MAE0116 Aula1: MODELOS PROBABILÍSTICOS Ministrante Prof ...belitsky/wiki/lib/exe/... · Exemplo 5,...

MAE0116Aula1: MODELOS PROBABILISTICOSMinistrante Prof. Dr. Vladimir Belitsky,

IME-USP

3 de marco de 2019

Objetivos

O objetivo principal e ensinar a construcao de MODELOPROBABILISTICO de EXPERIMENTO ALEATORIO. E isso quealunos precisam para poder prosseguir no curso e aprender osmetodos basicos de Estatıstica.

Experimento aleatorio

Experimento aleatorio e qualquer experimento que pode resultarem mais que um resultado.Observe que a definicao usa conceitos que nao serao definidos;contamos com que a concepcao intuitiva dos conceitos“experimento” e “resultado” e a mesma para todos nos.

Modelo probabilıstico

Construir um modelo probabilıstico para um experimentoaleatorio significa:(1) sugerir e apresentar uma codificacao dos resultados possıveis(isto e, os resultados que podem ser observados no experimento),(2) usando a codificacao sugerida no passo (1), apresentar a listade todos os possıveis resultados (a lista a ser chamada espaco deestados),(3) atribuir probabilidade a cada resultado do espaco de estadosconstruido no passo (2).

As tarefas (1) e (2) sao simples; o problema esta com a execucaoda tarefa (3).

Fonte de Aleatoriedade

EXEMPLO 1. Fabricamos um dado perfeito, quer dizer, um dadoem forma de um cubo perfeito feito de material homogeneo, emarcamos os numeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 em suas faces. Lancaremoseste dado e observaremos o numero de sua face superior, quando odado parar. Qual e a probabilidade de vermos o numero 6?


EXEMPLO 2. Tomamos o dado perfeito. (O significado do “dadoperfeito” foi exeplicado no Exemplo 1.) Marcamos suas faces pornumeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e pintamos as faces 1 e 2 em branco, eas outras em preto. Lancaremos este dado e observaremos –quando o dado parar de rodar – o numero e a cor da sua facesuperior. Qual e a probabilidade que vermos 4-e-preto?


EXEMPLO 3. Ficaremos amanha (das 0 as 24 horas, digamos) naPraca de Republica em Sao Paulo e observaremos se haja chuvaneste local neste perıodo. Pergunta-se dar a probabilidade de haverchuva, sendo que possuimos o historico de 30 dias com condicoesclimaticas semelhantes as de hoje e sabemos que em 12 dos 30, nodia seguinte chuveu na Praca, enquanto que em 18 dos casosrestantes nao caiu nenhuma gota.


EXEMPLO 4. Temos uma moeda honesta e duas urnas com bolasidenticas no tato, sendo que numa das urnas ha 1 bola branca e 3pretas, enquanto que na segunda urna ha 2 brancas e 4 pretas.Faremos o seguinte: lancaremos a moeda observando sua facesuperior, e, em seguida, retiramos uma bola de urna, observandosua cor. A retirada sera da primeira urna, caso a moeda mostrar“cara”, e sera da segunda urna, no caso de “coroa”.Pergunta-se a probabilidades de vermos cara-preto.A “honestidade” da moeda significa que sendo lancada, aprobabilidade da moeda cair com “cara” para cima e igual aprobabilidade de cair com a “coroa” para cima.


EXEMPLO 5. Imagine agora dois dados perfeitos no sentido destapalavra conforme explicado no Exemplo 1. Imagine que os dadossao identicos. Suponha que os dados serao lancadossimultaneamente e, quando ambas pararem, observaremos osnumeros nas suas faces superiores. Qual e a probabilidade deobservarmos 3 e 6? Qual e a probabilidade de observarmos 5 e 5?


EXEMPLO 6. Uma vez, comprei para filha 5 pares de meias deduas cores: azul e vermelha. Um dia, todas elas foram paramaquina de lavar roupa e sairam de la diretamente para a gavetada comoda no quarto da filha. No manha do dia seguinte, aindano escuro, apanhei duas meias quaisquer da gaveta, vesti a filha,coloquei no carro e levei-a para escolinha. Qual e a probabilidadede eu ouvir da filha, quando ela for acordada, ainda no carro, pelonascer do sol: “Papai! Voce colocou meias de cores diferentes!”

