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Integrais de Funções Trigonométricas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS


1.As seis integrais trigonométricas básicas

2.Outras integrais trigonométricas

3.Combinações de funções trigonométricas

1. As seis integrais trigonomé-tricas básicas

Para cada regra de diferenciação há umaregra de integração correspondente. Por exemplo,à regra de diferenciação

[ ]cos send du

u udx dx

= −

corresponde a regra de integração

sen cosu du u du C= − +∫


A lista a seguir contém as fórmulas deintegração que correspondem às seis regrasbásicas de diferenciação trigonométrica.


Integrais que Envolvem Funções Trigonométricas

Regra de Diferenciação Regra de Integração

[ ]sen cosd du

u udx dx

= cos senu du u C= +∫

[ ]cos send du

u udx dx

= − sen cosu du u C= − +∫

[ ] 2tg secd du

u udx dx

= 2sec tgu du u C= +∫


Integrais que Envolvem Funções Trigonométricas

Regra de Diferenciação Regra de Integração

[ ]sec sec tgd du

u u udx dx

= sec tg secu u du u C= +∫

[ ] 2cotg cossecd du

u udx dx

= − 2cossec cotgu du u C= − +∫

[ ]cossec cossec cotgd du

u u udx dx

= − cossec cotg cossecu u du u C= − +∫

2


OBS: Esta relação dá fórmulas para integrarapenas duas das seis funções trigonométricas: afunção seno e a função cosseno. A relação nãomostra como integrar as outras quatro funçõestrigonométricas. As regras correspondentes serãodadas mais adiante nesta aula.


Exemplo 1: Calcule a integral

2cos x dx∫


Seja u = x, então du = dx

2cos 2 cosx dx x dx=∫ ∫

2 cosu du= ∫

2senu C= +

2sen x C= +

Regra do Múltiplo Constante

Substituir x e dx

Integrar

Substituir u



2 33 senx x dx∫


Seja u = x3. Então du = 3x2dx

( )2 3 3 23 sen sen 3x x dx x x dx=∫ ∫

senu du= ∫

cosu C= − +

3cos x C= − +

Reescrever o integrando

Substituir x3 e 3x2dx

Integrar

Substituir u



sec 3 tg3x x dx∫

3


Seja u = 3x. Então du = 3dx

Multiplicar e dividirpor 3

Substituir 3x e 3dx

Integrar

Substituir u

( )1sec 3 tg3 sec 3 tg3 3

3x x dx x x dx=∫ ∫

1sec tg

3u udu= ∫

1sec

3u C= +

1sec3

3x C= +



2e sec ex x dx∫


Seja u = ex, então du = exdx

( )2 2sec secx x x xe e dx e e dx=∫ ∫2sec u du= ∫

tgu C= +


tg xe C= +

Substituir ex e exdx

Integrar

Substituir u


Os dois exemplos seguintes utilizam a RegraGeral da Potência e a Regra Log para integração.

1

, 11

nn du u

u dx C ndx n

+

= + ≠ −+∫

lndu dx

dx u Cu

= +∫

Regra Geral da Potência

Regra do Log


A chave para a utilização dessas duas regrasé a substituição u adequada. Assim é que, nopróximo exemplo, a escolha adequada de u é sen 4x.



2sen 4 cos4x x dx∫

4


Seja u = sen 4x, então du/dx = 4 cos4x

( ) ( )2

22 1sen 4 cos4 sen4 4cos4

4

u du dx

x x dx x x dx=∫ ∫��

��

( )332 sen41 1 1

4 4 3 4 3

xuu du C C= = + = +∫

31sen 4

12x C= +



sencos

xdx

x∫


Seja u = cosx. Então du/dx = -sen x


Substituir cos x e –sen x

Regra do Log

Substituir u

sen sencos cos

x xdx dx

x x−= −∫ ∫

du dxdx

u= −∫

ln u C= − +

ln cos x C= − +


Exemplo 7: Calcule a integral definida

4

0cos2x dx∫

π


44

00

1 1 1cos2 sen2 0

2 2 2x dx x = = − =

∫

ππ


Exemplo 8: Calcule a área da região delimitadapelo eixo x e por um arco do gráfico de y = sen x

