lista de algebra 1

7/23/2019 lista de algebra 1

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ALGEBRA I

Uma Introducao a Teoria de Numeros e aos Aneis de

Polinomios

Prof. Christina Waga

UERJ - Rio de JaneiroSetembro.2015



Sumario

Introducao 1

1 Anel dos Inteiros 2

1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Anel Bem Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Relacoes Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 Elementos Notaveis em um Poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.3 A estrutura rZ, `, ¨, ďs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.4 A Relacao de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Inducao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Demonstracao por Inducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2 Definicao por Recorrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Divisao Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 O Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.2 Algoritmo da Divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Maximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.1 Definicao e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2 Algoritmo Euclidiano e Algoritmo Euclidiano Estendido . . . . . . . 20

1.7.3 Equacoes Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2



1.8 Primos e Teorema da Fatoracao Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.2 Crivo de Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9 Dicas para solucao de alguns exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.1 Prop 1.11 item 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.2 Prop 1.12 item 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.3 Eudoxius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.4 Prop 1.14 item 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.5 Stifel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.6 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.7 Ex. 1.7.4 item 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.8 Ex. 1.8.1 item 3 / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Anel dos Inteiros Modulo n 31

2.1 Revendo Relacoes de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 A Relacao de Congruencia Modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2 Criterios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.3 Tratando Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Fermat, Wilson e Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1 Fermat e Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.2 Funcoes Especiais e Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1 Congruencia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.2 Sistema de Congruencias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4.3 Um Exemplo Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Anel dos Inteiros Modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.1 Definindo o Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3



2.5.2 Elementos Invertıveis do Anel Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.3 Demonstrando os Teoremas de Wilson e de Euler . . . . . . . . . . . 51

2.5.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Alguns Numeros Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.1 Numeros Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.2 Fibonacci e Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6.3 Mersenne e Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6.4 Numeros Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7 Dicas para solucao de alguns exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Polinomios em uma Variavel 55

3.1 Anel de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2 Divisibilidade e Divisao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Anel de Polinomios sobre um Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.1 Maximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.2 Polinomios Irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.3 Fatoracao Unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.4 Criterios de Irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.5 Corpo Algebricamente Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Solucao de Equacoes Algebricas por Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.1 Grau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.2 Grau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.3 Grau 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4



Introducao

O ob jetivo do curso e apresentar as propriedades basicas dos numeros inteiros, a aritmeticamodular, os sistemas de congrencias linearese as propriedades dos polinomios.

Programa:

• Numeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos.

• Anel dos Inteiros:

Algoritmo da divisao, divisibilidade, numeros primos e fatoracao, maximo divisor co-mum, algoritmo euclidiano estendido.

• Aritmetica modular:

Relacao de equivalencia, inteiros modulares com as operacoes de adicao e multiplicacao.

Congrencias lineares.

Pequeno Teorema de Fermat, Teoremas de Euler e de Wilson.

• Anel de polinomios:

Algoritmo da divisao, maximo divisor comum, algoritmo euclidiano estendido, irredu-tibilidade, Teorema da Fatoracao Unica, Teorema Fundamental da Algebra.

Algumas referencias bibliograficas:

1. Coutinho, S.C., N´ umeros Inteiros e Criptografia RSA, Colecao Matematica e Aplicacoes,IMPA, 2007

2. Hefez, A., Curso de ´ Algebra, Volume 1, Colecao Matematica Universitaria, IMPA,2010.

3. Santos, J . P. O., Introduc˜ ao a Teoria dos N´ umeros , Colecao Matematica Universitaria,IMPA, 2009.

1



Capıtulo 1

Anel dos Inteiros

1.1 Definicao

Considere Z o conjunto dos numeros inteiros, as operacoes binarias usuais de adicao e demultiplicacao e as seguintes propriedades (axiomas):

A1. (Associativa da `) Para quaisquer x, y, z P Z, px ` yq ` z “ x ` py ` z q.

A2. (Comutativa da `) Para quaisquer x, y P Z, x ` y “ y ` x.

A3. (Elemento Neutro da `) Existe um elemento c P Z tal que para todo x P Z,

c ` x “ x ` c “ x.

Notacao: c “ 0

A4. (Elemento Simetrico) Para todo x P Z existe x1 P Z tal que x ` x1 “ x1 ` x “ 0.

Notacao: x1 “ ´x

x ` p´yq “ x ´ y

A5. (Associativa da ¨) Para quaisquer x, y,z P Z, px ¨ yq ¨ z “ x ¨ py ¨ z q.

A6. (Distributiva da multiplicacao em relacao a adicao) Para quaisquer x, y, z P Z,

x ¨ py ` z q “ px ¨ yq ` px ¨ z q e px ` yq ¨ z “ px ¨ z q ` py ¨ z q.

Se esses axiomas sao satisfeitos dizemos que a estrutura rZ, `, ¨s e um anel.

Um anel e denominado comutativo quando vale tambem o axioma:

A7. (Comutativa do ¨) Para quaisquer x, y P Z, x ¨ y “ y ¨ x.

E e um anel com unidade quando:

2



A8. (Elemento Neutro da ¨) Existe um elemento d P Z, d ‰ 0 tal que para todo x P Z,

d ¨ x “ x ¨ d “ x.

Notacao: d

“1

Um anel comutativo com unidade e um domınio de integridade quando:

A9. (Integridade) Para quaisquer x, y P Z, se x ¨ y “ 0 entao x “ 0 ou y “ 0.

Diz-se, nesse caso, que o conjunto Z nao admite divisores de zero.

Observe que a estrutura rZ, `, ¨s e um domınio de integridade denominado anel dosinteiros.

1.2 Propriedades

Considere o anel rZ, `, ¨s.

PROPOSICAO 1.1 O elemento neutro da adic˜ ao e unico.

Prova: (RAA) Supor que existem dois elementos neutros 0 ‰ e P Z.

0 ` e “ 0 e e ` 0 “ e, por A3.

0 ` e “ e ` 0, por A2.0 “ e, pela transitividade da igualdade.

Contradicao!

Logo, o elemento neutro e unico.

PROPOSICAO 1.2 O elemento neutro da multiplicac˜ ao e unico.

PROPOSICAO 1.3 O elemento simetrico e unico.

PROPOSICAO 1.4 Para todo x P Z, x0 “ 0x “ 0.

Prova:

0 ` 0 “ 0, por A3.

xp0 ` 0q “ x0.

x0 ` x0 “ x0, por A6.

x0 ` x0 “ x0 ` 0, por A3.

´px0q ` px0 ` x0q “ ´ px0q ` px0 ` 0q, por A4.

3



p´px0q ` x0q ` x0 “p´px0q ` x0q ` 0, por A1.

0 ` x0 “ 0 ` 0, por A4.

x0 “ 0, por A3.

PROPOSICAO 1.5 Para quaisquer x, y P Z,

1. p´1qx “ xp´1q “ ´x

2. ´p´xq “ x

3. ´px ` yq “ p ´xq`pýq4. ´pxyq “ p ´xqy “ xpýq5. xy “ p´xqpýq

Prova:

1. Considere o elemento p´1qx ` x P Z.

p´1qx ` x A8“ p´1qx ` 1x

A6“ p´1 ` 1qx A4“ 0x

Prop.1.4“ 0

Assim, p´1qx e o elemento simetrico de x.

Pela unicidade Prop.1.3, p´1qx “ ´x.

Por A2, p´1qx “ xp´1q.

3. Considere o elemento p´xq`pýq P Z.

p´xq`pýq item1“ p´1qx ` p´1qy A6“ p´1qpx ` yq item1“ ´px ` yq

PROPOSICAO 1.6 Para quaisquer x, y,z P Z, xpy ´ z q “ xy ´ xz .

PROPOSICAO 1.7 (Lei do cancelamento ou Lei do corte para a adic˜ ao)

Para quaisquer x, y,z P Z, se x ` y “ x ` z ent˜ ao y “ z .

Prova:

x ` y “ x ` z , por hipotese.

p´xq ` px ` yq “ p ´xq ` px ` z q, por A4.

pp´xq ` xq ` y “ pp´xq ` xq ` z , por A1.

0 ` y “ 0 ` z , por A4.

y “ z , por A1.

PROPOSICAO 1.8 (Lei do cancelamento ou Lei do corte para a multiplicac˜ ao)

Para quaisquer x, y,z P Z, x ‰ 0 , se xy “ xz ent˜ ao y “ z .

4



Prova:

xy “ xz , por hipotese.

p´xyq ` xy “ p´xyq ` xz , por A4 e A3.

0“ p´

xyq `

xz , por A4.

0 “ xpýq ` xz , pelo item 4 da Prop.1.5.

0 “ xppýq ` z q, por A6

pýq ` z “ 0, por A9 e pela hipotese.

pýq ` z “ pýq ` y, por A4.

z “ y, pela lei do corte.

PROPOSICAO 1.9 Sejam a, b P Z. A equac˜ ao a ` x “ b possui soluc˜ ao em Z.

Prova:

a ` x “ b

páq ` pa ` xq “ p áq ` b, por A4.

ppáq ` aq ` x “ páq ` b, por A1.

0 ` x “ páq ` b, por A4.

x “ páq ` b.

1.3 Exercıcios

1. Indique se as operacoes binarias sao associativas, comutativas e possuem elementoneutro.

(a) Em N, x ˚ y “ mintx, yu.

(b) Em Z3, px1, y1, z 1q ˚ px2, y2, z 2q “ px1x2, y1y2, z 1z 2q.

(c) Em Z, x ˚ y “ x.

(d) Em R, x ˚ y “ x ` y ´ 2x2y2.

(e) Em R, x ˚ y “ x`y

2 .2. Considere a seguinte tabela incompleta . Classifique a operacao binaria associada.

˚ a b c d e

a a b c d e

b b e a c

c c b

d d a

e e

3. Demonstre as proposicoes.

5



1.4 Anel Bem Ordenado

1.4.1 Relacoes Binarias

Uma relacao binaria em um conjunto nao vazio A e qualquer subconjunto R Ď A ˆ A.Quando um par ordenado px, yq P A ˆ A pertence a relacao R usamos a notacao px, yq P R

ou xRy. A relacao binaria R pode ser classificada como:

Reflexiva: Para todo x P A, px, xq P R.

Simetrica: Para quaisquer x, y P A, se px, yq P R entao py, xq P R.

Anti-simetrica: Para quaisquer x, y P A, se px, yq P R e py, xq P R entao x “ y.

Transitiva: Para quaisquer x, y, z P A, se px, yq P R e py, z q P R entao px, z q P R.

Exemplo: Relacoes binarias em Z: “, ‰, ď, ą, e multiplo.

Uma relacao binaria R em A e uma relacao de equivalencia quando e reflexiva, simetricae transitiva.

Notacao: x « y

Um relacao binaria e uma relacao de ordem em A quando e reflexiva, anti-simetrica etransitiva. Diz-se, nesse caso, que o conjunto A esta parcialmente ordenado (poset).

Notacao: x ă y

Quando x ă y em A, diz-se que o elemento x predece o elemento y ou que y sucede x.

Um conjunto A esta totalmente ordenado (toset) quando:

Total: Para quaisquer x, y P A, x ă y ou y ă x.

Exemplo: O conjunto Z e totalmente ordenado pela relacao de menor ou igual (ď).

1.4.2 Elementos Notaveis em um Poset

Considere um conjunto parcialmente ordenado A pela relacao ă e A

1

Ď A nao vazio.

• L P A e um limite superior de A1 se para todo x P A1, x ă L.

• M P A1 e um maximo ou maior elemento de A1 se para todo x P A1, x ă M .

• s P A e um supremo de A1 se s for o mınimo (caso exista) do conjunto de limitessuperiores de A1.

• P P A1 e um elemento maximal de A1 se nao existir x P A1, x ‰ P tal que P ă x.

•

PA e um limite inferior de A1 se para todo x

PA1, ă x.

6



• m P A1 e um mınimo ou menor elemento de A1 se para todo x P A1, m ă x.

• i P A e um ınfimo de A1 se i for o maximo (caso exista) do conjunto de limites inferioresde A1.

• pP

A1

e um elemento minimal de A1

se nao existir x

PA1

, x

‰ p

tal que x ă p

.

PROPOSICAO 1.10 Sejam rA,ăs um poset e A1 Ď A n˜ ao vazio. Se existe um m´ aximo(mınimo) de A1 ent˜ ao ele e unico.

Prova: (RAA) Sejam M ‰ M 1 maximos de A1.

M 1 P A1 6 M 1 ă M .

M P A1 6 M ă M 1.

M

“M 1, pela anti-simetria. (Contradicao)

Logo, o maximo e unico.

1.4.3 A estrutura rZ, `, ¨, ďsA relacao de menor ou igual e uma relacao de ordem em Z e tal que:

A10. (Compatibilidade do ď com `) Para quaisquer x, y , z P Z, se x ď y entao x`z ď y`z .

A11. (Compatibilidade do

ď com

¨) Para quaisquer x, y, z

P Z, se x

ď y e 0

ď z entao

x ¨ z ď y ¨ z .

Assim, o anel dos inteiros e um anel ordenado.

Notacao: x ă y quando x ď y e x ‰ y.

Z` “ tx P Z; 0 ď xu

PROPOSICAO 1.11 Para quaisquer x, y , z , t P Z,

1. Se x

ď0 ent˜ ao 0

ď ´x.

2. Se 0 ď x ent˜ ao ´x ď 0.

3. 0 ď x2.

4. 0 ă 1.

5. Se x ď y ent˜ ao ´y ď ´x.

6. Se x ` z ď y ` z ent˜ ao x ď y.

7. Se x ď y e z ď t ent˜ ao x ` z ď y ` t.

7



8. Se x ď y e z ď 0 ent˜ ao yz ď xz .

9. (Lei dos Sinais)

(a) Se 0 ď x e 0 ď y ent˜ ao 0 ď xy.

(b) Se 0 ď x e y ď 0 ent˜ ao xy ď 0.(c) Se x ď 0 e 0 ď y ent˜ ao xy ď 0.

(d) Se x ď 0 e y ď 0 ent˜ ao 0 ď xy.

10. Se xz ď yz e 0 ă z ent˜ ao x ď y.

11. Se x ď y, z ď t e 0 ď y, z ent˜ ao xz ď yt.

12. Se 0 ď x ď y ă z ent˜ ao 0 ď y ´ x ă z .

Prova:1. x ď 0

A10ùñ x ` p´xq ď 0 ` p´xq A4,A3ùñ 0 ď ´x

3. (a) Se 0 ď x A11ùñ 0x ď xx

Prop.1.4ùñ 0 ď x2

(b) Se x ď 0 item1ùñ 0 ď ´x

3paqùñ 0 ď p´xq2 Prop.1.5item5ùñ 0 ď x2

5. x ď y A4ùñ ´x ` x ´ y ď ´x ` y ´ y

A4,A3ùñ ´y ď ´x

7. x ď y e z ď t A10ùñ x ` z ď y ` z e y ` z ď y ` t

Trans.ùñ x ` z ď y ` t

E possıvel agora definir a funcao valor absoluto | | : Z Ñ Z tal que:

|x| “"

x se 0 ď x

´x caso contrario

PROPOSICAO 1.12 Para quaisquer x, y P Z,

1. 0 ď |x|.2.

|x

| “ | ´x

|.

3. ´|x| ď x ď |x|.4. |xy| “ |x| |y|.5. |x ` y| ď |x| ` |y|.6. |x| ´ |y| ď |x ´ y| ď |x| ` |y|.

8



Prova:

3. Se 0 ď x 6 |x| “ x 6 ´|x| “ ´x

´x ď 0, Prop.1.11 item 2.

´x

ďx, Prop.1.11 item 7.

´x “ ´|x| ď |x| “ x.

Se x ď 0, a demostracao e analoga.

5. ´|x| ď x ď |x| e ´|y| ď y ď |y|, item 2.

´|x| ´ |y| ď x ` y ď |x| ` |y|, Prop.1.11 item 7.

Se |x ` y| “ x ` y entao |x ` y| ď |x| ` |y|, item 2.

Se |x ` y| “ ´ px ` yq

´p|x

| ` |y

|q ďx

`y

ď ´|x

`y

|, item 2 e hip.

|x ` y| ď |x| ` |y|, Prop.1.11 item 5 e transitividade.

O anel rZ, `, ¨, ďs e bem ordenado pois:

A12. (Princıpio da Boa Ordenacao:)

Todo subconjunto nao vazio de Z limitado inferiormente possui um menor elemento.

PROPOSICAO 1.13 Sejam x, y P Z.

1. Se 0 ď x ď 1 ent˜ ao x “ 0 ou x “ 1.

2. Se x ă y ent˜ ao x ` 1 ď y.

3. Se y ‰ 0 ent˜ ao |x| ď |x y|.4. (Propriedade Arquimediana) Se y ‰ 0 ent˜ ao existe n P Z tal que x ď ny.

5. (Teorema de Eudoxius) Se y ‰ 0 ent˜ ao existe n P Z tal que

" ny ď x ă pn ` 1qy se 0 ă y

ny ď x ă pn ´ 1qy se y ă 0 .

Prova:

1. (RAA) Supor que existe um inteiro 0 ă x ă 1.

O conjunto A “ tx P Z; 0 ă x ă 1u nao e vazio.

Pelo PBO, existe k P Z que e o menor elemento de A.

0 ă k ă 1 6 0 ă k2 ă k, por A11.

k2 ă 1 por transitividade.

k2 P A e e menor do que o menor elemento de A. Contradicao.

Logo, nao existe nenhum inteiro entre zero e um.

9



4. x ď |x| ď |xy| “ |x||y|, pelo item 3 e pela Prop.1.12 item 2, 3 e 4.

Se 0 ă y, n “ |x| pela Prop.1.11 item 9.

Se y ă 0, n “ ´|x| pela Prop.1.11 item 9.

1.4.4 A Relacao de Divisibilidade

Sejam x, y P Z. O elemento x divide y ou x e divisor de y ou x e fator de y ou y e multiplode x ou y e divisıvel por x quando existe k P Z tal que y “ kx.

Notacao: x | y

PROPOSICAO 1.14 Sejam x,y,z,t,y1, . . . , yn P Z. Ent˜ ao,

1. x | 0.2. ˘1 | x.

3. (Reflexiva) x | x

4. (Transitiva) Se x | y e y | z ent˜ ao x | z .

5. Se x | y e x | z ent˜ ao x | y ` z .

6. Se x | y e z | t ent˜ ao xz | yt.

7. Se x|

y`

z e x|

y ent˜ ao x|

z .