Fonte de Aleatoriedade; ainda sobre os exemplos

Acredito que voce passou facilmente por quatro primeirosexemplos. As respostas sao:

para Exemplo 1 sobre um dado, e 1/6;para Exemplo 2 sobre um dado pintado, e 1/6 tambem;para Exemplo 3 sobre chuva, e 12/30;para Exemplo 4 sobre moeda e duas urnas, e 1

2 ×34 + 1

2 ×46

Acredito tambem que os Exemlos 5 e 6 exigiram maior esforco queos quatro primeiros, e, possivelmente, voce nem chegou as suasrespostas.


Tipo definicaoNo Exemplo 1 sobre um dado perfeito, a fonte de aleatoriedade e odado. Assim tambem e no Exemplo 2, embora e bom ressaltar queneste caso, o dado e diferente do do Exemplo 1 (por ter cores alemde numeros). No Exemplo 3 e o tempo (ou a Natureza). NoExemplo 4, sao tres fontes: a moeda, e as duas urnas (ou, emoutras palavras, o lancamento de moeda e retiradas de bola decada urna); vale destacar que sao tres fontes, embora, segundo adescricao de experimento aleatorio, serao usadas so duas delas. NoExemplo 5, cada dado e uma fonte; sao dois entao neste exemplo.No Exemplo 6, a situacao e pouco mais complicada: a fonte e aretirada de duas meias, mas nao esta claro que a retirada foi deduas meias de vez, ou uma retirada para cada. No momento, istonao e importante.

Classificacao de experimentos aleatorios

Por simples chama-se experimento aleatorio que possui uma unicafonte de aleatoriedade, ou em outras palavras, experimentoaleatorio cujo resultado determina-se por uma so fonte dealeatoriedade.Quando experimentos aleatorios simples sao executados uma aposoutro, o experimento aleatorio resultante chama-sesequencial-composto-por-simples. Um de tais esta noExemplo 4. Sua descricao deixa claro, que primeiramente seralancada moeda, e apos desta, sera retirada uma bola.Qualquer outro que nao se enquadrar numas das consicoessupraformuladas, ou sobre o qual temos duvidas, sera colocado naterceira classe de danados.


Dois exemplos, que sao nem simples nem sequenciais:

EXEMPLO 7. Lancamentos simultaneos de duas moedasdiferentes, digamos, uma de R$ 1,00 (um Real) e outra de R$ 0,10(10 centavos).

EXEMPLO 8. Lancamentos sequenciais de duas moedas identicas,digamos, de R$ 1,00 cada.


O Exemplo 4 deixa claro a caraterıstica que distingue experimentossimples e sequenciais-compostos-por-simples: nos da segundaclasse, ha diversos procedimentos que sao feitos numa sequenciatemporal (ou cronologica); e essa sequencia deve especificadaclaramente e precisamente no proprio enunciado do experimentoaleatorio por definir o que vai “antes” e o que vai “depois”.

Observe que nao e a estrutura de observacao que distinge entresimples e sequenciais. Por exemplo, no Exemplo 2 observamosduas qualidades: o numero e a cor. Mas apesar disso, oexperimento e simples.


Observe tambem que em experimento aleatorio sequencial, suasetapas podem estar amarradas uma na outra. Isto nao e impecılio.Por exemplo, no Exemplo 4, a urna a ser usada na segunda etapadepende do resultado da primeira etapa. A univa ressalva e que adependencia deve ser do tipo causa-consequencia: as estapasposteriores podem depender dos resultados de etapas anteriores. Ocontrario esta proibido.


O que faremos com os experimentos aleatorios que nao seenquandram em condicoes de simples ou em desequenciais-compostos-por-simples? Vamos deixar o grupo de taisexperimentos ao lado e voltaremos a discussao deles no futuroproximo. Neste grupo estao os experimentos aleatoriosdosExemplos 5, 6, 7, 8.

Construcao de MP para EA simples

A codificacao e apresentacao da lista de todos os possıveisresultadosE muito simples: precisa identificar todos os possıveis resultadosdo experimento aleatorio e apresenta-los de uma maneira clara ecomoda. A apresentacao usa – geralmente – codigos tipo letrase/ou numeros. Ha um acordo: o conjunto de todos os codigosusados para os resultados de um experimento aleatorio chama-se oespaco amostral ou espaco de estados deste. Tal espaco denota-segeralmente por S ou Ω, e como este e um conjunto – segundo oacordo – entao usamos as chaves e para “abrir” e “fechar” alista de seus elementos; os elementos separam-se por vırgula.


