Universidade Tecnologica Federal do ParanaUTFPR Campus Pato Branco

Lista 01 - Integrais Indefinidas e algumas aplicacoes

1. Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as repostas obtidas,derivando-as.

(a)

x5dx

(b)

1

x2dx

(c)

5dx

(d)

(3t2

5t + 2)dt

(e)

(3y 2

y3+

1

y

)dy

(f)

(ex

2+ xx

)dx

(g)

(1

3u 3

2u2+ e2 +

u

2

)du

(h)

x2 + 2x + 1

x2dx

(i)

(x3 2x2)

(1

x 5)dx

(j)

t(t2 1)dx

2. Determine a solucao geral da equacao diferencial dada:

(a)dy

dx= 3x2 + 5x 6

(b)dP

dt=t + et

3. Resolva a equacao diferencial sujeita as condicoes iniciais:

(a) f (x) = 12x2 6x + 1 e f(2) = 5

(b)dy

dx= 4x

12 e y = 21 se x = 4

(c) f (x) = 4x 1 e f (2) = 2; f(1) = 3

4. Esboce o grafico da funcao y = y(x), x R, sabendo que:

(a)dy

dx= 2x 1 e y(0) = 0

(b)d2y

dx2= 4cos(2x) e y(0) = 1 e y(0) = 0

(c)d2y

dx2= ex e y(0) = 0 e y(0) = 1

1

5. Um objeto se move de tal forma que sua velocidade apos t minutos e V (t) = 1 + 4t + 3t2

metros por minutos. Que distancia o objeto percorre durante o terceiro minuto?

6. Um objeto se move de tal forma que sua velocidade apos t minutos e V (t) = 3 + 2t + 6t2

metros por minutos. Que distancia o objeto percorre durante o segundo minuto?

7. Se um ponto se move em uma reta coordenada com a acelerecao a(t) e as condicoes iniciaisdadas, determine s(t):

(a) a(t) = 2 6t; v(0) = 5; s(0) = 4(b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5

8. Uma partcula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-seque, no instante t = 0, a partcula encontra-se na posicao x = 6.

(a) Qual a posicao da partcula no instante t?

(b) Determine a posicao da partcula no instante t = 2.

(c) Determine a aceleracao.

9. Um projetil e lancado verticalmente para cima com uma velocidade de 500m/s. Despre-zando a resistencia do ar, determine:

(a) A sua distancia no instante t.

(b) A altura maxima atingida.

10. Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5m/s. Deter-mine:

(a) A sua distancia do solo apos t segundos.

(b) Quando ela atinge o solo.

(c) A velocidade com que atinge o solo.

11. Deixa-se cair um objeto da altura de 300m. Desprezando a resistencia do ar, determine:

(a) A distancia percorrida em t segundos.

(b) A velocidade ao final de 3 segundos.

(c) Quando o objeto atinge o solo.

12. Uma constante gravitacional para objetos proximos da superfcie da Lua e 1, 62m/s2.

(a) Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidadeinicial de 20m/s determine a altura maxima atingida.

(b) Se, apos sua volta a Terra, o astronauta lanca a mesma pedra diretamente para cimacom a mesma velocidade inicial, determine a altura maxima atingida.

13. Uma bola rola por um plano inclinado com uma aceleracao de 61cm/s2.

(a) Se a bola nao tem velocidade inicial, que distancia percorrera em t segundos?

(b) Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos?

14. Uma pedra e atirada diretamente para baixo de um balao estacionario a 3000 metros acimado solo com uma velocidade de 14, 4m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade20 segundos depois.

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RESPOSTAS

1. (a)x6

6+ k

(b) 1x

+ k

(c) 5x + k

(d) t3 2

5t3

3+ 2t + k

(e) 2y3 +

1

y2+ ln |y|+ k

(f)ex

2+

2

5

x5 + k

(g)1

3ln |u|+ 3

2u+ e2u +

u3

3+ k

(h) x + lnx2 1x

+ k

(i) 54x4 +

11

3x3 x2 + k

(j)2

7

t7 2

3

t3 + k

2. (a) x3 +5

2x2 6x + k

(b)2

3

t3 + et + k

3. (a) 4x3 3x2 + x 17

(b)8

3x

32 1

3

(c)2

3x3 x

2

2 8x + 65

6

4. (a) y = x2 x

(b) cos(2x)

3

(c) y = ex 1

5. S(t) = t + 2t2 + t3 + k S(3) S(2) = 48 18 = 30 metros.

6. S(t) = 3t + t2 + 2t3 S(2) S(1) = 26 6 = 20 metros.

7. (a) s(t) = t2 t3 5t + 4

(b) s(t) =t4

4+ 20t + 5

8. (a) x = t2 + 5t + 6

(b) x(2) = 20

(c) a(t) = 2

9. (a) S(t) = 4, 9t2 + 500t(b) Em t = 51, 02 segundos acontece hmax = 12.755, 1 metros.

10. (a) S(t) = 4, 9t2 + 5t(b) t = 1, 02 segundos.

(c) V (1, 02) = 4, 996m/s = 5m/s

11. (a) S(t) = 4, 9t2 + 300(b) V = 29, 4m/s(c) t = 7, 82 segundos.

12. (a) S(t) = 0, 812t2 + 20t(b) t = 12, 34 segundos s = 20, 40 metros.

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13. (a) S(t) = 30, 50t2

(b) S(5) = 3000cm e Vo = 447, 50cm/s

14. V = 214, 4m/s

Lista elaborada pelo Professor Dr. Jose Donizetti de LimaDigitacao: Larissa H. VieiraConfiguracoes: Professora Ms. Marieli Musial Tumelero

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