UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

MONOGRAFIA 2

INTEIROS DE GAUSS

Disciplina: MA148

Professor responsável: Fernando Eduardo Torres Orihuela

Alunas: Mariana Moretto Pissini RA: 103393

Marina de Almeida Maiochi RA: 108222

SUMÁRIO

1) Introdução___________________________________________01

2) A Norma de um número inteiro de

Gauss_______________________________________________03

3) As Unidades__________________________________________03

4) Divisão Euclidiana____________________________________04

5) Lema de Euclides_____________________________________07

6) Fatoração Única______________________________________08

7) Primos de Gauss______________________________________09

8) Ternas Pitagóricas____________________________________11

9) Um Lema Interessante_________________________________13

10) Bibliografia__________________________________________13

1) Introdução

Entre os anos de 1808 e 1825, o matemático alemão Carl F. Gauss,

investigava questões relacionadas à reciprocidade cúbica (x3 ≡ q (mod p)

onde p e q são números primos) e à reciprocidade biquadrática (x4 ≡ q (mod

p) onde p e q são números primos), quando percebeu que essa investigação

se tornava mais simples trabalhando sobre Z[i], o anel dos inteiros

gaussianos, do que em Z, o conjunto dos números inteiros.

O conjunto Z[i] é formado pelos números complexos da forma a + bi, onde

a e b são números inteiros e i = (-1)1/2

. Formalmente, os inteiros de Gauss

são o conjunto:

.1},,{][ iondebabiai

Gauss estendeu a idéia de número inteiro quando definiu o conjunto

Z[i], pois descobriu que muito da antiga “Teoria de Euclides” sobre

fatoração de inteiros poderia ser transportada para Z[i], com conseqüências

importantes para a “Teoria dos Números”. Ele desenvolveu uma “Teoria de

Fatorização em Primos” para esses números complexos e demonstrou que

essa decomposição em primos é única, como acontece com o conjunto dos

números inteiros. O uso que Gauss fez desse novo tipo de número foi de

fundamental importância na demonstração do “Último Teorema de

Fermat”.

Os inteiros de Gauss são exemplos de um tipo particular de número

complexo, ou seja, números complexos que são soluções de uma equação

polinomial

anxn + an-1 x

n-1 + ... + a1x + a0 = 0,

onde todos os coeficientes an, an-1, ..., a1, a0 são números inteiros.

Os números complexos que são raízes de uma equação polinomial

com coeficientes inteiros são chamados de números inteiros algébricos. Por

exemplo, a unidade imaginária, i, é um inteiro algébrico, pois satisfaz a

equação x2 + 1 = 0; a raiz quadrada de 2 também é um inteiro algébrico,

pois satisfaz a equação x2– 2 = 0. Observe que os números i, 2 são

exemplos de inteiros algébricos e não são números inteiros.

Existem infinitos números algébricos e infinitos números reais que

não são algébricos, tais como o número de Euler “e”, ou como a área p de

um círculo de raio 1. Um número que não é algébrico é chamado de

“número transcendente”. Os números transcendentes são todos irracionais.

Contudo, a recíproca não é verdadeira, pois 2 é um número irracional e

algébrico como vimos acima.

A generalização da noção de número inteiro para número inteiro

algébrico dá exemplos especiais de desenvolvimentos muito mais

profundos que chamamos de Teoria dos Números Algébricos.

Uma grande parte da Teoria dos Números Algébricos desenvolveu-

se por meio das tentativas de solução da equação diofantina, mais

conhecida como “Equação de Fermat”:

xn + y

n = z

n ,

pois os inteiros algébricos aparecem de maneira natural, como ferramenta

para tratar desse problema.

2) A Norma de um número inteiro de Gauss

A função norma,

N: = + i

)).(( biabiabia

preserva a multiplicação. De fato, se para todo bia denotamos

seu conjugado bia por , então é imediato verificar que temos

,. , e portanto que:

)()(.)( NNN .