8. Se x | y1, . . . , x | yn ent˜ ao x | k1y1 ` ¨ ¨ ¨ ` knyn, para quaisquer k1, . . . , kn P Z.

9. Se x | y e y ‰ 0 ent˜ ao |x| ď |y|.10. Se x | y e y | x ent˜ ao x “ y ou x “ ´y.

Prova:

8. x | y1, . . . , x | yn 6 y1 “ x1, . . . , yn “ xn, com i P Z, i “ 1, . . . , n.

y1k1

“ px1

qk1, . . . , ynkn

“ pxn

qkn, ki

PZ, i

“1, . . . , n.

y1k1 “ xp1k1q, . . . , ynkn “ xpnknqy1k1 ` ¨ ¨ ¨ ` ynkn “ xp1k1q ` ¨ ¨ ¨ ` xpnknq “ xp1k1 ` ¨ ¨ ¨ ` nknqx | k1y1 ` ¨ ¨ ¨ ` knyn

10



1.4.5 Exercıcios

1. Dado o conjunto, classifique a relacao. Se for de ordem, indique se e parcial ou total.

(a) A “ tH, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu, ta,b,cuu e X R Y quando X Ď Y .

(b) A “ NˆN e pa, bq R pc, dq quando c e multiplo de a e b ď d.

(c) A “ CˆC e a ` b i R c ` di quando a ď c e b ď d.

(d) A “ CˆC e a ` b i R c ` di quando a ă c ou pa “ c e b ď dq.

2. Dado o poset a seguir, indique os elementos.

36

1812

9

1

2 3

4 6

A1 LimSup Max Sup Maxal LimInf Min Inf Minalt18ut3, 6u

t2, 4, 6ut2, 9, 36u

3. Complete as demonstracoes.

11



1.5 Inducao Finita

Princıpio da Inducao Finita ou da Inducao Matematica

Seja A Ď N tal que

(I1) 0 P A e

(I2) Para todo x P N, 0 ď x, se x P A entao x ` 1 P A.

Entao A “ N.

Prova: (RAA) Supor A ‰ N 6 NÁ ‰ H.

N e bem ordenado 6 existe um menor a P NÁ.

Por I1, a ‰ 0 6 1 ď a 6 a ´ 1 R NÁ 6 a ´ 1 P A.

Por I2,

pa

´1

q `1

“a

PA 6 a

PA. (Contradicao)

Logo, A “ N.

1.5.1 Demonstracao por Inducao

• Primeiro Princıpio da Inducao Generalizado

Seja b P N e P uma propriedade unaria sobre o conjunto N tal que:

(base da inducao) b goza da propriedade P , isto e, P pbq e verdade.

(passo de inducao) Para todo k P N, b ď k,

se P pkq e verdade (hipotese de inducao)

entao P pk ` 1q e verdade.

Entao para todo n P N, b ď n, P pnq e verdade.

Exemplos:

1. 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` n “ npn`1q2

, para todo n ě 1.

(base) 1 “ 1p1`1q2

.

(passo) (HI) Supor que 1`

2` ¨ ¨ ¨ `

k

“ kpk`1q

2 , 1

ďk.

Vale 1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` k ` pk ` 1q “ pk`1qppk`1q`1q2

?

1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` k ` pk ` 1q HI “ kpk`1q2

` pk ` 1q “ kpk`1q2pk`1q2

“ pk`1qpk`2q2

.

2. 2n ă n!, para todo n ě 4.

(base) 24 “ 16 ă 4! “ 24.

(passo) (HI) Supor que 2k ă k!, 4 ď k.

Vale 2k`1 ă pk ` 1q! ?

2k`1 def “ 2 ¨ 2k HI ă 2 ¨ k!

Pela reflexividade, k!ď

k! e pela hipotese, 2ă

k

`1

12



Pela compatibilidade, 2 ¨ k! ă pk ` 1q ¨ k! def “ pk ` 1q!

Pela transitividade, 2k`1 ă pk ` 1q!

• Segundo Princıpio da Inducao Generalizado

Seja b P N e P uma propriedade unaria sobre o conjunto N tal que:(base da inducao) b goza da propriedade P , isto e, P pbq e verdade.

(passo de inducao) Para todo k P N, b ď k ă m,

se P pkq e verdade (hipotese de inducao)

entao P pmq e verdade.

Entao para todo n P N, b ď n, P pnq e verdade.

• Princıpio de Inducao Finita Estendido para o conjunto Z

Considere a

PZ e o conjunto I a

“ tx

PZ; a

ďx

u. Seja A

ĎI a tal que:

(I1’) a P A e

(I2’) Para todo k P Z , a ď k, se k P A entao k ` 1 P A .

Entao A “ I a.

Assim, o Primeiro e o Segundo Princıpios de Inducao Finita Generalizados sao validosem Z.

1.5.2 Definicao por Recorrencia

Considere o anel rZ, `, ¨, ďs, a P Z. Define-se o n -esimo multiplo de a com n P Z daseguinte forma:

na “$&% 0 n “ 0

a ` pn ´ 1qa 1 ď n

pńqpáq n ă 0

PROPOSICAO 1.15 Para quaisquer a,b,n,m P Z,

1. na ` ma “ pn ` mqa

2. npa ` bq “ na ` nb

3. npa bq “ pnaqb

4. npmaq “ pn mqa

5. pńqa “ npáq “ ´ pnaq

13



Prova:

2. Caso n ă 0: npa ` bq “ p ńqp´pa ` bq q“pńqppáq`p´bqq.

Mas 0 ă pńq, recai-se no caso positivo.

Entao, p´

nqpp´

aq`p´

bq q“p´

nqp´

aq`p´

nqp´

bq “

na`

nb.

Caso 0 ď n: Prova por inducao em n.

(base) Para n “ 0, 0pa ` bq “ 0 e 0a ` 0b “ 0 ` 0 “ 0.

Assim, 0pa ` bq “ 0a ` 0b.

(passo) (HI) Vale a propriedade para 1 ď k, isto e, kpa ` bq “ ka ` kb.

Vale para pk ` 1q, isto e, pk ` 1qpa ` bq “ pk ` 1qa ` pk ` 1qb ?

pk ` 1qpa ` bq “ pa ` bq` kpa ` bq “ a ` b ` ka ` kb “ a ` ka ` b ` kb “ pk ` 1qa `pk ` 1qb

Logo, n

pa

`b

q “na

`nb para quaisquer a, b, n

PZ.

Define-se a n -esima potencia de a com n P Z` como sendo:

an “"

1 n “ 0a ¨ an´1 n ě 1

PROPOSICAO 1.16 Para todo a, b P Z e para quaisquer n, m P Z`,

1. an ¨ am “ an`n

2. pan

qm

“ an m

3. pa bqn “ an bn

4. (Binˆ omio de Newton) pa ` bqn “ řn

i“0

`n

i

˘aníbi

dica: Use a F´ ormula de Stifel `

n`1

i

˘ “ ` n

i´1

˘` `n

i

˘Prova: Por inducao em m com n fixo.

1. (base) Para m “ 0, an ¨ a0 “ an ¨ 1 “ an “ an`0.

(passo) (HI) Considere que an

äk

“an`k com k

ě1.

Vale que an ¨ ak`1 “ an`pk`1q ?

an ¨ ak`1 “ an ¨ pak ¨ aq “ pan ¨ akq ¨ a “ an`k ¨ a “ apn`kq`1 “ an`pk`1q

Logo, an ¨ am “ an`m para quaisquer n, m ě 0.

2. (base) Para m “ 0, an0 “ a0 “ 1 “ panq0.

(passo) (HI) Considere que panqk “ ank com k ě 1.

Vale que panqpk`1q “ anpk`1q ?

panqk`1 “ panqk ¨ an “ ank ¨ an “ ank`n “ anpk`1q

Logo, pan

qm

“ anm

para quaisquer n, m ě 0.

14



Define-se o fatorial de n , n P Z` como sendo:

n! “"

1 n “ 0n ¨ pn ´ 1q! n ě 1

1.5.3 Exercıcios


2. Mostre que:

(a) 1 ` 3 ` 5 ` ¨ ¨ ¨ ` p2n ´ 1q “ n2, 1 ď n.

(b) 12 ` 22 ` 32 ` ¨ ¨ ¨ ` n2 “ npn`1qp2n`1q6

, 1 ď n.

(c) 1

`2

`22

` ¨ ¨ ¨ `2n

“2n`1

´1, 1

ďn.

(d) 11¨3 ` 1

3¨5 ` ¨ ¨ ¨ ` 1p2n´1qp2n`1q “ n

2n`1, 1 ď n.

(e) n ă 2n, 1 ď n.

(f) 3n ă n2, 4 ď n.

(g) 2n`1 ă 3n, 1 ă n.

(h) 3n2 ` 3n ` 1 ă 2n3, 3 ď n.

(i) 3 | 22n ´ 1, 1 ď n.

(j) 8 | 32n ` 7, 1 ď n.

(k) 64 | 7

2n

` 16n

´ 1, 1 ďn

.(l) Em um polıgono com n ě 6 lados, o numero de diagonais e maior do que n.

15



1.6 Divisao Euclidiana

1.6.1 O Teorema

Teorema da Divisao Euclidiana (TDE)Sejam a, b P Z e b ‰ 0 entao existem unicos q, r P Z tais que a “ qb ` r com 0 ď r ă |b|.Prova:

(Existencia) Pelo Teorema de Eudoxius existe q P Z tal que:

Se 0 ă b entao qb ď a ă pq ` 1qb “ qb ` b 6 0 ď a ´ qb e a ´ qb ă b “ |b|.Se b ă 0 entao qb ď a ă pq ´ 1qb “ qb ´ b 6 0 ď a ´ qb e a ´ qb ă ´b “ |b|.Considere r “ a ´ qb tal que 0 ď r ă |b|.(Unicidade) (RAA) Supor a existencia de q

‰q 1 e r

‰r1 tais que:

a “ bq ` r com 0 ď r ă |b| e a “ bq 1 ` r1 com 0 ď r1 ă |b|.

a “ bq ` r “ bq 1 ` r1 6 pbq ` rq ´ pbq 1 ` r1q “ 0 6 bpq ´ q 1q “ r1 ´ r

Supor, sem perda de generalidade que, r ď r1 6 0 ď r1 ´ r ă |b|.Assim, 0 ď r1 ´ r “ bpq ´ q 1q ă |b| 6 0 ď |b| |q ´ q 1| ă |b| 6 0 ď |q ´ q 1| ă 1 6 |q ´ q 1| “ 0.

Entao, q “ q 1 e r1 “ r (Contradicao!)

Logo, q e r sao unicos.

1.6.2 Algoritmo da Divisao

Algoritmo 1.1 Algoritmo da Divisao

Entrada: a, b P Z` e b ‰ 0;

Saıda: q, r P Z tais que a “ bq ` r com 0 ď r ă |b|;Inıcio

q Ð 0;

r Ð a;

Enquanto b ď r faca

r Ð r ´ b;

q Ð q ` 1;

Fim.

16



Exemplo: Aplicando o algoritmo para a “ 17 e b “ 3.

a b q r

1 7 3 0 1 71 14

2 113 84 55 2

Assim, 17 “ 3 ¨ 5 ` 2 com 0 ď 2 ă 3.

1.6.3 Exercıcios

1. Releia a demonstracao do TDE e apresente as justificativas.

2. Faca algoritmos para os casos:

(a) 0 ď a e b ă 0,

(b) a ď 0 e 0 ă b e

(c) a ď 0 e b ă 0.

3. Calcule o quociente e o resto na divisao euclidiana para:

(a) a “ 1234 e b “ 54

(b) a “ 25 e b “ ´7

(c) a “ 6789 e b “ 754

4. Mostre que a soma de dois numeros pares e um numero par e que o produto de dois ımparese um ımpar.

5. Considere que a “ 7q ` 4. Indique o resto da divisao de a2 ` 2a` 1 por 7.

6. Quais sao os numeros inteiros que divididos por 4 dao resto igual a metade do quociente?

7. Mostre que todo x P Z, x:

(a) x2 “ 3k ou x2 “ 3k ` 1 com k P Z.

(b) x2

“ 4k ou x2

“ 4k ` 1 com k P Z.(c) x2 “ 6k ` r com 0 ď r ă 6 e r ‰ 2, 5.

8. Considere tres inteiros consecutivos. Um deles e multiplo de 3?

9. Sejam a, n,m P Z` tais que 1 ă m ă n. Quantos inteiros divisıveis por a existem entre 1 e

n ?

10. Determine todos os numeros de 3 algarismos divisıeis por 8, 11 e 12.

11. Se n,m P Z sao ımpares entao 8 | n2 ´m2.

12. Para que valores de n P Z`

, 2n ` 1 e um cubo ?

17



1.7 Maximo Divisor Comum

1.7.1 Definicao e Propriedades

Sejam x, y P Z. O elemento d P Z e um maximo divisor comum de x e de y quando:

Mdc1. d | x e d | y.

Mdc2. Se existe c P Z tal que c | x e c | y entao c | d.

Notacao: mdcpx, yq representa o maximo divisor comum positivo de x e de y.

Sejam x, y P Z. Se mdcpx, yq “ 1 entao x e y sao ditos primos entre si ou coprimos.

PROPOSIC˜AO 1.17 Para quaisquer x, y,z P Z,

1. mdcpx, mdcpy, z qq “ mdcpmdcpx, yq, z q “ mdcpx , y , z q2. mdcpx, yq “ mdcpy, xq3. mdcpx, ˘1q “ 1

4. mdcpx, 0q “ |x|5. mdcpx, xq “ |x|

6. mdcpx, yq “ mdcp|x|, |y|q7. Se x | y ent˜ ao mdcpx, yq “ |x|.8. mdcpx, x ` 1q “ 1

Prova:

1. mdcpx, mdcpy, z qq “ mdcpx, d1q “ d 6 d | x e d | d1.

d1 | y e d1 | z 6 d | y e d | z .

Assim, d

|x , y , z

.Considere mdcpmdcpx, yq, z q “ mdcpd2, z q “ d1. Analogamente, d1 | x,y,z .

Mas, d | d1 e d1 | d 6 d “ d1.

O conceito de maximo divisor comum pode ser estendido para n ě 2 elementos. Oelemento d P Z e um maximo divisor comum de x1, . . . , xn P Z quando:

Mdc1. d | x1, . . . , d | xn

Mdc2. Se existe c P Z tal que c | x1, . . . , c | xn entao c | d.

18



PROPOSICAO 1.18 Sejam a, b P Z, b ‰ 0. Ent˜ ao mdcpa, bq “ mdcpb, rq sendo a “ qb ` r

com 0 ď r ă |b|.

Prova: Seja d “ mdcpa, bq 6 d | a e d | b 6 d | bq , com q P Z.

Entao, d | a ´ bq 6 d | r.Assim, d e um divisor comum de b e r.

Seja c P Z tal que c | b e c | r 6 c | bq , com q P Z.

Entao, c | bq ` r 6 c | a.

Mas d “ mdcpa, bq 6 c | d.

Logo, d “ mdcpb, rq.

Com essa proposicao temos a garantia da existencia do maximo divisor comum. Consi-

dere a sequencia obtida por aplicacoes do TDE:

a “ q 1b ` r1 0 ď r1 ă |b|b “ q 2r1 ` r2 0 ď r2 ă r1r1 “ q 3r2 ` r3 0 ď r3 ă r2

. . . . . .

rn´2 “ q nrn´1 ` rn 0 ď rn ă rn´1

rn´1 “ q n`1rn 0 “ rn`1

Observe que, se rn`1 ‰ 0, o conjunto t|b|, r1, r2, . . . u Ď Z nao seria limitado inferiormente

e nao teria menor elemento, contrariando o PBO. Como rn | rn´1, mdcprn´1, rnq “ rn e

mdcpa, bq “ mdcpb, r1q “ ¨ ¨ ¨ “ mdcprn´1, rnq “ rn.

Temos a unicidade do maximo divisor comum, pois caso existissem c “ mdcpa, bq ed “ mdcpa, bq tais que c ‰ d, c | d e d | c e, pela anti-simetria da relacao de divisibilidadeem Z`, c “ d (Contradicao).

PROPOSICAO 1.19 Sejam a, b P Z. Ent˜ ao existem k, P Z tais que mdcpa, bq “ ka ` b.

Prova: Considere mdcpa, bq “ rn.

Vamos mostrar usando o segundo esquema de inducao em n ě 1.

base: r1 “ a ` p´q 1qb 6 k “ 1 e “ ´q 1.

passo: (HI) Para todo i P N, 1 ď i ă n, existem ki, i P Z tais que ri “ kia ` ib.

rn “ rn´2 ´ q nrn´1 “ pkn´2a ` n´2bq ´ q npkn´1a ` n´1bq“ pkn´2 ´ q nkn´1qa ` pn´2 ´ q nn´1qb

Assim, kn “ kn´2 ´ q nkn´1 e n “ n´2 ´ q nn´1.

Entao, para quaisquer a, b P Z existem k, P Z tais que mdcpa, bq “ ka ` b.

19



PROPOSICAO 1.20 Sejam a,b,c P Z e d “ mdcpa, bq ‰ 0.

1. d |k| “ mdcpak, bkq, para todo k P Z.

2. d

“mdc

pa, b

`ak

q, para todo k

PZ.

3. mdcpad

, bdq “ 1.

4. Se a | bc e d “ 1 ent˜ ao a | c.

5. Se a | c, b | c, c ‰ 0 e d “ 1 ent˜ ao ab | c.

Prova:

3. d “ mdcpa, bq 6 d | a e d | b 6 a “ dk e b “ d com k, P Z.

d

“mdc

pa, b

q “mdc

pdk, d

q “dmdc

pk,

q6 mdc

pk,

q “1.

k “ ad

e “ bd 6 mdcpa

d, b

dq “ 1.

4. 1 “ ka ` b 6 c “ cpka ` bq “ cpkaq ` cpbq “ cka ` bc “ cka ` ma “ pck ` mqa.

Assim, a | c.

1.7.2 Algoritmo Euclidiano e Algoritmo Euclidiano Estendido

A Proposicao 3.15 nos fornece o algoritmo euclidiano para a determinacao do maximodivisor comum positivo de dois inteiros.

