MATEMÁTICA II Álgebra Linearltodi.est.ips.pt/mat2/documentos/SEBENTA/Mat2_AlgLinear.pdf ·...

MATEMÁTICA II

Álgebra Linear

Júlia Justino

Departamento de Matemática/ESTSetúbal

Conteúdo

1 Matrizes 11.1 Definições preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Característica e operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Cálculo da matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Determinantes 252.1 Definição axiomática e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Métodos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Processo de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Método baseado nos termos da matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Outras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Valores e vetores próprios 423.1 Vetores e espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Definição e interpretação geométrica de valor e vetor próprio de uma matriz 433.3 Método de cálculo dos valores e vetores próprios de uma

matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Cálculo Vetorial 484.1 Produto interno e norma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Ângulo e ortogonalidade entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Produto externo e produto misto de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A presente sebenta destina-se a servir de manual de estudo para os alunos da UC deMatemática II do 1o ano dos cursos ministrados na ESTSetúbal/IPS.

Agradeço a colaboração da Cristina Almeida e do Miguel Moreira, nomeadamente nadisponibilização de materiais usados na UC de Álgebra Linear e Geometria Analítica e naantiga disciplina de Matemática II (que serviram de base a este trabalho), na revisão destasebenta e nas sugestões de melhoramento que me fizeram chegar.

1 Matrizes

1.1 Definições preliminares

Definição 1 Sejam m,n ∈ N e aij ∈ R, ∀i ∈ {1, ...,m} , ∀j ∈ {1, ..., n} , o elementosituado na linha i e coluna j. Define-se matriz de tipo m× n à seguinte tabela com m×nelementos reais dispostos em m linhas e n colunas:

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n

· · · · · · . . . · · · · · ·ai1 ai2 · · · aij · · · ain

· · · · · · · · · . . . · · ·am1 am2 · · · amj · · · amn

= [aij]m×n = [aij] .

Neste caso, diz-se que A ∈Mm×n (R).

Nas condições da definição anterior,

• Se m = n, A diz-se uma matriz (quadrada) de ordem n: A ∈Mn (R) .

• Se m = 1, A diz-se uma matriz linha: A ∈ M1×n (R) .

• Se n = 1, A diz-se uma matriz coluna: A ∈Mm×1 (R) .

Exemplo 1 A =

[−1

√3 2

12

0 −3

]é uma matriz de tipo 2× 3;

B =[1 −2 0

]1×3 é uma matriz linha; C =

[3

−1

]

2×1é uma matriz coluna.

Definição 2 Seja A = [aij] ∈ Mn (R). Aos elementos aii,∀i ∈ {1, ..., n} , da diagonal de A,dá-se o nome de elementos principais (ou diagonais) de A.

• Se aij = 0,∀i > j, A diz-se uma matriz triangular superior;

• Se aij = 0,∀i < j, A diz-se uma matriz triangular inferior;

• Se aij = 0,∀i �= j, A diz-se uma matriz diagonal.

1 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 3 Seja A = [aij] ∈Mn (R) tal que{aij = 0, ∀i �= j

aij = 1, ∀i = j. Então,

A = In é a matriz identidade de ordem n.

Definição 4 Seja A = [aij] ∈Mm×n (R) tal que aij = 0, ∀i, j. Então,

A = [0]m×n é uma matriz nula.

Exemplo 2 A =

−1

√3 0

0 0√2

0 0 −1

é uma matriz de ordem 3, triangular superior cujos

elementos principais são −1, 0 e −1; B =[1 0

0 1

]= I2 é a matriz identidade de ordem 2;

C =

[0 0 0

0 0 0

]= [0]2×3 é uma matriz nula.

Definição 5 Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] de tipo m × n são iguais se aij = bij,

para quaisquer i ∈ {1, . . . ,m} e j ∈ {1, . . . , n} .

Exemplo 3 As matrizes A =[1 012

3

]e B =

[ln e cos π

2

0, 5√9

]são iguais.

Definição 6 Seja A = [aij] ∈Mm×n (R). Define-se

1. −A = [−aij] como sendo a oposta da matriz A;

2. AT = [aji] como sendo a transposta da matriz A.

Exemplo 4 Seja A =

−1 4

0 1

2 4

. Então,

−A =

1 −4

0 −1

−2 −4

e AT =

[−1 0 2

4 1 4

].

Observação 1 Qualquer matriz A verifica(AT)T= A.

2 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 7 Seja A = [aij] ∈Mn (R). Então,

1. A diz-se simétrica se AT = A.

2. A diz-se anti-simétrica se AT = −A.

Exemplo 5 Amatriz

2 1 3

1 7 0

3 0 −1

é simétrica e a matriz

0 1 3

−1 0 −1

−3 1 0

é anti-simétrica.

Observação 2 ∀n ∈ N, In é simétrica, pois (In)T = In.

1.2 Operações com matrizes

Definição 8 Sejam A = [aij] , B = [bij] ∈Mm×n (R). Define-se

A+B = [aij + bij] = [cij] ∈Mm×n (R)

como sendo a adição de A com B.

Exemplo 6 Considerem-se as matrizes A =[−1 3 −212

0 1

]e B =

[−1 0 2

− 12

√3 −3

].

Então,

A+ B =

[−2 3 0

0√3 −2

].

Propriedade 1 Sejam A,B,C ∈Mm×n (R) quaisquer e O = [0]m×n. Então,

1. A+ B = B+A; (a adição de matrizes é comutativa)

2. A+ (B+ C) = (A+ B) + C; (a adição de matrizes é associativa)

3. A+O = O+A = A; (a matriz nula é o elemento neutro da adição de matrizes)

4. ∃ (−A) ∈Mm×n (R) : A+(−A) = (−A)+A = O; (a adição de matrizes tem elementosimétrico)

5. (A+ B)T= AT + BT .

Dem. As propriedades da adição de matrizes são consequência imediata das propriedadesda adição de números reais.

3 M at2 - 9 m aio 2014

Observação 3 A operação subtração de matrizes pode ser definida à custa da operaçãoadição e de matriz oposta, pois

A− B = A+ (−B) .

Definição 9 Sejam A = [aij] ∈Mm×n (R) e λ ∈ R quaisquer. Define-se

λA = [λaij] ∈Mm×n (R)

como sendo o produto do escalar λ pela matriz A.

Exemplo 7 Seja A =[−1 3 −212

0 1

]. Então,

2A =

[−2 6 −4

1 0 2

].

Propriedade 2 Sejam A,B ∈Mm×n (R) e λ, µ ∈ R quaisquer. Então,

1. λ(A+ B) = λA+ λB;

2. (λ+ µ)A = λA+ µA;

3. (λµ)A = λ(µA);

4. (λA)T = λ ·AT .

Dem. As propriedades do produto escalar deduzem-se das propriedades da multiplicaçãode números reais.

Definição 10 Duas matrizes A e B dizem-se encadeadas se A é do tipo m× n e B é dotipo n× p, ou seja, se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

Exemplo 8 As matrizes[

1 2 4

−3 0 1

]e

2

0

−1

são encadeadas.

4 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 11 Sejam A = [aik] ∈ Mm×n (R) e B = [bkj] ∈ Mn×p (R) duas matrizesencadeadas. Define-se

AB = [ai1b1j + · · ·+ aikbkj + · · ·+ ainbnj]

=

[n∑

k=1

aikbkj

]

= [cij] ∈Mm×p (R)

como sendo o produto da matriz A pela matriz B, onde o elemento cij se obtem somandotodos os produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos correspondentes elementos dacoluna j da matriz B.

Exemplo 9 Considerem-se as matrizes A =[

1 2 4 5

−3 0 1 −2

]e B =

1 2 0

−2 3 0

0 −1 3

−1 0 2

. As

matrizes A e B são encadeadas e tem-se que

AB =

[1 2 4 5

−3 0 1 −2

]

︸︷︷︸2×4

1 2 0

−2 3 0

0 −1 3

−1 0 2

︸︷︷︸4×3

=

[−8 4 22

−1 −7 −1

]

2×3.

Observação 4 No exemplo anterior, a operação BA não está definida porque B e A nãosão encadeadas.

Propriedade 3 Sejam m,n, p, q ∈ N, A ∈ Mm×n (R) , B ∈ Mn×p (R) e λ ∈ R quaisquer.Então,

1. (AB)C = A(BC), ∀C ∈Mp×q (R) ; (o produto de matrizes é associativo)

2. A(B+C) = AB+AC e (D+E)F = DF+EF desde que os produtos indicados existam;(o produto de matrizes é distributivo em relação à adição)

3. A (λB) = (λA)B = λ (AB) ; (lei do salto)

4. A · In = Im ·A = A; (a matriz identidade é o elemento neutro do produto de matrizes)

5. (AB)T = BTAT ;

6. AAT é uma matriz simétrica.

5 M at2 - 9 m aio 2014

Dem. 1. Sejam A = [aik]m×n , B = [bkj]n×p e C = [cjt]p×q quaisquer. Então, as matrizes(AB)C e A(BC) são ambas do tipo m× q. Além disso,

(AB)C =

[n∑

k=1

aikbkj

]

[cjt] =

[p∑

j=1

(n∑

k=1

aikbkj

)

cjt

]

=

[p∑

j=1

n∑

k=1

aikbkjcjt

]

=

[n∑

k=1

p∑

j=1

aikbkjcjt

]

=

[n∑

k=1

aik

(p∑

j=1

bkjcjt

)]

= [aik]

[p∑

j=1

bkjcjt

]

= A(BC).

2. Sejam A = [aik]m×n , B = [bkj]n×p e C = [ckj]n×p quaisquer. Então, a matriz B+ C é do

tipo n× p e as matrizes A(B+ C), AB, AC e AB+AC são do tipo m× p. Em particular,as matrizes A(B+ C) e AB+AC são do mesmo tipo. Além disso,

A(B+ C) = [aik] [bkj + ckj] =

[n∑

k=1

aik(bkj + ckj)

]

=

[n∑

k=1

(aikbkj + aikckj)

]

=

[n∑

k=1

aikbkj +

n∑

k=1

aikckj

]

=

[n∑

k=1

aikbkj

]

+

[n∑

k=1

aikckj

]

= AB+AC.

Do mesmo modo se prova que (D+ E)F = DF+ EF.

3. Sejam A = [aik]m×n e B = [bkj]n×p quaisquer. Então, a matriz λB é do tipo n × p e asmatrizes AB, A (λB) e λ (AB) são do tipo m×p. Além disso, pelas propriedades associativa,comutativa e distributiva de números reais,

A (λB) = [aik] [λbkj] =

[n∑

k=1

aik (λbkj)

]

=

[n∑

k=1

(λaik)bkj

]

= λ

[n∑

k=1

aikbkj

]

= λ (AB) .

Analogamente se prova que (λA)B = λ (AB).

4. Considere-se A = [aij]m×n e In a matriz identidade de ordem n. Então,

A · In =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

· · · · · · . . . · · ·am1 am2 · · · amn

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0

· · · · · · . . . · · ·0 0 · · · 1

=

a11 · · · a1n

· · · . . . · · ·am1 · · · amn

= A.

Do mesmo modo se prova que Im ·A = A.

6 M at2 - 9 m aio 2014

5. Sejam A = [aik]m×n e B = [bkj]n×p quaisquer. Então, a matriz AB é do tipo m × p, a

matriz (AB)T é do tipo p×m, a matriz BT é do tipo p× n, a matriz AT é do tipo n×m

e a matriz BTAT é do tipo p×m. Em particular, as matrizes (AB)T e BTAT são do mesmotipo. Além disso, pela propriedade comutativa de números reais,

(AB)T=

[n∑

k=1

aikbkj

]T=

[n∑

k=1

akibjk

]

=

[n∑

k=1

bjkaki

]

= [bjk] [aki] = BTAT .

6. Seja A = [aij]m×n qualquer. Então, a matriz AT é do tipo n×m, donde a matriz AAT é

uma matriz quadrada de ordem m. Além disso, pela propriedade 5,(AAT

)T=(AT)TAT = AAT ,

ou seja, AAT é simétrica.

Observação 5 Algumas propriedades válidas para a multiplicação de números reais não sãoválidas para o produto de matrizes.

1. O produto de matrizes não é uma operação comutativa. De facto, em geral,AB �= BA. É aliás bastante frequente encontrar duas matrizes A e B encadeadas(com a operação AB bem definida) onde nem sequer está definida a operação BA (vero Exemplo 9).

2. Não é válida a lei do anulamento do produto, ou seja,

AB = 0� A = 0∨ B = 0.

Por exemplo,[1 1

1 1

] [1 −2

−1 2

]=

[0 0

0 0

].

3. Não é válida a lei do corte, ou seja,

AB = AC� B = C.

Por exemplo,[1 1

1 1

] [1 −2

−1 2

]=

[0 0

0 0

]=

[1 1

1 1

] [0 −1

0 1

].

Definição 12 Sejam A,B ∈Mn (R) quaisquer. Diz-se que A e B são permutáveis se

AB = BA.

Definição 13 Sejam p ∈ N e A uma matriz quadrada. Define-se a potência de expoentep de A por

Ap = A · · · · ·A︸︷︷︸p fatores

.

7 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 10 Considere-se A =[

2 4

−1 2

]. Então,

A2 = AA =

[2 4

−1 2

] [2 4

−1 2

]=

[0 16

−4 0

].

Observação 6 Note-se no exemplo anterior que os elementos da matriz A2 não são osquadrados dos elementos da matriz A e que podem existir elementos negativos na matriz A2.

1.3 Matriz inversa

Definição 14 Seja A ∈Mn (R). Diz-se que A é uma matriz invertível se

∃B ∈Mn (R) : AB = BA = In.

Caso A seja não invertível, A diz-se uma matriz singular.

Exemplo 11 A matriz A =[

2 4

−1 2

]é invertível. De facto, para B =

[14− 1

218

14

]tem-se

AB =

[2 4

−1 2

] [14−1

218

14

]=

[1 0

0 1

]

e

BA =

[14−1

218

14

] [2 4

−1 2

]=

[1 0

0 1

].

Teorema 4 Seja A ∈ Mn (R) invertível. Então, existe apenas uma única matrizB ∈Mn (R) tal que AB = BA = In.

Dem. Seja A ∈ Mn (R) invertível. Suponhamos que existem B,C ∈ Mn (R) tais queAB = BA = In e AC = CA = In. Então, usando as propriedades do produto dematrizes, tem-se que

B = B · In = B (AC) = (BA)C = In · C = C,

donde se conclui que B = C.

Definição 15 Dada uma matriz A invertível, dá-se o nome de matriz inversa de A àúnica matriz B que verifica a propriedade AB = BA = In, representando-se B por A−1.

Exemplo 12 Considere-se a matriz A =[

2 4

−1 2

]do exemplo anterior. Então,

A−1 =

[14− 1

218

14

].

8 M at2 - 9 m aio 2014

Observação 7 O cálculo da matriz inversa de uma matriz invertível será explicado na partefinal deste capítulo.