3) As Unidades

As unidades em Z[i], analogamente a Z, são todos os elementos z Z[i]

que possuem inverso multiplicativo, ou seja, que ][' iz Z tal que .1' zz

Segue que se z = a + bi é uma unidade, então

11)()'()()'(1 22 bazNzNzNzzN 0,1 ba ou ,0a

ib ZZ ou 11 , e como esses quatro tem inverso, todas as

unidades são 1 e .i

Observe então que ][ix Z é unidade .1)( xN

4) Divisão Euclidiana

Teorema: Seja Z[ i ] = Z + Z[ i ] o anel dos inteiros de Gauss.

Seja N: Z[ i ] , 22)( babiaN , a função norma. Então:

(i) (Z[ i ], +, . ) é um domínio euclidiano, isto é,

(Z[ i ], +, . ) é um domínio,

0],[, iZ existem ][, iZrt tais que

rt . com

0

)()(

rou

NrN ,

)()(},0{\][, NNiZ .

(ii) Tais elementos t e r podem ser efetivamente calculados.

(iii) Em geral, tais elementos t e r não são únicos.

Demonstração:

(i) e (ii): Já foi visto que (Z[ i ], +, .) é um domínio.

Se ,0,][ iZdic temos ,0)( 22 dcN logo 1)( N

(já que )(N é um inteiro positivo, e conseqüentemente

)()(.)()( NNNN .

Agora vejamos a divisão:

Sejam ][, iZ , .0 Digamos que bia e dic com

.,,, Zdcba Procuramos dois elementos ][, iZrt tais que rt

com )()( NrN , isto é, procuramos um elemento ][iZt tal que

)()()()()(

NtNNNtNNtN

isto é, procuramos ][iZt tal que 1

tN

.

Como

= + i, existem yx, tais que iyx

.

Afirmamos que x e y podem ser efetivamente calculados, e pertencentes a

. De fato,

,11

222222i

dc

d

dc

c

dc

dic

dic

logo,

i

dc

adbc

dc

bdaci

dc

d

dc

cbia

22222222)(

1

+ i.

Agora, escolhemos

.2

1

2

1

fyquetalZf

exquetalZe

É claro que, x e y sendo efetivamente calculáveis, tais elementos e e f

podem ser efetivamente computados. Tomando ifet , temos:

.12

1

2

1

2

1)()(

))()((

))()((

22

22

fyex

fyiexN

ifeiyxNtN

Logo, o elemento ifet satisfaz a propriedade desejada. Além disso, o

elemento t é efetivamente calculado. Naturalmente, o elemento tr

é efetivamente calculado também.

(iii) Tais t e r não são únicos em geral pois, de novo temos:

3 = 2 . 1 + 1 (t = 1, r = 1)

3 = 2 . 2 + (-1) (t = 2, r = -1),

isto é, temos duas possibilidades para a divisão de 3 por 2.

5) Lema de Euclides

A partir da divisão euclidiana podemos demonstrar o lema de Euclides,

ou seja, se p é um primo de Gauss (ou seja, não pode ser escrito como o

produto de dois inteiros de Gauss cujas normas são maiores que 1), então

sendo a, b Z[i], p|ab p|a ou p|b.

Demonstração:

Para demonstrá-lo, vamos fazer sucessivas divisões euclidianas,

sendo a0 = a e a1 = p. Seja ak + 2 o resto da divisão euclidiana de ak por ak+1.

Temos então as divisões:

11

112

4332

3221

2110

nnnn

nnnn

aaqa

aaqa

aaqa

aaqa

aaqa

Observe que como )()(0 1 kkk aNaNa , podemos tomar n tal que

N(an +1) = 0, ou seja, an + 1 = 0.

Logo an|an – 1. Observe que 1| kn aa e .|| 1 knkn aaaa Logo nn aa | e

,| 1nn aa então indutivamente, ,0 ,| nkkaa kn particularmente

aaan 0| e .| 1 paan Tomando as j + 1 primeiras equações e realizando

substituições adequadas, temos que aj = xj a1 + yj a0 = xj p +yj a;

particularmente .aypxa nnn

Voltando ao lema, veja que se p|a então o lema está certo. Se p não divide

a, então, como ,| pan an|a e an = xnp + yna, então an {1; – 1; i; – i} e

temos:

,|)(1 bpabybpxabaypxa nnnnnn pois ,| abp o que conclui a

demonstração.