Algoritmo 1.2 Algoritmo Euclidiano

Entrada: a, b P Z;

Saıda: mdcpa, bq;Inıcio

xÐ a;

y Ð b;

Seja x “ yq ` r com 0 ď r ă |y|;

Enquanto r ‰ 0 facaxÐ y;

y Ð r;

Seja x “ yq ` r com 0 ď r ă |y|;mdcpa, bq Ð y;

Fim.

20



Exemplo: Aplicando o algoritmo para a “ 17 e b “ 3.

x y q r

17 3 5 23 2 1 1

2 1 2 0

ou5 1 2

17 3 2 12 1 0

Temos que, mdcp17, 3q “ 1.

Baseado na demonstracao da Proposicao 1.19 temos o seguinte esquema para o calculodo maximo divisor comum, de k e de , denominado algoritmo euclidiano estendido.

r q k

a ´ 1 0b

´ 0 1

r1 q 1 k1 “ 1 ´ q 10 1 “ 0 ´ q 11r2 q 2 k2 “ 0 ´ q 2k1 2 “ 1 ´ q 21r3 q 3 k3 “ k1 ´ q 3k2 3 “ 1 ´ q 32

. . . . . . . . . . . .

rn q n kn “ kn´2 ´ q nkn´1 n “ n´2 ´ q nn´1

0 q n`1 ´ ´

Exemplos:

1. mdcp10395, 2145q “ 165 “ 6 ¨ 10395 ` p´29q ¨ 2145 pois:

r q k

10395 ´ 1 02145 ´ 0 11815 4 1 ´ 4 ¨ 0 “ 1 0 ´ 4 ¨ 1 “ ´4330 1 0 ´ 1 ¨ 1 “ ´1 1 ´ 1p´4q “ 5165 5 1 ´ 5p´1q “ 6 ´4 ´ 5 ¨ 5 “ ´29

0 2 ´ ´2. mdc

p198, 23

q “1

“5

¨198

` p´43

q ¨23 ja que:

r q k

198 ´ 1 023 ´ 0 114 8 1 ´ 8 ¨ 0 “ 1 0 ´ 8 ¨ 1 “ ´89 1 0 ´ 1 ¨ 1 “ ´1 1 ´ 1p´8q “ 95 1 1 ´ 1p´1q “ 2 ´8 ´ 1 ¨ 9 “ ´174 1 ´1 ´ 1 ¨ 2 “ ´3 9 ´ 1p´17q “ 261 1 2 ´ 1p´3q “ 5 ´17 ´ 1 ¨ 26 “ ´430 4

´ ´21



3. mdcp10395, ´2145, 198q “ mdcpmdcp10395, ´2145q, 198q “ mdcp165, 198qr q k

198 ´ 1 0165 ´ 0 1

33 1 1 ´ 1 ¨ 0 “ 1 0 ´ 1 ¨ 1 “ ´10 5 ´ ´Assim, mdcp165, 198q “ 33 “ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ 165

Entao, mdcp10395, ´2145, 198q “ 33 “ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ 165 ““ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ p6 ¨ 10395 ` p´29q ¨ 2145q ““ 1 ¨ 198 ` p´1q ¨ p6 ¨ 10395 ` 29 ¨ p´2145qq ““ 1 ¨ 198 ` p´6q ¨ 10395 ` p´29q ¨ p´2145qq.

1.7.3 Equacoes Diofantinas

A equacao ax ` by “ c com a, b, c P Z coeficientes e x e y incognitas e denominada equacaodiofantina linear em duas variaveis. O par px0, y0q P ZˆZ e uma solucao da equacaoquando ax0 ` by0 “ c.

Exemplo: Os pares p6, 0q, p4, 1q, p´6, 6q e p10, ´2q sao solucoes da equacao 3x ` 6y “ 18,mas p1, 1q nao e.

PROPOSICAO 1.21 A equac˜ ao ax ` by “ c com a,b,c P Z possui soluc˜ ao se e somente se mdc

pa, b

q |c.

Prova:

pÑq Sejam x0, y0 P Z tais que ax0 ` by0 “ c.

d “ mdcpa, bq 6 d | a e d | b 6 d | ax0 ` by0 6 d | c.

pÐq d “ mdcpa, bq 6 d “ ka ` b

d | c 6 c “ m d 6 m d “ m pka ` bq 6 c “ pm kqa ` pm qb

Considere x0 “ m k e y0 “ m .

COROLARIO

1.22 Se mdc

pa, b

q “ 1 ent˜ ao para todo c

P Z, a equac˜ ao ax

`by

“ c

possui soluc˜ ao.

Exemplo: A equacao 27x ´ 13y “ 54 possui solucao ja que mdcp27, 13q “ 1 | 54.

Para obtermos uma solucao aplicamos a algoritmo euclidiano estendido.

r q k

27 ´ 1 013 ´ 0 11 2 1 ´2

0 13 ´ ´22



Assim, 1 “ 1 ¨ 27 ` p´2q13 “ 1 ¨ 27 ` 2p´13q 6 54 “ 54 ¨ 27 ` 108p´13qEntao, x0 “ 54 e y0 “ 108.

PROPOSICAO 1.23 Seja

px0, y0

q P Z

ˆZ uma soluc˜ ao da equac˜ ao ax

`by

“ c. Ent˜ ao para

todo t P Z, ´x0 ` t bmdcpa,bq , y0 ´ t a

mdcpa,bq¯ tambem e soluc˜ ao da equac˜ ao e qualquer outra soluc˜ ao tem esta forma.

Prova:

1) a´

x0 ` t bmdcpa,bq

¯` b´

y0 ´ t amdcpa,bq

¯“ ax0 ` at b

mdcpa,bq ` by0 ´ bt a

mdcpa,bq “

ax0 ` by0 ` t

´a b

mdcpa,bq ´ b a

mdcpa,bq¯“ ax0 ` by0 ` t 0 “ ax0 ` by0 “ c

2) Considere px1, y1q outra solucao.

Assim, ax0 ` by0 “ ax1 ` by1 “ c 6 apx0 ´ x1q “ bpy1 ´ y0q.

Seja d “ mdcpa, bq 6 a “ dk e b “ d.

dkpx1 ´ x0q “ dpy0 ´ y1q 6 kpx1 ´ x0q “ py0 ´ y1q 6 k | py0 ´ y1q.

Mas, mdcpk, q “ 1 6 k | y0 ´ y1 6 y0 ´ y1 “ k m 6 y1 “ y0 ´ k m.

Entao, y1

“y0

´ ad

m

“y0

´ a

mdcpa,bq m.

Substituindo y0 ´ y1 “ k m em kpx1 ´ x0q “ py0 ´ y1q temos que:

kpx1 ´ x0q “ pk mq 6 x1 ´ x0 “ m.

Assim, x1 “ x0 ` m “ x0 ` bmdcpa,bq

m.

1.7.4 Exercıcios


2. Para quaisquer x, y , k

P Z, k

‰ 0, x

|y

se e somente se xk

|yk

?3. Calcule o mdc indicando k,,m, n quando for o caso.

(a) 35 e 14

(b) 180 e 252

(c) 198 e ´51

(d) 1234, 54 e 23

(e) ´6643, ´2873, 143 e 83.

4. Considere a ą 1 e b P Z. Mostre que ou indique um contra-exemplo:

23



(a) mdcpa, 2a ` 1q “ 1

(b) mdcp2a ` 1, 3a ` 1q “ 1

(c) mdcpa! ` 1, pa ` 1q! ` 1q “ 1

(d) mdc

pa

˘b,ab

q “1

(e) mdcpa ` b, a2 ` b2q “ 1 ou 2

(f) mdcp2a ` b, a ` 2bq “ 1 ou 3

5. Considere a, b P Z, a ‰ b. Existem infinitos k P Z tais que mdcpa ` k, b ` kq “ 1?

6. k e da Proposicao 1.19 sao unicos? Justifique.

7. Defina mınimo multiplo comum e mostre que para quaisquer a, b P Z`,

mdcpa, bqmmcpa, bq “ a b.

8. Indique as solucoes:

(a) 56x ` 72y “ 40

(b) 84x ´ 438y “ 156

(c) 27x ´ 13y “ 54

9. Indique as solucoes positivas:

(a) 5x ´ 11y “ 29

(b) 58x´

87y “

290

(c) 30x ` 17y “ 300

10. Determine o menor inteiro positivo que dividido por 8 deixa resto 6 e dividido por 15deixa resto 13.

11. Exprimir o numero 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que a primeiraparcela seja multipla de 7 e a segunda multipla de 11.

24



1.8 Primos e Teorema da Fatoracao Unica

O elemento p P Z, p ‰ ˘1 e um numero primo quando seus unicos divisores sao ˘1 e p.Caso contrario, e denominado numero composto.

PROPOSICAO 1.24 Seja p P Z um primo e a, b P Z.

1. Se p | ab ent˜ ao p | a ou p | b.

2. mdcp p, aq “ 1 ou p.

Prova:

1. p a 6 mdcp p, aq “ 1 6 p | b.

Teorema Fundamental da Aritmetica ou Teorema da Fatoracao Unica (TFU)

Todo inteiro a P Z, a ‰ 0 e a ‰ ˘1 pode ser escrito de forma unica como um produtoa “ ˘1 ¨ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pn sendo n ě 1 e p1 ď p2 ď ¨ ¨ ¨ ď pn numeros primos.

Prova: A existencia da fatoracao pode ser demonstrada usando-se o segundo esquema deinducao.

(base) a “ ˘1 p1 e um primo, nao ha o que provar.

(passo) (HI) Supor que vale a proposicao para qualquer 1 ă x ă a.

Seja a “ k e um numero composto.Por (HI) tanto k quanto possuem fatoracoes primas.

k “ ˘1 ¨ pk1 ¨ pk2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pkn

“ ˘1 ¨ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pm

a “ ˘1 ¨ pk1 ¨ pk2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pkn ¨ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pm.

Apos uma reordenacao dos fatores, obtemos o resultado desejado.

(Unicidade) Supor que existam duas fatoracoes distintas com n, m ą 1.

a “ ˘1 ¨ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pn “ ˘1 ¨ q 1 ¨ q 2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q m.

p1 | q 1 ¨ q 2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q m 6 p1 | q i, para algum i, 1 ď i ď m. Como q i e primo, p1 “ q i e q 1 ď p1.

Analogamente, q 1 “ p j, para algum j, 1 ď j ď n e p1 ď q 1.

Assim, p1 “ q 1 e p2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pn “ q 2 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q m.

Repetindo o processo, n “ m e pi “ q i (Contradicao).

Outra forma de enunciar o TFU e: todo inteiro a P Z, a ‰ 0 e a ‰ ˘1 pode ser escritocomo

a “ ˘1 p

e1

1 p

e2

2 . . . pen

n

25



sendo p1 ă p2 ă ¨ ¨ ¨ ă pn numeros primos e ei ą 0, i “ 1, . . . , n

Considere b “ ph1

1 ph2

2 . . . phn

n . Podemos rever as definicoes de mdc e de mmc.

mdc

pa, b

q “ p

minte1,h1u1

. . . pminten,hnun

mmcpa, bq “ pmaxte1,h1u1

. . . pmaxten,hnun

LEMA 1.25 Seja p P Z` um primo. Ent˜ ao p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq ` 1 n˜ ao possui um fator primomenor ou igual a p.

Prova: (RAA) Supor que existe um primo q ď p tal que q | p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq ` 1.

p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq ` 1 “ qk 6 qk ´ p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq “ 1.

q | qk e q | p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ q ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq 6 q | qk ´ p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq “ 1 6 q “ 1 (Contradicao).

Teorema de Euclides: Existem infinitos numeros primos.

Prova: (RAA) Supor que existe um numero finito de primos.

Entao, existe um certo primo p maior do que todos os outros.

Considere a “ p2 ¨ 3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pq ` 1, a ‰ 0 e a ‰ ˘1.

Pelo Lema 1.25, a nao possui divisor primo menor ou igual a p.

Como p e o maior primo, a nao tem fatores primos.

Contradicao com o TFU.

PROPOSICAO 1.26 Se n ą 1 e um n umero composto ent˜ ao existe um primo p tal que p | ne p2 ď n.

Prova: n “ ab com 2 ď a ď b ă n e n “ ab ě a2.

Se p e um divisor primo de a 6 p2 | a2 6 p2 ď a2 ď n 6 p2 ď n p6 p ď ? nq.

COROLARIO 1.27 Se n ą 1 n˜ ao e divisıvel por nenhum primo p ď ? n ent˜ ao n e primo.

1.8.1 Exercıcios

Mostre que:

1. Sejam a, b, k P Z e mdcpa, kq “ mdcpb, kq “ 1. Entao mdcpab,kq “ 1.

2. Todo numero racional nao nulo se escreve de forma unica como ab

com a e b primos

entre si e b ą 0.

26



3. Se a e composto entao a possui um fator primo menor ou igual a ?

a.

4. 7 e o unico primo da forma n3 ´ 1, n ą 0.

5.?

2 e um numero irracional.

1.8.2 Crivo de Eratostenes

O Crivo de Eratostenes (grego, 285-194 a.C.), e um algoritmo bem simples e pratico quenos permite determinar todos os numeros primos positivos menores ou iguais a um inteiropositivo n fixado, descrito a seguir:

1. Listamos todos os numeros naturais ımpares de 3 a n. Nao listaremos os pares pois ounico natural par que e primo e o 2.

Como exemplo faremos n “ 91.

3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 3739 41 43 45 47 49 51 53 5557 59 61 63 65 67 69 71 7375 77 79 81 83 85 87 89 91

2. Consideremos a lista p1, p2,...,pm de todos os numeros primos positivos que sao menoresou iguais a

? n.

No nosso exemplo, como ? 91 – 9, temos a lista 2, 3, 5 e 7.

3. Dos numeros listados no Item 1, em primeiro lugar eliminamos todos os multiplos de p1

exceto p1. Em segundo lugar, todos os multiplos de p2 exceto p2, e, assim por diante,ate pm.

No exemplo, devemos eliminar, em primeiro lugar, todos os multiplos de 3 exceto 3,todos os multiplos de 5 exceto 5 e, finalmente, todos os multiplos de 7 exceto 7.

3 5 7 9/ 11 13 15/ 17 1921/ 23 25/ 27/ 29 31 33/ 35/ 37

39/ 41 43 45/ 47 49/ 51/ 53 55/57/ 59 61 63/ 65/ 67 69/ 71 7375/ 77/ 79 81/ 83 85/ 87/ 89 91/

Os numeros nao eliminados sao exatamente os numeros primos positivos menores ouiguais a 91.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 3741 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89

27



1.9 Dicas para solucao de alguns exercıcios

1.9.1 Prop 1.11 item 12

Considere 0 ď x ď y ă z .x ď y 6 x ` p´xq ď y ` p´xq 6 0 ď y ´ x

y ă z e ´x ď 0 6 y ` p´xq ă z ` 0 6 y ´ x ă z .

Entao, 0 ď y ´ x ă z .

1.9.2 Prop 1.12 item 6

|x ´ y| “ |x ` pýq | ď |x| ` | ´ y| “ |x| ` |y|

Observe que, x “ px ´ yq ` y 6 |x| “ | px ´ yq ` y| ď |x ´ y| ` |y|Assim, |x| ´ |y| ď |x ´ y|.

1.9.3 Eudoxius

Considere 0 ă x, y.

Seja A “ tky | 1 ă k e x ă kyu 6 y R A 6 1 ă x. A ‰ H, pois x ă px ` 1qy. Comox e o sucessor de algum numero inteiro, considere pn ` 1qy o menor elemento de A. Mas,n

ăn

`1 6 ny

ă pn

`1

qy 6 ny

RA. Como a relacao de ordem e total, ny

ďx.

1.9.4 Prop 1.14 item 10

Se x | y 6 y “ xk com k P Z e y | x 6 x “ y com P Z.

x “ pxkq “ xpkq 6 k “ 1 6 k “ “ 1 ou k “ “ ´1

Entao x “ y ou x “ ý.

1.9.5 Stifel` n

k´1

˘` `n

k

˘ “ n!pk´1q!pn´k`1q!

` n!k!pn´kq!

“ k n!`pn´k`1q!n!k!pn´k`1q!

“ pn`1q!n!k!pn´k`1q!

“ pn`1q!k!pn´k`1q!

“ `n`1

k

˘1.9.6 Newton

pa ` bqn “ řn

i“0

`n

i

˘aníbi

Inducao em n

(base) n “ 1:

ř1

i“0 `n

i˘aníbi “

`1

0˘a1b0 `

`1

1˘a0b1 “ a ` b

28



(passo) (HI) pa ` bqk “ řk

i“0

`k

i

˘akíbi

pa ` bqk`1 “ pa ` bqpa ` bqk “ apa ` bqk ` bpa ` bqk (1.1)

ap

a`

bq

k

“apřk

i“0 `k

i˘akíbi

q “ řk

i“0 `k

i˘akí`1bi

““ `k

0

˘ak`1 ` `k

1

˘akb ` ¨ ¨ ¨ ` ` k

k´1

˘a2bk´1 ` `k

k

˘abk

bpa ` bqk “ bpřk

i“0

`k

i

˘akíbiq “ řk

i“0

`k

i

˘akíbi`1 “

“ `k

0

˘akb ` `k

1

˘ak´1b2 ` ¨ ¨ ¨ ` ` k

k´1

˘abk ` `k

k

˘bk`1

Substituindo na equacao 1.1,

apa ` bqk ` bpa ` bqk “ řk

i“0

`k

i

˘akí`1bi `řk

i“0

`k

i

˘akíbi`1 “

“

`k

0

˘ak`1 ` p

`k

0

˘`

`k

1

˘qakb ` ¨ ¨ ¨ ` p

` k

k´1

˘`

`k

k

˘qabk `

`k

k

˘bk`1

“ ak`1

` `k`1

1 ˘ak

b ` ¨ ¨ ¨ ` `k`1

k ˘abk

` bk`1

“ `k`1

0

˘ak`1 ` `k`1

1

˘akb ` ¨ ¨ ¨ ` `k`1

k

˘abk ` `k`1

k`1

˘bk`1

“ řk`1

i“0

`k`1

i

˘apk`1qíbi

1.9.7 Ex. 1.7.4 item 5

Observe que,

mdcpa, bq k “ 1 k “ 2 k “ 3 k “ 4 k “ 5 . . .

mdcp2, 3q “ 1 mdcp3, 4q “ 1 mdcp4, 5q “ 1 mdcp5, 6q “ 1 mdcp6, 7q “ 1 mdcp7, 8q “ 1mdcp2, 4q “ 2 mdcp3, 5q “ 1 mdcp4, 6q “ 2 mdcp5, 7q “ 1 mdcp6, 8q “ 2 mdcp7, 9q “ 1mdcp2, 5q “ 1 mdcp3, 6q “ 3 mdcp4, 7q “ 1 mdcp5, 8q “ 1 mdcp6, 9q “ 3 mdcp7, 10q “ 1mdcp2, 6q “ 2 mdcp3, 7q “ 1 mdcp4, 8q “ 4 mdcp5, 9q “ 1 mdcp6, 10q “ 2 mdcp7, 11q “ 1

. . .