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Conforme indicado na figura anterior, estaárea é dada por

[ ]00

Área sen cosx dx x= = −∫π π

( ) ( )1 1 2 = − − − =

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2. Outras integrais trigonomé-tricas

No início desta aula foram dadas as regraspara integração das funções seno e cosseno. Com oresultado do Exemplo 6, temos agora uma regrapara a integração da função tangente:

sentg ln cos

cosx

x dx dx x Cx

= = − +∫ ∫

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Estabelecem-se de maneira análoga asfórmulas de integração para as outras trêsfunções trigonométricas. Por exemplo, paraintegrar a função secante, temos:

( )sec sec tgsec

sec tg

x x xx dx dx

x x

+=

+∫ ∫2sec sec tgsec tg

x x xdx

x x+=

+∫

ln sec tgx x C= + +

Utilizar a substituição comu = sec x + tg x

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Resumimos a seguir estas fórmulas e asfórmulas de integração para as outras duasfunções trigonométricas.

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tg ln cosu du u C= − +∫sec ln sec tgu du u u C= + +∫cotg ln senu du u C= +∫cossec ln cossec cotgu du u u C= − +∫

6

31



tg4x dx∫

32


Seja u = 4x. Então du = 4dx


Substituir 4x e 4dx

Regra da Tangente

Substituir u

( )1tg4 tg4 4

4x dx x dx=∫ ∫

1tg

4u du= ∫

1ln cos

4u C= − +

1ln cos4

4x C= − +

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3. Combinações de funçõestrigonométricas

Vamos agora usar as identidadestrigonométricas para integrar certas combinaçõesde funções trigonométricas, começando com aspotências de seno e cosseno.

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3cos x dx∫

35


Solução: A simples substituição u = cos x nãoajuda, pois du = - sen x dx. Para integrarmos aspotências de cosseno, necessitaríamos de um fatorextra sen x. Dessa forma, podemos separar umfator cosseno e converter o fator cos2x restanteem uma expressão envolvendo o seno usando aidentidade sen2x + cos2x = 1.

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Podemos então avaliar a integralsubstituindo u = sen x, assim du = cos x dx e

7

37


3 2cos cos cosx dx x x dx= ⋅∫ ∫

( ) ( )2 21 sen cos 1 ux x dx du= − ⋅ = − ⋅ =∫ ∫3

31sen sen

3 3u

u C x x C= − + = − +

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Em geral tentamos escrever um integrandoenvolvendo as potências de seno e cosseno em umaforma onde temos somente um fator seno (e orestante da expressão em termos de seno). Aidentidade sen2x + cos2x = 1 nos permite ainterconversão de potências pares de seno ecosseno.

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5 2sen cosx x dx∫

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Solução: Poderíamos converter cos2x para1 - sen2x, mas ficaríamos com uma expressão emtermos de sen x sem um fator extra cos x. Em vezdisso, separamos um único fator de seno ereescrevemos o fator sen4x restante em termosde cos x.

( )25 2 2 2sen cos sen cos senx x x x x= ⋅ ⋅

( )22 21 cos cos senx x x= − ⋅ ⋅

41


Substituindo u = cos x, temos du = -sen xdx, teremos

( )25 2 2 2sen cos sen cos senx x dx x x x dx= ⋅ ⋅∫ ∫

( ) ( ) ( )22 2 2 4 21 1 2u u du u u u du= − ⋅ ⋅ − = − − + ⋅ ⋅∫ ∫

( )3 5 7

2 4 62 23 5 7u u u

u u u du C= − − + = − + − +∫3 5 71 2 1

cos cos cos3 5 7

x x x C= − + − +

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Nos exemplos anteriores, uma potênciaímpar de seno e cosseno nos permitiu separar umúnico fator e converter a potência parremanescente. Se um integrando contém potênciaspares tanto para seno como para cosseno, essaestratégia falha. Nesse caso, podemos aproveitaras identidades dos ângulos-metade.