6) Fatoração Única

A fatoração única é uma das propriedades mais usadas em problemas

envolvendo números inteiros. Vamos prová-la para os inteiros de Gauss.

Primeiramente provaremos que todo inteiro z de Gauss com norma

maior que 1 pode ser escrito como o produto de um ou mais primos de

Gauss.

Se N(z) = 2, como 2 é primo e a norma é multiplicativa, então z é primo,

portanto está provado. Considere N(z) > 2. Se z é primo a fatoração é

imediata. Se z não é primo, então z = a b N(z) = N(a) N(b), onde N(a),

N(b) > 1, portanto N(a), N(b) < N(z). Podemos supor, por indução, que se

N(x) < N(z), então x é fatorável. Logo a e b são fatoráveis, e portanto z é

fatorável.

Para provar que esta fatoração é única, basta considerar as duas

fatorações p1p2…pn e q1q2…qm . Suponha, por indução, que :

p1p2…pn = q1q2…qm, sendo uma unidade, implica que a sequência

(pi) é uma permutação (a menos que sejam multiplicações por unidades) da

(qi). Se max{n; m} = 1, então o resultado é imediato. Supondo que ele vale

se max{n'; m'}< max{n; m}, pelo lema de Euclides, vemos que para algum

i, pn|qi. Sem perda de generalidade, i = m. Como pn e qm são primos, então

qm = ' pn, onde ' é uma unidade. Logo p1p2…pn = q1q2…qm p1p2…pn

– 1 = ....' 121 mqqq Por indução, p1, p2,...,pn-1 é uma permutação (a menos

que sejam multiplicações por unidades) de q1, q2, …, qm, portanto a

fatoração única está provada.

7) Primos de Gauss

Vamos agora ver quem são os números primos em Z[i].

Observe que se N() é primo em Z, então é um primo de Gauss (pois

se fatora então N() fatora). Observe que todo primo divide N(),

portanto ele deve dividir ao menos um fator primo em Z de N(). Se

dividir ao menos dois números distintos (absolutamente) x e y primos em Z,

como sempre é possível tomar a, b Z tal que ax + by = 1, teríamos |1,

um absurdo. Logo todo primo de Gauss divide exatamente um primo

inteiro positivo (e seu oposto negativo) em Z. Seja esse primo inteiro

positivo p. Temos três casos:

(i) Se p é par, então p = 2. Sendo = a + bi, então a2 + b

2 = 2

= 1 i, e obtemos os quatro primos 1 + i, 1 – i, –1 + i e –1 –i.

Observe que eles são dois a dois uma multiplicação por uma

unidade do outro.

(ii) Se p 3 (mód. 4), como x Z x2 0 ou 1 (mód. 4), então, se

existisse = c + di, c, d Z, 1 < N() < p2

tal que p = , é

facil ver que, como p é um primo inteiro c – di , logo p = c2

+ d2 0, 1 ou 2 (mod.4), absurdo, pois p = 4k + 3. Logo p é um

primo de Gauss.

(iii) Se p 1 (mód. 4), então, sendo x = 1 2 … ( p – 1)/2, então:

2

)1(...21

2

)1(...212

pp

x

)1(1)1()2(...2

)1(

2

)1(...21

ppp

pp

).(1 pmód

Logo ).)((1| 2 ixixxp Como é um primo de Gauss que

divide p, então Z, |x + i ou |x – i |1, absurdo. Portanto

Z[i] tal que p = . Seja = a + bi e = c + di, a, b, c, d Z.

