lista 6 Introdução à Algebra
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Unive rsid ade de Bra s ´ ıli a Departamento de Matem´ atica C´ alculo 2- 6a Lista de Fixa¸c˜ ao - M´ odulo 2 1. Res olv er a equa¸ c˜ ao diferencial dada utilizando s´ eries de potˆ encias em torno do ponto x 0 dado. Dete rmina r a rela¸ c˜ao de r ecorrencia, os 4 primeiros termos da s´ erie e qu ando poss´ ıvel o termo geral a) y − xy − y = 0, x 0 = 0 b) (1 − x)y + y = 0, x 0 = 0, c) xy + y + xy = 0, x 0 = 1. 2. Consid ere a seguin te equa¸ c˜ ao diferencial y + (x − 1) 2 y + (x 2 − 1)y = 0. Determine duas solu¸c˜ oes linearmente independentes em s´ erie de potencias de ( x − 1). 3. Equa¸ c˜ ao de Hermi te A equa¸ c˜ ao y − 2xy + λy = 0, −∞ < x < ∞ onde λ ´ e uma cons tante, ´ e a equ a¸c˜ao de Hermite. a) Determine os 4 primeiros termos de duas solu¸ c˜ oes linearmente independentes, em torno de x = 0. b) Verifique que se λ for um inteiro par, n˜ ao-negativo, ent ˜ao uma das solu¸ c˜ aes ´ e um polinˆ omio unicamente dete rminad o a menos de constante multi plica tiva. Determine esta solu¸ c˜ ao para λ = 0 e λ = 2 c) O polinˆomio de Hermite H n (x) se define como a solu¸c˜ ao polinomial da equa¸ c˜ ao de Hermite para λ = 2n, considerando o coeficiente de x n igual a 2 n . Determina r H 0 (x), H 1 (x). 4. Dete rmine φ (x 0 ) e φ (x 0 ) no ponto x 0 dado, onde y = φ(x) ´ e so lu ¸ c˜ ao do PVI y + (sen x)y + (cos x)y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. 5. Equa¸ c˜ ao de Tchebyshe v A equa¸ c˜ ao diferencial (1 − x 2 )y − xy + α 2 y = 0, onde α ´ e uma cons tante, ´ e a equa¸c˜ao de Tchebyshev. a) Determinar duas solu¸c˜ oes linearmente indep endentes, em potˆ encias de x, no intervalo |x| < 1. b) Mostrar que se α for um inteiro n˜ ao negativo n, ent˜ao h´ a uma solu¸ c˜ ao po linomi al de grau n.
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Lista 6, Introdução à Algebra Linear, IAL
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Universidade de Braslia
Departamento de Matematica
Calculo 2- 6a Lista de Fixacao - Modulo 2
1. Resolver a equacao diferencial dada utilizando series de potencias em torno do ponto x0dado. Determinar a relacao de recorrencia, os 4 primeiros termos da serie e quando possvel
o termo geral
a) y xy y = 0, x0 = 0b) (1 x)y + y = 0, x0 = 0,c) xy + y + xy = 0, x0 = 1.
2. Considere a seguinte equacao diferencial
y + (x 1)2y + (x2 1)y = 0.
Determine duas solucoes linearmente independentes em serie de potencias de (x 1).3. Equacao de Hermite A equacao
y 2xy + y = 0, < x
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c) Determine a solucao polinomial nos casos = 0 e = 1
d) Mostre que os pontos x = 1 e x = 1 sao pontos singulares regulares e determine osexpoentes de singularidade de cada um.
e) Determine duas solucoes linearmente independentes na vizinhanca de x = 1.
6. Para cada uma das equacoes diferenciais abaixo, determine todos os pontos singulares e
classifique-os em regular e irregular.
a) xy + (1 x)y + xy = 0,b) x2(1 x2)y + 2xy + 4y = 0,c) x2y + xy + (x2 2)y = 0 (Equacao de Bessel).
7. Para cada uma das equacoes diferenciais abaixo, determine a solucao geral que seja valida
em qualquer intervalo que nao inclua o ponto singular.
a) x2y + 4xy + 2y = 0,b) (x+ 1)2y + 3(x+ 1)y + 0.75y = 0,c) x2y 3xy + 4y = 0,d) x2y xy + y = 0.
8. Determine a solucao do PVI dado:
a) 2x2y + xy 3y = 0, y(1) = 1, y(1) = 4,b) 4x2y + 8xy + 17y = 0, y(1) = 2, y(1) = 3
9. a) Determine os valores de para os quais todas as solucoes de x2y + xy + (5/2)y = 0,tendem a zero quando x 0.b) Determine os valores de para os quais todas as solucoes de x2y + xy + (5/2)y = 0,tendem a zero quando x.
10. Determine os valores de para os quais todas as solucoes de x2y + y = 0, tendem a zeroquando x 0.
11. Determine para que a solucao do PVI x2y 2y = 0, y(1) = 1, y(1) = , seja limitadaquando x 0.
12. Mostre que em cada uma das equacoes x = 0 e um ponto singular regular. Determine
a equacao indicial, a relacao de recorrencia e as raizes da equacao indicial. Determine a
solucao em serie correspondente a` maior raiz.
a) 2xy + y + xy = 0b) x2y + xy + (x2 1/9)y = 0,c) xy + y = 0.
