POR QUE ESTUDAR FUNÇÃO É IMPORTANTE?

A idéia de função é comum a vários ramos da Matemática e, é fundamental no cálculo e muito importante neste nosso mundo em transformação, pelas suas aplicações. Note que:- Quando um carro se move ao longo de seu caminho, em velocidade constante, a distância que percorre é dada em função do tempo consumido.- A área de um terreno é dada em função das suas dimensões.

• O preço que se paga para enviar uma carta é dado em função do seu peso, isto é, o valor do selo a ser colocado na carta depende do peso da mesma.

• O comprimento de uma barra de ferro, quando aquecida, é dado em função da temperatura, pois o ferro se dilata quando aquecido.

• O número de jogos de um campeonato em turno e returno é dado em função do número de clubes participantes

De alguma forma, a relação função acontece nas mais variadas ações da natureza e, por isso, compreender essas operações matemáticas é de fundamental importância para o progresso como forma de aproveitamento dos recursos existentes.

A distância que a água que sai pelos furos atinge se dá em função da pressão, que por sua vez, se dá em função da altura da coluna de água.

As funções podem ser classificadas segundo o

“comportamento” de seu movimento. Estudaremos as

funções lineares, quadráticas e exponenciais.

 

Função afim

Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Para que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que “a” deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:

f: R→R definida por f(x) ax + b, com a R e bRVeja alguns exemplos de Função afim.

f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1 f(x) = x ; a = 1 e b = 0 f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1A vantagem de se usar este tipo de representação para a função do 1º grau, é que a leitura do coeficiente angular e linear da reta, é feita direta. Para isto, faz-se necessário que a variável Y, fique “isolada” na equação da reta: f(x) = ax + b ou y = ax + b

Uma função real de variável real que associa cada x ao elemento (a x + b) R, a 0, recebe o nome de função afim.

f(x) = a x + b, com a 0

Exemplos:

1)f(x) = 2x – 1, onde a = 2 e b = – 1.

2)y = – 3x + 4, onde a = – 3 e b = 4.

3)g(x) = ½ x – 2 , onde a = ½ e b = – 2.

4)h(x) = 2 x, onde a = 2 e b = 0. Esta é chamada função linear (b = 0).

5)f(x) = x, onde a = 1 e b = 0. Esta é a função identidade (a = 1 e b = 0)

Coeficientes da função afim:

O coeficiente a é chamado coeficiente angular.

O coeficiente b é chamado coeficiente linear.

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

y = ax + b

a = coeficiente angular da reta

b = coeficiente linear da reta (ponto de

intersecção com o eixo Oy.

O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.

a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR = 1

Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.

2

4

) )

X Y

0 1

2 5

Y = 4

x = 6

y = 2x – 3

y = – 3x + 6

OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos

Função constante

Não é Função

O GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM

a > 0 e b > 0 a > 0 e b = 0 a > 0 e b < 0

a < 0 e b > 0 a < 0 e b = 0 a < 0 e b < 0

0

0

0 0

0 0

A FUNÇÃO CONSTANTE

Em f(x) = a x + b, se a = 0, chegamos à forma f(x) = b, ou como usualmente se emprega f(x) = k, onde k R. Esta é a função constante. Exemplo: f(x) = 5 é uma função constante. Todas as imagens são iguais.

Veja suas possíveis representações gráficas.

0 0 0

k > 0k = 0

k < 0

Observe que D(f) = R e Im(f) = {k}

Esta é a função nula.

Seja dada a função definida pela sentença 2x – y– 4 = 0.

função do 1º Grau

Coeficiente linear

Onde o ponto P (2,0) r

Já o ponto P (1, 2) r

Coeficiente angular = 1

Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0.

Coeficiente angular = 3

Coeficiente angular =2

ÂNGULO: 71.56º

ÂNGULO: 63.43º

ÂNGULO: 45º

PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

EXERCÍCIOS 1) Qual o conjunto imagem da função f:RR, definida por f(x)

= 5?

2) A função da questão anterior é par ou ímpar?

3) Sendo f(x) = –2 e g(x) = x + 1 funções reais, como expressar f[g(x)]?

5) (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = a x + b é:

x

yy

y

yy

x

x

x

x

c)a)

b)

d)

e)

0

0

0

0

0

CONSTRUINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM

Por ser uma reta, necessitamos apenas de dois pontos para representar graficamente uma função afim.