Como p é primo em z, então mdc(a; b) = mdc(c;d) = 1. Temos p =

(a + bi)(c + di) = ac – bd + (bc + ad)i. Como p Z, então bc = –ad

(a = c e b = – d) ou (a = –c e b = d) = . Como p > 0,

então ,)( pN logo é primo (e e seu conjugado são

únicos primos de Gauss que dividem p).

Portanto vimos que os números primos em Z[i] são:

(1) O primo 1 + i e seus produtos pelas unidades.

(2) Os primos p em Z tal que p 3 (mod. 4) e seus produtos pelas

unidades.

(3) Para cada primo p em Z+ tal que p 1 (mod. 4), os primos a + bi, a – bi

e seus produtos pelas unidades, sendo a2 + b

2 = p.

8) Ternas Pitagóricas

Agora que já vimos a aritmética básica dos inteiros de Gauss, vamos

começar com um resultado simples e interessante. Vamos achar as soluções

da equação a2 + b

2 = c

2, sendo a, b, c Z.

Sejam m = mdc(a; b) então existem a' e b' Z tais que:

ma' = a e mb' = b.

Temos então:

a2 + b

2 = (ma')

2 + (m b')

2 = m

2((a')

2 + (b')

2) = c

2 m|c.

Seja então mc' = c, temos a'2 + b'

2 = c'

2, mdc(a';b';c') = 1.

Note que a'2 + b'

2 = c'

2 (a'+ b'i)(a'– b'i) = c'

2. Observe que se

d = mdc(a' + b'i; a' – b'i), então d|2a' e d|2b' d|2. Se d não divide 1, então

d|a'2 + b'

2 a' e b' são ímpares, o que é um absurdo, basta ver congruência

módulo 4. Portanto d|1 a' + b'i e a' + b'i são primos entre si, logo ambos

são quadrados perfeitos. Observe também que quaisquer a' e b' primos entre

si tais que a' + b'i e a'– b'i são quadrados perfeitos são soluções da equação.

Portanto a' e b' formam uma solução se e somente se existem x, y, z, w Z

tal que:

xyb

yxayixiba

yixiba

yixiba

wiziba

yixiba

2'

')(''

)(''

)(''

)(''

)('' 222

2

2

2

2

Veja então que a' e b' são primos entre si se e só se x e y são primos entre

si. Logo as soluções são a = (x2 – y

2) d, b = 2xy d, ou vice-versa, e

conseqüentemente c = (x2 + y

2) d, para x, y, d Z, sendo x e y primos

entre si.

Resultados importantes:

a) Quando um primo p é a soma de dois quadrados, ele o é de maneira

única. De fato, suponha que p = a2 + b

2 = c

2 + d

2. Temos então:

p = (a + ib) (a - ib) = (c + id)(c - id);

os elementos a + ib, a – ib, c + id, c – id são irredutíveis em Z[i], pois tem

norma igual a p que é irredutível em Z. Sendo Z[i] domínio fatorial,

obtemos que a + ib é associado a (c + id) ou a (c - id); já que os elementos

irredutíveis de Z[i] são +1, -1, + i e – i, obtemos:

,

cb

daou

db

ca logo .

22

22

22

22

cb

daou

db

ca

b) Em geral, é possível para um inteiro positivo não-primo ser expresso

como soma de dois quadrados de duas maneiras diferentes, por exemplo:

125102 + 5

2 = 11

2 + 2

2.

9) Um Lema Interessante

Se f, g são inteiros que são soma de dois quadrados, então o produto f.g

também é soma de dois quadrados.

Demonstração:

Por hipótese, existem inteiros a, b, c, d tais que f = a2 + b

2 e g = c

2 + d

2.

Então, f.g = (a2 + b

2).( c

2 + d

2) = N(a + ib)N(c + id)

= N((a + ib)(c + id)) = N((ac - bd) + i(ad + bc))

= (ac - bd)2 + (ad + bc)

2.

10) Bibliografia

- Elementos de Álgebra – Arnaldo Garcia e Yves Lequain

- http://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiro_de_Gauss

- http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integer

- http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/primos_gauss.htm

- http://www.mtm.ufsc.br/~jane/acap2/cap2.htm