Todos os pares possıveis sao obtidos a partir da primeira coluna.

Vamos analisar a “ 2 e b ą 3.

Seja p ą 1 um primo tal que p ą 2 e p b ´ 2.Assim, mdcp2 ` p p ´ 2q, b ` p p ´ 2qq “ 1.

Mas, existem infinitos primos nestas condicoes.

Por exemplo, para a “ 2 e b “ 4 6 p P t3, 5, 7, 11, . . . u.

1.9.8 Ex. 1.8.1 item 3 / 4

3. Considere d | a 6 a “ dk com k ą 1. Se ?

a ă d e ?

a ă k 6 a “ dk ą ? a?

a “ a.

Contradicao. Logo, a possui um fator primo menor ou igual a ? a.

29



4. Considere n ą 0.

n3 ´ 1 “ pn ´ 1qpn2 ` n ` 1q. Se n3 ´ 1 e primo sua fatoracao e trivial entao n ´ 1 “ 1, casocontrario obterıamos numeros negativos.

Como, n

´1

“1 6 n

“2 6 n2

`n

`1

“7. Logo, 7 e o unico primo da forma n3

´1.

30



Capıtulo 2

Anel dos Inteiros Modulo n

2.1 Revendo Relacoes de Equivalencia

Considere o conjunto A nao vazio. Uma relacao binaria « Ď A ˆ A e uma relacao deequivalencia em A quando e reflexiva, simetrica e transitiva. A classe de equivalenciado elemento a P A e o conjunto

a “ ras “ tx P A; x « au.

O conjunto de todas as classes laterais

A{« “ ta; a P Au

e denominado o conjunto quociente de A pela relacao «.

2.1.1 Propriedades

Considere « uma relacao de equivalencia em A.

PROPOSICAO 2.1 Para todo a P A, a ‰ H.

Prova: a«

a, pois «

e reflexiva. Entao aP

a.

PROPOSICAO 2.2 Sejam a, b P A. S˜ ao equivalentes:

1. a « b

2. a P b

3. b P a

4. a “ b

31



Prova:

p1 Ñ 2q a « b 6 a P b.

p2 Ñ 3q a P b 6 a « b 6 b « a 6 b P a.

p3

Ñ4q

bP

a 6 b«

a 6 a«

b.

x P a 6 x « a 6 x « b 6 x P b 6 a Ď b.

Analogamente, b Ď a.

Entao, a “ b.

p4 Ñ 1q a P a e b P b.

Seja x P a 6 x « a e a « x.

Mas, x P b “ a 6 x « b.

Assim, a

«b.

PROPOSICAO 2.3 Sejam a, b P A. Ent˜ ao:

1. a “ b ou a X b “ H2. Ť

aPA a “ A

2.1.2 Exercıcios


2. Complete as tabelas abaixo, justificando.

Relacao BinariaR1 YR2 simR1 XR2 simR1 ´R2 sim

R1 sim

Relacao de Ordemĺ1 Y ĺ2

ĺ1 X ĺ2

ĺ1 ´ ĺ2

ĺ1

Relacao de Equivalencia«1 Y «2

«1 X «2

«1 ´ «2

«1

3. Enumere todas as relacoes de equivalencia possıveis em A “ ta,b,cu.

4. Verifique se as relacoes sao de equivalencia nos conjuntos indicados.

(a) N: x « y quando x ` y “ 10

(b) N: x « y quando mdcpx, yq “ 1

(c) NˆN: px, yq « pz, tq quando x ` y “ z ` t

(d) ZˆZ˚: px, yq « pz, tq quando xt “ yz

(e) Q: x « y quando x ´ y P Z(f) C: x ` yi « z ` ti quando y “ t

5. Seja f : A Ñ B uma funcao do conjunto A no conjunto B, A relacao R Ď A ˆ A tal

que xRy quando f pxq “ f pyq.

32



(a) Mostre que e de equivalencia.

(b) Para f : R Ñ R tal que f pxq “ x2 ´ 5x ` 6, indique o conjunto quociente R {R.

6. Considere a relacao de equivalencia em C tal que x`yi « z ti quando x2`y2 “ z 2`t2.Indique a classe de equivalencia 1

`i.

7. Seja A “ tx P Z; |x| ď 5u e R Ď A ˆ A tal que xRy quando x2 ` 2x “ y2 ` 2y.

(a) Mostre que e de equivalencia.

(b) Determine o conjunto quociente A{R.

2.2 A Relacao de Congruencia Modulo n

Considere Z, n

PZ, n

ě2 e a relacao binaria R

ĎZ

ˆZ tal que aRb quando n

|a

´b. Esta

relacao e denominada relacao de congruencia modulo n em Z e os elementos a e b saoditos congruos modulo n.

Notacao: a ” bmodn

2.2.1 Propriedades

Considere o anel rZ, `, ¨s e a relacao de congruencia modulo n em Z.

PROPOSICAO 2.4 Sejam a,b,c,d,m,p

PZ, m, p

ě2 e p primo.

1. A relac˜ ao de congruencia m´ odulo n e de equivalencia.

2. a ” bmodn se e somente se a e b possuem o mesmo resto na divis˜ ao euclidiana por n.

3. Se a ” bmodn ent˜ ao a ˘ c ” b ˘ cmodn.

4. Se a ` b ” cmodn ent˜ ao a ” c ´ bmodn.

5. Se a ” bmodn ent˜ ao ac ” bcmodn.

6. Se a ” bmodn ent˜ ao ´a ” ´bmodn.

7. (Compatibilidade da relac˜ ao de congruencia com a operac˜ ao de adic˜ ao)

Se a ” bmodn e c ” dmodn ent˜ ao a ˘ c ” b ˘ dmodn.

8. (Compatibilidade da relac˜ ao de congruencia com a operac˜ ao de multiplicac˜ ao)

Se a ” bmodn e c ” dmodn ent˜ ao ac ” bdmodn.

9. Se a ” bmodn ent˜ ao am ” bm modn.

10. Se a

”bmodn e m

|n ent˜ ao a

”bmodm.

33



11. Se a ” bmodn e c ą 0 ent˜ ao ac ” bcmodnc.

12. Se a ” bmodn, c ą 0, c | a, c | b e c | n ent˜ ao ac ” b

c mod n

c.

13. Se ac ” bcmodn e mdcpc, nq “ 1 ent˜ ao a ” bmodn.

14. Se ac ” bcmodn e mdcpc, nq “ d ent˜ ao a ” bmod nd .

15. Se ac ” bcmodp e p c ent˜ ao a ” bmodp.

Prova:

1.

(refl.) n | x ´ x “ 0 6 x ” xmodn.

(sim.) x ” ymodn 6 n | x ´ y 6 x ´ y “ kn comk P Z 6 p´1qpx ´ yq “ p ´1qkn 6 y ´ x “ p´kqn 6 n | y ´ x 6 y ” xmodn.

(trans.) x ” ymodn e y ” z mod n 6 n | x ´ y e n | y ´ z 6 x ´ y “ kn e y ´ z “ n comk, P Z 6 px ´ yq ` py ´ z q “ kn ` n 6 x ´ z “ pk ` qn 6 n | x ´ z 6 x ” z mod n.

2.

pÑq a ” bmodn 6 n | a ´ b 6 a ´ b “ kn com k P Z 6 a “ kn ` b.

Pelo TDE, b “ n ` r com 0 ď r ă n 6 a “ kn ` pn ` rq “ pk ` qn ` r com

0 ď r ă n.

pÐq a “ kn ` r e b “ n ` r com 0 ď r ă n.

a ´ b “ pkn ` rq ´ pn ` rq “ pk ´ qn 6 n | a ´ b 6 a ” bmodn.

3. a ” bmodn 6 n | a ´ b 6 a ´ b “ kn com k P Z 6 a “ kn ` b.

a ` c “ pkn ` bq ` c 6 a ` c “ kn ` pb ` cq 6 pa ` cq ´ pb ` cq “ kn 6

n | pa ` cq ´ pb ` cq 6 a ` c ” b ` cmodn.

Analogamente, a

´c

”b

´cmodn.

13. ac ” bcmodn 6 n | ac ´ bc 6 n | pa ´ bqc e mdcpc, nq “ 1 6 n | a ´ b 6 a ” bmodn.

14. ac ” bcmodn 6 n | ac ´ bc 6 n | pa ´ bqc 6 pa ´ bqc “ kn

mdcpc, nq “ d 6 c “ d e n “ dm 6 pa ´ bqd “ kdm 6 pa ´ bq “ km 6 m | pa ´ bq.

Como mdcp, mq “ 1, m | a ´ b 6 a ” bmodm “ nd

.

15. Corolario do item 13.

34



2.2.2 Criterios de Divisibilidade

Seja a P Z`. Considere a “ 1 am10m àm´110m´1` . . .à110à0 com ai P Z`, i “ 1, . . . , m.

• Para o 2

Como, 10 ” 0 mod 2,

10i ” 0i “ 0 mod 2, i ě 2,

x 10i ” x 0 “ 0 mod 2, x P Z e

x ” xmod 2.

Temos que,am10m ” 0 mod 2

am´110m´1 ” 0 mod 2. . .

a110 ” 0 mod 2a0 ” a0 mod 2

Entao, am10m ` am´110m´1 ` . . . ` a110 ` a0 ” 0 ` 0 ` . . . ` 0 ` a0 mod 2.

Desta forma, a ” a0 mod 2.

Se a0 ” 0 mod 2 entao a ” 0 mod 2

caso contrario a ı 0 mod 2.

Logo, a ” 0 mod 2 quando a0 P t0, 2, 4, 6, 8u, isto e, a e multiplo de 2 quando o algarismoda unidade for um numero par.

• Para o 3

Como, 10 ” 1 mod 3,

10i ” 1i “ 1 mod 3, i ě 2,

x 10i ” x 1 “ xmod 3, x P Z e

x ” xmod 3.

Temos que,am10m ” am mod 3

am´110m´1 ” am´1 mod 3

. . .a110 ” a1 mod 3

a0 ” a0 mod 3

Entao, am10m ` am´110m´1 ` . . . ` a110 ` a0 ” am ` am´1 ` . . . ` a1 ` a0 mod 3.

Desta forma, a ” am ` am´1 ` . . . ` a1 ` a0 mod 3.

Se am ` am´1 ` . . . ` a1 ` a0 ” 0 mod 3 entao a ” 0 mod 3

caso contrario a ı 0 mod 3.

Logo, a ” 0 mod 3 quando a soma de seus algarismos for um multiplo de 3.

35



• Para o 11

Como, 10 ” ´1 mod 11,

para todo i ě 2, se i e par entao 10i ” 1 mod 11

senao 10i

” ´1 mod 11,

para todo i ě 2, se i e par entao x10i ”“ xmod 11

senao x10i ” ´xmod 11 e

x ” xmod 11.

Temos que,am10m ” p´1qmam mod 11

am´110m´1 ” p´1qm´1am´1 mod 11. . .

a110 ” á1 mod 11a0

” a0 mod 11

am10m àm´110m´1` . . .à110à0 ” p´1qmam `p´1qm´1am´1` . . .á1à0 mod 11.

Desta forma, a ” p´1qmam ` p´1qm´1am´1 ` . . . ´ a1 ` a0 mod 11.

Entao, a ” 0 mod 11 quando p´1qmam ` p´1qm´1am´1 ` . . . ´ a1 ` a0 ” 0 mod 11.

2.2.3 Tratando Expressoes

• A questao “10200 ” 1 mod 11?”pode ser respondida afirmativamente pois:

10 ” ´1 mod 11 6 10200 ” p´1q200 “ 1 mod 11.

• A questao “712545 ` 817 e divisıvel por 3?”pode ser respondida negativamente pois:

Como, 7 ” 1 mod 3 6 712 ” 1 mod 3,

54 ” 5 ` 4 “ 9 ” 0 mod 3 6 545 ” 0 mod 3 e

8 ” ´1 mod 3 6 817 ” p´1q17 “ ´1 mod 3.

Assim, 712545 ` 817 ” 1 ¨ 0 ` p´1q “ ´1 ” 2 mod 3.

Entao, o resto da divisao de 712545 ` 817 por 3 e igual a 2.

Logo, 712

545

` 817

nao e divisıvel por 3.

2.2.4 Exercıcios


2. Quantos sao os inteiros 0 ď x ď 100 tais que x ” 5 mod 8?

3. Indique o menor inteiro positivo para que x ” 635 mod 10.

4. Para todo mě

4, 1`

2!`

3!`

. . .`

m!”

9 mod 12?

36



5. Estabeleca criterios de divisibilidade para 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 12.

6. Indique o valor do resto euclidiano para cada um dos itens.

r

310

425

` 68

” mod 5520 ” mod 710135 ” mod 7

635 ” mod 1071001 ” mod 1113221 ” mod 19

364 ” mod 31220 ´ 1 ” mod 41

2130 ” mod 263

7. Indique o algarismo da unidade de 7p77q

.

2.3 Fermat, Wilson e Euler

2.3.1 Fermat e Wilson

LEMA 2.5 Sejam a,b,p P Z com p primo. Ent˜ ao,

1. p

| ` p

i˘, 1

ďi

ď p

´1.

2. pa ` bq p ” a p ` b p modp.

Prova:

1. Se i “ 1 6 p

1

˘ “ p!

1!p p´1q! “ p e p | p.

Se 1 ă i ď p ´ 1 6 p

i

˘ “ p!

i!p píq! “ pp p´1q...p pí`1q

i! .

Como

` p

i

˘P Z, o denominador dessa frac˜ ao deve ser todo cancelado por certos fatores

do numerador. Mas i

ď p

´1 entao p i!. Assim, o fator p do numerador nao e

cancelado. Logo, p | pi˘.

2. Pelo Binomio de Newton, pa ` bq p “ a p ` b p `ř p´1

i“1

p

i

˘a píbi.

p | ř p´1

i“1

p

i

˘a píbi 6 pa ` bq p “ a p ` b p `ř p´1

i“1

p

i

˘a píbi ” a p ` b p ` 0 “ a p ` b p modp.

37



TEOREMA 2.6 (Teorema de Fermat) Seja a, p P Z com p primo ent˜ ao a p ” amodp.

Prova:

Caso a ě 0: (base) 0

p

“ 0 ” 0 modp.(passo) (HI) a p ” amodp.

pa ` 1q p ” a p ` 1 p “ a p ` 1 ” a ` 1 mod p.

Caso a ă 0: á ą 0 6 páq p ” ámodp.

Se p e ımpar entao páq p “ á p ” ámodp 6 a p ” amodp.

Se p “ 2 entao páq2 ” ámod 2 6 ´ppáq2q”´páq mod 2 6 a2 ” a mod 2.

COROLARIO 2.7 (Pequeno Teorema de Fermat)

Seja a, p P Z com p ą 0 primo e p a ent˜ ao a p´1 ” 1 modp.

Prova: a p ” amodp 6 a p´1a ” 1 a modp e mdcpa, pq “ 1 6 a p´1 ” 1 modp.

Exemplo: 347 ” 4 mod 23 pois:

23 47 6 322 ” 1 mod 23 6 p322q2 “ 344 ” 12 “ 1 mod 23 6 344 ¨ 33 “ 347 ” 1 ¨ 27 ” 4 mod 23.

TEOREMA 2.8 (Teorema de Wilson) Seja p P Z primo ent˜ ao p p ´ 1q! ” ´1 modp.

A proposicao a seguir e a recıproca do Teorema de Wilson e e um dos criterios ou testesde primalidade.

PROPOSICAO 2.9 Seja n P Z tal que pn ´ 1q! ” ´1 modn ent˜ ao n e primo.

Prova: (RAA) Supor que n nao e primo. Entao n “ pq com 1 ă p ă n primo e p e um fatorde pn ´ 1q! 6 p | pn ´ 1q!.

pn´1q! ” ´1 modn 6 n | pn´1q!`1 6 pn´1q!`1 “ nk 6 nk´pn´1q! “ 1 6 p | 1 6 p “ ˘1(Contradicao).

2.3.2 Funcoes Especiais e Euler

Considere n “ pα1

1 pα2

2 ¨ . . . pαk

k , αi ě 0, i “ 1, . . . , k, a fatoracao em primos distintos. A seguiralgumas funcoes para contagem de elementos.

Funcao Omega: ω : Z Ñ Z`

ωpnq e o numero de fatores primos distintos de n (do TFU).

ωpnq “ k

38



Funcao Pi: π : Z` Ñ Z`

πpnq e o numero de primos positivos p ď n.

Funcao Tau: τ : Z Ñ Z`

τ

pn

qe o numero de divisores positivos n.

τ pnq “ " 2 n primopα1 ` 1q . . . pαk ` 1q cc

Funcao Sigma: σ : Z Ñ Z`

σpnq e a soma dos divisores positivos n.

σpnq “#

n ` 1 n primo pα1`1

1 ´1

p1´1 . . .

pαk`1

k ´1

pk´1 cc

Funcao de Mobius: µ : Z˚` Ñ Z

µpnq “ $&% 0 p2

| n para algum primo p1 n “ 1p´1qk n “ p1 . . . pk

Funcao Fi de Euler ou Funcao Totiente: φ : Z` Ñ Z`

φpnq e o numero de elementos x ď n tais que mdcpx, nq “ 1.

φpnq “"

n ´ 1 n primonp1 ´ 1

p1q . . . p1 ´ 1

pkq cc

TEOREMA 2.10 (Teorema de Euler)

Seja a, n P Z com n ą 0. Se mdcpa, nq “ 1 ent˜ ao aφpnq

” 1 modn.