Vejamos: representar graficamente a função afim y = 2 x – 4 . Solução:

Construindo uma tabela, onde atribuímos arbitrariamente dois valores para x, encontramos suas correspondentes imagens.

x y

0 – 4

3 2

•

•

3

2

– 4 Observe que esta função é crescente.

0

Representar graficamente a função afim f(x) = – x – 4.

Solução:

x f (x)

– 1 – 3

2 – 6

•

•

–1

–3

2 x

y

–6

Observe que esta função é decrescente.

0

EXEMPLO:

1

1)(

2

x

xxf

Temos que

Então, façamos o gráfico de f(x) = x – 1, onde x – 1.

1 se , 11

)1)(1(

1

12

xxx

xx

x

x

1

– 1

– 2

– 1 0 x

y

Observe que x = –1 não tem correspondente, pois não pertence ao domínio da função.

Construir o gráfico da função real definida .

x y

0 – 1

1 0

EXEMPLO:

Construir o gráfico da função

0 se ,2

0 se ,2)(

xx

xxf

2

– 2

0

De – até x = 0, a função é constante. Adotando x > 0, a lei passa a ser f(x) = x – 2, isto é, uma função afim. Para esta, fazemos x = 0 (aberto) e x = 2, encontrando, aqui, x = 0 e traçamos o gráfico da parte direita do sistema de coordenadas.

D(f) = R

Im(f) = {y Ry – 2}

ENCONTRANDO A LEI DA FUNÇÃO AFIM A PARTIR DE DOIS DE SEUS PONTOS

Exemplo 1) Determine a função afim que satisfaz as condições f(2) = 3 e f(4) = 7.

Resolução:

Vamos substituir x por 2 e y por 3 em y = a x + b:

3 = 2 a + b.

Agora, façamos x = 4 e y = 7, também em y = a x + b:

7 = 4 a + b

Chegamos ao sistema

cuja solução é a = 2 e b = – 1 .

Logo, a função procurada é y = 2x – 1 .

2 a + b = 3

4 a + b = 7Uma forma prática de calcular

o valor de a é fazendo

224

37

12

12

xx

yya

Exemplo 1) Determine a função afim que satisfaz as condições f(2) = 3 e f(4) = 7.

Exemplo 2) Qual a lei da função representada no gráfico abaixo?

5

•– 3

6x

y

O

Resolução:

Observamos que a função procurada é da forma f(x) = a x + b, pois seu gráfico é uma reta.

Veja que f(0) = 5 e f(6) = – 3.

Desta forma, chegamos ao sistema {b = 5 e 6a + b = – 3. Assim, 6 a = – 8 a = – 4/3.

[Podíamos ter feito a = (– 3 – 5)/(6 – 0) = – 8/6 a = – 4/3.]

Então, a função procurada é f(x) = – 4/3 x + 5.

(FGV – SP) Num determinado país, o gasto governamental com educação, por aluno em escola pública, foi de 3000 dólares no ano de 1985, e de 3600 dólares em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja constituído por pontos de uma reta:

a)Obtenha a lei que descreve o gasto por aluno (y) em função do tempo (x), considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1 para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987 e assim por diante.

b)Em que ano o gasto por aluno será o dobro do que em 1985?

O ZERO DA FUNÇÃO AFIM

O zero de uma função é o valor da variável independente que anula a variável dependente. Comumente diz-se que é o valor de x que anula y.

Então, façamos f(x) = 0 em f(x) = a x + b:

a x + b = 0 a x = – b

x = – b / a

Aplicação: 1) Qual o zero da função y = 3x – 6?

Resolução:

Tomando 3 x – 6 = 0, vamos ter x = 2, valor também encontrado fazendo x = – b/a = – (– 6)/3.

Resposta: o zero da função é 2.

2)Qual o valor de k para que o zero da função afim f(x) = 3x – 2 + k seja 1?

Resolução:

Se o zero da função é 1, devemos ter f(1) = 0.

3(1) – 2 + k = 0 1 + k = 0 k = – 1.

Resposta: k = – 1.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO ZERO DE UMA FUNÇÃO:

Geometricamente, o zero de uma função é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico com o eixo x.

•O

Este ponto tem por abscissa o zero da função afim, ou seja – b/a.

OBSERVAÇÕES

1) Qual o zero da função linear?

2) Qual o zero da função identidade?

3) Qual o zero de uma função constante?

Qual o zero da função abaixo representada?

5

4

0

Quais os zeros da função do gráfico abaixo?

52,7– 3,5

5

0

(PUC – SP) No conjunto dos números reais, a equação a x = b, na incógnita x:

a) Não pode ter infinitas soluções.

b) Sempre tem solução.

c) Só tem solução se a 0.

d) Tem infinitas soluções se b 0.

e) Tem solução única se a 0.

