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Plano de Estudo de Cálculo 2 – 1º Bimestre

Profª Luciana Castellano de Vasconcellos

Para uso da Professora

Composição do Plano de Estudo Trabalho Completo

Pesquisa sobre limite/derivada

3ª Série de Exercícios

Total

Antes de realizar o plano de estudo, leia as orientações abaixo.

Essas orientações contém as respostas das dúvidas mais frequentes

com relação a todas atividades de avaliação.

Resumo (é uma previsão) sobre o sistema de notas* e cronograma de atividade** (para saber o modo de avaliação leia as orientações completas)***

Pesquisa => até 0,5 ponto

Série de Exercícios => até 1,0 ponto

Apresentar/entregar na 13ª aula

ATPs (manuscrita e em grupo) => até 2 pontos

Apresentar/entregar na 13ª aula

Exercícios do “Simulado” => até 0,5 ponto

Atividade em sala ( na 13ª aula)**

Total = ATÉ 4,0 pontos na média do 2º bimestre

Nota máxima na prova => Até 6,0 na média do 2º bim

Média do 1º bim => Nota das atividades + Nota da prova l

* A professora pode modificar o peso das atividades durante o decorrer das aulas (se isso

ocorrer, será avisado). **As datas podem ser modificadas de acordo com orientações da

coordenação. *** Informações completas abaixo.

Dados de identificação

Nome completo:

RA: Curso: Engenharia.........................................................................................................

Semestre: Turno (manhã ou noite):

Turma:

Dia da aula: -feira

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Plano de Estudo de Cálculo 2 – 1º Bimestre

Pesquisa sobre aplicações das derivadas e integrais na engenharia

(ESSA PESQUISA É MANUSCRITA e INDIVIDUAL. NÃO COPIE DO COLEGA!!!)

1. Qual o significado prático de um ponto de máximo ou de mínimo? (0,09)

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2. Qual o significado prático de um ponto de inflexão? (0,08)

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3. O que são derivadas parciais?

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Plano de Estudo de Cálculo 2 – 1º Bimestre

4. Quando usamos derivada total e a quando usamos a derivada parcial?

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5. Dê pelo menos 3 exemplos de relações de grandezas físicas que podem ser

alternadas através das derivadas e das integrais. Mostre-as relacionando a

derivada e a integral nessas grandezas (sem ser aceleração, velocidade e espaço).

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6. Escreva com suas próprias palavras, o que você aprendeu

sobre esse assunto através da leitura e da pesquisa (mínimo de 5 linhas).

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7. Referências (0,05)

(Inclua os locais de pesquisa que foram utilizados. DICA: Sempre EVITE sites não confiáveis)

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2ª Lista de Exercícios de Cálculo 2

IMPORTANTE

A cópia é algo que fará mal à você mesmo. Conscientize-se disso!

Se o aluno simplesmente copia do colega, o aluno deve estar ciente de que isso

pode gerar problemas de nota e isso será de responsabilidade do aluno.

Está com dificuldades? Estude, pesquise, pergunte.

Peça orientações à professora. Fuja da cópia, ela é inimiga do aprendizado!

1ª parte – Exercícios básicos para treinar o conceito

1.1) Esboce um gráfico (no espaço disponível ao lado) que satisfaça as seguintes condições:

a) (Exercício 1 do PLT) Esboce o

gráfico de uma função com,

exatamente, dois pontos críticos,

um dos quais é um mínimo local

e o outro não é nem máximo

nem mínimo local.

b) (Exercício 2 do PLT) Esboce o

gráfico de uma função que tem,

exatamente, um ponto crítico em

x = 2, e tem, exatamente, um

ponto de inflexão em x = 4.

c) (Exercício 32 do PLT)

Esboce o gráfico de f sabendo que:

f´(x) = 0 em x = 2

f´(x) < 0 para x < 2 e f´(x) > 0 para x > 2

f´´(x) = 0 em x = 4

f´´(x) > 0 para x < 4 e f´´(x) < 0 para x > 4

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1.2) Esboce um gráfico que satisfaça as seguintes condições:

a) (Exercício 40 do PLT)

b) (Exercício 41 do PLT)

c) (Exercício modificado a partir do PLT)

d) (Exercício modificado a partir do PLT)

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1.3) Através da aplicação da derivada a primeira e a segunda responda o que se solicita. Depois esboce

o gráfico das seguintes mostrando em qual instante ocorre o(s) pico(s) máximo(s) e mínimo(s).

Deverás utilizar derivadas para saber esses momentos de pico máximo e mínimo.