2.3.3 Exercıcios

1. Considere p primo, indique x:

” xmod

310425 ` 68 510200 11

2100 11

5320

13270 ` 370 132100000 17

215 ´ 1 31220 ´ 1 41

31000 10111 p´1 p

6 ¨ 7 ¨ 8 ¨ 9 58 ¨ 9 ¨ 10 ¨ 11 ¨ 12 ¨ 13 7

6p p ´ 4q! p ě 52

¨26! 29

39



2. Sendo p ą 0 primo, indique:

(a) mdcp p!, p p ´ 1q! ´ 1q(b) mdcp p!, p p ´ 1q! ` 1q

3. Determine α e β para que n “ 23

5α

7β

tenha 84 divisores.

4. Se n e par entao φp2nq “ 2φpnq.

5. Mostre que, se mdcpn, mq “ 1 entao µpnmq “ µpnqµpmq.

6. Sejam a, n P Z, a, n ą 1 tais que mdcpa, nq “ mdcpa ´ 1, nq “ 1 entao

1 ` a ` . . . ` aφpnq´1 ” 0 mod n?

2.4 Congruencias

2.4.1 Congruencia Linear

Considere a relacao de congruencia modulo n em Z. Um conjunto de n inteiros formaum sistema completo de restos modulo n se quaisquer dois elementos distintos saoincongruos modulo n ą 1. O conjunto t0, 1, . . . , n ´ 1u e denominado sistema completode resıduos modulo n ou um sistema completo de restos mınimos positivos modulon.

Exemplo: t0, 1, 2, 3u e t´4, 1, 10, ´1u sao sistemas completos de restos modulo 4.

PROPOSICAO 2.11 Se tr1, . . . , rnu e um sistema completo de restos m´ odulo n ą 1, ent˜ aopara todo a P Z, existe um ´ unico x P tr1, . . . , rnu tal que a ” xmodn.

Considere n ą 1, a, b P Z, a ‰ 0 e x um sımbolo de variavel. A expressao

ax ” bmodn

e denominada uma congruencia linear. O elemento x1

P Z e uma solucao da con-

gruencia linear quando ax1 ” bmodn.

Seja x1 P Z uma solucao de ax ” bmodn. Entao x1 “ nq ` x0 com 0 ď x0 ă n. Assim,

ax1 “ apnq ` x0q “ anq ` ax0 6 ax1 ” anq ` ax0 ” ax0 mod n 6 ax0 ” bmodn

Todas as solucoes congruas a x0, isto e, todos os x1 P Z tais que x1 ” x0 mod n, constituemuma unica solucao da congruencia.

40



PROPOSICAO 2.12 A congruencia linear ax ” bmodn, a ‰ 0 admite soluc˜ ao em Z se e somente se mdcpa, nq | b.

Prova: Tanto na ida quanto na volta, basta lembrar que cada congruencia linear esta asso-ciada a uma equacao diofantina e vice-versa.

ax ” bmodn 6 n | ax ´ b 6 ax ´ b “ ny, para algum y P Z .

Alem disso, a diofantina ax ´ ny “ b tem solucao quando mdcpa, nq | b.

Exemplo: Considere a congruencia linear 6x ” 15 mod 21.

21 | 6x ´ 15 6 6x ´ 15 “ 21y 6 6x ´ 21y “ 15 e pelo AEE

r q k

21 ´ 1 06 ´ 0 13 3 1 ´30 2 ´ ´

mdcp6, 21q “ 3 “ 21 ¨ 1 ` 6p´3q “ 6p´3q`p´21qp´1q3 | 15 6 15 “ 6p´15q`p´21qp´5q 6 6p´15q ” 15 mod 21

Assim, x1 “ ´15 e x0 “ 6, ja que ´15 ” 6 mod 21.

Os elementos do conjunto

t6

`21,

PZ

u representam a mesma solucao para a congrencia.

COROLARIO 2.13 Se x0 e uma soluc˜ ao de ax ” b mod n e d “ mdcpa, nq ent˜ ao o conjuntode todas as soluc˜ oes incongruentes m´ odulo n da congruencia linear e "

x0, x0 ` n

d, x0 ` 2n

d , . . . , x0 ` pd ´ 1qn

d

*.

Prova: Se px0, y0q P ZˆZ e solucao da equacao ax ´ ny “ b entao para todo t P Z,

´x0

`t

n

d

, y0

´t

a

d¯tambem e solucao.

Assim, a solucao geral da congruencia linear ax ” bmodn e x0 ` t nd

, t P Z.

t “ dq ` r com 0 ď r ă d 6 x “ x0 ` t nd “ x0 `pdq ` rqn

d “ x0 ` dq n

d` r n

d “ x0 ` qn ` r n

d

x “ x0 ` qn ` r nd ” x0 ` rn

d modn com 0 ď r ď d ´ 1.

(RAA) Supor que x0 ` r nd ” x0 ` r1 n

d mod n com 0 ď r ă r1 ă d. Entao r n

d ” r1 n

d mod n.

Como mdcpnd

, nq “ nd

, r ” r1 mod n. (Contradicao). Logo, as solucoes sao incongruentes

modulo n.

41



Exemplo: Considere novamente a congruencia 6x ” 15 mod 21.

O conjunto das solucoes incongruentes modulo 21 e

6, 6 ` 21

3 , 6 ` 2¨21

3

( “ t6, 13, 20u.

PROPOSICAO 2.14 Considere a congruencia linear ax ” b mod n tal que d “ mdcpa, nq | b.

Ent˜ ao ax ” bmodn e equivalente a congruencia x ” kbd mod nd sendo a “ add, b “ bdd,n “ ndd e d “ ka ` n com ad, bd, nd, k , P Z.

Prova: Primeiro vamos provar que ax ” bmodn e equivalente a congruencia adx ” bd mod nd.

Como ax ” b mod n sse addx ” bddmodndd sse adx ” bd mod nd, o conjunto solucao e omesmo.

Agora, vamos mostrar que adx ” bd mod nd e equivalente a congruencia x ” kbd mod nd.

Observe que, d “ ka ` n 6 d “ kadd ` ndd 6 d “ dpkad ` ndq 6 1 “ kad ` nd.

Entao, 1 ” kad mod nd.

(Ñ) adx ” bd mod nd 6 kadx ” kbd mod nd 6 x ” kbd mod nd

Assim, toda solucao de adx ” bd mod nd e tambem solucao de x ” kbd mod nd.

(Ð) Seja x0 uma solucao de x ” kbd mod nd 6 x0 ” kbd mod nd 6 1x0 ” kbd mod nd 6

kadx0 ” kbd mod nd.

Como mdcpk, ndq “ 1, adx0 ” bd mod nd.

Desta forma, toda solucao de x ” kbd mod nd e solucao de adx ” bd mod nd.

Logo, ax ” bmodn e equivalente a congruencia x ” kbd mod nd.

Exemplo: 6x ” 15 mod 21 e equivalente a x ” p´3q5 “ ´15 ” 6 mod 7.

2.4.2 Sistema de Congruencias Lineares

Dados k ě 2, n1, n2, . . . , nk ą 1, a1, a2, . . . , ak ‰ 0 e b1, b2, . . . , bk P Z, um sistema decongruencias lineares e

$’’&’’%a1x ” b1 mod n1

a2x ” b2 mod n2

. . .

akx ” bk mod nk

O inteiro x0 e uma solucao do sistema quando e solucao simultaneamente de cada umadas congruencias lineares que o compoem.

Considere que cada uma das congrencias que compoe o sistema tenha solucao x01, . . . , x0k

,respectivamente. As solucoes gerais sao x1

1 “ x01 ` n11, 1 P Z, . . . , x1

k “ x0k ` nk2, 2 P Z,

isto e, x1

1 ” x01 mod n1, . . . , x1

k ” x0k mod nk.

42



Podemos reescrever o sistema, sem perda de generalidade, da seguinte forma:$’’&’’%

x ” x01 mod n1

x ” x02 mod n2

. . .

x ” x0k mod nk

Exemplo:

" 6x ” 15 mod 213x ” 1 mod 5

, x01 “ 6 e x02 “ 2 6

" x ” 6 mod 21x ” 2 mod 5

PROPOSICAO 2.15 O sistema de congruencias

" x ” b1 mod n1

x ” b2 mod n2

tem soluc˜ ao se e somente

se mdcpn1, n2q | b1 ´ b2.

Alem disso, se x0 e uma soluc˜ ao do sistema e m

“mmc

pn1, n2

q ent˜ ao x1

”x0 mod m e a

soluc˜ ao geral do sistema.

Prova:

(Ñ) Se x0 e uma solucao do sistema entao existe t P Z tal que:

x0 “ b1 ` n1t e b1 ` n1t ” b2 mod n2 6 n1t ” b2 ´ b1 mod n2 sse mdcpn1, n2q | b2 ´ b1.

(Ð) Se mdcpn1, n2q | b2 ´ b1 entao a congruencia linear n1y ” b2 ´ b1 mod n2 admite umasolucao y0. Assim, b1 ` n1y0 ” b2 mod n2. E, b1 ` n1y0 ” b1 mod n1. Logo, b1 ` n1y0 esolucao do sistema.

Alem disso, se x0 e uma solucao do sistema, m “ mmcpn1, n2q e x1 indica uma solucaoqualquer, entao x0 ” b1 mod n1 e x1 ” b1 mod n1 6 x0 ” x 1 mod n1 6 n1 | x0 ´ x1. Analoga-mente, n2 | x0 ´ x1. Assim, m | x0 ´ x1 6 x0 ” x1 modm.

Exemplo:

" x ” 6 mod 21x ” 2 mod 5

, mdcp21, 5q “ 1 | 6 ´ 2 “ 4, x0 “ 27 e solucao do sistema e

mmcp21, 5q “ 105 .

Assim, x1

”27 mod 105 e a solucao geral.

COROLARIO 2.16 O sistema de congruencias

$’’&’’%x ” b1 mod n1

x ” b2 mod n2

. . .

x ” bk mod nk

tem soluc˜ ao se e somente

se mdcpni, n jq | bi ´ b j para quaisquer i, j “ 1, . . . , k com i ‰ j. Alem disso, se x0 e uma soluc˜ ao do sistema e m “ mmcpn1, n2, . . . , nkq ent˜ ao x1 ” x0 mod m e a soluc˜ ao geral dosistema.

43



TEOREMA 2.17 (Teorema Chines do Resto)

Sejam n1, n2, . . . , nk ą 1 tais que mdcpni, n jq “ 1, i, j “ 1, . . . , k, i ‰ j; m “ n1n2 . . . nk

e x1, . . . , xk, respectivamente, soluc˜ oes das congruencias lineares

m

n1 y ” 1 modn1

, . . . ,

m

nk y ” 1 modnk.

O sistema

$’’&’’%x ” b1 mod n1

x ” b2 mod n2

. . .

x ” bk mod nk

tem soluc˜ ao para quaisquer b1, b2, . . . , bk P Z com soluc˜ ao

geral dada por:

x1 ” m

n1

x1b1 ` . . . ` m

nk

xkbk mod m.

Prova: Pelo Corolario 2.16, o sistema tem solucao.Como mdcpni, n jq “ 1, i ‰ j, temos que mdcpni, m

niq “ 1.

Assim, cada congruencia linear mni

y ” 1 mod ni tem solucao xi, i “ 1, . . . , k.

m

ni

xi ” 1 modni 6m

ni

xibi ” bi mod ni

Se i ‰ j, mnj

” 0 modni 6 mnj

x jb j ” 0 modni.

Desta forma, para todo i “ 1, . . . , k,

mn1

x1b1 ` . . . ` mni

xibi ` . . . ` mnk

xkbk ” 0 ` . . . ` bi ` . . . ` 0 “ bi mod ni.

Entao, x0 “ mn1

x1b1 ` . . . ` mnk

xkbk e solucao do sistema

$’’&’’%x ” b1 mod n1

x ” b2 mod n2

. . .

x ” bk mod nk

.

Novamente, pelo Corolario 2.16, a solucao geral e x1 ” x0 mod m, isto e,

x1

” m

n1

x1b1`

. . .

` m

nk

xkbk mod m.

44



2.4.3 Um Exemplo Completo

Considere o sistema

$&%

2x ” 1 mod 54x ” 1 mod 75x

”9 mod 11

.

CL1: 2x ” 1 mod 5 6 mdcp2, 5q “ 1 | 1 6 2x ´ 5y “ 1 6 2p´2q ´ 5p´1q “ 1

Mas, ´2 ” 3 mod 5 entao 2 ¨ 3 ” 1 mod 5 6 3 e solucao.

Como d “ 1, 3 e a ´ unica solucao em um sistema completo de restos modulo 5.

CL2: 4x ” 1 mod 7 6 mdcp4, 7q “ 1 | 1 6 4x ´ 7y “ 1 6 4 ¨ 2 ´ 7 ¨ 1 “ 1

4 ¨ 2 “ 8 ” 1 mod 7 6 2 e a ´ unica solucao.

CL3: 5x ” 9 mod 11 6 mdcp5, 11q “ 1 | 9 6 5x ´ 11y “ 1 6 5p´2q ´ 11p´1q “ 1 6

5p´18q ´ 11p´9q “ 9.Mas, ´18 ” 4 mod 11 6 5 ¨ 4 “ 20 ” 9 mod 11 6 4 e solucao.

O sistema equivalente

$&% x ” 3 mod 5x ” 2 mod 7x ” 4 mod 11

ao sistema original tem solucao pois:

mdcp5, 7q “ 1 | 3 ´ 2,mdcp5, 11q “ 1 | 3 ´ 4 e mdcp7, 11q “ 1 | 2 ´ 4.

Pelo TCR, m

“5

¨7

¨11

“385 e considere as congruencias lineares:

385

5 y “ 77y ” 1 mod 5,

385

7 y “ 55y ” 1 mod 7 e

385

11 y “ 35y ” 1 mod 11.

Pelo AEE,

$&% 77 ¨ p´2q ´ 5p´31q “ 1 e ´2 ” 3 mod 5 6 77 ¨ 3 “ 231 ” 1 mod 555 ¨ p´1q ´ 7p´8q “ 1 e ´1 ” 6 mod 7 6 55 ¨ 6 “ 330 ” 1 mod 735 ¨ p´5q ´ 11p´16q “ 1 e ´5 ” 6 mod 11 6 35 ¨ 6 “ 210 ” 1 mod 11

sendo 3, 6 e 6 as solucoes respectivas.

Assim, a solucao geral do sistema e:

x ” 3 ¨ 3 ¨ 77 ` 2 ¨ 6 ¨ 55 ` 4 ¨ 6 ¨ 35 mod 385x ” 693 ` 660 ` 840 mod 385x ” 308 ` 275 ` 70 mod 385x ” 268 mod 385

De fato,

$&% 268 ” 3 mod 5 6 2 ¨ 268 “ 536 ” 1 mod 5268 ” 2 mod 7 6 4 ¨ 268 “ 1072 ” 1 mod 7268 ” 4 mod 11 6 5 ¨ 268 “ 1340 ” 9 mod 11

45



2.4.4 Exercıcios

1. Se mdcpa, nq “ 1 qual a cardinalidade do conjunto de solucoes da congruencia linearax ” bmodn?

2. Indique o conjunto solucao.

(a) 5x ” 2 mod 26

(b) 20x ” 7 mod 15

(c) 6x ” 15 mod 21

(d) 5x ” ´38 mod 7

3. Resolva os sistemas.

(a) $&%x ” 1 mod 3x

” 2mod

52x ” 3 mod 7

(b)

$&% x ” 3 mod 11x ” 5 mod 19x ” 10 mod 29

(c)

$&% x ” 3 mod 10x ” 11 mod 13x ” 15 mod 17

(d) $&%x ” 5 mod 7x

” ´1 mod 9

x ” 6 mod 10

(e)

$&% 7x ” 4 mod 57x ” 4 mod 87x ” 4 mod 9

4. Ache o menor inteiro a ą 2 tal que 2 | a, 3 | a ` 1, 4 | a ` 2 e 5 | a ` 3.

46



2.5 Anel dos Inteiros Modulo n

2.5.1 Definindo o Anel

Considere o anel rZ, `, ¨s, n ą 1 e a relacao de congruencia modulo n. A classe de equivalenciado elemento a P Z e o conjunto

a “ tx P Z; x ” amodnu “ tx P Z; n | x ´ au “ tx P Z; x ” amodnu.

O conjunto quociente de Z pela relacao de congruencia modulo n e

Z {”mod n “ Zn “ ta; a P Zu

e denominado conjunto dos inteiros modulo n.

OBSERVACAO 2.18 O conjunto dos m´ ultiplos de n e denotado por nZ “ tnk; k P Zu.

Assim, nZ` k “ tnk ` k; k P Zu com k P Z.

EXEMPLO 2.19 Seja n “ 7

. . . . . . ´13´7 ´6 ´5 ´4 ´3 ´2 ´1

0 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 2021 22 . . . . .

Z7 “ t 0, 1, . . . , 6 u“ t 7, 15, . . . , ´1 u“ t t7k; k P Zu, t7k ` 1; k P Zu, . . . , t7k ` 6; k P Zu u“ t 7Z, 7Z` 1, . . . , 7Z` 6 u

Podemos definir duas operacoes binarias em Zn, de adicao modulo n.

`n : Zn ˆZn Ñ Zn

px, yq ÞÑ x `n y “ x ` y

e de multiplicacao modulo n.

¨n : Zn ˆZn Ñ Zn

px, yq ÞÑ x ¨n y “ x ¨ y

47



EXEMPLOS 2.20

1. Considere Z4 e as tabelas das operacoes.

`4

0 1 2 3

0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

¨4

0 1 2 3

0 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

2. Seja Z5 e as tabelas das operacoes.

`5 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

¨5 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

PROPOSICAO 2.21 Considere o conjunto Zn dos inteiros m´ odulo n e as operac˜ oes de adic˜ aoe de multiplicac˜ ao.

1. `n possui as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento simetrico.

2. ¨n e associativa, comutativa, tem elemento neutro.

3.

¨n e distributiva em relac˜ ao a

`n.

4. `n e ¨n s˜ ao bem definidas ou independem da escolha de representac˜ ao, istoe, para quaisquer x, y , z , t P Z, se x “ z e y “ t ent˜ ao x `n y “ z `n

t e x ¨n y “ z ¨n t.

Prova:

1. Para quaisquer x, y , z P Z,

(assoc.) x `n py `n z q “ x `n y ` z “ x ` py ` z q “ px ` yq ` z “ x ` y `n z “px `n yq `n z

(comut.) x`

n y “

x`

y “

y`

x“

y`

n x

(EN) x `n 0 “ x ` 0 “ x

(ES) x `n n ´ x “ x ` pn ´ xq “ x ´ x ` n “ 0 ` n “ n “ 0

Assim, ´x “ n ´ x.

