Mat Fund _007 Relacoes Metricas
Transcript of Mat Fund _007 Relacoes Metricas
Matemtica
RELAES MTRICAS E TRIGONOMETRIA NO TRINGULO RETNGULO1. RELAES MTRICASDado o tringulo retngulo ABC abaixo:
2. RELAES TRIGONOMTRICASSeja o tringulo retngulo abaixo:
A c m aTemos: c e b so os catetos; a a hipotenusa;
B
b n
h
b
a
C
B
A
c
C
h a altura relativa a hipotenusa a ; m projeo ortogonal do cateto c projeo ortogonal do cateto b .
e
n
a
Temos: a a medida da hipotenusa;
Temos as seguintes relaes: Teorema de Pitgoras: Em todo triangulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos catetos:
b e c so as medidas dos catetos. Definimos: Seno de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e a medida da hipotenusa.No triangulo acima temos:
a 2 = b2 + c 2O produto de um dos catetos pela altura igual ao produto do outro cateto pela projeo do primeiro cateto sobre a hipotenusa:
b sen C = a
e
c sen B = . aExemplo:Considere o seguinte triangulo:
bh = cn
e
ch = bm
O quadrado de cada cateto igual ao produto da hipotenusa pela projeo do cateto correspondente:
B
c2 = a m
e
b2 = a n
4
5
O quadrado da altura relativa hipotenusa igual ao produto das projees de cada cateto:
h2 = m nO produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela:
A
3
C
Determine
sen C
e e
sen B . 3 sen B = 5
bc = ah
4 sen C = 5
Cosseno de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e a medida da hipotenusa.
Editora Exato
27
MatemticaBcos x = cateto adjacente ; hipotenusa cateto oposto tgx = . cateto adjacente
b
a
3. NGULOS NOTVEIS (30, 45, 60)Podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente dos ngulos 30, 45 e 60 atravs da tabela abaixo:
ANo tringulo, temos:
c
C
Seno b cos B = a
30 1 23 2 3 3
c cos C = aExemplo:
e
Cosseno
No triangulo abaixo determine
cos C
e
cos B
Tangente
45 2 2 2 2 1
60 3 2 1 2 3
B
Exemplo:Determine o valor de
x
na figura abaixo:
4
5
x
A
3
C16
30
3 4 cos C = e cos B = 5 5Tangente de um ngulo agudo a razo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ngulo.
tg 30 =
x (observe na tabela tg30) 16
B
3 x = 3 16 2 x = 16 3
x=b a
16 3 3 EXERCCIOS
1
(UF(UF-RN) Observe a figura a seguir e determine a altura h do edifcio, sabendo que AB mede 25m e cos = 0,6 .
ANo tringulo, temos:
c
C
B
tgC =
b c
e
tgB =
c bA
h
Em geral temos: Sendo x a medida de um ngulo agudo num triangulo retngulo temos: cateto oposto sen x = ; hipotenusa
Editora Exato
28
Matemticaa) h=22,5m b) h=15m c) h=18,5m d) 20m 2 (UNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus tm todos a mesma extenso, alm de mesma al tura. Se AB = 2m e BCA mede 30, ento qual a medida da extenso de cada degrau? 6 Se as alturas do poste e do prdio so, respectivamente, 6 3m e 30m, ento a distncia x, entre o poste e o prdio , em metros: a) 15 3 18 b) 15 3 10 c) 30 3 24 d) 30 3 20 e) 30 3 18 (UNAMA(UNAMA-PA) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direo ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direo ao ponto C, segundo um ngulo de 60. Sendo a largura do rio de 120m, a distncia percorrida pelo barco at o ponto C, :
B
C
603 (UNIFOR(UNIFOR-CE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinao de 60 em relao horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construo de 6m de altura ser, aproximadamente: a) 10,2m d) 4,2m b) 8,5m e) 3,4m c) 5,9m (COVESP(COVESP-PE) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura 100m, seguindo uma direo que forma m ngulo de 30 com uma das margens. Assinale a alternativa certa para a distncia percorrida pelo barco para atravessar o rio. a) 100m d) 150m b) 200m e) 250m 200 c) m 3 CHAGAS HAGAS(F.C. CHAGAS-SP) Um observador, no ponto A, v o topo de um poste (B) e o topo de um prdio (C), conforme a figura a seguir.
rio
A
4
a) 240 3m b) 240m c) 80 3m d) 80m e) 40 3m 7 (USF-SP) (USF-
5
2m 30Para permitir o aceso a um monumento que est em um pedestal de 2m de altura, vai ser construda uma rampa com inclinao de 30 com o solo, conforme a ilustrao. O comprimento da rampa ser igual a: a)
C
3 m 2
B
b) 3m c) 2m d) 4m e) 4 3m
A
30 x29
Editora Exato
Matemtica8 (UFRS) Uma torre vertical presa por cabos de ao fixos no cho, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A est a 15m da base B da torre e C est a 20m de altura, comprimento do cabo AC :C
11 (FUVEST-SP) Dois pontos A e B esto situados na margem (FUVESTde um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, est situado de tal modo que o an gulo CAB mede 75 e o ngulo ACB mede 75. Determine a largura do rio. a) 40m b) 20m c) 20 3m d) 30m e) 25m 12 (U. PASSO FUNDO-RS) Em um tringulo ABC, retngulo FUNDO em A, o cateto AB ^mede 5m e cosB = 0,4 , sua hipotenusa, em metros, mede: a) 2 b) 5,5 c) 9,5 d) 12,5 e) 13,5 13 (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, BAE, ACE e FDE so ngulos retos, e as medidas CD, AF e DE so 1, 2, 3, respectivamente. A rea do tringulo de vrtice A, B e E :A F
A
B
a) 15m b) 20m c) 25m 9
d) 35m e) 40m
(MOJI-SP) (MOJI-SP) Uma escada que mede 4m tem uma de suas extremidades aparada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro :
4m
2,4mB C D E
a) 2,3m b) 3,0m
c) 3,2m d) 3,8m
a) c)
3 2 3 6
b) d)
2 4 3 6
10 (UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ngulo ABC fosse 60; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ngulo CBD fosse de 90. Medindo AD = 40m , achou a largura do rio. Qual a medida dessa largura?
14 (UFRS) o lampio representado na figura suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que 1 6 essas cordas medem e , a distncia do lampio ao 2 5 teto :
B 60 30
C
A
40
D
a) 100m b) 120m
c) 140m d) 150m
a) 1,3 b) 1,3 c) 0,6 1 d) 2 6 e) 13
Editora Exato
30
Matemtica15 (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, v um prdio segundo um ngulo de 75. Se esse observador est situado a uma distncia de 12m do prdio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo p do prdio, ento a altura do prdio, em metros, :
12m 75 12m
O
a) 4(3 + 3). b) c)3.
3 . 21 . 2
d) 6( 2 + 2). e)
GABARITO1 2 3 4 5 6 7 8 9 E B E B D C C 20m
3 m 3
10 B 11 B 12 D 13 D 14 E 15 A
Editora Exato
31