( ) ( )2 21 1sen 1 cos2 e cos 1 cos2

2 2x x x x= − = +

8

43



2

0

sen x dx∫π

44


Solução: Se escrevermos sen2x = 1 - cos2x, aintegral não é mais simples para se avaliar. Usandoa fórmula do ângulo-metade para sen2x, contudo,temos:

( )2

0 0 0

1 1 1sen 1 cos2 sen2

2 2 2x dx x dx x x

= − = −

∫ ∫ππ π

1 1 1 1sen2 0 sen0

2 2 2 2 2 = − − − =

ππ π

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4sen x dx∫

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Solução: Podemos escrever sen4x = (sen2x)2 e usaruma fórmula do ângulo-metade:

( )2

24 2 1 cos2sen sen

2x

x dx x dx dx− = =

∫ ∫ ∫

( )211 2cos2 cos 2

4x x dx= − +∫

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Como cos22x ocorre, precisamos usar outrafórmula do ângulo-metade:

( )2 1cos 2 1 cos4

2x x= +

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Isso resulta em:

( )4 1 1sen 1 2cos2 1 cos4

4 2x dx x x dx = − + +

∫ ∫

1 3 12cos2 cos4

4 2 2x x dx = − +

∫

1 3 1sen2 sen4

4 2 8x x x C = − + +

9

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Para resumir, listamos as regras a seguirquando avaliamos as integrais da forma:

sen cosm nx x dx∫onde m ≥ 0 e n ≥ 0 são inteiros.

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Estratégia para avaliar

a) Se a potência do cosseno é ímpar (n = 2k + 1), guardeum fator cosseno e use cos2x = 1 – sen2x paraexpressar os fatores remanescentes em termos deseno:

Nesse caso, substitua u = sen x.


sen cosm nx x dx∫

( )2 1 2sen cos sen cos coskm k mx x dx x x x dx+ =∫ ∫

( )2sen 1 sen coskmx x x dx= −∫

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b) Se a potência de seno é ímpar (m = 2k + 1), guarde umfator seno e use sen2x = 1 – cos2x para expressar osfatores remanescentes em termos de cosseno:

Então substitua u = cos x. [Note que se ambos osfatores de seno e cosseno são ímpares, podemos usar(a) ou (b).


( )2 1 2sen cos sen cos senkk n nx x dx x x x dx+ =∫ ∫

( )21 cos cos senk nx x x dx= −∫

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c) Se as potências de seno e cosseno são pares,utilizamos as identidades dos ângulos-metade.

Algumas vezes é útil usar a identidade


( )2 1sen 1 cos2

2x x= − ( )2 1

cos 1 cos22

x x= +

1sen cos sen2

2x x x=

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Podemos utilizar uma estratégia semelhantepara avaliar as integrais da forma

tg secm nx x dx∫Como (d/dx) tg x = sec2x, podemos separar

um fator sec2x e converter a potência (par) desecante remanescente para uma expressãoenvolvendo a tangente utilizando a identidadesec2x = 1 + tg2x.

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Ou, como (d/dx) sec x = sec x tg x, podemosseparar um fator sec x tg x e converter a potência(par) da tangente remanescente para secante.

10

55



6 4tg secx x dx∫

56


Solução: Se separarmos um fator sec2x, poderemosexpressar o fator remanescente em termos detangente usando a identidade sec2x = 1 + tg2x. Podemosentão avaliar a integral substituindo u = tg x comdu = sec2xdx.

6 4 6 2 2tg sec tg sec secx x dx x x x dx=∫ ∫

( ) ( )6 2 2 6 2tg 1 tg sec 1x x x dx u u du= + = +∫ ∫

( )7 9

6 8 7 91 1tg tg

7 9 7 9u u

u u du C x x C= + = + + = + +∫

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5 7tg θsec θ θd∫

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Solução: Se separarmos um fator sec2θ como noexemplo anterior, ficaremos com um fator sec2θ, quenão é facilmente convertido para tangente. Contudo, sesepararmos um fator sec θ tg θ, poderemos converter apotência remanescente de tangente para umaexpressão envolvendo apenas a secante usando aidentidade tg2θ = sec2θ - 1. Poderemos então avaliar aintegral substituindo u = sec θ, assim du = sec θ tg θ d θ.