4. (para `n)

x “ z 6 x ” z mod n 6 n | x ´ z 6 x “ kn ` z , com k P Z.

y “ t 6 y “ n ` t, com P Z.

x `n y “ x ` y “ pkn ` z q ` pn ` tq “ kn ` n ` z ` t “ pk ` qn ` z ` t “

“ pk ` qn `n z `n t “¯0 `n z `n t “ z `n t

48



Como as operacoes estao bem definidas, Zn “ t0, 1, . . . , n ´ 1u e o conjunto das classesresiduais modulo n.

COROLARIO 2.22 rZn, `n, ¨ns e um anel comutativo com unidade denominado anel dos

inteiros m´ odulo n.

Observe que, o anel dos inteiros e um domınio mas o anel dos inteiros modulo n, em geral,nao e. Em Z12, 2 ¨12 6 “ 0 com 2 ‰ 0 e 6 ‰ 0.

PROPOSICAO 2.23 Considere o anel rZn, `n, ¨ns e x, y, z P Zn.

1. O elemento neutro da adic˜ ao e unico.

2. O elemento neutro da multiplicac˜ ao e unico.

3. O elemento simetrico e ´ unico.

4. x ¨n 0 “ 0 ¨n x “ 0.

5. ´1 ¨n x “ ´x “ ´x.

6. ´p´xq “ x.

7. ´px `n yq “ p ´xq `n pýq.

8. ´px ¨n yq “ p ´xq ¨n y “ x ¨n pýq.

9. x ¨n y “ p´xq ¨n pýq.

10. x ¨n py `n p´z qq “ x ¨n y `n x ¨n p´z q.

11. Se x `n y “ x `n z ent˜ ao y “ z .

12. Sejam a, b P Zn. A equac˜ ao a `n x “ b possui soluc˜ ao em Zn.

Prova:

5. ´1 ¨n x “ p´1qx “ ´x

Mas, x `n ´x “ x ` p´xq “ 0.

Assim, ´x “ ´x.

7. ´px `n yq “ ´ px ` yq “ n ´ px ` yq “ n ´ x ´ y “ pn ´ xq`pýq “ pn ´ xq`n ý ““ p´xq `n pýq.

49



2.5.2 Elementos Invertıveis do Anel Zn

Considere o anel rZn, `n, ¨ns. O elemento x P Zn, x ‰ 0 e invertıvel ou possui elementoinverso em Zn quando existe y P Zn tal que

x ¨n y “ y ¨n x “¯1.

Notacao: x´1

O conjunto de todos os elementos invertıveis em Zn e InvpZnq ou U pnq. Um elementoinvertıvel x e auto-inverso quando x´1 “ x.

PROPOSICAO 2.24 Sejam x, y, z P Zn, x ‰ 0.

1. Se x e invertıvel ent ao seu inverso e ´ unico.

2. Se x e invertıvel e x ¨n y “ x ¨n z ent˜ ao y “ z .3. Seja a, b P Zn com a invertıvel. A equac˜ ao a ¨n x “ b possui soluc˜ ao em Zn.

PROPOSICAO 2.25 O elemento x P Zn, x ‰ 0, e invertıvel se e somente se mdcpx, nq “ 1.

Prova:

(Ñ) Se x e invertıvel entao existe y P Zn tal que:

x ¨n y “ 1 6 xy ” 1 modn 6 n | xy ´ 1 6 xy ´ 1 “ kn com k P Z 6 xy ´ kn “ 1.

Entao, mdc

px, n

q |1 6 mdc

px, n

q “1.

(Ð) Se mdcpx, nq “ 1 entao existem k, P Z tais que:

xk`n “ 1 6 xk ` n “ 1 6 xk`n n “ 1 6 x ¨n k`n n¨n “ 1 6 x ¨n k`n 0 ¨n

“ 1 6

x ¨n k `n

0 “ 1 6 x ¨n k “ 1 6 x e invertıvel em Zn.

COROLARIO 2.26

1. |InvpZnq| “ φpnq.

2. Se n e primo ent ao todos os elementos de Zn ´t0u tem inverso.

3. Considere p ą 1 primo. O anel rZ p, p, ps e um corpo com p elementos.

PROPOSICAO 2.27 Os ´ unicos auto-inversos em Z p s˜ ao 1 e p ´ 1.

Prova:

Se a P Z p e auto-inverso entao a p a “ 1 6 aa “ a2 ” 1 mod p 6 p | a2´1 “ pa`1qpa´1q.

Como p e primo, p | a ` 1 ou p | a ´ 1.

Se p | a ` 1 6 a ` 1 ” 0 mod p 6 a ” ´1 ” p ´ 1 modp 6 a “ p ´ 1.

Analogamente, a ” 1modp 6 a “¯1.

50



2.5.3 Demonstrando os Teoremas de Wilson e de Euler

(Teorema de Wilson) Seja p P Z primo ent˜ ao p p ´ 1q! ” ´1 modp.

Prova:

Se p “ 2 ou p “ 3 6 1 ” ´1 mod 2 e 2 ” ´1 mod 3.

Seja p ě 5, o corpo Z p e o subconjunto A “ t2, 3, . . . , p ´ 2u.

Para todo x P A, x´1 P A com x ¨n x´1 “ 1 e xx´1 ” 1 mod p.

2 ¨ 3 ¨ . . . ¨ p p ´ 2q ” 1 modp 6 2 ¨ 3 ¨ . . . ¨ p p ´ 2q ¨ p p ´ 1q ” 1p p ´ 1q modp.

Assim, p p ´ 1q! ” p ´ 1 ” ´1 modp.

(Teorema de Euler) Sejam a, n P Z com n ą 1. Se mdcpa, nq “ 1 ent˜ ao aφpnq ” 1 mod n.

Prova:Seja A “ tx1, x2, . . . , xku com 1 ď xi ď n ´ 1 e mdcpxi, nq “ 1, i “ 1, . . . , k.

Seja a P Z tal que mdcpa, nq “ 1 e o conjunto aA “ tax1, ax2, . . . , a xkuOs elementos do conjunto aA sao congruentes aos elementos do conjunto A, ja que:

mdcpaxi, nq “ 1, i “ 1, . . . , k .

Elementos distintos de aA correspondem a elementos distintos de A, pois:

se axi ” ax j mod n entao xi ” x j modn, i, j “ 1, . . . , k .

Assim, ax1 ” x11 mod n, ax2 ” x1

2 mod n, . . . , axk ” x1

k mod n, sendo x1i P A, i “ 1, . . . , k.

ax1ax2 . . . axk ” x11

x12 . . . x1

k mod n 6

akx1x2 . . . xk ” x1x2 . . . xk mod n 6

Mas, mdcpx1x2 . . . xk, nq “ 1 e k “ φpnq.

Logo, aφpnq ” 1 modn.

2.5.4 Exercıcios


2. Para todo n ą 1, InvpZnq ‰ H?

3. Indique InvpZ6q,InvpZ10q e InvpZ12q.

4. Indique os inversos:

(a) 5 em Z6

(b) ¯2,

¯3 e

¯5 em Z7

51



(c) 3, 5 e 7 em Z8

(d) 199 em Z991

(e) 1951 em Z2431

5. Determine as solucoes da equacao x2

“1 em Z p.

6. Mostre que todo corpo e um domınio.

7. Resolva, usando inverso, as congruencias lineares:

(a) 3x ” 7 mod 23

(b) 5x ” 3 mod 19

8. Ache a solucao:

(a) 2142 ¨238 x “ 442

(b) 14 ¨77 x “ 21

9. Um elemento a P InvpZnq e uma raiz primitiva de InvpZnq quando todo elementode InvpZnq e igual a uma potencia de a. Quantas raızes primitivas InvpZ7q possui ?

2.6 Alguns Numeros Especiais

2.6.1 Numeros Triangulares

Sao os numeros da forma T n “ npn`1q2 .

n T pnq1 12 33 64 105 15

2.6.2 Fibonacci e LucasA sequencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . e denominada sequencia de Fibonacci e seus termos sao osnumeros de Fibonacci.

Os numeros de Fibonacci podem ser definidos por recorrencia da seguinte forma:

F n “"

1 n “ 1 ou n “ 2F n´1 ` F n´2 n ě 3

Ja a sequencia 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, . . . e denominada sequencia de Lucas e seus termos

sao os numeros de Lucas que podem ser definidos por:

52



Ln “$&

%

1 n “ 13 n “ 2Ln´1 ` Ln´2 n ě 3

2.6.3 Mersenne e Fermat

Seja n P Z, n ą 0. O n-esimo numero de Mersenne e M pnq “ 2n ´ 1 e o de Fermat eF pnq “ 22n ` 1.

n M pnq F pnq1 1 52 3 173 7 257

4 3 ¨ 5 655375 31 641 ¨ 67004176 32 ¨ 7 274177 ¨ 672804213107217 127 . . .

8 3 ¨ 5 ¨ 17 . . .

2.6.4 Numeros Perfeitos

Um numero n P Z, n ą 0, e perfeito quando e igual a metade da soma de seus divisores,isto e, σpnq “ 2n. Uma caracterizacao, um numero par n e perfeito se e somente se n “2

p´1

p2 p

´ 1q sendo 2 p

´ 1 um numero de Mersenne com p primo.

p P erf eito

2 63 285 4967 812813 3355033617 8589869056

2.7 Dicas para solucao de alguns exercıcios

• Ex. 7 da Subsecao 2.2.4

7 ” 7 mod 10, 72 ” 9 mod 10, 73 ” 3 mod 10 e 74 ” 1 mod 10

Assim, 7k ” 7, 9, 3, ou 1 mod 10 conforme k ” 1, 2, 3, ou 0 mod 4.

7 ” 3 mod 4 e 72 ” 1 mod 4.

Assim, 7 ” 1 ou 3 mod 10 conforme par ou ımpar.

Como 7 e ımpar, 77

”3 mod 4.

53



Entao, 777 ” 3 mod 10.

Logo, o algarismo da unidade e 3.

• Ex. 1 da Subsecao 2.3.3

p“ 5: 6p

p´ 4q! “ 6 ” 1

mod5

Pelo Teorema de Wilson, p p ´ 1q! ” ´1 modp ą 5 6

p p ´ 1qp p ´ 2qp p ´ 3qp p ´ 4q! ” p p ´ 1q modp 6

p p ´ 2qp p ´ 3qp p ´ 4q! ” 1 modp 6

p p2 ´ 5 p ` 6qp p ´ 4q! ” 1 modp

Mas, p p2 ´ 5 p ` 6q ” 0 ` 0 ` 6 “ 6 modp 6 p p2 ´ 5 p ` 6qp p ´ 4q! ” 6p p ´ 4q! ” 1 modp.

54



Capıtulo 3

Polinomios em uma Variavel

3.1 Anel de Polinomios

Considere rA, `, ¨s um anel comutativo com unidade e x um sımbolo de variavel denominadoindeterminada.

Um polinomio sobre A em uma indeterminada x e uma expressao na forma

f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm ` . . .

onde para todo i, ai P A e para todo j ą m, a j “ 0. Os elementos ai P A sao denominadosos coeficientes do polinomio f pxq.

Notacao: f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm

Dois polinomios f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm e gpxq “ b0 ` b1x ` . . . ` bnxn sao iguaisquando ai “ bi em A, para todo i.

O polinomio f pxq “ a0 ` 0x ` . . . ` 0xm e o polinomio constante. Em particular, opolinomio 0 “ 0 ` 0x ` . . . ` 0xm e o polinomio identicamente nulo sobre A.

Seja f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm um polinomio nao nulo com am ‰ 0 e para todoi ą m, ai “ 0. O grau de f pxq e m. O coeficiente am e denominado coeficiente lıder oudominante de f

px

q. Se am

“ 1, diz-se que f

px

q e um polinomio monico. Observe que,

nao esta definido o grau do polinomio nulo.

Notacao: B f pxq “ grf pxqConsidere A rxs o conjunto de todos os polinomios sobre A em uma indeterminada x,

f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm e gpxq “ b0 ` b1x ` . . . ` bnxn. Podemos definir duas operacoesbinarias.

Adicao de polinomios

` : A rxs ˆ A rxs Ñ A rxspf pxq, gpxqq ÞÑ f pxq ` gpxq “ c0 ` c1x ` . . . ` ckx

k

55



com k “ maxtm, nu e ci “ ai ` bi P A.

Multiplicacao de polinomios

¨ : A rxs ˆ A rxs Ñ A rxs

pf

px

q, g

px

qq ÞÑf

px

q.g

px

q “c0

`c1x

`. . .

`ckxk

com k “ m ` n e

c0 “ a0b0c1 “ a0b1 ` a1b0c2 “ a0b2 ` a1b1 ` a2b0

. . .

ck “ a0bk ` a1bk´1 ` . . . ` ak´1b1 ` akb0 “řk

i“0 aibkí

. . .

cm`n “

am

bn

PROPOSICAO 3.1 Considere o conjunto A rxs e as operac˜ oes de adic˜ ao e de multiplicac˜ aode polinˆ omios.

1. ` possui as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento simetrico.

2. ¨ e associativa, comutativa, tem elemento neutro.

3. ¨ e distributiva em relac˜ ao a `.

Prova: Para quaisquer apxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm,

bpxq “ b0 ` b1x ` . . . ` bnxn e

cpxq “ c0 ` c1x ` . . . ` cx P A rxs.

1. (assoc.) Seja t “ maxtm,n,u.

apxq ` pbpxq ` cpxqq “ apxq`p pb0 ` c0q ` pb1 ` c1qx ` . . . ` pbt ` ctqxtq ““ pa0 ` pb0 ` c0q q`pa1 ` pb1 ` c1qqx ` . . . ` pat ` pbt ` ctqqxt ““ ppa0 ` b0q ` c0q`p pa1 ` b1q ` c1qx ` . . . ` ppat ` btq ` ctqxt ““ ppa0 ` b0q ` pa1 ` b1qx ` . . . ` pat ` btqxtq ` cpxq ““ papxq ` bpxqq ` cpxq

(comut.) Seja t “ maxtm, nu.

apxq ` bpxq “ pa0 ` b0q ` pa1 ` b1qx ` . . . ` pat ` btqxt

“ pb0 ` a0q ` pb1 ` a1qx ` . . . ` pbt ` atqxt

“ bpxq ` apxq(EN) apxq ` 0 “ pa0 ` 0q ` pa1 ` 0qx ` . . . ` pam ` 0qxm “ apxq(ES) Considere ápxq “ á0 ´ a1x ´ . . . ´ amxm.

apxq`pápxq q “ pa0 ` pá

0q q`pa1 ` pá

1qqx ` . . . ` pam ` pámqqx

m

“ 0

56



3. Seja t “ maxtn, u e r “ maxtm ` n, m ` u.

apxqpbpxq ` cpxqq “ apxqppb0 ` c0q ` pb1 ` c1qx ` . . . ` pbt ` ctqxtq “ dpxq sendo

dk

“

k

ÿi“0

ai

pbkí

`ckí

q, k

“0, . . . , m

`t

apxqbpxq ` apxqcpxq “ epxq ` f pxq “ gpxq

ek “kÿ

i“0

aibkí, k “ 0, . . . , m ` n

f k “kÿ

i“0

aickí, k “ 0, . . . , m `

gk “ ek `f k “kÿ

i“0

aibkí `kÿ

i“0

aickí “kÿ

i“0

aipbkí ` ckíq, k “ 0, . . . , m a xtm`n, m` u

Como maxtm ` n, m ` u “ m ` maxtn, u “ m ` t, gk “ dk. l

COROLARIO 3.2 rA rxs , `, ¨s e um anel comutativo com unidade denominado anel dos po-

linomios sobre A em uma indeterminada x.

PROPOSICAO 3.3 Seja A um anel comutativo com unidade, o anel de polinˆ omios Arxs e f

px

q “ a0

à1x

`. . .

àmxm e g

px

q “ b0

`b1x

`. . .

`bnxn

P A

rx

s n˜ ao nulos tais que

B f pxq “ m e B gpxq “ n.

1. f pxq ` gpxq “ 0 ou Bpf pxq ` gpxqq ď maxtm, nu.

2. Bpf pxq ` gpxqq “ maxtm, nu quando m ‰ n.

3. f pxqgpxq “ 0 ou Bpf pxqgpxqq ď m ` n.

4. Se A e um domınio de integridade ent˜ ao:

(a)

Bpf

px

qg

px

qq “m

`n.

(b) InvpArxsq “ InvpAq.

(c) Arxs e um domınio de integridade.

Prova:

2. Considere que m ą n e f pxq ` gpxq “ hpxq “ řm

i“0 ci.

cm “ am ` bm “ am ` 0 “ am ‰ 0 e para todo i ą m, ci “ 0.

Assim, Bpf pxq ` gpxqq “ m “ maxtm, nu

57



4. (b) InvpAq Ď InvpArxsq, pois todo elemento invertıvel de A e um polinomio constanteem Arxs que tambem e invertıvel.

Seja f pxq P InvpArxsq 6 existe gpxq P Arxs tal que f pxqgpxq “ 1.

Bpf pxqgpxqq “ B 1 6 B f pxq ` B gpxq “ 0 6 B f pxq “ B gpxq “ 0 6 f pxq P A e gpxq P A.

Como f pxqgpxq “ 1, f pxq P InvpAq e InvpArxsq Ď InvpAq. l

Exemplo: Considere o anel Z4rxs. InvpZ4q ‰ InvpZ4rxsq, pois o polinomio 2x ` 1 de grau1 e invertıvel.

3.2 Divisibilidade e Divisao de Polinomios

Seja A um anel comutativo com unidade e apxq, bpxq P Arxs. O polinomio apxq divide opolinomio b

px

q quando existe c

px

q PA

rx

s tal que b

px

q “a

px

qc

px

q.

Notacao: apxq | bpxq

PROPOSICAO 3.4 Sejam apxq, bpxq, cpxq P Arxs. Ent˜ ao,

1. (Reflexiva) apxq | apxq.

2. (Transitiva) Se apxq | bpxq e bpxq | cpxq ent˜ ao apxq | cpxq.

