Lei de Gauss IIRevisão: Aula 2_2Física Geral e Experimental IIIProf. Cláudio Graça

Revisão• Cálculo vetorial

1. Produto de um escalar por um vetor2. Produto escalar de dois vetores3. Lei de Gauss, fluxo através de uma superfície, analogias4. Exemplos e aplicações da Lei de Gauss 5. Lei de Gauss aplicada aos condutores

(continuação)

Lei de Gauss: Fluxo e linhas de campo• O número N de linhas de campo que atravessam a

superfície fechada é proporcional à carga Q contida no volume limitado por essa superfície.

• N(Linhas de campo -E) para uma carga Q no interior da superfície.

Q Coulombs ⇒ α Ν número de linhas

Linhas de campo elétrico

8C

Quantas linhas de campo atravessam a superfície externa?

8C ⇒ 8 linhas

16C ⇒ 16 linhas

16C32C 32C ⇒ 32 linhas

Analogia de Integrais de Área

Esta área fica mais molhada!

Integrais de Área – veja o fluxo?

Esta área molha mais!

dsds

Chuvachuva

Integrais de área – calcule o fluxo de água!

ds

ds

chuva chuva

As áreas são as mesmas, mas o ângulo entre a velocidade da chuva e o vetor que representa a área…

Integrais de área – calcule o fluxo de água!

ds

ds

Chuva, v

Chuva, v

Casos extremosa 180° - fluxo máximo!!a 90°, fluxo nulo!!

Fluxo de chuva através da área ds

• Fluxo = v.ds (Fluxo= vazão m3/s)– |v||ds|cos(θ)– vds cos(θ)

• Fluxo = 0 para 90° … cos(θ) = 0• Fluxo = -vds para 180° … cos(θ) = -1

• Geralmente, Fluxo = vds cos(θ)-1 < cos(θ) < +1

λl Coulombs/m

L

Lei de Gauss – Exemplo 1: distribuição linear de carga

Construa uma “Superfície Gaussiana” simétrica com a distribuição de carga - cilíndrica neste caso, depois calcule ∫∫∫∫EE..dsds

ds

ds

E

ds

E

r

ds

E

r

Cálculo de ∫∫E.ds

• ∫∫E.ds = ∫∫E.ds sup. Cilíndrica

+ ∫∫E.ds sup. planas

• Nas sup. planas, E & ds são perpendiculares E.dsnas tampas = 0

• ∫∫E.ds nas tampas = 0• As superfícies planas não contribuem.!

Cálculo de ∫∫E.ds

• ∫∫E.ds = ∫∫E.ds na sup. cilíndrica

ρl Coulombs/m

L

ds

ds

E E & ds paralelos,E.ds = |E|´|ds| = Eds

Cálculo de ∫∫E.ds

rr2

)r(Eoπε

λ=r

r2)r(E

LrL2.E

sdE

o

o

πελ=

ελ=π

=⋅∫∫ gaussiana da interior no cargarr

Discussão

• E aponta radialmente • |E| é proporcional a λ

– Maior densidade de carga = maior o campo• |E| é proporcional a 1/r

– Diminui com a distância à carga, o queé intuitivamente correto

Outras formas de distribuição de carga!

• Distribuição esférica de carga

• ∝ r-2, r-3, e –r …• Escolha uma

gaussiana..• Então E e ds serão,

novamente, paralelos• Aplique a lei de

Gauss!

rρ

Distribuição esférica de carga (simetria)esférica de carga

Lei de Coulomb?....não lei de Gauss

r2

Q

0εQ=Φ

É mais simples e mais geral

Por simetria E é ⊥ à superfície

Considere uma superfície esférica

0

||εQAE ==Φ

0

24||ε

π QrE ==

200

2 41

41||

rQQ

rE

πεεπ== 0

241

επqQ

rF =F=qE

q

Qual é o campo em volta de uma casca esférica

Q

0fora

Qε

=Φ

Considere uma superfície simétrica com a distribuição de carga

204

1||rQE

πε=

0=E

fora

outΦentrodΦ

dentro

0entro =Φd

Carga dentro = 0

Distribuição esférica de carga (simetria)esférica de carga

Aplicações da Lei de Gauss

• Ação de campos elétricos sobre condutores:– Polarização– Carga no interior de um condutor– Campo na superfície de um condutor