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5 7 4 6tg θsec θ θ tg θsec θsecθ tgθ θd d=∫ ∫

( )22 6sec θ 1 sec θsecθ tgθ θd= −∫

( ) ( )22 6 4 2 61 2 1u u du u u u du= − = − +∫ ∫

( )11 9 7

10 8 62 211 9 7u u u

u u u du C= − + = − + +∫

11 9 71 2 1sec θ sec θ sec θ

11 9 7C= − + +

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Os exemplos anteriores mostram asestratégias para avaliar as integrais da forma

tg secm nx x dx∫

para dois casos, resumidos aqui.

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Estratégia para avaliar

a) Se a potência da secante é par (n = 2k, k ≥ 2), guarde umfator de sec2x e use sec2x = 1 + tg2x para expressar osfatores remanescentes em termos de tg x.

Assim, substitua u = tg x.


tg secm nx x dx∫

( ) 12 2 2tg sec tg sec seckm k mx x dx x x x dx

−=∫ ∫

( ) 12 2tg 1 tg seckmx x x dx

−= +∫

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b) Se a potência da tangente é ímpar (m = 2k + 1), guardeum fator de sec x tg x e use tg2x = sec2x - 1 paraexpressar os fatores remanescentes em termos desec x.

Então substitua u = sec x.


( )2 1 2 1tg sec tg sec sec tgkk n nx x dx x x x x dx+ −=∫ ∫

( )2 1sec 1 sec sec tgk nx x x x dx−= −∫

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Para outros casos as regras não são tãosimples. Talvez seja necessário usar asidentidades, a integração por partes e,ocasionalmente, um pouco de engenhosidade.Algumas vezes precisaremos integrar tg x utilizan-do a expressão

tg ln cosx dx x C= − +∫1

tg ln cosx du x C−= +∫

tg ln secx du x C= +∫

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Também precisaremos da integral indefinidada secante:

sec ln sec tgx dx x x C= + +∫

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3tg x dx∫

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Solução: Aqui apenas tg x ocorre; então usamostg2x = sec2x – 1 para reescrever um fator tg2x emtermos de sec2x.

( )3 2 2tg tg tg tg sec 1x dx x x dx x x dx= = −∫ ∫ ∫( )2 2tg sec tg tg sec tgx x x dx x x dx x dx= − = −∫ ∫ ∫

2

tg ln sec2u

u du u du u C= − = − +∫ ∫2tg

ln sec2

xx C= − +

12

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Se uma potência par de tangente aparececom uma potência ímpar de secante, é útilexpressar o integrando completamente em termosde sec x. As potências de sec x podem requerer aintegração por partes, como mostrado no exemploa seguir.

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3sec x dx∫

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Solução: Aqui integramos por partes com

secu x=

sec tgdu x x dx=

2secdv x dx=

tgv x=

Então3 2sec sec tg sec tgx dx x x x x dx= −∫ ∫

( )2sec tg sec sec 1x x x x dx= − −∫3sec tg sec secx x x dx x dx= − +∫ ∫

70


3 3sec sec tg sec secx dx x x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫

Então

3 3sec sec sec tg secx dx x dx x x x dx+ = +∫ ∫ ∫32 sec sec tg secx dx x x x dx= +∫ ∫

( )3 1sec sec tg ln sec tg

2x dx x x x x C= + +∫

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As integrais da forma

cotg cossecm nx xdx∫podem ser encontradas por métodos similares porcausa da identidade 1 + cotg2x = cosssec2x.

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Finalmente, podemos usar outras identida-des trigonométricas

13

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Para avaliar as integrais

(a) sen cosmx nx dx∫(b) sen senmx nx dx∫(c) cos cosmx nx dx∫use a identidade correspondente:

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( ) ( )1(a) sen cos sen sen

2A B A B A B = − + +

( ) ( )1(b) sen sen cos cos

2A B A B A B = − − +

( ) ( )1(c) cos cos cos cos

2A B A B A B = − + +

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sen4 cos5x x dx∫

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Solução: Essa integral pode ser avaliadautilizando-se integração por partes, mas é maisfácil usar a identidade anterior, como a seguir:

( )1sen4 cos5 sen sen9

2x x dx x x dx = − + ∫ ∫

1 1cos cos9

2 9x x C = − +

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