(U. E. Londrina) Seja a função f:R tal que f(x) = a x + b. Se os pontos (0; – 3) e (2; 0) pertencem ao gráfico de f, então a + b é igual a:

f) 9/2

g) 3

h) 2/3

i) – 3/2

j) – 1

O SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES A E B NA FUNÇÃO AFIM

O coeficiente angular determina o grau de inclinação da reta representativa da função em relação ao eixo das abscissas. Sendo a um número positivo, o ângulo formado com o sentido positivo do eixo será agudo. Se negativo, esse ângulo será obtuso. Numericamente, a é igual à tangente desse ângulo.

O coeficiente linear é a ordenada do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas.

b

0

Observe que é um ângulo agudo, ou seja a > 0, também

a = t g

Se = 90º, a reta é vertical e t g não se define. Para uma reta paralela ao eixo das abscissas t g = 0.

EXEMPLOS1)Qual o valor de a nas funções abaixo representadas?

f(x) = a x + b

45º

f(x) = a x + b

60º

2)Em qual dos gráficos o a é maior?

3)Para um a maior, a inclinação aumenta ou diminui?

0

0

EXEMPLO: Qual a medida do ângulo no gráfico abaixo?

– 2

1

0

Solução:

Temos que f(1) = 0 e f(0) = – 2, o que nos dá b = – 2 e f(1) = a(1) – 2 = 0 a = 2. Sendo assim, a equação da reta é y

= 2x – 2 e o ângulo é tal que t g = 2.

Para encontrar , vamos fazer o seguinte: na calculadora científica do Windows (iniciar, programas, acessórios, calculadora) digite 2; em seguida, clique em inv e em tan. Você encontrará um ângulo próximo de 63,4º.

Resposta: 63,4º.

CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DA FUNÇÃO AFIM

A função afim é crescente se a > 0

Demonstração:

Dado x1 < x2 , multiplicando por a > 0, o sentido da desigualdade se conserva:

a x1 < a x2, adicionemos b a ambos os membros:

a x1 + b < a x2 + b. Como ax1 + b = f(x1) , vem que:

f(x1) < f(x2) . A função tratada é crescente, pois

x1 < x2 f(x1) < f(x2) [Maior o x, maior a imagem de x]

A função afim é decrescente se a < 0

Demonstração:

Dado x1 < x2 , multiplicando por a < 0, o sentido da desigualdade se inverte:

a x1 > a x2, adicionemos b a ambos os membros:

a x1 + b > a x2 + b. Logo

f(x1) > f(x2) . A função tratada é decrescente, pois

x1 < x2 f(x1) > f(x2) [Maior o x, menor a imagem de x]

ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO AFIM

Estudar o sinal de uma função significa determinar para que valores reais da variável independente (x) a variável dependente (y) é positiva, negativa ou nula.

Um importante teorema algébrico afirma que para uma função contínua (representada graficamente sem interrupções) mudar de sinal é preciso que, antes, ela assuma o valor zero.

Podemos compreender daí que o sinal de uma função, quando muda, o faz em torno de uma raiz.

Sendo a função afim monótona, ela admite um único zero e faz somente uma mudança de sinal, justamente em torno do seu zero (– b/a).

Esta mudança tanto pode ser de negativa para positiva como de positiva para negativa. Vejamos:

Estudar o sinal da função afim definida por f(x) = 2 x – 6.

Resolução:

Tomando f(x) = 0, temos que x = 3.

Já sabemos que o sinal de f(x) muda em torno de 3, que é o zero da função.

Resta-nos saber se esse sinal muda de positivo para negativo ou de negativo para positivo. Como a função é crescente (a > 0), temos a segunda possibilidade.

Assim, f(x) < 0 para todo x < 3

f(x) = 0 para x = 3

f(x) > 0 para todo x > 3.

Veja a tabela abaixo. Usamos o zero da função como valor central de x.

x 0 1 2 3 4 5 6f(x) -6 -4 -2 0 2 4 6

sinal de f(x)

– – – nulo + + +

3

Estudar o sinal da função afim definida por f(x) = – x – 2.

Resolução:

Tomando f(x) = 0, temos que x = – 2 .

Isto significa dizer que o sinal de f(x) muda em torno de –2 , que é o zero da função.

Resta-nos saber se esse sinal muda de positivo para negativo ou vice-versa. Como a função é decrescente (a < 0), temos a primeira possibilidade.

