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Universidade Estadual de Campinas

DANIEL CAMPOLINA PACCI CAMILA TAKEUTI VAZ RODRIGUES

Inteiros De Gauss

Campinas

2013

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DANIEL CAMPOLINA PACCI

CAMILA TAKEUTI VAZ RODRIGUES

Inteiros De Gauss

Trabalho do curso de licenciatura de matemática da matéria MA 148: Fundamentos de Matemática. Professor: Fernando Torres.

Campinas 2013

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Resumo

Nosso estudo tem como objetivo ter uma visão geral sobre os Inteiros de Gauss e suas

aplicações desde o ultimo Teorema de Fermat, até sua ligação com a fatoração em

números primos.

Palavras Chaves: Teorema de Fermat, Inteiros de Gauss, Números Primos e Fatoração

Única.

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Sumário

Biografia.....................................................................................................................6

Os Inteiros De Gauss..................................................................................................7

Propriedades Aritméticas Dos Inteiros De Gauss......................................................10

Fatoração Única.............................................................................................13

Números Primos.........................................................................................................14

Bibliografia.................................................................................................................15

"Verdadeiramente o que mais prazer me proporciona, não é o saber, mas o estudar,

não a posse, mas a conquista, não o estar aqui, mas o chegar além."

Carl Friedrich Gauss

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Introdução.

O trabalho tem como objetivo mostrar um pouco da história de Carl Friedrich

Gauss e como ele chegou à conclusão de era necessária utilizar outro conjunto para

resolver o ultimo Teorema de Fermat, assim surgindo o que foi chamado de

Inteiros de Gauss.

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Biografia de Carl Friedrich Gauss

Considerado como um dos maiores matemáticos de sempre, Carl Friesrich Gauss

nasceu em Brunswich na Alemanha, tendo demonstrado desde muito cedo os seus

dotes para a matemática.

As suas contribuições para a teoria dos números, dos números complexos, da

geometria e da álgebra são inúmeros. Por exemplo, a sua tese de doutoramento foi

a primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra. Gauss teve também

um importante contributo para a astronomia, tendo-se interessado pelo estudo das

órbitas planetárias e pela determinação da forma da Terra. Um exemplo desse

contributo foi o desenvolvimento de um método para calcular, com grande

precisão, os parâmetros de uma órbita planetária a partir de apenas três observações

da posição do planeta.

A partir de 1831, juntamente com Wilhelm Weber, desenvolveu o estudo teórico e

experimental do eletromagnetismo.

Por fim, outro importante contributo de Gauss para a ciência foi a determinação do

campo magnético terrestre. Em reconhecimento desta contribuição, a unidade de

campo magnético ficou com o seu nome.

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Os Inteiros De Gauss.

1808 e 1825, o matemático alemão Carl F. Gauss, investigava questões

relacionadas à reciprocidade cúbica (x3 º q(mod p) onde p e q são números primos) e à

reciprocidade biquadrática (x4 ºq(mod p) onde p e q são números primos), quando

percebeu que essa investigação se tornava mais simples trabalhando sobre Z[i], o anel

dos inteiros de gaussianos, do que em Z, o conjunto dos números inteiros. O

conjunto Z[i] é formado pelos números complexos da forma a + bi, onde a e b são

números inteiros e (i2 = –1)..

Gauss estendeu a idéia de número inteiro quando definiu o conjunto Z[i], pois

descobriu que muito da antiga Teoria de Euclides sobre fatoração de inteiros poderia ser

transportada para Z[i] com consequências importantes para a Teoria dos Números. Ele

desenvolveu uma Teoria de Fatoração em Primos para esses números complexos e

demonstrou que essa decomposição em primos é única, como acontece com o conjunto

dos números inteiros. O uso que Gauss fez desse novo tipo de número foi de

fundamental importância na demonstração do Último Teorema de Fermat.

