UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Um fabricante produz bicicletas e motoretas, devendo cada uma delas ser processada em duas oficinas. A oficina

1 tem um máximo de 120 horas de trabalho disponível e a oficina 2 um máximo de 180 horas. O fabrico de uma

bicicleta requer 6 horas de trabalho na oficina 1 e 3 h na oficina 2. O fabrico de uma motoreta requer 4 h na oficina

1 e 1 hora na oficina 2. O lucro é de 30 € por bicicleta e de 40 € por motoreta. Formule o problema da determinação

do plano de produção como sendo de programação linear, de modo a maximizar o lucro.

2. A firma MR produz carrinhos de golfe e carrinhos para a neve nas suas três fábricas. A fábrica A produz

diariamente 40 carrinhos para golfe e 35 carrinhos para a neve. A fábrica B apenas produz carrinhos para golfe – 65

unidades por dia. A fabrica C apenas produz carrinhos para a neve – 53 unidades por dia. Os custos de

funcionamento diário das três fábricas A, B e C são, respectivamente, iguais a 210 mil u.m., 190 mil u.m. e 182 mil

u.m.. Quantos dias (incluindo Sábados e Domingos) deverá operar cada fábrica no mês de Fevereiro para satisfazer

um programa de produção de 1500 carrinhos de golfe e 1100 carrinhos para a neve a um custo mínimo ?

Formule e modelo o problema em programação linear.

3. Um fabricante de automóveis miniatura produz três tipos de automóveis – A, B e C – que requerem como

acabamento final uma pintura especial, para o que possui duas máquinas (com produtividades diferentes) cada uma

com uma capacidade semanal de 120 horas de trabalho.

O número de automóveis de cada tipo que pode ser processado por hora em cada uma das duas máquinas é dado no

quadro seguinte:

Unidades /hora Máquina 1 Máquina 2

Modelo A 40 36

Modelo B 42 30

Modelo C 24 15

Os custos horários de processamento são de 4,20 Euros para a máquina 1 e de 3,60 Euros para a máquina 2.

Por seu turno , os custos da matéria prima por cada automóvel tipo A ou B produzidos são de 40 centimos e 80

centimos; os preços de venda de cada unidade A, B e C são, respectivamente, 1,10 Euros, 1 Euro e 1,50 Euros.

Por razões comerciais foram impostos limites inferiores de produção semanal de cada tipo de carro:

Modelo A Modelo B Modelo C

2150 700 250

Formule e modelo o problema em programação linear.

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Um comboio a diesel necessita de um maquinista, um guarda, dois funcionários da limpeza e quatro mecânicos

para o por em circulação, enquanto que um comboio eléctrico requer um maquinista, dois guardas, um funcionário

de limpeza e três mecânicos. A estação local tem 60 comboios a diesel, 40 comboios eléctricos, 80 maquinistas,

120 guardas, 240 funcionários de limpeza e 240 mecânicos.

Formule o problema em Programação Linear de forma a maximizar o número de comboios a circular.

5. A empresa ABC, Lda produz três modelos (M1, M2 e M3) de um determinado produto. Para esse efeito utiliza

dois tipos de material base (A e B) dispondo actualmente de 4000 kg e 6000 kg, respectivamente. Na tabela

seguinte apresenta-se o material base, em kg, necessário para a produção de uma unidade de cada um dos três

modelos do produto:

Material base M1 M2 M3

A 2 3 5

B 4 2 7

O tempo de trabalho necessário à produção de uma unidade do modelo M1 é o dobro do tempo necessário à

produção de uma unidade do modelo M2 e o triplo do tempo necessário à produção de uma unidade do modelo M3.

A força de trabalho disponível na empresa é suficiente para produzir diariamente, o equivalente a 1500 unidades do

modelo M1. A direcção de marketing, com base num estudo de mercado, indica que devem ser produzidas,

diariamente, dos três modelos pelo menos: 200 unidades do modelo M1, 200 unidades do modelo M2 e 150

unidades do modelo M3. A direcção de vendas estipulou um lucro unitário de 30 u.m., 20 u.m. e 50 u.m. para os

modelos M1, M2 e M3, respectivamente.

Supondo garantida a venda total da produção, formule este problema com base num modelo de Programação

Linear, de forma a que a empresa possa determinar o número de unidades a produzir, por forma a maximizar o

lucro total.

6. Uma firma produz três tipos de artigos artesanais que podem ser fabricados por dois trabalhadores. O quadro

seguinte indica o número de horas que cada trabalhador necessita para a produção de uma unidade de cada um dos

artigos.