Assim, f(x) < 0 para todo x > – 2

f(x) = 0 para x = – 2

f(x) > 0 para todo x < – 2.

Veja a tabela abaixo. Usamos o zero da função como valor central de x.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

sinal de f(x) + + + nulo – – –

– 2

Em geral, temos:

Sendo a > 0, o estudo do sinal da função afim f(x) = a x + b é o seguinte:

f(x) > 0 para todo x >– b/a

f(x) = 0 para x = –b/a

f(x) < 0 para todo x < –b/a

Sendo a < 0, o estudo do sinal da função afim f(x) = a x + b é o seguinte:

f(x) > 0 para todo x < – b/a

f(x) = 0 para x = –b/a

f(x) < 0 para todo x > –b/a

Observe que – b/a é o zero da função, encontrado a partir da imposição f(x) = 0.

Na reta real, tem-se:

f(x) = a x + b, a R+*

f(x) = a x + b, a R-*f(x) > 0

Função crescente.

Função decrescente.

f(x) > 0

f(x) < 0 x = – b/a

f(x) > 0

f(x) < 0x = – b/a

Observe que à direita do zero da função sempre temos o mesmo sinal de a; e à esquerda, temos o sinal contrário ao de a.

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

As inequações do tipo, ou reduzidas à forma a x + b > 0, a x + b < 0, a x + b 0 ou a x + b 0 são resolvidas pelo estudo do sinal da função f(x) = a x + b ou de forma direta, como já visto em séries anteriores.

Exemplos:

1) Resolva a inequação 3x – 4 > 0.

Resolução: façamos 3 x > 4 x > 4/3.

Resposta: S = {x Rx 4/3}

2) Resolva a inequação 1 – 2 x 0.

Resolução: – 2 x – 1 2 x 1 x ½

Resposta: S = {x Rx ½ }

EXPRESSÕES DA FORMA (A X + B)N

Sendo n um número natural maior ou igual a 2, podemos considerar o seguinte.

1) Esta expressão será nula se a x + b = 0, ou seja, x = –b/a.

2) Esta expressão será positiva, ou nula, sempre que o expoente n for um número par.

3) Sendo n ímpar, a expressão terá o mesmo sinal de a x + b. EXEMPLOS:

a) A expressão (2 x – 4)4 será nula se x = 2 ou positiva em qualquer outro caso.

b) A expressão (1 – 4x)3 será nula se x = ¼ , será positiva se 1 – 4 x > 0 e negativa se 1 – 4 x < 0, ou seja, assume o sinal da base.

ESQUEMATICAMENTE:

(a x + b)par tem sinal mostrado abaixo:

–b/a

++–b/a anula a x + b

(a x + b)ímpar tem sinal mostrado abaixo:

–b/a

m/ac/a –b/a anula a x + b

m/a significa “o mesmo sinal de a” ; c/a, o sinal contrário ao sinal de a .

INEQUAÇÕES DA FORMA (A X + B)N > 0, OU SIMILARAqui, temos dois casos a considerar:

1º caso: o expoente n é um número positivo par.

Neste caso, o termo (a x + b)n será sempre positivo ou nulo (quando x = – b/a).

2º caso: o expoente n é um número positivo ímpar.

Neste caso, o termo (a x + b)n terá sempre o sinal de a x + b, ou seja, podemos tratá-lo como se o expoente não existisse.

Exemplos:

1) Resolva a inequação (2 x – 4)2 > 0.

Resolução: se x = 2 (2 x – 4)2 = 0; para qualquer outro caso (2x – 4)2 será maior que zero.

Resposta: {x R x 2}2

+ +

2) Quais os valores reais de x para que se tenha (3x – 6)3 < 0?

Resolução:

Como o expoente é ímpar, basta resolver a inequação 3 x – 6 < 0.

3 x – 6 < 0 x < 2.

Resposta: os números reais menores que 2.

3) Qual o maior número inteiro que torna (2x – 8)9 um número negativo?

Resolução:

Sendo o expoente ímpar, façamos 2 x – 8 < 0 x < 4.

Resposta: o número inteiro procurado é 3.

2

– +

4 – +

Aplicação: Resolva as inequações seguintes.

a) (3x – 9)1 > 0

b) (– 2 x + 1)7 0

c) (x + 2)10 0

3 x > 9 x > 3

S = {x Rx 3}

Sendo n ímpar, façamos – 2 x + 1 0

2 x 1 x ½

S ={x R x ½}

O primeiro membro desta inequação só pode ser nulo, se x = – 2, ou positivo, nunca negativo. Logo, S = {– 2}

APLICAÇÕES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU

APLICAÇÃO 1: Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00 , e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% (0,06) sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês.

a) Escreva a função que determina o valor do salário S (x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).

