Lista de exerccios do Captulo III

Seo III.1

1) Nos exerccios de (a) a (d), identifique, por meio de derivada, os intervalos abertos nos quais a

funo crescente ou decrescente.

(a) ( ) ( ) (b) ( )

(c) ( ) (d) ( )

2) Nos exerccios a seguir, determine os nmeros crticos e os intervalos abertos nos quais a

funo crescente e decrescente. Use um programa de plotagem para traar a curva da funo.

(a) ( ) ( ) (b) (c)

(d) ( ) ( ) (e) ( ) (f) ( )

3) Nos exerccios a seguir, determine os nmeros crticos e os intervalos abertos nos quais a

funo crescente e decrescente. (Verifique a existncia de descontinuidades). Use um programa

de plotagem para traar a curva da funo.

(a) ( )

(b) {

(c) {

(d) {

(e) {

4) O custo C de processamento e transporte de um revendedor de automveis (em centenas de

reais) dado por (

) , , onde x o nmero de automveis

encomendados.

(a) Determine os intervalos nos quais C crescente e decrescente.

(b) Use um programa de plotagem para traar a curva da funo custo.

5) Nos exerccios a seguir, a funo posio fornece a altura s (em metros) de uma bola; o tempo t

medido em segundos. Determine o intervalo de tempo no qual a bola est subindo e o intervalo

no qual ela est descendo.

(a) , (b) ,

6) O lucro L de um cinema com a venda de x sacos de pipoca pode ser modelado pela funo

, .

(a) Determine os intervalos nos quais L crescente e decrescente.

(b) Se voc fosse o dono do cinema, que preo cobraria pelo saco de pipoca para maximizar o

lucro? Justifique a resposta.

Seo III.2

7) Use uma tabela para determinar todos os extremos relativos das funes abaixo.

(a) ( ) (b) ( )

8) Determine todos os extremos relativos da funo.

(a) ( ) (b) ( ) ( )

(c) ( ) (d) ( )

9) Determine os extremos absolutos da funo no intervalo dado.

(a) ( ) ( ) [-1 , 2] (b) ( ) [0 , 3]

(b) ( ) [-1 , 3] (d) ( )

[0 , 2]

10) Um revendedor determinou que o custo C para encomendar e armazenar x unidades de um

produto seja dado por

, . O caminho de entregas capaz de

transportar, no mximo, 200 unidades do produto de cada vez. Determine o tamanho da

encomenda que minimiza o custo. Use um programa de plotagem para confirmar o resultado.

11) Entre 1960 e 1998, o nmero r de homens para cada 100 mulheres nos Estados Unidos pode

ser modelado pela funo , onde t = 0 corresponde a 1960.

(a) Determine o ano no qual o nmero r passou por um mnimo.

(b) No ano do item (a) havia mais mulheres ou mais homens nos Estados Unidos? Justifique.

Seo III.3

12) Nos exerccios abaixo, determine todos os extremos relativos da funo. Use o Teste da

Derivada Segunda sempre que possvel.

(a) ( ) (b) ( ) (c) ( )

(d) ( ) (e) ( )

13) Nos exerccios abaixo, determine os pontos de inflexo da curva.

(a) ( ) (b) ( ) ( ) ( )

(c) ( )

Seo III.4

14) Um fazendeiro tem 200 metros de cerca para construir dois currais retangulares adjacentes

(veja figura). Que dimenses devem ser usadas para que a rea cercada seja mxima?

15) Um recinto cercado de tela para praticar golfe aberto de um lado (veja figura). O volume do

recinto de 250 / 3 m3. Determine as dimenses que exijam a menor quantidade possvel de tela.

16) Um retngulo limitado pelo eixo x e possui dois vrtices sobre o semicrculo (veja figura). Que comprimento e largura deve ter o retngulo para que sua rea seja mxima?

17) Um engenheiro est projetando uma lata de refrigerante com a forma de um cilindro circular

reto. Esse recipiente deve conter 330 ml. Determine as dimenses para as quais a quantidade de

material usada seja a menor possvel.

18) Determine o ponto da curva da funo que est mais prximo do ponto dado.

(a) ( ) ( ) (b) ( ) (

)

19) A soma do comprimento com a cintura de um pacote a ser enviado pelo correio pode ser, no

mximo, de 108 cm. Determine as dimenses do pacote para que o volume seja mximo. Suponha

que as dimenses do pacote sejam x por x por y (veja a figura).

20) Voc est em um barco a 2 Km do ponto mais prximo da costa e deseja ir at o ponto Q,

3 Km costa abaixo e 1 Km terra adentro (veja figura). Pode remar a uma velocidade de 2 Km/h ou

andar a uma velocidade de 4 Km/h. Em direo a que ponto da costa voc deve remar para chegar

ao ponto Q no menor tempo possvel?

21) Uma sala de ginstica tem a forma de um retngulo com um semicrculo em cada

extremidade. O permetro da sala deve ser uma pista de corrida de 200m. Determine as dimenses

para as quais a rea da regio retangular a maior possvel.

22) Uma viga de madeira tem uma seo reta de altura h e largura w (veja figura). A resistncia S

da viga diretamente proporcional largura e ao quadrado da altura. Quais so as dimenses da

viga mais resistente que pode ser fabricada a partir de um tronco circular com 60 cm de dimetro?

23) Os pontos A e B so opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3 Km de

largura. O ponto C est na mesma margem que B, mas a 6 Km, rio abaixo, de B. Uma companhia

telefnica deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por Km do cabo 25 % mais caro sob a

gua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?

24) Resolva o exerccio 23 se o ponto C estiver somente a 3 Km, rio abaixo, do ponto B.

25) Um fabricante pode ter um lucro de R$ 20,00 em cada unidade se forem produzidas no

mximo 800 unidades. O lucro decresce 20 centavos por unidade que ultrapasse a 800. Quantas

unidades devem ser fabricadas por semana para se obter o lucro mximo?

26) Corta-se um pedao de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte ser dobrada

em forma de crculo e a outra em uma forma quadrada. Como dever ser cortado o arame para que

(a) a soma das reas das duas figuras seja to pequena quanto possvel e (b) a soma das reas das

duas figuras seja to grande quanto possvel.

27) Encontre as dimenses do cilindro circular reto de maior superfcie lateral que pode ser

inscrito numa esfera de raio igual a 6 cm.

Seo III.5

28) Nos exerccios abaixo, calcule o limite, se existir.

(a)

(b)

(c)

(d) ( )

( ) (e)

(f)

29) Um circuito eltrico tem uma resistncia de R ohms, uma indutncia de L henrys, e uma fora

eletromotriz de E volts, onde R, L e E so positivos. Se I ampres a corrente no circuito t

segundos aps este ter sido ligado, ento:

(

)

Para valores de t, E e L, encontre .

30) Nos exerccios abaixo, calcule o limite, se existir.

(a)

(b)

( )

(c)

(d) (e)

(f) ( )