Propriedade 5 Sejam A,B ∈ Mn (R) matrizes invertíveis e p ∈ N qualquer. Então, asmatrizes A−1, AB, AT e Ap também são invertíveis tais que

1.(A−1

)−1= A;

2. (AB)−1 = B−1A−1 ;

3.(AT)−1

=(A−1

)T;

4. (Ap)−1=(A−1

)p.

Dem. 1. Se A é invertível, então AA−1 = A−1A = In, ou seja, A−1A = AA−1 = In, dondeA é a matriz inversa de A−1.

2. Vejamos que (AB)(B−1A−1

)=(B−1A−1

)(AB) = In. De facto,

(AB)(B−1A−1

)= A

(BB−1

)A−1 = A · In ·A−1 = (AIn)A−1 = AA−1 = In

e (B−1A−1

)(AB) = B−1

(A−1A

)B = B−1 · In · B = B−1 (InB) = B−1B = In.

3. Vejamos que AT (A−1)T = (A−1)TAT = In. De facto,

AT (A−1)T =(A−1A

)T= ITn = In

e(A−1)TAT =

(AA−1

)T= ITn = In.

4. Utiliza-se o método de indução para demonstrar que

∀p ∈ N, (Ap)−1=

A · · · · ·A︸︷︷︸p fatores

−1

= A−1 · · · · ·A−1︸︷︷︸ =(A−1

)p

p fatores

.

Observação 8 A definição de potência de uma matriz pode agora ser generalizada aexpoentes inteiros. Sejam A ∈Mn (R) invertível e p ∈ N. Define-se

A0 = In e A−p = (Ap)−1=(A−1

)p.

Assim, ∀a, b ∈ Z,AaAb = Aa+b e (Aa)

b= Aab.

9 M at2 - 9 m aio 2014

1.4 Dependência e independência linear

A partir de agora, dada uma matriz A = [aij] ∈ Mm×n (R) , não se fará qualquer distinçãoentre a linha i de A e a matriz linha

Li =[ai1 ai2 · · · ain

];

do mesmo modo, a coluna j de A será associada à matriz coluna

Cj =

a1j...aij...

amj

.

Definição 16 Sejam A ∈ Mm×n (R) e p ∈ {1, . . . ,m}. Chama-se combinação linear daslinhas (resp. colunas) L1, L2, . . . , Lp de A a qualquer expressão da forma

λ1L1 + λ2L2 + · · ·+ λpLp,

onde λ1, λ2, . . . , λp são quaisquer números reais designados por coeficientes da combinaçãolinear.

Exemplo 13 Considere-se a matriz identidade I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

A matriz linha[2 −3 1

]é uma combinação linear das linhas de I3 com λ1 = 2, λ2 = −3

e λ3 = 1 pois[2 −3 1

]= 2

[1 0 0

]+ (−3)

[0 1 0

]+ 1 ·

[0 0 1

].

A matriz coluna

4

0

−8

é uma combinação linear das colunas de I3 pois

4

0

−8

= 4

1

0

0

+ (−8)

0

0

1

.

Definição 17 Sejam A ∈ Mm×n (R) e p ∈ {1, . . . ,m}. Diz-se que as linhas (resp. colunas)L1, L2, . . . , Lp de A são linearmente independentes se:

λ1L1 + λ2L2 + · · ·+ λpLp = O =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λp = 0.

Se existem escalares λ1, λ2, . . . , λp não todos nulos tais que λ1L1 + λ2L2 + · · · + λpLp = O,as linhas (resp. colunas) L1, L2, . . . , Lp dizem-se linearmente dependentes.

10 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 14 Considere-se a matriz A =

2 4

3 0

4 8

.

1. Vejamos que as colunas de A, C1 =

2

3

4

e C2 =

4

0

8

, são linearmente indepen-

dentes.

∀λ1, λ2 ∈ R : λ1C1 + λ2C2 = O⇒ λ1

2

3

4

+ λ2

4

0

8

=

0

0

0

⇒

2λ1 + 4λ2

3λ14λ1 + 8λ2

=

0

0

0

⇒

2λ1 + 4λ2 = 0

3λ1 = 0

4λ1 + 8λ2 = 0

⇒

λ2 = 0

λ1 = 0

−

⇒ λ1 = λ2 = 0.

2. Vejamos que as linhas de A, L1 =[2 4

], L2 =

[3 0

]e L3 =

[4 8

], são

linearmente dependentes.

∀λ1, λ2, λ3 ∈ R : λ1L1 + λ2L2 + λ3L3 = O

⇒ λ1[2 4

]+ λ2

[3 0

]+ λ3

[4 8

]=[0 0

]

⇒[2λ1 + 3λ2 + 4λ3 4λ1 + 8λ3

]=[0 0

]

⇒{2λ1 + 3λ2 + 4λ3 = 0

4λ1 + 8λ3 = 0⇒{

−

λ1 + 2λ3 = 0

⇒{−4λ3 + 3λ2 + 4λ3 = 0

λ1 = −2λ3⇒{λ2 = 0

λ1 = −2λ3, λ3 ∈ R .

Assim, por exemplo para λ3 = 1, tem-se

(−2) L1 + L3 = O.

Teorema 6 Sejam A ∈Mm×n (R) e p ∈ {2, . . . ,m}. As linhas (resp. colunas) L1, L2, . . . , Lpde A são linearmente dependentes se e só se uma delas é combinação linear das restantes.

Dem. ⇒ Suponha-se que as linhas (resp. colunas) L1, L2, . . . , Lp de A são linearmentedependentes. Por definição, existem escalares λ1, λ2, . . . , λp não todos nulos tais que

λ1L1 + λ2L2 + · · ·+ λpLp = O.

Sem perda de generalidade, podemos supor que λ1 �= 0. Da igualdade anterior resulta que

L1 = −λ2

λ1L2 − · · ·−

λp

λ1Lp,

ou seja, L1 é combinação linear das restantes linhas (resp. colunas).

11 M at2 - 9 m aio 2014

⇐ Suponha-se, igualmente sem perda de generalidade, que L1 é combinação linear dasrestantes linhas (resp. colunas). Então,

∃λ2, . . . , λp ∈ R : L1 = λ2L2 + · · ·+ λpLp ⇒ (−1)L1 + λ2L2 + · · ·+ λpLp = O,

em que o coeficiente de L1 é −1 �= 0. Conclui-se assim que L1, L2, . . . , Lp são linearmentedependentes.

Observação 9 Note-se no exemplo anterior que L3 = 2L1 = 2L1 + 0 · L2, ou seja, L3 écombinação linear de L1 e L2, donde se deduz que as linhas de A são linearmente dependentes.

Corolário 7 Qualquer matriz com uma linha (ou coluna) nula tem as suas linhas (resp.colunas) linearmente dependentes.

Dem. Sejam L1, . . . , Lp as linhas de uma matriz A tais que L1 = O. Então,

L1 + 0 · L2 + · · ·+ 0 · Lp = O,

em que o coeficiente de L1 é 1 �= 0. Conclui-se assim que L1, L2, . . . , Lp são linearmentedependentes. Se a linha nula de A fosse uma das outras, a demonstração era análoga.

Propriedade 8 Sejam A ∈ Mm×n (R) , p ∈ {1, . . . ,m} e λ ∈ R quaisquer. As linhasL1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Lp de A são linearmente independentes (resp. dependentes) se e só se

L1, . . . , Li + λLj, . . . , Lj, . . . , Lp

são linearmente independentes (resp. dependentes).

Dem. Basta provar o resultado para a independência linear, pois a dependência linear é asua negação. Tem-se que

λ1L1 + · · ·+ λiLi + · · ·+ λjLj + · · ·+ λpLp

= λ1L1 + · · ·+ λiLi + · · ·+ λjLj + · · ·+ λpLp + λ · λiLj − λ · λiLj= λ1L1 + · · ·+ λi (Li + λLj) + · · ·+ (λj − λλi)Lj + · · ·+ λLp.

Assim, os coeficientes de uma combinação linear são todos nulos se e só se o mesmo acontecer

com os da outra.

Observação 10 A propriedade anterior, também válida para as colunas de uma matriz,pode ser enunciada da seguinte forma:

A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriznão se altera se adicionarmos a uma delas qualquer outra multiplicada por

um escalar.

12 M at2 - 9 m aio 2014

Propriedade 9 Sejam A ∈ Mm×n (R) , p ∈ {1, . . . ,m} e λ ∈ R \ {0} quaisquer. Aslinhas L1, . . . , Li, . . . , Lp de A são linearmente independentes (resp. dependentes) se e sóse L1, . . . , λLi, . . . , Lp são linearmente independentes (resp. dependentes).

Dem. Basta provar o resultado para a independência linear, pois a dependência linear é asua negação. Como λ �= 0, tem-se que

λ1L1 + · · ·+ λiLi + · · ·+ λpLp

= λ1L1 + · · ·+λi

λ(λLi) + · · ·+ λpLp.

Assim, os coeficientes de uma combinação linear são todos nulos se e só se o mesmo acontecercom os da outra.

Observação 11 A propriedade anterior, também válida para as colunas de uma matriz,pode ser enunciada da seguinte forma:

A dependência ou independência linear das linhas (colunas) de uma matriznão se altera se multiplicarmos uma delas por um escalar diferente de zero.

Corolário 10 A independência ou dependência linear das linhas (ou colunas) de uma matriznão se altera se a uma delas adicionarmos uma combinação linear das restantes.

Dem. O resultado é consequência imediata da sucessiva aplicação das duas propriedadesanteriores.

Exemplo 15 Considere-se a matriz A do Exemplo 14.

Já se viu que as colunas de A, C1 e C2, são linearmente independentes. Seja B =

−2 0

−3 −6

−4 0

,

cujas colunas designaremos por C3 e C4. Como C3 = −C1 e C4 = −2C1 + C2, pelas pro-priedades anteriores, conclui-se que as colunas de B também são linearmente independentes.

1.5 Característica e operações elementares

Definição 18 Seja A ∈ Mm×n (R). Define-se característica de A como sendo o númeromáximo de linhas linearmente independentes de A, representado pela notação c(A).

Antes de generalizar, descreve-se em seguida como se obtém a característica de uma classeparticular de matrizes – as matrizes em escada.

13 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 19 Seja A ∈Mm×n (R). Diz-se que A é uma matriz em escada se:

1. As linhas nulas, caso existam, são as últimas linhas;

2. Para cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (a que se dá o nome deelemento redutor ou pivot) aparece sempre à direita do primeiro elemento não nulode qualquer linha acima dele.

Exemplo 16 Considerem-se as matrizes

A =

1 0 2 −3

0 2 0 8

0 0 3 −4

, B =

1 0 0

0 0 0

0 1 0

, C =[0 0

0 0

],

D =

0 2 −2 0 5

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0

, E =

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 0 4

e F =

1 0 5

0 1 1

0 2 2

.

As matrizes A, C, D e E estão em escada; as matrizes B e F não estão em escada.

Propriedade 11 Seja A ∈ Mm×n (R) uma matriz em escada. Então,

1. As linhas não nulas são linearmente independentes.

2. As colunas que contêm os elementos redutores são linearmente independentes.

3. A característica de A é igual ao número de linhas não nulas, que é igual ao númerode elementos redutores.

Dem. A demonstração destas propriedades será feita para uma matriz em escada parti-cular de tipo 5 × 5; a generalização para uma qualquer matriz em escada é feita de formasemelhante. Suponhamos então que

A =

a11 a12 a13 a14 a150 a22 a23 a24 a250 0 0 0 a350 0 0 0 0

0 0 0 0 0

,

onde a11 �= 0, a22 �= 0 e a35 �= 0.1. Vejamos que as linhas não nulas de A, L1, L2 e L3, são linearmente independentes.

∀λ1, λ2, λ3 ∈ R : λ1L1 + λ2L2 + λ3L3 = O

⇒[a11λ1 λ1a12 + λ2a22 · · · · · · λ1a15 + λ2a25 + λ3a35

]= [0]1×5

⇒

a11λ1 = 0

λ1a12 + λ2a22 = 0

λ1a13 + λ2a23 = 0

λ1a14 + λ2a24 = 0

λ1a15 + λ2a25 + λ3a35 = 0

⇒a11 �=0a22 �=0

λ1 = 0

λ2 = 0

0 = 0

0 = 0

λ3a35 = 0

⇒a35 �=0

−

−

−

−

λ3 = 0

⇒ λ1 = λ2 = λ3 = 0.

14 M at2 - 9 m aio 2014

2. Vejamos que as colunas de A que contêm os elementos redutores, C1, C2 e C5, sãolinearmente independentes.

∀λ1, λ2, λ3 ∈ R : λ1C1 + λ2C2 + λ3C5 = O

⇒

λ1a11 + λ2a12 + λ3a15λ2a22 + λ3a25

λ3a350

0

=

0

0

0

0

0

⇒

λ1a11 + λ2a12 + λ3a15 = 0

λ2a22 + λ3a25 = 0

λ3a35 = 0

0 = 0

0 = 0

⇒a35 �=0

λ1a11 + λ2a12 = 0

λ2a22 = 0

λ3 = 0

−

−

⇒a22 �=0

λ1a11 = 0

λ2 = 0

−

−

−

⇒a22 �=0

λ1 = 0

−

−

−

−

⇒ λ1 = λ2 = λ3 = 0.

3. Por 1, tem-se que {L1, L2, L3} é linearmente independente. Se acrescentarmos a esteconjunto alguma das restantes linhas da matriz (que são nulas), esse novo conjunto serálinearmente dependente pelo Corolário 7. Assim, c(A) = 3. Por outro lado, por 2, tem-se que {C1, C2, C5} é linearmente independente. Se acrescentarmos a este conjunto algumadas restantes colunas da matriz, C3 ou C4 (cujos 3 últimos elementos são nulos), esse novoconjunto será linearmente dependente pelo Teorema 6, pois C3 e C4 são combinações linearesde C1 e C2. Assim, o número de elementos redutores coincide com a característica de A.

Exemplo 17 Considerando-se as matrizes em escada do Exemplo 16, tem-se que

c(A) = c(E), c(C) = 0 e c(D) = 2.

Segue-se agora a forma como pode ser obtida a característica de uma matriz qualquer.

Definição 20 Seja A ∈ Mm×n (R). Chamam-se operações elementares sobre A àsseguintes operações:

OE1 Troca entre si de duas linhas (ou colunas) de A;

OE2 Multiplicação de uma linha (ou coluna) de A por λ ∈ R \ {0};

OE3 Soma de uma linha (ou coluna) de A com outra linha (ou coluna), multiplicada porλ ∈ R.

Propriedade 12 Seja A ∈ Mm×n (R). As operações elementares sobre A não alteram adependência ou independência linear das linhas e colunas de A.

15 M at2 - 9 m aio 2014

Dem. O resultado é consequência das Propriedades 8 e 9 e do Corolário 10.

Propriedade 13 Seja A ∈ Mm×n (R). A característica de A coincide com a característicade qualquer matriz em escada obtida a partir de A por operações elementares sobre linhas(ou colunas).