SOLUÇÃO:

S (x) = 1200,00 + 0,06x ou S(x) = 0,06x + 1200,00

b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00?

SOLUÇÃO:

S (x) = 1200,00 + 0,06 . 20 000,00 = 2400,00

c) O que representa o coeficiente linear dessa equação?

SOLUÇÃO:

Representa o salário num mês em que o representante nada vendesse, ou seja, quando x = 0.

APLICAÇÃO 2: Uma pessoa tinha num banco um saldo positivo de R$ 300,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado em função do número x, de notas retiradas.

a) Escreva a função que determina o valor do saldo bancário S (x), em função de x (quantidade de notas retiradas). SOLUÇÃO:

S (x) = 300,00 – 50x ou S(x) = -50x + 300,00

b) Qual será o valor do saldo, se a pessoa retirar 8 notas? (supor que não houve outros débitos)

SOLUÇÃO:

S (x) = 300,00 – 50,00 x 8 = 300,00 – 400,00 = - 100,00

c) O que significa o sinal negativo, antes do coeficiente angular ou dessa equação?

SOLUÇÃO:

Que se trata de uma função DECRESCENTE

d) Qual a raiz dessa função? O que ela significa?

SOLUÇÃO:

A raiz é 6, pois –50 x + 300 = 0, gera como resposta x = 6.

Essa raiz representa a quantidade de notas necessárias para que o saldo se torne igual a ZERO.

APLICAÇÃO 3: Em um reservatório havia 50 litros de água quando foi aberta uma torneira que despeja no reservatório 20 litros de água por minuto. A quantidade de água no tanque é dada em função do número x de minutos em que a torneira fica aberta.

a) Qual a lei que define a função que determina a quantidade de litros de água do reservatório, em função de x (tempo de abertura da torneira)?

SOLUÇÃO:

F(x) = 50 + 20x ou y = 20x + 50

b) Qual o aspecto gráfico dessa função?

SOLUÇÃO:

50

APLICAÇÃO 4: Os gastos de consumo (C) de uma família e sua renda (r) são tais que: C = 2000 + 0,8 r. Ambas as variáveis expressas em reais. Quanto aumenta o consumo dessa família, se a renda aumenta 1000 reais? SOLUÇÃO:Como esses gastos de consumo têm uma parcela fixa (2000 reais), o aumento gerado será apenas da parcela variável. Como tal parcela é 0,8 . r, tal acréscimo será de 0,8 x 1000 = 800 reais.

OBS: Como a função desta questão é uma função afim, o fato que descobrimos na resposta seria representado graficamente da seguinte forma: cada aumento de 10 reais na variável renda familiar, gera um aumento de 8 reais na variável consumo. É o que chamamos de taxa de variação, que na equação está representada pelo 0,8.

APLICAÇÃO: Depreciação

Uma determinada mercadoria, devido ao desgaste, tem o seu valor V decrescendo, linearmente, com o tempo. Sabemos que uma determinada máquina é hoje R$ 1000,00 e estima-se, através da função de depreciação, que será R$ 250,00 daqui a cinco anos.

a) Qual a expressão da função que relaciona o valor V da mercadoria, com o tempo de uso t?

b) Qual será o valor da mercadoria após 6 anos de uso?

c) Após quanto tempo tal máquina não terá mais qualquer valor comercial?

SOLUÇÃO:

Vejamos o gráfico dessa função:

Como se trata de uma função afim, teremos:

V = at + b. Mas já sabemos pelo gráfico que b = 100, logo V = at + 1000

b

250

1000

5 t (anos)

V (reais)

Sabemos que, para t = 5, V = 250, logo, teremos: 250 = 5a + 1000

Ou 5a = 250 – 1000 então

a = -750 / 5 = -150

Logo, a equação procurada é V = -150 t + 1000

EQUAÇÃO DE DEPRECIAÇÃO

b) Qual será o valor da mercadoria após 6 anos de uso?

O valor será: V = -150 . 6 + 1000 = - 900 + 1000 = 100 reais.

c) Após quanto tempo tal máquina não terá mais qualquer valor comercial?

Basta agora igualar a zero, a equação de valor que já obtivemos: -150 t + 1000 = 0, logo, t = 1000 / 150 6,7 anos.