No caso do experimento “lancamento de um dado” (videExemplo 1), seu espaco de estados e

S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Isto significa que identificamos 6 resultados possıveis doexperimento e codificamos-os por o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou6, pois esses sao os numeros marcadas nas seis faces do dado.Como codificar estes resultados? Podemos usar estes mesmosalgarismos ou entao utilizar os numeros romanos: I, II, III, IV, V eVI. Podemos usar pontos, exatamente como nas faces do dado.


A atribuicao de probabilidade1. Pelo princıpio de simetria.2. Por dados historicos.3. Agrupamento (ferramenta auxiliar).4. Princıpio de subjetividade de probabilidade e extesao-reducao.

Construcao de MP para EA simples; atribuicao deprobabilidade; princıpio de simetria

Aqui, vou construir o modelo probabilıstico para o experimentoaleatorio descrito no Exemplo 1. Recordo lhe sua formulacaoapresentando-a separada em partes, separacao essa feita com ointuito de facilitar a exposicao posterior da influencia de cada partena construcao do modelo:(1) Um dado com os numeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 marcados em suasfaces sera lancado e, quando parar de rodar, o numero de sua facesuperior sera observado. (2) O dado e perfeito, no sentido que temforma perfeita de um cubo e foi feito de material homegeneo;vamos combinar tambem que a tinta usada para marcar osnumeros nao tem nem volume nem peso, garantia que a pefeicaodo cubo foi mantida.

Construcao de MP para EA simples; atribuicao deprobabilidade; por dados historicos

Aqui vou construir o modelo probabilıstico para o experimentoaleatorio que foi lhe apresentado no Exemplo 3. Recordo que oexperimento constitui-se em ficar amanha (das 0 as 24 horas) naPraca da Republica em Sao Paulo e observar se neste local nesteperıodo haja chuva. A pergunta e dar a probabilidade de observara chuva, e a informacao da qual – aparentemente – devemosdeduzir esta probabilidade e o historico de 30 dias com condicoesclimaticas semelhantes as de hoje, em 12 dos quais chuvel e emoutros 18 nao.

Construcao de MP para EA simples; atribuicao deprobabilidade; agrupamento

Tomei um dado perfeito e pintei as faces 1 e 2 de branco, e asfaces 3, 4, 5, 6 de preto. Os numeros sao visıveis atravez da tinta,e a propria tinta nao tem nem peso nem volume, o que garanteque o dado continua ser perfeito.

O dado sera lancado e uma pessoa observara a numero e a cor daface superior. Chamaremos tal pessoa Zelda.

Qual e o modelo probabilıstico do experimento visto pela Zelda?

Qual e a probabilidade da Zelda ver cor branca?

Construcao de MP para EA simples; atribuicao deprobabilidade; princıpio de subjetividade deprobabilidade e extesao-reducao

Tomei um dado perfeito, apaguei os numeros escritos nas suasfaces, e pintei duas faces de branco, e outras quatro de preto.Vamos combinar que o dado assim preparado continua ser dadoperfeito.O dado-colorido-sem-numeros sera lancado, e uma pessoaobservara a cor da face superior. Chamaremos o observador porXavier para facilitar a referencia e toda a exposicao a vir. A tarefae construir o modelo probabilıstico correspondente a observacao doXavier.

Construcao de MP para EA sequencial

Exemplo 9. Vamos construir o modelo probabilıstico para oexperimento aleatorio descrito no Exemplo 4. Ele possui duasetapas. Na primeira, lanca-se uma moeda honesta, e, na segundaetapa, retira-se ao acaso uma bola de uma de duas urnas. Umadelas contem 3 bolsa identicas no tato com numeros 1, 2, 3; estaurna e marcada “I”. Na outra, marcada por “II”, ha 4 bolas comnumeros 2, 3, 4 e 5; essas tambem sao identicas no tato. Nasegunda etapa, usa-se urna I caso a moeda der “cara”, e usa-se II,se der “coroa”. Observa-se no experimento o lado superior damoeda, quando esta parar, e o numero da bola reitrada.