• Blindagem eletrostática: – Gaiola de Faraday

• Localização das cargas:– Lei de Gauss na forma diferencial

Condutores em campos EColocando-se um condutor dentro de um campo elétrico, aparecem cargas induzidas….ocorre a polarização da carga elétrica.

Uma casca metálica com uma carga no interior

a) Qual será a quantidade de carga que será induzida na superfície interna da casca?

b) Como se distribui essa carga?

c) Qual será o valor do campo fora da casca?

Uma carga negativa de -10μC é colocada no interior de uma casca metálica como émostrado na figura (a).

Resposta

Como o valor de E dentro do condutor é zero o fluxo através da gaussiana é nulo.

A carga total dentro da gaussiana é zero.

A carga + induzida no interior da casca é idêntica à carga na cavidade

A carga negativa induzida na parte externa, deve ser nula, pois a carga no condutor era nula.

Como as linhas de campo externo é normal à superfície a distribuição de carga externa deve ser homogênea.

Condutor em equilíbrio eletrostáticocom carga positiva

Fluxo através das superfícies gaussianas: interna Φ = 0; externa Φ >0.

Lei de Gauss na forma diferencialPodemos rescrever a lei de Gauss, para a eletrostática, em função de uma densidade de carga volumétrica, como a seguir:

onde ρ é a densidade de carga volumétrica e V é o volume no interior da superfície gaussiana. Usando o teorema de Gauss, o qual correlaciona uma integral de superfície com uma integral de volume, temos que,

Comparando os lados direitos das duas equações acima encontramos,

como esta igualdade é verdadeira para qualquer volume, então o integrando da equação deve ser nulo, isto é

Lei de Gauss na forma diferencial significa que, se o divergente do campo elétrico é não nulo, então, deve existir campos elétricos na região resultantes de carga total não nula

Aplicação da Lei de Gauss na forma diferencial

oE

0V

qlim ε=Φ

→Δ

o0VAdE

V1E lim ε

ρ⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

Δ=⋅∇ ∫∫

→Δ

rrrr

( )o0V

VAdElim εΔρ=⋅⇒ ∫∫

→Δ

rr

o

Eερ=⋅∇

rrz

Ey

Ex

EEEdiv zyx

∂∂+

∂∂

+∂

∂=⋅∇=rrr

Propriedades dos condutores

1. E é zero no interior do condutor2. Qualquer carga, Q, se distribui na superfície

(densidade de carga será: σ=Q/A)3. E é ⊥ à superfície4. σ é maior onde o raio for menor5. Gaiola de Faraday

Para um condutor em equilíbrio eletrostático!

1σ2σ 21 σσ >>

E é zero no interior do condutor

• Se existisse um campo no interior do condutor, os elétrons livres seriam acelerados e haveria corrente elétrica.

• Dessa maneira não haveria equilíbrio Portanto E=0

Qualquer carga se distribui na superfície do condutor

qi

Considere a superfície S logo abaixo da superfície externa do condutor

Como o condutor está em equilíbrio, E=0, portanto Φ=0

∑==Φ 0/εqEALei de Gauss

∑ = 0/ 0εiq

A carga no interior deverá ser nula!

O campo E é ⊥ à superfície

Considere uma pequena superfície cilindríca, contendo a superfície

o/qEA ε==ΦLei de Gauss

q Cilindro pequeno o bastante para E ser constante!

E⊥

E||

Se E|| >0 causaria o movimento da carga na superfície e não haveria equilíbrio, portanto E|| =0

oA/qE ε=

o/E εσ=⊥

σ é maior onde r é menor

o

Eερ=⋅∇

rr

r1 r2

No próximo capítulo voltaremos ao assunto, utilizando a função potencial!