Dem. O resultado é consequência das Propriedades 11 e 12.

Teorema 14 O número máximo de linhas linearmente independentes de uma matriz é igualao número máximo de colunas linearmente independentes dessa matriz.

Dem. Seja A ∈Mm×n (R) qualquer. Aplicando repetidamente operações elementares sobrelinhas, transforma-se A numa matriz em escada A

′

. Após uma adequada troca de colunas,a matriz A

′

pode ser transformada numa matriz em escada da forma

A′′

=

a′

11 ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗0 a

′

22 · · · ∗ ∗ · · · ∗... 0

. . ....

... · · · ......

...... a

′

pp ∗ · · · ∗0 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

......

......

0 0 · · · 0 0 · · · 0

,

onde a′

11, a′

22, . . . , a′

pp são os pivots e os asteriscos representam as restantes entradas, even-tualmente não nulas. Primeiro usam-se os pivots para anular os elementos não nulos situadosacima de cada uma das suas colunas através de operações elementares sobre linhas e emseguida usam-se os pivots para anular os elementos não nulos situados nas restantes colunasatravés de operações elementares sobre colunas. Obtem-se então seguinte matriz:

a′

11 0 · · · 0 0 · · · 0

0 a′

22 · · · 0 0 · · · 0... 0

. . ....

... · · · ......

...... a

′

pp 0 · · · 0

0 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

......

......

0 0 · · · 0 0 · · · 0

. (1)

Verifica-se que nesta matriz em escada o número máximo de linhas linearmente independentesé igual ao número máximo de colunas linearmente independentes, sendo ambos iguais a p.Pela Propriedade 12 as operações elementares efetuadas não alteraram a independência lineardas linhas e das colunas da matriz inicial A. Assim, a mesma igualdade é válida para a matrizA.

Observação 12 O processo de transformação de uma qualquer matriz numa matriz com aforma (1), através de operações elementares, designa-se por condensação.

16 M at2 - 9 m aio 2014

Corolário 15 A característica de uma matriz é igual ao número máximo de linhaslinearmente independentes ou, equivalentemente, ao número máximo de colunas linearmenteindependentes.

Dem. O resultado é consequência imediata do Teorema 14.

A partir dos resultados anteriores, obtem-se o seguinte processo para calcular a caracterís-tica de uma dada matriz: efetuam-se repetidamente operações elementares sobre as linhasda matriz até a transformar numa matriz em escada. Assim, a característica da matriz emescada obtida no final do processo será igual à característica da matriz inicial.

Exemplo 18 Seja A =

4 −6 −16 012

0 −3 12

−1 3 2 1

. Então,

A =

4 −6 −16 012

0 −3 12

−1 3 2 1

12L1−→

2 −3 −8 012

0 −3 12

−1 3 2 1

−→

L3 ⇄ L1

−1 3 2 112

0 −3 12

2 −3 −8 0

−→

L2 +12L1

L3 + 2L1

−1 3 2 1

0 32

−2 1

0 3 −4 2

−→

L3 − 2L2

−1 3 2 1

0 32

−2 1

0 0 0 0

= A

′

.

Logo, c(A) = c(A′

) = 2.

Exemplo 19 Seja B =

1 −1

2 4

3 −1

. Então, as linhas de B são linearmente dependentes.

Como c(B) coincide com o número de elementos redutores e B só tem duas colunas, c(B) ≤ 2.Assim, as três linhas de B não podem ser linearmente independentes.

1.6 Sistemas de equações lineares

Definição 21 Consideremos o seguinte sistema (S) dem equações lineares com n incógnitasx1, ..., xn:

(S)

a11x1 + · · ·+ a1jxj + · · ·+ a1nxn = b1...

ai1x1 + · · ·+ aijxj + · · ·+ ainxn = bi...

am1x1 + · · ·+ amjxj + · · ·+ amnxn = bm

,

onde ∀i ∈ {1, . . . ,m} ∀j ∈ {1, . . . , n} , aij , bi ∈ R.

17 M at2 - 9 m aio 2014

O sistema (S) pode representar-se matricialmente por AX = B, onde A = [aij]m×n ,

X =

x1...xn

n×1

e B =

b1...bm

m×1

.

Seja AX = B a representação matricial do sistema de equações lineares (S).

1. A designa-se por matriz dos coeficientes de (S);

2. X designa-se por matriz das incógnitas de (S);

3. B designa-se por matriz dos termos independentes de (S);

4. A|B =

a11 · · · a1n | b1...

. . .... |

...am1 · · · amn | bm

designa-se por matriz ampliada de (S).

Exemplo 20 A representação matricial do sistema{2x− 3y+ z = −1

z− x = 2é AX = B, com

X =

x

y

z

, A =[

2 −3 1

−1 0 1

]e B =

[1

2

].

Definição 22 Chama-se solução do sistema (S) a um conjunto de escalares λ1, . . . , λnque, depois de substituirem as incógnitas x1, . . . , xn, transformam as m equações do sistemaem igualdades verdadeiras. Assim, a solução do sistema (S) na forma matricial é uma matrizcoluna

X0 =

λ1...λn

,

tal que AX0 = B é uma igualdade matricial verdadeira.

Observação 13 Resolver o sistema (S) é determinar todas as suas soluções.

Definição 23 O sistema (S) diz-se possível se admitir uma ou mais soluções. O sistemadiz-se impossível se não admitir nenhuma solução.Um sistema possível diz-se determinado se admitir uma única solução e indeterminadose admitir mais do que uma solução (e nesse caso admite uma infinidade de soluções).Dois sistemas dizem-se equivalentes se tiverem as mesmas soluções.

18 M at2 - 9 m aio 2014

Para resolver um sistema de equações lineares pode-se aplicar o processo apresentado nasecção anterior para calcular a característica de uma matriz, que neste contexto se designapor método de eliminação de Gauss.

Com efeito, para resolver o sistema AX = B bastará transformar a matriz ampliadaA|B numa matriz em escada executando repetidamente operações elementares sobre linhas.Obtem-se então um sistema equivalente ao inicial cujas soluções são facilmente obtidas porretrosubstituição, isto é, por substituição ascendente das incógnitas.

Observação 14 Repare-se que, quando aplicada sobre A|B, a operação OE1 correspondeà troca de duas equações do sistema, a operação OE2 corresponde à multiplicação de umaequação do sistema por um escalar não nulo e a operação OE3 corresponde à adição auma equação doutra equação multiplicada por uma constante. Portanto, qualquer uma dasoperações elementares sobre A|B substitui o sistema inicial por outro equivalente.

Observação 15 Note-se que, durante a resolução do sistema, poderá ser conveniente trocaras colunas da matriz ampliada que contêm os coeficientes das incógnitas. Contudo, essatroca deve ser registada pois altera a posição das incógnitas. Sublinhe-se também que nestecontexto nunca se poderão efetuar as operações OE2 e OE3 sobre as colunas.

Exemplo 21 Considere-se o sistema

x+ y− 2z = −2

−2x+ 3z = 1

x+ 3y− z = −1

cuja forma matricial é AX = B,

com A =

1 1 −2

−2 0 3

1 3 −1

, X =

x

y

z

e B =

−2

1

−1

. Então,

A|B =

1 1 −2 | −2

−2 0 3 | 1

1 3 −1 | −1

−→

L2 + 2L1L3 − L1

1 1 −2 | −2

0 2 −1 | −3

0 2 1 | 1

−→

L3 − L2

1 1 −2 | −2

0 2 −1 | −3

0 0 2 | 4

= A

′

|B′

.

Assim, o sistema inicial é equivalente ao sistema

x+ y− 2z = −2

2y− z = −3

2z = 4

⇒

x+ y− 4 = −2

2y− 2 = −3

z = 2

⇒

x+ y = 2

2y = −1

−

⇒

x− 12= 2

y = − 12

−

⇒

x = 52

−

−

,

donde

x = 52

y = −12

z = 2

é a solução (única) do sistema.

19 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 24 Seja A ∈ Mm×n (R) uma matriz em escada. Diz-se que A é uma matrizreduzida se

1. Os elementos redutores são todos iguais a 1;

2. Os elementos situados acima dos redutores são todos iguais a zero.

Exemplo 22 A matriz

0 1 −2 0 −1

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0

é reduzida.

Ao aplicar o método de eliminação de Gauss pode-se, alternativamente ao processode retrosubstituição, transformar a matriz ampliada do sistema numa matriz reduzida,prosseguindo com as operações elementares sobre linhas de forma ascendente na matrizem escada.

Exemplo 23 Considere-se a representação matricial AX = B do sistema do Exemplo 21.Já se viu que

A′

|B′

=

1 1 −2 | −2

0 2 −1 | −3

0 0 2 | 4

.

Em vez de se usar o processo de retrosubstituição, vamos transformar a matriz A′

|B′

numamatriz reduzida. Assim,

1 1 −2 | −2

0 2 −1 | −3

0 0 2 | 4

−→12L2

12L3

1 1 −2 | −2

0 1 −12| − 3

2

0 0 1 | 2

L1 − L2−→

1 0 −32| −1

2

0 1 −12| −3

2

0 0 1 | 2

L1 +32L3

L1 +12L3

−→

1 0 0 | 52

0 1 0 | −12

0 0 1 | 2

,

donde X0 =

52

−12

2

é a solução do sistema.

Teorema 16 (Rouché) Um sistema de equações AX = B é possível se e só se a carac-terística da matriz dos coeficientes A for igual à característica da matriz ampliada A|B. Emparticular, sempre que c(A) = c(A|B),

1. O sistema é possível e determinado se a característica de A for igual ao número deincógnitas do sistema.

2. O sistema é possível e indeterminado se a característica de A for menor que o númerode incógnitas do sistema.

Dem. A demonstração destes resultados necessita das noções de espaço vetorial e respetivaspropriedades, matéria que não faz parte do programa desta UC. Aconselha-se a sua consultana bibliografia complementar sobre Álgebra Linear.

20 M at2 - 9 m aio 2014

O teorema anterior pode sistematizar-se do seguinte modo:

Determinadoր c(A) = n.o incogn.

Possívelc(A) = c(A|B)

ր ց IndeterminadoSistema c(A) �= n.o incogn.

AX = B ցImpossível

c(A) �= c(A|B)

Exemplo 24 Consideremos o sistema

x+ y+ z = 1

x− y+ 2z = a

2x+ bz = 2

, onde a, b ∈ R. Vamos utilizar

os resultados do Teorema 16 para discutir este sistema em função dos parâmetro a e b.A representação matricial do sistema é AX = B, com X =

[x y z

]Te

A|B =

1 1 1 | 1

1 −1 2 | a

2 0 b | 2

−→

L2 − L1L3 − 2L1

1 1 1 | 1

0 −2 1 | a− 1

0 −2 b− 2 | 0

−→

L3 − L2

1 1 1 | 1

0 −2 1 | a− 1

0 0 b− 3 | 1− a

= A

′

|B′

.

Assim,

• se b− 3 �= 0∧ a ∈ R, ou seja, se b �= 3∧ a ∈ R,

c(A) = c(A′

) = 3

c(A|B) = c(A′

|B′

) = 3

n.o incogn. = 3

.

Logo, o sistema é possível e determinado.

• Se b = 3,

A′

|B′

=

1 1 1 | 1

0 −2 1 | a− 1

0 0 0 | 1− a

,

donde c(A) = c(A′

) = 2.

— Caso a = 1,{

c(A|B) = c(A′

|B′

) = 2

n.o incogn. = 3e portanto o sistema é possível e

indeterminado;

— Caso a �= 1,{

c(A|B) = c(A′

|B′

) = 3

n.o incogn. = 3e portanto o sistema é impossível.

21 M at2 - 9 m aio 2014

1.7 Sistemas homogéneos

Nesta secção estudam-se, em particular, os sistemas de equações lineares homogéneos, degrande importância no capítulo dos Valores e Vetores Próprios.

Definição 25 Um sistema linear de equações lineares com representação matricial AX = B

diz-ze homogéneo se B = O, ou seja, é da forma AX = O.

Qualquer sistema homogéneo é possível pois admite, pelo menos, a solução nula X = O,também designada por solução trivial. Assim, a resolução de um sistema homogéneo permi-tirá saber se este é determinado (isto é, se admite apenas a solução trivial) ou indeterminado(isto é, se além da solução trivial admite outras soluções não nulas).

Exemplo 25 Considere-se o sistema homogéneo

x+ y− 2z = 0

−2x+ 5z = 0

x+ 3y− z = 0

cuja representação

matricial é AX = O, com X =[x y z

]Te

A|O =

1 1 −2 | 0

−2 0 5 | 0

1 3 −1 | 0

−→

L2 + 2L1L3 − L1

1 1 −2 | 0

0 2 1 | 0

0 2 1 | 0

−→

L3 − L2

1 1 −2 | 0

0 2 1 | 0

0 0 0 | 0

−→12L2

1 1 −2 | 0

0 1 12

| 0

0 0 0 | 0

L1 − L2−→

1 0 −5

2| 0

0 1 12

| 0

0 0 0 | 0

.


x− 52z = 0

y+ 12z = 0

0 = 0

⇒

x = 52z

y = −12z

z ∈ R,

donde X =

52z

−12z

z

, ∀z ∈ R são as soluções de AX = O.

Observação 16 Para o caso particular de um sistema de equações lineares cuja matrizdos coeficientes é quadrada, tem-se a seguinte correspondência com o sistema homogéneoassociado (deduzida por aplicação do Teorema 16):

A ∈Mn (R) AX = B AX = 0

Tipo poss. e det. poss. e det.de poss. e indet. poss. e indet.

Sistema impossível poss. e indet..

22 M at2 - 9 m aio 2014

Teorema 17 Seja AX = B um sistema não homogéneo possível. Então,

Z é solução de AX = B⇔ Z = X0 + Y,

onde X0 é uma solução particular de AX = B e Y é uma solução do sistema homogéneoAX = 0.

Dem. ⇒ Seja Z uma solução de AX = B. Sendo X0 uma solução particular deste sistema,tem-se

A(Z− X0) = AZ−AX0 = B− B = O.

Então Z−X0 é uma solução do sistema homogéneo AX = O e, designando esta solução porY, tem-se Z− X0 = Y, ou seja, Z = X0 + Y.⇐ Inversamente, seja Z = X0 + Y uma matriz coluna nas condições do enunciado. Então,

AZ = A(X0 + Y) = AX0 +AY = B+O = B,

isto é, Z é solução de AX = B.

Exemplo 26 Consideremos o sistema não homogéneo

x+ y− 2z = 1

−2x+ 5z = 1

x+ 3y− z = 4

cuja represen-

tação matricial é AX = B, com X =[x y z

]Te

A|B =

1 1 −2 | 1

−2 0 5 | 1

1 3 −1 | 4

−→

L2 + 2L1L3 − L1

1 1 −2 | 1

0 2 1 | 3

0 2 1 | 3

−→

L3 − L2

1 1 −2 | 1

0 2 1 | 3

0 0 0 | 0

−→12L2

1 1 −2 | 1

0 1 12

| 32

0 0 0 | 0

L1 − L2−→

1 0 −5

2| −1

2

0 1 12

| 32

0 0 0 | 0

.


x− 52z = −1

2

y+ 12z = 3

2

0 = 0

⇒

x = − 12+ 5

2z

y = 32− 1

2z

z ∈ R,

donde X =

−1

2+ 5

2z

32− 1

2z

z

, ∀z ∈ R são as soluções de AX = B.