Os inteiros de Gauss são exemplos de um tipo particular de número complexo,

ou seja, números complexos que são soluções de uma equação polinomial.

anxn + an-1 x

n-1 + ... + a1x + a0 = 0,

Onde todos os coeficientes an, an-1, ..., a1, a0 são números inteiros. Esses números

complexos que são raízes de uma equação polinomial com coeficientes inteiros são

chamados de números inteiros algébricos. Por exemplo, a unidade imaginária, i, é um

inteiro algébrico, pois satisfaz a equação x2 + 1 = 0, a raiz quadrada 2

1/2 de 2, pois

satisfaz a equação x2– 2 = 0. Observe que os números i, 2

1/2 são exemplos de inteiros

algébricos e não são números inteiros.

Existem infinitos números algébricos e infinitos números reais que não são

algébricos, tais como o número de Euler e, ou como a áreap de um círculo de raio 1.

Um número que não é algébrico é chamado de “número transcendente”. Os números

transcendentes são todos irracionais. Contudo, a recíproca não é verdadeira, pois 21/2

é

um número irracional e algébrico como vimos acima.

A generalização da noção de número inteiro para número inteiro algébrico dá

exemplos especiais de desenvolvimentos muito mais profundos que chamamos de

Teoria dos Números Algébricos.

Uma grande parte da Teoria dos Números Algébricos desenvolveu-se por meio

das tentativas de solução da equação diofantina, mais conhecida como Equação de

Fermat

xn + y

n = z

n ,

pois os inteiros algébricos aparecem de maneira natural, como ferramenta para tratar

desse problema. Nos anos de 1840 tornou-se evidente a importância do conceito de

fatoração única. Em 1847 o matemático francês Gabriel Lamé (1795–1870) anunciou

uma demonstração do Último Teorema de Fermat para todo expoente n nessa equação

de Fermat. Contudo, o matemático Joseph Liouville (1809–1882), observando o método

proposto, apontou que a demonstração assumia a unicidade da fatoração única de modo

sutil. A suspeita de Liouville foi confirmada quando mais tarde recebeu uma carta do

brilhante matemático alemão Ernest Kummer (1810–1893) mostrando que a unicidade

da fatoração única falhava em algumas situações. A primeira começando para n = 23.

Kummer tinha publicado havia três anos um artigo em que demonstrava que a fatoração

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única não funcionava em determinadas situações destruindo assim a demonstração de

Lamé. Infelizmente, o artigo de Kummer foi publicado em uma obscura revista e passou

despercebido por Lamé.

Em 1843, Kummer acreditou que houvesse demonstrado o Último Teorema de

Fermat usando o corpo Q dos números racionais, adicionado a raízes p-ésimas da

unidade, isto é um número complexo V tal que Vp = 1, onde p é um número primo

ímpar. Kummer considerou a raiz primitiva p-ésima V da unidade, isto é um número

complexo V tal que Vp = 1, mas V

n ¹ 1 quando 1 < n < p. Considere Q(V) denotando o

conjunto de todos os números da forma

ap-2 Vp-2

+ ap-1Vp-1

+ ... + a1V + a0 = 0,

Onde os coeficientes ap-2, ap-1, ..., a1 e a0 são números racionais.

Os números em Q(V) que possuem coeficientes inteiros são chamados de

inteiros algébricos de Q(V). Por exemplo, o número ½ + 3V é um elemento de Q(V),

mas não é um inteiro algébrico; 4 – 8V + 3V2

+V3 é um inteiro algébrico.

Kummer observou que somas diferenças, produtos e quocientes de elementos de

Q(V) são elementos de Q(V) e que as somas, diferenças e produtos de inteiros

algébricos são inteiros algébricos. Desse modo, Kummer ampliou a Teoria dos Números

Inteiros Gaussianos para o conjunto dos inteiros algébricos de um corpo. Ele, então,

tomou a seguinte decomposição da Equação de Fermat, para n = p,

xp + y

p = (x + y 1) (x + y V) ... (x + y V

p - 1) = z

p.