Trabalhador Artigo A B C

Francisco 1 2 0,5

João 1,5 3 0,5

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cada trabalhador não pode trabalhar mais que 35 horas por semana. Em cada semana é necessário fabricar pelo

menos 15 unidades do artigo A, exactamente 20 do artigo B e não mais de 25 unidades do artigo C. Como devemos

repartir o trabalho entre os trabalhadores de modo a minimizar o tempo total de trabalho e garantindo os

trabalhadores trabalham o mesmo número de horas por semana.

7. Um Jovem está a planear uma viagem de campismo à boleia. Há cinco artigos indivisíveis que ele gostaria de

levar consigo, mas, face à natureza da viagem, não poderá exceder o limite de 60 u.p. (unidade de peso). Para

decidir quais os objectos que deverá levar consigo o jovem atribuiu a cada objecto um determinado “valor”

proporcional à sua importância:

Artigo 1 2 3 4 5

Peso (u.p.) 52 23 35 15 7

“Valor” 100 60 70 15 15

Que artigos deverá ele seleccionar, de modo a maximizar o seu “valor” sem exceder a limitação do peso total ?

Formule o problema de maneira a poder ser resolvido através de programação linear.

8. Uma empresa de “software” comercializa 3 programas: 1 compilador de Pascal, 1 folha de cálculo e 1 sistema de

gestão de base de dados, que vende ao público por 40, 30 e 60 mil u.m., respectivamente. Para efectuar as

demonstrações aos clientes, a empresa tem disponíveis 2 computadores (modelos A e B). Devido a outros

compromissos da empresa, os computadores só podem ser usados em demonstrações durante períodos semanais

que não excedem as 30 horas, no caso do modelo A e 40 horas no que se refere ao modelo B.

Os tempos de demonstração de cada programa em cada um dos computadores, são os seguintes:

Modelos → A B

Compilador de Pascal 3 h 2 h

Folha de cálculo 1 h 2 h

Sistema de Gestão de Base de Dados 3 h 3 h

Supondo que os clientes só compram os programas após assistirem e ficarem satisfeitos com as demonstrações,

formule e crie um modelo de programação linear que maximize a receita semanal da empresa.

9. A Farm-Químicos fabrica 3 tipos de reagentes: A, B e C. Os reagentes são produzidos mediante dos processos, 1

e 2. Ao fazer funcionar o processo 1 durante uma hora tem-se um custo de 10 Euros e obtém-se 3 kg de reagente A,

1 kg de B, e 1 kg de C. A utilização do processo 2 custa 5 Euros por hora, e numa hora obtém-se 1 kg de A e 1 kg

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- de B. Para satisfazer as encomendas dos seus clientes, a Farm-Químicos deverá produzir diariamente pelo menos

10 Kg de A, 5 kg de B, 3 kg de C.

Formule e modele o problema de programação linear que permite à Farm-Químicos determinar o plano de

produção diária que satisfaz as encomendas minimizando o custo.

10. Um fundo de Investimentos tem que decidir sobre a melhor composição da sua carteira de aplicações

financeiras para o próximo ano.

O regulamento da sua constituição estipula que, pelo menos, 20% dos investimentos têm de ser feitos em Títulos

do Tesouro e os investimentos em Acções não podem ultrapassar 30% do total.

A gestão do Fundo vai ainda considerar investimentos em Obrigações de empresas privadas.

Para cada tipo de aplicação, indicam-se as rentabilidades esperadas e o correspondente risco estimado:

Investimentos Rentabilidade esperada (%) por

cada unidade percentual da

composição

Risco Estimado

Títulos do Tesouro 4 0.5

Acções 11 12

Obrigações 6.5 4

Na perspectiva da segurança dos seus investidores, a Gestão do Fundo decidiu que a média do risco ponderada

pelas proporções de cada tipo de aplicação financeira não deve exceder 7.5.

Qual deverá ser a composição da carteira de investimentos do Fundo que poderá proporcionar a melhor

rentabilidade. Formule o problema e estabeleça o modelo matemático susceptível de o resolver.

11. Uma fábrica produz dois tipos de tecido usando três cores diferentes de lã. Para cada metro de tecido são

necessárias:

Lã Tecido A (gr) Tecido B (gr)

Encarnada 40 50

Verde 50 20

Preta 30 80

A fábrica dispõe apenas de 10 Kg de lã encarnada, 10 Kg de lã verde e 12 Kg de lã preta.

O fabricante quer saber como deve estabelecer a produção, se lucra 50 u.m. por metro com o tecido A e 20 u.m. por

metro com a B.

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12. Um aviário deseja que a ração dos frangos tenha um certo número mínimo de nutrientes. Tem dois tipos de

grãos à sua escolha A e B que pode misturar para obter o produto final..

Os dados referentes ao teor calorico por kg de grão encontram-se apresentados no quadro.