3. Se apxq | bpxq ent˜ ao apxq | bpxqf pxq, para todo f pxq P Arxs.

4. Se apxq | bpxq e apxq | cpxq ent˜ ao apxq | bpxqf 1pxq`cpxqf 2pxq, para quaisquer f 1pxq, f 2pxq PArxs.

Dois polinomios apxq e bpxq P Arxs sao associados quando existe cpxq P InvpArxsq talque bpxq “ apxqcpxq.

PROPOSICAO 3.5 A relac˜ ao associado e de equivalencia.

Prova: Sejam apxq, bpxq, cpxq P Arxs. Entao,

(reflexiva) apxq e associado a apxq, pois apxq “ apxq 1.

(simetrica) Se apxq e associado a bpxq 6 bpxq “ apxqf pxq com f pxq P InvpArxsq.

bpxqf pxq´1 “ apxqf pxqf pxq´1 “ apxq 1 “ apxq 6 bpxq e associado a apxq.

(transitiva) Se apxq e associado a bpxq e bpxq e associado a cpxq 6 bpxq “ apxqf pxq ecpxq “ bpxqgpxq com f pxq, gpxq P InvpArxsq.

cpxq “ bpxqgpxq “ papxqf pxqqgpxq “ apxqpf pxqgpxqq, mas pf pxqgpxqq P InvpArxsq.Entao apxq e associado a cpxq. l

58



PROPOSICAO 3.6 Sejam A um anel comutativo com unidade, Arxs o anel de polinˆ omios e apxq “ a0 ` a1x ` . . . ` anxn e bpxq “ b0 ` b1x ` . . . ` bmxm P A rxs tal que bpxq ‰ 0e o coeficiente lıder de bpxq e invertıvel em A. Ent˜ ao existem ´ unicos polinˆ omios q pxq e rpxq P Arxs tais que

a

px

q “b

px

qq

px

q `r

px

qcom rpxq “ 0 ou B rpxq ă B bpxq.

Prova: (exist.)

Se apxq “ 0 entao q pxq “ rpxq “ 0.

Considere B apxq “ n e B bpxq “ m.

Se n ă m entao q pxq “ 0 e rpxq “ apxq.

Se m ď n entao considere o polinomio anb´1m xn´m P Arxs 6

apxq “ bpxqanb´1

m xn´m ` r1pxq

com r1pxq “ pan´1 ´ anbm´1b´1m qxn´1 ` . . . ` pan´m ´ anb0b´1

m qxn´m ` . . ..

Se r1pxq “ 0 ou B r1pxq ă m entao q pxq “ anb´1m xn´m e rpxq “ r1pxq.

Caso contrario, repita o processo para r1pxq e bpxq.

Considere r1pxq “ c0 ` c1x ` . . . ` cx com B r1pxq “ e m ď ď n ´ 1

e o polinomio cb´1m x´m P Arxs 6 r1pxq “ bpxqcb´1

m x´m ` r2pxq.

Assim,apxq “ bpxqpanb´1

m xn´m ` cb´1

m x´mq ` r2pxq.

Se r2pxq “ 0 ou B r2pxq ă m entao q pxq “ anb´1m xn´m ` cb´1

m x´m e rpxq “ r2pxq.

Caso contrario, repita o processo para r2pxq e bpxq.

Como B apxq ą B r1pxq ą B r2pxq ą . . ., apos k repeticoes obtemos rkpxq “ 0 ou B rkpxq ă m.

E, rpxq “ rkpxq.

(unic.) (RAA) Sejam q pxq ‰ q 1pxq e rpxq ‰ r1pxq tais que

apxq “ bpxqq pxq ` rpxq “ bpxqq

1

pxq ` r

1

pxqcom rpxq “ 0 ou B rpxq ă B bpxq e r1pxq “ 0 ou B r1pxq ă B bpxq.

Entao, bpxqpq pxq ´ q 1pxqq “ r1pxq ´ rpxqSe q pxq ´ q 1pxq ‰ 0 6 Bpr1pxq ´ rpxq q“B pbpxqpq pxq ´ q 1pxqqq.

Como bm P InvpAq, Bpbpxqpq pxq ´ q 1pxq q q“B bpxq`B pq pxq ´ q 1pxqq.

Assim, Bpr1pxq ´ rpxq q ą B bpxq.

Contradicao, pois Bpr1pxq ´ rpxqq ď maxtB rpxq, B r1pxq u ă B bpxq. l

59



COROLARIO 3.7 Sejam A um corpo, Arxs o anel de polinˆ omios e apxq, bpxq P A rxs tal que bpxq ‰ 0. Ent˜ ao existem ´ unicos polinˆ omios q pxq e rpxq P Arxs tais que

apxq “ bpxqq pxq ` rpxq

com rpxq “ 0 ou B rpxq ă B bpxq.

EXEMPLOS 3.8

1. Usando o algoritmo para calcular o quociente e o resto da divisao de f pxq “ 2x5 `x4´5x3 ` x2 ` 1 por gpxq “ x3 ´ x2 ` x em Zrxs, obtemos:

2x5 ` x4 ´ 5x3 ` x2 ` 1 x3 ´ x2 ` x

3x4 ´ 7x3 ` x2 ` 1 2x2 ` 3x ´ 4

´4x3

´2x2

`1

´6x2 ` 4x ` 1

Assim, 2x5 ` x4 ´ 5x3 ` x2 ` 1 “ px3 ´ x2 ` xqp2x2 ` 3x ´ 4q`p´6x2 ` 4x ` 1q.

2. Usando o algoritmo para calcular o quociente e o resto da divisao de f pxq “ x3´1x2´1x ` 1 por gpxq “ x2 ` 3x ´ 5 em Z7rxs, obtemos:

x3 ´ 1x2 ´ 1x ` 1 x2 ` 3x ´ 5

´4x2

`4x

`1 x

´4

2x ` 2

Entao, x3 ´ 1x2 ´ 1x ` 1 “ px2 ` 3x ´ 5qpx ´ 4q ` p2x ` 2q.

Considere o polinomio f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` anxn e um elemento a P A. Denomina-sevalor que f pxq assume em a ou valor de f pxq quando se substitui x por a ao elementof paq “ a0 ` a1a ` . . . ` anan P A.

Um elemento a P A e uma raiz do polinomio f pxq em A quando f paq “ 0.

PROPOSICAO 3.9 Seja A um domınio e f pxq P Arxs. Ent˜ ao a P A e uma raiz de f pxq se, e somente se, px ´ aq | f pxq.

Prova:

pÑq Seja a P A uma raiz de f pxq.

f pxq “ px ´ aqq pxq ` rpxq com rpxq “ 0 ou B rpxq ă B px ´ aq “ 1.

Assim, B rpxq “ 0 6 rpxq “ 0 e um polinomio constante.

Substituindo a na equacao acima, f paq “ pa´aqq paq`rpaq 6 0 “ 0q paq`rpaq 6 rpaq “ 0.

60



Portanto, f pxq “ px ´ aqq pxq 6 px ´ aq | f pxq.

pÐqpx ´ aq | f pxq 6 f pxq “ px ´ aqgpxq, gpxq P Arxs 6 f paq “ pa ´ aqgpaq “ 0gpaq “ 0.l

Diz-se que a e uma raiz de multiplicidade m ě 1 quando px ´ aqm e a maior potencia

de px ´ aq que divide f pxq. Uma raiz e simples quando m “ 1 e multipla se m ą 1.

PROPOSICAO 3.10 Seja A um domınio. Todo polinˆ omio n˜ ao nulo f pxq P Arxs tem nom´ aximo B f pxq “ n raızes em A.

Prova: (inducao em n)

(base) Se n “ 0, o a proposicao e imediata e o polinomio nao admite raiz em A.

(passo) (HI) Supor que a proposicao vale para todo polinomio nao nulo de Arxs de graun

´1

ě0.

Se f pxq nao possui raiz em A, esta provado.

Seja b P A uma raiz, entao existe gpxq P Arxs tal que f pxq “ px ´ bqgpxq.

Qualquer outra raiz de f pxq e tambem raiz de gpxq, pois:

c ‰ b, f pcq “ 0 6 f pcq “ pc ´ bqgpcq “ 0 6 gpcq “ 0

Como B gpxq “ n ´ 1 e pela (HI), o numero de raızes de gpxq e menor ou igual a n ´ 1.

Entao o numero de raızes de f pxq e menor ou igual a n ´ 1 ` 1 “ n. l

EXEMPLO 3.11 Seja o anel comutativo com unidade ZˆZ com as operac˜ oes

pa, bq ` pc, dq “ pa ` c, b ` dq e pa, bq ¨ pc, dq “ pac, bdq.

O polinˆ omio f pxq “ p1, 0qx2 possui infinitas raızes, pois qualquer elemento do conjuntotp0, aq, a P Zu e raiz de f pxq em ZˆZ.

COROLARIO 3.12 Seja A um domınio infinito e f pxq, gpxq P Arxs. Ent˜ ao f pxq “ gpxq se e somente se f paq “ gpaq, para todo a P A.

Prova:

pÑq Pela definicao de igualdade de polinomios.

pÐq Seja hpxq “ f pxq ´ gpxq 6 hpaq “ 0, para todo a P A 6 hpxq “ 0 e f pxq “ gpxq. l

OBSERVACAO 3.13 Polinˆ omios e func˜ oes polinomiais.

Para cada ppxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm P Arxs e possıvel definir a func˜ ao f p : A Ñ A tal que f ppaq “ ppaq “ a0 ` a1a ` . . . ` amam denominada func˜ ao polinomial definida por

pp

xq

sobre A.

61



Pelo Corol´ ario 3.12, se A e um domınio infinito ent ao existe uma correspondencia biunıvoca,isto e, uma bijec˜ ao entre o conjunto dos polinˆ omios e o conjunto das func˜ oes polinomiais.

Observe que, para o corpo finito Z5 e o anel Z5rxs, o polinˆ omio ppxq “ x5 ´ x de grau 5 e o polinˆ omio nulo est˜ ao associados a func˜ ao polinomial nula, j´ a que f p : Z5 Ñ Z5 tal que

f ppaq “ ppaq “ a

5

´ a “¯0 pois a

5

” amod 56

a

5

´ a ” 0 mod 5.

3.3 Anel de Polinomios sobre um Corpo

Nessa secao vamos considerar K um corpo e o anel de polinomios K rxs.

3.3.1 Maximo Divisor Comum

Sejam a

pxq

, bp

xq P

K rxs. O polinomio

dp

xq P

K rxs e um maximo divisor comum de

ap

xqe bpxq quando:

Mdc1. dpxq | apxq e dpxq | bpxq.

Mdc2. Se existe cpxq P K rxs tal que cpxq | apxq e cpxq | bpxq entao cpxq | dpxq.

PROPOSICAO 3.14 Quaisquer m´ aximos divisores comuns s˜ ao associados.

O polinomio monico dentre os maximos divisores comuns associados de apxq e de bpxq e de-

notado por mdcpapxq, bpxqq. Se mdcpapxq, bpxqq “ 1 entao apxq e bpxq sao ditos polinomiosprimos entre si ou co-primos.

PROPOSICAO 3.15 Considere K um corpo, o anel de polinˆ omio K rxs e f pxq, gpxq, hpxq PK rxs polinˆ omios n˜ ao nulos. Ent˜ ao:

1. mdcpf pxq, gpxqq “ mdcpgpxq, rpxqq, sendo rpxq o resto da divis˜ ao euclidiana de f pxqpor gpxq.

2. Existem k1pxq, k2pxq P K rxs tais que mdcpf pxq, gpxqq “ k1pxqf pxq ` k2pxqgpxq.

3. Se f pxq | gpxqhpxq e mdcpf pxq, gpxqq “ 1 ent˜ ao f pxq | hpxq.

Prova:

3. Pelo item 2, existem k1pxq, k2pxq P K rxs tais que

1 “ k1pxqf pxq ` k2pxqgpxq 6 hpxq “ k1pxqf pxqhpxq ` k2pxqgpxqhpxq.

f pxq | f pxq 6 f pxq | k1pxqf pxqhpxq e f pxq | gpxqhpxq 6 f pxq | k2pxqgpxqhpxq.

Logo, f p

xq |

k1

pxq

f p

xq

hp

xq `

k2

pxq

gp

xq

hp

xq6 f

pxq |

hp

xq. l

62



EXEMPLO 3.16

mdcpx4 ` x3 ´ 1, x2 ` 1q “ 1 “ xpx4 ` x3 ´ 1q`p´x3 ´ x2 ` x ` 1qpx2 ` 1q em Rrxs.

rpxq q pxq kpxq pxqx4

` x3

´ 1 ´ 1 0x2 ` 1 ´ 0 1´x x2 ` x ´ 1 1 ´x2 ´ x ` 1

1 ´x x ´x3 ´ x2 ` x ` 1

3.3.2 Polinomios Irredutıveis

Um polinomio ppxq P K rxs nao constante e irredutıvel sobre K ou e irredutıvel emK rxs quando para quaisquer f pxq, gpxq P K rxs tais que ppxq “ f pxqgpxq entao f pxq oug

px

q PInv

pK

rx

sq “K

´ t0

u, isto e, f

px

q ou g

px

qe um polinomio constante.

Um polinomio nao constante e nao irredutıvel, chama-se redutıvel ou composto.

EXEMPLOS 3.17

1. x2 ´ 2 e irredutıvel sobre Q, mas redutıvel sobre R, pois x2 ´ 2 “ px ´ ? 2qpx ` ?

2q.

2. x4 ´ 4 e redutıvel sobre Q j´ a que x4 ´ 4 “ px2 ´ 2qpx2 ` 2q.

3. x3 ´ 1 e redutıvel sobre R, pois x ´ 1 | x3 ´ 1.

4. x

2

` 1 e irredutıvel sobre R, mas redutıvel sobre C.5. 8x2 ` 4 “ 4p2x2 ` 1q “ 4p?

2x ` iqp? 2x ´ iq e redutıvel sobre o domınio Z, irredutıvel

sobre R e redutıvel sobre C.

6. x2 ` 1 “ px ` 1q2 e redutıvel sobre Z2.

7. x2 ` 2x ` 2 P Z3rxs e irredutıvel pois n ao possui raızes em Z3. Observe que,

x x2 ` 2x ` 20 0 ` 0 ` 2 “ 21 1

`2

`2

“2

2 1 ` 1 ` 2 “ 1

PROPOSICAO 3.18

1. Todo polinˆ omio de grau 1 e irredutıvel sobre K .

2. Seja ppxq P K rxs irredutıvel sobre K e u P K , u ‰ 0. Ent˜ ao uppxq e irredutıvel sobre K .

3. Sejam ppxq, gpxq, hpxq P K rxs com ppxq irredutıvel sobre K . Se ppxq | gpxqhpxq ent˜ ao

ppxq | gpxq ou ppxq | hpxq.

63



Prova:

3. Supor que ppxq gpxq 6 mdcp ppxq, gpxqq “ 1 6 1 “ kpxq ppxq ` pxqgpxq 6hpxq “ kpxq ppxqhpxq ` pxqgpxqhpxq, mas ppxq | kpxq ppxqhpxq e ppxq | pxqgpxqhpxq 6

ppxq | hpxq. l

3.3.3 Fatoracao Unica

PROPOSICAO 3.19 Todo polinˆ omio f pxq P K rxs n˜ ao constante pode ser escrito na forma

f pxq “ up1pxq . . . pmpxqonde u P K , u ‰ 0 e pipxq e irredutıvel sobre K , i “ 1, . . . , m. Alem disso, essa express˜ ao e ´ unica a menos da constante u e da ordem dos polinˆ omios p1pxq, . . . , pmpxq.

Prova: (exist.) Se f pxq e irredutıvel entao a fatoracao e trivial.

Seja B f pxq “ n e vamos fazer inducao em n.

(base) Se n “ 1 entao, pela Proposicao 3.18 Item 1, o polinomio e irredutıvel.

(passo) (HI) Supor que a propriedade e valida para os polinomios de grau 1 ď k ă n.

Como f pxq e redutıvel, f pxq “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P K rxs e 1 ď B gpxq, B hpxq ă n.

Pela (HI), gpxq “ u1 p1pxq . . . ptpxq e

hpxq “ u2 pt`1pxq . . . pt`spxqcom u1, u2 P K ´ t0u e pipxq irredutıveis sobre K , i “ 1, . . . , t ` s.

Assim, f pxq “ u1 p1pxq . . . ptpxqu2 pt`1pxq . . . pt`spxq ““ u1u2 p1pxq . . . ptpxq pt`1pxq . . . pt`spxq ““ up1pxq . . . ptpxq pt`1pxq . . . pmpxq

com m “ t ` s.

(unic.) (RAA) Supor f pxq “ up1pxq . . . ptpxq “ u1q 1pxq . . . q spxq com u, u1 P K nao nulos

e pipxq, q jpxq P K rxs polinomios irredutıveis em K , i “ 1, . . . , t e j “ 1, . . . , s.

Se t “ 1 6 s “ 1 e p1pxq e associado a q 1pxq.

Se t ą 1, p1pxq | q 1pxq . . . q spxq 6 p1pxq | q kpxq com k “ 1, . . . , s.

Como p1pxq e q kpxq sao irredutıveis, sao associados 6 q kpxq “ u1 p1pxq com u1 P K ´ t0u.

up1pxq . . . ptpxq “ u1q 1pxq . . . q k´1pxqu1 p1pxqq k`1pxq . . . q spxq.

up2pxq . . . ptpxq “ u1q 1pxq . . . q k´1pxqu1q k`1pxq . . . q spxq “ u1u1q 1pxq . . . q k´1pxqq k`1pxq . . . q spxq.

Repetindo o processo, u “ u1u1 . . . utq t`1pxq . . . q spxq.

Assim, 1 “ vq t`1pxq . . . q spxq com v P K ´ t0u.

Entao, t “ s e os fatores irredutıveis sao os mesmos a menos da ordem e de constantes de

64



K ´ t0u. l

EXEMPLOS 3.20

1. x

2

´ 2 “ px ´ ? 2qpx ` ? 2q e uma fatorac˜ ao em irredutıveis em Rrxs.2. x4 ´ 4 “ px2 ´ 2qpx2 ` 2q n˜ ao e uma fatorac˜ ao em irredutıveis em Rrxs.

3. x3 ´ 1 “ px ´ 1qpx2 ` x ` 1q e uma fatorac˜ ao em irredutıveis em Rrxs.4. 8x2`4 “ 4p2x2`1q “ 4p?

2x` iqp? 2x´ iq, a primeira fatorac˜ ao n˜ ao e em irredutıveis

em Crxs, mas a segunda e.