Condutor isolado, possui o mesmo número de cargas positivas + e negativas –

As linhas de campo, produzidas por uma carga de teste, externa, furam o cilindro

Carga de teste sem blindagem

Carga de teste com 50% de blindagem

Os elétrons se movem na direção da carga de teste criando um campo elétrico contrário no cilinddro...

Carga de teste com 100% de blindagem

Os elétrons se movem na direção da carga de teste anulando totalmente o campo...

Condutor isolado

Cilindro Isolado

Carga de Teste não blindado

10% Blindagem

20% Blindagem

30% Blindagem

40% Blindagem

50% Blindagem

60% Blindagem

70% Blindagem

80% Blindagem

90% Blindagem

100% Blindagem

43

Lei de Gauss na forma diferencial

x

y

z

E

Superfície gaussiana

44

Lei de Gauss na forma diferencial

Dada uma superfície fechada, o fluxo será dado por:

o

int

A

qAd.Eε

Φ == ∫rr

∫ ∫ +==V V

discretocontinuoint dV)(dV)r(q ρρρ

Pelo teorema da divergência:

∫∫ ∇=VA

dVE.Ad.Errr

∫∫ =VoA

dV)r(Ad.E ρε1rr

01 =−∇∫ )dV)r(dVE.(oV

ρε

r

Para um volume arbitrário, a integral só será nula quando:

o

)r(E.ε

ρ=∇r A divergência do campo elétrico está em cada ponto,

Associada à densidade total de cargas nesse ponto.

45

Lei de Gauss na forma diferencial

O campo elétrico nesteponto diverge, e a suaDIVERGÊNCIA é zeroneste ponto, como nãoexiste uma cargapresente neste ponto, ρ=0.

Q E

O campo elétriconeste ponto diverge, e a sua DIVERGÊNCIA édiferente de zero neste ponto poisexiste uma carganesse ponto, ρ>0.

46

Lei de Gauss na forma diferencial

E

O campo elétrico nàodiverge neste ponto e a sua DIVERGENCIA ézero pois não existecarga neste ponto, ρ=0.O campo elétrico aqui

não diverge mas a suaa DIVERGENCIA nãoé nula neste pontopois existe uma carganeste pornto, ρ>0.

47

Equação de Poisson

A forma diferencial, também chamada forma local da Lei de Gauss.

o

)r(E.ε

ρ=∇r

Esta forma é também conhecida como equação de Poisson

Em coordenadas cartesianas o divergente pode ser expresso da seguinte forma:

zE

yE

xEE.Ediv zyx

∂∂+

∂∂

+∂

∂=∇=rr

o

zyx )z,y,x(z

Ey

Ex

Eε

ρ=∂

∂+∂

∂+

∂∂

48

Interpretação geométrica do divergente

oAV

ooAA

)P(Ad.EV

[lim)P(Ediv

V)P(qAd.E

ερ

Δ

εΔρ

εΔΦ

Δ ==

===

∫

∫

→

rrr

rr

10

Exemplo: Calcule o divergente do seguinte vetor: kzjyixr ++=r

34

4

3

3

rV

rdArAd.rA A

πΔ

π

=

==∫ ∫rr

Portanto div r=3

3111 =++=∂∂+

∂∂+

∂∂=

zz

yy

xxrdivr

P

ΔVA

Volume limitado por uma superficieem torno de P

4949

Equações de Poissson e Laplace

Q E

o

)r(E.ε

ρ=∇r

0=∇ E.r

Poisson Laplace

5050

Equações de Poissson e Laplace

o

)r(E.ε

ρ=∇r

0=∇ E.r

Laplace

Poisson

tetanconsExE

x =∴=∂∂ 0

δρ =)r(

+ r

δ r

ρ

rδ

E

1/r2

Estes mesmos problemas serão tratados no capítulo de potencial !