Tipo de Grão Amido Proteínas Vitaminas

A 4 4 2

B 5 7 1

Quantidade Mínima 8 14 3

O custo por kg é de 6.0 para grão tipo A e de 4.0 para o grão tipo B.

Como deve ser feita a ração dos frangos de modo a ser o mais económica possível ?

13. Uma determinada televisão regional pretende organizar um programa de meia hora. Tenciona apresentar um

comediante, uma banda jovem e anúncios. O comediante exige um mínimo de 2000 u.m. à razão de 200 u.m. por

minuto. A banda exige, analogamente, 2500 u.m. à razão de 500 u.m. por minuto. Os anúncios rendem 100 u.m.

por minuto e não devem absorver menos de 3 minutos, nem mais de 10.

13.1. Organize o programa de modo que a despesa da televisão seja mínima.

13.2. Suponha que o Empresário da Banda apresenta uma outra proposta, baixando o preço para 300 u.m. por

minuto, desde que a actuação seja de pelo menos 10 minutos. Diga se esta proposta vai alterar o programa feito.

14. Uma empresa tem uma ocupação descontínua de certa linha de produção e a administração estuda a hipótese

de destinar esse excesso de capacidade à produção de um ou mais de 3 produtos designados por A, B e C.

A capacidade disponível das máquinas que poderão limitar a produção é a seguinte:

Maquina 1 2 3

Tempo disponível (horas por semana) 200 160 50

O número de horas-máquina necessárias para cada unidade dos referidos produtos é:

Produto

Máquina

A B C

1 8 2 3

2 4 3 0

3 2 0 1

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- O departamento de vendas informa que as vendas potenciais dos produtos A e B ultrapassam a máxima capacidade

de produção e que a venda potencial do produto C é de 20 unidades semanais. Os lucros unitários são 20, 6 e 8 para

os produtos A, B e C respectivamente

Formule, modele o problema de forma a determinar o plano óptimo de produção.

15. Uma fábrica de peças metálicas pretende esgotar o resto de stock de uma determinada qualidade de metal

produzindo 2 tipos de peças às quais correspondem lucros de venda respectivamente 1 e 3 u.m. e utilizações de

metal de 3 e 5 kg.

Simultaneamente pretende ocupar completamente uma secção da fábrica que dispõe de um máximo de 200

unidades de mão-de-obra. A mão-de-obra ocupada na fabricação de cada peça é de 1 e 5 u.m.o. e a quantidade de

metal disponível é de 400 kg.

Pretende-se encontrar o programa de fabrico que optimize o lucro correspondente a esta produção.

16. A empresa de segurança TudoBem pretende contratar vigilantes temporariamente, para assegurar os contratos

que tem em carteira para os próximos três meses. Os vigilantes a contratar trabalharão, por semana, cinco dias

consecutivos, descansando nos outros dois dias. As necessidades para os vários dias da semana são indicadas no

quadro seguinte, onde figuram também as disponibilidades em efectivos da empresa.

Dia da semana Dom Seg. Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

Necessidades 18 12 12 12 12 14 16

Disponibilidade

s

3 2 2 1 2 3 3

Formule um problema de programação matemática para determinar o número mínimo de vigilantes a contratar,

bem como os dias da semana em que folgam.

17. Considere que num dado hospital existem 6 turnos diários em que cada um dos quais o número mínimo de

enfermeiros necessários para assegurar o serviço é o indicado no quadro a seguir:

Turno 1 2 3 4 5 6

Período 0 – 4 h 4 – 8 h 8 – 12 h 12 – 16 h 16 – 20 h 20 – 24 h

Nº enferm 8 10 12 10 8 6

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Supondo que os enfermeiros têm 8 horas diárias de trabalho (consecutivas) e que iniciam sempre o seu trabalho no

princípio de um turno, pretende-se determinar o plano de serviço diário que envolva o menor número de

enfermeiros de modo a que sejam garantidos os números mínimos indicados no quadro.

Formule o problema de acordo com um modelo de Programação Linear.

18. Um fundo de investimentos tem 100 000 u.m. para investir num prazo de 3 anos. Tem, neste momento, quatro

hipóteses de investimento, sendo livre de optar por uma ou mais hipóteses.

A - Investir em depósitos bancários, sempre possíveis no início de cada ano, até ao 3º ano, obtendo uma taxa de

juro de 10% ao ano;

B - Investir em obrigações no início do 1º ano, obtendo no final do 3º ano uma mais valia de 25%

C - Investir em títulos no início do 2º ano, obtendo uma mais valia de 20% no fim do 3º ano.

D - Investir em moeda no início do 3º ano, obtendo uma mais valia de 16% no fim do 3º ano.