Então, ele demonstrou que essa equação não possui solução x, y,z com xyz ¹ 0.

Contudo, Kummer necessitava do fato de que para os inteiros de Q(V) a propriedade da

fatoração única é válida e esse fato não é válido em geral. A propriedade da fatoração

única é valida para p= 3, 5, 7, 1l, 13, 17, 19, mas não é válida, por exemplo, para p = 23.

Essa propriedade não é válida para um número infinito de primos p.

Kummer teve a brilhante idéia de criar mais inteiros de modo a recuperar a

propriedade da fatoração única. Contudo, esses inteiros não pertenciam a Q(V). A idéia

era utilizar esses novos inteiros como fatores dos inteiros algébricos de Q(V) de tal

forma que fosse possível recuperar a fatoração única. Esses novos inteiros foram

chamados por Kummer de Números Ideais e considerou-os da forma:

(ap-2 Vp-2

+ ap-1Vp-1

+ ... + a1V + a0)1/ r

onde os coeficientes ap -2, ap -1, ..., a1 e a0 são números inteiros e r é um inteiro positivo.

O número r não é arbitrário, a sua escolha está relacionada a certos valores admissíveis

de acordo com a escolha de

a = ap-2 Vp-2

+ ap-1Vp-1

+ ... + a1V + a0.

Prosseguindo-se nessa linha de raciocínio existe um inteiro h, chamado de class

number do corpo, que depende somente do corpo dado Q(V) e é tal que, qualquer que

seja a dado, todos os valores admissíveis de r divide h. Quando Q(V) possui a

propriedade da fatoração única, o valor r = 1 é obviamente o que precisamos para

restaurar a fatoração única. Isso se reflete no fato de que o class number h será igual a 1

se, e somente se Q(V) possui a propriedade da fatoração única.

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Quando Kummer revisou a sua demonstração do Último Teorema de Fermat,

sob um novo olhar, ele percebeu que poderia demonstrá-lo para mais expoentes primos,

mas não para todos. Ele encontrou uma demonstração que valia para primos que não

dividiam h, o class number associado ao corpo Q(V). Desse modo, ele reconheceu que

alguns primos apresentavam um padrão que designou por regularidade: se o primo p

não divide h é chamado de primo regular, e é chamado de primo irregular caso

contrário. Utilizando essa propriedade da regularidade que alguns números primos

apresentam, Kummer conseguiu demonstrar que o Último Teorema de Fermat se aplica

a todos os expoentes n = p que sejam primos regulares. Os únicos primos irregulares

menores que 100 são p = 37, 59, 67.

Em 1850, superando as dificuldades da não unicidade da fatoração única e

introduzindo a Teoria dos Números Complexos „ideais‟ Kummer demonstrou o

Teorema de Fermat para todos os expoentes até 36 e para todos os expoentes primos

inferiores a 100, com exceção dos expoentes primos não regulares 37, 59 e 67.

Observa-se que apesar de p= 23 não possuir a propriedade da fatoração única, o

resultado de Kummer sobre primos regulares mostra que o Teorema de Fermat é

verdadeiro para esse expoente. Além disso, Kummer também desenvolveu métodos

poderosos com aplicações a muitos outros problemas de matemática e produziu

trabalhos importantes em refração atmosférica e balística.

Essa teoria tomou uma forma distinta da que Kummer nos legou. O matemático

Dedekind (1831-1916) reformulou o conceito de número ideal proposto por Kummer,

propondo o conceito chave fundamental de ideal de um anel que permanece até hoje. A

definição de Dedekind é distinta da definição de Kummer, mas demonstra-se que elas

são equivalentes.

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Propriedades Aritméticas Dos Inteiros De Gauss.

Vamos discutir algumas das propriedades aritméticas dos inteiros de Gauss.