O sistema homogéneo associado AX = O já foi resolvido no Exemplo 25, verificando-se que

X =

− 1

2+ 5

2z

32− 1

2z

z

=

− 1

232

0

+

52z

−12z

z

= X0 + Y

tal que X0 é solução de AX = B e Y é solução de AX = O.

23 M at2 - 9 m aio 2014

Observação 17 Por aplicação do teorema anterior, tem-se a seguinte correspondência entreas soluções de um sistema possível e o sistema homogéneo associado:

SOLUÇÕES AX = B AX = 0Poss. e Det. X = X0 X = 0

Poss. e Indet. X = X0 + Y X = Y.

1.8 Cálculo da matriz inversa

Propriedade 18 Seja A ∈Mn (R) invertível. Então, existe uma única solução da equaçãomatricial

AX = In.

Essa solução é X = A−1.

Dem. Como A é invertível, então existe A−1 ∈Mn (R) tal que

AA−1 = In.

Logo, X = A−1 é solução da equação AX = In. Resta ver que esta solução é única.Seja X = B uma qualquer solução da equação AX = In. Então,

AB = In ⇒ A−1 (AB) = A−1 · In⇒

(A−1A

)B = A−1 ⇒ In · B = A−1,

donde B = A−1.

A partir da propriedade anterior, conclui-se que para qualquer A ∈ Mn (R) invertível, asua matriz inversa A−1 pode ser determinada aplicando o método de eliminação de Gauss àmatriz ampliada A|In até a transformar na matriz reduzida In |A

−1.

Exemplo 27 Calculemos a inversa da matriz A =[4 −2

3 1

].

A|I2 =

[4 −2 | 1 0

3 1 | 0 1

]L1 − L2−→

[1 −3 | 1 −1

3 1 | 0 1

]−→

L2 − 3L1[

1 −3 | 1 −1

0 10 | −3 4

]−→110L2

[1 −3 | 1 −1

0 1 | − 310

25

]

L1 + 3L2−→

[1 0 | 1

1015

0 1 | − 310

25

]

= I2 |A−1.

Assim,

A−1 =

[110

15

− 310

25

]

.

24 M at2 - 9 m aio 2014

2 Determinantes

2.1 Definição axiomática e propriedades

Definição 26 Sejam A = [aij] ∈ Mn (R) e Li = (ai1, . . . , ain) ∈ Rn o vetor correspondenteà linha i da matriz A, ∀i ∈ {1, . . . , n}.Define-se determinante da matriz A, e representa-se por detA ou |A|, como sendo aaplicação que transforma as n linhas de A num escalar e que satisfaz os seguintes axiomas∀1 � i � n:

A1. det(L1, .., λLi, .., Ln) = λ det(L1, .., Li, .., Ln) = λdetA, ∀λ ∈ R;

A2. det(L1, .., Li + L′i, .., Ln) = det(L1, .., Li, .., Ln) + det(L1, .., L′i, .., Ln);

A3. ∃j ∈ {1, .., n} : i �= j∧ Li = Lj ⇒ det(L1, .., Li, .., Lj, .., Ln) = 0;

A4. det In = 1.

Exemplo 28 Sejam A =

2 −2 1

0 −1 2

6 3 −3

e B =

2 −2 1

1 0 −2

6 3 −3

. Então,

1

2A =

1 −1 1

2

0 −12

1

3 32

−32

.

No entanto, pelo axioma A1,

1

2|A| =

1

2

∣∣∣∣∣∣

2 −2 1

0 −1 2

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 −1 12

0 −1 2

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

2 −2 1

0 −12

1

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

2 −2 1

0 −1 2

3 32

−32

∣∣∣∣∣∣

e, pelos axiomas A2 e A3,

|A| + |B| =

∣∣∣∣∣∣

2 −2 1

0 −1 2

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

2 −2 1

1 0 −2

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

2 −2 1

1 −1 0

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 −1 0

1 −1 0

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

1 −1 1

1 −1 0

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣

= 0+

∣∣∣∣∣∣

1 −1 1

1 −1 0

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 −1 1

1 −1 0

6 3 −3

∣∣∣∣∣∣.

25 M at2 - 9 m aio 2014

Propriedade 19 Sejam A ∈Mn(R) e λ ∈ R quaisquer. Então,

det (λA) = λn detA.

Dem. Seja A = (L1, . . . , Ln). Então, λA = (λL1, . . . , λLn). Assim, aplicando sucessiva-mente o axioma A1 a todas as linhas da matriz λA, tem-se que

det (λA) = det(λL1, λL2, . . . , λLn) = λ det(L1, λL2, . . . , λLn)

= λ2 det(L1, L2, λL3, . . . , λLn) = · · · = λn detA. �

Observação 18 Note-se que em geral, dadas A,B ∈Mn(R),

det(A+ B) �= detA+ detB.

Tome-se o exemplo em que A = B =

[1 0

0 1

]. Assim, A + B =

[2 0

0 2

]= 2I2. Assim,

pela propriedade anterior e axioma A4,

|A+ B| = 4 det I2 = 4× 1 = 4 �= 2 = 1+ 1 = |A| + |B| .

Propriedade 20 Seja A ∈ Mn(R). Então, ∀i, j ∈ {1, ..., n} : i �= j e ∀λ ∈ R,

1. Li = �0⇒ detA = 0;

2. detA = det(L1, ..., Li, ..., Lj, ..., Ln) = −det(L1, ..., Lj, ..., Li, ..., Ln);

3. Se as linhas de A são linearmente dependentes, então detA = 0;

4. detA = det(L1, ..., Li, ..., Lj, ..., Ln) = det(L1, ..., Li + λLj, ..., Lj, ..., Ln).

Dem. 1. Se Li = �0, pelo axioma A1,

detA = det(L1, . . . ,�0, . . . , Ln) = det(L1, . . . , 0×�0, . . . , Ln)= 0× det(L1, . . . ,�0, . . . , Ln) = 0.

2. Pelo axioma A3,det(L1, . . . , Li + Lj, . . . , Li + Lj, . . . , Ln) = 0.

Por outro lado, pelos axiomas A2 e A3,

det(L1, . . . , Li + Lj, . . . , Li + Lj, . . . , Ln)

= det(L1, . . . , Li, . . . , Li + Lj, . . . , Ln) + det(L1, . . . , Lj, . . . , Li + Lj, . . . , Ln)

= det(L1, . . . , Li, . . . , Li, . . . , Ln) + det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln)

+det(L1, . . . , Lj, . . . , Li, . . . , Ln) + det(L1, . . . , Lj, . . . , Lj, . . . , Ln)

= 0+ det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) + det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) + 0

= det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) + det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln).

26 M at2 - 9 m aio 2014

Assim,

det(L1, . . . , Li + Lj, . . . , Li + Lj, . . . , Ln) = 0⇔det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) + det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) = 0,

ou seja, det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln) = −det(L1, . . . , Li, . . . , Lj, . . . , Ln).

3. Se as linhas de A são linearmente dependentes, então uma das linhas, Li, é combinaçãolinear das restantes, ou seja ∃λ1, . . . , λn−1 ∈ R : Lj = λ1L1 + · · · + λn−1Ln. Assim, pelosaxiomas A2, A1 e A3,

detA = det(L1, . . . , Li, . . . , Ln) = det(L1, . . . , λ1L1 + · · ·+ λn−1Ln, . . . , Ln)

= det(L1, . . . , λ1L1, . . . , Ln) + · · ·+ det(L1, . . . , λn−1Ln, . . . , Ln)

= λ1 det(L1, . . . , L1, . . . , Ln) + · · ·+ λn−1 det(L1, . . . , Ln, . . . , Ln)

= λ1 × 0+ · · ·+ λn−1 × 0 = 0.

4. Pelos axiomas A2, A1 e A3,

det(L1, ..., Li + λLj, ..., Lj, ..., Ln)

= det(L1, ..., Li, ..., Lj, ..., Ln) + det(L1, ..., λLj, ..., Lj, ..., Ln)

= detA+ λdet(L1, ..., λLj, ..., Lj, ..., Ln) = detA+ λ× 0 = detA.

Assim, detA = det(L1, ..., Li + λLj, ..., Lj, ..., Ln).

Exemplo 29 Considere a matriz A =

3 4 2 1

1 3 1 1

3 1 3 3

a b c d

tal que detA = 3. Pretende-se

calcular o determinante da seguinte matriz:

B =

1 3 1 1

a b c d

2a+ 3 2b+ 4 2c+ 2 2d+ 1

6 2 6 6

.

Aplicando os axiomas e as propriedades dos determinantes, tem-se

detB =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 1

a b c d

2a 2b 2c 2d

6 2 6 6

∣∣∣∣∣∣∣∣12L3

+

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 1

a b c d

3 4 2 1

6 2 6 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ L4 ⇄ L2

= 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 1

a b c d

a b c d

6 2 6 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ (L3 = L2)

−

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 1

6 2 6 6

3 4 2 1

a b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣

12L2

= 2 · 0− 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 1 1

3 1 3 3

3 4 2 1

a b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣ L3 ⇄ L1

= 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 4 2 1

3 1 3 3

1 3 1 1

a b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣ L3 ⇄ L2

= −2 detA = −2× 3 = −6.

27 M at2 - 9 m aio 2014

2.2 Métodos de cálculo

A partir das propriedades anteriores, é possível calcular o determinante de certas matrizesparticulares.

Propriedade 21 Seja A ∈ Mn(R). Então,

1. n = 2⇒ detA =

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12 ;

2. Se A é matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior,

detA = a11a22...ann.

Dem. 1. Pelos axiomas A2 e A1, pela Parte 2 da Propriedade 20 e pelos axioma A3 e A4,

detA =

∣∣∣∣a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a11 0

a21 a22

∣∣∣∣+∣∣∣∣

0 a12a21 a22

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣a11 0

a21 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣a11 0

0 a22

∣∣∣∣+∣∣∣∣

0 a12a21 0

∣∣∣∣+∣∣∣∣0 a120 a22

∣∣∣∣

= a11a21

∣∣∣∣1 0

1 0

∣∣∣∣ + a11a22

∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣−∣∣∣∣a21 0

0 a12

∣∣∣∣+ a12a22

∣∣∣∣0 1

0 1

∣∣∣∣

= a11a21 × 0+ a11a22 × 1− a21a12 det I2 + a12a22 × 0 = a11a22 − a21a12.

2. Suponhamos primeiro que A é matriz diagonal. Então, pelos axiomas A1 e A4,

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 · · · 0

0 a22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a11a22 · · · ann det In

= a11a22 · · · ann × 1 = a11a22 · · · ann.

Suponhamos agora que A é matriz triangular superior. Então,

A =

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · ann

.

Vamos distinguir dois casos:

Caso 1: Algum dos elementos da diagonal principal é nulo, isto é, ∃i ∈ {1, . . . , n} : aii = 0.Então, c(A) < n e portanto as n linhas de A são linearmente dependentes. Pela Parte 3 daPropriedade 20, tem-se que

detA = 0 = a11 · · ·ann,pois aii = 0.

28 M at2 - 9 m aio 2014

Caso 2: Todos os elementos da diagonal principal são não nulos. Então, aplicando sucessi-vamente o axioma A2 e o Caso 1,

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 · · · 0

0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 0 · · · 0

0 a22 a3n · · · a2n...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ 0

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 0 · · · 0

0 0 a3n · · · a2n...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ 0 = · · · =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 0 · · · 0

0 a22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a11a22 · · · ann,

pela Parte 1.

Se A for uma matriz triangular inferior, o raciocínio é análogo.

Exemplo 30 det[2 6

1 3

]= 2× 3− 1× 6 = 0 e

det

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 3 0

0 0 0 2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 4 −1 2

0 1 0 1

0 0 3 −2

0 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 0 0 0

9 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 4 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 1× (−1)× 3× 2 = −6.

2.2.1 Processo de eliminação de Gauss

Este método consiste na transformação da matriz dada numa matriz triangular superior,através de operações elementares sobre linhas (ver Definição 20). De acordo com as pro-priedades dos determinantes,

• a operação OE1 troca o sinal ao determinante (pela Parte 2 da Propriedade 20);

• a operação OE2 multiplica o determinante pelo inverso do escalar λ (pelo axioma A1);

• a operação OE3 não altera o determinante (pela Parte 4 da Propriedade 20).

29 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 31

det

1 0 −2

−1 2 5

2 3 2

=L1+L2−2L1+L3

∣∣∣∣∣∣

1 0 −2

0 2 3

0 3 6

∣∣∣∣∣∣=1

3L3

3

∣∣∣∣∣∣

1 0 −2

0 2 3

0 1 2

∣∣∣∣∣∣

=L3⇄L2

−3

∣∣∣∣∣∣

1 0 −2

0 1 2

0 2 3

∣∣∣∣∣∣=

L3−2L2−3

∣∣∣∣∣∣

1 0 −2

0 1 2

0 0 −1

∣∣∣∣∣∣= (−3)× 1× 1× (−1) = 3,

pela Parte 2 da Propriedade 21.

Teorema 22 (unicidade do determinante) Seja f : Mn(R) → R uma aplicação quesatisfaz os axiomas A1, A2, A3 e A4. Então, f é a aplicação determinante da Definição 26.

Dem. Sejam f e g duas aplicações que satizfazem os axiomas A1, A2, A3 e A4 onde, paraqualquer matriz A = (L1, . . . , Ln) de ordem n, se tem

f : A �→ f(A)

g : A �→ g(A).

Sejah(A) = f(A) − g(A).

Como f e g satisfazem os axiomas A1, A2, A3 e A4, o mesmo acontece com h. Usandooperações elementares, é então possível transformar A numa matriz diagonal, donde ∃α ∈ Rtal que

h(A) = α · h (In) .Mas, pelo axioma A4,

h (In) = f(In) − g(In) = 1− 1 = 0.

Logo,h(A) = α · h (In) = 0⇒ f(A) = g(A),

donde se conclui que a aplicação determinante é única.

2.2.2 Método baseado nos termos da matriz

Definição 27 Seja n um número natural. Uma permutação do conjunto {1, . . . , n} é umaaplicação bijectiva σ = (p1, . . . , pn) que a cada elemento i ∈ {1, . . . , n} faz corresponder oelemento pi ∈ {1, . . . , n}. Representa-se esquematicamente σ por

(1 2 · · · n

p1 p2 · · · pn

).

30 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 32 No conjunto {1, 2, 3, 4}, a aplicação(1 2 3 4

1 3 4 2

),

onde p1 = 1, p2 = 3, p3 = 4 e p4 = 2, é uma permutação; a bijectividade é assegurada pelofacto da sequência (1, 3, 4, 2) não conter elementos repetidos.