Sabendo-se que existe uma norma interna do fundo de investimentos que impede aplicações superiores a 50 000

u.m. numa só opção de investimento, exceptuando os casos de depósitos bancário onde é possível investir até 75

000 u.m.

Formule o problema de forma que seja possível saber qual a estratégia que maximiza os ganhos totais.

19. O Professor Piriquito, famoso inventor, pretende criar um novo combustível que será utilizado na próxima

viagem ao centro da Terra que pretende realizar.

Após longos estudos, criou 2 tipos de combustíveis, A e B, cujo custo de produção por litro é de 150 e 100 u.m.

respectivamente, com as seguintes concentrações.

Componentes 1 2 3

Combustível A 2 5 4

Combustível B 9 3 2

gramas/litro

O Professor Piriquito chegou à conclusão que poderia utilizar no seu veículo “minhoca” especialmente desenhado

para a viagem ao centro da Terra qualquer mistura dos dois combustíveis desde que respeitasse as seguintes

concentrações de componentes por litro.

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Componente Concentração mínima Concentração máxima

1 2 4

2 3.5 5

3 2 3

Formule e elabore o modelo matemático para resolver o problema em programação linear.

20. Uma empresa de fundição extrai chumbo e zinco a partir de dois tipos de sucata. O tipo A custa 30

Euros/tonelada e em média permite a extracção da 100 kg de chumbo e 100 kg de zinco por tonelada; enquanto que

a sucata tipo B custa 50 Euros /tonelada e em média permite a extracção de 100 kg de chumbo e 300 kg de zinco

por tonelada. Supondo que as vendas diárias são de pelo menos 3 toneladas de chumbo e 4 toneladas de zinco, qual

o esquema de aprovisionamento a adoptar.

Formule e modele o problema em Programação Linear.

21. Para a fabricação de um tipo de ração para animais, a empresa “Gado Gordo” pode utilizar um, ou mais do que

um de três tipos de cereais, cujos preços por unidade de massa são, respectivamente, de 41, 35 e 96 u.m., e contêm

cada um deles, por unidade de massa, quatro espécies de nutrientes nas quantidades apresentadas no quadro abaixo:

Cereais

Nutrientes

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

A 2 3 7

B 1 1 0

C 5 3 0

D 0.6 0.25 1

Pretendendo o Director de Produção que a ração a produzir durante um período de produção assegure uma

composição mínima de nutrientes de 1250, 250, 900 e 232.5, respectivamente dos nutrientes de A a D, construa o

modelo matemático com o qual o Director de Produção da G.G. poderá determinar a mistura óptima de cereais a

utilizar.

22. Um jovem empresário possui 1000 u.m. que pretende investir na produção de dois produtos A e B. Para fazer

uma unidade do bem A necessita 3 u.m. enquanto que para fazer uma unidade do bem B o montante é de 2 u.m. Os

lucros líquidos são actualmente de 4 u.m. e 7 u.m. respectivamente para o bem A e para o B.

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Problemas de Formulação --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A produção vai implicar o armazenamento, a área total de armazenamento é de 4000 m2, cada unidade de A

necessita de 8 m2, enquanto B ocupa 20 m2. O jovem sabe ainda que por razões comerciais a empresa tem que

comprometer-se a vender pelo menos duas unidades do bem A a um dos clientes. E ainda, perante um terceiro

sujeito a empresa comprometer-se-à a vender duas unidades de B por cada unidade de A vendida.

Formule e construa o modelo matemático.

23. Um fabricante de produtos de metal comercializa 4 modelos diferentes para a industria de produtos

electrónicos. As condições de mercado são tais que o fabricante pode vender o que quiser; podendo decidir qual a

quantidade a produzir de cada um dos modelos. O processo produtivo por que passam os quatro modelos inclui 3

fases principais: uma de corte, uma de moldagem e uma de acabamentos e polimento. Cada modelo necessita

passar por cada fase do processo de acordo com as durações (traduzidas em horas) apresentadas no quadro que se

segue:

Tempos por modelo (horas/ unidade)

M1 M2 M3 M4

Corte 1.5 1 2.4 1

Molde 1 5 1 3.5

Acabamentos 1.5 3 3.5 1

A secção de corte pode laborar 2000 horas-máquina por ano, enquanto que a secção de moldagem apresenta uma

capacidade anual de 8000 horas. A secção de acabamentos e polimento tem capacidade para 5000 horas-homem

por ano. Cada unidade produzida proporciona à empresa uma margem de contribuição de 5.3 u.m., de 7.3 u.m. , de

8.4 u.m. e finalmente 4.2 u.m., respectivamente. Supõe-se que cada modelo passa pelas secções pela ordem

apresentada e que estas secções estão tão ocupadas quanto possível.

Formule o problema em Programação Linear.