Primeiramente, observamos que Z[i] é um subconjunto de C, o conjunto dos números

complexos. Sendo assim, consideremos o conjunto Z[i] munido das operações de adição

e multiplicação herdadas de C. Isto é, se z1 = a + ib e z 2 = a + ib então:

z 1 + z 2 = (a + c) + i(b + d)

e

z 1 . z 2 = (a + c) + i(b + d).

O elemento neutro da adição é 0 = 0 + 0i, o elemento neutro da multiplicação

é 1 = 1 + 0i e finalmente –1 = –1 + 0i. Todas as outras propriedades, tais como

associativa da adição e da multiplicação, comutativa da adição e multiplicação,

distributiva, são herdadas de C. Observemos que para todo inteiro n temos a

identificação n = n + 0i, ou ainda, n = n. Portanto, 0 = 0, ±1 = ±1, ±2 = ±2,... .

As questões de divisibilidade se tornam complexas nesse conjunto. Observe que o

número inteiro 5 é primo em Z. Contudo, em Z[i] temos.

(1 + 2i).(1 – 2i) = 1 – 2i + 2i – 4i2 = 1 – 4(–1) = 5.

Uma vez que nem todo inteiro primo é primo gaussiano, naturalmente surgem

algumas questões: Quais são os números primos desse anel? Existem infinitos primos

gaussianos? Seria possível se decompor os inteiros gaussianos em fatores primos de

modo único, a menos da ordem?

Para comentar essas questões, que envolvem a noção de divisibilidade em Z[i],

precisamos definir o que vem a ser divisibilidade em Z[i].

Suponhamos que x e y sejam inteiros gaussianos distintos, onde y ¹ 0. Dizemos

que y divide x, e indicamos por y çx, se existe um inteiro gaussiano w tal que x = wy.

Por exemplo,

(1 + i) ç2, pois 2 = (1 + i)(1 – i)

e

(1 + i) ç(1 – i), pois 1 + i = i(1 – i).

Agora, observe que 1 + 2i não divide 1 – i. Caso contrário, teríamos 1 + 2i =

(c + di)(1 – i) onde ce d pertencem a Z. Obtemos 1 + 2i = c + d + (d – c)i, ou

seja, c + d = 1 e d – c = 2 igualando, respectivamente, a parte real e a parte imaginária.

Somando-se as duas equações anteriores obtemos 2d= 3. Contudo, d é um número

inteiro!

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Será a definição de divisibilidade em Z[i] compatível com a definição de

divisibilidade em Z? Queremos saber, por exemplo, se é possível 3 dividir 7 em Z[i]. A

resposta não poderia ser mais significativa:

“Existe compatibilidade entre a definição de divisibilidade dada para inteiros

gaussianos em relação à definição dada para os inteiros.”

De fato, suponhamos que x e y, y ¹ 0, são elementos de Z tal que y çx em Z[i].

Então existe w = c+ di em Z[i] tal que x = wy, ou seja, x = (c + di)y = cy + dyi.

Logo, x = cy e 0 = dy. Como y ¹ 0, 0 =dy implica que d = 0 e, assim, w = c é um número

inteiro! Portanto, x = wy = cy. Concluímos que, se yçx em Z[i], então y çx em Z.

Sabemos que 1 e –1 dividem todos os números inteiros. Analogamente, demonstra-

se que ± 1 e ± i dividem todos os inteiros gaussianos. Sendo assim, ± 1 e ± i são

denominados de unidades dos inteiros gaussianos. Se w é uma unidade dos inteiros

gaussianos e x e y são inteiros gaussianos tais que x = wy, então dizemos que x e y são

elementos associados. Observe que, 1 + i e 1 – i são elementos associados, pois 1

+ i = i (1 – i).

Agora estamos aptos a definir primos gaussianos: um inteiro gaussiano x é um

primo gaussiano se os únicos divisores de x são seus associados e as unidades de Z[i].