Observação 19 As permutações de um conjunto com n elementos são sequências de n ele-mentos não repetidos. Assim, cada conjunto com n elementos tem n! permutações diferentes.Designa-se por Sn o conjunto de todas as permutações de um conjunto de n elementos.

Definição 28 Seja Aij ∈ Mn(R). Chama-se termo da matriz A a qualquer produto deelementos de A onde cada linha e coluna está representada por um e um só elemento.

Exemplo 33 Os termos da matriz[a11 a12a21 a22

], são

a11a22 e a12a21.

Exemplo 34 Os termos da matriz

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

são

a11a22a33, a11a23a32, a12a21a33, a12a23a31, a13a21a32 e a13a22a31.

Definição 29 Dado n ∈ N, considere-se o conjunto {1, . . . , n} e σ = (p1, . . . , pn) ∈ Sn.

1. Diz-se que dois elementos de σ fazem uma inversão sempre que i < j e pi > pj,∀i, j ∈ {1, . . . , n}.

2. Define-se número de inversões em σ como sendo o número total de inversões quecada elemento de σ faz com os elementos seguintes, denotando-se por inv (σ).

3. Define-se sinal de σ como sendo o escalar

sgn (σ) = (−1)inv(σ).

4. Diz-se que σ é par se sgn (σ) = 1 e é ímpar se sgn (σ) = −1.

Exemplo 35 Seja σ = (4, 1, 3, 2) ∈ S4. A representação de σ é dada por(1 2 3 4

4 1 3 2

).

Relativamente aos que se encontram à sua frente, o elemento 4 faz 3 inversões, 1 não fazqualquer inversão, 3 faz uma inversão e 2 também não faz inversões. Assim,

sgn (σ) = (−1)3+0+1+0 = (−1)4 = 1,

donde σ é par.

31 M at2 - 9 m aio 2014

Teorema 23 Sejam A = [aij] ∈ Mn(R) e Sn o conjunto de todas as permutações de{1, . . . , n}. Então,

detA =∑

σ=(p1 ,...,pn )∈Sn

sgn (σ) · a1p1 · · ·anpn .

Dem. Este resultado irá ser demonstrado para o caso particular de uma matriz de ordem3 que tem 3! = 6 permutações distintas. O caso geral, com n! permutações distintas, prova-se de modo análogo.Pelo axioma A2,

detA =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

a11 0 0

a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 a12 0

a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 0 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

a11 0 0

a21 0 0

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

a11 0 0

0 a22 0

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

a11 0 0

0 0 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

0 a12 0

a21 0 0

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 a12 0

0 a22 0

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 a12 0

0 0 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

0 0 a13a21 0 0

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 0 a130 a22 0

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 0 a130 0 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

a11 0 0

0 a22 0

0 0 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 a12 0

0 0 a23a31 0 0

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 0 a13a21 0 0

0 a32 0

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

a11 0 0

0 0 a230 a32 0

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 a12 0

a21 0 0

0 0 a33

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 0 a130 a22 0

a31 0 0

∣∣∣∣∣∣,

pois dos 33 = 27 determinantes finais, apenas estes últimos 6 = 3! determinantes poderãoser não nulos; os restantes têm uma coluna nula (no caso geral, restam n! determinantes).

32 M at2 - 9 m aio 2014

Assim, pelo axioma A1 e efetuando trocas de linhas,

detA = a11a22a33 · det I3 + a12a23a31

∣∣∣∣∣∣

0 1 0

0 0 1

1 0 0

∣∣∣∣∣∣+ a13a21a32

∣∣∣∣∣∣

0 0 1

1 0 0

0 1 0

∣∣∣∣∣∣

+a11a23a32

∣∣∣∣∣∣

1 0 0

0 0 1

0 1 0

∣∣∣∣∣∣+ a12a21a33

∣∣∣∣∣∣

0 1 0

1 0 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣+ a13a22a31

∣∣∣∣∣∣

0 0 1

0 1 0

1 0 0

∣∣∣∣∣∣

= (−1)0 · a11a22a33 + (−1)2 · a12a23a31 · det I3 + (−1)2 · a13a21a32 · det I3

+(−1)1 · a11a23a32 · det I3 + (−1)

1 · a12a21a33 · det I3 + (−1)3 · a13a22a31 · det I3= sgn (1, 2, 3) · a11a22a33 + sgn (2, 3, 1) · a12a23a31 + sgn (3, 1, 2) · a13a21a32

+ sgn (1, 3, 2) · a11a23a32 + sgn (2, 1, 3) · a12a21a33 + sgn (3, 2, 1) · a13a22a31=

∑

σ=(p1 ,p2 ,p3 )∈S3

sgn (σ) · a1p1a2p2a3p3 . �

Corolário 24 (regra de Sarrus) Seja A = [aij] ∈M3(R). Então,

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13︸︷︷︸termos pares

− (a13a22a31 + a23a32a11 + a21a12a33︸︷︷︸termos ímpares

).

Exemplo 36 Seja A =

1 −1 2

0 1 3

−1 4 1

. Então, pela regra de Sarrus,

detA = 1× 1× 1+ (−1)× 3× (−1) + 2× 0× 4

−(2× 1× (−1) + 3× 4× 1+ 0× (−1)× 1)

= 1+ 3+ 0− (−2+ 12+ 0) = 4− 10 = −6.

2.2.3 Teorema de Laplace

Definição 30 Seja A = [aij] ∈Mn(R).

1. Define-se menor i,j de A como sendo o determinante da matriz Aij ∈ Mn−1(R) quese obtém retirando a linha i e a coluna j da matriz A.

2. Chama-se complemento algébrico do elemento aij ao escalar:

△ij = (−1)i+j.detAij.

33 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 37 Seja A =

1 0 −2

−1 2 5

2 3 2

. Então, o menor 2, 3 de A é

detA23 =

∣∣∣∣1 0

2 3

∣∣∣∣ = 3,

donde o complemento algébrico de a23 é

△23 = (−1)2+3 detA23 = −3.

Teorema 25 (de Laplace) Seja A = [aij] ∈Mn(R). Então, ∀i, j ∈ {1, ..., n} :

1. detA =n∑j=1

aij∆ij = ai1∆i1 + · · ·+ ain∆in. (desenvolvimento ao longo da linha i)

2. detA =n∑i=1

aij∆ij = a1j∆1j + · · ·+ anj∆nj. (desenvolvimento ao longo da coluna j)

Dem. 1. Os termos da matriz A que contêm o elemento aij são da forma

a1p1 · · ·aij · · ·anpn

e estão associados às permutações

σ = (p1, . . . , pi−1, j, pi+1, . . . , pn)

do conjunto {1, . . . , n}, onde pi = j. Estas permutações podem ser obtidas a partir daspermutações

ǫ = (p1, . . . , pi−1, pi+1, . . . , pn)

do conjunto {1, . . . , j − 1, j+ 1, . . . , n}, bastando acrescentar o elemento j.Efetuando i− 1 trocas numa permutação σ obtém-se a permutação

σ′

= (j, p1, . . . , pi−1, pi+1, . . . , pn) .

Assim,inv(σ′

)= inv (σ) + (i− 1) ,

donde

inv (ǫ) = inv(σ′

)− (j− 1) = inv (σ) + (i− 1) − (j− 1)

= inv (σ) + i− j = inv (σ) + (i+ j) − 2j,

pois j− 1 é o número de inversões de j em σ′

.Logo,

inv (σ) = inv (ǫ) − (i+ j) + 2j,

34 M at2 - 9 m aio 2014

donde

sgn (σ) = (−1)inv(σ)

= (−1)inv(ǫ) · (−1)−(i+j) · (−1)2j

= (−1)inv(ǫ) · (−1)(i+j) .

Assim,∑

σ=(p1 ,...,pi−1 ,j,pi+1 ,...,pn )

sgn (σ) · a1p1 · · ·aij · · ·anpn

= aij (−1)(i+j) ·

∑

ǫ=(p1 ,...,pi−1 ,pi+1 ,...,pn )

(−1)inv(ǫ) · a1p1 · · ·a(i−1)pi−1a(i+1)pi+1 · · ·anpn

= aij (−1)(i+j) detAij = aij∆ij.

Agrupando sucessivamente os termos de A que contêm os elementos ai1, . . . , aij, . . . , ain,conclui-se pelo Teorema 23 que

detA = ai1∆i1 + · · ·+ ain∆in.

2. A demonstração é análoga ao caso anterior.

Exemplo 38 Seja A =

1 2 3

0 1 1

−1 1 2

. Aplicando o teorema de Laplace...

(i) ... ao longo da terceira linha,

detA = (−1) · ∆31 + 1 · ∆32 + 2 · ∆33

= (−1) · (−1)4∣∣∣∣2 3

1 1

∣∣∣∣+ 1 · (−1)5∣∣∣∣1 3

0 1

∣∣∣∣ + 2 · (−1)6∣∣∣∣1 2

0 1

∣∣∣∣

= −(−1) + (−1) + 2 = 2.

(ii) ...ao longo da primeira coluna,

detA = 1 ·∆11 + 0 · ∆21 + (−1) · ∆31

= (−1)2

∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣+ 0+ (−1) · (−1)4∣∣∣∣2 3

1 1

∣∣∣∣

= 1+ (−1) (−1) = 2.

Observação 20 Este método é vantajoso quando queremos calcular o determinante de umamatriz que tem uma linha ou coluna com vários zeros.

35 M at2 - 9 m aio 2014

2.3 Outras propriedades

Propriedade 26 Sejam A,B ∈Mn(R). Então,

1. detA = detAT ;

2. c(A) = n⇔ detA �= 0;

3. det(AB) = detA · detB;

4. A invertível ⇔ detA �= 0, e nesse caso:

detA−1 =1

detA.

Dem. 1. Seja A = [aij]n×n. Então, AT = [aji]n×n tem os mesmos elementos que a matrizA. Além disso, A e AT têm os mesmos termos. Assim, pelo Teorema 23,

detA =∑

σ=(p1 ,...,pn )∈Sn

sgn (σ) · a1p1 · · ·anpn = detAT .

2. ⇒ Vejamos que c(A) = n⇒ detA �= 0, ou seja, que detA = 0⇒ c(A) �= n.Suponhamos que detA = 0. Através do processo de eliminação de Gauss, transforma-se amatriz A numa matriz triangular superior A

′

, usando apenas operações elementares de tipoOE1 e OE3. Então, c(A) = c(A′) e detA = ±detA′ = 0, donde A′ tem de ter pelo menosum zero na diagonal principal. Logo,

c(A′) < n⇒ c(A) �= n.

⇐ Vejamos que detA �= 0⇒ c(A) = n, ou seja, que c(A) �= n⇒ detA = 0.Suponhamos que c(A) �= n. Então, c(A) < n e portanto as linhas da matriz A são linear-mente dependentes. Pela Parte 3 da Propriedade 20, detA = 0.

3. Suponhamos primeiro que detB �= 0. Então, considerando a aplicação f(A) =det(AB)det(B) ,

facilmente se verifica que f satisfaz os quatro axiomas da definição de determinante. Assim,pelo Teorema 22,

f(A) = det(A)

pelo que a propriedade é válida.Supondo agora que detB = 0, conclui-se pela propriedade anterior que c(B) < n. Assim, osistema homogéneo BX = 0 tem soluções não nulas; o mesmo acontece ao sistema homogé-neo ABX = 0, donde c(AB) < n. Aplicando novamente a propriedade 2, conclui-se quedet(AB) = 0. Portanto,

det(AB) = detA · detB = 0.

36 M at2 - 9 m aio 2014

4. ⇒ Suponhamos que A é invertível. Então,

∃A−1 ∈Mn(R) : AA−1 = In.

Assim, por 3,detA · detA−1 = det(AA−1) = det In = 1,

donde detA �= 0 e detA−1 = 1detA .

⇐ Suponhamos que detA �= 0. Então, por 2, c(A) = n. Assim, aplicando o processo deeliminação de Gauss à matriz A até a transformar numa matriz reduzida, obtem-se a matrizIn. Aplicando o mesmo processo à matriz ampliada A|In, obtém-se a matriz reduzida In |B

tal que AB = BA = In. Pela unicidade de matriz inversa, tem-se que B = A−1.

Exemplo 39 Sejam A,B ∈Mn(R) tais que A é invertível. Então, detA �= 0 e

det(A−1BTA

)= detA−1 · detBT · detA

=1

detA· detB · detA = detB.

Exemplo 40 Considere a matriz A =

a 1 −a

a+ 1 a 1+ a

−a 2a 5a

, com a ∈ R. Pretende-se

encontrar os valores do parâmetro a que tornam as linhas de A linearmente dependentes.Para que as linhas de A sejam linearmente dependentes, c(A) < 3. Assim, pela Parte 2 dapropriedade anterior, detA = 0. Ora, pela regra de Sarrus,

detA =

∣∣∣∣∣∣

a 1 −a

a+ 1 a 1+ a

−a 2a 5a

∣∣∣∣∣∣

= 5a3 − a (1+ a) − 2a2 (1+ a) − a3 − 2a2 (1+ a) − 5a (1+ a)

= 4a3 − 6a (1+ a) − 4a2 (1+ a) = 4a3 − 6a− 6a2 − 4a2 − 4a3

= −10a2 − 6a.

Assim,

detA = 0⇔ −10a2 − 6a = 0⇔ −2a (5a+ 3) = 0

⇔ a = 0∨ a = −3

5.

37 M at2 - 9 m aio 2014

2.4 Matriz adjunta

Definição 31 Seja A ∈Mn(R). Chama-se adjunta de A à matriz transposta dos comple-mentos algébricos de A:

adjA =

△11 △12 ... △1n

△21 △22 ... △2n

... .... . . ...

△n1 △n2 ... △nn

T

.

Exemplo 41 Seja A =

1 0 −1

0 1 2

−1 0 3

. Então,

△11 = (−1)2

∣∣∣∣1 2

0 3

∣∣∣∣ = 3; △12 = (−1)3

∣∣∣∣0 2

−1 3

∣∣∣∣ = −2; △13 = (−1)4

∣∣∣∣0 1

−1 0

∣∣∣∣ = 1;

△21 = (−1)3

∣∣∣∣0 −1

0 3

∣∣∣∣ = 0; △22 = (−1)4

∣∣∣∣1 −1

−1 3

∣∣∣∣ = 2; △23 = (−1)5

∣∣∣∣1 0

−1 0

∣∣∣∣ = 0;

△31 = (−1)4

∣∣∣∣0 −1

1 2

∣∣∣∣ = 1; △32 = (−1)5

∣∣∣∣1 −1

0 2

∣∣∣∣ = −2; △33 = (−1)6

∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣ = 1.

Logo,

adjA =

3 −2 1

0 2 0

1 −2 1

T

=

3 0 1

−2 2 −2

1 0 1

.

Propriedade 27 Seja A ∈ Mn(R). Então,

(adjA) ·A = A · (adjA) = (detA) · In.

