maior

apresentam sempre maiores valores de curvaturas. Há uma tendência de aumento

da influência da resistência do concreto com o crescimento da força normal ν. No

estado limite último, estas diferenças entre as curvas variam, em termos de

capacidade de carga (ou seja, entre os valores do momento total µ resistido pela

seção), da ordem de 1,5% para ν = 0,2 até aproximadamente 7,5% para ν = 0,8. A

influência do tipo de diagrama tensão-deformação do concreto, no estado limite

último, ao contrário, se apresenta menor à medida que crescem os valores de ν.

Para ν = 0,2, uma mesma seção resiste a um momento, com as curvas do modelo

para fck = 20 MPa, cerca de 4% superior ao que resistiria com as curvas baseadas

no diagrama parábola-retângulo. Esta diferença cai para aproximadamente 2% nas

curvas para ν = 0,8. Antes do esgotamento da capacidade de carga da seção, as

diferenças entre as curvas se mostram mais uniformes para os diagramas dos

diversos valores de ν, com as curvas da relação parábola-retângulo sempre mais

próximas daquelas construídas com concretos de alta resistência.

88

As curvas Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez para pilares

esbeltos apresentam maiores diferenças, no que diz respeito à influência tanto da

resistência do concreto como do tipo de diagrama tensão-deformação, nas regiões

dos gráficos correspondentes à ruína por instabilidade do pilar. Verificou-se que

estas diferenças tendem a diminuir com o aumento das taxas de armadura dos

pilares. Numa intensidade ainda maior, as diferenças aumentam com o aumento da

esbeltez. Para pequenas excentricidades iniciais (região dos diagramas próximos ao

eixo das abcissas ν), as curvas se invertem de posição relativa com o aumento de λ.

Em pilares menos esbeltos, as curvas referentes à maior resistência do concreto

indicam maior capacidade de carga do que aquelas de concreto de menor

resistência. Para pilares mais esbeltos, no entanto, esta situação se inverte. As

curvas obtidas para fck = 20 MPa fornecem esforços resistentes normalizados

maiores do que aquelas de 80 MPa. Um pilar com le/h = 40, ω = 1,0 e fck = 20 MPa

resiste, na compressão centrada, a uma carga ν (normalizada) cerca de 5,6%

superior a um pilar nas mesmas condições, porém com fck = 80 MPa. Já para a taxa

mecânica ω = 0,2 esta diferença sobe para 24,6%. Com relação ao tipo de diagrama

tensão-deformação, se poderia dar como exemplo: um pilar com le/h = 40, ω = 0,2 e

fck = 20 MPa resiste a uma carga normal 23% maior pela curva obtida pelo modelo

em relação à do diagrama parábola-retângulo (na compressão centrada). Outro pilar

com as mesmas características, porém com uma esbeltez le/h = 25, tem aquela

diferença reduzida para pouco mais de 1%.

Como sugestão para futuros trabalhos se poderia apresentar a

complementação da construção dos ábacos µ−ν−φ e µ−ν−λ para as diversas

situações de disposição de armaduras, cobrimentos, tipos de aço, resistências do

concreto, valores da esbeltez, etc. Seria também de interesse a obtenção de novas

curvas µ−ν−λ para pilares submetidos a momentos de primeira ordem com outras

formas de diagramas (momentos com valores diferentes aplicados em cada

extremidade do pilar, por exemplo).

89

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Araújo, J. M. (1993) Pilares esbeltos de concreto armado: algoritmos para análise e

dimensionamento. Rio Grande - RS: Editora da Fundação Universidade do Rio

Grande, 184p.

Fusco, P. B. (1981) Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro:

Editora Guanabara Dois S.A., 464p.

Campos, C. M. O. (1993) Um modelo computacional para análise de vigas de

concreto protendido com cabos aderentes e não aderentes. Tese (Mestrado em

Ciências da Engenharia Civil) - Rio de Janeiro, Pontifícia Universidade Católica -

PUC / RJ, 83p.

Lima Jr, H. C. (1997) Instabilidade de arcos segmentados de concreto armado. Tese

(Mestrado em Ciências da Engenharia Civil) - Rio de Janeiro, Pontifícia Universidade

Católica - PUC / RJ, 204p.

Krüger, S. D. (1989) Uma metodologia para análise de pórticos planos de concreto

armado sujeitos a grandes deslocamentos. Tese (Mestrado em Ciências da

Engenharia Civil) - Rio de Janeiro, Pontifícia Universidade Católica - PUC / RJ, 123p.