Dica 1: Pode ser útil multiplicar os fatores antes de derivar.

Dica 2: Pode ser útil os métodos passados em cálculo 1 para esboçar o gráfico:

Elevado a 1 => “Passa” Elevado a 2 => “Bate e rebate” Elevado a 3 => “Amortece”

a) Na função y = (x + 2)(x – 3), qual valor de x ocorre o mínimo? De quanto é esse mínimo?

R: Mínimo de - 6,25 em x = 1/2.

b) Onde ocorre o máximo e o mínimo da função y = (x – 2)(x – 5)(x – 7)

R: dy/dx = 3x2 – 28x + 59

Máximo em x = 3,21 e mínimo em x = 6,12

c) Encontre os pontos de inflexão da função y = (x2 – 9)(x – 4)

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R: d2y/dx

2 = 12x

2 – 48x +14

Ponto de inflexão em x = 3,68 e em x = 0,317 (aproximadamente)

d) Encontre os pontos de inflexão da função y = - (x – 1)(x2 – 16)(2x + 7)

R: d2y/dx

2 = – 24x

2 – 30x + 78

Ponto de inflexão em x = -2,5 e em x = 1,28 (aproximadamente)

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1.4) Sabendo que a derivada a primeira aplicada à um ponto nos fornece a taxa de crescimento (ou

decrescimento), encontre essa taxa para cada caso (derive e depois substitua para obter o valor).

a) y(x) = 3x4 – 2x

3 + 5e

x quando x = 3

b) L(x) = – 4x5 + 3e

6x quando x = 2

c) V(t) = 4.ln (t) – 3e quando x = 4

d) L(t) = 7.ln (4t) + 6.log 5 (t) quando t = 2

e) A(x) = 3.log 4 (x) – 5.ln (x) quando x = 1

f) y(θ) = 3.cos(2.θ) – 7.sen(3.θ) quando θ = 30º

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2ª parte – Problemas básicos aplicados às engenharias

2.1)*Suponha que o lucro de uma empresa seja dado por L(t) = t4 + t

3 – 3t

2 + 1. Esboce o gráfico,

determine em qual momento (em qual tempo ocorre) o lucro tem o menor valor. Determine também

em qual instante ocorre o ponto de inflexão. Considere t ≥ 0.

R: O lucro terá o menor valor em t ≈ 7/8

e o ponto de inflexão ocorre em t = 1/2 s.

2.2)*Uma fábrica de pequeno porte tem condições para produzir até 50 unidades (unidades q) de seu

produto por hora de produção. Sua função lucro (dada em reais) é dada por L(q) = – q3 + 44q

2 – 164q

+ 160. Determine o número de unidades que devem ser produzidas por hora de produção para

maximizar o lucro dessa fábrica. Determine também qual é o lucro máximo dentro do limite

estabelecido. Considere q ≥ 0.

R: Lucro máximo de R$ 8125,00 quando são produzidas 27 unidades.

2.3)*Uma empresa consegue, com os equipamentos atuais, a produção de um máximo de 10 mil

unidades “u” de produto por hora de produção. Através dessa produção, gera-se uma função receita

(em milhares de reais) dada por R(u) = u4 – 18u

3 + 80u

2. Determine o número de unidades que devem

ser produzidas por unidade de tempo de forma a maximizar a receita que essa empresa pode obter.

Determine também qual é a receita máxima dentro do limite estabelecido. Considere u ≥ 0.

R: Receita máxima de R$ 384.000,00 quando são produzidas 4 mil unidades.

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2.4)*Uma empresa determinou que a receita total em dólares para um produto pode ser modelada por

R = -x3 + 450x

2 + 52500x, em que x é o número de unidades produzidas e vendidas. Qual o nível de

produção que gera receita máxima? Considere o seguinte domínio: 0 ≤ x ≤ 546.

R: A produção de 350 unidades gera a receita máxima.

2.5)**Uma página retangular terá 24 polegadas quadradas de área impressa. As margens no início de

no fim da página e no fim da página tem 1,5 polegada. As margens de cada lado têm 1 polegada. Quais

deveriam ser as dimensões da página para minimizar a quantidade de papel utilizada? Dado extra:

Suponha que a área a ser minimizada seja dada pela função A = (x+3)(y+2).

R: 9 polegadas por 6 polegadas.

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3ª parte – Problemas melhorados

[Essa parte (3ª parte) da lista NÃO será obrigatória]

3.1)***Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser

inscrito em um cone circular reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm.

R: As dimensões do cilindro de maior volume são raio de 10/3 cm e altura de 4 cm.