Por exemplo, o inteiro 2 não é primo em Z[i], pois

i(1 – i)2 = i(1 – 2i + i

2) = i(–2i) = –2i

2 = 2.

Como observamos anteriormente existem muitas propriedades que os inteiros

gaussianos e os inteiros possuem em comum. Sabemos por meio das colunas anteriores

que existem infinitos inteiros primos da forma 4k + 3. Por sua vez, demonstra-se que

todo inteiro primo da forma 4k + 3 é um primo gaussiano! Portanto, existem infinitos

primos gaussianos. Demonstra-se que os primos gaussianos são precisamente:

O inteiro gaussiano 1+ i e seus associados; os inteiros primos da forma 4k + 3 e seus

associados; e os números a ± bi, onde a2

+ b2

é um inteiro primo da forma 4k +1,

e seus associados.

Observamos que os associados de um inteiro gaussiano x são obtidos

multiplicando-se x por ± 1 ou± i.

Se p = 3 então p = 3 = 4.0 + 3; logo o inteiro gaussiano 3 é um primo gaussiano.

Se p = 5, então p = 5 = 4.1 + 1 implica que 2 + i e 2 – i e seus associados são primos

gaussianos.

Como todo inteiro primo ou é da forma 4k + 1 ou da forma 4k + 3, concluímos que

existem dois primos gaussianos correspondentes a cada inteiro primo da forma 4k + 1, e

um primo gaussiano que correspondente a cada inteiro primo da forma 4k + 3. Sendo

assim, todo primo gaussiano é fator de um único inteiro primo. Costumamos dizer que

os primos da forma 4k + 3 permanecem primos em Z[i], que os primos da forma 4k + 1

se decompõem em Z[i], e que 2 = –i(1 + i) se ramifica em Z[i].

Observamos que até agora não possuímos elementos para comparar inteiros

gaussianos por meio da conhecida relação de ordem “<”. Vamos assumir que essa

definição possa ser estendida para os inteiros gaussianos. Sabemos que, para qualquer

que seja a definição estendida, sempre teremos que 0< 1. Como i ¹ 0, se

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supusermos i < 0, então necessariamente 0 < –i e, portanto, 0 < (–i)2

= –1, o que é

falso! Por outro lado, se supusermos 0 < i, então 0 < i2

= –1, o que também é falso!

Para comparar inteiros gaussianos poderemos definir uma função norma com

domínio neles que assuma valores nos naturais N. Portanto, definimos N de um inteiro

gaussiano x = a + bi, por N(x) = N(a+ bi) = a2 + b

2. A norma exerce um papel

importante, pois, como sabemos, as desigualdades são fundamentais no estudo das

propriedades aritméticas e algébricas dos inteiros.

Em Z[i] está definida uma divisão com resto muito semelhante à divisão euclidiana

definida nos inteiros:

Sejam x e y inteiros gaussianos, com y ¹ 0. Então existem inteiros gaussianos w e z

tais que: x = wy + z, com N(z) < N(w).

Assim, a divisão com resto em Z[i] é algorítmica. Esse fato permite calcular o

máximo divisor comum de dois inteiros gaussianos não nulos.

Os inteiros satisfazem uma propriedade importantíssima em Teoria dos Números: a

fatoração única, ou seja, todo número inteiro positivo se expressa de maneira única, a

menos da ordem dos fatores, como produto de números primos. Os inteiros gaussianos

também satisfazem essa importante propriedade aritmética, ou seja, admitem a

decomposição em primos e essa decomposição é única a menos da ordem dos fatores.

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Fatoração Única

A fatoração única é uma das propriedades mais usadas em problemas envolvendo

números inteiros. Vamos prová-la para os inteiros de Gauss. Primeiramente

provaremos que todo inteiro z de Gauss com norma maior que 1 pode ser escrito como o

produto de um ou mais primos de Gauss. Se N(z) = 2, como 2 é primo e a norma é

multiplicativa, então z é primo, portanto está provado. Considere N(z) > 2. Se z é primo

a fatoração é imediata. Se z não é primo, então z = a b N(z) = N(a) N(b), onde

N(a), N(b) > 1, portanto N(a), N(b) < N(z). Podemos supor, por indução, que se N(x) <

N(z), então x é fatorável. Logo a e b são fatoráveis, e portanto z.