Apos a construcao do modelo probabilıstico, que e o objetivoprincial de presente exemplo, responderemos na pergunta posta noExemplo 4: achar a probabilidade de observar 2 na segunda etapada observacao.

Construcao de MP para EAs danados

Tomamos duas moedas honestas e identicas e marcamos 1 nasfaces de “cara” e 2 nas faces de “coroa” (fizemos as marcas damaneira tal que as moedas continuam ser indistinguıveis entre si).Antonio observara os numeros nas suas faces superiores quandoesssas pararem. Qual e a probabilidade da soma dos numerosvistos por Antonio ser ımpar?


5(a) comissao de tres professores. Numa escola ha 7 professores e3 professoras. Sera formada uma comissao de tres pessoas. Qual aprobabilidade que nesta comissao haja exatamente uma mulher?(No texto original era: “somente” no lugar de “exatamente”.)

5(b) comissao de tres professores com modificacao. Numa escolaha 7 professores e 3 professoras, sendo que um professor e umaprofessora sao irmaos. Sera formada uma comissao de trespessoas. Qual a probabilidade que nesta comissao haja exatamenteuma mulher e que ela nao seja a irma de nenhum outro professorda comissao?


Solucao do Ex.5(a) ensinada no colegio

o numero de triplas que atendem a condicao desejada

o numero de todas as triplas possıveis=

=C 27 · C 1

3

C 310


Solucao do Ex.5(a) ensinada no colegio com explicacaodetalhada

Passo 1: Sao C 310 triplas nao ordenadas diferentes entre si.

Passo 2: Todos elas sao equiprovaveis, logo a probabilidade dequalquer uma delas ocorrer e 1/C 3

10.

Passo 3: O evento que interessa compoe-se de C 27 · C 1

3 triplas naoordenadas diferentes.

Passo 4 (final): A resposta eC27 ·C1

3

C310


Duvidas sobre a Solucao do Ex.5(a)

Passo 1: Porque ha C 310 triplas nao ordenadas diferentes entre si?

(Essa questao revela a omissao de dado importante no enunciado:como e feita a escolha da comissao.)

Passo 2: Porque todas elas sao equiprovaveis (se foram, ai aprobabilidade de qualquer uma delas ocorrer e, de fato, 1/C 3

10

devido nosso princıpio de simetria)?

Passo 3: Como podemos ver sem cometer erro que evento queinteressa compoe-se de C 2

7 · C 13 triplas nao ordenadas diferentes?


Exemplo com modificacao “ligeiramente pequena”do Exemploanterior, que sera chamado Comissao de tres professores comirmaos (e o que foi formulado em 5(b)).

Numa escola ha 7 professores e 3 professoras, sendo que umprofessor e uma professora sao irmaos. Sera formada umacomissao de tres pessoas. Qual a probabilidade que nesta comissaohaja somente uma mulher e que ela nao seja irma de nenhumoutro professor da comissao?

O diagrama de arvore apresentada na transparencia seguinte etudo que voce precisa para solucionar esse problema.

hi

h

h m mi

m

h m mi

mi

h m

h

h

h m hi mi

m

h m hi mi

hi

h m mi

mi

h m him

h

h m hi mi

m

h hi mi

hi

h m mi

mi

h m hi

mi

h

h m hi

m

h m hi

hi

h m

1/10

6/9

5/82/8 1/8

2/9

6/81/8 1/8

1/9

6/8 2/8

6/10

5/9

4/82/8 1/8 1/8

2/9

5/81/8 1/8 1/8

1/9

5/82/8 1/8

1/9

5/82/8 1/8

2/10

6/9

5/81/8 1/8 1/8

1/9

6/8 6/86/8

1/9

6/8 1/8 1/8

1/9

6/8 1/81/8

1/10

6/9

5/81/8 1/8

2/9

6/81/8 1/8

1/9

6/8 2/8

MAE0116 Aula1: MODELOS PROBABILÍSTICOS Ministrante Prof ...belitsky/wiki/lib/exe/... · Exemplo 5,...

Documents

Transcript of MAE0116 Aula1: MODELOS PROBABILÍSTICOS Ministrante Prof ...belitsky/wiki/lib/exe/... · Exemplo 5,...