3.2)****Determine as dimensões do cone de máximo volume, que pode ser inscrito numa esfera de

raio igual a r. R: O raio é 2√2r/3 e altura é de 4r/3.

3.3)****Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível, que pode ser

inscrito num cone cuja base tem raio e altura iguais a r e h, respectivamente.

R: O raio é de 2r/3 e altura é de h/3.

3.4)****Se numa indústria forem produzidas de 200 a 230 unidades de uma peça, haverá um

rendimento semanal de $540,00 por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230

peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em $2,00 por cada peça a mais. Determinar

o maior rendimento semanal da indústria.

R: O maior rendimento semanal para a indústria é de R$ 125.000,00

e é atingido quando são produzidas 250 peças.

3.5)*****Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a

velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e

18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t3– 10,5 t2+30 t+

20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o

trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?

R: Concluímos que t = 2 é ponto de máximo global e t = 5 é ponto de mínimo global de v no intervalo de

interesse [1,6]. Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14h, quando os carros passam pelo cruzamento

a uma velocidade média de 46 km/h e o trânsito é mais lento as 17h, quando os carros passam pelo

cruzamento a uma velocidade média de 32,5 km/h.

3.6)****Um edifício de 2000 m2 de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m na

frente e nos fundos e de 4 m nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor área onde

esse edifício possa ser construído.

R: O lote de menor área para construir esse edifício

deve ter frente e fundo de 48m e laterais de 60m.

3.7)****Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material

da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados

R$ 1,50 por centímetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja

mínimo. R: As dimensões da caixa de menor custo são

10cm X 10cm X 20cm (base 10 X 10 e altura de 20)

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4ª parte – Achando tudo muito fácil, simples e/ou trivial?

Problemas desafiadores para os alunos perspicazes!

[Essa parte (4ª parte) da lista NÃO será obrigatória]

4.1) Cinqüenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos A anos, a

população P desses animais é estimada por: P(A) = 3.ln(A) + 4A3 – 6e

A. Em que instante essa população

animal atinge seu máximo? Quanto ele vale?

4.2) O peso específico da água a uma temperatura de T°C é dado por

Qual é a temperatura na qual a água apresentará o maior peso específico?

4.3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm3. O custo do material

usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,05 por

cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para

construí-lo.

4.4) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A pesquisa

mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 17h é

a) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem mais ouvintes sintonizados na estação?

b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na estação?

4.5) Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas,

à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 m2 e deve ser

cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a

obra?

4.6) De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue a r cm de distância do eixo central de uma

artéria de raio R é dada por S(r) = c.(R2 – r

2) onde c é uma constante positiva. A que distância do eixo

central da artéria a velocidade do sangue é máxima?

4.7) Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma

força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o

circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo

Supondo que r seja constante,

qual o valor de R para o qual

a potência dissipada é máxima?

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5ª parte – Integrais

5.1) Encontre a integral das funções abaixo (integral indefinida).

Exemplo: f(x) = 7x 5/2

+ 4 => ∫ f(x) dx = ∫ (7x 5/2

+ 4) dx = [7/(7/2)].x 5/2+1

+ 4/1.x0+1

+ C = 2x7/2

+ 4x + C

a) F(t) = 2t2 + 5t + 3

b) F(x) = 3x + 7 – 4ex

c) F(x) = 4x3 – 6/x

2 + 3e

x

d) F(t) = 4/3.t 2/5

+ 3.t 7/8

5.2) Encontre a área (em m2) formada a partir da integral das seguintes funções (integral definida).

Exemplo: f(x) = x2 – 6x + 11 => (x

2 – 6x + 11) dx = [7/(7/2)].x

5/2+1 + 4/1.x

0+1 + C = 2x

7/2 + 4x + C

Por enquanto, o esboço do gráfico não será obrigatório.

O esboço foi feito nesse exemplo somente para fim de um melhor

entendimento.

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a) F(t) = t2 – 5t + 6 com tf = 7 e ti = 4

b) F(x) = x3 + 4 com xf = 3 e xi = 1

c) F(x) = x2 – 1 com xf = 2 e xi = 1

R: 4/3

d) F(t) = (4t + 1)2 com tf = 1 e ti = 0

R: 31/3

Atenção, disciplina e serenidade Bons estudos!

Profª. Esp. Luciana Castellano de Vasconcellos

Engenheira de Produção Mecânica, Física e Bióloga

Novo site: https://sites.google.com/site/profalucianavasconcellos/

Contato: lucivasconcellos@aedu.com