Associação Brasileira de Normas Técnicas (1978) Projeto e execução de obras de

concreto armado: NBR 6118. Rio de Janeiro

Associação Brasileira de Normas Técnicas (1987) Projeto e execução de pontes de

concreto armado e protendido: NBR 7187. Rio de Janeiro

Comité Euro-Internacional du Béton (1990) CEB-FIP Model Code 1990 - Bulletin

d’Information no 203. Paris

Souza T. J. M., Guimarães G. B., Dumont N. A. (1994) Determinação da esbeltez

limite de pilares de concreto armado. Anais do Congresso Brasileiro do Concreto -

REIBRAC 36, Porto Alegre: Ibracon, p. 855-866

90

Campos C. M. O., Guimarães G. B., Dumont N. A. (1993) Um modelo computacional

para análise de pórticos de concreto protendido com cabos aderentes e não

aderentes. Anais do Congresso Ibero Latino-Americano de Métodos Computacionais

em Engenharia 14, São Paulo: Instituto de Pesquisas Tecnológicas, p 345-354

ANEXO A - GRÁFICOS µ−ν−φ

São apresentadas neste anexo as curvas µ−ν−φ obtidas neste trabalho. A

seguir são mostrados os detalhes característicos da seção empregada na obtenção

das mesmas.

Seção transversal:

d’/h = 0,05

Resistências do concreto: fck = 20 MPa e fck = 80 MPa

Aço: CA-50A

νd = Nd / b.h.fcd

µd = Mb.h .f

d

2cd

ω = A .fA .f

s yd

c cd

As = 2.A; Ac = b.h

fyd = fyk / γs = 500 / 1,15 = 435 MPa

fcd = fck / γc = 20 / 1,4 = 12,14 MPa ou 80 / 1,4 = 48,57 MPa

92

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=20MPa

ν=0.2

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0

Figura A-1 - Diagramas µ−ν−φ para ν = 0,2 - Concreto fck = 20 MPa

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=80MPaν=0.2

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0


93

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=20MPaν=0.4

)

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0


0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=80MPaν=0.4

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0


94

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00

0.20

0.40

0.60

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=20MPa

ν=0.6

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=80MPa

ν=0.6

ω=0.2

ω=0.0

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


95

0.00 2.00 4.00 6.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=20MPa

ν=0.8

ω=0.0

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2


0.00 1.00 2.00 3.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

d/r (x1000)

d'/h=0.05 - A o CA 50-A - fck=80MPa

ν=0.8

ω=0.2

ω=0.0

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


96

ANEXO B - GRÁFICOS µ−ν−λ

São mostrados abaixo os detalhes característicos dos pilares empregados na

obtenção de todas as curvas apresentadas neste anexo:

Seção transversal:

d’/h = 0,10

Resistências do concreto: fck = 20 MPa e fck = 80 MPa

Aço: CA-50A

Esquemas de carregamento aplicado nos dois tipos de curvas obtidas:

N N

M1

M1 M1 M1

M1 M1

M1 M1 (a) - carregamento com M1 constante (b) - carregamento com M1 variável

νd = Nd / b.h.fcd; µ1d = Mb.h .f

1d

2cd

; ω = A .fA .f

s yd

c cd

M1 - momento de primeira ordem (aplicado); As = 2.A; Ac = b.h

fyd = fyk / γs = 500 / 1,15 = 435 MPa

fcd = fck / γc = 20 / 1,4 = 12,14 MPa ou 80 / 1,4 = 48,57 MPa

97

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0

fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A


Figura B-1 - Diagramas µ−ν−λ para le/h = 40 - M1 Constante - Concreto fck = 20 MPa

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

1

fck=80MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A


ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0


98

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501

fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A


ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0


0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

fck=80MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A

le/h=25 - M1 Constante1

ω=1.0

ω=0.8

ω=0.6

ω=0.4

ω=0.2

ω=0.0


99

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


fck=80MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


100

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.20

0.40

0.601


fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0



Figura B-7 - Diagramas µ−ν−λ para le/h = 40 - M1 Variável - Concreto fck = 20 MPa

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501


fck=80MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0




101

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0.00

0.20

0.40

0.601

le/h=35 - M1 Vari velfck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


ESGOTAMENTO DA CAPACIDADE DE CARGA DAS SE ES EXTREMAS


0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.501


ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0




102

0.00 0.40 0.80 1.20

0.00

0.20

0.40

0.60

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0




1


0.00 0.40 0.80 1.20

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0




1


103

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.20

0.40

0.60


fck=20MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0




0.00 0.40 0.80 1.20 1.60

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


fck=80MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0




104

0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.20

0.40

0.60


1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50


fck=80MPa - d'/h=0.10 - A o CA 50-A1

ω=0.0

ω=0.2

ω=0.4

ω=0.6

ω=0.8

ω=1.0


INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO … · São construídas, a partir do modelo, curvas...

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