POLIEDROSAULA I

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

POLIEDROSVértice

ArestaFace

1) Definição de POLIEDRO:É uma região do espaço delimitada por um

conjunto finito de polígonos, denominado

superfície desse poliedro, que satisfazem

as seguintes condições.

Definição (continuação):

i) Quaisquer dois polígonos

intersectam-se em um

lado ou em um vértice ou

não se intersectam;

Exemplos:

Definição (continuação):

ii) Cada lado de um polígono

pertence exatamente a dois

polígonos;

Exemplos:

Definição (continuação):

iii) Dois polígonos com um

lado em comum não são

coplanares.

Exemplo:

2) Elementos de um Poliedro:

Face

Aresta

Vértice

Obs.: Superfície é a união de todos os

polígonos que delimitam o poliedro.

Relembrando...

Obs.: Um plano divide o espaço

em dois semiespaços de mesma

origem .

3) Convexidade de um

Poliedro:

Se cada plano que contém

uma face de um poliedro

posiciona as demais faces em

um mesmo semiespaço, então

o poliedro é convexo; caso

contrário, é não convexo.

Exemplos:

Poliedros Convexos Poliedros Não

Convexos

4) Algumas relações para o

cálculo do número de arestas:

Denotaremos:

➢ V como o número de vértices;

➢ F como o número de faces;

➢ A como o Número de Arestas;

➢ Fn como o número de faces

com n lados;

➢ Vn como o número de vértices

nos quais concorrem n arestas.

5) Relação de Euler:

V + F – A = 2

número de

vértices

número de faces

número de

arestas

Obs.: Todo Poliedro Convexo satisfaz a

Relação de Euler, mas nem sempre um

poliedro que satisfaz a Relação de

Euler é convexo.

EF 1.1)Obter o número de arestas de umpoliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices.

Exercícios Fundamentais

EF 1.2) Quantos vértices tem um poliedroconvexo com 4 faces triangulares e 5 facesquadradas?

EF 1.3) Um poliedro euleriano de 7 vértices tem5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e, 2vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantasarestas e quantas faces tem esse poliedro?

Exemplos:

Convexo Euleriano Não Convexo

Euleriano

V = 6; F = 5; A = 9. V = 24; F = 14; A = 36.

Se um poliedro tem em suas faces dois ou

mais tipos distintos de polígonos, digamos que

TIPO 1 TIPO 2

n° de polígonos: 𝐹𝑛1 n° de polígonos: 𝐹𝑛2

n° de lados em cada: 𝑥 n° de lados em cada: 𝑦

Então o número A de arestas será dado por

𝐴 =𝐹𝑛1. 𝑥 + 𝐹𝑛2. 𝑦

2

Observações importantes:

Observações importantes:

TIPO 1 TIPO 2n° de vértices: 𝑉𝑛1 n° de vértices:𝑉𝑛2

n° de arestas em cada: 𝑥 n° de arestas em cada: 𝑦

Então o número A de arestas será dado por

𝐴 =𝑉𝑛1. 𝑥 + 𝑉𝑛2. 𝑦

2

Se um poliedro concorrem, em seus

vértices, duas ou mais quantidades

distintas de arestas, digamos que

6) Nomenclatura: Poli edro

“Várias” “Faces”

Número de Faces Nome do Poliedro

4 Tetraedro

5 Pentaedro

6 Hexaedro

7 Heptaedro

8 Octaedro

10 Decaedro

12 Dodecaedro

20 Icosaedro

PSA: 6 a 12

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POLIEDROSAULA II

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7) Soma das medidas dos

ângulos internos das faces

de um poliedro convexo:

S = ( V – 2 ) ∙ 360º

EF 2.1) A soma das medidas dos ângulos

internos das faces de um poliedro convexo é

igual a 2880°. Admitindo-se que esse poliedro

tenha apenas ângulos tetraédricos, determine o

número de vértices, o número de arestas e o

número de faces desse poliedro.

Exercícios Fundamentais

Obs.: A diagonal de um poliedro

convexo é um segmento de reta

não contido na superfície desse

poliedro e com extremidades em

dois de seus vértices.

8) Poliedros de Platão:

Um poliedro de Platão é caracterizado

pelas seguintes propriedades:

i) É um poliedro euleriano;

ii) Em cada vértice concorre o mesmo

número de arestas;

iii) Todas as faces tem o mesmo número

de lados.

A seguir, as cinco classes de Poliedros de

Platão.

Classe Característica Exemplo

Tetraedro

4 faces triangulares;6 arestas;4 vértices.

Hexaedro

6 faces quadrangulares;12 arestas;8 vértices.

Octaedro

8 faces triangulares;12 arestas;6 vértices.

Classe Característica Exemplo

Dodecaedro12 faces pentagonais;30 arestas;20 vértices.

Icosaedro

20 faces triangulares;30 arestas;12 vértices.

9) Poliedro Regular:

Um poliedro Regular é caracterizado

pelas seguintes propriedades:

i) É um poliedro de Platão;

ii) Suas faces são polígonos regulares.

A seguir, os cinco Poliedros Regulares.

Tetraedro Regular Hexaedro Regular (cubo)

Octaedro Regular

Dodecaedro Regular Icosaedro Regular

EF 2.2) Considere um icosaedro regular, em

que uma de suas arestas tem medida igual

a 15 cm. Determine:

a) A soma das medidas de suas arestas;

b) A área de sua superfície;

c) A soma das medidas dos ângulos das

faces.

Exercícios Fundamentais

PSA: 19, 20, 22, 23 e 24

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