Disciplina: Estatística 2

Professora: Renata Estrella

Lista de Exercícios 1

PARTE I - REVISÃO

1) Numa região existem 2000 consumidores dentre as quais 600 têm preferência

por determinado artigo. Um experimento consiste em perguntar a 4

consumidores desta região, escolhidos ao acaso, se o mesmo tem ou não

preferência por este artigo.

i) Construa o espaço amostral deste experimento.

ii) Determine a variável aleatória discreta X que associa a cada realização

do experimento o número de consumidores com preferência pelo

referido artigo. Construa o espaço amostral gerado pela variável

aleatória X e sua função de probabilidade.

iii) Construa a distribuição de probabilidade acumulada de X.

2) Num teste tipo certo-errado, com 3 questões apenas, qual é a probabilidade

de que um aluno que as responde ao acaso acerte:

i) exatamente 1 questão; R: 3/8

ii) pelo menos 2 questões; R: 0,5

iii) no máximo 1 questão; R:0,5

iv) no mínimo 1 questão. R: 7/8

3) Em um experimento binomial com 3 provas, a probabilidade de 2 sucessos é

12 vezes a probabilidade de 3 sucessos. Determine o valor de "p". R: 0,2

4) As vendas diárias de um restaurante têm distribuição normal com média igual

a 53 unidades monetárias e desvio padrão igual a 12 u.m.:

i) Qual a probabilidade das vendas excederem 70 u.m. em um dia? R:

0,0778

ii) Esse restaurante deve vender no mínimo 30 u.m. por dia, para não ter

prejuízo. Qual a probabilidade de que, em certo dia haja prejuízo? R:

0,0274

5) Seja

<≤+−

<≤

=

valoresoutros para 0

;31 para13

;10 para 3

2

)( xx

xx

xf

a) Calcule a mediana e a esperança da distribuição. R: 1,33 / 1,268

b) Determine a função de distribuição acumulada.

c) Calcule P(X>2|X>1). R: 0,25

d) Calcule a variância da distribuição. R: 0,389

6) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma

distribuição normal, com média µ e desvio um padrão 10g. a) 512,80 b) 0,0052

a) Em quanto deve ser regulado o peso médio para que apenas 10% dos

pacotes tenham menos de 500g?

b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso

total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2kg?

7) A altura dos homens em uma determinada população segue uma distribuição

normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm, enquanto que a altura das

mulheres também segue uma distribuição normal com média 160 cm e desvio

padrão 20 cm. Determine a probabilidade de:

a) Um homem ter altura superior a 180 cm (R: 0,16)

b) Calcule o intervalo simétrico em torno da média que contem 70% das

alturas dos homens. R: [159,6;180,4]

c) Um homem ser mais alto que uma mulher (R: 0,67)

d) Num grupo de 4 homens pelo menos 1 ter altura superior a 180 cm (R:0,50)

8) Um vendedor recebe uma comissão de 50,00 por uma venda. Baseado em

suas experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das

vendas semanais, Responda:

X 0 1 2 3 4

p(x) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

a) Qual o valor esperado de vendas por semana? R:2

b) Qual a probabilidade de ganhar pelo menos 150,00 por semana?R:0,3

PARTE II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

9) Considere a seguinte função de probabilidade conjunta:

0 2 4

0 1/8 1/4 3/8

1 0 1/4 0

Determine:

a) E[X] e E[Y]; E(X)= 1/4 ; E(Y)= 5/2

b) Cov[X,Y]; -1/8

c) Calcule a distribuição de X dado Y=0;

d) Calcule a E[X|Y=2]: 0,5

e) Correlação de X e Y. –0,218

10) Tendo o par aleatório (X ,Y) a seguinte função de probabilidade conjunta:

a-6 -a a 2a

0 K/2 K/2 k 0

2 K/2 0 k K/2

a) Determine o valor do parâmetro k ; 1/4

b) Determine o valor de a sabendo que E[Y ] = 2E[X ]; 4

c) Calcule a Cov[X ,Y]. 3/2

11) A função de probabilidade conjunta de (X,Y) é dada pelo seguinte quadro:

0 1 2

5 0,1 0,2 0,1

6 0,04 0,08 0,1

7 0,06 0,12 0,2

a) Verifique que se trata de uma função de probabilidade conjunta;

b) Deduza as funções de probabilidades marginais;

c) Deduza a função de distribuição acumulada conjunta;

d) Calcule P[X ≤1,Y ≤7]; 0,6

e) São as variáveis independentes? Em caso negativo, calcule a respectiva

covariância. X e Y não são independentes; Cov(X,Y) = 0,144.

Y X

Y X

Y X

12) Uma indústria produz ventoinhas para o sistema de arrefecimento de

computadores. As ventoinhas podem sair com 0, 1 ou 2 defeitos, com

probabilidades 0.7, 0.2 e 0.1. Se uma ventoinha apresentar dois defeitos é

automaticamente retirada e substituída por uma perfeita, antes de passar à

fase de embalamento. Representemos por X o número original de defeitos no

artigo produzido e por Y o número de defeitos no correspondente artigo que

segue para a secção de embalamento.

a) Determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório (X ,Y);

b) Determine a função de probabilidade marginal de Y;

c) Se uma ventoinha revela ser perfeita, qual a probabilidade que tivesse sido

substituída? P(X =2|Y =0)=0,125.