Dem. Seja

C = A · (adjA) =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

∆11 ∆21 · · · ∆n1

∆12 ∆22 · · · ∆n2

......

. . ....

∆1n ∆2n · · · ∆nn

.

Então, os elementos principais da matriz C são da forma

cii = ai1∆i1 + · · ·+ ain∆in, ∀i ∈ {1, . . . , n} .

Pelo teorema de Laplace,cii = detA.

38 M at2 - 9 m aio 2014

Para i �= j, tem-secij = ai1∆j1 + · · ·+ ain∆jn,

que corresponde ao desenvolvimento do teorema de Laplace, ao longo da linha j, do deter-minante da matriz que se obtém de A substituindo a linha j pela linha i. Esta matriz temas linhas i e j iguais, pelo que o seu determinante é nulo. Logo, cij = 0. Assim,

A · (adjA) =

detA 0 · · · 0

0 detA · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · detA

= (detA) · In.

De forma análoga se mostraria a igualdade (adjA) ·A = (detA) · In, pelo que a proposiçãofica demonstrada.

Corolário 28 Seja A ∈Mn(R) invertível. Então,

A−1 =1

detA· adjA.

Dem. Como A é invertível, detA �= 0. Então, pelo teorema anterior,

(adjA) ·A = (detA) · In⇒ (adjA) ·AA−1 = (detA) · InA−1⇒ adjA = (detA)A−1,

donde sai o resultado pretendido.

Exemplo 42 Considere-se a matriz A =

1 0 −1

0 1 2

−1 0 3

do Exemplo 41.

Já se viu que adjA =

3 0 1

−2 2 −2

1 0 1

. Além disso,

detA =

∣∣∣∣∣∣

1 0 −1

0 1 2

−1 0 3

∣∣∣∣∣∣=

L3+L1

∣∣∣∣∣∣

1 0 −1

0 1 2

0 0 2

∣∣∣∣∣∣= 2 �= 0,

donde A é invertível. Assim, pelo corolário anterior,

A−1 =1

|A|adjA =

1

2

3 0 1

−2 2 −2

1 0 1

=

32

0 12

−1 1 −112

0 12

.

39 M at2 - 9 m aio 2014

2.5 Regra de Cramer

Definição 32 Dado um sistema com n equações e n incógnitas, representado matricial-mente pela equação AX = B, diz-se que é um sistema de Cramer se

detA �= 0.


x+ y+ z = 1

x+ 2y+ z = 2

3x− 3y+ z = 3

cuja representação matricial é

AX = B, com A =

1 1 1

1 2 1

3 −3 1

, X =

x

y

z

e B =

1

2

3

. Pela regra de Sarrus,

detA =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1

1 2 1

3 −3 1

∣∣∣∣∣∣= (2+ 3− 3) − (6− 3+ 1) = −2.

Como detA �= 0, conclui-se que o sistema é de Cramer.

Propriedade 29 (regra de Cramer): Um sistema de Cramer é sempre possível e deter-minado. Além disso, sendo X a solução única do sistema, as suas componentes são dadaspor

xi =detAi

detA, ∀1 � i � n,

onde Ai é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna i pela matriz coluna B.

Dem. Dado um sistema de Cramer AX = B, tem-se que detA �= 0. Assim, pela Parte 2 daPropriedade 26, tem-se que c(A) = n, donde

c(A) = c(A|B) = n.

Pelo Teorema 16, conclui-se que o sistema é possível e determinado.

Seja X a solução única do sistema. Como A é invertível (pois detA �= 0), tem-se

AX = B⇒ A−1 (AX) = A−1B

⇒(A−1A

)X = A−1B

⇒ InX = A−1B

⇒ X = A−1B.

Ou seja, a solução do sistema é dada por X = A−1B.

40 M at2 - 9 m aio 2014

Como A−1 = 1detA · adjA, então

X =1

detA(adjA)B.

Designando os elementos de B por b1, . . . , bn, resulta da igualdade anterior que cada elementoda solução X =

[x1 · · · xn

]Té dado por

xi =∆1ib1 + · · ·+ ∆n1bn

detA, ∀1 � i � n,

onde o numerador corresponde ao desenvolvimento do determinante de Ai ao longo da colunaque contém os elementos b1, . . . , bn de B.


x+ y+ z = 1

x+ 2y+ z = 2

3x− 3y+ z = 3

do exemplo anterior. Já se viu

que este sistema é de Cramer. Assim, pela regra de Cramer,

x =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1

2 2 1

3 −3 1

∣∣∣∣∣∣

−2=(2+ 3− 6) − (6− 3+ 2)

−2=−6

−2= 3,

y =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1

1 2 1

3 3 1

∣∣∣∣∣∣

−2=(2+ 3+ 3) − (6+ 3+ 1)

−2=−2

−2= 1

e

z =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1

1 2 2

3 −3 3

∣∣∣∣∣∣

−2=(6+ 6− 3) − (6− 6+ 3)

−2=

6

−2= −3.

41 M at2 - 9 m aio 2014

3 Valores e vetores próprios

3.1 Vetores e espaços vetoriais

Em geral, um vetor é definido como sendo um elemento matemático univocamente determi-nado pela sua direção, sentido e comprimento. Em R

2, um vetor do plano é representadopor �u = (a, b), com a, b ∈ R:

;

em R3, um vetor do espaço é representado por �u = (a, b, c), com a, b, c ∈ R:

.

Além disso, em R2 e R3, estão definidas as operações adição e multiplicação escalar da

seguinte forma:

∀ (a, b) , (p, q) ∈ R2, (a, b) + (p, q) = (a+ p, b+ q)

λ (a, b) = (λa, λb) , ∀λ ∈ Re

∀ (a, b, c) , (p, q, t) ∈ R3, (a, b, c) + (p, q, t) = (a+ p, b+ q, c+ t)

λ (a, b, c) = (λa, λb, λc) ,∀λ ∈ R ,

donde, por exemplo,

(2,−1) + (3, 1) = (5, 0) e − 2

(1,−1,

1

2

)= (−2, 2,−1) .

Ora, existem conjuntos de objetos matemáticos de natureza muito diferente de R2 ouR3, onde também estão definidas as operações adição e multiplicação escalar, que possuem

a mesma estrutura algébrica. A esses conjuntos dá-se o nome de espaços vetoriais.

42 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 33 Sejam E um conjunto, + : E× E −→ E

(�x,�y) �→ �x+ �y

uma aplicação ( adição) e

· : R× E −→ E

(λ,�x) �→ λ�x

uma outra aplicação (multiplicação escalar).

Diz-se que E é um espaço vetorial real se (E,+, ·) verificar os seguintes axiomas,∀�x,�y,�z ∈ E, ∀λ, µ ∈ R:

1. (�x+ �y) + �z = �x+ (�y+ �z); (+ é associativa em E)

2. �x+ �y = �y+ �x; (+ é comutativa em E)

3. ∃�0 ∈ E : �x+ �0 = �0+ �x = �x; (+ tem elemento neutro em E)

4. ∃− �x ∈ E : �x+ (−�x) = (−�x) + �x = �0; (todos os elementos de E têm simétrico)

5. λ(�x+ �y) = λ�x+ λ�y; (· é distributiva em E relativamente a +)

6. (λ+ µ)�x = λ�x+ µ�x;

7. (λµ)�x = λ(µ�x); (· é associativa em E)

8. 1 · �x = �x. (· tem elemento neutro em E)

Exemplo 45 Para quaisquer n,m ∈ N, os conjuntos Rn, Mm×n (R) e Pn (R), o conjuntodos polinómios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais, são espaços vetoriais reaispara as operações adição e multiplicação escalar usuais.

Definição 34 Dá-se o nome de vetor a qualquer elemento de um espaço vetorial.

Exemplo 46 −→x =(−1, 0, π,

√2)é um vetor de R4, A =

[−1 0 5

2 1 −3

]é um vetor de

M2×3 (R) e p (x) = x3 − 1 é um vetor de P3 (R).

3.2 Definição e interpretação geométrica de valor e vetor própriode uma matriz

Definição 35 Seja A ∈Mn (R). Um escalar λ diz-se um valor próprio de A se

∃ �x ∈ Rn \{�0}: A�x = λ�x . (2)

Ao vetor �x dá-se o nome de vetor próprio de A associado ao valor próprio λ.

43 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 47 Seja A =[2 0

0 −1

].

O vetor −→x1 = (1, 0) é um vetor próprio de A associado ao valor próprio λ1 = 2, pois

A−→x1 =

[2 0

0 −1

] [1

0

]=

[2

0

]= (2, 0) = 2

−→x1 .

Também o vetor −→x2 = (0, 1) é um vetor próprio de A associado ao valor próprio λ2 = −1,pois

A−→x2 =[2 0

0 −1

] [0

1

]=

[0

−1

]= (0,−1) = (−1)−→x2 .

No entanto, o vetor −→x3 = (−1, 1) não é um vetor próprio de A pois

A−→x3 =

[2 0

0 −1

] [−1

1

]=

[−2

−1

]= (−2,−1) ,

não sendo possível encontrar algum λ ∈ R tal que (−2,−1) = λ−→x3 .

Observação 21 Tal como no exemplo anterior, no que se segue não se fará qualquerdistinção entre a representação vetorial e matricial de um vetor.

A multiplicação de uma matriz A por um vetor �x deve ser vista como a transformaçãodo vetor �x no vetor A�x. Assim sendo, para um escalar λ, a condição A�x = λ�x correspondegeometricamente à não alteração da direção do vetor �x após a sua transformação pela matrizA, ou seja, �x e A�x têm a mesma direção, isto é, �x e A�x são colineares; λ pode ser visto comoo coeficiente de elasticidade dessa transformação. Na figura seguinte pode-se comprovargeometricamente os resultados obtidos no exemplo anterior:

,

em particular, que −→x1 e A−→x1 são colineares, que −→x2 e A−→x2 também são colineares mas que −→x3e A−→x3 não são colineares.

3.3 Método de cálculo dos valores e vetores próprios de umamatriz

Para encontrar os valores e vetores próprios de uma qualquer matriz quadrada é necessárioum método eficaz que não se baseie na interpretação geométrica, até porque se estivermos atrabalhar com uma matriz de ordem superior a 3 não conseguimos representar graficamenteos vetores. Assim, o método de cálculo será definido à custa da Definição 35.

44 M at2 - 9 m aio 2014

Propriedade 30 Sejam A ∈Mn (R), I a matriz identidade de ordem n e O = [0]n×1.

1. Os valores próprios de A são as raízes da equação

det(A− λI) = 0,

designada por equação característica de A.

2. Os vetores próprios de A associados ao valor próprio λ são as soluções não nulas dosistema homogéneo (A− λI)X = O.

Dem. Sejam �x um vetor próprio de A associado ao valor próprio λ e X a representaçãomatricial de �x. Pela condição (2), tem-se que:

A�x = λ�x⇔ AX = λX⇔ AX− λX = O⇔ AX− λIX = O⇔ (A− λI)X = O.

Assim, �x é vetor próprio de A associado ao valor próprio λ se e só se X for solução não nulado sistema homogéneo (A− λI)X = O. Mas este sistema possui soluções não nulas se e sóse det(A− λI) = 0, ou seja, se e só se A− λI for não invertível.

Propriedade 31 Sejam A ∈Mn (R) e I a matriz identidade de ordem n. Então,

det(A− λI) = p(λ),

onde p(λ) é um polinómio em λ de grau n, designado por polinómio característico de A.O coeficiente do termo de grau n do polinómio p(λ) é (−1)n e o termo constante ép(0) = detA.

Dem. Conforme foi visto no capítulo dos Determinantes, cada termo da matriz A−λI é umproduto de elementos dessa matriz em que cada linha e coluna se encontra representada uma

única vez. Assim, o det(A − λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1na21 a22 − λ · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

pode ser calculado

multiplicando cada termo da matriz A−λI por 1 ou −1 e somando em seguida os resultadosobtidos. Como os elementos da matriz A−λI são constantes ou da forma aii−λ, conclui-seque cada termo de A − λI é um polinómio de grau menor ou igual a n. Como o termoresultante do produto dos elementos da diagonal principal,

(a11 − λ) (a22 − λ) · · · (ann − λ) , (3)

é um polinómio de grau n, fica provado que p(λ) é um polinómio em λ de grau n. Além disso,o coeficiente de λn em p(λ) é o coeficiente de λn em (3), ou seja, (−1)n . Por fim, usandoλ = 0 em p(λ) = det(A− λI), obtém-se p(0) = detA.

Do Teorema Fundamental da Álgebra resulta que um polinómio característico p(λ) degrau n tem exatamente n zeros reais ou complexos, podendo alguns deles ser iguais. Assim,se p(λ) tem k zeros distintos, λ1, λ2, . . . , λk (com k ≤ n), então pode fatorizar-se na forma

p(λ) = (−1)n (λ− λ1)n1 (λ− λ2)

n2 · · · (λ− λk)nk , (4)

em que n1 + n2 + · · ·+ nk = n.

45 M at2 - 9 m aio 2014

Definição 36 Seja A ∈Mn (R) cujo polinómio característico está na forma (4).

1. O conjunto de todos os valores próprios de A designa-se por espetro de A.

2. Os expoentes n1, n2, . . . , nk designam-se por multiplicidades algébricas dos valorespróprios λ1, λ2, . . . , λk de A, respetivamente.

Dos resultados anteriores, obtém-se o seguinte método para o cálculo dos valores e vetorespróprios de uma matriz quadrada.

Sejam A ∈Mn (R), I a matriz identidade de ordem n e O = [0]n×1.

1. Calcular o polinómio característico de A, p(λ) = det(A− λI);

2. Resolver a equação característica p(λ) = 0. As soluções desta equação constituem oespetro de A;

3. Para cada valor próprio λ obtido no ponto anterior, resolver o sistema homogéneo(A−λI)X = O. As soluções não nulas deste sistema são os vetores próprios associadosao valor próprio λ.

Exemplo 48 Seja A =[0 2

2 0

]. Então,

p(λ) = 0⇔ det(A−λI) = 0⇔∣∣∣∣−λ 2

2 −λ

∣∣∣∣ = 0⇔ λ2−4 = 0⇔ (λ+ 2) (λ − 2) = 0⇔ λ = ±2,

donde espA = {−2, 2}, ou seja, A tem como valores próprios distintos −2 e 2, cada um commultiplicidade algébrica 1.

Calculemos agora os respetivos vetores próprios. Para isso vamos resolver, para cada valor

de λ, o sistema homogéneo (A− λI)X = O, onde X =[x1x2

]. Assim,

• Se λ = 2,

(A− 2I)X = O⇔[−2 2

2 −2

] [x1x2

]=

[0

0

]⇔{−2x1 + 2x2 = 0

2x1 − 2x2 = 0⇔{x1 = x2x2 ∈ R ,

donde os vetores próprios associados são os vetores da forma (x2, x2) = x2(1, 1), comx2 ∈ R \ {0} .

