Juro composto

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Prof Eugênio Carlos StielerProf Eugênio Carlos Stieler

Capitalização Composta

Taxas de Juros



Juro Composto

Cálculo do rendimento a Juros Compostos: Montante; Juros; Capital; Tempo; Taxa de juros; Equivalência em juros composto.



Juro Composto

O conceito fundamental de Juros compostos é que os juros são capitalizados ao longo do período, ou seja, os juros rendem juros. Ex: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 anos a taxa

de 10% ao ano.

Ano (n) 0 1 2 3 4

Juro (j) 0,00 100,00 110,00 121,00 133,10

Montante (S) 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10



Juro Composto

Montante (taxa 10%a.a.)

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

0 2 4 6 8 10

tempo (anos)

Va

lore

s e

m r

ea

is



Juro Composto

Como visto anteriormente, os juros agora são capitalizados, tornando assim o crescimento exponencial.

j1 = P . i j2 = S1 . i j3 = S2 . i jn-1 = Sn-2 .i jn = Sn-1 . i

0 1 2 3 n-1 n

S1 = P + j1 => S1 = P (1 + i)

S2 = S1 + j2 => S1 + S1 . i => S1 (1 +i) => P(1+i)(1+i) => P(1+i)2

S3 = S2 + j3 => S2 + S2 . i => S2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3

Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1 . i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n



Juro Composto

Os juros na capitalização composta são incorporados no capital para novamente serem calculados

0 1 2 3 n-1 n

S = P(1+i)n

P+J = P(1+i)n

J = P(1+i)n – PJ = P[(1+i)n – 1]

P = S(1+i)-n

S -J= S(1+i)-n

J = S – S(1+i)-n

J = S[1- (1+i)-n]

Valor Inicialou

Principal

Valor Futuroou

Montante



Juro Composto

O Capital representa o valor inicial de um fluxo de caixa podendo também ser chamado de: Principal Valor atual Investimento, etc.

0 1 2 3 n-1 nP S

S = P(1+i)n P = S(1+i)-n



Juro Composto

A taxa é a razão que remunera o capital em um determinado período de tempo.

Podendo ser constante ou variável ao longo dos período.

0 1 2 3 n-1 nP

S = P(1+i)n

S/P = (1+i)n

i = (S/P)1/n -1

1P

Si n



Juro Composto

Prazo, mostra o número de períodos de um fluxo de caixa completo ou não sendo dividido em: Meses; Bimestres; Semestres; Anos, etc

S = P(1+i)n

S/P = (1+i)n

ln(S/P) = ln(1+i)n

ln(S/P) = n.ln(1+i)

i)(1P

S

n

ln

ln



Juro Composto

Capitalização Contínua Quando a taxa é expressa em um determinado período de

tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de capitalização contínua.

Temos então que converter a taxa nominal, para a equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo tópico.



Taxas de Juros

Taxas de juro, vão incidir no cálculo financeiro, conforme for estabelecido no problema a ser resolvido. Podem ser divididas em: Proporcionais; Nominais Equivalentes, e Efetivas, real ou capitalizada.



Taxas de Juros

Proporcionais A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns

casos haverá a necessidade de adequação ao período solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois. Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela deverá ser feita de forma linear.

0 1 2 3 4 5 P S

3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s.

3 x 2 = 6% a.a.

Semestres



Taxas de Juros

Nominais Corresponde a taxa de um período inteiro como

por exemplo:

A conversão é feita de forma linear, ou seja, na forma da capitalização simples. (proporcional)

Ano 12%

Semestre 6%

Mês 1%



Taxas de Juros

Equivalentes Na capitalização composta, todos os valores ao

longo do tempo são capitalizados de forma exponencial (acumulativa), portanto o mesmo principio será aplicado na taxa.

A taxa equivalente corresponde a um valor que é estabelecido no tempo, e se houver mudança no período da taxa o resultado não será alterado. Veja exemplo:



Taxas de Juros

Exemplo para um período semestral, onde se deseja converter para anual.

0 1 2 3 4 5 P S

5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s.

10,25% a.a.

Semestres



Taxas de Juros

Equivalentes No exemplo anterior a diferença de valor e justamente

pela acumulação dos juros na forma composta. Quando o período da taxa é maior que o período se

deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula: iq = (1+it)q - 1

Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula: iq = (1 + it)1/q – 1

iq = taxa que quero

it = taxa que tenho



Taxas de Juros

Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:

Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue: iq = taxa para o prazo que eu quero it = taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho

1)1( t

q

tq ii



Taxas de Juros

Vejamos alguns exemplos: Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a

65% ao ano: i183 = (1,65)183/360 - 1=28,99%

Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: i491 = (1,05)491/30 — 1 = 122,23%



Taxas de Juros

Pontos importantes Observar o enunciado da questão a ser resolvida.

Em caso de capitalização simples a conversão sempre é linear.

Capitalização composta será utilizada a taxa equivalente.

Tudo isto é para adequar o período da taxa com o período da capitalização.



Bibliografia

FARO, Clovis de. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2006.

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000.

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