Para provar que esta fatoração é unica, basta considerar as duas fatorações p1p2…pn e

q1q2…qm . Suponha, por indução, que p1p2…pn = q1q2…qm, sendo uma unidade,

implica que a seqüência (pi) é uma permutação (a menos que sejam multiplicações por

unidades) da (qi). Se max{n; m} = 1, então o resultado é imediato. Supondo que ele vale

se max{n'; m'}< max{n; m}, pelo lema de Euclides, vemos que para algum i, pn|qi. Sem

perda de generalidade, i = m. Como pn e qm são primos, então qm = 'pn, onde ' é uma

unidade. Logo p1p2…pn = q1q2…qm p1p2…pn – 1 = ....' 121 mqqq Por indução, p1,

p2,...,pn-1 é uma permutação (a menos que sejam multiplicações por unidades) de q1, q2,

…, qm, portanto a fatoração única está provada.

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Números Primos

Vamos agora ver quem são os números primos em Z[i]. Observe que se N() é primo

em Z, então é um primo de Gauss (pois se fatora então N() fatora).

Observe que todo primo divide N(), portanto ele deve dividir ao menos um fator

primo em Z de N(). Se dividir ao menos dois números distintos (absolutamente) x e y

primos em Z, como sempre é possível tomar a, b Z tal que ax + by = 1, teríamos |1,

um absurdo. Logo todo primo de Gauss divide exatamente um primo inteiro positivo (e

seu oposto negativo) em Z. Seja esse primo inteiro positivo p. Temos três casos:

Se p é par, então p = 2. Sendo = a + bi, então a2 + b

2 = 2 = 1 i , e obtemos os

quatro primos 1 + i, 1 – i, –1 + i e –1 –i. Observe que eles são dois a dois um a

multiplicação por uma unidade do outro.

Se p 3 (mód. 4), como x Z x2 0 ou 1 (mód. 4), então, se existisse = c + di, c,

d Z, 1 < N() < p2

tal que p = , é facil ver que, como p é um primo inteiro c –

di , logo p = c2 + d

2 0, 1 ou 2 (mod.4), absurdo, pois p = 4k + 3. Logo p é um primo de

Gauss.

Se p 1 (mód. 4), então, sendo x = 1 2 … ( p – 1)/2, então:

2

)1(...21

2

)1(...212

pp

x

)1(1)1()2(...2

)1(

2

)1(...21

ppp

pp

).(1 pmód

Logo ).)((1| 2 ixixxp Como é um primo de Gauss que divide p, então Z,

|x + i ou |x – i |1, absurdo. Portanto Z[i] tal que p = . Seja = a + bi e =

c + di, a, b, c, d Z. Como p é primo em z, então mdc(a; b) = mdc(c;d) = 1. Temos p =

(a + bi)(c + di) = ac – bd + (bc + ad)i. Como p Z, então bc = –ad (a = c e b = – d)

ou (a = –c e b = d) = . Como p > 0, então ,)( pN logo é primo (e

e seu conjugado são únicos primos de Gauss que dividem p).

Portanto vimos que os números primos em Z[i] são:

(1) O primo 1 + i e seus produtos pelas unidades.

(2) Os primos p em Z tal que p 3 (mod. 4) e seus produtos pelas unidades.

(3) Para cada primo p em Z+ tal que p 1 (mod. 4), os primos a + bi, a – bi e seus

produtos pelas unidades, sendo a2 + b

2 = p.

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Bibliografia

http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/

http://www.knoow.net/cienciasexactas/fisica/gausscf.htm

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN:

Guilherme Fujiwara, São Paulo – SP