• Se λ = −2,

(A+ 2I)X = O⇔[2 2

2 2

] [x1x2

]=

[0

0

]⇔{2x1 + 2x2 = 0

2x1 + 2x2 = 0⇔{x2 = −x1x1 ∈ R ,

donde os vetores próprios associados são os vetores da forma (x1,−x1) = x1(1,−1),com x1 ∈ R \ {0} .

46 M at2 - 9 m aio 2014

Seguem-se agora algumas propriedades dos valores próprios de uma matriz.

Propriedade 32 Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos da diagonalprincipal.

Dem. Seja A = [aij] uma matriz triangular de ordem n. A matriz A − λI será tambémtriangular, pelo que o seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal prin-cipal, isto é,

det(A− λI) = (a11 − λ)(a22 − λ) · · · (ann − λ).

Portanto, det(A − λI) = 0 se e só se λ coincidir com algum dos elementos da diagonalprincipal de A.

Propriedade 33 Sejam A ∈Mn (R) e λ1, . . . , λk (com k ≤ n) os seus valores próprios commultiplicidades algébricas n1, . . . , nk, respetivamente. Então,

detA = λn11 · · ·λnkk .

Dem. Consideremos o polinómio característico da matriz A :

p(λ) = det(A− λI) = (−1)nλn + cn−1λn−1 + · · ·+ c1λ+ c0. (5)

Sendo λ1, . . . , λk as raízes de p(λ), por (4),

p(λ) = (−1)n (λ− λ1)n1 (λ− λ2)

n2 · · · (λ− λk)nk .

Assim, comparando com a forma (5) de p(λ), tem-se que

c0 = λn11 · · · λnkk .

Como p(0) = detA = c0, conclui-se que detA = λn11 · · ·λnkk .

Exemplo 49 Seja A =

1 2 1

2 0 −2

−1 2 3

. Então,

p(λ) = 0⇔ det(A− λI) = 0⇔

∣∣∣∣∣∣

1− λ 2 1

2 −λ −2

−1 2 3− λ

∣∣∣∣∣∣= 0

⇔ −λ3 + 4λ2 − 4λ = 0⇔ −λ (λ− 2)2= 0⇔ λ = 0∨ λ = 2,

donde A tem como valores próprios 0, com multiplicidade algébrica 1, e 2, com multiplicidadealgébrica 2. Assim,

detA = 0× 22 = 0.

47 M at2 - 9 m aio 2014

4 Cálculo Vetorial

Num espaço vetorial real estão bem definidas as operações adição e multiplicação escalar.Segue-se agora de que forma é possível definir também uma operação produto, suaspropriedades e aplicações.

4.1 Produto interno e norma de vetores

Definição 37 Seja E um espaço vetorial real. Chama-se produto interno em E a toda aaplicação |: E× E −→ R

(�x,�y) �→ �x|�y

que verifique as seguintes condições ∀�x,�y,�z ∈ E e ∀α ∈ R:

1. �x|�y = �y|�x; (simetria)

2. (�x+ �y) |�z = �x|�z+ �y|�z; (aditividade)

3. (α�x) |�y = α (�x|�y) = �x| (α�y) ; (homogeneidade)

4. �x|�x � 0 e(�x|�x = 0⇒ �x = �0

). (positividade)

Um espaço vetorial real com produto interno diz-se um espaço euclideano real.

Exemplo 50 Em R3, a aplicação definida por

(x1, x2, x3) | (y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3

é um produto interno (designado por produto interno canónico em R3) pois verifica as

condições de simetria, aditividade, homogeneidade e positividade. Por exemplo,

(2, 1, 0) | (−1, 1, 4) = −2+ 1+ 0 = −1.

Exemplo 51 Em M2 (R), a aplicação definida por[a1 a2a3 a4

]|

[b1 b2b3 b4

]= a1a4 + b1b4

não é um produto interno pois falha a positividade. Por exemplo,[−1 −1

0 1

]|

[−1 −1

0 1

]= −1− 1 = −2 < 0.

Exemplo 52 Em P2 (R), a aplicação definida por(a0 + a1x+ a2x

2)|(b0 + b1x+ b2x

2)= a0b2 + b0

não é um produto interno pois falha a simetria. Por exemplo,(1+ x2

)|(−1+ x− 2x2

)= −3 �= 0 =

(−1+ x− 2x2

)|(1+ x2

).

48 M at2 - 9 m aio 2014

Exemplo 53 Seja E um espaço euclidiano real e �x e �y vetores de E tais que �x|�x = 1, �y|�y = 2

e �x|�y = −2. Então, usando a aditividade, a homogeneidade e a simetria,

(�x+ 2�y) | (�x− �y) = (�x+ 2�y) |�x+ (�x+ 2�y) | (−�y)

= �x|�x+ (2�y) |�x+ �x| (−�y) + (2�y) | (−�y)

= �x|�x+ 2 (�y|�x) − (�x|�y) − 2 (�y|�y)

= �x|�x+ 2 (�x|�y) − (�x|�y) − 2 (�y|�y)

= �x|�x+ �x|�y− 2 (�y|�y)

= 1+ (−2) − 2× 2 = −5.

Observação 22 Se �x = �0 ou �y = �0, então �x|�y = 0.

De facto, se �x = �0, pela condição de homogeneidade,

�x|�y = �0|�y =(0.�0)|�y = 0

(�0|�y)= 0.

O mesmo acontece se �y = �0.

Definição 38 Sejam E um espaço euclideano real e �x ∈ E.

1. Chama-se norma de �x ao escalar não negativo

‖�x‖ =√�x|�x.

2. Diz-se que �x é vetor unitário (ou normado) se ‖�x‖ = 1.

3. Se �x �= �0, define-se versor de �x como sendo o vetor

vers�x =1

‖�x‖�x.

Em Rn, a norma associada ao produto interno canónico é dada por, ∀�x = (x1, . . . , xn):

‖�x‖ =√x21 + · · ·+ x2n.

Observação 23 A norma de um vetor corresponde ao comprimento desse vetor, sendo queo produto interno associado corresponde à escala utilizada nessa medição.

Exemplo 54 Considere-se em R3 o produto interno canónico e os vetores �x = (2, 1, 0) e

�y = (−1, 1, 4). Então,

‖�x‖ = ‖(2, 1, 0)‖ =√22 + 12 + 02 =

√5

e

‖�y‖ = ‖(−1, 1, 4)‖ =√(−1)

2+ 12 + 42 =

√18.

49 M at2 - 9 m aio 2014

Logo, �x e �y não são unitários. Além disso,

vers�x =�x

‖�x‖ =1√5(2, 1, 0) =

(2√5,1√5, 0

).

Observação 24 Dado um vetor �x de um qualquer espaço euclideano real, pela condição depositividade, tem-se que �x|�x � 0. Assim, ||�x|| =

√�x|�x � 0.

Propriedade 34 Sejam E um espaço euclideano real, �x,�y ∈ E e α ∈ R. Então,

1. ‖�x‖ = 0⇔ �x = �0;

2. ‖α�x‖ = |α| · ‖�x‖;

3. ∀�x �= �0, vers�x é um vetor unitário;

4. |�x|�y| � ‖�x‖ · ‖�y‖; (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

5. ‖�x+ �y‖ � ‖�x‖+ ‖�y‖. (desigualdade triangular)

Dem. 1. ⇒ Suponhamos que ‖�x‖ = 0. Então, pela condição de positividade,√�x|�x = 0⇒ �x|�x = 0⇒ �x = �0.

⇐ Suponhamos que �x = �0. Então, pela Observação 22,

||�x|| =√�x|�x =

√�0|�0 =

√0 = 0.

2. ‖α�x‖ =√(α�x) | (α�x) =

√αα (�x|�x) =

√α2 (�x|�x) =

√α2 ·

√�x|�x = |α| · ‖�x‖ .

3. Pela Observação 24 e por 1, ∀�x �= �0, ||�x|| > 0. Logo, 1‖�x‖ > 0. Assim, por 2,

||vers�x|| =

∥∥∥∥1

‖�x‖ · �x∥∥∥∥ =

∣∣∣∣1

‖�x‖

∣∣∣∣ · ‖�x‖ =1

‖�x‖ · ‖�x‖ = 1,

donde se conclui que vers�x é um vetor unitário.

4. Seja k ∈ R qualquer. Pela condição de positividade, tem-se que

(k�x+ �y) | (k�x+ �y) � 0.

Por outro lado, pelas condições de aditividade, homogeneidade e simetria,

(k�x+ �y) | (k�x+ �y) = (k�x) | (k�x+ �y) + �y| (k�x+ �y)

= (k�x) | (k�x) + (k�x) |�y+ �y| (k�x) + �y|�y

= k2 (�x|�x) + k (�x|�y) + k (�y|�x) + �y|�y

= k2 (�x|�x) + 2k (�x|�y) + �y|�y

= k2 ||�x||2+ 2k (�x|�y) + ||�y||

2.

50 M at2 - 9 m aio 2014

Assim, ∀k ∈ R,k2 ||�x||

2+ 2k (�x|�y) + ||�y||

2� 0.

Em particular, para k = −�x|�y

||�x||2,

(�x|�y)2

||�x||4||�x||

2− 2

�x|�y

||�x||2(�x|�y) + ||�y||

2� 0⇔ (�x|�y)

2

||�x||2− 2

(�x|�y)2

||�x||2+ ||�y||

2� 0

⇔ −(�x|�y)

2

||�x||2+ ||�y||

2� 0

⇔ −(�x|�y)2+ ||�x||

2 · ||�y||2 � 0

⇔ (�x|�y)2� ||�x||

2 · ||�y||2 ,donde se conclui que |�x|�y| � ‖�x‖ · ‖�y‖ .5. Usando a definição de norma, as condições de produto interno e a desigualdade deCauchy-Schwarz,

||�x+ �y||2= (�x+ �y) | (�x+ �y) = ||�x||

2+ 2 (�x|�y) + ||�y||

2

� ||�x||2+ 2 ||�x|| · ||�y|| + ||�y||2 = (||�x||+ ||�y||)2 .

Como a norma é não negativa, conclui-se que ‖�x+ �y‖ � ‖�x‖+ ‖�y‖.

Uma das aplicações do conceito de norma é a generalização da noção usual de distânciaentre dois pontos.

Definição 39 Sejam E um espaço euclideano real e �x,�y ∈ E. Chama-se distância entre�x e �y ao escalar

d (�x,�y) = ‖�x− �y‖ .


�y = (−1, 1, 4). Então,

d (�x,�y) = ‖(2, 1, 0) − (−1, 1, 4)‖ = ‖(3, 0,−4)‖ =√32 + 02 + (−4)

2=√25 = 5.

Observação 25 Note-se que a distância entre dois vetores vai depender do produto internoassociado à norma.

4.2 Ângulo e ortogonalidade entre vetores

Definição 40 Sejam E um espaço euclideano real e �x,�y ∈ E tais que �x �= �0 e �y �= �0.Define-se ângulo entre �x e �y como sendo o escalar θ = ∢(�x,�y) ∈ [0, π] tal que

cosθ =�x|�y

‖�x‖ · ‖�y‖ .

Observação 26 · �x|�y = ‖�x‖ · ‖�y‖ · cosθ, se �x �= �0 e �y �= �0.· �x|�y = 0, se �x = �0 ou �y = �0.

51 M at2 - 9 m aio 2014


�y = (−1, 1, 4). Nos Exemplos 50 e 54 já se viu que �x|�y = −1, ‖�x‖ =√5 e ‖�y‖ =

√18.

Então,

cos∢(�x,�y) =�x|�y

‖�x‖ · ‖�y‖ =−1√5√18=−1√90,

donde se conclui que

∢(�x,�y) = arccos(−1√90

)≃ 1, 6764 rad ≃ 96, 05◦.

Definição 41 Sejam E um espaço euclideano real, �x,�y ∈ E \{�0}e θ = ∢(�x,�y). Define-se

projeção ortogonal de �y sobre �x como sendo o vetor:

proj�x �y = (‖�y‖ · cosθ) vers�x.

Observação 27 Se θ ∈[0, π

2

], se θ ∈

[π2, π],

; .


�y = (−1, 1, 4) do exemplo anterior. Então,

proj�x �y = (‖�y‖ · cosθ) vers�x

=√18 · −1√

5√18· 1√

5(2, 1, 0)

= −1

5(2, 1, 0) =

(−2

5,−

1

5, 0

).

Propriedade 35 Sejam E um espaço euclideano real e �x,�y ∈ E tais que �x �= �0 e �y �= �0.Então,

proj�x �y =�x|�y

‖�x‖2· �x = (vers�x | �y) vers�x.

Dem. Usando as definições de projeção ortogonal, de ângulo entre vetores e de versor tem-seque:

52 M at2 - 9 m aio 2014

proj�x �y = (‖�y‖ · cosθ) vers�x

= ‖�y‖ · �x|�y

‖�x‖ · ‖�y‖ ·1

‖�x‖�x

=�x|�y

‖�x‖2· �x.

Além disso, �x|�y

‖�x‖2 · �x =1‖�x‖ (�x|�y) · �x

‖�x‖ =((

1‖�x‖�x

)| �y)· �x‖�x‖ = (vers�x | �y) vers�x.


�y = (−1, 1, 4) do Exemplo 56. Então,

proj�x �y =�x|�y

‖�x‖2· �x = −1

(√5)2 (2, 1, 0)

= −1

5(2, 1, 0) =

(−2

5,−

1

5, 0

)

e

proj�y �x =�y|�x

‖�y‖2· �y = −1

(√18)2 (−1, 1, 4)

= −1

18(−1, 1, 4) =

(1

18,−

1

18,−

2

9

).

Definição 42 Sejam E um espaço euclideano real e �x,�y ∈ E.

1. �x e �y são ortogonais (�x ⊥ �y) se �x|�y = 0.

2. Um conjunto de vetores diz-se ortogonal se os seus vetores forem ortogonais dois adois.

3. Um conjunto de vetores diz-se ortonormado se for ortogonal e todos os seus vetoresforem unitários.

Exemplo 59 Considere-se em R3 o produto interno canónico.

1. O conjunto {(2, 1, 0) , (−1, 1, 4)} não é ortogonal porque (2, 1, 0) | (−1, 1, 4) = −1 �= 0.

2. O conjunto{(

1√6,− 1√

6, 2√

6

),(0,− 2√

5,− 1√

5

),(

5√30, 1√

30,− 2√

30

)}é ortonormado.

53 M at2 - 9 m aio 2014

De facto,(

1√6,−

1√6,2√6

)|

(0,−

2√5,−

1√5

)=

1√6(1,−1, 2) |

1√5(0,−2,−1)

=1√30(1,−1, 2) | (0,−2,−1)

=1√30(0+ 2− 2) = 0,

(0,−

2√5,−

1√5

)|

(5√30,

1√30,−

2√30

)=

1√5(0,−2,−1) |

1√30(5, 1,−2)

=1√150

(0,−2,−1) | (5, 1,−2)

=1√150

(0− 2+ 2) = 0

e(

1√6,−

1√6,2√6

)|

(5√30,

1√30,−

2√30

)=

1√6(1,−1, 2) |

1√30(5, 1,−2)

=1√180

(1,−1, 2) | (5, 1,−2)

=1√180

(5− 1− 4) = 0.