5. x2 ` 1 “ px ` 1q2 e uma fatorac˜ ao em irredutıveis em Z2rxs.

3.3.4 Criterios de Irredutibilidade

PROPOSICAO 3.21 Seja f pxq P K rxs tal que B f pxq “ 2 ou 3. Ent˜ ao f pxq e redutıvel sobre K se e somente se f pxq tem raiz em K .

Prova:

pÑq Se f pxq e redutıvel sobre K entao f pxq “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P K rxs e 1 ďB gpxq, B hpxq ă B f pxq “ 2 ou 3.

Assim, gpxq ou hpxq tem grau 1.

Supor gpxq “ a1x ` a0 6 a´11 gpxq “ a´1

1 pa1x ` a0q “ x ` a0a´11 .

Entao, a´1

1 gpá0a´1

1 q “ á0a´1

1 ` a0a´1

1 “ 0 6 gpá0a´1

1 q “ 0.

Logo, f pxq tem raiz em K .

pÐq Seja a P K uma raiz de f pxq. Pela Proposicao 3.9, x á | f pxq 6 f pxq “ pxáqgpxq.Logo, f pxq e redutıvel sobre K . l

EXEMPLO 3.22 Observe que, o criterio apresentado na proposic˜ ao anterior n˜ ao e adequadopara polinˆ omios com grau 4.

O polinˆ omio f pxq “ x4 ` 3x

2 ` 2 “ px2 ` 1qpx

2 ` 2q redutıvel sobre R, n˜ ao possui raızes em R.

O Lema de Gauss simplifica a analise da irredutibilidade em Qrxs para a da irredutibili-dade em Zrxs. Seja f pxq P Qrxs, existe a P Z tal que af pxq P Zrxs. Se af pxq e irredutıvelsobre Z entao af pxq e irredutıvel sobre Q e, consequentemente, f pxq e irredutıvel sobre Q.

PROPOSICAO 3.23 (Lema de Gauss) Se f pxq P Zrxs e irredutıvel sobre Z, ent˜ ao f pxq e irredutıvel sobre Q.

65



Prova: (RAA) Supor f pxq P Zrxs um polinomio irredutıvel sobre Z mas redutıvel sobrre Q.

f pxq “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P Qrxs com 1 ď B gpxq, B hpxq ă B f pxq.

Existe a P Z tal que

af pxq “ g1pxqh1pxq “m`n

ÿk“0ckx

k

com g1pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` amxm P Zrxs e h1pxq “ b0 ` b1x ` . . . ` bnxn P Zrxs.

Seja p P Z primo tal que p | a 6 a “ pk com k P Z.

A ideia e mostrar que p divide todos os coeficiente de g1pxq ou todos os de h1pxq.

(RAA) Se existe ai tal que p ai e existe b j tal que p b j com i “ 1, . . . , m e j “ 1, . . . , n

sendo os menores possıveis entao

p

|ci j

“a0bi j

`. . .looooomooooon p| `

aib j

`. . .

`ai jb0looooomooooon p|

6 p

|aib j 6 p

|ai ou p

|b j

Contradicao.

Logo, p | ai ou p | b j, i “ 1, . . . , m e j “ 1, . . . , n.

Supor que p | ai, i “ 1, . . . , m.

Assim, g1pxq “ pg2pxq com g2pxq P Zrxs.

af pxq “ g1pxqh1pxq 6 pkf pxq “ pg2pxqh1pxq 6 kf pxq “ g2pxqh1pxqComo o numero de fatores primos de a e finito, temos f

px

q “g1

px

qh1

px

qcom g 1

px

q, h1

px

q PZrxs.Contradicao.

Logo, f pxq P Zrxs e irredutıvel sobre Z e irredutıvel sobre Q. l

EXEMPLO 3.24 Considere o polinˆ omio f pxq “ x3 ´ x2 ´ x ´ 1.

Se f pxq e redutıvel em Zrxs, temos que x3 ´ x2 ´ x ´ 1 “ pax ` bqpcx2 ` dx ` eq.

Assim, ac “ 1 e be “ ´1 6 a, b “ ˘1 6 ˘1 deve ser raiz de f pxq.

Mas, f

p1q “

f

p´1q “ ´

2‰

0. Contradic˜ ao.

Logo, f pxq irredutıvel sobre Z e irredutıvel sobre Q.

O Criterio de Eisenstein trata da irredutibilidade em Zrxs.

PROPOSICAO 3.25 (Criterio de Eisenstein) Seja f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` anxn P Zrxs.Suponhamos que exista um primo p tal que:

1. p an

2. p | a0, a1, . . . , an´1

66



3. p2 a0.

Ent˜ ao f pxq e irredutıvel sobre Z (e sobre Q).

Prova: (RAA) Supor f pxq redutıvel sobre Z, isto e, f pxq “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P Zrxse 1 ď B gpxq, B hpxq ă n.

gpxq “ b0 ` b1x ` . . . ` brxr P Zrxs com B gpxq “ r e

hpxq “ c0 ` c1x ` . . . ` csxs P Zrxs com B hpxq “ s.

Assim, n “ r ` s e a0 “ b0c0.

Por hipotese, p | a0 “ b0c0 6 p | b0 ou p | c0 e p2 a0.

Entao p deve dividir apenas um dos inteiros b0 ou c0.

Supor p | b0 e p c0.

Por hipotese, p an “ brcs 6

p br e p | b0. Entao, existe 1 ď i ď r ă n tal que bi e oprimeiro coeficiente de gpxq tal que p bi.

Mas, ai “ b0ci ` b1ci´1 ` . . . ` bi´1c1 ` bic0.

E, p | b0, b1, . . . , bi´1, p bi e p c0.

Entao p ai, com 1 ď i ď r ă n. Contradicao.

Logo, f pxq e irredutıvel sobre Z. l

EXEMPLOS 3.26

1. Seja ppxq “ x3

` 2x ` 10. O Criterio de Eisenstein se aplica para o primo p “ 2,portanto ppxq e irredutıvel sobre Q.

2. Seja ppxq “ xn ´ p, com p um primo qualquer e n ě 1. Ent˜ ao o pr´ oprio primo p se aplica ao Criterio de Eisenstein, e portanto ppxq e irredutıvel sobre Q.

PROPOSICAO 3.27 Sejam f pxq “ a0`a1x` ...`anxn P Zrxs, p um n´ umero primo e o corpoZ p “ t0, 1,...,p ´ 1u. Seja f pxq “ a0 ` a1x ` ... ` anxn, com a0, a1,...,an P Z p. Se p an e f pxq e irredutıvel sobre Z p ent˜ ao f pxq e irredutıvel sobre Q.

Prova: (RAA) Supor f

px

q redutıvel sobre Q.

Pelo Lema de Gauss, f pxq e redutıvel sobre Z.

f pxq “ gpxqhpxq com gpxq “ b0`b1x` ...`brxr P Zrxs e hpxq “ c0`c1x` ...`csxs P Zrxscom B gpxq “ r, B hpxq “ s, 1 ď r, s ă n.

f pxq “ gpxqhpxq com gpxq, hpxq P Z prxs. p an “ brcs 6 p br e p cs 6 br ‰ 0 e cs ‰ 0 em Z p.

Assim, B gpxq “ r, B hpxq “ s.

Entao, f pxq e redutıvel sobre Z p. Contradicao.

Logo, f pxq e irredutıvel sobre Q. l

67



EXEMPLO 3.28 Seja f pxq “ x4 ` 10x3 ` 15x2 ` 5x ` 12 P Zrxs e p “ 5.

f pxq “ x4 ` 2 e 5 1.

f pxq n˜ ao possui raızes em Z5.

x x4 ` 20 0 ` 2 “ 21 1 ` 2 “ 32 1 ` 2 “ 33 1 ` 2 “ 34 1 ` 2 “ 3

Alem disso, f pxq n˜ ao pode ser fatorado como dois polinˆ omios de grau 2.

Ent˜ ao, f pxq e irredutıvel sobre Z5. Logo, f pxq e irredutıvel sobre Q.

3.3.5 Corpo Algebricamente Fechado

Um corpo K e chamado algebricamente fechado quando todo polinomio f pxq P K rxs naoconstante admite pelo menos uma raiz em K .

TEOREMA 3.29 (Teorema Fundamental da ´ Algebra) C e algebricamente fechado.

COROLARIO 3.30 Seja K um corpo algebricamente fechado e f pxq P K rxs tal que B f pxq “ n.

Ent˜ ao f pxq “ upx ´ a1q . . . px ´ anq com u P K , u ‰ 0 e ai P K , i “ 1, . . . , n, s˜ ao as raızes de f pxq em K .

PROPOSICAO 3.31 Seja f pxq P Rrxs de grau 2. Se α P C e raiz de f pxq ent˜ ao α tambem e.

EXEMPLOS 3.32

1. R n˜ ao e algebricamente fechado pois x2 ` 1 n˜ ao tem raızes em R.

2. Um corpo finito K “ t0, 1, a3, . . . , atu n˜ ao e algebricamente fechado pois o polinˆ omio

f pxq “ xpx ´ 1qpx ´ a3q . . . px ´ atq ` 1 n˜ ao tem raızes em K .

3.4 Exercıcios


2. Quantos polinomios de grau 4 existem em Z3rxs?3. Existe ppxq P Rrxs tal que ppxq2 “ x3 ` x ` 1?

4. Sendo A um anel com unidade e a, b P InvpAq. Mostre que:

68



(a) Se o elemento inverso existir, e unico.

(b) Para quaisquer x, y P A, se ax “ ay entao x “ y.

(c) pa´1q´1 “ a.

(d)

pab

q´1

“b´1a´1.

5. O polinomio ppxq “ x nao e invertıvel qualquer que seja o anel comutativo com unidade(domınio ou corpo) A?

6. Indique o conjunto InvpZ4rxsq.

7. Encontre um polinomio inversıvel nao constante em Z8rxs.

8. A funcao polinomial f : Z5 Ñ Z5 tal que f puq “ u2 ´ u ` 1 esta associada um unicopolinomio ?

9. Determine n para que x2

`2

|x5

´10x

`12 em Zn

rx

s.

10. Determine:

(a) a para que x ` 3 | 4x3 ´ 6x ` a em Z7rxs.

(b) a, b e c para que x3 ´ 5x2 ` 6x | 3x4 ` ax3 ` 6x2 ` bx ` c em Qrxs.

(c) a e b para que px ´ 1q2 | x5 ` ax4 ` bx3 ` bx2 ` 10x ` 1 em Rrxs.11. Determine q pxq e rpxq para:

(a) apxq “ x3 ` x2 ´ 1 e bpxq “ x2 ´ 1 em Zrxs.

(b) apxq “ x10

´ x e bpxq “ x4

` x3

` 4x2

` x em Z17rxs.(c) apxq “ 4x4 ´ 6x ` 2 e bpxq “ x2 ´ 1 em Rrxs.

12. mdcpxm ´ 1, xn ´ 1q “ xmdcpm,nq ´ 1 em K rxs?

13. Determine todos os maximos divisores comuns de x2 ` 1 e de x3 ` x em Z3rxs.

14. Determine mdc, kpxq e pxq para:

(a) apxq “ x4 ´ x2 ` 1 e bpxq “ x3 ` x2 ` x ` 1 em Z5rxs.

(b) a

px

q “x4

`x3

`x

`1 e b

px

q “2x

`2 em Q

rx

s.

15. Determine todos os polinomios irredutıveis de grau 2 de Z2rxs.

16. Fatore, se possıvel, os polinomios:

(a) x2 ` 1, x3 ´ x ` 1 em Z3rxs.

(b) x4 ´ x3 ´ x2 ´ x ´ 1 em Z3rxs.

(c) x4 ´ 5x2 ` 6 em Qrxs.(d) x4 ´ 5x2 ` 6 em Qr?

2srxs.

(e) x4

´5x2

`6 em R

rx

s.

69



17. Seja α P K , ppxq “ a0 ` a1x ` ... ` anxn P K rxs e a divisao euclidiana ppxq “px ´ αqq pxq ` rpxq. Entao rpxq “ f pαq.

18. (Briot-Ruffini) Para a questao anterior, indique os coeficientes do polinomio q pxq.

19. Dados elementos α1, . . . , α

n PK

, dois a dois distintos, e elementos quaisquer β 1, . . . , β

n PK . Determinar um polinomio f pxq de grau menor ou igual a n ´ 1 tal que f pαiq “ β i,para i “ 1, . . . , n.

Solucao: Queremos um polinomio f pxq “ a0 ` a1x ` . . . ` an´1xn´1 com f pαiq “ β i.Entao temos um sistema com n equacoes e n incognitas a0, a1, . . . , an´1 que possui pelomenos uma solucao e esta solucao e unica, pois se gpxq e outro polinomio com essapropriedade, f pxq´gpxq tem grau menor ou igual a n ´1 e n raızes α1, . . . , αn. Assim,f pxq ´ gpxq “ 0. Entao f pxq “ gpxq.

Para j “ 1, . . . , n, vamos definir os polinomios de grau n ´ 1:

f jpxq “ px ´ α1q . . . {px ´ α jq . . . px ´ αnqpα j ´ α1q . . . pα j ´ α j´1qpα j ´ α j`1q . . . pα j ´ αnq

O sımbolo {px ´ α jq significa que o termo px ´ α jq deve ser omitido.Entao,

f jpαiq “ δ ij

Sendo δ ij o sımbolo de Kronecker: δ ij “ 0 se i ‰ j e δ ij “ 1, caso contrario.

O polinomio f pxq “ β 1f 1pxq`. . .`β nf npxq e denominado polinomio de interpolacaode Lagrange, sendo que B f pxq ď n ´ 1 e f pαiq “ β i.

Exemplificar:

20. Determinar em Z13rxs o polinomio f pxq de grau menor ou igual a 5 tal que f p1q “ 2,f p2q “ 0, f p3q “ 3, f p4q “ 7 e f p5q “ 6.

21. Os polinomios irredutıveis em Rrxs sao os de grau 1 e os de grau 2 com discriminantenegativo?

22. Determine quais dos seguintes polinomios sobre os seguintes corpos K sao irredutıveis:

(a) x7 ` 22x3 ` 11x2 ´ 44x ` 33, K “ Q.

(b) x3

´ 7x2

` 3x ` 3, K “ Q.(c) x4 ` 5, K “ Z17.

(d) x3 ´ 5, K “ Z11.

(e) x4 ` 7, K “ Z17.

23. Determine quais dos seguintes polinomios sao irredutıveis sobre Q:

(a) x4 ` 2x3 ` 2x2 ` 2x ` 2.

(b) x7 ´ 31.

(c) x

6

` 15.

70



(d) x3 ` 6x2 ` 5x ` 25.

(e) x4 ` 8x3 ` x2 ` 2x ` 5.

(f) x4 ` 10x3 ` 20x2 ` 30x ` 22.

(g) x3

´x

`1.

(h) x3 ´ 2x2 ` x ` 15.

(i) x4 ´ 2.

(j) x3 ` 2x ` 10.

(k) x4 ` 2.

(l) x4 ´ x ` 1.

(m) x4 ` 5x3 ` 2x2 ´ 12x ` p113! ` 1q.

3.5 Solucao de Equacoes Algebricas por Radicais

Uma equacao algebrica ou equacao polinomial sobre um corpo K e uma equacao daforma f pxq “ gpxq com f pxq, gpxq P K rxs.

3.5.1 Grau 2

Considere a2x2 ` a1x ` a0 “ 0.

A solucao e dada por

x “ ´a1 ˘a

a21 ´ 4a2a0

2a2

.

3.5.2 Grau 3

Considere a3x3 ` a2x2 ` a1x ` a0 “ 0 e a mudanca de variavel: x “ y ` k

a3py ` kq3 ` a2py ` kq2 ` a1py ` kq ` a0 “ 0 6

a3y3 ` p3a3k ` a2qy2 ` p3a3k2 ` 2a2k ` a1qy ` pa3k3 ` a2k2 ` a1k ` a0q “ 0

Anulando o termo de grau 2, temos: 3a3k ` a2 “ 0 6 k “ ´ a2

3a3

.

Dividindo toda a equacao por a3,

y3 ` 1

a3

p3a3k ` a2qy2 ` 1

a3

p3a3k2 ` 2a2k ` a1qy ` 1

a3

pa3k3 ` a2k2 ` a1k ` a0q “ 0

71



Substituindo k por ´ a2

3a3

,

y3` 1

a3

ˆ´3a3

a2

3a3` a2

˙y2`

1

a3

ˆ3a3

a22p3a3q2

´ 2a2a2

3a3` a1

˙y`

1

a3

ˆá3

a32p3a3q3

` a2a22

p3a3q2 ` a1

a2

3a3` a0

˙“

y3 ` 0y2 ` 1

a3

ˆ´ a2

2

3a3

` a1

˙y ` 1

a3

ˆ´ a3a3

2

p3a3q3 ` a3

2

p3a3q2 ` a2a1

3a3

` a0

˙“ 0

Considere a “ 1

a3

´´ a2

2

3a3` a1

¯ e b “ 1

a3

´´ a3a3

2

p3a3q3 ` a3

2

p3a3q2 ` a2a1

3a3` a0

¯.

Assim, y3 ` b1y ` b0 “ 0.

Supondo que a solucao desta equacao seja uma soma, y “ c ` d.

Entao, y3 “ pc ` dq3 “ c3 ` d3 ` 3cdpc ` dq “ c3 ` d3 ` 3cdy.

Mas y3 “ ´b1y ´ b0.

´b1y ´ b0 “ 3cdy ` c3 ` d3 6 ´b1 “ 3cd e ´b0 “ c3 ` d3.

Desta forma, c3d3 “ ´ b31

27 e c3 ` d3 “ ´b0.

Considere a equacao do segundo grau x2 ´ sx ` p “ 0.

c3 e d3 sao raızes da equacao, x2 ´ p´b0qx ´ b31

27 “ 0.

Podem ser escritos como:

c3

“ ´b0

2 `cb20

4 ` b3

1

27

d3 “ ´b0

2 ć

b20

4 ` b3

1

27

Como y “ c ` d,

y “ 3

db0

2 `c

b20

4 ` b3

1

27 ` 3

db0

2 ć

b20

4 ` b3

1

27.

E y e solucao de y3 ` b1y ` b0 “ 0 com x “ y ` k “ y ´ a2

3a3

, entao:

3

db0

cb20

b31

3

db0

cb20

b31

a2

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