Logo,{(

1√6,− 1√

6, 2√

6

),(0,− 2√

5,− 1√

5

),(

5√30, 1√

30,− 2√

30

)}é um conjunto ortogonal.

Além disso,∥∥∥∥

(1√6,−

1√6,2√6

)∥∥∥∥ =1√6‖(1,−1, 2)‖ = 1√

6

√1+ 1+ 4 = 1,

∥∥∥∥

(0,−

2√5,−

1√5

)∥∥∥∥ =1√5‖(0,−2,−1)‖ = 1√

5

√0+ 4+ 1 = 1

e ∥∥∥∥

(5√30,

1√30,−

2√30

)∥∥∥∥ =1√30‖(5, 1,−2)‖ = 1√

30

√25+ 1+ 4 = 1.

54 M at2 - 9 m aio 2014

4.3 Produto externo e produto misto de vetores

A partir de agora considera-se sempre o produto interno canónico em R3 e o conjunto{−→

e1 ,−→e2 ,−→e3}

, onde −→e1 = (1, 0, 0), −→e2 = (0, 1, 0) e −→e3 = (0, 0, 1).

Definição 43 Sejam �x = (x1, x2, x3) e �y = (y1, y2, y3) ∈ R3. Define-se produto externode �x com �y como sendo o vetor

�x× �y =

∣∣∣∣∣∣

−→e1 −→e2 −→e3x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣= −→e1

∣∣∣∣x2 x3y2 y3

∣∣∣∣−−→e2

∣∣∣∣x1 x3y1 y3

∣∣∣∣+−→e3

∣∣∣∣x1 x2y1 y2

∣∣∣∣ .

Exemplo 60 Sejam �x = (2, 1, 0) e �y = (−1, 1, 4). Então,

�x× �y =

∣∣∣∣∣∣

−→e1

−→e2

−→e3

2 1 0

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣= −→e1

∣∣∣∣1 0

1 4

∣∣∣∣−−→e2

∣∣∣∣2 0

−1 4

∣∣∣∣+−→e3

∣∣∣∣2 1

−1 1

∣∣∣∣

= 4−→e1 − 8

−→e2 + 3

−→e3 = (4,−8, 3) .

Observação 28 Se �x = �0 ou �y = �0, então �x× �y = �0.De facto, caso �x = �0 ou �y = �0, �x × �y corresponde ao cálculo do determinante de umamatriz com uma linha nula.

Propriedade 36 Sejam �x,�y ∈ R3 quaisquer. Então, �x× �y é um vetor ortogonal a �x e a �y.

Dem. Sejam �x = (x1, x2, x3) e �y = (y1, y2, y3). Então,

�x× �y = (x2y3 − x3y2)−→e1 − (x1y3 − x3y1)

−→e2 + (x1y2 − x2y1)−→e3 (6)

= (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1) .

Assim,

(�x× �y) |�x = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1) |(x1, x2, x3)

= x1x2y3 − x1x3y2 + x2x3y1 − x2x1y3 + x3x1y2 − x3x2y1 = 0.

Do mesmo modo se prova que (�x× �y) |�y = 0.

Exemplo 61 Sejam �x = (2, 1, 0) e �y = (−1, 1, 4). No exemplo anterior já se viu que�x× �y = (4,−8, 3). Então,

(�x× �y) |�x = (4,−8, 3) | (2, 1, 0) = 8− 8+ 0 = 0⇒ (�x× �y) ⊥ �x

e(�x× �y) |�y = (4,−8, 3) | (−1, 1, 4) = −4− 8+ 12 = 0⇒ (�x× �y) ⊥ �y.

55 M at2 - 9 m aio 2014

Propriedade 37 Sejam �x,�y ∈ R3 tais que �x �= �0 e �y �= �0. Então,‖�x× �y‖ = ‖�x‖ · ‖�y‖ · senθ, onde θ = ∢(�x,�y).

Dem. Sejam �x = (x1, x2, x3), �y = (y1, y2, y3) e A = ‖�x‖ · ‖�y‖ · senθ.Como θ = ∢(�x,�y) ∈ [0, π], senθ � 0. Logo, A � 0.

Além disso, cosθ = �x|�y

‖�x‖·‖�y‖ e sen2 θ+ cos2 θ = 1. Portanto,

sen2 θ = 1−

(�x|�y

‖�x‖ · ‖�y‖

)2

.

Assim,

A2 = ‖�x‖2 · ‖�y‖2 · sen2 θ = ‖�x‖2 · ‖�y‖2 − (�x|�y)2

=(x21 + x22 + x23

) (y21 + y22 + y23

)− (x1y1 + x2y2 + x3y3)

2

= x21y21 + x21y

22 + x21y

23 + x22y

21 + x22y

22 + x22y

23 + x23y

21 + x23y

22 + x23y

23

−(x21y

21 + 2x1y1x2y2 + 2x1y1x3y3 + x22y

22 + 2x2y2x3y3 + x23y

23

)

=(x22y

23 − 2x2y2x3y3 + x23y

22

)+(x23y

21 − 2x1y1x3y3 + x21y

23

)

+(x21y

22 − 2x1y1x2y2 + x22y

21

)

= (x2y3 − x3y2)2+ (x3y1 − x1y3)

2+ (x1y2 − x2y1)

2= ‖�x× �y‖2 ,

pela fórmula (6). Então, A2 = ‖�x× �y‖2 donde, como A � 0 e ‖�x× �y‖ � 0, se conclui queA = ‖�x× �y‖.

Propriedade 38 Sejam �x,�y ∈ R3 quaisquer.

1. Se �x e �y são vetores linearmente dependentes, então

�x× �y = �0.

2. Se �x e �y são vetores linearmente independentes, então

‖�x× �y‖ = Area .

Dem. 1. Se �x e �y são vetores linearmente dependentes, um deles é combinação linear dooutro, ou seja, ∃λ ∈ R : �x = λ�y. Mas então, �x×�y corresponde ao cálculo do determinante deuma matriz com duas linhas linearmente dependentes. Assim, pela Parte 3 da Propriedade20, conclui-se que �x× �y = �0.2. Se os vetores �x e �y são linearmente independentes, então �x e �y são vetores não nulos eθ = ∢(�x,�y) ∈ ]0, π[. Logo, senθ > 0 e �x e �y formam um paralelogramo da seguinte forma:

, se θ � 90◦; , se θ > 90◦.

56 M at2 - 9 m aio 2014

Sabe-se que a área do paralelogramo é dada pelo produto da base pela altura. Além disso,senθ = sen (π− θ). Como a base do paralelogramo definido por �x e �y é ‖�x‖ e a sua alturaé h = ‖�y‖ senθ, a área do paralelogramo definido por �x e �y é

‖�x‖ · ‖�y‖ · senθ = ‖�x× �y‖ ,

pela propriedade anterior.

Exemplo 62 Calculemos a área do paralelogramo definido pelos vetores �x = (2, 1, 0) e�y = (−1, 1, 4).

• No Exemplo 60 já se viu que �x× �y = (4,−8, 3). Assim, a área é dada por

‖�x× �y‖ = ‖(4,−8, 3)‖ =√16+ 64+ 9 =

√89.

• Alternativamente, pela Propriedade 37, tem-se que ‖�x× �y‖ = ‖�x‖ · ‖�y‖ · senθ. NoExemplo 56 já se viu que ‖�x‖ =

√5, ‖�y‖ =

√18 e cosθ = −1√

90. Como sen2 θ+ cos2 θ = 1 e

senθ > 0, então

senθ =√1− cos2 θ =

√

1−1

90=

√89

90.

Assim, a área é dada por

‖�x× �y‖ =√5√18

√89

90=√89.

Propriedade 39 Sejam �x,�y,�z ∈ R3 e λ ∈ R quaisquer. Então,

1. �x× �y = −(�y× �x); (troca de vetores)

2. �x× (�y+ �z) = �x× �y+ �x× �z e (�x+ �y)× �z = �x× �z+ �y× �z;

3. (λ�x)× �y = λ (�x× �y) = �x× (λ�y).

4. �x× �y = �0⇔ �x e �y são linearmente dependentes. (�x e �y são colineares)

Dem. Sejam �x = (x1, x2, x3), �y = (y1, y2, y3) e �z = (z1, z2, z3).

1. Pela Parte 2 da Propriedade 20,

�x× �y =

∣∣∣∣∣∣

−→e1 −→e2 −→e3x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣=

L3⇄L2−

∣∣∣∣∣∣

−→e1 −→e2 −→e3y1 y2 y3x1 x2 x3

∣∣∣∣∣∣= −(�y× �x) .

2. Pelo axioma A2 da Definição 26,

�x× (�y+ �z) =

∣∣∣∣∣∣

−→e1

−→e2

−→e3

x1 x2 x3y1 + z1 y2 + z2 y3 + z3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−→e1

−→e2

−→e3

x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

−→e1

−→e2

−→e3

x1 x2 x3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣= �x× �y+ �x× �z.

57 M at2 - 9 m aio 2014

Analogamente se via que (�x+ �y)× �z = �x× �z+ �y× �z.

3. Pelo axioma A1 da Definição 26,

(λ�x)× �y =

∣∣∣∣∣∣

−→e1

−→e2

−→e3

λx1 λx2 λx3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣= λ

∣∣∣∣∣∣

−→e1

−→e2

−→e3

x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣= λ (�x× �y) .

Do mesmo modo se via que �x× (λ�y) = λ (�x× �y) .

4. ⇒ Pela Propriedade 37, onde θ = ∢(�x,�y) ∈ [0, π] ,

�x× �y = �0

⇒ ‖�x× �y‖ = 0⇒ ‖�x‖ · ‖�y‖ · senθ = 0

⇒ ‖�x‖ = 0∨ ‖�y‖ = 0∨ senθ = 0

⇒ �x = �0∨ �y = �0∨ θ = 0∨ θ = π

⇒ �x = �0∨ �y = �0∨ �y = λ�x, com λ �= 0.

Assim, {�x,�y} é linearmente dependente.

⇐ O resultado sai diretamente da Parte 1 da Propriedade 38.

Exemplo 63 Sejam �x,�y ∈ R3 tais que �x × �y = (−3, 1, 0). Então, como �y e �y são linear-mente dependentes,

�y× (�x+ 3�y) = �y× �x+ �y× (3�y)= − (�x× �y) + 3 (�y× �y)= − (�x× �y) + 3 · �0= (3,−1, 0) .

Definição 44 Sejam �x = (x1, x2, x3), �y = (y1, y2, y3) e �z = (z1, z2, z3) ∈ R3. Define-seproduto misto de �x, �y e �z como sendo o escalar

�x|�y× �z =

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣= x1

∣∣∣∣y2 y3z2 z3

∣∣∣∣− x2

∣∣∣∣y1 y3z1 z3

∣∣∣∣ + x3

∣∣∣∣y1 y2z1 z2

∣∣∣∣ .

Exemplo 64 Sejam �x = (2, 1, 0), �y = (−1, 1, 4) e �z = (0, 1, 1). Então, aplicando a regra deSarrus,

�x|�y× �z =

∣∣∣∣∣∣

2 1 0

−1 1 4

0 1 1

∣∣∣∣∣∣= (2+ 0+ 0) − (0+ 8− 1) = −5.

58 M at2 - 9 m aio 2014

Propriedade 40 Sejam �x,�y,�z ∈ R3. Então,

1. �x|�y× �z = −(�x|�z× �y) = − (�z|�y× �x) = − (�y|�x× �z); (troca de vetores)

2. �x|�y× �z = �x× �y|�z; (troca de operações)

3. �x|�y× �z = 0 ⇐⇒ �x, �y e �z são linearmente dependentes. (�x, �y e �z são complanares)

Dem. Sejam �x = (x1, x2, x3), �y = (y1, y2, y3) e �z = (z1, z2, z3) ∈ R3.

1. Pela Parte 2 da Propriedade 20,

�x|�y× �z =

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣=

L3⇄L2−

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3z1 z2 z3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣= −(�x|�z× �y) .

Analogamente se via que �x|�y× �z = −(�z|�y× �x) e que �x|�y× �z = −(�y|�x× �z).

2. Pela fórmula (6),

�x× �y|�z = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1) |(z1, z2, z3)

= x2y3z1 − x3y2z1 + x3y1z2 − x1y3z2 + x1y2z3 − x2y1z3

= x1 (y2z3 − y3z2) − x2 (y1z3 − y3z1) + x3 (y1z2 − y2z1)

= �x|�y× �z.

3. ⇒ Seja A =

x1 x2 x3z1 z2 z3y1 y2 y3

. Pela Parte 2 da Propriedade 26,

�x× �y|�z = 0⇒ detA = 0⇒ c (A) < 3.

Assim, as linhas de A são linearmente dependentes, ou seja, {�x,�y,�z} é linearmente depen-dente.

⇐ Sejam �x, �y e �z vetores linearmente dependentes. Então, um destes vetores é combinaçãolinear dos restantes. Suponhamos, sem perda de generalidade, que ∃λ, µ ∈ R : �z = λ�x+ µ�y.Assim, pelos axiomas A2 e A1 da Definição 26,

�x× �y|�z =

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3

λx1 + µy1 λx2 + µy2 λx3 + µy3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3λx1 λx2 λx3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3µy1 µy2 µy3

∣∣∣∣∣∣

= λ

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3x1 x2 x3

∣∣∣∣∣∣+ µ

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3y1 y2 y3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣= λ · 0+ µ · 0 = 0,

pelo axioma A3 da Definição 26.

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Exemplo 65 Sejam �x = (2, 1, 0), �y = (−1, 1, 4) e �z = (0, 1, 1). Pela Parte 2 da propriedadeanterior e pelo Exemplo 60,

�x|�y× �z = �x× �y|�z = (4,−8, 3) | (0, 1, 1) = 0− 8+ 3 = −5.

Propriedade 41 Sejam �x,�y,�z ∈ R3 tais que �x, �y e �z são linearmente independentes. Então,

|�x|�y× �z| = Volume .

Dem. Seja θ = ∢(�x,�y× �z). Tem-se que �y× �z ⊥ �y, �y× �z ⊥ �z e

Sabe-se que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela altura.Como a base do paralelepípedo definido por �x, �y e �z é o paralelogramo determinado por �y e�z e a sua altura é h = ‖�x‖ · |cosθ|, o volume do paralelepípedo definido por �x, �y e �z é dadopor

‖�y× �z‖ · h = ‖�y× �z‖ · ‖�x‖ · |cosθ| = | �x| (�y× �z) | ,pela Observação 26.

Exemplo 66 O volume do paralelepídedo definido por �x = (2, 1, 0), �y = (−1, 1, 4) e�z = (0, 1, 1) é, usando os cálculos do Exemplo 64,

|�x|�y× �z| = |−5| = 5.

60 M at2 - 9 m aio 2014

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